1．2空间向量基本定理（4大题型）（精练）-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第一册）

1．2空间向量基本定理 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：基底的判断 2 题型二：基底的运用 2 题型三：正交分解 3 题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 4 02 重难点拓展 7 题型一：基底的判断 1．（2025·高二·安徽黄山·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·高二·浙江宁波·期末）已知是空间的一个基底，则下列向量中与向量，能构成空间基底的是（   ） A． B． C． D． 3．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．已知是空间的一个基底，向量，，，若能作为基底，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二：基底的运用 5．（2025·高二·北京密云·期末）如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，，，则与向量相等的向量是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，则下面向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 7．在空间四边形中，点在线段上，且为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 8．（2025·高二·浙江绍兴·期末）在三棱柱中，为的中点，若，，，则可表示为（     ） A． B． C． D． 题型三：正交分解 9．设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（   ） A． B． C． D． 10．向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底，，下的坐标为，则在基底的坐标为（    ） A． B． C． D． 11．已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 12．（2025·高二·广东佛山·期中）定义：设是空间向量的一个基底，若向量，则称实数组为向量在基底下的坐标．已知是空间向量的单位正交基底，是空间向量的另一个基底．若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为 ． 题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 13．如图所示，平行六面体中，E，F分别在和上，，. (1)求证：A，，，四点共面； (2)若，求的值. 14．如图所示，平行六面体中，. (1)用向量表示向量； (2)求； (3)求的长度. 15．如图，在四面体中，平面，平面，为的中点，． (1)设，，，用表示； (2)若 （i）求 （ii）求． 16．如图，在空间中平移到，连接对应顶点，设分别是的中点，是上一点． (1)若为的中点，用向量法证明：； (2)若，问是否存在点使得，并说明理由． 17．如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.    (1)求证：共面； (2)当为何值时，； (3)若，且，求的长. 1．（2025·高二·福建南平·期末）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·高二·广东深圳·期末）在四面体中，为中点，为中点，则用，，表示为（   ） A． B． C． D． 3．在四面体中，为棱的中点，为线段的中点，若，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 4．（2025·高二·安徽阜阳·期末）如图，M是三棱锥的底面的重心．若，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 5．（2025·高二·云南红河·期末）对三维空间中不共线的三点和任一点，点在平面内的充要条件是存在唯一有序实数组，使且.现已知四点共面，为空间中任意一点，且满足，其中，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．4 6．（多选题）（2025·高二·甘肃定西·期中）有下列四个命题，其中不正确的命题有（    ） A．已知，，， 是空间任意四点，则 B．若两个非零向量 与 满足 ，则 C．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 D．对于空间的任意一点 和不共线的三点，，，若 ，则，，， 四点共面 7．（多选题）已知是棱长都是2的正四棱锥的棱的中点，空间中一点满足，且 ，当最小时，下列结论中正确的是（     ） A．为等边三角形 B． C．与底面所成角是 D．四棱锥的外接球的体积为 8．（多选题）在棱长为2的正方体中，E、F、G分别为的中点，点P为线段上的动点，则下列选项正确的是（   ） A． B．三棱锥的体积为定值 C．平面截正方体所得的截面面积为9 D．存在实数使得 9．如图，在的二面角中，且，垂足分别为，已知，则线段的长为 ．    10．如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，且，则向量的模长为 ．      11．在平行六面体中，，，，，则 . 12．在棱长为的正四面体中，、分别是、的中点，则 ． 13．在平行六面体中，已知底面四边形为矩形，，，，则 ． 14．（2025·高二·海南海口·开学考试）如图， 已知平面⊥平面，且，在上有两点A， B， 线段，线段，并且则线段的长为 ；    15．（2025·高二·云南楚雄·期末）在平行六面体中，，，M为的中点，则 . 16．（2025·高二·甘肃甘南·期中）如图，在平行六面体中 ，E，F 分别在和上，.    (1)求证：A，E，，F四点共面； (2)若，求x+y+z 的值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．2空间向量基本定理 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：基底的判断 2 题型二：基底的运用 4 题型三：正交分解 5 题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 7 02 重难点拓展 13 题型一：基底的判断 1．（2025·高二·安徽黄山·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为构成空间的一个基底，所以不共面， 对于A，因为，所以共面，故A错误； 对于B，因为，所以共面，故B错误； 对于C，设，则，方程组无解，所以不共面，故C正确； 对于D，因为，所以共面，故D错误； 故选：C. 2．（2025·高二·浙江宁波·期末）已知是空间的一个基底，则下列向量中与向量，能构成空间基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，因， 即与向量，共面，故不能构成基底，即A错误； 对于B，因， 即与向量，共面，故不能构成基底，即B错误； 对于C，不妨设， 则有，方程组无解，即与向量，不共面，故可构成基底，故C正确； 对于D，因， 即与向量，共面，故不能构成基底，即D错误. 故选：C. 3．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【解析】对于A，因为，所以，，共面； 对于B，因为，所以，，共面； 对于C，因为，所以，，共面； 对于D，假设三个向量共面，则存在实数，使得成立， 则方程组无解，所以，，不共面； 故选：D 4．已知是空间的一个基底，向量，，，若能作为基底，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若共面，由共面向量定理知，存在实数x，y，使得， 即． 因为，，不共面，所以，，， 解得，，，即当时，， 此时不能作为基底，所以若能作为基底， 则实数满足的条件是． 故选：B. 题型二：基底的运用 5．（2025·高二·北京密云·期末）如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，，，则与向量相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】, 故选：C. 6．如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，则下面向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由图可得， 故选：A. 7．在空间四边形中，点在线段上，且为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因点在线段上，且，则， 因为的中点，则， 则. 故选：B. 8．（2025·高二·浙江绍兴·期末）在三棱柱中，为的中点，若，，，则可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题得 . 故选：B 题型三：正交分解 9．设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，向量在基底下的坐标为， 所以 ， 所以向量在基底下的坐标是. 故选：A 10．向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底，，下的坐标为，则在基底的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设； 由题意可知， ，解得； 在基底下的坐标为． 故选：A． 11．已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设 ， 所以，解得， 所以向量在基底下的坐标为. 故选：A. 12．（2025·高二·广东佛山·期中）定义：设是空间向量的一个基底，若向量，则称实数组为向量在基底下的坐标．已知是空间向量的单位正交基底，是空间向量的另一个基底．若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为 ． 【答案】 【解析】因为向量在基底下的坐标为， 所以， 所以向量在基底下的坐标为， 故答案为： 题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 13．如图所示，平行六面体中，E，F分别在和上，，. (1)求证：A，，，四点共面； (2)若，求的值. 【解析】（1）证明： ， ，，，四点共面. （2） ， ，，， . 14．如图所示，平行六面体中，. (1)用向量表示向量； (2)求； (3)求的长度. 【解析】（1）在平行六面体中， . （2）因为，，， 所以，， ， 则 . （3）因为， 所以 ， 则. 15．如图，在四面体中，平面，平面，为的中点，． (1)设，，，用表示； (2)若 （i）求 （ii）求． 【解析】（1）如图所示， 连接，可得， 因为为的中点，， 所以， 所以 . （2）因为平面，平面，且平面，平面， 所以，所以， （i）. （ii）因为， 所以 ， 又因为， 所以， 所以. 16．如图，在空间中平移到，连接对应顶点，设分别是的中点，是上一点． (1)若为的中点，用向量法证明：； (2)若，问是否存在点使得，并说明理由． 【解析】（1）当为的中点时， ， ， 所以． （2）设，则 ， 由于，， 所以 ， 即，故不存在点使得． 17．如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.    (1)求证：共面； (2)当为何值时，； (3)若，且，求的长. 【解析】（1）在平行六面体中，连接， 因为， 所以， ， 所以，即且， 所以四边形为平行四边形，即共面. （2）当时，，理由如下， 设，且与、与、与的夹角均为， 因为底面为菱形，所以， ， ，                     若，则， 即， 即， 解得或舍去， 所以时， （3）， ， ， 所以 ，所以的长为 1．（2025·高二·福建南平·期末）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知， 因为，，，四点共面， 所以存在实数，使， 所以， 所以 ， 所以 ，所以． 故选：B. 2．（2025·高二·广东深圳·期末）在四面体中，为中点，为中点，则用，，表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在四面体中，为中点，为中点， 则. 故选：B. 3．在四面体中，为棱的中点，为线段的中点，若，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】 在四面体中，为棱的中点，为线段的中点， 可得 ， 所以 则. 故选：B. 4．（2025·高二·安徽阜阳·期末）如图，M是三棱锥的底面的重心．若，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】是三棱锥的底面的重心， ，由向量加法法则得， ， ， ， 而， ，，，，则，故B正确. 故选：B 5．（2025·高二·云南红河·期末）对三维空间中不共线的三点和任一点，点在平面内的充要条件是存在唯一有序实数组，使且.现已知四点共面，为空间中任意一点，且满足，其中，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】A 【解析】由题意知，即， 因为四点共面，所以，即， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 6．（多选题）（2025·高二·甘肃定西·期中）有下列四个命题，其中不正确的命题有（    ） A．已知，，， 是空间任意四点，则 B．若两个非零向量 与 满足 ，则 C．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 D．对于空间的任意一点 和不共线的三点，，，若 ，则，，， 四点共面 【答案】CD 【解析】对于A，已知 ，，，是空间任意四点， 则 ，故A正确； 对于B，若两个非零向量 与 满足 ， 则，，正确； 对于C，任何两个向量都是共面向量，不正确； 对于D，对于空间的任意一点 和不共线的三点，，， 若 ， 当且仅当 时，，，， 四点共面，故错误． 故选：CD. 7．（多选题）已知是棱长都是2的正四棱锥的棱的中点，空间中一点满足，且 ，当最小时，下列结论中正确的是（     ） A．为等边三角形 B． C．与底面所成角是 D．四棱锥的外接球的体积为 【答案】BC 【解析】因为，， 所以， 又因为，所以四点共面， 所以当为正方形的中心时，取得最小值， 对于A中， 根据正棱锥的性质，可得平面， 因为平面，所以，所以为直角三角形，所以A错误； 对于B中，在中，，可得， 在直角中，，所以为等腰直角三角形， 因为棱的中点，所以，所以B正确； 对于C中，因为平面，所以点在底面上的投影落在上， 所以为直线与平面所成的角， 又因为为等腰直角三角形，所以，所以C正确； 对于D中，在正四棱锥中，可得， 所以点为正四棱锥的外接球的球心，其中为外接球的直径， 所以正四棱锥外接球的体积为，所以D错误. 故选：BC. 8．（多选题）在棱长为2的正方体中，E、F、G分别为的中点，点P为线段上的动点，则下列选项正确的是（   ） A． B．三棱锥的体积为定值 C．平面截正方体所得的截面面积为9 D．存在实数使得 【答案】BD 【解析】对于A，连接， 因为分别为的中点，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又易求得， 所以，所以不垂直于， 所以不垂直于，故A错误； 对于B，取的中点，连接， 由E、F、G分别为的中点，所以可得， 又平面，平面，所以平面， 又易得，又平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面，又， 所以到平面的距离为定值，又为定值，所以三棱锥的体积为定值，故B正确. 对于C，连接，因为E、F分别为的中点， 所以易得，且，则四点共面， 所以平面截正方体所得的截面为四边形， 由题意可得， 所以四边形为等腰梯形，所以梯形的高为， 所以四边形的面积为，故C错误； 对于D，易知，又因为E、F分别为的中点， 所以，且，则四点共面， 所以四边形为梯形，又为相交直线， 所以存在实数使得，又因为且， 所以，所以存在实数使得，故D正确. 故选：BD. 9．如图，在的二面角中，且，垂足分别为，已知，则线段的长为 ．    【答案】10 【解析】因为，所以. 可得. 因为，，所以，，. 由于，则. 同理，. 已知二面角为，与的夹角等于二面角的补角，所以. 可得：. 可得. 故答案为：10. 10．如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，且，则向量的模长为 ．      【答案】 【解析】根据空间向量的线性表示可达，即可由模长公式求解. 故， 故， 故， 故答案为： 11．在平行六面体中，，，，，则 . 【答案】 【解析】 以为基底向量，可得， 则 ， ∴． 故答案为： 12．在棱长为的正四面体中，、分别是、的中点，则 ． 【答案】 【解析】连接，如下图所示： 由空间向量数量积的定义可得， 同理可得， ， 所以， . 故答案为：. 13．在平行六面体中，已知底面四边形为矩形，，，，则 ． 【答案】 【解析】在平行六面体中，，， 则，而，则， 而，则 ， 所以. 故答案为： 14．（2025·高二·海南海口·开学考试）如图， 已知平面⊥平面，且，在上有两点A， B， 线段，线段，并且则线段的长为 ；    【答案】 【解析】因为.可得. 展开可得：. 因为，所以； 又因为，，所以，即； 因为，所以. 已知，，，即，，，代入上式可得： . 对，可得，即线段的长为. 故答案为：. 15．（2025·高二·云南楚雄·期末）在平行六面体中，，，M为的中点，则 . 【答案】/ 【解析】在平行六面体中，，， ，M为的中点， ， 所以. 故答案为： 16．（2025·高二·甘肃甘南·期中）如图，在平行六面体中 ，E，F 分别在和上，.    (1)求证：A，E，，F四点共面； (2)若，求x+y+z 的值. 【解析】（1）证明： ， 所以A，E，，F四点共面. （2） ， ，，， . 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$