第06讲 解三角形中的最值、范围问题（思维导图+知识串讲+4大考点+复习提升）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第06讲 解三角形中的最值、范围问题 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 解三角形中的最值、范围问题 1、三角形面积和周长的最值、范围问题 （1）求周长：三角形周长等于三边和，但是有的时候需要转化 周长 （2）面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ） （3）求周长的模型： （4）基本不等式 ① ②(当且仅当时取“=”号) （5）利用三角恒等变换转化为内角有关的三角函数。 ①和差角公式：， ②辅助角公式： （其中）． 2、解题思路步骤 ①利用基本不等式：，再利用及，求出的取值范围或者利用 ②利用三角函数思想：，结合辅助角公式及三角函数求最值 【考点一：与面积有关的最值与范围问题】 一、解答题 1．（23-24高一下·广东广州·期中）已知的内角、、的对边分别为、、，. (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值. 2．（2024·山西·一模）中角所对的边分别为，其面积为，且. (1)求； (2)已知，求的取值范围. 3．（24-25高一下·广东深圳·阶段练习）记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知. (1)求； (2)若，求面积的取值范围. 4．（24-25高一下·吉林长春·期中）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，求的面积S的取值范围． 【考点二：与周长有关的最值与范围问题】 一、解答题 1．（24-25高一下·贵州黔南·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量，且． (1)判断的形状； (2)若，求周长的最大值． 2．（23-24高一下·浙江金华·阶段练习）在中，角的对边分别为，且向量，向量． (1)求角； (2)若，求周长的取值范围． 3．（24-25高一下·广东梅州·阶段练习）已知：的角A， B， C的对边分别为a， b， c． (1)求角A： (2)若  求周长的取值范围． 4．（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角B的大小； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 【考点三：与边有关的最值与范围问题】 一、解答题 1．（2024·上海宝山·一模）在中，已知. (1)若且，求的面积； (2)若求的取值范围. 2．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，． (1)若，求的面积； (2)若为钝角三角形，求a的取值范围． 3．（23-24高一下·重庆·期末）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)求的取值范围． 4．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）如图，在等边三角形中，，点，是边上的两动点，满足，记. (1)若，求的长； (2)求的最小值. 5．（24-25高一下·重庆·阶段练习）在中，角，，的对边分别是，，，且． (1)求的大小； (2)设的中点为，且，求的取值范围． 6．（24-25高一下·浙江·阶段练习）已知是锐角三角形，分别是角的对边，且有0．若在线段上的点满足且． (1)求角的度数； (2)求证：； (3)求的取值范围． 【考点四：与角有关的最值、范围问题】 一、单选题 1．（24-25高一下·福建泉州·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，若，，则当角取最大值时，的周长为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·浙江宁波·期末）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）已知锐角△ABC中，内角所对应的边分别为，且满足：，则角A的取值范围是 ． 三、解答题 4．（24-25高一下·辽宁·期中）已知为锐角三角形，角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足： (1)求角A的取值范围； (2)当角A取最大值时，若，求面积的取值范围． 5．（24-25高一下·新疆克拉玛依·期中）已知，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有． (1)求A； (2)若为锐角三角形，求B的取值范围； (3)在（2）的条件下，已知，求的取值范围． 一、单选题 1．（24-25高一下·河南洛阳·期中）在中，角，，的对边分别为，，，若，则当最大时，等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河南·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25高一下·重庆·阶段练习）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为 . 4．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）锐角中，角,,所对的边分别为,,，，且，则周长的取值范围为 三、解答题 5．（23-24高一下·山东烟台·期中）请在①向量，，且；②这两个条件中任选一个，填入横线上并解答． 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_______． (1)求B的大小： (2)若，求周长的取值范围； (3)若边上的高为1，求面积的最小值． 6．（24-25高一下·山东菏泽·阶段练习）已知，，分别为三个内角，，的对边，. (1)求角； (2)若，求的取值范围. 7．（24-25高一下·重庆·阶段练习）在锐角中，角A，B，C的对边分别是且． (1)求角的大小； (2)求的取值范围． 8．（2024高一下·福建·学业考试）在中，已知 (1)求角 (2)若，求边的取值范围. 9．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）在锐角中，角的对边分别为，已知 (1)求角； (2)若，求面积的取值范围. 10．（24-25高一下·江苏徐州·期中）在中，角的对边分别为为锐角三角形，已知，且满足条件. (1)求的大小； (2)求取值范围； (3)求的内切圆半径的最大值. 11．（23-24高一下·四川自贡·期末）在中，内角所对的边分别为． (1)若，求证：； (2)在（1）条件下，若均为锐角，求的取值范围． (3)若为锐角且，求周长的最小值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 解三角形中的最值、范围问题 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 解三角形中的最值、范围问题 1、三角形面积和周长的最值、范围问题 （1）求周长：三角形周长等于三边和，但是有的时候需要转化 周长 （2）面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ） （3）求周长的模型： （4）基本不等式 ① ②(当且仅当时取“=”号) （5）利用三角恒等变换转化为内角有关的三角函数。 ①和差角公式：， ②辅助角公式： （其中）． 2、解题思路步骤 ①利用基本不等式：，再利用及，求出的取值范围或者利用 ②利用三角函数思想：，结合辅助角公式及三角函数求最值 【考点一：与面积有关的最值与范围问题】 一、解答题 1．（23-24高一下·广东广州·期中）已知的内角、、的对边分别为、、，. (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理、诱导公式以及两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，结合三角形的面积公式可求得面积的最大值. 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理可得， 即， 所以，， 因为、，则，所以，，故. （2）解：由余弦定理可得 ，即， 当且仅当时，等号成立， 所以，， 故面积的最大值为. 2．（2024·山西·一模）中角所对的边分别为，其面积为，且. (1)求； (2)已知，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据面积公式以及余弦定理即可求解，进而可求解， （2）根据余弦定理结合不等式即可求解. 【详解】（1）因为三角形的面积为， 则， 所以，又，则； （2）由于，所以， 即，取等号， 故， 故 3．（24-25高一下·广东深圳·阶段练习）记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知. (1)求； (2)若，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）根据是锐角三角形求出角的取值范围，利用正弦定理三角恒等变换可得出关于角的三角关系式，利用正弦型函数的基本性质可求出的取值范围. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得 因为，则，所以， 又因为， 所以，则， 因为，则，即，所以. （2）因为是锐角的内角，又因为，所以，，得， 由正弦定理，得， 所以，， 所以 ， 由，得，所以， 即， 所以面积的取值范围是. 4．（24-25高一下·吉林长春·期中）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，求的面积S的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角恒等变换将式子变形即可求解； （2）由正弦定理可得，根据面积公式结合角的范围即可求解. 【详解】（1）因为 ， 所以，所以，因为为锐角三角形，所以； （2）因为，，所以， 由正弦定理得， 所以， 所以， 由可得，所以，所以， 所以，即. 【考点二：与周长有关的最值与范围问题】 一、解答题 1．（24-25高一下·贵州黔南·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量，且． (1)判断的形状； (2)若，求周长的最大值． 【答案】(1)为钝角三角形，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据向量垂直得到方程，结合正弦定理和余弦定理得到，所以为钝角三角形； （2）在（1）基础上，得到，由基本不等式求出最值. 【详解】（1），故， 由正弦定理得，即， 所以， 又，所以， 所以为钝角三角形； （2）由（1）知， 又，故， 即， 由基本不等式得，即， 解得，当且仅当时，等号成立， 所以，周长的最大值为 2．（23-24高一下·浙江金华·阶段练习）在中，角的对边分别为，且向量，向量． (1)求角； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算可得，即可由余弦定理求解， （2）根据余弦定理以及基本不等式即可求解，进而根据三角形三边关系即可求解. 【详解】（1）∵， ∴， 化简得， ∴ ∵， ∴． （2）由余弦定理得． ∵∴， 当且仅当时等号成立． ∴， ∴， 当且仅当时等号成立． ∴, 又∵，∴． ∴周长的取值范围为． 3．（24-25高一下·广东梅州·阶段练习）已知：的角A， B， C的对边分别为a， b， c． (1)求角A： (2)若  求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简即可求解，进而可求； （2）利用正弦定理、两角和差角正弦公式及辅助角公式进行化简后，再根据正弦函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理有，即， 所以， 因为，所以． （2）因为，所以由正弦定理得， 所以的周长 ， 因为，所以， 所以周长的取值范围是． 4．（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角B的大小； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式得到，即可得解; （2）利用正弦定理将转化为关于A的三角函数，结合三角形为锐角三角形求出A的范围，即可求出的范围得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， ， ，则，，又，； （2）在中，由正弦定理， ， ， 又为锐角三角形，， ，， ，，， 故周长的取值范围为． 【考点三：与边有关的最值与范围问题】 一、解答题 1．（2024·上海宝山·一模）在中，已知. (1)若且，求的面积； (2)若求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合正弦定理、余弦定理和面积公式即可求解； （2）结合基本不等式求最值和三角形边的关系即可求解. 【详解】（1）由正弦定理得，又，从而，         由得，            从而，                               所以的面积. （2）由，            又，当且仅当时取等号，       从而，所以，                        又因为中，，从而，                       所以的范围是. 2．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，． (1)若，求的面积； (2)若为钝角三角形，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到和，利用三角形面积公式求出答案； （2）由三角形三边关系求出，利用计算出，从而得到答案. 【详解】（1）由及正弦定理，则． 当时，，，由余弦定理，， 从而，此时的面积． （2）由于，，由三角形三边关系可得，即， 解得． 由于C为的最大内角，故， 即，解得． 由于，则． 3．（23-24高一下·重庆·期末）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换即可求解， （2）根据正弦定理，结合三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）由及正弦定理得：． ，可得：, ，且是锐角三角形， ，可得：． （2）,，． ，,． ． . 4．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）如图，在等边三角形中，，点，是边上的两动点，满足，记. (1)若，求的长； (2)求的最小值. 【答案】(1)1 (2). 【分析】（1）根据条件可知，，从而确定点的位置，即可求解； （2）和中，利用正弦定理表示，即可得到，并利用三角函数表示，利用换元，结合基本不等式，即可求解最值. 【详解】（1）， 易知此时为直角三角形，则为中点，与重合， （2）在中，， 在中，， 换元：令，则 当且仅当，即时取等号. 的最小值为. 5．（24-25高一下·重庆·阶段练习）在中，角，，的对边分别是，，，且． (1)求的大小； (2)设的中点为，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角，结合辅助角公式化简求解即可； （2）设，则，由正弦定理得到， 进而可求解； 【详解】（1）根据题意可得， 即， 则． 因为，所以， 即， 故，又，解得； （2） 设，则，， 根据正弦定理可得， 所以，， 所以 ， 由，得，所以， 故的取值范围为． 6．（24-25高一下·浙江·阶段练习）已知是锐角三角形，分别是角的对边，且有0．若在线段上的点满足且． (1)求角的度数； (2)求证：； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式和两角和的余弦公式、诱导公式求解； （2）利用余弦定理证明； （3）利用正弦定理可得，再根据三角恒等变换公式可得，再根据正弦函数的性质即可求解范围. 【详解】（1）因为，且， ． 所以， 所以或， 因为，所以或或． 因为是锐角三角形，所以． （2） 设，则, 在中,由余弦定理可得，, 即，即， 在中,由余弦定理可得，, 即，即， 所以． 即． （3）由（2）知： ， 即， 由正弦定理可知，， 所以， ， ， 又 ． 锐角三角形， ， 所以，即， 所以的取值范围为． 【考点四：与角有关的最值、范围问题】 一、单选题 1．（24-25高一下·福建泉州·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，若，，则当角取最大值时，的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件得出，结合基本不等式可求得的最小值，即可得出角的最大值，利用等号成立的条件可得出，进而得出，结合可得出各边边长，即可得解. 【详解】因为，，则， 由余弦定理可得， 当且仅当时，即当时等号成立，即， 因为余弦函数在上单调递减，且，故， 故的最大值为，此时，则， 再由可得，则，此时的周长为. 故选：B. 2．（23-24高一下·浙江宁波·期末）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合条件由余弦定理可得，再由，结合正切函数的和差角公式以及基本不等式代入计算可得，即可得到结果. 【详解】因为，且，则， 由余弦定理可得，所以， 即，由正弦定理可得， 其中，则，所以， 又， 化简可得， 且为锐角三角形，则， 所以， 即， 解得或（舍）， 所以，当且仅当时，等号成立， 则的最大值为. 故选：B 【点睛】关键点睛：本题主要考查了余弦定理，正切函数的和差角公式以及基本不等式求最值问题，难度较大，解答本题的关键在于由余弦定理得到，然后结合基本不等式代入计算，即可求解. 二、填空题 3．（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）已知锐角△ABC中，内角所对应的边分别为，且满足：，则角A的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由余弦定理及正弦定理化简得到，得到，或，再结合锐角三角形讨论即可. 【详解】由， 可得：， 由正弦定理可得：， 再由余弦定理：， 再结合正弦定理可得：， 所以， 即， 即， 因为是锐角三角形，, 所以，或， 当时，又, 所以，即， 所以，此时为直角，舍去， 当时， 可得：，即， 同时：，即， 综上角A的取值范围是， 故答案为： 三、解答题 4．（24-25高一下·辽宁·期中）已知为锐角三角形，角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足： (1)求角A的取值范围； (2)当角A取最大值时，若，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理角化边可配凑得到的取值范围，根据为锐角三角形可求得的取值范围； （2）法一：由正弦定理可得，进而，转化为的函数，求得的范围，可求面积的范围.法二：，利用余弦定理，结合锐角三角形求得的范围，可求面积的范围. 【详解】（1）由题意知 得， 由正弦定理可得：，即， ∴， 又，所以A的取值范围为； （2）由（1）知：； 法一、由正弦定理得：， 所以， ， 又A+B+C=π，则， ， 因为为锐角三角形， ∴，即，解得：， 则，， 所以， 所以的面积的取值范围为. 法二、求b的范围 ，， 因为为锐角三角形， 所以，即， 解得，， 所以的面积的取值范围为. 5．（24-25高一下·新疆克拉玛依·期中）已知，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有． (1)求A； (2)若为锐角三角形，求B的取值范围； (3)在（2）的条件下，已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用余弦定理将已知条件转化为关于角的方程，解出角的值； （2）结合三角形内角和及锐角三角形的条件通过角度关系确定的范围； （3）应用正弦定理将边转化为角的正弦表达式，通过三角恒等变换化简目标式，结合角度范围求取值. 【详解】（1）由余弦定理可得：， 所以， 解得：，因为，所以. （2）为锐角三角形，所以， 所以，解得：. （3）因为，，所以由正弦定理可得：， 所以 因为，所以， 所以，所以的取值范围为. 一、单选题 1．（24-25高一下·河南洛阳·期中）在中，角，，的对边分别为，，，若，则当最大时，等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理及已知得，应用正弦边角关系、三角恒等变换有，进而有，即均为锐角，最后应用差角正切公式、基本不等式求最大值，并确定取值条件即可得. 【详解】由，而，联立并整理得， 所以， 所以，则，显然均为锐角， 所以， 当且仅当，时取等号，故，此时. 故选：C 2．（24-25高一下·河南·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦及正弦定理可得，利用三角恒等变换可得，再由两角和的正切公式得出，即可利用单调性求出取值范围. 【详解】由，可得， 所以， 即， 由正弦定理，， 所以， 可得， 因为，所以三角形不为直角三角形， 所以两边同除以可得， 由知，所以为锐角， 由可得 因为， 令时，为增函数， 所以，所以. 故选：B 二、填空题 3．（24-25高一下·重庆·阶段练习）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】法一：应用正弦边角关系得，再由余弦定理、锐角三角形内角性质及二倍角余弦公式可得，进而有，，即可得，即可求范围；法二：应用正余弦定理有，结合锐角三角形内角性质得，后续同法一. 【详解】法一：由正弦定理角化边得， 由， 所以. 由， 因为为锐角三角形，所以，， 所以， 所以，则，， 因为为锐角三角形，，解得， 设，则，. 法二：由正弦定理角化边得. 由余弦定理，则. 由正弦定理，则. 则， 由为锐角三角形，得，. 所以，即，后续同法一. 故答案为： 4．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）锐角中，角,,所对的边分别为,,，，且，则周长的取值范围为 【答案】 【分析】先利用正余弦定理及两角和正弦公式化简题干得出，再利用锐角三角形即可求解角范围，再利用正弦定理求出，得出关于角的函数，最后求该函数的值域即可. 【详解】，由余弦定理得，即， 由正弦定理得， 所以， 又， 所以，又为锐角三角形，所以， 又，所以，， 所以， 又，解得，所以，所以， 则， 故周长的取值范围是. 故答案为： 三、解答题 5．（23-24高一下·山东烟台·期中）请在①向量，，且；②这两个条件中任选一个，填入横线上并解答． 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_______． (1)求B的大小： (2)若，求周长的取值范围； (3)若边上的高为1，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）若选①，利用平面向量垂直的坐标表示及正弦定理边化角计算即可；若选②，先正弦定理角化边，化简变形后利用余弦定理计算即可； （2）利用余弦定理、基本不等式及三角形三边关系计算即可； （3）利用三角形面积公式、余弦定理及基本不等式计算即可. 【详解】（1）选择①：因为，所以， 由正弦定理得，， 即， 即， 因为，所以，所以， 又，所以． 选择②：因为， 由正弦定理得，， 即，即， 即，即， 由余弦定理得，， 又，所以． （2）由余弦定理得，， 即，即， 所以，得，当且仅当时取得等号， 所以周长的取值范围为． （3）由面积公式，得， 由余弦定理可得，即， 所以，所以，当且仅当“”时等号成立 所以， 所以面积的最小值为． 6．（24-25高一下·山东菏泽·阶段练习）已知，，分别为三个内角，，的对边，. (1)求角； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用正弦边角关系及和角正弦公式得，再由三角形内角的性质及辅助角公式得，即可得角的大小； （2）由正弦定理得，应用三角恒等变换化为，且即可求范围. 【详解】（1）由正弦定理知，而， ∴， 即，又， ∴，即，又， ∴，则. （2）由正弦定理知， 所以， 因为，从而，所以， 从而的取值范围为. 7．（24-25高一下·重庆·阶段练习）在锐角中，角A，B，C的对边分别是且． (1)求角的大小； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正余弦定理对式子进行化简，求出角； （2）结合角的大小以及三内角和等于180度，将目标式子化简成关于角B的函数，再求出目标的范围. 【详解】解：（1）因为， 所以由正弦定理可得， 由余弦定理可得，即， 所以. 因为，所以； （2）因为，所以，所以， 则． 因为是锐角三角形，所以解得， 所以，所以，则， 即的取值范围是． 8．（2024高一下·福建·学业考试）在中，已知 (1)求角 (2)若，求边的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用边转角及正弦的和角公式，得到，即可求解； （2）根据条件，利用正弦定理得到，从而得到，即可求解. 【详解】（1）由，得到， 所以，又，则， 得到，所以. （2）由正弦定理知，又，所以，， 由，得到，整理得到， 所以，又， 所以， 得到，其中， 又，， 则，， 则，解得， 所以边的取值范围为. 9．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）在锐角中，角的对边分别为，已知 (1)求角； (2)若，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用正弦定理边角互化，结合三角恒等计算； （2）运用正弦定理，结合三角函数计算值域即可. 【详解】（1）由正弦定理得：， 即， ， ， ，又； （2）由正弦定理得：, , ， 在锐角中：，解得：， ， ,， 则. 10．（24-25高一下·江苏徐州·期中）在中，角的对边分别为为锐角三角形，已知，且满足条件. (1)求的大小； (2)求取值范围； (3)求的内切圆半径的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求出. （2）利用正弦定理，结合和差角的正余弦公式求出的范围. （3）利用三角形面积公式可得，结合（2）中信息求出最大值即可. 【详解】（1）由，得， 在锐角中，由余弦定理得，而， 所以. （2）由（1）知，，则，令，由锐角，得， 由正弦定理得，则， 因此 ， 由，得，则，， 所以的取值范围是. （3）由（2）得， 又，则，由， 得， 则当，即时，， 所以的内切圆半径的最大值. 11．（23-24高一下·四川自贡·期末）在中，内角所对的边分别为． (1)若，求证：； (2)在（1）条件下，若均为锐角，求的取值范围． (3)若为锐角且，求周长的最小值． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角形的内角和的性质，化简得到，进而证得； （2）根据题意求得，由化简得到，结合对勾函数的单调性即可求解； （3）整理可得，分类讨论之间的大小关系，可得，进而可得，结合基本不等式运算求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 又因为， 代入可得，即， 因为，则，故， 可得或，即或（舍去）， 所以． （2）因为为锐角三角形，，所以， 由题意可得，解得； 因为， 因为，则，可得， 令，则在上单调递增， 且，可知， 所以的取值范围为． （3）因为， 可得， 因为为锐角，则有： 若，即，则， 且在内单调递增， 可得，且，， 即，， 可得，不合题意； 若，即，则， 且在内单调递增， 可得，且，， 即，， 可得，不合题意； 若，即，则，， 即，， 可得，符合题意； 综上所述：，即，可得， 又因为，即， 可得， 当且仅当时，等号成立， 则，所以周长的最小值为. 【点睛】关键点点睛：对于第三问：整理可得，分类讨论之间的大小关系，进而可得. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$