专题15 轴对称图形（6大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编（河南专用）

专题15 轴对称图形 ( 题型概览 01 轴对称图形 02 轴对称的性质 03 角平分线的性质 04 线段垂直平分线的性质 05 等腰三角形的性质 06 作图-轴对称变换 ) ( 轴对称图形 ) 1．（2024秋•汝南县期末）如图，两个全等的直角三角板有一条边重合，组成的四个图形中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可． 【解答】解：A、A选项是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、B选项是轴对称图形，故此选项正确不符合题意； C、C选项是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、D选项不是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（2023秋•林州市期末）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：D． 3．（2024春•龙亭区校级期末）通过画图，判断下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A．有两个内角相等的三角形 B．有一个角是30°的直角三角形 C．有一个角是45°的直角三角形 D．有一个角是40°，一个角是70°的三角形 【分析】根据轴对称图形的定义、等腰三角形的判定和性质定理解答． 【解答】解：有两个内角相等的三角形是等腰三角形，A是轴对称图形； B、有一个角是30°的直角三角形不是轴对称图形； 有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形，C是轴对称图形； 有一个角是40°，一个角是70°的三角形是等腰三角形，D是轴对称图形； 故选：B． 4．（2024春•新乡期末）如图，是一个3×3的正方形网格图案，其中有2个小正方形已经被涂上阴影，在剩余的7个白色小正方形中任选一个涂上阴影，使整体网格图案（包括白色方格）成轴对称图形，那么符合条件的小正方形共有（　　） A．1 个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据题意利用轴对称图形定义即可得到本题答案． 【解答】解：如图所示， ， 在剩余的7个白色小正方形中任选一个涂上阴影，使整体网格图案成轴对称图形，符合题意的有：1，2，3共3个小正方形． 故选：C． 5．（2024春•顺河区期末）图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的一条对称轴，由此即可解决问题． 【解答】解：如图所示，该图形有5条对称轴， 故选：D． 6．（2024春•南召县期末）如图，在3×2的网格中，画与原三角形成轴对称的格点三角形（顶点在格点上），这样的三角形的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，可画出图形． 【解答】解：如图所示： 故这样的三角形有△ABD，△ACD，，△ACE，共3个． 故选：B． ( 轴对称的性质 ) 7．（2024春•二七区期末）在一次数学实践活动课上，学生进行折纸活动，如图是小睿、小轩、小涌三位同学的折纸示意图（C的对应点是C'），分析他们的折纸情况，下列说法正确的是（　　） A．小睿折出的是BC边上的中线 B．小轩折出的是△ABC中∠BAC的平分线 C．小涌折出的是△ABC中BC边上的高 D．上述说法都错误 【分析】根据轴对称的性质解答即可． 【解答】解：A、小睿的图， ∵AC沿AD折叠，对称边为AC′， ∴△ACD≌△△AC′D， ∴CD＝C′D， ∴AD是线段CC′的中线，原说法错误，不符合题意； B、小轩的图， ∵AC沿AD折叠，对称边为AC′， ∴△ACD≌△△AC′D， ∴∠CAD＝∠C′AD， ∴AD是∠BAC的平分线，正确，符合题意； C、小涵的图， ∵AC折叠后点C与点B重合， ∴AD是BC边的中线，原说法错误，不符合题意． 故选：B． 8．（2024春•太康县期末）如图，△ABC和△A'B'C'关于直线l对称，下列结论：（1）△ABC≌△A'B'C'；（2）∠BAC＝∠B'A'C'；（3）直线l垂直平分CC'；（4）直线l平分∠CAC'．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据成轴对称的两个图形能够完全重合可得△ABC和△AB′C′全等，然后对各小题分析判断后解可得到答案． 【解答】解：∵△ABC和△AB′C′关于直线l对称， ∴（1）△ABC≌△A'B'C'； （2）∠BAC＝∠B'A'C'； （3）直线l垂直平分CC'； （4）直线l平分∠CAC'． 综上所述，正确的结论有4个， 故选：D． 9．（2024春•南阳期末）如图，由5个“O”和3个“□”组成的图形关于某条直线对称，该直线是（　　） A．l1 B．l2 C．l3 D．l4 【分析】根据轴对称的性质解答即可． 【解答】解：由图可知，该图形关于直线l3对称． 故选：C． 10．（2024春•郸城县期末）如图，四边形ABCD关于直线l是对称的，有下面的结论： ①AB∥CD；②AC⊥BD；③AO＝CO；④AB⊥BC，其中正确的结论有（　　） A．①② B．②③ C．①④ D．② 【分析】根据轴对称的性质对各小题分析判断即可得解． 【解答】解：∵四边形ABCD关于直线l是对称的， ∴AC⊥BD，故②正确， 只有AD＝CD时，AB∥CD，AO＝CO，故①③错误； 仅由图形无法证明AB⊥BC，故④错误； 所以，正确的结论是②． 故选：D． 11．（2024春•唐河县期末）如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，△ABD与△ADB′关于直线AD对称，若∠B′AC＝14°，则∠B的度数为（　　） A．38° B．48° C．50° D．52° 【分析】通过对称的性质得到∠BAD＝∠B'AD，结合∠BAD+∠B'AD+∠B'AC＝90°计算得∠BAD，进而用余角进行计算． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠B′AC＝14°， ∴∠BAB′＝∠BAC﹣∠B′AC＝90°﹣14°＝76°， ∵△ABD与△ADB′关于直线AD对称， ∴， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠B＝90°﹣38°＝52°． 故选：D． 12．（2024春•周口期末）如图，AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若BD＝3，AD＝6，则图中阴影部分的面积是 　9　 ． 【分析】根据△CEF和△BEF关于直线AD对称，得出S△BEF＝S△CEF，根据图中阴影部分的面积是求出即可． 【解答】解：∵△ABC关于直线AD对称， ∴B、C关于直线AD对称， ∴△CEF和△BEF关于直线AD对称，BC＝2BD＝2×3＝6，AD⊥BC， ∴S△BEF＝S△CEF， ∵△ABC的面积是：， ∴图中阴影部分的面积是． 故答案为：9． 13．（2024春•新野县期末）如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC和DE的交点F在直线MN上． （1）若ED＝15，BF＝9，求EF的长； （2）若∠ABC＝35°，∠AED＝65°，∠BAE＝16°，求∠BFN的度数； （3）连接BD和EC，判断BD和EC的位置关系，并说明理由． 【分析】（1）根据轴对称的性质得出EF＝CF，BF＝DF，进而可得出结论； （2）根据轴对称的性质得出∠AED＝∠ACB，再由三角形内角和定理得出∠BAC的度数，根据∠BAE＝16°可得出∠EAC的度数，进而得出∠BAF的度数，由三角形外角的性质即可得出结论； （3）根据轴对称的性质可得出MN⊥EC，MN⊥BD，据此得出结论． 【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE关于直线MN对称，ED＝15，BF＝9， ∴EF＝CF，BF＝DF＝9，ED＝CB＝15， ∴EF＝ED﹣DF＝ED﹣BF＝15﹣9＝6； （2）∵△ABC和△ADE关于直线MN对称，∠ABC＝35°，∠AED＝65°，∠BAE＝16°， ∴∠AED＝∠ACB＝65°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣35°﹣65°＝80°， ∵∠BAE＝16°， ∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝80°﹣16°＝64°， ∵线段AE与AC关于直线MN对称， ∴∠EAN＝∠CAN∠EAC64°＝32°， ∴∠BAN＝∠BAE+∠EAN＝16°+32°＝48°， ∴∠BFN＝∠ABC+∠BAN＝35°+48°＝83°； （3）平行，理由： ∵MN⊥EC，MN⊥BD， ∴EC∥BD， ∴BD和EC的位置关系为：平行． ( 角平分线的性质 ) 14．（2024春•中牟县期末）如图，已知AP是△ABC的角平分线，且AB：AC＝3：2，则△ABP与△ACP的面积之比为（　　） A．3：2 B．9：4 C． D．2：3 【分析】过点P作PE垂直于AB，PF垂直于AC，由AD为角BAC的平分线，根据角平分线定理得到PE＝PF，再根据三角形的面积公式表示出△ABP与△ACP的面积之比，把PE＝PF以及AB：AC的比值代入即可求出面积之比． 【解答】解：过点P作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F． ∵AD为∠BAC的平分线， ∴PE＝PF， ∵AB：AC＝3：2， ∴． 故选：A． 15．（2024春•惠济区期末）小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　） A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形的三条高交于一点 D．三角形三边的垂直平分线交于一点 【分析】由题意可知，点P到射线OB，OA的距离相等，则点P在∠BOA的平分线上，即可得出答案． 【解答】解：由题意可知，点P到射线OB的距离是直尺的宽度，点P到射线OA的距离也是直尺的宽度， ∴点P到射线OB，OA的距离相等， ∴点P在∠BOA的平分线上（在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上）． 故选：A． 16．（2024春•驻马店期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，CD＝3，则△ABD的面积为（　　） A．60 B．30 C．15 D．10 【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，利用角平分线的性质可得DE＝DC＝3，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答． 【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC， ∴DE＝DC＝3， ∵AB＝10， ∴△ABD的面积AB•DE 10×3 ＝15， 故选：C． 17．（2024春•开封期末）如图，三条公路两两相交形成△ABC，现计划在△ABC内修建一个油库M，使油库M到这三条公路的距离相等，点M一定在（　　） A．△ABC三边中线的交点处 B．△ABC三边高的交点处 C．△ABC三条角平分线的交点处 D．△ABC三边垂直平分线的交点处 【分析】根据三角形内心的性质解答即可． 【解答】解：∵△ABC三个内角的平分线交于一点，且到三边的距离相等， ∴油库M的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 18．（2024春•汝州市期末）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则OC的长度是 　3cm　 ． 【分析】过P作PN⊥OB于N，由角平分线性质定理的逆定理推出PO平分∠AOB，得到∠COP＝∠NOP，由平行线的性质推出∠CPO＝∠NOP，得到∠COP＝∠CPO，因此OC＝PC，由PC＝5﹣2＝3（cm），即可得到OC的长度是3cm． 【解答】解：过P作PN⊥OB于N， 由题意得：PM＝PN， ∵PM⊥OA， ∴PO平分∠AOB， ∴∠COP＝∠NOP， ∵PC∥OB， ∴∠CPO＝∠NOP， ∴∠COP＝∠CPO， ∴OC＝PC， ∵C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5， ∴PC＝5﹣2＝3（cm）， ∴OC的长度是3cm． 故答案为：3cm． 19．（2024春•驿城区校级期末）如图，在等腰三角形ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点D，腰AB的长比底BC多3，△ABC的周长和面积都是24，则DE＝　　 ． 【分析】如图，作EH⊥BC于H．由EB平分∠ABC，ED⊥AB，EH⊥BC，推出ED＝EH，设ED＝EH＝x，BC＝y则AB＝AC＝y+3，构建方程组即可解决问题． 【解答】解：如图，作EH⊥BC于H． ∵EB平分∠ABC，ED⊥AB，EH⊥BC， ∴ED＝EH，设ED＝EH＝x，BC＝y则AB＝AC＝y+3， 由题意：， 解得， ∴DE， 故答案为：． 20．（2024春•宝丰县期末）图1是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，FD＝FE． （1）如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是∠BAC的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ＝6，AC＝9，△ABC的面积是60，求AB的长． 【分析】（1）是；理由：由（2）SSS判定△ADF≌△AEF，然后由该全等三角形的对应角相等证得结论； （2）如图，过点P作PG⊥AC于点G．由三角形的面积公式作答即可． 【解答】解：（1）AP是∠BAC的平分线，理由如下： 在△ADF和△AEF中， ， ∴△ADF≌△AEF（SSS）． ∴∠DAF＝∠EAF， ∴AP平分∠BAC． （2）如图，过点P作PG⊥AC于点G． ∵AP平分∠BAC，PQ⊥AB， ∴PG＝PQ＝6． ∵S△ABC＝S△ABP+S△APCAB•PQAC•PG， ∴AB×69×6＝60． ∴AB＝11． ( 线段垂直平分线的性质 ) 21．（2024春•二七区期末）如图，三个村庄A、B、C构成△ABC，供奶站须到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建在（　　） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 【分析】到三个村的距离相等，即到三角形三个顶点的距离相等，在三角形中，只有三边垂直平分线的交点到各顶点距离相等． 【解答】解：∵在三角形中，只有三边垂直平分线的交点到各顶点距离相等， ∴广场应建在三条边的垂直平分线的交点处． 故选：A． 22．（2024春•管城区校级期末）如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝3，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，则△BCE的周长等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AE＝BE，故可得出△BCE的周长＝（BE+CE）+BC＝AC+BC，由此即可得出结论． 【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∵AC＝5，BC＝3， ∴△BCE的周长＝BE+CE+BC＝AC+BC＝5+3＝8． 故选：D． 23．（2024春•宝丰县期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，点E在BC的垂直平分线上，若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACE的度数为（　　） A．48° B．50° C．55° D．60° 【分析】根据角平分线的定义求出∠ABC、∠CBD，根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EC，证明∠ECB＝∠CBD＝24°，计算即可． 【解答】解：∵BD平分∠ABC，∠ABD＝24°， ∴∠ABC＝2∠ABD＝48°，∠CBD＝∠ABD＝24°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝180°﹣60°﹣48°＝72°， ∵点E在BC的垂直平分线上， ∴EB＝EC， ∴∠ECB＝∠CBD＝24°， ∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝72°﹣24°＝48°， 故选：A． 24．（2024春•宝丰县期末）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交BC，AC于D，E，若AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长等于 　19　 cm． 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm， ∴DA＝DC，AC＝2AE＝6（cm）， ∵△ABD的周长为13cm， ∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13（cm）， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19（cm）， 故答案为：19． 25．（2024春•郑州期末）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线交AB于点M，交BC于点P，AC边的垂直平分线交AC于点N，交BC于点Q．若∠PAQ＝36°，则∠BAC的度数为 　108°　 ． 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AP＝BP，AQ＝CQ，根据等腰三角形性质求出∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，根据三角形内角和定理求出∠BAP+∠CAQ＝72°，根据角的和差求解即可． 【解答】解：∵PM垂直平分AB，QN垂直平分AC， ∴AP＝BP，AQ＝CQ， ∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C， ∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∠BAC＝∠BAP+∠PAQ+∠CAQ＝∠BAP+∠CAQ+36°， ∴∠BAP+∠CAQ+36°+∠BAP+∠CAQ＝180°， ∴∠BAP+∠CAQ＝72°， ∴∠BAC＝∠BAP+∠CAQ+36°＝108°， 故答案为：108°． 26．（2024春•沈丘县期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE是BC的垂直平分线，求∠C的度数． 【分析】根据垂直平分线的性质可知BE＝EC，DE⊥BC，即可得出△CED≌△BED，再根据角平分线的性质可知∠ABE＝2∠DBE＝2∠C，根据三角形为直角三角形即可得出∠C的度数． 【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线， ∴BE＝EC，DE⊥BC， ∴∠CED＝∠BED， ∴△CED≌△BED， ∴∠C＝∠DBE， ∵∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABE＝2∠DBE＝2∠C， ∴∠C＝30°． ( 等腰三角形的性质 ) 27．（2024春•镇平县期末）已知等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是（　　） A．17或22 B．22 C．17 D．13 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【解答】解：分两种情况： 当腰为4时，4+4＜9，所以不能构成三角形； 当腰为9时，9+9＞4，9﹣9＜4，所以能构成三角形，周长是：9+9+4＝22． 故选：B． 28．（2024春•偃师区期末）已知等腰三角形三边的长分别为4，x，10，则x的值是（　　） A．4 B．10 C．4 或10 D．6 或10 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形三边关系即可求解． 【解答】解：当x＝4时，4+4＜10，不符合三角形三边关系，舍去； 当x＝10时，4+10＞10，符合三角形三边关系． 故选：B． 29．（2024春•湛河区校级期末）△ABC与△ACD的边长如图所示，其中AC为两个三角形的公共边．当△ABC为等腰三角形时，边AC的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】由等腰三角形的定义可得AC的长为3或4，然后再分别运用三角形的三边关系即可解答． 【解答】解：∵△ABC为等腰三角形， ∴由图形可知：AC的长为3或4， 当AC的长为3时，2+2＝4＞3，可以成为三角形，满足题意； 当AC的长为4时，2+2＝4＝3，不可以成为三角形，不满足题意； 综上，AC的长为3． 故选：B． 30．（2024春•宝丰县期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝69°，则∠CDE的度数是（　　） A．60° B．69° C．76° D．88° 【分析】根据OC＝CD＝DE，可得∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，进一步根据三角形的外角性质可知∠BDE＝3∠ODC＝69°，即可求出∠ODC的度数，进而求出∠CDE的度数． 【解答】解：∵OC＝CD＝DE， ∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC， ∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC， ∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝69°， ∴∠ODC＝23°， ∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝111°， ∴∠CDE＝111°﹣∠ODC＝88°， 故选：D． 31．（2024春•中牟县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠DBC的度数是（　　） A．30° B．36° C．45° D．54° 【分析】由已知条件开始，通过线段相等得到角相等，再由三角形内角和求出各个角的大小． 【解答】解：设∠A＝x°． ∵BD＝AD， ∴∠A＝∠ABD＝x°， ∠BDC＝∠A+∠ABD＝2x°， ∵BD＝BC， ∴∠BDC＝∠BCD＝2x°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠BCD＝2x°， 在△ABC中x+2x+2x＝180， 解得：x＝36， ∴∠C＝∠BDC＝72°， ∴∠DBC＝36°， 故选：B． 32．（2024春•管城区校级期末）如图：在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，若BD＝BC，则∠A等于（　　） A．30° B．36° C．40° D．42° 【分析】设∠ABD＝x°，由条件结合等腰三角形的性质可证明∠A＝x°，在△ABC中由三角形内角和定理列出方程可求得x，可求得∠A． 【解答】解：设∠ABD＝x°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝x°， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC＝2x°， 又∵BD＝BC， ∴∠BDC＝∠C＝2x°， 又∵∠BDC＝∠A+∠ABD，即2x°＝∠A+x°， ∴∠A＝x°， 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴x+2x+2x＝180， 解得x＝36， ∴∠A＝36°， 故选：B． 33．（2024春•汝州市期末）对于问题：如图1，已知∠AOB，只用直尺和圆规判断∠AOB是否为直角？小意同学的方法如图2：在OA、OB上分别取C、D，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交OB的反向延长线于点E，若测量得OE＝OD，则∠AOB＝90°，则小意同学判断的依据是（　　） A．垂线段最短 B．等腰三角形“三线合一” C．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D．等腰三角形的两个底角相等 【分析】根据等腰三角形的性质即可求解． 【解答】解：由作图可知，CE＝CD， ∵OE＝OD， ∴CO⊥ED（等腰三角形的三线合一）， ∴∠AOB＝90°． 故选：B． 34．（2023秋•夏邑县期末）等腰△ABC中AB＝AC，AD、BE为三角形的角平分线，且AD、BE交于点O，若∠C＝64°，则∠AOB的度数为（　　） A．108° B．116° C．122° D．134° 【分析】由等腰三角形的性质推出∠ABC＝∠C＝64°，AD⊥BC，得到∠ODB＝90°，由角平分线定义得到∠OBD∠ABC＝32°，由三角形外角的性质求出∠AOB＝∠ODB+∠OBD＝90°+32°＝122°． 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝64°， ∵BE为三角形的角平分线， ∴∠OBD∠ABC＝32°， ∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC， ∴∠ODB＝90°， ∴∠AOB＝∠ODB+∠OBD＝90°+32°＝122°． 故选：C． 35．（2024春•金水区期末）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，若EB＝EA，则∠BAC的度数为 　90°　 ． 【分析】首先根据AC的垂直平分线得到EA＝EC，进一步得到∠ECA＝∠EAC，然后根据EB＝EA得到∠B＝∠BAE，利用三角形的内角和定理得到∠B+∠BAE+∠EAC+∠C＝180°，从而得到∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°． 【解答】解：∵AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E， ∴EA＝EC， ∴∠ECA＝∠EAC， ∵EB＝EA， ∴∠B＝∠BAE， ∵∠B+∠BAE+∠EAC+∠C＝180°， ∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°， 故答案为：90°． 36．（2024春•开封期末）2024年4月25日，长征二号F遥十八运载火箭搭载神舟十八号载人飞船在酒泉发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站．如图①是中国空间站上机械臂的一种工作状态．且两臂相等，抽象为数学问题如图②，AB，AC是两臂，且AB＝AC，若两臂的夹角∠BAC＝100°时，连接BC，则∠B的度数为 　40　 °． 【分析】先利用三角形内角和定理可得∠B+∠C＝80°，然后利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠C＝40°，即可解答． 【解答】解：∵∠BAC＝100°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝40°， 故答案为：40． 37．（2024春•汝州市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC于点E，如果∠1＝145°，那么∠2的度数是　40°　 ． 【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可得∠ACB＝75°，由三角形外角的性质可得∠AED的度数，由平行线的性质可得同位角相等，可得结论． 【解答】解：∵AB＝AC，且∠A＝30°， ∴∠ACB＝75°， 在△ADE中，∵∠1＝∠A+∠AED＝145°， ∴∠AED＝145°﹣30°＝115°， ∵a∥b， ∴∠AED＝∠2+∠ACB， ∴∠2＝115°﹣75°＝40°． 故答案为：40°． 38．（2024春•驿城区校级期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC． （1）求证：AD⊥BC． （2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数． 【分析】（1）连接AE，根据垂直平分线的性质，可知BE＝AE＝AC，根据等腰三角形三线合一即可知AD⊥BC （2）设∠B＝x°，由（1）可知∠BAE＝∠B＝x°，然后根据三角形ABC的内角和为180°列出方程即可求出x的值． 【解答】解：（1）连接AE， ∵EF垂直平分AB ∴AE＝BE ∵BE＝AC ∴AE＝AC ∵D是EC的中点 ∴AD⊥BC （2）设∠B＝x° ∵AE＝BE ∴∠BAE＝∠B＝x° ∴由三角形的外角的性质，∠AEC＝2x° ∵AE＝AC ∴∠C＝∠AEC＝2x° 在三角形ABC中，3x°+75°＝180° x°＝35° ∴∠B＝35° ( 作图-轴对称变换 ) 39．（2024春•中原区期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C'； （2）△ABC的面积为 　5　 ； （3）以AB为边作与△ABC全等的三角形（顶点在格点上，不包括△ABC），可作出 　3　 个． 【分析】（1）根据题意作出点A，点B关于l的对称点A′、B′，连结CA′，A′B′，B′C即可； （2）用割补法利用矩形面积减去3个直角三角形面积求解即可得到结论； （3）根据全等三角形的判定和性质，画出图形即可． 【解答】解：（1）作出点A，点B关于l的对称点A′、B′，连结CA′，A′B′，B′C， 如图所示，△A′B′C即为所求； （2）△ABC的面积＝4×33×22×24×1＝5， 故答案为：5； （3）以AB为边作与△ABC全等的三角形（顶点在格点上，不包括△ABC），可作出3个， 故答案为：3． 40．（2024春•管城区校级期末）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．如图所示，四边形ABCD就是一个“格点四边形”． （1）作出四边形ABCD关于直线BD对称的四边形A′B′C′D′； （2）四边形ABCD的面积为 　12　 ． 【分析】（1）根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解； （2）将四边形ABCD的面积分成三角形ABC的面积与三角形ADC的面积的和求解即可． 【解答】解：（1）如图所示，四边形A′B′C′D′即为所求； （2）， 故答案为：12． 41．（2024春•汝州市期末）（1）如图1，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，△ABC的三个顶点都在其格点上，请以直线l为对称轴，画出与△ABC成轴对称的图形； （2）如图2，已知△DEF， ①请在图2的方框中，用尺规作一个△D'E'F'，使△D'E'F'≌△DEF（保留作图痕迹，不写作法）． ②根据①中的作图，判断△D'E'F'≌△DEF的理由是 　SSS　 ． 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可． （2）①结合全等三角形的判定，任意作射线E'M，以点E'为圆心，线段EF的长为半径画弧，交射线E'M于点F'，再以点E'为圆心，线段DE的长为半径画弧，以点F'为圆心，线段DF的长为半径画弧，两弧相交于点D'，连接D'E'，D'F'即可． ②根据全等三角形的判定可得答案． 【解答】解：（1）如图1，△A'B'C即为所求． （2）①如图2，任意作射线E'M，以点E'为圆心，线段EF的长为半径画弧，交射线E'M于点F'，再以点E'为圆心，线段DE的长为半径画弧，以点F'为圆心，线段DF的长为半径画弧，两弧相交于点D'，连接D'E'，D'F'， 则△D'E'F'即为所求（作法不唯一）． ②由①中的作图可得，DE＝D'E'，DF＝D'F'，EF＝E'F'， ∴△D'E'F'≌△DEF（SSS）． 故答案为：SSS． 42．（2024春•汝阳县期末）如图，在每个小正方形的边长都为1的网格中有一个△DEF． （1）作与△DEF关于直线HG成轴对称的图形（不写作法）； （2）作EF边上的高（不写作法）； （3）求△DEF的面积． 【分析】（1）分别作出D，E，F的对应点F，N，M即可． （2）利用数形结合的思想解决问题即可． （3）利用三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：（1）如图，△NMF即为所求． （2）如图，线段DT即为所求． （3）S△DEF3×2＝3． 43．（2024春•宝丰县期末）在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．在图中画出与△ABC成轴对称的格点三角形（画出4个即可）． 【分析】根据轴对称图形的概念作图即可． 【解答】解：如图所示，△ABC1、△DEF、△A′BC、△MBN即为所求． 声明：试题解析著作权属 44．（2024秋•魏都区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC＝AB，其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【分析】根据题中条件，结合图形及角平分线的性质得到结论，与各选项进行比对，排除错误答案，选出正确的结果． 【解答】解：∵AD平分∠BAC， ∴∠DAC＝∠DAE， ∵∠C＝90°，DE⊥AB， ∴∠C＝∠E＝90°， ， ∴△DAC≌△DAE， ∴∠CDA＝∠EDA ∴①AD平分∠CDE正确； 无法证明∠BDE＝60°， ∴③DE平分∠ADB错误； ∵BE+AE＝AB，AE＝AC ∴BE+AC＝AB ∴④BE+AC＝AB正确； ∵∠BDE＝90°﹣∠B，∠BAC＝90°﹣∠B ∴∠BDE＝∠BAC ∴②∠BAC＝∠BDE正确． 故选：B． 45．（2024春•唐河县期末）如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（　　） A．2.5秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4秒 【分析】设运动的时间为x cm，则AP＝（20﹣3x）cm，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，AP＝AQ，则20﹣3x＝2x，解得x即可． 【解答】解：设运动的时间为x cm， 在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm， 点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动， 当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ， AP＝20﹣3x，AQ＝2x 即20﹣3x＝2x， 解得x＝4（cm）． 故选：D． 46．（2024春•二七区期末）问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°将△ABC从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE（点D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为α（0°＜α＜100°），设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别交BC，AC于点O，N． 特例分析：（1）如图2，当旋转到AD⊥BC时，旋转角α的度数为 　50°　 ； 探究规律：（2）如图3，在△ABC绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段AM始终等于线段AN，请你证明这一结论． 拓展延伸：（3）当△DOM是等腰三角形时，求旋转角α的度数． 【分析】（1）由等腰三角形的性质得∠BAC＝100°和，即可求解； （2）由等腰三角形的性质及旋转的性质得∠BAM＝∠EAN＝α，AD＝AE＝AB，由ASA可判定△ABM≌△AEN，即可得证； （3）①当MD＝MO时，由旋转的性质得∠MDO＝40°，由∠AMO＝∠ABM+∠BAM，即可求解； ②当DM＝DO时，同理可求解；③当OD＝OM时，同理可求解． 【解答】（1）解：如图， ∵AB＝AC， ∴∠BAC＝180°﹣2∠B ＝100°， ∵AD⊥BC， ∴， ＝50°， ∴α＝50°， 故答案为：50°； （2）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABM＝∠C， 由旋转得：∠AEN＝∠C， ∠BAM＝∠EAN＝α， AD＝AE＝AB， ∴∠ABM＝∠AEN， 在△ABM和△AEN中， ， ∴△ABM≌△AEN（ASA）， ∴AM＝AN； （3）解：①如图，当MD＝MO时， 由旋转得：∠MDO＝40°， ∴∠MOD＝40°， ∴∠AMO＝2∠MDO＝80°， ∵∠AMO＝∠ABM+∠BAM， ∴∠BAM＝80°﹣40° ＝40°， ∴α＝40°； ②如图，当DM＝DO时， 由①得：∠MDO＝40°， ∴ ＝70°， ∴∠AMO＝∠MDO+∠DOM ＝110°， ∵∠AMO＝∠ABM+∠BAM ∴∠BAM＝110°﹣40° ＝70°， ∴α＝70°； ③如图，当OD＝OM时， 由①得：∠MDO＝∠DMO＝40°， ∴∠AMO＝180°﹣∠DMO ＝140°， ∵∠AMO＝∠ABM+∠BAM ∴∠BAM＝140°﹣40° ＝100°， ∴α＝100°， ∵0°＜α＜100°， ∴α＝100°不合题意，舍去； 综上所述：旋转角α的度数为40°或70°． 47．（2024春•驿城区校级期末）在△ABC和△DCE中，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α． （1）如图1，将AD、EB延长，延长线相交于点O： ①求证：BE＝AD； ②用含α的式子表示∠AOB的度数（直接写出结果）； （2）如图2，当α＝45°时，连接BD、AE，作CM⊥AE于M点，延长MC与BD交于点N，求证：N是BD的中点． 【分析】（1）①根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠ACB＝∠DCE，根据全等三角形的性质即可得到结论； ②根据全等三角形的性质得到∠CAD＝∠CBE＝α+∠BAO，根据三角形的内角和即可得到结论； （2）如图2，作BP⊥MN交MN的延长线于P，作DQ⊥MN于Q，根据全等三角形的性质得到MC＝BP，同理，CM＝DQ，等量代换得到DQ＝BP，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）①∵CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α， ∴∠ACB＝180°﹣2α，∠DCE＝180°﹣2α， ∴∠ACB＝∠DCE， ∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中，， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE＝AD； ②∵△ACD≌△BCE， ∴∠CAD＝∠CBE＝α+∠BAO， ∵∠ABE＝∠BOA+∠BAO， ∴∠CBE+α＝∠BOA+∠BAO， ∴∠BAO+α+α＝∠BOA+∠BAO， ∴∠BOA＝2α； （2）如图2，作BP⊥MN交MN的延长线于P，作DQ⊥MN于Q， ∵∠BCP+∠BCA＝∠CAM+∠AMC， ∵∠BCA＝∠AMC， ∴∠BCP＝∠CAM， 在△CBP与△ACM中，， ∴△CBP≌△ACM（AAS）， ∴MC＝BP， 同理，CM＝DQ， ∴DQ＝BP， 在△BPN与△DQN中，， ∴△BPN≌△DQN（AAS）， ∴BN＝ND， ∴N是BD的中点． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 轴对称图形 题型概览 01 轴对称图形 02 轴对称的性质 03 角平分线的性质 04 线段垂直平分线的性质 05 等腰三角形的性质 06 作图-轴对称变换 轴对称图形 1．（2024秋•汝南县期末）如图，两个全等的直角三角板有一条边重合，组成的四个图形中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•林州市期末）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024春•龙亭区校级期末）通过画图，判断下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A．有两个内角相等的三角形 B．有一个角是30°的直角三角形 C．有一个角是45°的直角三角形 D．有一个角是40°，一个角是70°的三角形 4．（2024春•新乡期末）如图，是一个3×3的正方形网格图案，其中有2个小正方形已经被涂上阴影，在剩余的7个白色小正方形中任选一个涂上阴影，使整体网格图案（包括白色方格）成轴对称图形，那么符合条件的小正方形共有（　　） A．1 个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2024春•顺河区期末）图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 6．（2024春•南召县期末）如图，在3×2的网格中，画与原三角形成轴对称的格点三角形（顶点在格点上），这样的三角形的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 轴对称的性质 7．（2024春•二七区期末）在一次数学实践活动课上，学生进行折纸活动，如图是小睿、小轩、小涌三位同学的折纸示意图（C的对应点是C'），分析他们的折纸情况，下列说法正确的是（　　） A．小睿折出的是BC边上的中线 B．小轩折出的是△ABC中∠BAC的平分线 C．小涌折出的是△ABC中BC边上的高 D．上述说法都错误 8．（2024春•太康县期末）如图，△ABC和△A'B'C'关于直线l对称，下列结论：（1）△ABC≌△A'B'C'；（2）∠BAC＝∠B'A'C'；（3）直线l垂直平分CC'；（4）直线l平分∠CAC'．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（2024春•南阳期末）如图，由5个“O”和3个“□”组成的图形关于某条直线对称，该直线是（　　） A．l1 B．l2 C．l3 D．l4 10．（2024春•郸城县期末）如图，四边形ABCD关于直线l是对称的，有下面的结论： ①AB∥CD；②AC⊥BD；③AO＝CO；④AB⊥BC，其中正确的结论有（　　） A．①② B．②③ C．①④ D．② 11．（2024春•唐河县期末）如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，△ABD与△ADB′关于直线AD对称，若∠B′AC＝14°，则∠B的度数为（　　） A．38° B．48° C．50° D．52° 12．（2024春•周口期末）如图，AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若BD＝3，AD＝6，则图中阴影部分的面积是 　　 ． 13．（2024春•新野县期末）如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC和DE的交点F在直线MN上． （1）若ED＝15，BF＝9，求EF的长； （2）若∠ABC＝35°，∠AED＝65°，∠BAE＝16°，求∠BFN的度数； （3）连接BD和EC，判断BD和EC的位置关系，并说明理由． 角平分线的性质 14．（2024春•中牟县期末）如图，已知AP是△ABC的角平分线，且AB：AC＝3：2，则△ABP与△ACP的面积之比为（　　） A．3：2 B．9：4 C． D．2：3 15．（2024春•惠济区期末）小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　） A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形的三条高交于一点 D．三角形三边的垂直平分线交于一点 16．（2024春•驻马店期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，CD＝3，则△ABD的面积为（　　） A．60 B．30 C．15 D．10 17．（2024春•开封期末）如图，三条公路两两相交形成△ABC，现计划在△ABC内修建一个油库M，使油库M到这三条公路的距离相等，点M一定在（　　） A．△ABC三边中线的交点处 B．△ABC三边高的交点处 C．△ABC三条角平分线的交点处 D．△ABC三边垂直平分线的交点处 18．（2024春•汝州市期末）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则OC的长度是 　 　 ． 19．（2024春•驿城区校级期末）如图，在等腰三角形ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点D，腰AB的长比底BC多3，△ABC的周长和面积都是24，则DE＝　　 ． 20．（2024春•宝丰县期末）图1是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，FD＝FE． （1）如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是∠BAC的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ＝6，AC＝9，△ABC的面积是60，求AB的长． 线段垂直平分线的性质 21．（2024春•二七区期末）如图，三个村庄A、B、C构成△ABC，供奶站须到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建在（　　） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 22．（2024春•管城区校级期末）如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝3，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，则△BCE的周长等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 23．（2024春•宝丰县期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，点E在BC的垂直平分线上，若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACE的度数为（　　） A．48° B．50° C．55° D．60° 24．（2024春•宝丰县期末）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交BC，AC于D，E，若AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长等于 　 　 cm． 25．（2024春•郑州期末）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线交AB于点M，交BC于点P，AC边的垂直平分线交AC于点N，交BC于点Q．若∠PAQ＝36°，则∠BAC的度数为 　 　 ． 26．（2024春•沈丘县期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE是BC的垂直平分线，求∠C的度数． 等腰三角形的性质 27．（2024春•镇平县期末）已知等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是（　　） A．17或22 B．22 C．17 D．13 28．（2024春•偃师区期末）已知等腰三角形三边的长分别为4，x，10，则x的值是（　　） A．4 B．10 C．4 或10 D．6 或10 29．（2024春•湛河区校级期末）△ABC与△ACD的边长如图所示，其中AC为两个三角形的公共边．当△ABC为等腰三角形时，边AC的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 30．（2024春•宝丰县期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝69°，则∠CDE的度数是（　　） A．60° B．69° C．76° D．88° 31．（2024春•中牟县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠DBC的度数是（　　） A．30° B．36° C．45° D．54° 32．（2024春•管城区校级期末）如图：在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，若BD＝BC，则∠A等于（　　） A．30° B．36° C．40° D．42° 33．（2024春•汝州市期末）对于问题：如图1，已知∠AOB，只用直尺和圆规判断∠AOB是否为直角？小意同学的方法如图2：在OA、OB上分别取C、D，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交OB的反向延长线于点E，若测量得OE＝OD，则∠AOB＝90°，则小意同学判断的依据是（　　） A．垂线段最短 B．等腰三角形“三线合一” C．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D．等腰三角形的两个底角相等 34．（2023秋•夏邑县期末）等腰△ABC中AB＝AC，AD、BE为三角形的角平分线，且AD、BE交于点O，若∠C＝64°，则∠AOB的度数为（　　） A．108° B．116° C．122° D．134° 35．（2024春•金水区期末）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，若EB＝EA，则∠BAC的度数为 　 　 ． 36． （2024春•开封期末）2024年4月25日，长征二号F遥十八运载火箭搭载神舟十八号载人飞船在酒泉发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站．如图①是中国空间站上机械臂的一种工作状态．且两臂相等，抽象为数学问题如图②，AB，AC是两臂，且AB＝AC，若两臂的夹角∠BAC＝100°时，连接BC，则∠B的度数为 　　 °． 37．（2024春•汝州市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC于点E，如果∠1＝145°，那么∠2的度数是　 　 ． 38．（2024春•驿城区校级期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC． （1）求证：AD⊥BC． （2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数． 作图-轴对称变换 39．（2024春•中原区期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C'； （2）△ABC的面积为 　　 ； （3）以AB为边作与△ABC全等的三角形（顶点在格点上，不包括△ABC），可作出 　　 个． 40．（2024春•管城区校级期末）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．如图所示，四边形ABCD就是一个“格点四边形”． （1）作出四边形ABCD关于直线BD对称的四边形A′B′C′D′； （2）四边形ABCD的面积为 　　 ． 41．（2024春•汝州市期末）（1）如图1，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，△ABC的三个顶点都在其格点上，请以直线l为对称轴，画出与△ABC成轴对称的图形； （2）如图2，已知△DEF， ①请在图2的方框中，用尺规作一个△D'E'F'，使△D'E'F'≌△DEF（保留作图痕迹，不写作法）． ②根据①中的作图，判断△D'E'F'≌△DEF的理由是 　 　 ． 42．（2024春•汝阳县期末）如图，在每个小正方形的边长都为1的网格中有一个△DEF． （1）作与△DEF关于直线HG成轴对称的图形（不写作法）； （2）作EF边上的高（不写作法）； （3）求△DEF的面积． 43．（2024春•宝丰县期末）在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．在图中画出与△ABC成轴对称的格点三角形（画出4个即可）． 44．（2024秋•魏都区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC＝AB，其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 45．（2024春•唐河县期末）如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（　　） A．2.5秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4秒 46．（2024春•二七区期末）问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°将△ABC从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE（点D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为α（0°＜α＜100°），设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别交BC，AC于点O，N． 特例分析：（1）如图2，当旋转到AD⊥BC时，旋转角α的度数为 　　 ； 探究规律：（2）如图3，在△ABC绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段AM始终等于线段AN，请你证明这一结论． 拓展延伸：（3）当△DOM是等腰三角形时，求旋转角α的度数． 47．（2024春•驿城区校级期末）在△ABC和△DCE中，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α． （1）如图1，将AD、EB延长，延长线相交于点O： ①求证：BE＝AD； ②用含α的式子表示∠AOB的度数（直接写出结果）； （2）如图2，当α＝45°时，连接BD、AE，作CM⊥AE于M点，延长MC与BD交于点N，求证：N是BD的中点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$