第02讲 直线的方程（九大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）-【暑假预科讲义】2025年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（苏教版2019选择性必修第一册）

第02讲 直线的方程 【苏教版2019】 模块一 直线的点斜式、斜截式方程 1．直线的点斜式方程 (1)直线的点斜式方程的定义： 设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程. (2)点斜式方程的使用方法： ①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为. 【注】(1)点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. (2)当直线的倾斜角为0°时，直线方程为y=y1. 2．直线的斜截式方程 (1)直线的斜截式方程的定义： 设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程. (2)斜截式方程的使用方法： 已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程. 【注】(1)b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数. (2)斜截式方程可由过点(0,b)的点斜式方程得到. (3)斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. 【题型1 直线的点斜式方程及辨析】 【例1】（24-25高二上·河南郑州·期末）过点，且倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高二上·甘肃白银·期末）若直线过点且与斜率为4的直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高二上·山东东营·期末）经过点，倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1.3】（24-25高二上·四川达州·期末）经过点且倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【题型2 直线的斜截式方程及辨析】 【例2】（24-25高二·全国·课后作业）下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是（    ） A．x＝3 B．y＝－5 C．2y＝x D．x＝4y－1 【变式2.1】（24-25高二上·重庆南岸·期中）经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高二上·全国·课后作业）与直线垂直，且在x轴上的截距为2的直线的斜截式方程为（　　） A． B． C． D． 【变式2.3】（24-25高二上·四川南充·开学考试）与直线垂直，且在轴上的截距为4的直线的斜截式方程是（    ） A． B．或 C． D．或 模块二 直线的两点式、截距式方程 1．直线的两点式方程 (1)直线的两点式方程的定义： 设直线l经过两点 ()，则方程叫作直线l的两点式方程. (2)两点式方程的使用方法： ①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当时，直线方程为 (或). ③当时，直线方程为 (或). 【注】(1)这个方程由直线上两点确定； (2)当直线没有斜率()或斜率为0()时，不能用两点式求出它的方程. 2．直线的截距式方程 (1)直线的截距式方程的定义： 设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程. (2)直线的截距式方程的适用范围： 选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示 过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线. (3)截距式方程的使用方法： ①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程. ②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的 坐标求解k，得到直线方程. 【注】(1)截距式的条件是a≠0,b≠0，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行 的直线. (2)求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0，得直线在y轴上的截距；令y=0，得直线在x轴上的截距. 【题型3 直线的两点式方程及辨析】 【例3】（24-25高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）过，的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高二上·浙江温州·期末）过两点，的直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）下列直线方程是两点式方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式3.3】（25-26高二·全国·课后作业）经过两点、的直线方程都可以表示为（    ） A． B． C． D． 【题型4 直线的截距式方程及辨析】 【例4】（24-25高二上·河南·期中）过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式4.1】（24-25高二上·江苏无锡·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式4.2】（2025高三·全国·专题练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式4.3】（24-25高二上·四川眉山·期中）已知直线在轴上的截距是轴上截距的倍，则的值为（    ） A． B． C． D． 模块三 直线的一般式方程 1．直线的一般式方程 (1)直线的一般式方程的定义： 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程. 对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)： 当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线. 当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线. (2)一般式方程的使用方法： 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线. 2．辨析直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知 一点 斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率 两点式 不能表示与x轴、 y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距 截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积 一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程 3．求直线方程的一般方法 (1)直接法 直线方程形式的选择方法： ①已知一点常选择点斜式； ②已知斜率选择斜截式或点斜式； ③已知在两坐标轴上的截距用截距式； ④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况. (2)待定系数法 先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程. 利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程. 若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、 截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况). 【题型5 直线的一般式方程】 【例5】（2025高二上·全国·专题练习）过点和，的直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高二上·北京通州·期中）已知直线经过点，且斜率为2，则直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（2025高二上·全国·专题练习）根据下列条件求直线的一般式方程． (1)直线的斜率为，且经过点； (2)斜率为，且在轴上的截距为； (3)经过两点, ； (4)在轴上的截距分别为． 【变式5.3】（24-25高二上·湖北·期中）求分别满足下列条件的直线的一般式方程． (1)斜率是，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6； (2)经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等． 【题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化】 【例6】（24-25高二上·安徽淮北·期中）根据条件写出下列直线的方程，并化成一般式： (1)直线的斜率为，在轴上的截距是； (2)直线的倾斜角是直线的倾斜角的一半，且过点． 【变式6.1】（24-25高二上·湖北武汉·阶段练习）求分别满足下列条件的直线l的方程，化成一般形式. (1)经过点，且与x轴垂直； (2)斜率为－4，在y轴上的截距为7； (3)经过，两点. 【变式6.2】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）根据下列条件，写出下列直线方程的一般式： (1)经过点，且倾斜角为 (2)经过点，且一个方向向量为 (3)在中，点，求边上中线所在直线的方程 【变式6.3】（2025高二·全国·专题练习）（1）已知直线l的一般式方程为，请把一般式方程写成为斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐标轴上的截距； （2）根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式. ①斜率是，经过点； ②经过点，平行于x轴； ③在x轴和y轴上的截距分别是，； ④经过两点 【题型7 直线过定点问题】 【例7】（2025高二·全国·专题练习）直线，当变动时，所有直线都通过定点（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高二上·四川宜宾·期中）无论为何值，直线都过一个定点，则该定点为（    ） A． B． C． D． 【变式7.2】（24-25高二上·广东清远·期中）若直线的斜率，那么该直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式7.3】（24-25高二上·北京昌平·期中）已知直线， 则下述论断正确的是（    ） A．直线不可能经过坐标原点 B．直线的斜率可能为0 C．直线的倾斜角不可能是 D．直线恒过定点 【题型8 直线与坐标轴围成三角形问题】 【例8】（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式8.1】（24-25高二上·四川凉山·开学考试）经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式8.2】（24-25高二上·江苏常州·期中）过点的直线l与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点．当的面积最小时，l的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8.3】（2025高二·江苏·专题练习）直线l的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【题型9 直线方程的综合应用】 【例9】（24-25高二上·广东·期中）已知点，直线，若位于直线的两侧，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式9.1】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知直线l：，则下列说法不正确的是（    ） A．直线l恒过点 B．若直线l与y轴的夹角为30°，则或 C．直线l的斜率可以等于0 D．若直线l在两坐标轴上的截距相等，则或 【变式9.2】（23-24高二上·上海嘉定·期末）已知方程（）． (1)求该方程表示直线的条件； (2)当为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出此时的直线方程； (3)直线是否过定点，若存在直线过定点，求出此定点，若不存在，说明理由． 【变式9.3】（24-25高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知一条动直线， (1)求直线恒过的定点的坐标； (2)若直线不经过第二象限，求m的取值范围； (3)若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，的面积为6，求直线的方程. 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·阶段练习）在轴与轴上截距分别为的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·福建泉州·期末）倾斜角为的直线过点，则的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·重庆·期末）过、两点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·浙江嘉兴·期末）经过点且倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·广东梅州·期末）已知直线经过点，且倾斜角为45°，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·浙江台州·期末）已知直线的一般式方程为，则（    ） A．直线的截距式方程为 B．直线的截距式方程为 C．直线的斜截式方程为 D．直线的斜截式方程为 7．（24-25高二上·贵州黔东南·期末）已知直线的倾斜角为，且过点，则在直线上的点是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·河北邯郸·期末）已知直线l过原点O，将直线l绕点O顺时针旋转后，恰与y轴重合，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·浙江杭州·期末）下列说法正确的有（   ） A．直线倾斜角越大，斜率越大 B．过点的直线方程是 C．经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条 D．直线在y轴上的截距是 10．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）下列说法正确的是（ ） A．若直线经过第一､二､四象限，则点在第三象限 B．直线过定点 C．斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为 D．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 11．（23-24高二上·浙江舟山·期末）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 C．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为，则该直线方程为 D．过两点的直线方程为 三、填空题 12．（24-25高二上·上海·期末）对任意实数，直线总经过定点 ．（写出该定点坐标） 13．（24-25高二上·湖北·期中）经过点，且在轴上的截距为轴上截距的2倍的直线方程为 . 14．（24-25高二下·上海·期中）直线 经过平面直角坐标系的第一、第二与第四象限，则实数 的取值范围是 . 四、解答题 15．（24-25高二上·云南文山·期末）写出满足下列条件的直线的方程． (1)在y轴上的截距是2，且与x轴平行； (2)经过点，且与轴垂直； (3)斜率是，在y轴上的截距是7； 16．（24-25高三上·云南文山·期末）已知直线． (1)求恒过的定点的坐标； (2)若经过点，求直线的方程． 17．（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）根据下列条件，写出直线方程的一般式： (1)经过点，且倾斜角为； (2)经过点和点 (3)经过点，在x，y轴上有相等的截距． 18．（24-25高二上·浙江·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直线过点. (1)若直线又过点，求直线的方程； (2)若直线与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于，两点，求面积的最小值. 19．（24-25高二上·广东中山·阶段练习）已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线交坐标轴正半轴于两点，当面积最小时，求的周长. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 直线的方程 【苏教版2019】 模块一 直线的点斜式、斜截式方程 1．直线的点斜式方程 (1)直线的点斜式方程的定义： 设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程. (2)点斜式方程的使用方法： ①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为. 【注】(1)点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. (2)当直线的倾斜角为0°时，直线方程为y=y1. 2．直线的斜截式方程 (1)直线的斜截式方程的定义： 设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程. (2)斜截式方程的使用方法： 已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程. 【注】(1)b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数. (2)斜截式方程可由过点(0,b)的点斜式方程得到. (3)斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. 【题型1 直线的点斜式方程及辨析】 【例1】（24-25高二上·河南郑州·期末）过点，且倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】倾斜角为的直线斜率不存在，可解. 【解答过程】过点，且倾斜角为的直线垂直于轴， 其方程为. 故选：B． 【变式1.1】（24-25高二上·甘肃白银·期末）若直线过点且与斜率为4的直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据直线垂直的斜率关系求出斜率，然后可得直线方程. 【解答过程】因为直线与斜率为4的直线垂直， 所以直线的斜率为， 又直线过点， 所以直线的方程为，即． 故选：A. 【变式1.2】（24-25高二上·山东东营·期末）经过点，倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据直线倾斜角和斜率关系可求得斜率，再利用直线的点斜式方程即可求得结果. 【解答过程】由倾斜角为可得，直线斜率为 由直线的点斜式方程得直线方程为； 即. 故选：C. 【变式1.3】（24-25高二上·四川达州·期末）经过点且倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出直线斜率，利用点斜式求出直线方程，得到答案. 【解答过程】直线斜率，故直线方程为，即. 故选：A. 【题型2 直线的斜截式方程及辨析】 【例2】（24-25高二·全国·课后作业）下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是（    ） A．x＝3 B．y＝－5 C．2y＝x D．x＝4y－1 【解题思路】根据直线的斜截式方程的知识确定正确选项. 【解答过程】直线的斜截式方程为， 所以B选项是斜截式方程，ACD选项不是斜截式方程. 故选：B. 【变式2.1】（24-25高二上·重庆南岸·期中）经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据倾斜角求出斜率，写出点斜式方程，化为斜截式可得答案. 【解答过程】斜率， 点斜式方程为， 斜截式方程为. 故选：A. 【变式2.2】（24-25高二上·全国·课后作业）与直线垂直，且在x轴上的截距为2的直线的斜截式方程为（　　） A． B． C． D． 【解题思路】首先根据垂直关系确定所求直线的斜率，设出直线方程后再根据横截距确定与x轴的交点坐标，进而求得待定系数，确定答案. 【解答过程】因为所求的直线与直线垂直，所以，得. 设所求直线为,又因为所求直线在x轴上的截距为2即过点， 求得,所以所求直线的斜截式方程为， 故选：B. 【变式2.3】（24-25高二上·四川南充·开学考试）与直线垂直，且在轴上的截距为4的直线的斜截式方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【解题思路】将直线化为斜截式方程，可得出斜率，从而得与直线垂直的直线斜率，再根据所求直线在轴上的截距为4，即可得出所求直线的斜截式方程. 【解答过程】解：由于直线，即，可知斜率， 则与直线垂直的直线斜率为， 由于所求直线在轴上的截距为4， 则所求直线的斜截式方程是. 故选：A. 模块二 直线的两点式、截距式方程 1．直线的两点式方程 (1)直线的两点式方程的定义： 设直线l经过两点 ()，则方程叫作直线l的两点式方程. (2)两点式方程的使用方法： ①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当时，直线方程为 (或). ③当时，直线方程为 (或). 【注】(1)这个方程由直线上两点确定； (2)当直线没有斜率()或斜率为0()时，不能用两点式求出它的方程. 2．直线的截距式方程 (1)直线的截距式方程的定义： 设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程. (2)直线的截距式方程的适用范围： 选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示 过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线. (3)截距式方程的使用方法： ①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程. ②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的 坐标求解k，得到直线方程. 【注】(1)截距式的条件是a≠0,b≠0，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行 的直线. (2)求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0，得直线在y轴上的截距；令y=0，得直线在x轴上的截距. 【题型3 直线的两点式方程及辨析】 【例3】（24-25高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）过，的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】直接利用直线方程的两点式写出直线方程即可 【解答过程】因为所求直线过点，， 所以，即. 故选：B. 【变式3.1】（24-25高二上·浙江温州·期末）过两点，的直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由两点式得出直线方程，令，即可解出直线在轴上的截距. 【解答过程】过两点，的直线的为， 令，解得：， 故选：A. 【变式3.2】（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）下列直线方程是两点式方程的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 利用直线方程的相应形式对各个选项逐个判断即可. 【解答过程】对于选项A：是斜截式方程，故A错误； 对于选项B：是点斜式方程，故B错误； 对于选项C：是截距式方程，故C错误； 对于选项D：是两点式方程，故D正确； 故选：D. 【变式3.3】（25-26高二·全国·课后作业）经过两点、的直线方程都可以表示为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据两点式直线方程即可求解. 【解答过程】当经过、的直线不与轴平行时，所有直线均可以用， 由于可能相等，所以只有选项C满足包括与轴平行的直线. 故选:C. 【题型4 直线的截距式方程及辨析】 【例4】（24-25高二上·河南·期中）过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】通过直线过原点，和不过原点两种情况讨论即可. 【解答过程】当直线过原点时，其方程是，符合题意; 当直线不过原点时，设直线方程为，代入， 可得：，解得：，所以方程是. 故选：C. 【变式4.1】（24-25高二上·江苏无锡·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】设直线在轴上的截距为，分别在，条件下利用待定系数法求直线方程即可. 【解答过程】设直线在轴上的截距为， 当时，所求直线的方程可设为， 因为直线过点， 所以，故，即直线方程为， 当时，可设直线方程为， 由直线过点可得，， 所以，故直线方程为. 所以经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数 的直线方程是或. 故选：C. 【变式4.2】（2025高三·全国·专题练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解. 【解答过程】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故D项正确. 故选：D. 【变式4.3】（24-25高二上·四川眉山·期中）已知直线在轴上的截距是轴上截距的倍，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】依题意可得，分和两种情况讨论即可，求出直线在两坐标轴上的截距，结合题意可得出关于实数的等式，解之即可. 【解答过程】依题意可得， 当时，直线为，此时横纵截距都等于，满足题意； 当时，将直线的方程化为截距式方程可得， 直线在轴上的截距为，在轴上截距， 则，得或（舍去）. 综上所述，的值为或． 故选：C. 模块三 直线的一般式方程 1．直线的一般式方程 (1)直线的一般式方程的定义： 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程. 对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)： 当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线. 当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线. (2)一般式方程的使用方法： 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线. 2．辨析直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知 一点 斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率 两点式 不能表示与x轴、 y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距 截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积 一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程 3．求直线方程的一般方法 (1)直接法 直线方程形式的选择方法： ①已知一点常选择点斜式； ②已知斜率选择斜截式或点斜式； ③已知在两坐标轴上的截距用截距式； ④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况. (2)待定系数法 先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程. 利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程. 若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、 截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况). 【题型5 直线的一般式方程】 【例5】（2025高二上·全国·专题练习）过点和，的直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，利用直线的截距式方程求得直线的方程，再化为一般式方程，即可求解. 【解答过程】由直线过点和，可得直线的截距式得直线方程为， 整理得，即直线的一般式方程为. 故选：C. 【变式5.1】（24-25高二上·北京通州·期中）已知直线经过点，且斜率为2，则直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用直线的点斜式方程写出方程，再化成一般式即可. 【解答过程】因直线经过点，且斜率为2，则直线方程为：，化简得：， 所以直线的一般式方程为. 故选：C. 【变式5.2】（2025高二上·全国·专题练习）根据下列条件求直线的一般式方程． (1)直线的斜率为，且经过点； (2)斜率为，且在轴上的截距为； (3)经过两点, ； (4)在轴上的截距分别为． 【解题思路】（1）先由点斜式求方程，再化为一般式； （2）先求斜截式方程，再化为一般式； （3）先求直线的两点式方程，再化为一般式； （4）先求直线的截距式方程，再化为一般式. 【解答过程】（1）因为，且经过点， 由直线的点斜式方程可得， 整理可得直线的一般式方程为． （2）由直线的斜率，且在轴上的截距为 得直线的斜截式方程为． 整理可得直线的一般式方程为． （3）由直线的两点式方程可得， 整理得直线的一般式方程为 （4）由直线的截距式方程可得， 整理得直线的一般式方程为. 【变式5.3】（24-25高二上·湖北·期中）求分别满足下列条件的直线的一般式方程． (1)斜率是，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6； (2)经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等． 【解题思路】（1）设出直线方程，得到与两坐标轴的交点坐标，根据面积列出方程，求出答案； （2）分截距为0和截距不为0两种情况，设出直线方程，待定系数法求出直线方程. 【解答过程】（1）设直线的方程为． 令，得．令，得， ，解得． 直线的方程为，化为一般式为． （2）设直线在轴、轴上的截距分别为． 当时，直线的方程为． 直线过点， ， 又， 故，解得或 直线的方程为或； 当时，设直线方程为， 直线过原点且过点，故，解得， 直线的方程为． 综上所述，直线的方程为或或． 【题型6 直线一般式方程与其他形式之间的互化】 【例6】（24-25高二上·安徽淮北·期中）根据条件写出下列直线的方程，并化成一般式： (1)直线的斜率为，在轴上的截距是； (2)直线的倾斜角是直线的倾斜角的一半，且过点． 【解题思路】（1）利用斜截式方程求解即可； （2）根据倾斜角的关系求出直线斜率，再将代入即可求解. 【解答过程】（1）因为直线斜率为，在轴上的截距是， 所以由斜截式可得直线方程为，整理得. （2）因为直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为， 所以由题意得所求直线的倾斜角为，则斜率， 设所求直线为，将代入可得，解得， 所以所求直线方程为，整理得． 【变式6.1】（24-25高二上·湖北武汉·阶段练习）求分别满足下列条件的直线l的方程，化成一般形式. (1)经过点，且与x轴垂直； (2)斜率为－4，在y轴上的截距为7； (3)经过，两点. 【解题思路】（1）根据条件直接写出直线方程即可. （2）由条件利用斜截式求直线的方程，并化为一般式. （3）由条件利用两点式求直线的方程，并化为一般式. 【解答过程】（1）因为直线经过点，且与x轴垂直， 则直线方程为，即. （2）由题直线斜率为－4，在y轴上的截距为7， 由直线斜截式方程，得，化成一般式为. （3）由题直线经过，两点， 由直线两点式方程得，整理得. 【变式6.2】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）根据下列条件，写出下列直线方程的一般式： (1)经过点，且倾斜角为 (2)经过点，且一个方向向量为 (3)在中，点，求边上中线所在直线的方程 【解题思路】（1）求出直线的斜率，利用直线的斜截式方程求解即得. （2）利用直线的点斜式方程求解即得. （3）求出的中点坐标。进而求出斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. 【解答过程】（1）直线倾斜角为，则该直线的斜率，直线方程为， 所以所求直线方程为. （2）由直线的一个方向向量为，得该直线斜率为，方程为， 所以所求直线方程为. （3）由点，得边的中点为， 边上中线所在直线的斜率为，该直线方程为， 所以边上中线所在直线的方程为. 【变式6.3】（2025高二·全国·专题练习）（1）已知直线l的一般式方程为，请把一般式方程写成为斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐标轴上的截距； （2）根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式. ①斜率是，经过点； ②经过点，平行于x轴； ③在x轴和y轴上的截距分别是，； ④经过两点 【解题思路】（1）把直线方程化为斜截式及截距式，即可得到斜率及截距； （2）分情况根据直线方程的形式，直接写出直线方程并化为一般式即可. 【解答过程】（1）由l的一般式方程得斜截式方程为：， 截距式方程为：， 由此可知，直线的斜率为， 在x轴、y轴上的截距分别为－3，2. （2）①由点斜式得， 化为一般式为：. ②由斜截式得， 化为一般式为：. ③由截距式得， 化为一般式为：. ④由两点式得, 化为一般式为：. 【题型7 直线过定点问题】 【例7】（2025高二·全国·专题练习）直线，当变动时，所有直线都通过定点（    ） A． B． C． D． 【解题思路】直线方程转化为：，然后令，解方程即可求解． 【解答过程】解：直线方程转化为：， 令，解得， 所以直线过定点， 故选：A． 【变式7.1】（24-25高二上·四川宜宾·期中）无论为何值，直线都过一个定点，则该定点为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将直线方程整理成即可求得定点坐标. 【解答过程】将直线方程整理成， 令，解得，即直线经过定点. 故选：C. 【变式7.2】（24-25高二上·广东清远·期中）若直线的斜率，那么该直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】先求得过定点，再依据其斜率，即可得到该直线不经过第三象限. 【解答过程】直线可化为， 则直线过定点， 又直线斜率， 故该直线不经过第三象限. 故选：C. 【变式7.3】（24-25高二上·北京昌平·期中）已知直线， 则下述论断正确的是（    ） A．直线不可能经过坐标原点 B．直线的斜率可能为0 C．直线的倾斜角不可能是 D．直线恒过定点 【解题思路】当时，经过坐标原点；若，由斜率判断B；当，斜率不存在，从而判断C；将点代入直线方程判断D. 【解答过程】当时，经过坐标原点，故A错误； 若，直线的斜率存在，且斜率，不可能为0，故B错误； 若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角是，故C错误； 将点代入直线方程得：，即直线恒过定点，故D正确； 故选：D. 【题型8 直线与坐标轴围成三角形问题】 【例8】（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据直线方程得出与坐标轴交点坐标，即可求出结果. 【解答过程】由题知， 直线与轴交于点，与轴交于点， 所以围成的三角形的面积为． 故选：C. 【变式8.1】（24-25高二上·四川凉山·开学考试）经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【解题思路】由题意设直线为，根据直线与坐标轴所围成三角形的面积，应用三角形面积公式求参数k，即可确定直线方程. 【解答过程】由题意，直线斜率一定存在，设所求方程为，即. 由，得或. 故所求直线方程为或. 故选：D. 【变式8.2】（24-25高二上·江苏常州·期中）过点的直线l与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点．当的面积最小时，l的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】令直线为，根据已知及基本不等式可得，确定等号成立条件得，即可写出直线方程. 【解答过程】由题设，令直线为， 则，即， 当且仅当时等号成立，此时的面积最小为， 所以直线方程为. 故选：A. 【变式8.3】（2025高二·江苏·专题练习）直线l的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据正切的二倍角公式，结合三角形面积公式进行求解即可. 【解答过程】， 所以直线的斜率为负值，因此直线的倾斜角为钝角， 设直线l的倾斜角为，则 因为，所以或舍去 设直线l的方程为，则直线l与坐标轴的交点分别为，， 由，得， 故直线l的方程可能是，显然ABD不符合， ，或， 故选：C. 【题型9 直线方程的综合应用】 【例9】（24-25高二上·广东·期中）已知点，直线，若位于直线的两侧，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出直线所过定点，再由题意转化为直线与线段相交，求出过端点对应的斜率，数形结合得解. 【解答过程】由，可得， 所以直线恒过点， 则， 由题意，直线只需与线段相交（不包括端点）即可， 故的取值范围为. 故选：B. 【变式9.1】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知直线l：，则下列说法不正确的是（    ） A．直线l恒过点 B．若直线l与y轴的夹角为30°，则或 C．直线l的斜率可以等于0 D．若直线l在两坐标轴上的截距相等，则或 【解题思路】将方程化为判断直线过定点，判断A的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B的正误；讨论和时直线的斜率和截距情况，判断CD的正误. 【解答过程】直线的方程可化为， 所以直线过定点，故A正确； 因为直线与轴的夹角为， 所以直线的倾斜角为或， 而直线的斜率为，所以或， 所以或，故B正确； 当时，直线，斜率不存在， 当时，直线的斜率为， 不可能等于，故C错误； 当时，直线在轴上的截距不存在， 当时，令，得， 令，得，令， 得，故D选项正确. 故选：C. 【变式9.2】（23-24高二上·上海嘉定·期末）已知方程（）． (1)求该方程表示直线的条件； (2)当为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出此时的直线方程； (3)直线是否过定点，若存在直线过定点，求出此定点，若不存在，说明理由． 【解题思路】（1）先令，的系数同时为时得到，即得时方程表示一条直线； （2）由（1）知时的系数为，方程表示的直线的斜率不存在，即得结果； （3）分别求出斜率不存在和斜率为时的直线方程，再求出交点坐标，若存在定点，则定点一定是此交点，将交点坐标代入原方程，若方程恒成立，则此点是定点，反之则不是定点. 【解答过程】（1）当，的系数不同时为时，方程表示一条直线， 令，解得或； 令，解得或， 所以，的系数同时为零时， 故若方程表示一条直线，则， 即实数的取值范围为； （2）当的系数不为，的系数为时斜率不存在， 由（1）知当时，且，方程表示的直线的斜率不存在， 此时直线方程为； （3）不过定点，证明如下： 证明：当的系数为，的系数不为时斜率为， 由（1）知当时，且，方程表示的直线的斜率为， 此时直线方程为， 由（2）知，直线的斜率不存在时直线方程为， 由得交点为， 若直线过定点，则定点为， 将代入方程， 得， 整理得，解得或， 只有当或时，直线过， 直线不过定点. 【变式9.3】（24-25高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知一条动直线， (1)求直线恒过的定点的坐标； (2)若直线不经过第二象限，求m的取值范围； (3)若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，的面积为6，求直线的方程. 【解题思路】（1）将直线整理成直线系方程，求出定点坐标即可； （2）由直线不经过第二象限，分类整合求出m的取值范围即可. （3）由题意设出直线的截距式方程，代入定点，解出方程再化成一般式即可. 【解答过程】（1）由题意， 整理得，所以不管取何值时， 直线恒过定点的坐标满足方程组，解得， 即 （2）由上问可知直线恒过定点，当，直线斜率不存在时， 此时直线是，显然满足题意； 当时，由直线不经过第二象限，直线与轴有交点时， 则纵截距小于或等于零即可，令，则， 即 ，解得 ； 综上所述： （3）设直线方程为，则 ， 由直线恒过定点，得， 由整理得：， 解得或， 所以直线方程为：或， 即或， 又直线的斜率， 所以不合题意， 则直线方程为. 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·阶段练习）在轴与轴上截距分别为的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由截距式确定直线方程即可求解. 【解答过程】由题意可得直线方程为， 化简可得：， 所以，即倾斜角为. 故选:B. 2．（24-25高二上·福建泉州·期末）倾斜角为的直线过点，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据直线的倾斜角求斜率，利用点斜式可得直线方程. 【解答过程】因为直线的倾斜角为，所以其斜率为. 根据点斜式可得直线方程为：，即. 故选：D. 3．（24-25高二上·重庆·期末）过、两点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由截距式得到直线方程. 【解答过程】由截距式可得直线方程为，A正确，BCD错误. 故选：A. 4．（24-25高二上·浙江嘉兴·期末）经过点且倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据直线的倾斜角及直线方程即可求解. 【解答过程】根据题意，要求直线的倾斜角为，则该直线与x轴垂直，其斜率不存在， 又由直线过点 ， 则其方程为 故选：. 5．（24-25高二上·广东梅州·期末）已知直线经过点，且倾斜角为45°，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意求出直线的斜率，利用点斜式方程即可求得. 【解答过程】由题意知，直线的斜率为1，又经过点， 故直线的方程为，即. 故选：D. 6．（24-25高二上·浙江台州·期末）已知直线的一般式方程为，则（    ） A．直线的截距式方程为 B．直线的截距式方程为 C．直线的斜截式方程为 D．直线的斜截式方程为 【解题思路】将直线方程化为截距式、斜截式即可判别. 【解答过程】由得， 直线的截距式方程为：，即. 直线的斜截式方程为：. 故选：A. 7．（24-25高二上·贵州黔东南·期末）已知直线的倾斜角为，且过点，则在直线上的点是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求得直线的方程为，再验证. 【解答过程】解：因为直线的倾斜角为，且过点， 所以直线的方程为， 当时，. 故选：D. 8．（24-25高二上·河北邯郸·期末）已知直线l过原点O，将直线l绕点O顺时针旋转后，恰与y轴重合，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据倾斜角求出直线斜率得解. 【解答过程】因为y轴的倾斜角为， 所以直线l的倾斜角为，直线斜率， 所以直线l的方程为， 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高二上·浙江杭州·期末）下列说法正确的有（   ） A．直线倾斜角越大，斜率越大 B．过点的直线方程是 C．经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条 D．直线在y轴上的截距是 【解题思路】根据直线倾斜角与斜率的关系可得选项A错误；根据直线两点式方程的限制条件可得选项B错误；计算直线过原点和不过原点时的直线方程可得选项C正确；根据截距的概念可得选项D正确. 【解答过程】A.当直线倾斜角为钝角时，直线斜率，当直线倾斜角为锐角时，直线斜率，故A错误. B.当时，过点的直线方程是，故B错误. C.当直线过原点时，由直线过点可得直线斜率，故直线方程为. 当直线不过原点时，设直线方程为， 把点代入直线方程得，解得，故直线方程为， 综上得，经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条，故C正确. D.对于直线，令，得，故直线在y轴上的截距是，故D正确. 故选：CD. 10．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）下列说法正确的是（ ） A．若直线经过第一､二､四象限，则点在第三象限 B．直线过定点 C．斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为 D．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 【解题思路】根据直线的点斜式方程、斜截式方程逐一判断即可. 【解答过程】因为直线经过第一､二､四象限， 所以有，因此点在第二象限，所以选项A不正确； 由，所以直线过定点， 因此选项B正确； 斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为， 所以选项C不正确； 过点且斜率为的直线的点斜式方程为， 所以选项D正确， 故选：BD. 11．（23-24高二上·浙江舟山·期末）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 C．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为，则该直线方程为 D．过两点的直线方程为 【解题思路】求出直线的斜率判断A；求出直线的横纵截距计算判断B；举例说明判断CD. 【解答过程】对于A，直线的斜率为，其倾斜角为，A正确； 对于B，直线交轴分别于点， 该直线与坐标轴围成三角形面积为，B正确； 对于C，过点与原点的直线在两坐标轴上的截距都为0，符合题意， 即过点且在两坐标轴上的截距之和为的直线可以是直线，C错误； 对于D，当时的直线或当时的直线方程不能用表示出，D错误. 故选：AB. 三、填空题 12．（24-25高二上·上海·期末）对任意实数，直线总经过定点 ．（写出该定点坐标） 【解题思路】根据已知直线方程化简列方程组计算求解即可. 【解答过程】由直线，化简可得对任意实数都成立， 所以，所以定点为. 故答案为：. 13．（24-25高二上·湖北·期中）经过点，且在轴上的截距为轴上截距的2倍的直线方程为 或 . 【解题思路】分情况讨论直线是否过原点，然后根据不同情况求出直线方程. 【解答过程】当直线过原点时,因为直线过原点和点，则斜率. 直线方程为，即.   当直线不过原点时,设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为，直线的截距式方程为. 因为直线过点，将点的坐标代入截距式方程. 解得. 所以直线方程为，化为一般式为.   故所求直线方程为或. 故答案为：或. 14．（24-25高二下·上海·期中）直线 经过平面直角坐标系的第一、第二与第四象限，则实数 的取值范围是 . 【解题思路】由条件转化为关于直线特征的不等式，即可求解. 【解答过程】直线的斜率，，直线与轴的交点为，， 由题意可知，，解得：或. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二上·云南文山·期末）写出满足下列条件的直线的方程． (1)在y轴上的截距是2，且与x轴平行； (2)经过点，且与轴垂直； (3)斜率是，在y轴上的截距是7； 【解题思路】（1）易知斜率为0，可得直线方程； （2）易知倾斜角为，可得结果； （3）利用直线的斜截式方程计算可得结果. 【解答过程】（1）在y轴上的截距是2，且与轴平行， 则所求直线方程为，即 （2）经过点，且与轴垂直， 则直线方程为，即 （3）斜率是，在轴上的截距是7， 则直线方程为，即. 16．（24-25高三上·云南文山·期末）已知直线． (1)求恒过的定点的坐标； (2)若经过点，求直线的方程． 【解题思路】（1）整理直线方程，得到关于实数的方程组，求解方程组即可； （2）根据直线过点，将点代入直线方程，求出，得到直线方程.. 【解答过程】（1）由可得， 由解得，所以直线恒过点. （2）若经过点，所以，解得 所以直线的方程为. 17．（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）根据下列条件，写出直线方程的一般式： (1)经过点，且倾斜角为； (2)经过点和点 (3)经过点，在x，y轴上有相等的截距． 【解题思路】（1）由题知直线的斜率为，进而根据斜截式方程求解并化为一般式方程即可； （2）根据斜率公式得直线斜率为，进而根据点斜式方程求解并化为一般式方程即可； （3）分截距为0和不为0两种情况求解. 【解答过程】（1）因为直线经过点，且倾斜角为， 所以直线的斜率为，则直线方程为， 所以直线的一般方程为； （2）因为直线经过点和点， 所以直线斜率为，直线方程为， 所以直线的一般式方程为； （3）当直线在x，y轴上截距都为0时， 设直线方程为，则，得， 设直线方程为，即； 当直线在x，y轴上截距都不为0时， 由题设直线方程为， 因为直线过点，所以，解得， 所以直线的一般式方程为, 综上所述，所求直线为或. 18．（24-25高二上·浙江·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直线过点. (1)若直线又过点，求直线的方程； (2)若直线与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于，两点，求面积的最小值. 【解题思路】（1）由过两点可求直线的斜率，再由点斜式即可求解； （2）设：，代入，利用基本不等式可得，即可求解面积的最小值. 【解答过程】（1）因为过点，，所以斜率为， 所以：，即； （2）由题意可知直线的斜率存在且不为0， 设：， 代入得，得， 当且仅当时，等号成立， 所以，所以面积的最小值是8. 19．（24-25高二上·广东中山·阶段练习）已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线交坐标轴正半轴于两点，当面积最小时，求的周长. 【解题思路】（1）将直线方程改写成形式，解方程组即可得解. （2）设直线的方程为，求出点坐标，表示出面积，利用基本不等式求出面积的最小值得解. 【解答过程】（1）证明：由可得：， 令， 所以直线过定点． （2）由（1）知，直线恒过定点， 由题意可设直线的方程为，设直线与轴，轴正半轴交点分别为， 令，得；令，得， 所以面积 ， 当且仅当，即时，面积最小， 此时，，， 的周长为. 所以当面积最小时，的周长为. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$