专题19.3 一次函数中的平移、对称与旋转（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（人教版）

专题19.3 一次函数中的平移、对称与旋转 · 典例分析 【典例1】如图1，在平面直角坐标系中，、，的面积为6． （1）求点A、B的坐标； （2）如图2，将线段向右平移m个单位，再向下平移m个单位后得到线段，若的面积为4，求m的值； （3）如图3，将线段平移得到线段，点B与点C对应，且，且，连交y轴于F，求的值． 【思路点拨】 （1）根据题意得，，，再由三角形面积即可求解； （2）设与y轴交于点D，分两种情况，①如图2，当点D在y轴正半轴时，由平移的性质得、，再由待定系数法求得直线的解析式为，进而求得，，再根据三角形面积列方程求解即可；②当点D在y轴负半轴时，同①得， ，再根据三角形面积列方程求解即可； （3）证，得，，即可求解． 【解题过程】 （1）解：∵、， ∴，，， ∴， ∴或（舍）， ∴、． （2）解：设与y轴交于点D，分两种情况： ①如图2，当点D在y轴正半轴时， 由平移的性质可知，、， 设直线的解析式为， 把、代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设线段向右平移m个单位所得的直线的解析式为，与x轴的交点坐标为， 则， 解得：， ∴， ∴直线与y轴的交点为， ∵线段再向下平移m个单位后得到线段， ∴， ∴， ∴， 解得：． ②如图2-1，当点D在y轴负半轴时， 由平移的性质可知，、， 由①得：， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，m的值为或； （3）解：由平移的性质得：，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的值为2． · 学霸必刷 1．（2025·广东汕头·一模）若直线与直线关于直线对称，则k、b值分别为（    ） A．、 B．、 C．、 D．、 【思路点拨】 本题考查了一次函数的图像与几何变换，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键．根据题意得到直线关于直线的对称点，然后利用待定系数法即可求解． 【解题过程】 解：直线与轴的交点为，与轴的交点为； 点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为， 把点、代入， 得：， 解得：，， 故选：A． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）若直线（为常数且）经过点，将直线向上平移3个单位长度后得到直线（为常数且，则下列关于直线的说法正确的是（   ） A．与轴的交点坐标是 B．若两点在上，且，则 C．点在上 D．经过第一、二、三象限 【思路点拨】 本题考查了一次函数的图象与性质，涉及平移问题，与坐标轴的交点问题，过象限的问题，熟练掌握知识点是解题的关键．先求出正比例函数解析式，再求出平移后的一次函数解析式，即可求出与轴交点判断A，利用增减性分析B选项，将代入平移后的一次函数解析式判断C，根据解析式直接判断过象限问题． 【解题过程】 解：∵直线（为常数且）经过点， ∴， 解得：， ∴ 则直线向上平移3个单位后得到， 当，则与轴的交点坐标是，故A错误，不符合题意； ∵，则随的增大的增大， 那么若两点在上，且，则，故B错误，不符合题意； 当时，，则点不在上，故C错误，不符合题意； 由于，则图象经过第一、二、三象限，故D正确，符合题意， 故选：D． 3．（24-25八年级下·四川宜宾·期中）如图，在平面直角坐标系中，的边落在轴的正半轴上，且点，直线以每秒1个单位的速度向下平移，当该直线将平行四边形的面积平分时向下平移的时间为（   ） A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒 【思路点拨】 本题考查了一次函数的性质，平行四边形的性质，连接，交于点，直线交轴于点，当直线经过点时，该直线可将平行四边形的面积平分，求出直线平移后的解析式为，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【解题过程】 解：如图，连接，交于点，直线交轴于点， 当直线经过点时，该直线可将平行四边形的面积平分， ∵四边形是行四边形， ∴， ∵，， ∴点， ∵直线由直线平移得到， ∴设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴直线要向下平移个单位得到直线， ∴平移的时间为， 故选：B． 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段的中点，点P为上一动点，值最小时点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题．根据一次函数解析式求出点、的坐标，再由中点坐标公式求出点、的坐标，根据对称的性质找出点关于轴的对称点的坐标，结合点、的坐标求出直线的解析式，令即可求出的值，从而得出点的坐标． 【解题过程】 解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时值最小，如图所示． 令中，则， 点的坐标为； 令中，则，解得：， 点的坐标为． 点、分别为线段、的中点， 点，点． 点和点关于轴对称， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 直线过点，， 有，解得：， 直线的解析式为． 令中，则， 解得：， 点的坐标为． 故选：D． 5．（24-25八年级上·陕西铜川·期末）已知在平面直角坐标系中，直线经过、两点，将直线向下平移个单位长度得到直线，下列关于直线的说法中，正确的是（   ） A．与坐标轴围成的三角形面积为 B．不经过第四象限 C．经过坐标原点 D．当时，的值为 【思路点拨】 本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的图象与性质．把点、向下平移个单位长度，得到点、，利用待定系数法求出直线的解析式是，根据一次函数的解析式的解析式可知直线与坐标轴的交点坐标，从而可求直线与坐标轴围成的三角形的面积；根据直线的走向和与轴的交点可知直线不经过第四象限；根据直线与轴交点纵坐标为，可知直线不过原点；把代入解析式可以求出． 【解题过程】 解：把点、向下平移个单位长度， 得到点、， 把点、代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 直线与轴的交点坐标为， 当，可得：， 解得：， 与坐标轴围成的面积是， 故A选项错误； 直线的解析式为， ， 随的增大而增大， 且直线与轴的交点在轴的正半轴， 直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故B选项正确； 直线与轴的交点在轴的正半轴， 不经过坐标原点， 故C选项错误； 当时，可得：， 故D选项错误． 故选：B ． 6．（2023·福建·一模）如图，的顶点，，点C在y轴的正半轴上，，将向右平移得到，若经过点C，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 过点B作轴于点G，根据，利用勾股定理，可求出点C的坐标；设直线的解析式为：，把，代入，求出解析式，根据点C在平移的直线，即可得解． 【解题过程】 解：过点B作轴于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴点； 设直线的解析式为：， ∴， 解得， ∴； 设向右平移n个单位长度得到， ∴直线的解析式为：， ∵点在直线上， ∴， ∴， ∴向右平移个单位长度得到， ∴点， 故选：C． 7．（2025·河北保定·一模）在平面直角坐标系中，点从原点出发，每次向上平移个单位长度或向右平移1个单位长度．例如：平移一次后点P的坐标为或；再如：平移两次后点P的坐标为或或．点从点出发经过次平移后，到达直线上的点Q，且平移的路径长不小于，不超过，则的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【思路点拨】 本题考查了坐标与图形变化平移，一次函数图象上点的坐标特征，读懂题目信息并理解点的坐标的横坐标与纵坐标的意义是解题的关键；根据点的坐标变化规律，可知点从点出发经过次，平移后，到达直线上的点，点的坐标为，再根据平移的路径长不小于，不超过，列不等式组求解； 【解题过程】 解：∵平移1次后点P的坐标为或， ∴设，所在的直线解析式为， 将点坐标代入得：， 直线解析式为：； ∵平移两次后点P的坐标为或或，且3点共线 ∴设，和所在的直线解析式为， 将点坐标代入得：， 直线解析式为：； ∵平移3次后点P的坐标为或或或，且4点共线 ∴设，，和所在的直线解析式为， 将点坐标代入得：， 直线解析式为：； ∴平移后解析式的值不变，常数项为， ∴平移次时，直线解析式为：，如图所示， 设点从点出发经过次平移后，到达直线上的点， 根据题意，可得， 解得：， 点的坐标为， ∴平移的路程长， ∵平移的路径长不小于，不超过， ， ， 点的坐标为正整数， 是的倍数，可以取、， 故选：D． 8．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）已知一次函数的图像与直线关于x轴对称，则一次函数的表达式为 ． 【思路点拨】 本题主要考查一次函数与几何变换问题，求一次函数表达式，首先求出直线与y轴的交点为，与x轴的交点为，然后根据题意求出一次函数与y轴的交点为，与x轴的交点为，然后利用待定系数法求解即可． 【解题过程】 解：，当时，， 当时，， ∴直线与y轴的交点为，与x轴的交点为， 一次函数的图像与直线关于x轴对称， 一次函数与y轴的交点为，与x轴的交点为， 设一次函数的解析式为， 把，代入得，， 解得：， 所以，一次函数的解析式为：． 故答案为：． 9．（23-24八年级上·山西晋中·期中）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点作轴，垂足为，将直线沿轴方向向下平移个单位长度得到的直线恰好经过点．若，则的值为 ．    【思路点拨】 先求出一次函数的表达式，根据平移可知平移后的解析式，最后把点代入即可． 【解题过程】 解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴， ∴一次函数表达式为， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴，解得， ∴一次函数的表达式为， 由直线沿轴方向向下平移个单位长度得到的直线， ∴直线的函数表达式为， ∵，且点位于轴的正半轴， ∴点的坐标为， ∵直线恰好经过点， ∴，解得， 故答案为：． 10．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰在第一象限，且 轴，直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中，直线被截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图所示，那么的面积为 【思路点拨】 本题考查了一次函数图像的平移，等腰三角形的性质，勾股定理，过点作于点，根据图形可得到，，由直线与轴的夹角为，得到，利用勾股定理即可求出，进而得到，再得到，根据三角形面积公式计算即可求解，从函数图像上获取信息，并掌握直线与轴的夹角为是解题的关键． 【解题过程】 解：如图，过点作于点，则 由图可得，当直线经过点时，，， 当直线向右平移经过点时，与相交于点， 此时，由图可得，，， ∴，， ∵直线与轴的夹角为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴正半轴上，点在点的左侧，直线经过点和点，且，将直线沿轴向下平移得到，若点落在矩形的内部（不含边界），则的取值范围是 ． 【思路点拨】 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象和性质，一次函数的几何应用，作于交于，把代入可得直线，设点坐标为，由可得，即得点坐标为，进而得点，点，分别把的坐标代入，求出的值即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【解题过程】 解：如图，作于交于， ∵直线经过点， ∴， ∴直线， 设点坐标为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点坐标为， ∴点，点， 把点代入得，， 解得； 把点代入得，， 解得； ∵点落在矩形的内部（不含边界）， ∴， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将沿轴向左平移2个单位得到，则图中阴影部分的面积为 ． 【思路点拨】 本题考查一次函数的图象与坐标交点，一次函数的平移，熟练掌握一次函数的平移，以及求一次函数与坐标轴交点的坐标是解题的关键．先求出一次函数与坐标轴交点和的坐标，再利用平移求出直线的解析式，求出其与坐标轴交点和的坐标，再求面积即可． 【解题过程】 解：如图， 当时，， 则， 当时，， 解得：， 则， ∵将沿轴向左平移2个单位得到， ∴直线向左平移2个单位得到直线，且， 则直线的解析式为， 时，， 则， ∴． 故答案为： 13．（23-24八年级下·河南新乡·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的面积为4，点C的坐标为，将直线向下平移m个单位长度后，与正方形有且只有一个交点，则m的值为 ． 【思路点拨】 本题考查全等三角形的判定与性质、坐标与图形、一次函数图象的平移、勾股定理等，求得点B和D的坐标是解答的关键．过B作轴于H，根据正方形的性质和坐标与图形求得，再证明得到，，则，，根据题意得到平移后的解析式为，由图知，当平移后的直线经过点D和点B时，与正方形有且只有一个交点，分别将点B、D坐标代入求得m值即可求解． 【解题过程】 解：过B作轴于H， ∵正方形的面积为4，点C的坐标为， ∴，，， ∴，则， ∵， ∴，又，， ∴， ∴，，则， ∴， 由题意，直线向下平移m个单位长度后的解析式为， 如图，当平移后的直线经过点D和点B时，与正方形有且只有一个交点， 将代入中，得； 将代入中，得， 综上，满足条件的m值为或． 14．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于，两点，将直线绕点逆时针方向旋转，则旋转后的直线与轴的交点坐标为 ． 【思路点拨】 设直线绕点逆时针方向旋转为直线：，过点作交于点，过点作轴，先求得点和点坐标，然后证明，得到，，从而得出点的坐标，然后利用待定系数法，求得和，最后算得旋转后的直线与轴的交点坐标． 【解题过程】 解：设直线绕点逆时针方向旋转为直线：，过点作交于点，过点作轴，如图所示： 直线与坐标轴分别交于，两点， 时，；时，； ，， ，， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 将，代入，得， ， ， 时，， 旋转后的直线与轴的交点坐标为． 故答案为：． 15．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点A，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，直线与y轴交于点D．将直线向上平移6个单位得到直线，直线与y轴交于点E，过点E作y轴的垂线，若点M为垂线上的一个动点，点N为x轴上的一个动点，当的值最小时，此时点M的坐标为 ． 【思路点拨】 由直线与坐标轴交点求法可求，，由平移的性质得直线：，从可得点是点关于直线对称，联立直线：与直线：，可求出，作点关于轴的对称点为，由点关于坐标轴对称规律得，连接交轴、于点、，则此时最小，最小值为：，由待定系数法求得直线为，即可求解． 【解题过程】 解：直线：， 当时， ， ， 同理可求：， 将直线向上平移6个单位得到直线， 直线： ， ， ， ， ， 点是点关于直线对称， 联立直线：与直线：得： ， 解得：， ， 如图，作点关于轴的对称点为， ， 连接交轴、于点、， 则此时最小， 最小值为：， 设直线为，则有 ， 解得：， 直线为， 当时， ， 解得：， ． 16．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B． （1）在直角坐标系中画出该函数的图象； （2）在同一坐标系中，画出直线关于y轴对称的直线； （3）求出这条对称直线的函数关系式． 【思路点拨】 本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数的图象和性质，关键是掌握一次函数的图象和性质． （1）先求出，的坐标，再用两点法画出函数图象； （2）根据关于轴对称的性质画出直线关于轴对称的直线； （3）用待定系数法求出函数解析式． 【解题过程】 （1）解：当时，；当时，， ，， 一次函数的图象如图所示： （2）解：点关于轴的对称点为， 直线关于轴对称的直线过点，， 函数图象如图所示： （3）解：由（2）可知，直线关于轴对称的直线过点，， 设对称直线的函数解析式为， 把点坐标代入得， 解得， 对称直线的函数解析式为． 17．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象是由的图象向上平移个单位得到的，并且与y轴交于点． （1）求一次函数的解析式； （2）若函数与一次函数相交于点，且的面积为，求的值． 【思路点拨】 本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象的平移规律等知识点，根据一次函数图象的平移规律得出的值是解题关键． （1）先根据一次函数图象的平移规律可得，再将点代入求解即可得； （2）先根据（1）的结论求出点的坐标，代入，即可求得． 【解题过程】 （1）解：根据函数图象平移关系可得，一次函数的解析式为：； （2）解：点是与轴的交点坐标， 时，， 即点坐标为，故， 设点的坐标为， 由的面积为2可得， ， 解得， 当时，， 点的坐标为， 把代入， 解得， 当时，， 点的坐标为， 把代入， 解得， 的值为或． 18．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，点P为坐标平面内一点． （1）将直线向下平移5个单位，所得直线的解析式是 　； （2）直接写出与直线关于x轴对称的直线的解析式； （3）若点P在x轴上，且，求点P的坐标； 【思路点拨】 本题考查次一函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，菱形的判定及性质，轴对称的性质是解题的关键． （1）由图形平移的性质求解即可； （2）求出A、B点坐标，然后求出A、B关于x轴的对称点坐标，由待定系数法求函数解析式即可； （3）由题意可知是等腰直角三角形，则，由此可求P点坐标． 【解题过程】 （1）解：直线向下平移5个单位，得到， 即， 故答案为：； （2）解∶令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴B点关于x轴的对称点， 设直线：关于x轴对称的直线解析式为， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵点P在x轴上，，， ∴ ∴点P在直线的两侧，， ∴或． 19．（24-25八年级上·广东茂名·期末）阅读材料： 通过一次函数的学习，小明知道：当已知直线上两个点的坐标时，可以用待定系数法，求出这个一次函数的表达式．有这样一个问题：如图，直线的表达式为，直线与轴、轴交于两点，若直线与直线关于轴对称，求直线的表达式．下面是小明的解题思路． 第一步：求出直线与轴的交点的坐标为，与轴的交点的坐标为； 第二步：在平面直角坐标系中，作出直线； 第三步：求点关于轴的对称点的坐标为； 第四步：由点，点，利用待定系数法，可得直线的表达式． （1）参考小明的解题思路和结论，解决问题：直线关于轴对称的直线的表达式为________； （2）如图，若过点且平行于轴的直线叫做直线，直线与直线关于直线对称，求直线的表达式； （3）如图，直线与直线关于直线对称，求直线的表达式． 【思路点拨】 （1）先求出与轴交点坐标为，，则与轴对称的点坐标为，，然后利用待定系数法即可求解； （2）直线与的交点坐标为，则点关于的对称点坐标为，设直线的解析式为，然后然后利用待定系数法即可求解； （3）由题意得，，则两点的坐标关于直线的对称点分别为，， 设直线的解析式为，然后利用待定系数法即可求解； 本题考查了一次函数的性质，轴对称的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【解题过程】 （1）解：由得，当时，当时，， ∴与轴交点坐标为，， ∴与轴对称的点坐标为，， 设直线关于轴对称的直线的表达式为， ∴，解得， ∴直线关于轴对称的直线的表达式为， 故答案为：； （2）解：∵直线与的交点坐标为， ∴点关于的对称点坐标为， 设直线的解析式为， 则 ，解得， ∴直线的表达式为； （3）解：由得，当时，，当时，， ∴，， ∴两点的坐标关于直线的对称点分别为，， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线 的表达式为． 20．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，直角三角板如图所示在平面直角坐标系内，，为坐标原点，作轴， ，若．    （1）点的坐标为___________；___________； （2）求边所在直线的表达式； （3）直线自与直线重合的位置向下平移，当其平分三角形面积时，直接写出直线的表达式． 【思路点拨】 （1）先在中，根据含直角三角形的性质及勾股定理，可求出点的坐标，再在中，根据含直角三角形的性质及勾股定理，可求出的长； （2）先根据含直角三角形的性质及勾股定理，可求出点的坐标，再根据待定系数法即可； （3）设与轴交于点，直线交于点，交于点，交轴于点，先求出，设，再求出点代入即可． 【解题过程】 （1）解：在中， ， ， ， 在中， ， ， 故答案为： （2）解：过作轴交于点．   ， 在中， ， ， 设直线所在直线的表达式为，把代入， 得， 解得：， 故直线所在直线的表达式为； （3）解：设与轴交于点，直线交于点，交于点，交轴于点， ， ， ， ，，， 设， ， 解得：，即， ， 是等边三角形，，即， 代入，得， 故直线的表达式为． 21．（2025九年级下·全国·学业考试）如图，在平面直角坐标系中，已知点，过点A的直线交y轴于点N．过点K且垂直于x轴的直线与过点A的直线交于点M．    （1）试判断的形状，并说明理由． （2）将所在的直线l向上平移，平移后的直线l与x轴、y轴分别交于点D，E．当直线l平移时（包括l与直线重合），在直线上是否存在点P，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）由题意求得，把代入求出直线解析式为，从而求出，根据勾股定理求出，得到和，即可得出结论； （2）存在，把代入．求出k，设直线l的解析式为．以点E为直角顶点：①当D在x轴正半轴，E在y轴负半轴上时，根据题意，点符合要求；②当D在x轴负半轴，E在y轴正半轴上时，过P作轴．证．得到，求出即可；以点D为直角顶点：①当点在第一象限，②当点在第四象限，同理证明全等，得到；综合以上结论即可得出答案． 【解题过程】 （1）解：的形状是等腰直角三角形． 理由：过点， ， ， 当时，， ． 把代入，得， ∴直线解析式为， 当时，， ． 又， ，，， ，， 是等腰直角三角形． （2）解：存在，点P的坐标为或或或． 理由：把代入，得， 解得：， ∴直线解析式为． 由平移得新直线l的解析式为， 则它与x轴的交点，与y轴的交点， ． 当以点E为直角顶点时， ①当D在x轴正半轴，E在y轴负半轴上时，如图，    根据题意，得点符合要求； ②当D在x轴负半轴，E在y轴正半轴上时，过P作轴于点Q， 为等腰直角三角形， ∴，， ∵ ∴ ∴ ， ， ， ， ， ， ∴点P的坐标为． 当以点D为直角顶点时， ①当点在第一象限，    同理可证， ，， ， ， ， ， ∴点P的坐标为； ②当点在第四象限，    同理可证，则，， ∴点P的坐标为． 综上，满足条件的，点P的坐标为或或或． 22．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点 ，与直线交于点点到轴的距离为，直线交轴于点 ． （1）求直线的函数表达式； （2）如图，点为线段上一点，将沿折叠后，点恰好落在 边上，求点坐标； （3）如图，将绕点逆时针方向旋转，得到，使点与点对应，点与点对应， 将沿着直线平移，点为直线上的动点，是否存在以为顶点的平行四边形？ 若存在，请直接写出点的坐标； 若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）由题意求得点C的坐标，由直角三角形的性质可求得点A 的坐标，由待定系数法即可求得直线的解析式； （2）由直线的表达式可求得点B的坐标，则由勾股定理逆定理可判定，易得，由折叠的性质及即可求得点P的坐标； （3）易得点G的坐标，得点G所在直线解析式，设点M、点G的坐标，利用平行四边形的对角线互相平分性质、中点坐标公式及分类讨论即可求解． 【解题过程】 （1）解：由题意知，点的纵坐标为，点在直线 上， 把代入得，， 解得， ∴，， ∵轴，，， ∴， ， 由勾股定理得, ∴， ∴， ∴， 把、代入得， ， 解得， ∴直线 的函数表达式为； （2）解：直线 的表达式为: ， 当 时，，则点 ， ， ，， ， ， ， 沿 折叠后,点 恰好落在 边上， ， ， ； 令 ，则 ， 根据 得：， 解得：， 故点 的坐标为 ； （3）解：由旋转性质知，，则， ∴关于x轴对称，且G与C关于x轴对称， ∴； ∵沿着直线平移， ∴点G在平行于直线的直线（记为）上运动； 设解析式为，把点G坐标代入得：， 得：， 即：； 当点G在上运动时，设其坐标为；设； 当为平行四边形的对角线时， 则， 解得：， ∴， 则； 当为平行四边形的对角线时， 则， 解得：， ∴， 则； 当为平行四边形的对角线时， 则， 解得：， ∴， 则； 综上，点M的坐标为或或． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19.3 一次函数中的平移、对称与旋转 · 典例分析 【典例1】如图1，在平面直角坐标系中，、，的面积为6． （1）求点A、B的坐标； （2）如图2，将线段向右平移m个单位，再向下平移m个单位后得到线段，若的面积为4，求m的值； （3）如图3，将线段平移得到线段，点B与点C对应，且，且，连交y轴于F，求的值． 【思路点拨】 （1）根据题意得，，，再由三角形面积即可求解； （2）设与y轴交于点D，分两种情况，①如图2，当点D在y轴正半轴时，由平移的性质得、，再由待定系数法求得直线的解析式为，进而求得，，再根据三角形面积列方程求解即可；②当点D在y轴负半轴时，同①得， ，再根据三角形面积列方程求解即可； （3）证，得，，即可求解． 【解题过程】 （1）解：∵、， ∴，，， ∴， ∴或（舍）， ∴、． （2）解：设与y轴交于点D，分两种情况： ①如图2，当点D在y轴正半轴时， 由平移的性质可知，、， 设直线的解析式为， 把、代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设线段向右平移m个单位所得的直线的解析式为，与x轴的交点坐标为， 则， 解得：， ∴， ∴直线与y轴的交点为， ∵线段再向下平移m个单位后得到线段， ∴， ∴， ∴， 解得：． ②如图2-1，当点D在y轴负半轴时， 由平移的性质可知，、， 由①得：， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，m的值为或； （3）解：由平移的性质得：，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的值为2． · 学霸必刷 1．（2025·广东汕头·一模）若直线与直线关于直线对称，则k、b值分别为（    ） A．、 B．、 C．、 D．、 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）若直线（为常数且）经过点，将直线向上平移3个单位长度后得到直线（为常数且，则下列关于直线的说法正确的是（   ） A．与轴的交点坐标是 B．若两点在上，且，则 C．点在上 D．经过第一、二、三象限 3．（24-25八年级下·四川宜宾·期中）如图，在平面直角坐标系中，的边落在轴的正半轴上，且点，直线以每秒1个单位的速度向下平移，当该直线将平行四边形的面积平分时向下平移的时间为（   ） A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段的中点，点P为上一动点，值最小时点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·陕西铜川·期末）已知在平面直角坐标系中，直线经过、两点，将直线向下平移个单位长度得到直线，下列关于直线的说法中，正确的是（   ） A．与坐标轴围成的三角形面积为 B．不经过第四象限 C．经过坐标原点 D．当时，的值为 6．（2023·福建·一模）如图，的顶点，，点C在y轴的正半轴上，，将向右平移得到，若经过点C，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 7．（2025·河北保定·一模）在平面直角坐标系中，点从原点出发，每次向上平移个单位长度或向右平移1个单位长度．例如：平移一次后点P的坐标为或；再如：平移两次后点P的坐标为或或．点从点出发经过次平移后，到达直线上的点Q，且平移的路径长不小于，不超过，则的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 8．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）已知一次函数的图像与直线关于x轴对称，则一次函数的表达式为 ． 9．（23-24八年级上·山西晋中·期中）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点作轴，垂足为，将直线沿轴方向向下平移个单位长度得到的直线恰好经过点．若，则的值为 ．    10．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰在第一象限，且 轴，直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中，直线被截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图所示，那么的面积为 11．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴正半轴上，点在点的左侧，直线经过点和点，且，将直线沿轴向下平移得到，若点落在矩形的内部（不含边界），则的取值范围是 ． 12．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将沿轴向左平移2个单位得到，则图中阴影部分的面积为 ． 13．（23-24八年级下·河南新乡·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的面积为4，点C的坐标为，将直线向下平移m个单位长度后，与正方形有且只有一个交点，则m的值为 ． 14．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于，两点，将直线绕点逆时针方向旋转，则旋转后的直线与轴的交点坐标为 ． 15．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点A，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，直线与y轴交于点D．将直线向上平移6个单位得到直线，直线与y轴交于点E，过点E作y轴的垂线，若点M为垂线上的一个动点，点N为x轴上的一个动点，当的值最小时，此时点M的坐标为 ． 16．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B． （1）在直角坐标系中画出该函数的图象； （2）在同一坐标系中，画出直线关于y轴对称的直线； （3）求出这条对称直线的函数关系式． 17．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象是由的图象向上平移个单位得到的，并且与y轴交于点． （1）求一次函数的解析式； （2）若函数与一次函数相交于点，且的面积为，求的值． 18．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，点P为坐标平面内一点． （1）将直线向下平移5个单位，所得直线的解析式是 　； （2）直接写出与直线关于x轴对称的直线的解析式； （3）若点P在x轴上，且，求点P的坐标； 19．（24-25八年级上·广东茂名·期末）阅读材料： 通过一次函数的学习，小明知道：当已知直线上两个点的坐标时，可以用待定系数法，求出这个一次函数的表达式．有这样一个问题：如图，直线的表达式为，直线与轴、轴交于两点，若直线与直线关于轴对称，求直线的表达式．下面是小明的解题思路． 第一步：求出直线与轴的交点的坐标为，与轴的交点的坐标为； 第二步：在平面直角坐标系中，作出直线； 第三步：求点关于轴的对称点的坐标为； 第四步：由点，点，利用待定系数法，可得直线的表达式． （1）参考小明的解题思路和结论，解决问题：直线关于轴对称的直线的表达式为________； （2）如图，若过点且平行于轴的直线叫做直线，直线与直线关于直线对称，求直线的表达式； （3）如图，直线与直线关于直线对称，求直线的表达式． 20．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，直角三角板如图所示在平面直角坐标系内，，为坐标原点，作轴， ，若．    （1）点的坐标为___________；___________； （2）求边所在直线的表达式； （3）直线自与直线重合的位置向下平移，当其平分三角形面积时，直接写出直线的表达式． 21．（2025九年级下·全国·学业考试）如图，在平面直角坐标系中，已知点，过点A的直线交y轴于点N．过点K且垂直于x轴的直线与过点A的直线交于点M．    （1）试判断的形状，并说明理由． （2）将所在的直线l向上平移，平移后的直线l与x轴、y轴分别交于点D，E．当直线l平移时（包括l与直线重合），在直线上是否存在点P，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点 ，与直线交于点点到轴的距离为，直线交轴于点 ． （1）求直线的函数表达式； （2）如图，点为线段上一点，将沿折叠后，点恰好落在 边上，求点坐标； （3）如图，将绕点逆时针方向旋转，得到，使点与点对应，点与点对应， 将沿着直线平移，点为直线上的动点，是否存在以为顶点的平行四边形？ 若存在，请直接写出点的坐标； 若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$