1．2空间向量基本定理（思维导图+3大知识点+4大题型）（讲义）-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第一册）

1．2空间向量基本定理 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点01：空间向量基本定理及样关概念的理解 4 知识点2：空间向量的正交分解 4 知识点3：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 4 04 题型归纳，举一反三 5 题型一：基底的判断 5 题型二：基底的运用 5 题型三：正交分解 7 题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 7 知识点01：空间向量基本定理及样关概念的理解 空间向量基本定理： 如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得.其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底.此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式. 知识点2：空间向量的正交分解 单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示. 正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 知识点3：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立 题型一：基底的判断 【例1】（2025·高二·广东深圳·期末）已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【方法技巧与总结】 空间向量基底．不共面的三个向量构成空间向量的基底． 【变式1-1】（2025·高二·北京·期末）已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【变式1-2】（2025·高二·广东东莞·期末）已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【变式1-3】（2025·高二·山东临沂·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型二：基底的运用 【例2】（2025·高二·江苏宿迁·期中）在四面体OABC中，，，，点M在OA上，且，N为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1、空间中，任一向量都可以用一组基底表示，且只要基底确定，则表示形式是唯一的． 2、用基底表示空间向量时，一般要结合图形，运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则，以及数乘向量的运算法则，逐步向基向量过渡，直至全部用基向量表示． 3、在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底，例如，在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底． 【变式2-1】在三棱锥中，分别为线段的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·高二·新疆昌吉·期末）已知四面体，M、N分别是的中点，且，用表示（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 题型三：正交分解 【例3】（2025·高二·河北·期中）已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 正交基底的三个向量共起点. 【变式3-1】（2025·高二·河北保定·期中）定义：设是空间的一个基底，若向量，则称实数组为向量在基底下的坐标.已知是空间的单位正交基底，是空间的另一个基底.若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的模长为（    ） A．3 B． C．9 D．6 【变式3-2】（2025·高一·湖南长沙·期末）已知是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，用基底表示向量 . 【变式3-3】已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量 . 题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 【例4】（2025·高二·浙江台州·期末）如图，在直三棱柱中，，，. (1)用表示； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【方法技巧与总结】 应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行，可求两条异面直线所成的角等． 首先根据几何体的特点，选择一个基底，把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示． （1）若证明线线垂直，只需证明两向量数量积为0； （2）若证明线线平行，只需证明两向量共线； （3）若要求异面直线所成的角，则转化为两向量的夹角（或其补角）． 【变式4-1】（2025·高二·福建厦门·期中）如图，在矩形和中，，记. (1)将用表示出来； (2)当等于多少时，线段的长度取得最小值？求此时与夹角的余弦值. 【变式4-2】（2025·高二·山西晋城·期中）如图，三棱锥中，，分别是，上的点，且，，设，，． (1)试用，，表示向量； (2)已知，，且，若，求的值． 【变式4-3】在平行六面体中，，，.    (1)求的长； (2)求到直线的距离； (3)动点在线段上运动，求的最小值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．2空间向量基本定理 目录 01 题型归纳目录 3 02 思维导图 4 03 知识点梳理 5 知识点01：空间向量基本定理及样关概念的理解 5 知识点2：空间向量的正交分解 5 知识点3：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 5 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：基底的判断 6 题型二：基底的运用 8 题型三：正交分解 10 题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 12 知识点01：空间向量基本定理及样关概念的理解 空间向量基本定理： 如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得.其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底.此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式. 知识点2：空间向量的正交分解 单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示. 正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 知识点3：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立 题型一：基底的判断 【例1】（2025·高二·广东深圳·期末）已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【解析】对于A，设，无解， 所以，，不共面，能构成空间的一组基底，故A正确； 对于B，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故B错误； 对于C，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：A. 【方法技巧与总结】 空间向量基底．不共面的三个向量构成空间向量的基底． 【变式1-1】（2025·高二·北京·期末）已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】D 【解析】对于A选项，因为，则、、共面， 所以，、、不能构成空间的一组基底； 对于B选项，因为，则、、共面， 所以，、、不能作为空间的一组基底； 对于C选项，因为，则、、共面， 所以，、、不能作为空间的一组基底； 对于D选项，假设、、共面， 则存在、使得， 由于为空间的一组基底，则，该方程组无解， 故假设不成立，即、、不共面， 所以，、、可以作为空间的一组基底. 故选：D. 【变式1-2】（2025·高二·广东东莞·期末）已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】A 【解析】对于A选项，假设、、共面， 则存在、使得 ，所以，，无解， 所以，、、不共面，可以作为空间的一组基底； 对于B选项，因为，则、、共面， 则、、不能作为空间的一组基底； 对于C，因为，所以，、、共面， 则、、不能作为空间的一组基底； 对于D，，则、、共面， 则、、不能作为空间的一组基底. 故选：A. 【变式1-3】（2025·高二·山东临沂·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【解析】对于A，，向量，，共面，A不是； 对于B，，向量，，共面，B不是； 对于C，假定向量，，共面，则，而不共面， 于是，无解，因此向量，，不共面，C是. 对于D，，向量，，共面，D不是. 题型二：基底的运用 【例2】（2025·高二·江苏宿迁·期中）在四面体OABC中，，，，点M在OA上，且，N为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 . 故选：D 【方法技巧与总结】 1、空间中，任一向量都可以用一组基底表示，且只要基底确定，则表示形式是唯一的． 2、用基底表示空间向量时，一般要结合图形，运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则，以及数乘向量的运算法则，逐步向基向量过渡，直至全部用基向量表示． 3、在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底，例如，在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底． 【变式2-1】在三棱锥中，分别为线段的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意， ， 故选：A. 【变式2-2】（2025·高二·新疆昌吉·期末）已知四面体，M、N分别是的中点，且，用表示（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为M、N分别是的中点，所以， 所以. 故选：D 【变式2-3】如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为中点，所以， 因为，所以， 则． 故选： B. 题型三：正交分解 【例3】（2025·高二·河北·期中）已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为平面，平面， 所以，． 因为,即两两垂直， 又，，， 所以空间的一个单位正交基底可以为． 故选：B. 【方法技巧与总结】 正交基底的三个向量共起点. 【变式3-1】（2025·高二·河北保定·期中）定义：设是空间的一个基底，若向量，则称实数组为向量在基底下的坐标.已知是空间的单位正交基底，是空间的另一个基底.若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的模长为（    ） A．3 B． C．9 D．6 【答案】A 【解析】由题意得向量在基底下的坐标为：， 则， 所以向量在下的坐标为：， 所以模长为，故A项正确. 故选：A. 【变式3-2】（2025·高一·湖南长沙·期末）已知是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，用基底表示向量 . 【答案】 【解析】设， 即有， 因为是空间的一个单位正交基底， 所以有， 所以. 故答案为： 【变式3-3】已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量 . 【答案】 【解析】设， 依题意，，而空间的基底， 则，解得， 所以． 故答案为： 题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 【例4】（2025·高二·浙江台州·期末）如图，在直三棱柱中，，，. (1)用表示； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【解析】（1）， 故 ； （2）由（1）知，，两边平方得 因为三棱柱为直三棱柱，， 所以，故， ， 所以， 故. 因为，故， 设直线与直线所成角为， ， 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 【方法技巧与总结】 应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行，可求两条异面直线所成的角等． 首先根据几何体的特点，选择一个基底，把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示． （1）若证明线线垂直，只需证明两向量数量积为0； （2）若证明线线平行，只需证明两向量共线； （3）若要求异面直线所成的角，则转化为两向量的夹角（或其补角）． 【变式4-1】（2025·高二·福建厦门·期中）如图，在矩形和中，，记. (1)将用表示出来； (2)当等于多少时，线段的长度取得最小值？求此时与夹角的余弦值. 【解析】（1）由图知， . （2）由题意， 由（1） ， 所以当时有最小值即有最小值； 此时，， 故， 且， 设与的夹角为，则. 【变式4-2】（2025·高二·山西晋城·期中）如图，三棱锥中，，分别是，上的点，且，，设，，． (1)试用，，表示向量； (2)已知，，且，若，求的值． 【解析】（1） ． （2）由可得， 即， 即， 即， 即，． 【变式4-3】在平行六面体中，，，.    (1)求的长； (2)求到直线的距离； (3)动点在线段上运动，求的最小值. 【解析】（1）由题知，， 因为， 所以 ， 而， ， ， 所以， 即的长度为. （2）因为， 所以， 所以， 在中，， 所以， 即， 又因为， 所以平面， 而平面， 所以， 即为到直线的距离， 而， 所以三角形为等边三角形，即， 即到直线的距离为. （3）设， 则 ， 当时，这时的最小，且为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$