第05讲 正、余弦定理解三角形（思维导图+知识串讲+7大考点+复习提升）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第05讲 正、余弦定理解三角形 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 正、余弦定理和三角形面积公式 1、正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ； ； . 常见变形 (1)，，； (2)，，； ； ； . 2、三角形面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ） 注：(1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及＝＝，可先求出角C及b，再求出c． (2)已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccos A，先求出a，再求出角B，C． (3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C． (4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理＝可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，可求出角C，再由＝可求出c，而通过＝求角B时，可能有一解或两解或无解的情况． 知识点02 公式的相关应用 1、正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： 2、内角和定理： ① ②； 3、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： （1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）代数变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到． 4、三角形中的射影定理 在 中，；；． 知识点03 对三角形解的个数的研究 1、已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. 2、已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三 角形不能被唯一确定. 3、从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知 a,b和A，解三角形为例加以说明. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： （1）若B=>1，则满足条件的三角形的个数为0； （2）若B==1，则满足条件的三角形的个数为1； （3）若B=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<B=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三 角形内角和等于”等，此时需进行讨论. 知识点04 测量问题的基本类型和解决思路 1、解三角形的实际应用 （1）仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)． （2）方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)． （3）方向角：相对于某一正方向的水平角． (1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)． (2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． (3)南偏西等其他方向角类似． （4）坡角与坡度 (1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)． (2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比． 2、测量距离问题的基本类型和解决方案 当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 A,B间不可达也不可视 测得AC=b，BC=a，C的大小，则由余弦定理得 B, C与点A可视但不可达 测得BC=a，B，C的大小，则A=π-(B+ C)，由正弦定理得 C,D与点A,B均可视不可达 测得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度数.在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB. 3、测量高度问题的基本类型和解决方案 当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 底部 可达 测得BC=a，C的大小，AB=a·tan C. 底部不可达 点B与C,D共线 测得CD=a及∠ACB与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值. 点B与C , D不共线 测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值. 4、测量角度问题的解决方案 测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方 位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可. 【考点一：正、余弦定理求三角形的边与角】 一、单选题 1．（24-25高一下·云南·期中）在中，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据已知数据结合余弦定理直接求解即可. 【详解】在中，， 即，化简得， 解得或（不合题意，舍去）， ， 故选：C. 2．（24-25高一下·吉林·期中）在，角，，所对的边分别为，，．已知，，，则角为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据正弦定理得，再由小边对小角得解. 【详解】因为，，， 根据正弦定理，则， 得， ， 所以或， 因为，所以， 所以. 故选：C 3．（24-25高一下·山东淄博·期中）在中，角的对边长分别为.若，则（    ） A．17 B．7 C．34 D．13 【答案】A 【分析】由两角和的正弦公式求得，再结合正弦定理即可求解. 【详解】由，易得， 由 由正弦定理，可得， 故选：A 4．（24-25高一下·江苏南通·期中）在等腰直角中，，点将三等分，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，易得，再应用余弦定理求，由同角三角函数关系求其正切值. 【详解】设，则，则， 故，同理， 所以，又，则， 所以. 故选：C 二、解答题 5．（24-25高一下·河北邢台·期中）在中，，，分别是角，，的对边，且. (1)求的大小； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再结合三角恒等变换可得解； （2）利用余弦定理列方程，解方程即可. 【详解】（1）由已知， 根据正弦定理可得， 即， 则， 又在中，， 即， 又，，所以，， 由，所以； （2）由余弦定理可知， 即， 即， 解得或. 6．（24-25高一下·天津·期中）已知的内角所对的边分别为，且满足， (1)求角的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由正弦定理边角转化结合余弦定理计算求解； （2）先应用二倍角公式结合两角和差正弦公式计算求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 整理得， 由余弦定理可得， 且，所以. （2）由正弦定理知， 又 ， ， . 7．（24-25高一下·海南·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，已知. (1)若，求的外接圆面积； (2)若，求角. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）设的外接圆的半径为，由条件利用正弦定理化边为角可得，化简可得，由此可求，再求的外接圆面积； （2）由正弦定理化边为角，结合（1）可得，利用三角恒等变换公式可得，结合角的范围及特殊角三角函数值可得结论. 【详解】（1）设的外接圆的半径为，由正弦定理可得， 所以， 在中，由， 可得，又 所以 所以 所以， 所以， 而，所以，即， 因为为内角，所以，所以 所以，故， 所以外接圆的面积为， （2）由，可得， 在中，由正弦定理得，由（1） 所以， 因为，所以， 所以， 则，得， ，或， 或. 【考点二：判断三角形形状】 一、单选题 1．（24-25高一下·湖北·期中）设的面积为，角所对的边分别为，且，若，则此三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】根据计算得出角，因为利用正弦定理和余弦定理得到，从而判断三角形形状. 【详解】因为，所以， 则，因为，所以， 又，所以， 由，所以，， 所以为等腰直角三角形. 故选：D. 2．（24-25高一下·全国·课堂例题）在中，角，，所对的边分别为，，，且，若，则三角形的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】先由余弦定理和已知得到，再由正弦定理得，代入得到即可判断三角形形状. 【详解】在中，角，，所对的边分别为，，，且， 则．由于，故． 由于，利用正弦定理，得，所以，故， 所以为等边三角形． 故选：D. 3．（24-25高一下·福建福州·期中）在中，的对边分别为，若，则的形状为（） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理将边化角，再由二倍角公式及三角函数的性质判断即可． 【详解】由题可得， 由正弦定理可得， 所以， 又，则， 所以或， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形． 故选：D 4．（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不确定的 【答案】C 【分析】由正弦定理，结合题意，可得边的等量关系与角的不等关系，根据余强定理，可得答案. 【详解】因为，，所以，， 所以，，易知，即， 设，则，，则， 可得，所以是锐角三角形. 故选：C. 5．（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状是（    ） A．等腰三角形但不是直角三角形 B．直角三角形但不是等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】利用正弦定理和余弦定理即可求解. 【详解】由，， 所以， 由正弦定理有， 又由余弦定理有， 所以， 所以，即， 又，所以是直角三角形但不是等腰三角形. 故选：B. 【考点三：判断三角形解的个数】 一、单选题 1．（24-25高一下·广西河池·阶段练习）在三角形中，，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】利用正弦定理求角，利用大边对大角确定角的范围即可求解. 【详解】由可得：，所以， 又，则， 所以． 故选：A 2．（2024高一·全国·专题练习）在中，已知，则此三角形的解的情况是（   ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 【答案】C 【分析】根据正弦定理计算出，结合正弦值的范围判断. 【详解】由正弦定理得， 则, 故不存在，即满足条件的三角形不存在． 故选：C 3．（23-24高一下·福建南平·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，已知，则此三角形（    ） A．无解 B．一解 C．两解 D．解的个数不确定 【答案】C 【分析】由正弦定理可得，进而可求，可得结论. 【详解】由正弦定理，得，解得 ， 因为，所以 ， 又因为，所以或， 故此三角形有两解. 故选：C. 4．（24-25高一下·甘肃白银·期中）已知的内角的对边分别为，且有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件有两解，计算求参. 【详解】因为有两解， 得，得． 故选：B. 5．（24-25高一下·山东·期中）在中，，，若满足上述条件的有且仅有一个，则边长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用正弦定理得，再由有唯一一个得出或，即可求解. 【详解】在中利用正弦定理得，则， 若满足上述条件的有且仅有一个，则或， 则或， 则边长的取值范围是. 故选：C 6．（23-24高一下·湖北孝感·期中）在中，分别为角所对边，已知，，，若满足条件的角有两个不同的值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理用表示出，结合题意得到关于的不等式，解不等式即可. 【详解】由正弦定理，可得，所以， 若满足条件的角有两个不同的值，即三角形有两解， 所以，则，即，解得. 故选：C. 【考点四：证明解三角形中的恒等式与不等式】 一、解答题 1．（23-24高一·上海·课堂例题）在中，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用正弦定理边化角推理即得. （2）利用余弦定理推理即得. 【详解】（1）在中，由正弦定理得，其中为外接圆半径， 所以. （2）在中，由余弦定理得，即， 同理，， 所以， 即. 2．（24-25高一下·上海·期中）（1）在中，已知，求证：； （2）在中，已知，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用余弦定理化简即得证； （2）利用正弦定理化边为角，根据和角的正弦公式代入化简，利用同角的基本关系式化弦为切即可得证. 【详解】（1）由和余弦定理，可得，化简得：，即得； （2）由和正弦定理，可得， 因， 代入上式并整理得：(*)， 因是的内角，故，， 将（*）两边同除以，可得. 3．（23-24高一下·河南·阶段练习）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求B； (2)若，且，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由正弦二倍角公式进行求解即可； （2）根据余弦定理，结合已知进行运算证明即可. 【详解】（1）因为，即， 所以．因为，所以； （2）由余弦定理得，所以， 即．① 因为，所以．② 将②代入①，得， 整理得．因为，所以． 4．（24-25高一下·湖南·期中）已知中，. (1)求； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由辅助角公式化简即可得解； （2）由余弦定理及基本不等式得出不等关系，再由正弦定理即可得证. 【详解】（1）由辅助角公式可得， 即，则， 又，故. （2）设中角的对边分别为， 由余弦定理且， 可得， 当且仅当时取等， 故. 由正弦定理可得， 又，故，即，得证. 5．（24-25高一下·河南·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知． (1)证明：； (2)证明：； (3)若点D在线段AB上，，，求a的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简可求，进而求得，本题得证； （2）利用反证法证明即可； （3）由条件可得，得到，再结合条件及即可求得a的值. 【详解】（1）证明：由正弦定理可得，即， 由余弦定理， 得， 又，故． （2）证明：若，则是等边三角形，则， 而由可知，矛盾，故，得证． （3）因为，， 所以， 由相似可知， 又， 故， 又，代入得， 解得（负值舍去）， 即a的值为． 【考点五：三角形面积公式的应用】 一、单选题 1．（24-25高一下·江西萍乡·期中）在中，若，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式求解. 【详解】在中，由余弦定理得，而， 则，解得，， 所以的面积为. 故选：D 2．（24-25高一下·浙江·阶段练习）已知的面积为，则边的长度为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的面积公式以及余弦定理求解. 【详解】因为，可得， 所以， 故选:D． 3．（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）记的内角的对边分别为.若的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的面积公式和正弦定理求解. 【详解】由题知，，即， 由正弦定理，， 其中是外接圆半径， 由于，两边约分后可得. 故选：A 4．（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）在中，角所对的边分别为，且的面积，则（    ） A．8 B． C． D．4 【答案】D 【分析】由，可求出，再由结合余弦定理可求出，从而可求出的值. 【详解】因为，， 所以，得， 因为， 所以由余弦定理得，， 所以， 所以，所以， 因为，所以. 故选：D 5．（24-25高一下·云南昭通·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，表示的面积，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形面积公式及余弦定理可得，结合诱导公式化简可得，再利用正弦定理得，即可求得角B. 【详解】由，可得, 所以， 由正弦定理，可得，化简得，即， 故选：C． 6．（24-25高一上·湖南郴州·期末）在中，内角的对边分别为，为BC边上一点，且，则的面积为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，可求，可求的面积. 【详解】因为在中，，又为边上一点，且， 所以， 又， 所以， 所以，解得， 所以. 故选:D. 【考点六：实际问题中距离、高度、角度的测量】 一、单选题 1．（24-25高一下·天津·期中）已知甲船位于灯塔的北偏东方向，且与相距3海里，乙船位于灯塔的北偏西方向，若两船相距海里，则乙船与灯塔之间的距离为（    ） A． B．2 C． D．5 【答案】B 【分析】由图结合余弦定理可得答案. 【详解】设甲船位于点处，乙船位于点处， 则由题意可得，，，， 则由余弦定理可得： 即，即，得， 故乙船与灯塔之间的距离为海里. 故选：B. 2．（23-24高一上·山东泰安·阶段练习）公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一水平面上.某人在点处测得楼顶的仰角为，他在公路上自西向东行走，行走60米到点处，测得仰角为，沿该方向再行走60米到点处，测得仰角为.则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】画出相应图形后计算出点到该楼的距离，结合勾股定理与正弦定义计算即可得. 【详解】如图所示，由题意有，， 则有，故， 则， 故， 则. 故选：A. 3．（24-25高一下·天津滨海新·期中）山西应县木塔，始建于1056年，是世界上现存最高大、最古老的纯木楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”．某同学为了估算水塔的高度，他在塔的附近找到一座建筑物，高为10m，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得木塔顶部M，建筑物顶部A的仰角分别为60°和15°，在A处测得木塔顶部M的仰角为30°，则可估算木塔的高度为（   ）m． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中，得，在中，得，在中得，代入数值即可求得的值. 【详解】， 在中，， 在中，， 则， 由正弦定理，得，所以， 在中，. 故选：D. 4．（24-25高一下·福建厦门·期中）某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，其中B是AC的中点.如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为米，则该建筑的高度（    ） A．米 B．10米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】根据三角形余弦定理求解即可． 【详解】设米，在中， 已知所以在 中 已知所以在 中 已知所以因为B是的中点，且米， 所以米．又因为所以 在中，由余弦定理可得： 解得所以米． 故选： 5．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 【答案】D 【分析】由正弦定理可得，由余弦定理得，由正弦定理得，即可求. 【详解】如图，    由题意，在中，，，， 由正弦定理得， 所以， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以， 由正弦定理得， 所以， 因为，故为锐角， 故，此时灯塔C位于渔船的北偏西方向. 故选：D. 6．（24-25高一下·山东·期中）如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，，在同一个铅垂平面内．在点测得的俯角分别为，在点测得的俯角分别为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先在中，利用正弦定理求，在中利用余弦定理求，再在中，利用余弦定理求. 【详解】因为在点测得，的俯角分别为，， 所以，， 因为在点测得，的俯角分别为，， 所以，， 在中，已知， 由正弦定理得， 所以； 因为，则， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 因为，，故， 在中，由余弦定理得：， 故，所以， 故选：B. 【考点七：解三角形中的图形问题 】 一、解答题 1．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期中）如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，交于，.      (1)求的度数； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形内角和的关系求解即可； （2）先利用两角和的正弦公式求出，再根据三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）由已知得， ，， 所以 是等腰三角形，， 所以， 所以. （2）由（1）知中，，， 又， 所以. 2．（2024·河南·模拟预测）如图，在四边形中，的面积为．    (1)求； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设，根据面积得到方程，求出，在中，利用余弦定理求出，进而求出，从而求出的值； （2）在中，由正弦定理得，结合（1）中，由角的范围得到. 【详解】（1）设， 因为的面积为， 所以，解得， 所以． 在中，由余弦定理得， 所以． 在中，，所以， 所以； （2）由（1）可得， 在中，由正弦定理得， 所以，且． 由（1）可得，又， 所以． 3．（24-25高一下·海南海口·阶段练习）如图，在中，，，，为内一点，且． (1)若，求的长； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，先求出，再在中，利用余弦定理求解即可； （2）设，则，在中，利用正弦定理求出，再在中，求出，进而可得出答案. 【详解】（1）在中，， 则， 所以， 在中，由余弦定理得 ， 所以； （2）设，则， 在中，因为， 所以, 在中，, 所以，即， 所以，即. 4．（23-24高一上·安徽·期末）如图,在中,的平分线交边于点,点在边上,,,.    (1)求的大小; (2)若,求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）因为是的角平分线,所以,在中利用余弦定理求出的长,再次利用余弦定理即可求出的大小. （2）在中,由正弦定理求出的长,再根据四边形内角和为可得到,从而求出的值,再利用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）因为是的角平分线,所以, 在中,根据余弦定理得, 所以, 则, 因为, 所以. （2）因为,所以, 在中,由正弦定理得, 在四边形中,, 所以, 则. 5．（23-24高一下·重庆·阶段练习）如图，已知在平面四边形中，，，． (1)若该四边形存在外接圆，且，求； (2)若，求． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据外接圆得到，在中，有余弦定理得，在中，利用余弦定理求出； （2）设，则，由正弦定理得到方程组，求出，由正弦定理求出答案. 【详解】（1）因为四边形存在外接圆，则， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 解得； （2）设，则， 分别在、中用正弦定理可得 ，则， ，则， ，则或（舍）， 故. 6．（23-24高一下·河南·阶段练习）如图，D为所在平面内一点且点B，D位于直线的两侧，在中，．    (1)求的大小； (2)若，，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件得，在中，由余弦定理得即可； （2）设，，在和中都由正弦定理得，，即，最后化简即可. 【详解】（1）因为在中，， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 因为在中，，所以． （2）法1：在中，设，， 则由正弦定理得，即，① 又在中，，， 则由正弦定理得， 即，② 则由①②两式得，，即， 展开并整理得，即，所以， 因为在中，，所以， 把代入①式得，． 法2：延长、交于，则，则，故， 故，故即，故， 故. 一、单选题 1．（24-25高一下·山东淄博·期中）的内角的对边分别为，若，，，则（   ） A．15° B．45° C．105° D．15°或105° 【答案】D 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理可得，， 因为，所以或，经检验均符合题意， 所以或. 故选：D 2．（24-25高一下·海南省直辖县级单位·期中）在中，角所对边的长分别为.若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由余弦定理可得，由平方关系可得. 【详解】因为， 所以由余弦定理得，， 所以. 故选：D. 3．（24-25高一下·广东佛山·期中）在中，角的对边分别是，且，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不确定的 【答案】A 【分析】根据题意，利用余弦定理，得到，再由，代入整理得，进而得到，即可得到答案. 【详解】在中，由余弦定理得， 因为，可得， 代入上式，整理得，即，所以， 所以，所以为等腰三角形. 故选：A. 4．（24-25高一下·江西·期中）如图，为了测量某楼的高度，测量人员选取了与该楼AB在同一铅垂面内的楼CD，B，C在同一水平直线上，现测得，在楼底B点处测得楼CD的顶点D的仰角为，在点D处测得楼AB的顶点A的仰角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，，，利用正弦定理可得结果. 【详解】在中，则，即． 在中，则，， 由正弦定理得，，所以． 故选：D． 5．（24-25高一下·天津和平·期中）在中，若，则的形状是（   ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】用正、余弦定理进行边角互化解题即可. 【详解】解：，可得， 由余弦定理可得，整理可得：，即， 所以或，即或 ∴的形状是等腰或直角三角形. 故选：C 6．（23-24高一下·陕西商洛·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据正弦定理化边为角，根据同角三角函数的基本关系得，再利用余弦定理得，即可得解. 【详解】根据题意，由正弦定理可得：， ，所以，， 化简得，， 由余弦定理，， 即，所以. 故选：B 7．（24-25高一下·江苏镇江·期中）在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，，若有两解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理求出关于的表达式，再结合三角形有两解的条件确定的取值范围. 【详解】已知，，，由正弦定理可得： ，即. 因为，所以. 要使有两解，则，且，此时的取值范围是. 由，且，可得.得到. 的取值范围是， 故选：B. 8．（23-24高一下·福建·期末）如图，某观察站B在城A的南偏西20°的方向，由城A出发的一条公路走向是南偏东40°，在B处测得公路上距B处7km的C处有一人正沿公路向A城走去，走了2km之后到达D处，此时B，D间的距离为km．要达到A城，这个人还要走（ ） A．6km B．km C．km D．7km 【答案】A 【分析】先在中利用余弦定理求出，则可得，再利用同角三角函数的关系求出，然后在中利用正弦定理可求出结果. 【详解】由题意得，在中，， 由余弦定理得, 因为， 所以， 因为， 所以， 在中，，由正弦定理得 由正弦定理得， 所以. 故选：A 9．（23-24高一下·重庆·期末）已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（   ） A．120° B．135° C．150° D．165° 【答案】A 【分析】由面积公式得到，再将切化弦，结合两角和的正弦公式、诱导公式得到，利用正弦定理将角化边得到，由余弦定理得到，最后利用余弦定理计算可得. 【详解】在中，，又， 则，而， 则，即，又，则， 而， 由，得，即， 由正弦定理得，由余弦定理 因此，即，则， 由余弦定理，又， 所以. 故选：A 二、多选题 10．（24-25高一下·河南·期中）在中，内角所对的边分别为，则下列各组条件中使得有两个解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】BC 【分析】通过余弦定理解的个数来判断三角形解的个数，也可以通过正弦定理大边对大角来判断解的个数. 【详解】因为，，，由余弦定理得， 所以，即，方程无解，故A错误； 因为，，，由余弦定理得， 所以，即， 所以，且有两个正根，所以有两个解，故B正确； 因为，，所以，又， 所以有两个解，故C正确； 因为，，， 由余弦定理得， 所以，所以有1个解，故D错误． 故选：BC． 11．（24-25高一下·湖北十堰·期中）下列结论正确的是（   ） A．中，若，则为锐角三角形 B．锐角三角形中， C．中，若，则 D．中，若，则为锐角三角形 【答案】BCD 【分析】根据边角关系，结合正弦定理以及三角恒等变换，逐项判断即可. 【详解】对于A，，又 所以，化简得，所以、中有一个为钝角，所以错误； 对于B，因为为锐角三角形，所以，即， 且，，所以，即，所以正确； 对于C，由正弦定理，又，所以，所以C正确； 对于D，又可得，易得，均为锐角，所以， 化简得，即，所以也为锐角，所以D正确. 故选：BCD 三、解答题 12．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）已知△ABC内角的对边分别为，设. (1)求； (2)若的面积为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合余弦定理求出，即可得到结果； （2）根据题意，由三角形的面积公式可得，结合余弦定理即可得到结果. 【详解】（1）因为，整理，得， 由余弦定理，得 因为，所以； （2）， ， 由（1）得，， ， . 13．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）在中，角，，的对边为，，，已知，且. (1)若，求； (2)证明：; 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据，，然后结合正弦定理以及二倍角公式解得. （2）根据（1），然后结合余弦定理证明即可； 【详解】（1）依题意，，所以，即， 由正弦定理可知，，即， 从而， A为三角形内角，故. （2）由（1）可知，，由余弦定理可得：， 即， 则，又， 故， 从而. 14．（24-25高一上·云南·阶段练习）在四边形中，. (1)求的大小； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意利用余弦定理可得，结合勾股定理分析求解； （2）分析可知，利用正弦定理运算求解即可. 【详解】（1）在中，由余弦定理得， 由，得，可得. （2）因为， 由（1）得，且， 所以，， 在中，由正弦定理得， 所以. 15．（24-25高一下·福建莆田·期中）在中，边的长分别为. (1)利用向量知识证明：； (2)在中，.求的值及的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）根据向量的线性运算，即可根据模长公式求解， （2）根据余弦定理可得，，即可根据面积公式求解. 【详解】（1） 在中，∵， ∴ . ∵边的长分别为 ∴，，， ∴. （2）在中，所以是锐角， 由，可得，而， 所以， 可得，则， 故. 16．（24-25高一下·河南·期中）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)证明：； (2)若D为的中点，且，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用余弦定理得到，再由基本不等式得到，利用正弦定理将边化角，即可得证； （2）依题意可得，将两边平方，结合数量积的运算律得到，最后由基本不等式计算可得. 【详解】（1）由余弦定理， 所以，又，当且仅当时取等号， 所以，即， 由正弦定理可得，又，所以，， 所以. （2）因为D为的中点， 所以，所以， 又，所以， 所以，所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 17．（24-25高一下·贵州黔西·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线交边于点．若，求：    (1)的值； (2)求的面积与的面积之比． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，由余弦定理求出，在中，由余弦定理求，再利用正弦定理即可求出； （2）利用三角形的面积公式，求出与的面积即可. 【详解】（1）由题意知，垂直平分，则， 在中，， 整理得， 即，所以或． 因为，所以， 所以． 在中，由余弦定理得． 所以． 由，，得． 在中，由正弦定理得， 即， 所以． （2）由（1）可知，，，，则： ， ， 故. 18．（24-25高一下·山西晋城·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若点是线段上的一点，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知边化角，结合两角和的正弦公式化简可得.结合角的范围即可得出答案； （2）由已知可得，，.设，则，.进而在中，中，中，多次使用余弦定理求解可推得.进而根据二倍角公式以及同角三角函数基本关系式求解得出.进而即可根据角的范围得出答案. 【详解】（1）易知 由以及正弦定理边化角可得， ， 整理可得. 又，， 所以，，. （2）    由已知可得，所以为锐角，，，. 设，则，， 在中，由余弦定理可得 ， 所以. 在中，由余弦定理可得 . 在中，由余弦定理可得 ， 即， 整理可得， 平方可得， 整理可得. 所以有， 解得，所以. 又为锐角，所以. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 正、余弦定理解三角形 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 正、余弦定理和三角形面积公式 1、正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ； ； . 常见变形 (1)，，； (2)，，； ； ； . 2、三角形面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ） 注：(1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及＝＝，可先求出角C及b，再求出c． (2)已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccos A，先求出a，再求出角B，C． (3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C． (4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理＝可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，可求出角C，再由＝可求出c，而通过＝求角B时，可能有一解或两解或无解的情况． 知识点02 公式的相关应用 1、正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： 2、内角和定理： ① ②； 3、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： （1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）代数变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到． 4、三角形中的射影定理 在 中，；；． 知识点03 对三角形解的个数的研究 1、已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. 2、已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三 角形不能被唯一确定. 3、从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知 a,b和A，解三角形为例加以说明. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： （1）若B=>1，则满足条件的三角形的个数为0； （2）若B==1，则满足条件的三角形的个数为1； （3）若B=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<B=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三 角形内角和等于”等，此时需进行讨论. 知识点04 测量问题的基本类型和解决思路 1、解三角形的实际应用 （1）仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)． （2）方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)． （3）方向角：相对于某一正方向的水平角． (1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)． (2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． (3)南偏西等其他方向角类似． （4）坡角与坡度 (1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)． (2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比． 2、测量距离问题的基本类型和解决方案 当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 A,B间不可达也不可视 测得AC=b，BC=a，C的大小，则由余弦定理得 B, C与点A可视但不可达 测得BC=a，B，C的大小，则A=π-(B+ C)，由正弦定理得 C,D与点A,B均可视不可达 测得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度数.在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB. 3、测量高度问题的基本类型和解决方案 当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 底部 可达 测得BC=a，C的大小，AB=a·tan C. 底部不可达 点B与C,D共线 测得CD=a及∠ACB与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值. 点B与C , D不共线 测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值. 4、测量角度问题的解决方案 测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方 位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可. 【考点一：正、余弦定理求三角形的边与角】 一、单选题 1．（24-25高一下·云南·期中）在中，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25高一下·吉林·期中）在，角，，所对的边分别为，，．已知，，，则角为（   ） A． B．或 C． D．或 3．（24-25高一下·山东淄博·期中）在中，角的对边长分别为.若，则（    ） A．17 B．7 C．34 D．13 4．（24-25高一下·江苏南通·期中）在等腰直角中，，点将三等分，则（   ） A． B． C． D． 二、解答题 5．（24-25高一下·河北邢台·期中）在中，，，分别是角，，的对边，且. (1)求的大小； (2)若，，求的值. 6．（24-25高一下·天津·期中）已知的内角所对的边分别为，且满足， (1)求角的值； (2)求的值. 7．（24-25高一下·海南·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，已知. (1)若，求的外接圆面积； (2)若，求角. 【考点二：判断三角形形状】 一、单选题 1．（24-25高一下·湖北·期中）设的面积为，角所对的边分别为，且，若，则此三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2．（24-25高一下·全国·课堂例题）在中，角，，所对的边分别为，，，且，若，则三角形的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 3．（24-25高一下·福建福州·期中）在中，的对边分别为，若，则的形状为（） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 4．（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不确定的 5．（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状是（    ） A．等腰三角形但不是直角三角形 B．直角三角形但不是等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【考点三：判断三角形解的个数】 一、单选题 1．（24-25高一下·广西河池·阶段练习）在三角形中，，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 2．（2024高一·全国·专题练习）在中，已知，则此三角形的解的情况是（   ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 3．（23-24高一下·福建南平·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，已知，则此三角形（    ） A．无解 B．一解 C．两解 D．解的个数不确定 4．（24-25高一下·甘肃白银·期中）已知的内角的对边分别为，且有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·山东·期中）在中，，，若满足上述条件的有且仅有一个，则边长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·湖北孝感·期中）在中，分别为角所对边，已知，，，若满足条件的角有两个不同的值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【考点四：证明解三角形中的恒等式与不等式】 一、解答题 1．（23-24高一·上海·课堂例题）在中，求证： (1)； (2)． 2．（24-25高一下·上海·期中）（1）在中，已知，求证：； （2）在中，已知，求证：． 3．（23-24高一下·河南·阶段练习）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求B； (2)若，且，证明：． 4．（24-25高一下·湖南·期中）已知中，. (1)求； (2)证明：. 5．（24-25高一下·河南·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知． (1)证明：； (2)证明：； (3)若点D在线段AB上，，，求a的值． 【考点五：三角形面积公式的应用】 一、单选题 1．（24-25高一下·江西萍乡·期中）在中，若，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·浙江·阶段练习）已知的面积为，则边的长度为（    ） A．3 B．4 C． D． 3．（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）记的内角的对边分别为.若的面积为，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）在中，角所对的边分别为，且的面积，则（    ） A．8 B． C． D．4 5．（24-25高一下·云南昭通·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，表示的面积，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·湖南郴州·期末）在中，内角的对边分别为，为BC边上一点，且，则的面积为（） A． B． C． D． 【考点六：实际问题中距离、高度、角度的测量】 一、单选题 1．（24-25高一下·天津·期中）已知甲船位于灯塔的北偏东方向，且与相距3海里，乙船位于灯塔的北偏西方向，若两船相距海里，则乙船与灯塔之间的距离为（    ） A． B．2 C． D．5 2．（23-24高一上·山东泰安·阶段练习）公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一水平面上.某人在点处测得楼顶的仰角为，他在公路上自西向东行走，行走60米到点处，测得仰角为，沿该方向再行走60米到点处，测得仰角为.则（    ） A． B．3 C． D． 3．（24-25高一下·天津滨海新·期中）山西应县木塔，始建于1056年，是世界上现存最高大、最古老的纯木楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”．某同学为了估算水塔的高度，他在塔的附近找到一座建筑物，高为10m，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得木塔顶部M，建筑物顶部A的仰角分别为60°和15°，在A处测得木塔顶部M的仰角为30°，则可估算木塔的高度为（   ）m． A． B． C． D． 4．（24-25高一下·福建厦门·期中）某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，其中B是AC的中点.如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为米，则该建筑的高度（    ） A．米 B．10米 C．米 D．米 5．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 6．（24-25高一下·山东·期中）如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，，在同一个铅垂平面内．在点测得的俯角分别为，在点测得的俯角分别为，且，则（   ） A． B． C． D． 【考点七：解三角形中的图形问题 】 一、解答题 1．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期中）如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，交于，.      (1)求的度数； (2)求的面积. 2．（2024·河南·模拟预测）如图，在四边形中，的面积为．    (1)求； (2)证明：． 3．（24-25高一下·海南海口·阶段练习）如图，在中，，，，为内一点，且． (1)若，求的长； (2)若，求． 4．（23-24高一上·安徽·期末）如图,在中,的平分线交边于点,点在边上,,,.    (1)求的大小; (2)若,求的面积. 5．（23-24高一下·重庆·阶段练习）如图，已知在平面四边形中，，，． (1)若该四边形存在外接圆，且，求； (2)若，求． 6．（23-24高一下·河南·阶段练习）如图，D为所在平面内一点且点B，D位于直线的两侧，在中，．    (1)求的大小； (2)若，，，，求的长． 一、单选题 1．（24-25高一下·山东淄博·期中）的内角的对边分别为，若，，，则（   ） A．15° B．45° C．105° D．15°或105° 2．（24-25高一下·海南省直辖县级单位·期中）在中，角所对边的长分别为.若，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广东佛山·期中）在中，角的对边分别是，且，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不确定的 4．（24-25高一下·江西·期中）如图，为了测量某楼的高度，测量人员选取了与该楼AB在同一铅垂面内的楼CD，B，C在同一水平直线上，现测得，在楼底B点处测得楼CD的顶点D的仰角为，在点D处测得楼AB的顶点A的仰角为，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·天津和平·期中）在中，若，则的形状是（   ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 6．（23-24高一下·陕西商洛·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·江苏镇江·期中）在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，，若有两解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·福建·期末）如图，某观察站B在城A的南偏西20°的方向，由城A出发的一条公路走向是南偏东40°，在B处测得公路上距B处7km的C处有一人正沿公路向A城走去，走了2km之后到达D处，此时B，D间的距离为km．要达到A城，这个人还要走（ ） A．6km B．km C．km D．7km 9．（23-24高一下·重庆·期末）已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（   ） A．120° B．135° C．150° D．165° 二、多选题 10．（24-25高一下·河南·期中）在中，内角所对的边分别为，则下列各组条件中使得有两个解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 11．（24-25高一下·湖北十堰·期中）下列结论正确的是（   ） A．中，若，则为锐角三角形 B．锐角三角形中， C．中，若，则 D．中，若，则为锐角三角形 三、解答题 12．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）已知△ABC内角的对边分别为，设. (1)求； (2)若的面积为，求的值. 13．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）在中，角，，的对边为，，，已知，且. (1)若，求； (2)证明：; 14．（24-25高一上·云南·阶段练习）在四边形中，. (1)求的大小； (2)求的值. 15．（24-25高一下·福建莆田·期中）在中，边的长分别为. (1)利用向量知识证明：； (2)在中，.求的值及的面积. 16．（24-25高一下·河南·期中）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)证明：； (2)若D为的中点，且，求的最大值. 17．（24-25高一下·贵州黔西·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线交边于点．若，求：    (1)的值； (2)求的面积与的面积之比． 18．（24-25高一下·山西晋城·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若点是线段上的一点，且，求的值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$