专题02 平面向量的基本定理及坐标运算8种常考题型总结（四川专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题02 平面向量的基本定理及坐标运算8种常考题型总结 题型概览 题型01 基底的判断 题型02 用基底表示向量 题型03 向量线性运算的坐标表示 题型04 利用坐标求向量共线问题 题型05 向量数量积的坐标表示 题型06 向量垂直的坐标表示 题型07 利用坐标求向量的夹角 题型08 利用坐标求向量的模长 ( 题型01 ) 基底的判断 1．（2024春•宜宾期末）下列各组向量中，可以作为基底的是　　 A． B． C． D． 【解析】对于，因为，所以，可知， 所以不可以作为基底，故错误； 对于，因为，所以，即， 所以不可以作为基底，故错误； 对于，因为，所以，即， 所以不可以作为基底，故错误； 对于，因为，所以均不为零向量， 假设，则， 可得，方程组无解，即假设不成立， 所以不共线，所以可以作为基底，故正确． 故选：． 2．（2023春•泸县校级期末）已知、是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 【解析】不共线的向量可以作为基底， 不能作为基底的便是共线向量， 显然，， 与共线． 故选：． ( 题型02 ) 用基底表示向量 3．（2024春•雅安期末）如图，在梯形中，，在上，且，设，，则　　 A． B． C． D． 【解析】因为在梯形中，，在上，且，，， 所以， ． 故选：． 4．（2021春•绵阳期末）在中，为边上一点，，是的中点，设，，则　　 A． B． C． D． 【解析】因为，则， 所以 ， 故选：． 5．（2022春•新都区校级期末）如图，在平行四边形中，是的中点，，则　　 A． B． C． D． 【解析】在平行四边形中，是的中点，， 由图可知，． 故选：． 6．（2024春•内江期末）在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则　　 A． B． C． D． 【解析】由题意，， 点在上，则存在实数， 使得， ， 又， ，解得， ． 故选：． 7．（2024春•青羊区校级期末）如图，在中，，是线段上一点，若，则的最大值为 　　． 【解析】在中，，是线段上一点， 则， 又， 则， 即， 则， 当且仅当时取等号， 则的最大值为． 故答案为：． ( 题型03 ) 向量线性运算的坐标表示 8．（2024秋•凉山州期末）已知向量，，则　　 A． B． C． D． 【解析】因为向量，， 所以，，，． 故选：． 9．（2024春•东坡区期末）已知平行四边形中，，，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【解析】设， 四边形为平行四边形，， ，，， ，， 则点的坐标为， 故选：． 10．（2023秋•泸县校级期末）已知四边形的顶点，，，，则四边形的形状为　　 A．平行四边形 B．菱形 C．梯形 D．矩形 【解析】四边形的顶点，，，， ，，，，，， ，四边形是平行四边形， ， ， ，，， ，， 四边形是矩形． 故选：． ( 题型04 ) 利用坐标求向量共线问题 11．（2024春•成都期末）平面向量，，若，则　　 A． B．1 C． D．2 【解析】，， 则， ， 则，解得． 故选：． 12．（2024秋•凉山州期末）已知，且，则等于　　 A．3 B． C． D． 【解析】，，且， ， ． 故选：． 13．（2023秋•郫都区校级期末）已知向量，若，则实数的值为　　 A．1 B．0 C． D． 【解析】向量，则， 由，得，解得， 所以实数的值为1． 故选：． 14．（2024春•仁寿县期末）已知向量，，若与共线，则　　 A． B．4 C． D．或4 【解析】由两向量共线可知，即，解得或． 故选：． 15．（2024春•成都期末）已知向量，，且，则实数等于　　 A． B．4 C．0 D． 【解析】，， 则， ， ，解得． 故选：． 16．（2024秋•资中县校级期末）已知向量，若，则　　 A． B． C． D． 【解析】由题意，，解得， 所以． 故选：． ( 题型0 5 ) 向量数量积的坐标表示 17．（2024秋•凉山州期末）已知，，则 　　． 【解析】因为，， 所以． 故答案为：14． 18．（2022秋•德阳期末）已知，，，若，则的值为　　 A．3 B． C．2 D． 【解析】，， 则， ，， 则，解得． 故选：． ( 题型0 6 ) 向量垂直的坐标表示 19．（2024秋•凉山州期末）已知，，且，则等于　　 A． B．6 C． D．2 【解析】因为，，且， 所以，解得． 故选：． 20．（2024春•东坡区期末）已知向量，． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 【解析】（1）题意得，，， ， ， 解得； （2）由题意得，，， ， ， 解得． 21．（2024春•四川期末）已知平面向量． （1）若，求实数的值； （2）若与的夹角为，求实数的值． 【解析】（1）由，可得， 因为， 所以， 解得； （2）因为，， 所以， 故， 解得． ( 题型0 7 ) 利用坐标求向量的夹角 22．（2021春•成都期末）已知向量，，其中，． （1）求； （2）求与的夹角的余弦值． 【解析】由，， 得，． （1）； （2）， ． 23．（2021春•内江期末）已知，，． （1）若与垂直，求的值； （2）求与夹角的余弦值． 【解析】（1）因为，， 所以， 所以， 因为与垂直，所以， 即， 所以，即． 故的值为． （2）， 设向量与的夹角为， 则， 所以向量与的夹角的余弦值为． （多选）24．（2023春•宜宾期末）已知向量，，则下列结论正确的是　　 A． B． C．向量与的夹角为 D．向量在上的投影向量为 【解析】已知向量，， 则，， 对于选项，，即选项错误； 对于选项，，即选项正确； 对于选项，，即向量与的夹角为，即选项错误； 对于选项，向量在上的投影向量为，即选项正确． 故选：． ( 题型0 8 ) 利用坐标求向量的模长 25．（2023秋•南充期末）已知向量，则　　． 【解析】， 则， 故． 故答案为：． 26．（2022秋•郫都区校级期末）设向量，且，则　　． 【解析】由得， 根据得，解得， 故答案为： （多选）27．（2023春•叙州区校级期末）已知，则　　 A． B． C．与共线 D． 【解析】根据题意，依次分析选项： 对于，，，则，，，正确； 对于，，，则有，正确； 对于，，，有，必有，正确； 对于，，，，不成立，错误． 故选：． 28．（2021春•凉山州期末）已知向量，则　　 A． B． C．1 D． 【解析】， ， ． 故选：． 1．（2017秋•成都期末）如图，在中，已知，为上一点，且满足，则实数的值为　　 A． B． C． D． 【解析】如图， 又，所以 又，由平面向量基本定理可得，解得 故选：． 2．（2024春•绵阳期末）如图，在平行四边形中，对角线交于点，点在上，且，连接交于点，若，则　　． 【解析】在平行四边形中，对角线交于点，点在上，且，连接交于点， 则， 则， 即， 又， 则， 即． 故答案为：． 3．（2024春•江阳区期末）如图，在中，为线段的中点，为线段上一点，，过点的直线分别交直线，于，两点，，，则的最小值为　　． A． B． C．3 D．9 【解析】因为是线段的中点，所以， 又因为，所以， 又，， 所以，即， 因为，，三点共线，所以，化为， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为． 故选：． 4．（2023春•达州期末）如图，是等边内的动点，四边形是平行四边形，．当取得最大值时，　　． 【解析】以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为四边形是平行四边形，，则， 设的边长为，显然，，， 设，，则， 故， 即， 因为，所以， 设，由， 可得，又， 所以 ， 因为，所以， 显然当，即时，取得最大值， 此时，， 故． 故答案为：0 5．（2023春•乐山期末）在 中，，，且，，其中，，且，若，分别为线段，的中点，则线段的最小值为 　　． 【解析】连接、，如图所示： 因为等腰三角形中，，， 由余弦定理得，，所以， 所以； 又因为是的中线，所以 同理，， 由此可得， 所以； 又，， 代入上式得； 又，， 所以当时，取得最小值为，所以线段取最小值，此时． 故答案为：． 6．（2023春•四川期末）如图所示，在中，为边上一点，且，过的直线与直线相交于点，与直线相交于点，两点不重合）． （1）用，表示； （2）若，，求的最小值． 【解析】（1）因为，所以， 化简得； （2）因为，，， 所以，由图可知， 又因为、、三点共线，所以， 所以， 当，即时，取最小值． 7．（2021春•遂宁期末）已知、、是直线上三个相异的点，平面内的点不在此直线上，若正实数、满足，则的最小值为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】由可得：， 因为，，三点共线，所以， 所以 当且仅当，即时取等号， 此时的最小值为4， 故选：． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平面向量的基本定理及坐标运算8种常考题型总结 题型概览 题型01 基底的判断 题型02 用基底表示向量 题型03 向量线性运算的坐标表示 题型04 利用坐标求向量共线问题 题型05 向量数量积的坐标表示 题型06 向量垂直的坐标表示 题型07 利用坐标求向量的夹角 题型08 利用坐标求向量的模长 ( 题型01 ) 基底的判断 1．（2024春•宜宾期末）下列各组向量中，可以作为基底的是　　 A． B． C． D． 2．（2023春•泸县校级期末）已知、是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 ( 题型02 ) 用基底表示向量 3．（2024春•雅安期末）如图，在梯形中，，在上，且，设，，则　　 A． B． C． D． 4．（2021春•绵阳期末）在中，为边上一点，，是的中点，设，，则　　 A． B． C． D． 5．（2022春•新都区校级期末）如图，在平行四边形中，是的中点，，则　　 A． B． C． D． 6．（2024春•内江期末）在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则　　 A． B． C． D． 7．（2024春•青羊区校级期末）如图，在中，，是线段上一点，若，则的最大值为 　　． ( 题型03 ) 向量线性运算的坐标表示 8．（2024秋•凉山州期末）已知向量，，则　　 A． B． C． D． 9．（2024春•东坡区期末）已知平行四边形中，，，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 10．（2023秋•泸县校级期末）已知四边形的顶点，，，，则四边形的形状为　　 A．平行四边形 B．菱形 C．梯形 D．矩形 ( 题型04 ) 利用坐标求向量共线问题 11．（2024春•成都期末）平面向量，，若，则　　 A． B．1 C． D．2 12．（2024秋•凉山州期末）已知，且，则等于　　 A．3 B． C． D． 13．（2023秋•郫都区校级期末）已知向量，若，则实数的值为　　 A．1 B．0 C． D． 14．（2024春•仁寿县期末）已知向量，，若与共线，则　　 A． B．4 C． D．或4 15．（2024春•成都期末）已知向量，，且，则实数等于　　 A． B．4 C．0 D． 16．（2024秋•资中县校级期末）已知向量，若，则　　 A． B． C． D． ( 题型0 5 ) 向量数量积的坐标表示 17．（2024秋•凉山州期末）已知，，则 　　． 18．（2022秋•德阳期末）已知，，，若，则的值为　　 A．3 B． C．2 D． ( 题型0 6 ) 向量垂直的坐标表示 19．（2024秋•凉山州期末）已知，，且，则等于　　 A． B．6 C． D．2 20．（2024春•东坡区期末）已知向量，． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 21．（2024春•四川期末）已知平面向量． （1）若，求实数的值； （2）若与的夹角为，求实数的值． ( 题型0 7 ) 利用坐标求向量的夹角 22．（2021春•成都期末）已知向量，，其中，． （1）求； （2）求与的夹角的余弦值． 23．（2021春•内江期末）已知，，． （1）若与垂直，求的值； （2）求与夹角的余弦值． （多选）24．（2023春•宜宾期末）已知向量，，则下列结论正确的是　　 A． B． C．向量与的夹角为 D．向量在上的投影向量为 ( 题型0 8 ) 利用坐标求向量的模长 25．（2023秋•南充期末）已知向量，则　　． 26．（2022秋•郫都区校级期末）设向量，且，则　　． （多选）27．（2023春•叙州区校级期末）已知，则　　 A． B． C．与共线 D． 28．（2021春•凉山州期末）已知向量，则　　 A． B． C．1 D． 1．（2017秋•成都期末）如图，在中，已知，为上一点，且满足，则实数的值为　　 A． B． C． D． 2．（2024春•绵阳期末）如图，在平行四边形中，对角线交于点，点在上，且，连接交于点，若，则　　． 3．（2024春•江阳区期末）如图，在中，为线段的中点，为线段上一点，，过点的直线分别交直线，于，两点，，，则的最小值为　　． A． B． C．3 D．9 4．（2023春•达州期末）如图，是等边内的动点，四边形是平行四边形，．当取得最大值时，　　． 5．（2023春•乐山期末）在 中，，，且，，其中，，且，若，分别为线段，的中点，则线段的最小值为 　　． 6．（2023春•四川期末）如图所示，在中，为边上一点，且，过的直线与直线相交于点，与直线相交于点，两点不重合）． （1）用，表示； （2）若，，求的最小值． 7．（2021春•遂宁期末）已知、、是直线上三个相异的点，平面内的点不在此直线上，若正实数、满足，则的最小值为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$