题型四 “隐形圆”问题 2025年 中考数学复习课件（河南专版）

题型四 “隐形圆”问题 1 类型1 由相切引起的“隐形圆”最值问题 （第1题） 1.如图，在中，， ， 点是边上一动点，点是 边上一动点，当 时， 的最小值为( ) D A.1 B. C. D. 2025河南中考专题 2 【解析】如图，以点为圆心, 的长为半径画圆， 当与相切（切点为）时， 的值最小. 过点A作于点 ， ， , 与 相切， .设 ，则 ，，,故的最小值为 . 2025河南中考专题 3 2.如图，和是以点 为直角顶点的等腰直角三角形，把 以点为中心顺时针旋转，点为直线， 的交点.若 ，，则当线段最短时， 的面积为__. （第2题） 2025河南中考专题 4 【解析】易知.如图（1），设，交于点 ，易证 （模型：“手拉手”全等模型），, .又 ， ， ， 当最大时， 最短（关键点）.易知 点在以点为圆心，1为半径的圆上运动， . . . . 图（1） 2025河南中考专题 5 当与在 上侧相切于点时， 最大，如图（2），则 .易知四边形 是正方 形，，, , . . . 图（2） 2025河南中考专题 6 （第3题） 3.如图，在正方形中，，点， 分别 是射线，上的动点，且，连接 ， 交于点，连接，则点到 的最小值为___. 2025河南中考专题 7 【解析】如图（1），易证 ， .又， ， ， 点在以 为直径的圆上，设 圆心为.设点到的距离为 ，则 ， 当 最小时，最小. 图（1） 2025河南中考专题 8 当最小时，易知与在点 右下方 相切于点,如图（2）所示，易知 . 延 长交于点，则.设 ，则 ， .根据勾股定理，得 ， ,解 得，， ， . 图（2） 2025河南中考专题 4.如图,在矩形中,,,是边 上一动点（不含端点）,将 沿直线折叠,得到.当射线交线段于点时,连接 , 则的面积为____, 的最大值为_____. 10 （第4题） 2025河南中考专题 10 【解析】由题意可得 的面积等于矩形 面积的一半， 的面积为 .在 中， ， 当最大时， 最 大.由翻折的性质，得, 点在以点 为圆心、4为半径的圆 上运动（突破点）,如图（1）.易得当射线与圆相切时， 最大 （关键点），此时点,, 共线， ，如图（2）， .易得此时与相切于点， .设 ,则,.在 中，由勾股定理，得 ,即, ， ． . . . . . . 2025河南中考专题 11 名师一点通 解题突破 本题综合性强，难度较大，解决本题的关键 点是分析出点的运动轨迹，再结合点,, 共线，得到当射线与相切时， 最大. 2025河南中考专题 12 类型2 点圆最值模型 5.如图，四边形为矩形，，，点 是线段上一动点，点为线段 上一点， ，则 的最小值为( ) D A. B. C. D. 2025河南中考专题 13 【解析】 ， ， ， 点在以 为直径的圆上运动， 如图，设圆心为，则为的中点，连接， ， 则， .易知当 点在上时，取最小值，此时 ． 2025河南中考专题 14 （第6题） 6.新角度 点圆模型+双折叠如图，在直角三角形 纸片中， ，， ， 点为的中点，点为 上一动点 ，沿直线折叠该纸片，点 的对 应点为,再沿直线折叠该纸片，点 的对应 点为.则点， 之间的最小距离为___. 2025河南中考专题 15 【解析】由勾股定理，得 ， .如图， 设交于点，作点关于直线的对称点 ,连接 点，关于直线对称，点，，共线， 点，，共线，， 点 在 以点为圆心，5为半径的圆上运动（关键点：分析点 的运动轨迹）.易 知，之间的距离为6.当点，, 共线，即点在线段 上时，点 ，之间的距离最小，最小值为 . 2025河南中考专题 16 7.如图，在中， ，，于点 ， 于点，，交于点，连接，则 的度数为______， 的最大值为___. 2 （第7题） 2025河南中考专题 17 【解析】如图（1），延长交于点，于点， 于 点，，交于点，， ， ， 点 的运动轨迹是圆的 一部分，设该圆圆心为. 图（1） 2025河南中考专题 18 当点位于的中点处时， 最长，如图（2）， 此时,,共线，，, ， . 图（2） 2025河南中考专题 19 （第8题） 8.如图，正方形的边长为2，点为 延长线 上一点，连接交于点,作关于 的对 称图形，得到.连接交于点，当， 两点之间的距离最短时， 的长为_______. 2025河南中考专题 20 【解析】由轴对称的性质知 ， ， 点在以 为直径的圆上运动， 如图（1）.设的中点为，连接，则当点 在上时，， 两点间的距离最短（依据：“点 圆最值”模型），如图（2）.易知 ，，， ， ，.又，， ， .故当, 两点之间的距离最短时， . . . . . 2025河南中考专题 21 （第9题） 9.如图，正方形的边长为4，中心为点，为直线 上 一动点，过点作于点，连接，则 的最小值为 __________，最大值为__________. 2025河南中考专题 22 【解析】如图（1），连接，，则 ， ， .当点不与点， 重合时， ， 点 在 以为直径的圆上运动，设圆心为. 图（1） 2025河南中考专题 23 当点，， 共线时， 取最值，简图如图（2）所示，其中的 最小值为 的长，最大值为 的长.过 点作于点 ，则 ， ， ， ，.故 的最小值为 ，最大值为 . 图（2） 2025河南中考专题 类型3 点线最值模型 （第10题） 10.如图,在平面直角坐标系中,半径为2的与 轴 的正半轴交于点,点是上一动点,点为弦 的 中点,直线与轴、轴分别交于点, ,则 面积的最小值为___. 2025河南中考专题 25 【解析】如图，设与轴的另一交点为 ，连接 ，，易得 ， 点 在以 为直径的圆上.取的中点，过点 作 于点，与交于点，连接, . 易知当点与点重合时, 的面积最小.由 可知,， .易证 ,，即 ， ,，面积的最小值为 . 2025河南中考专题 26 11.如图，在中， ，，，点 为平面内一 点，且.连接，，过点作于点.则 面积的最 小值为___， 的最小值为_________. 4 （第11题） 2025河南中考专题 27 【解析】由勾股定理，得， 点在以点 为圆心、4为半径的圆上运动，如图 （1）.过点作于点，当点在线段 上时，点到 的距离最小，简图如图（2）所 示，此时 的面积最小，则 ， 2025河南中考专题 28 ， ， 当最大时，最小，此时与 在 的下方相切于点 ，简图如图（3）所示，则 .设，交于点 , ， ， ， ， , . 2025河南中考专题 类型4 “隐形圆”其他问题____ （第12题） 12.如图，在四边形中， ， ，的长度不定，点为 的中点，过 点作于点，连接，则当 的值最大 时， 的长度为_____. 2025河南中考专题 30 【解析】如图（1），连接，取的中点 ， ， 点,,,在以点为圆心， 长为半径的 圆上，连接，，则，当点,， 共线时，等号成立， 此时如图（2）所示，,， .又 ， . 图（1） 图（2） 2025河南中考专题 31 $$