专题13 三角形的边与角（6大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编（河南专用）

专题13 三角形的边与角 ( 题型概览 01 三角形的分类 02 三角形的角平分线、中线和高 03 三角形的三边关系 04 三角形的内角和定理 05 三角形的角平分线模型 06 与三角形有关的新定义题型 ) ( 三角形的分类 ) 1．（2024春•镇平县期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°．动点P从点C出发，沿边CB，BA向点A运动．在点P运动过程中，△PAC可能成为的特殊三角形依次是（　　） A．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形 B．等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形 C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 D．等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 【分析】根据三角形的特征解答即可． 【解答】解：在点P运动过程中，△PAC可能成为的特殊三角形依次是直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形， 故选：C． 2．（2024春•新野县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BDE＝∠A，则△BDE为（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上均有可能 【分析】先根据直角三角形性质得∠A+∠B＝90°，再根据∠BDE＝∠A得∠BDE+∠B＝90°，进而得∠DEB＝90°，由此可判定△BDE的形状． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵∠BDE＝∠A， ∴∠BDE+∠B＝90°， ∴∠DEB＝180°﹣（∠BDE+∠B）＝90°， ∴△BDE为直角三角形． 故选：B． ( 三角形的角平分线、中线和高 ) 3．（2024春•沈丘县期末）画△ABC的BC边上的高，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据高的画法可知，画△ABC的BC边上的高，即过点A作BC边的垂线． 【解答】解：画△ABC的BC边上的高，即过点A作BC边的垂线． 故选：C． 4．（2024春•内乡县期末）如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高． 【解答】解：由图可得，线段BE是△ABC的高的图是D选项． 故选：D． 5．（2024春•镇平县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（　　） A．BE是△ABD的中线 B．BD是△BCE的角平分线 C．∠1＝∠2＝∠3 D．BC是△BDE的高 【分析】用已知条件和三角形中线即可判断出A选项的正误；利用已知条件和角平分线的定义即可判断出B选项的正误；利用角平分线的性质只能得到∠2＝∠3，但没有办法得到∠1＝∠2，这样就很容易判断出C选项的错误；由于∠C＝90°，结合“从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高”即可判断出BC是否是△BDE的高，这样也能得出D选项的正误． 【解答】解：A、由图可知：BE是△ABD的中线，正确，不符合题意； B、由图可知：BD是△BCE的角平分线，正确，不符合题意； C、∵BD是△BCE的角平分线， ∴∠3＝∠2， ∵BE是中线， ∴∠1≠∠2， ∴∠1＝∠2＝∠3不正确，符合题意． D、由图可知： ∵∠C＝90° ∴BC是△ABE的高，正确，不符合题意； 故选：C． 6．（2024春•鼓楼区期末）如图所示，在△ABC中，AD是中线，已知△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB＝3cm，则AC＝　8cm　 ． 【分析】先根据AD是中线得出CD＝BD，再由△ADC的周长比△ABD的周长多5cm可知AC﹣AB＝5cm，据此可得出结论． 【解答】解：∵AD是中线， ∴CD＝BD． ∵△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB＝3cm， ∴（AC+CD+AD）﹣（AB+BD+AD）＝5cm， ∴AC﹣AB＝5cm， ∴AC＝5+3＝8（cm）， 故答案为：8cm． ( 三角形 的 三边关系 ) 7．（2024春•鼓楼区校级期末）如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小华在池塘一侧选取一点P，测得PA＝8m，PB＝6m，那么A，B之间的距离不可能是（　　） A．8m B．10m C．12m D．14m 【分析】三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此得到2＜AB＜14，即可得到答案． 【解答】解：由三角形三边关系定理得：8﹣6＜AB＜8+6， ∴2＜AB＜14， ∴A、B之间的距离不可能是14m． 故选：D． 8．（2024春•沈丘县期末）已知三角形的三边长分别为2、x、10，若x为正整数，则这样的三角形个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出x的取值范围，然后根据若x为正整数，即可选择答案． 【解答】解：∵10﹣2＝8，10+2＝12， ∴8＜x＜12， ∵若x为正整数， ∴x的可能取值是9，10，11，故这样的三角形共有3个． 故选：C． 9．（2024春•淮阳区期末）已知△ABC中，其中有两边长是2和5，且△ABC的第三边长是偶数，则此三角形的周长为（　　） A．11 B．12 C．13 D．11或13 【分析】三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，设第三边长x，得到3＜x＜7，由△ABC的第三边长是偶数，得到x＝4或6，于是得到此三角形的周长． 【解答】解：设第三边长x， ∴5﹣2＜x＜5+2， ∴3＜x＜7， ∵△ABC的第三边长是偶数， ∴x＝4或6， ∴此三角形的周长为2+5+4＝11或2+5+6＝13． 故选：D． 10．（2024春•淅川县期末）老师在课堂上组织学生用小棍摆三角形，小棍的长度有10cm，15cm，20cm和25cm四种规格，小朦同学已经取了10cm和15cm两根木棍，那么第三根木棍不可能取（　　） A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm 【分析】先设第三根木棒的长为x cm，再根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出不符合条件的x的值即可． 【解答】解：设第三根木棒的长为x cm， ∵已经取了10cm和15cm两根木棍， ∴15﹣10＜x＜15+10，即5＜x＜25． ∴四个选项中只有D不在其范围内，符合题意． 故选：D． 11．（2024春•项城市期末）一个三角形的两边长为12和7，第三边长为整数，则第三边长的最大值是（　　） A．16 B．17 C．18 D．19 【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得第三边长的最大值． 【解答】解：设第三边为a， 根据三角形的三边关系，得：12﹣7＜a＜12+7， 即5＜a＜19， ∵a为整数， ∴a的最大值为18． 故选：C． 12．（2024春•宝丰县期末）已知三条线段的长分别是6，m，8，若它们能构成三角形，则整数m的最小值是（　　） A．2 B．3 C．6 D．8 【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，进而解答即可． 【解答】解：∵三条线段的长分别是6，m，8，它们能构成三角形， ∴8﹣6＜m＜8+6， ∴2＜m＜14， ∴整数m的最小值是3． 故选：B． 13．（2024春•汝阳县期末）一个三角形的两边长为2和6，第三边为偶数，则这个三角形的周长为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解． 【解答】解：第三边的取值范围是大于4且小于8，又第三边是偶数，故第三边是6． 则该三角形的周长是14． 故选：C． 14．（2024春•遂平县期末）已知△ABC的边长a、b、c满足：（1）（a﹣2）2+|b﹣4|＝0；（2）c为偶数，则c的值为 　4　 ． 【分析】首先根据非负数的性质求得a，b的值，再根据三角形的三边关系求得c的取值范围，结合c是偶数进行求解． 【解答】解：∵（a﹣2）2+|b﹣4|＝0， ∴a＝2，b＝4． 又∵a，b，c为△ABC的边长， ∴2＜c＜6． ∵c为偶数 ∴c＝4． 故答案为：4． 15．（2024春•邓州市期末）已知三角形的两边长分别为3和6，则第三边的长可以是 　4，5，6，7，8　 （填正整数）． 【分析】由三角形的两边长分别为3和6，可得第三边x的长度范围即可得出答案． 【解答】解：∵三角形的两边长分别为3和6， ∴第三边x的长度范围为：6﹣3＜x＜3+6，即：3＜x＜9， ∴第三边的长度可能是：4，5，6，7，8． 故答案为：4，5，6，7，8． ( 三角形的内角和定理 ) 16．（2024春•郑州期末）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（　　） A．过C作EF∥AB B．延长AC到F，过C作CE∥AB C．过AB上一点D作DE∥BC，DF∥AC D．作CD⊥AB于点D 【分析】本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题． 【解答】解：A．由EF∥AB，则∠ECA＝∠A，∠FCB＝∠B．由∠ECA+∠ACB+∠FCB＝180°，得∠A+∠ACB+∠B＝180°，故A不符合题意． B．由CE∥AB，则∠A＝∠FCE，∠B＝∠BCE．由∠FCE+∠ECB+∠ACB＝180°，得∠∠A+∠B+∠ACB＝180°，故B不符合题意． C．由FD∥AC，得∠EDF＝∠AED，∠A＝∠FDB．由ED∥CB，得∠EDA＝∠B，∠C＝∠AED，那么∠C＝∠EDF．由∠ADE+∠EDF+∠FDB＝180°，得∠B+∠A+∠C＝180°，故C不符合题意． D．由CD⊥AB于D，则∠ADC＝∠CDB＝90°，无法证得三角形内角和是180°，故D符合题意． 故选：D． 17．（2024春•泌阳县期末）在探究证明“三角形的内角和等于180°”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于180°”的是（　　） A．延长BC至D过C作CE∥AB B．过A作DE∥BC C．过D作DE∥BC D．过P作FG∥AB，DE∥BC，HI∥AC 【分析】根据平行线性质和三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：A、∵CE∥AB， ∴∠BAC＝∠ACE，∠B＝∠ECD，由∠BCA+∠ACE+∠ECD＝180°，得∠BCA+∠BAC+∠B＝180°，故A不符合题意； B、∵DE∥BC， ∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，由∠DAB+∠BAC+∠CAE＝180°，得∠B+∠BAC+∠C＝180°，故B不符合题意； C、∵DE∥BC，∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED，无法证得三角形的内角和等于180°，故C符合题意； D、如图， ∵DE∥BC， ∴∠B＝∠AOE＝∠BOP，∠C＝∠AMP， ∵∠A+∠AMP＝∠AOP， ∴∠A+∠C＝∠AOP， ∵∠BOP+∠AOP＝180°， ∴∠BOP+∠A+∠C＝180°， ∴∠A+∠B+∠C＝180°，故D不符合题意． 故选：C． 18．（2024春•宜阳县期末）在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝65°，则△ABC为（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【分析】根据三角形内角和求得∠C的度数，则可判定三角形的形状． 【解答】解：∵∠A＝30°，∠C＝65°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝85°， ∴△ABC是锐角三角形． 故选：C． 19．（2024春•太康县期末）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 【分析】连接A'A，先求出∠BAC，再证明∠1+∠2＝2∠BAC即可解决问题． 【解答】解：如图，连接AA'， ∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB， ∴∠A'BC∠ABC，∠A'CB∠ACB， ∵∠BA'C＝120°， ∴∠A'BC+∠A'CB＝180°﹣120°＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝120°， ∴∠BAC＝180°﹣120°＝60°， ∵沿DE折叠， ∴∠DAA'＝∠DA'A，∠EAA'＝∠EA'A， ∵∠1＝∠DAA'+∠DA'A＝2∠DAA'，∠2＝∠EAA'+∠EA'A＝2∠EAA'， ∴∠1+∠2＝2∠DAA'+2∠EAA'＝2∠BAC＝2×60°＝120°， 故选：D． 20．（2024春•管城区校级期末）如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO＝104°，则∠C的度数为（　　） A．38 B．39 C．40 D．41 【分析】先根据折叠的性质得到∠ADE＝∠ODE，∠AED＝∠OED，∠OFE＝∠BFE，∠BEF＝∠OEF，则利用平角的定义得到∠AED+∠BEF＝90°，∠ADE+∠BFE＝128°，再利用三角形内角和定理得到∠A+∠ADE+∠AED+∠B+∠BFE+∠BEF＝2×180°，则可计算出∠A+∠B＝142°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠C的度数． 【解答】解：∵△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO， ∴∠ADE＝∠ODE，∠AED＝∠OED，∠OFE＝∠BFE，∠BEF＝∠OEF， ∵∠AEO+∠BEO＝180°， ∴∠AED+∠BEF＝90°， ∵∠ADO+∠BFO＝2×180°﹣∠CDO﹣∠CFO＝360°﹣104°＝256°， ∴∠ADE+∠BFE＝128°， ∵∠A+∠ADE+∠AED+∠B+∠BFE+∠BEF＝2×180°， 即∠A+∠B+（∠ADE+∠BFE）+（∠AED+∠BEF）＝2×180°， ∴∠A+∠B+128°+90°＝2×180°， ∴∠A+∠B＝142°， ∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣142°＝38°． 故选：A． 21．（2024春•沈丘县期末）如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，则∠ADC的度数是 　80　 °． 【分析】利用三角形内角和定理求出∠B，利用角平分线的定义求出∠BAD，再利用三角形的外角的性质求解即可． 【解答】解：∵CE⊥AB， ∴∠CEB＝90°， ∴∠B＝90°﹣∠ECB＝90°﹣40°＝50°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD∠BAC＝30°， ∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝50°+30°＝80°， 故答案为80． 22．（2024春•新野县期末）一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB＝25°，则∠DFC＝　110°　 ． 【分析】由题意可得∠BAC＝60°，∠C＝30°，∠D＝45°，由平角的定义可求得∠CAD＝85°，再由三角形的内角和可求得∠AGD＝50°，利用对顶角相等得∠CGF＝50°，再利用三角形的内角和即可求∠DFC． 【解答】解：如图， 由题意得：∠BAC＝60°，∠C＝30°，∠D＝45°， ∵∠EAB＝25°， ∴∠CAD＝180°﹣∠EAB﹣∠BAC＝95°， ∴∠AGD＝180°﹣∠D﹣∠CAD＝40°， ∴∠CGF＝∠AGD＝40°， ∴∠DFC＝180°﹣∠C﹣∠CGF＝110°． 故答案为：110°． 23．（2024春•光山县期末）如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GE∥MP；②∠BEF＝75°；③∠AEG＝∠PMN．其中正确的是 　①②③　 ．（只填序号） 【分析】①由题意可得∠G＝∠MPN＝90°，利用内错角相等，两直线平行即可判定GE∥MP； ②过点F作FH∥AB，可得FH∥CD，从而得∠HFN＝∠MNP＝45°，可求得∠EFH＝105°，再利用平行线的性质即可求得∠BEF＝75°； ③利用角的计算可求得∠AEG＝45°，从而可判断． 【解答】解：①由题意得：∠G＝∠MPN＝90°， ∴GE∥MP，故①正确； ②过点F作FH∥AB，如图， ∵AB∥CD， ∴∠BEF+∠EFH＝180°，FH∥CD， ∴∠HFN＝∠MNP＝45°， ∴∠EFH＝∠EFN﹣∠HFN＝105°， ∴∠BEF＝180°﹣∠EFH＝75°，故②正确； ③∵∠GEF＝60°，∠BEF＝75°， ∴∠AEG＝180°﹣∠GEF﹣∠BEF＝45°， ∵∠MNP＝45°， ∴∠AEG＝∠PNM，故③正确． 综上所述，正确的有①②③． 故答案为：①②③． 24．（2024春•长葛市期末）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC交BC于点F，D，E分别在CA，BA的延长线上，AF∥CE，∠D＝∠E． （1）求证：BD∥AF； （2）若∠BAD＝80°，∠ABD＝2∠ABC，求∠AFC的度数． 【分析】（1）根据平行线的性质得出∠E＝∠BAF，根据角平分线的定义得出∠CAF＝∠BAF，由已知条件，等量代换即可得出∠D＝∠CAF，根据平行线的判定定理即可得证； （2）根据已知条件得出∠D＝50°，进而得出，根据平行线的性质即可求解． 【解答】（1）证明：∵AF∥CE， ∴∠E＝∠BAF， ∵AF平分∠BAC， ∴∠CAF＝∠BAF， ∴∠E＝∠CAF， 又∵∠D＝∠E， ∴∠D＝∠CAF， ∴BD∥AF； （2）∵AF平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠CAF， 由（1）得∠D＝∠CAF， ∴∠BAC＝2∠D， ∵∠BAD+∠BAC＝180°，∠BAD＝80°， ∴80°+2∠D＝180°， ∴∠D＝50°， ∴∠ABD＝180°﹣∠BAD﹣∠D＝50°， ∵∠ABD＝2∠ABC， ∴， ∵BD∥AF， ∴∠AFC＝∠DBC＝75°． ( 三角形的角平分线模型 ) 25．（2024春•新安县期末）已知△ABC中，∠A＝α．在图1中∠B、∠C的平分线交于点O1，则可计算得∠BO1C＝90°α；在图2中，设∠B、∠C的两条三等分角线分别对应交于O2、O3，则∠BO3C＝　60°α　 ． 【分析】首先根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，再由三等分角线可得∠CBO3+∠BCO3（∠ABC+∠ACB）＝120°α，由三角形内角和定理即可求得∠BO3C． 【解答】解：∵∠A＝α， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α， ∵∠B、∠C的两条三等分角线分别对应交于O2、O3， ∴∠CBO3+∠BCO3（∠ABC+∠ACB）＝120°α， ∴∠BO3C＝180°﹣（∠CBO3+∠BCO3）＝60°α， 故答案为：60°α． 26．（2024春•洛宁县期末）如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2018BC和∠A2018CD的平分线交于点A2019，得∠A2019，则∠A2019＝　　 °． 【分析】利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证∠A1∠A，进而可求∠A1，由于∠A1∠A，∠A2∠A1∠A，…，以此类推可知∠A2019即可求得 【解答】解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD， ∴∠A1BC∠ABC，∠A1CD∠ACD， ∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC， 即∠ACD＝∠A1∠ABC， ∴∠A1（∠ACD﹣∠ABC）， ∵∠A+∠ABC＝∠ACD， ∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC， ∴∠A1∠A， ∠A2∠A1∠A，…， 以此类推可知∠A2019∠A， 故答案为：． 27．（2024春•沈丘县期末）问题引入： （1）如图①所示，△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB的平分线的交点， 若∠A＝α，则∠BOC＝　　 （用α表示）：填空并说明理由 如图②所示，，， 若∠A＝α，则∠BOC＝　　 （用α表示），填空并说明理由． （2）如图③所示，，，若∠A＝α，求∠BOC 　　 （用α表示）． 【分析】（1）由三角形内角和为180度可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB），结合角平分线（角三等分线）的定义即可求解； （2）由三角形内角和为180度可得∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB），结合角三等分线的定义可得，可得结论． 【解答】解：（1）在△ABC中，∠A＝α， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣α． 如图①所示，∵点O是∠ABC和∠ACB的平分线的交点， ∴． ∴； 如图②所示，∵，， ∴， 故答案为：，； （2），理由如下： ∵，，∠A＝α， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB） ＝180°（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB） ． 故答案为：． ( 与三角形有关的新定义题型 ) 28．（2024春•桐柏县期末）【概念认识】 如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”其中，BD是“邻AB三分线”，BE“邻BC三分线”． 【问题解决】 （1）如图①，∠ABC＝60°，BD，BE是∠ABC的“三分线”，则∠ABE＝ 　40　 °； （2）如图②，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°，若∠B的“邻BC三分线”BD交AC于点D，则∠BDC＝ 　90　 °； （3）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB“三分线”和∠ACB邻AC“三分线”，且BP⊥CP，求∠A的度数． 【分析】（1）根据三等分线的定义即可得到答案； （2）根据BD是“邻BC三分线”，根据三角形的外角性质计算即可； （3）根据三角形内角和定理得到∠PBC+∠PCB＝180°﹣90°＝90°，根据“邻三分线”的定义计算即可． 【解答】解：（1）∵∠ABC＝60°，BD，BE是∠ABC的“三分线”， ∴， 故答案为：40； （2）如图， ∵BD是“邻BC三分线”时，∠ABD∠ABC＝30°， 则∠BDC＝∠ABD+∠A＝30°+60°＝90°， 故答案为：90； （3）∵BP⊥CP， ∴∠BPC＝90°， ∴∠PBC+∠PCB＝90°． ∵BP，CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线， ∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB， ∠ABC∠ACB＝90°， ∴∠ABC+∠ACB＝135°， ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣135°＝45°． 29．（2024春•内乡县期末）我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为105°，60°，15°的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图1，∠MON＝60°，点A在边OM上，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合） （1）∠ABO的度数为 　30°　 ，△AOB 　不是　 （填“是”或“不是”）“和谐三角形”； （2）若∠ACB＝84°，试说明：△AOC是“和谐三角形”． 【应用拓展】 如图2，点D在△ABC的边AB上，连结DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“和谐三角形”，请直接写出∠B的度数． 【分析】（1）根据AB⊥OM，得到∠OAB＝90°，求得∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°，得到∠OAB＝3∠ABO，所以△AOB不是“和谐三角形”； （2）因为∠ACB是△AOC的一个外角，得到∠ACB＝∠O+∠OAC，求出∠OAC＝24°，∠ACO＝96°，所以∠ACO＝4∠OAC，所以得到△AOC是“和谐三角形”； （3）由∠EFC+∠BDC＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°，得到∠EFC＝∠ADC，可以证明AD//EF，得到∠DEF＝∠ADE，而∠DEF＝∠B，得到∠B＝∠ADE，由DE//BC，得到∠CDE＝∠BCD，根据△BCD是“和谐三角形”，即可求解． 【解答】解：（1）∵AB⊥OM， ∴∠OAB＝90°， ∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°， ∴∠OAB＝3∠ABO， ∴△AOB不是“和谐三角形”； 故答案为：30°，不是； （2）∵∠ACB是△AOC的一个外角， ∴∠ACB＝∠O+∠OAC， 又∠O＝60°，∠ACB＝84° ∴∠OAC＝24°， ∠ACO＝180°﹣84°＝96°， ∴∠ACO＝4∠OAC， ∴△AOC是“和谐三角形”； （3）∵∠EFC+∠BDC＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°， ∴∠EFC＝∠ADC， ∴AD//EF， ∴∠DEF＝∠ADE， 而∠DEF＝∠B， ∴∠B＝∠ADE， ∵DE//BC， ∴∠CDE＝∠BCD， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE， ∴∠B＝∠BCD， ∵△BCD是“和谐三角形”， ∴∠BDC＝4∠B或者∠B＝4∠BDC ∵∠BDC+∠BCD+∠B＝180° ∴∠B＝30°或者∠B＝80°． 30．（2024春•遂平县期末）材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”． 解决问题： （1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A，∠B，∠C之间的数量关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： Ⅰ．如图②，把一块三角尺DEF放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边DE，DF恰好经过点B，C，若∠A＝40°，则∠ABD+∠ACD＝　50　 °． Ⅱ．如图③，BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，若∠A＝40°，∠BPC＝130°，求∠BDC的度数． 【分析】（1）连接AD并延长至点F，根据三角形外角性质即可得到∠BDC与∠A，∠B，∠C之间的数量关系； （2）Ⅰ、由（1）可得，∠BDC＝∠ABD+∠ACD+∠A，再根据∠A＝40°，∠D＝90°，即可得出∠ABD+∠ACD的度数； Ⅱ、根据（1），可得∠BPC＝∠BAC+∠ABP+∠ACP，∠BDC＝∠BAC+∠ABD+∠ACD，再根据BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，即可得出∠BDC的度数． 【解答】解：（1）如图①，连接AD并延长至点F， 根据外角的性质，可得 ∠BDF＝∠BAD+∠B， ∠CDF＝∠C+∠CAD， 又∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF， ∠BAC＝∠BAD+∠CAD， ∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C； （2）Ⅰ．由（1）可得，∠BDC＝∠ABD+∠ACD+∠A； 又∵∠A＝40°，∠D＝90°， ∴∠ABD+∠ACD＝90°﹣40°＝50°， 故答案为：50； Ⅱ．由（1），可得∠BPC＝∠BAC+∠ABP+∠ACP， ∠BDC＝∠BAC+∠ABD+∠ACD， ∴∠ABP+∠ACP＝∠BPC﹣∠BAC＝130°﹣40°＝90°， 又∵BD平分∠ABP，CD平分∠ACP， ∴∠ABD+∠ACD（∠ABP+∠ACP）＝45°， ∴∠BDC＝45°+40°＝85°． 31．（2024春•郏县期末）在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，点D是AC边上一点，过点D将△ABC折叠，使点C落在BC下方的点C′处，折痕DE与BC交于点E，当AB与∠C′的一边平行时，∠DEC′的度数为 　120°或95°　 ． 【分析】需要分两种情况讨论：①当AB∥C′E时；②当AB∥C′D时．可先求得∠ADF的度数，然后求得∠C′DE的度数，利用三角形内角和，即可求得答案． 【解答】解：①当AB∥C′E时． 由轴对称图形的性质可知： ∠C＝∠C′＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°，， ∵AB∥C′E， ∴∠B＝∠BEC′＝60°， ∴∠EFC′＝∠BFD＝180°﹣∠C′﹣∠BEC′＝180°﹣50°﹣60°＝70°， ∴∠ADF＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠BFD＝360°﹣70°﹣60°﹣70°＝160°， ∴∠CDC′＝180°﹣∠ADF＝180°﹣160°＝20°， ∴∠C′DE＝10°， ∴∠DEC′＝180°﹣∠C′DE﹣∠C′＝180°﹣10°﹣50°＝120°． ②当AB∥C′D时． 由轴对称图形的性质可知： ∠C＝∠C′＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°，． ∵AB∥C′D， ∴∠BFD＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°， ∴∠ADF＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠BFD＝360°﹣70°﹣60°﹣120°＝110°， ∴∠CDC′＝180°﹣∠ADF＝180°﹣110°＝70°， ∴∠C′DE＝35°， ∴∠DEC′＝180°﹣∠C′DE﹣∠C′＝180°﹣35°﹣50°＝95°， 综上所述，∠DEC′的度数为120°或95°． 故答案为：120°或95°． 32．（2024春•新安县期末）小明在学习中遇到这样一个问题： 如图1，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于D． 猜想∠B、∠C、∠EAD的数量关系． （1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入∠B、∠C的值求∠EAD值，得到下面几组对应值： ∠B/度 10 30 30 20 20 ∠C/度 70 70 60 60 80 ∠EAD/度 30 a 15 20 30 上表中a＝　20　 ，于是得到∠B、∠C、∠EAD的数量关系为 　2∠EAD＝∠C﹣∠B　 ． （2）小明继续探究，在线段AE上任取一点P，过点P作PD⊥BC于点D，请尝试写出∠B、∠C、∠EPD之间的数量关系，并说明理由． （3）小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，如图3，过EA的延长线上的一点F作FD⊥BC交CB的延长线于D，当∠ABC＝80°，∠C＝24°时，∠F度数为 　28　 °． 【分析】（1）求出∠BAE和∠BAD的大小即可得到∠EAD的值，再通过找规律的形式得出三者的关系， （2）分别用∠B和∠C表示出∠BAE和∠BAD，再由∠EAD＝∠BAE和﹣BAD即可得出答案， （3）分析同（2）． 【解答】解：（1）∵∠B＝30°，∠C＝70°， ∴Rt△ABD中，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝180°﹣30°﹣90°＝60°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE∠BAC（180°﹣∠B﹣∠C）（180°﹣30°﹣70°）＝40°， ∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝60°﹣40°＝20°， ∴a＝20， 故答案为：20；2∠EAD＝∠C﹣∠B． （2）如图，过点A作AF⊥BC于F， ∵PD⊥BC，AF⊥BC， ∴PD∥AF， ∴∠EPD＝∠EAF， ∵△ABC内角和为180°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE∠BAC＝90°， 同时∠BAF＝90°﹣∠B， ∴可得出∠EAF＝∠BAF﹣∠BAE∠EPD， 综上所述，∠EPD； （3）同理（2），依旧可得∠EFD28°， 故答案为：28． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 三角形的边与角 题型概览 01 三角形的分类 02 三角形的角平分线、中线和高 03 三角形的三边关系 04 三角形的内角和定理 05 三角形的角平分线模型 06 与三角形有关的新定义题型 三角形的分类 1．（2024春•镇平县期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°．动点P从点C出发，沿边CB，BA向点A运动．在点P运动过程中，△PAC可能成为的特殊三角形依次是（　　） A．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形 B．等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形 C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 D．等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 2．（2024春•新野县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BDE＝∠A，则△BDE为（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上均有可能 三角形的角平分线、中线和高 3．（2024春•沈丘县期末）画△ABC的BC边上的高，正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024春•内乡县期末）如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（　　） A． B． C． D． 5．（2024春•镇平县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（　　） A．BE是△ABD的中线 B．BD是△BCE的角平分线 C．∠1＝∠2＝∠3 D．BC是△BDE的高 6．（2024春•鼓楼区期末）如图所示，在△ABC中，AD是中线，已知△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB＝3cm，则AC＝　 　 ． 三角形的三边关系 7．（2024春•鼓楼区校级期末）如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小华在池塘一侧选取一点P，测得PA＝8m，PB＝6m，那么A，B之间的距离不可能是（　　） A．8m B．10m C．12m D．14m 8．（2024春•沈丘县期末）已知三角形的三边长分别为2、x、10，若x为正整数，则这样的三角形个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2024春•淮阳区期末）已知△ABC中，其中有两边长是2和5，且△ABC的第三边长是偶数，则此三角形的周长为（　　） A．11 B．12 C．13 D．11或13 10．（2024春•淅川县期末）老师在课堂上组织学生用小棍摆三角形，小棍的长度有10cm，15cm，20cm和25cm四种规格，小朦同学已经取了10cm和15cm两根木棍，那么第三根木棍不可能取（　　） A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm 11．（2024春•项城市期末）一个三角形的两边长为12和7，第三边长为整数，则第三边长的最大值是（　　） A．16 B．17 C．18 D．19 12．（2024春•宝丰县期末）已知三条线段的长分别是6，m，8，若它们能构成三角形，则整数m的最小值是（　　） A．2 B．3 C．6 D．8 13．（2024春•汝阳县期末）一个三角形的两边长为2和6，第三边为偶数，则这个三角形的周长为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 14．（2024春•遂平县期末）已知△ABC的边长a、b、c满足：（1）（a﹣2）2+|b﹣4|＝0；（2）c为偶数，则c的值为 　　 ． 15．（2024春•邓州市期末）已知三角形的两边长分别为3和6，则第三边的长可以是 　 　 （填正整数）． 三角形的内角和定理 16．（2024春•郑州期末）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（　　） A．过C作EF∥AB B．延长AC到F，过C作CE∥AB C．过AB上一点D作DE∥BC，DF∥AC D．作CD⊥AB于点D 17．（2024春•泌阳县期末）在探究证明“三角形的内角和等于180°”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于180°”的是（　　） A．延长BC至D过C作CE∥AB B．过A作DE∥BC C．过D作DE∥BC D．过P作FG∥AB，DE∥BC，HI∥AC 18．（2024春•宜阳县期末）在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝65°，则△ABC为（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 19．（2024春•太康县期末）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 20．（2024春•管城区校级期末）如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO＝104°，则∠C的度数为（　　） A．38 B．39 C．40 D．41 21．（2024春•沈丘县期末）如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，则∠ADC的度数是 　 　 °． 22．（2024春•新野县期末）一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB＝25°，则∠DFC＝　 　 ． 23．（2024春•光山县期末）如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GE∥MP；②∠BEF＝75°；③∠AEG＝∠PMN．其中正确的是 　 　 ．（只填序号） 24．（2024春•长葛市期末）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC交BC于点F，D，E分别在CA，BA的延长线上，AF∥CE，∠D＝∠E． （1）求证：BD∥AF； （2）若∠BAD＝80°，∠ABD＝2∠ABC，求∠AFC的度数． 三角形的角平分线模型 25．（2024春•新安县期末）已知△ABC中，∠A＝α．在图1中∠B、∠C的平分线交于点O1，则可计算得∠BO1C＝90°α；在图2中，设∠B、∠C的两条三等分角线分别对应交于O2、O3，则∠BO3C＝　　 ． 26．（2024春•洛宁县期末）如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2018BC和∠A2018CD的平分线交于点A2019，得∠A2019，则∠A2019＝　　 °． 27．（2024春•沈丘县期末）问题引入： （1）如图①所示，△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB的平分线的交点， 若∠A＝α，则∠BOC＝　 （用α表示）：填空并说明理由 如图②所示，，， 若∠A＝α，则∠BOC＝　 　 （用α表示），填空并说明理由． （2）如图③所示，，，若∠A＝α，求∠BOC 　　 （用α表示）． 与三角形有关的新定义题型 28．（2024春•桐柏县期末）【概念认识】 如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”其中，BD是“邻AB三分线”，BE“邻BC三分线”． 【问题解决】 （1）如图①，∠ABC＝60°，BD，BE是∠ABC的“三分线”，则∠ABE＝ 　　 °； （2）如图②，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°，若∠B的“邻BC三分线”BD交AC于点D，则∠BDC＝ 　　 °； （3）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB“三分线”和∠ACB邻AC“三分线”，且BP⊥CP，求∠A的度数． 29．（2024春•内乡县期末）我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为105°，60°，15°的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图1，∠MON＝60°，点A在边OM上，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合） （1）∠ABO的度数为 　　 ，△AOB 　　 （填“是”或“不是”）“和谐三角形”； （2）若∠ACB＝84°，试说明：△AOC是“和谐三角形”． 【应用拓展】 如图2，点D在△ABC的边AB上，连结DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“和谐三角形”，请直接写出∠B的度数． 30．（2024春•遂平县期末）材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”． 解决问题： （1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A，∠B，∠C之间的数量关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： Ⅰ．如图②，把一块三角尺DEF放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边DE，DF恰好经过点B，C，若∠A＝40°，则∠ABD+∠ACD＝　　 °． Ⅱ．如图③，BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，若∠A＝40°，∠BPC＝130°，求∠BDC的度数． 31．（2024春•郏县期末）在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，点D是AC边上一点，过点D将△ABC折叠，使点C落在BC下方的点C′处，折痕DE与BC交于点E，当AB与∠C′的一边平行时，∠DEC′的度数为 　 　 ． 32．（2024春•新安县期末）小明在学习中遇到这样一个问题： 如图1，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于D． 猜想∠B、∠C、∠EAD的数量关系． （1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入∠B、∠C的值求∠EAD值，得到下面几组对应值： ∠B/度 10 30 30 20 20 ∠C/度 70 70 60 60 80 ∠EAD/度 30 a 15 20 30 上表中a＝　　 ，于是得到∠B、∠C、∠EAD的数量关系为 　 　 ． （2）小明继续探究，在线段AE上任取一点P，过点P作PD⊥BC于点D，请尝试写出∠B、∠C、∠EPD之间的数量关系，并说明理由． （3）小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，如图3，过EA的延长线上的一点F作FD⊥BC交CB的延长线于D，当∠ABC＝80°，∠C＝24°时，∠F度数为 　　 °． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$