专题01 高二下学期期末真题精选（考题猜想，常考20大题型）-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（北师大版2019）

专题01 高二下学期期末真题精选 （北师大版2019选择性必修第一册统计案例 +选择性必修第二册） （考题猜想，常考20大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 等差（比）数列通项的基本量计算（高频） · 题型二 等差（比）数列角标和性质（高频） · 题型三 等差（比）数列前项和基本量计算 · 题型四 等差（比）数列前项和性质（高频） · 题型五 数列求通项（重点） · 题型六 数列求和之分组求和法（高频） · 题型七 数列求和之裂项相消法（重点） · 题型八 数列求和之错位相减法（重点） · 题型九 导数的定义 · 题型十 借助导数求切线 （易错） · 题型十一 导数的四则运算 （易错） · 题型十二 利用导数求函数（不含参）的单调区间（易错） · 题型十三 由函数在区间上的单调性求参数（难点） · 题型十四 函数与导数图象之间的关系 · 题型十五 利用导数讨论函数（含参）的单调区间（难点） · 题型十六 函数的极值问题（重点） · 题型十七 函数的最值问题（重点） · 题型十八 一元线性回归模型（高频） · 题型十九 相关系数（难点） · 题型二十 独立性检验（易错） 题型一、等差（比）数列通项的基本量计算（共5小题） 1．（23-24高二下·江西南昌·期末）已知在等差数列 中， ，则 （    ） A．15 B．30 C．45 D．60 2．（2023·北京海淀·一模）在等差数列中，，则（    ） A．9 B．11 C．13 D．15 3．（22-23高二下·湖北武汉·期末）已知等比数列中，，，则（    ） A．9 B． C．3 D． 4．（24-25高三上·江西赣州·期末）已知等差数列的前n项和为，，，则公差 . 5．（23-24高二下·江西九江·期末）设是等比数列，且，则 . 题型二、等差（比）数列角标和性质（共6小题） 1．（23-24高二下·江西景德镇·期末）在等差数列中，若，则其前7项和为（    ） A．7 B．9 C．14 D．18 2．（23-24高二下·江西九江·期末）等差数列前项和为，则（   ） A．44 B．48 C．52 D．56 3．（23-24高二下·江西赣州·期末）正项等比数列中，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（22-23高二下·江西吉安·期末）已知函数，在正项等比数列中，，则（    ） A．1011 B．1012 C．2023 D．2024 5．（23-24高二上·北京朝阳·期末）已知等差数列，其前项和为，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 6．（22-23高二下·北京房山·期末）在各项均为正数的等比数列中，若，则 ． 题型三、等差（比）数列前项和基本量计算（共6小题） 1．（23-24高二下·江西景德镇·期末）在等差数列中，若，则其前7项和为（    ） A．7 B．9 C．14 D．18 2．（23-24高二下·江西九江·期末）等差数列前项和为，则（   ） A．44 B．48 C．52 D．56 3．（23-24高二下·江西赣州·期末）正项等比数列中，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（22-23高二下·江西吉安·期末）已知函数，在正项等比数列中，，则（    ） A．1011 B．1012 C．2023 D．2024 5．（23-24高二上·北京朝阳·期末）已知等差数列，其前项和为，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 6．（22-23高二下·北京房山·期末）在各项均为正数的等比数列中，若，则 ． 题型四、等差（比）数列前项和性质（共6小题） 1．（23-24高二下·江西抚州·期末）已知等差数列与的前项和分别为，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·江西吉安·期末）记为等差数列的前项和，，，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 3．（24-25高二上·河北保定·期末）记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A． B．81 C．50 D．61 4．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）设各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则 ． 5．（24-25高二上·湖北咸宁·期末）在前n项和为的等差数列中，，，则 . 6．（24-25高三上·河南漯河·期末）已知、分别为等差数列、的前项和，，则 ． 题型五、数列求通项（共10小题） 1．（23-24高二下·江西抚州·期末）在数列中，若，则（    ） A．-2 B．4 C．1 D． 2．（23-24高二下·江西南昌·期末）若首项为 1 的数列 满足 ，则 （    ） A． B． C． D．1 3．（24-25高三上·山东泰安·期末）已知数列满足，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（24-25高二上·重庆渝中·期末）设数列的前n项和为，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列为递增数列 C．数列为等差数列 D．当取最小值时， 5．（多选）（24-25高二上·福建泉州·期末）数列满足：，，则（   ） A． B． C．数列为等差数列 D．数列的前8项和为 6．（23-24高二上·北京通州·期末）已知数列的通项公式是，使数列中存在负数项的一个t的值为 ． 7．（23-24高二下·江西赣州·期末）已知等差数列的公差成等比数列，数列的前项和公式为. (1)求数列和的通项公式： 8．（23-24高二下·江西抚州·期末）已知数列的首项，且. (1)求数列的通项公式： 9．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列满足． (1)求的通项公式； 10．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知为数列的前n项和，，． (1)求的通项公式； 题型六、数列求和之分组求和法（共5小题） 1．（23-24高三上·江西·期末）已知等比数列的首项，公比为，的项和为且，，成等差数列. (1)求的通项： (2)若，，求的前项和. 2．（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知是公比大于1的等比数列，，且成等差数列. (1)求的通项公式； (2)若是等差数列，且.设，求数列的前项和. 3．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 4．（22-23高一下·北京海淀·期末）已知首项为0的无穷等差数列中，，，成等比数列. (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前2n项和. 5．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知首项为的数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 题型七、数列求和之裂项相消法（共5小题） 1．（23-24高二下·江西九江·期末）已知数列满足，且为等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 2．（23-24高二下·江西·期末）已知数列满足.记. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和； (3)若，数列的前项和为，求证：. 3．（23-24高三上·河南南阳·期末）在数列中，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 4．（22-23高二下·江西·期末）已知等差数列的公差不为0，且，，，，成等比数列， (1)求数列的通项公式： (2)若数列满足，记为数列的前n项和，求. 5．（22-23高二下·江西九江·期末）已知等差数列的前项和为，. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，求. 题型八、数列求和之错位相减法（共6小题） 1．（23-24高二下·江西新余·期末）已知公差大于0的等差数列和公比大于0的等比数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：. 2．（23-24高二下·江西鹰潭·期末）已知数列的首项，且. (1)证明：是等比数列. (2)求数列的前n项和. 3．（23-24高二下·江西景德镇·期末）设为数列的前项和，且. (1)为何值时，是等比数列； (2)若，求数列的前项和. 4．（23-24高二下·江西南昌·期末）已知数列 的前 项和 满足 . (1)求 的通项公式； (2)求数列 的前 项和 . 5．（23-24高二下·江西吉安·期末）已知为数列的前n项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前n项和，求证：． 6．（23-24高三上·江西赣州·期末）已知数列满足．记． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前n项和． 题型九、导数的定义（共5小题） 1．（23-24高二下·江西抚州·期末）已知函数，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·江西景德镇·期末）设函数，则（    ） A． B．2 C． D．1 3．（23-24高二下·江西吉安·期末）已知函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 4．（22-23高二下·江西吉安·期末）已知函数，则（    ） A． B． C．6 D． 5．（22-23高二下·北京房山·期末）已知函数，则 ． 题型十、借助导数求切线（共7小题） 1．（23-24高二下·江西九江·期末）已知曲线在处的切线方程为，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·北京密云·期末）曲线在点处的切线与直线平行，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·北京怀柔·期末）设函数，曲线在点处的切线方程为，则值分别为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·江西吉安·期末）过点作曲线的切线的斜率为 ． 5．（24-25高三上·江西·期末）已知函数. (1)若，过原点的直线l与的图象相切，求l的方程； 6．（23-24高二下·江西南昌·期末）已知函数 .记 为 的导函数. (1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程； 7．（23-24高二下·北京丰台·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； 题型十一、导数的四则运算（共7小题） 1．（23-24高二下·江西九江·期末）已知曲线在处的切线方程为，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·北京密云·期末）曲线在点处的切线与直线平行，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·北京怀柔·期末）设函数，曲线在点处的切线方程为，则值分别为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·江西吉安·期末）过点作曲线的切线的斜率为 ． 5．（24-25高三上·江西·期末）已知函数. (1)若，过原点的直线l与的图象相切，求l的方程； 6．（23-24高二下·江西南昌·期末）已知函数 .记 为 的导函数. (1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程； 7．（23-24高二下·北京丰台·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； 题型十二、利用导数求函数（不含参）的单调区间（共6小题） 1．（24-25高二上·江苏淮安·期末）已知函数，则的单调递增区间为 . 2．（23-24高二上·天津·期末）已知函数，函数的单调增区间为 . 3．（23-24高二下·江西抚州·期末）已知函数 (1)求的单调增区间； 4．（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 5．（23-24高二下·北京昌平·期末）已知函数. (1)求的单调区间； 6．（23-24高二上·北京朝阳·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 题型十三、由函数在区间上的单调性求参数（共7小题） 1．（24-25高三上·江西·期末）若函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·四川自贡·期末）若函数 在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·福建福州·期末）已知函数，若在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一下·北京海淀·期末）已知函数在区间上是单调函数，则正数的一个取值为 . 5．（22-23高二下·北京海淀·期末）已知函数在上是增函数，则的取值范围是 ． 6．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知函数在区间上存在单调递减区间，则a的取值范围为 7．（24-25高二上·海南·期末）若函数在上存在单调减区间，则实数的取值范围是 题型十四、函数与导数图象之间的关系（共5小题） 1．（23-24高二下·江西赣州·期末）已知函数的定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是（    ） A．函数的增区间是 B．函数的减区间是 C．是函数的极大值点 D．是函数的极大值点 2．（24-25高二上·北京密云·期末）函数的导函数的图象如图所示，下列选项正确的是（    ） A．在区间上单调递减 B．是的极小值点 C．是的极大值点 D．曲线在处切线的斜率小于零 3．（22-23高二下·北京通州·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，给出下列四个结论：    ①在区间上单调递增 ②在区间上单调递减 ③在处取得最大值 ④在处取得极小值 其中结论一定正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（多选）（24-25高二上·山东滨州·期末）已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数的结论不正确的是（   ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．当时，函数有极小值 D．当时，函数有极小值 5．（多选）（24-25高二上·江苏南京·期末）如图是函数的导函数的图象，则（   ） A．函数的图象在处切线的斜率小于零 B．函数在区间上单调递增 C．在时，函数取得极值 D．在时，函数取得极值 题型十五、利用导数讨论函数（含参）的单调区间（共7小题） 1．（24-25高三上·江西吉安·期末）函数，． (1)求证：函数有且仅有一个零点； (2)讨论函数在区间上的单调性． 2．（23-24高二下·江西南昌·期末）已知函数 .记 为 的导函数. (1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程； (2)讨论 的单调性. 3．（24-25高二上·北京密云·期末）已知函数，. (1)判断函数的单调性； 4．（24-25高三上·北京石景山·期末）设函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； 5．（23-24高二下·北京通州·期末）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)求的单调区间； 6．（23-24高二下·北京大兴·期末）已知函数，． (1)若是函数的极值点，求实数的值； (2)求函数的单调区间； 7．（23-24高三上·北京丰台·期末）已知函数． (1)若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值； (2)求函数的单调区间． 题型十六、函数的极值问题（共7小题） 1．（23-24高二下·江西南昌·期末）设 为函数 的极值点，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·江西南昌·期末）若函数在上存在极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知函数，若在开区间内存在极大值点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·北京密云·期末）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)求的极值． 6．（24-25高三上·云南德宏·期末）已知函数． (1)若函数在处的切线与直线垂直，求实数a； (2)若函数有极大值，且极大值不大于0，求实数a的取值范围． 7．（24-25高三上·重庆长寿·期末）已知函数为非零实数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若存在极值，且极值不小于，求的取值范围． 题型十七、函数的最值问题（共5小题） 1．（23-24高二下·江西九江·期末）函数的最大值为（   ） A．1 B．2 C． D． 2．（24-25高三上·江西·期末）已知函数. (1)若，过原点的直线l与的图象相切，求l的方程； (2)若，求的最大值. 3．（23-24高二下·江西赣州·期末）已知函数的图象过点，且在点处的切线恰好与直线平行. (1)求函数的解析式； (2)求在上的最大值和最小值. 4．（22-23高二下·江西·期末）已知函数，. (1)求的单调区间； (2)设函数，且，求的最小值. 5．（22-23高二下·江西南昌·期末）已知函数在处取得极值. (1)求a，b的值； (2)求在上的最大值和最小值. 题型十八 一元线性回归模型（共6小题） 1．（24-25高二上·江西南昌·期末）经过对中学生记忆能力和识图能力进行统计分析，得到如下数据： 记忆能力 4 6 8 10 识图能力 3 5 6 8 由表中数据，求得线性回归方程为，若小明同学的记忆能力为，则可预测其识图能力为（    ） A．8 B．6 C．2 D．1.9 2．（24-25高二上·江西·期末）根据下表数据得到y关于x的线性回归方程，则 ． x 1 2 3 4 y 1 4 5 8 3．（24-25高二上·江西宜春·期末）某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表： 售出水量（单位：箱） 7 6 6 5 6 收益（单位：元） 165 142 148 125 150 (1)求收益关于售出水量的回归直线，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？ 附： 4．（23-24高二上·江西南昌·期末）新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献.某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下： 研发投入x（亿元） 1 2 3 4 5 产品收益y（亿元） 3 7 9 10 11 (1)计算的相关系数，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高） (2)求出关于的线性回归方程，并预测若想收益超过50（亿元）则需研发投入至少多少亿元？（结果保留一位小数） 参考数据：； 附：相关系数公式：； 回归直线方程的斜率. 5．（23-24高二上·江西九江·期末）2023年9月23日—10月8日，亚运会在杭州举行，“碳中和”是本届亚运会一大亮点.为了打造碳中和亚运会，杭州亚运会上线了“亚运碳中和-减污降碳协同”数字化管理平台.该平台将数字化技术运用到碳排放采集､核算､减排､注销､评价管理全流程，探索建立了一套科学完整的碳排放管理体系.值此机会，某家公司重点推出新型品牌新能源汽车，以下是其中五个月的销售单： 2023月份 5 6 7 8 9 月份代码 1 2 3 4 5 新能源车销售（万辆） 1.6 2.1 2.7 3.7 4.6 (1)根据表中数据，求出关于的线性回归方程； (2)随着亚运会的火热，新能源汽车也会一直持续下去，试估计2023年12月份该公司出售多少辆新能源汽车？ 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 6．（23-24高二上·江西赣州·期末）大气污染物（直径不大于2.5的颗粒物）的浓度超过一定限度会影响人的身体健康．为研究浓度y（单位：）与汽车流量x（单位：千辆）的线性关系，研究人员选定了10个城市，在每个城市建立交通监测点，统计了24h内过往的汽车流量以及同时段空气中的浓度，得到如下数据： 城市编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 x 1.300 1.444 0.786 1.652 1.756 1.754 1.200 1.500 1.200 0.908 13.5 y 66 76 21 170 156 120 72 120 100 129 1030 并计算得，，． (1)求变量关于的线性回归方程； (2)根据内浓度确定空气质量等级，浓度在0～35为优，35～75为良，75～115为轻度污染，115～150为中度污染，150～250为重度污染，已知某城市内过往的汽车流量为1360辆，判断该城市的空气质量等级． 参考公式：线性回归方程为，其中以． 题型十九 相关系数（共5小题） 1．（23-24高二上·江西鹰潭·期末）关于的一组样本数据的散点图中，所有样本点均在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 2．（23-24高二上·江西新余·期末）某地政府为解除空巢老人日常护理和社会照料的困境，大力培育发展养老护理服务市场．从年开始新建社区养老机构，下表为该地区近年新建社区养老机构的数量对照表． 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 新建社区养老机构 (1)若该地区参与社区养老的老人的年龄近似服从正态分布，其中年龄的有人，试估计该地参与社区养老的老人有多少？（结果按四舍五入取整数） (2)已知变量与之间的样本相关系数，请求出关于的线性回归方程，并据此估计年时，该地区新建社区养老机构的数量．（结果按四舍五入取整数） 参考公式与数据：①，.； ②若随机变量，则，，； ③，. 3．（22-23高二下·江西吉安·期末）某乡镇为了提高乡镇居民收入，对山区进行大面积指导农民种植黄茋、党参、当归等药材，同时在种植药材附近种植草，让牛羊吃，发展畜牧业，第二年将种植药材的地改种草让牛羊吃，将牛羊吃过的草地改种药材，这样药材的生长主要依靠牛羊等有机肥来供给，提高药效，同时增加农民的经济收入.现将该乡镇某农户近7年（2016-2022年对应年份代码1-7）的种植药材的收入金额绘成折线图，同时统计出相关数据：，，，，. (1)根据图中所给出的折线图，判断和哪一个更适合作为回归模型；（给出判断即可，不必说明理由） (2)求相关系数（保留两位小数）并求药材种植收入关于年份代码的回归直线方程； (3)若在生物学上将在药材附近同时种植草称作间作，将药材和草每年轮流种植称作轮作，根据题目所给信息，分析这两种种植方式对当地居民收入的影响. 附：相关系数，回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 4．（22-23高三上·江西·期末）教育部印发的《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》指出，自2022年秋季开始，劳动课将成为中小学一门独立课程．消息一出，“中小学生学做饭”等相关话题引发大量网友关注，儿童厨具也迅速走俏．这类儿童厨具并不是指传统意义上的“过家家”，而是真锅真铲真炉灶，能让孩子煎炒烹炸，把饭菜做熟了吃下肚的“真煮”儿童厨具．一家厨具批发商从2022年5月22日起，每10天就对“真煮”儿童厨具的销量统计一次，得到相关数据如下表所示． 时间 5月22~31日 6月1~10日 6月11~20日 6月21~30日 7月1~10日 7月11~20日 7月21~30日 时间代码x 1 2 3 4 5 6 7 销量/千件 9.4 9.6 9.9 10.1 10.6 11.1 11.4 根据表中数据，判断y与x是否具有线性相关关系？若具有，试求出y关于x的线性回归方程；若不具有，请说明理由．（结果保留两位小数） 附：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，相关系数，. 5．（22-23高二下·北京丰台·期末）如图是我国2015年至2023年岁及以上老人人口数（单位：亿）的折线图， 注：年份代码分别对应年份. (1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数（结果精确到）加以说明； (2)建立关于的回归方程（系数精确到），并预测2024年我国岁及以上老人人口数（单位：亿）. 参考数据：，，，. 参考公式：相关系数，若，则与有较强的线性相关性. 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，. 题型二十 独立性检验（共5小题） 1．（23-24高二上·江西鹰潭·期末）关于的一组样本数据的散点图中，所有样本点均在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 2．（23-24高二上·江西新余·期末）某地政府为解除空巢老人日常护理和社会照料的困境，大力培育发展养老护理服务市场．从年开始新建社区养老机构，下表为该地区近年新建社区养老机构的数量对照表． 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 新建社区养老机构 (1)若该地区参与社区养老的老人的年龄近似服从正态分布，其中年龄的有人，试估计该地参与社区养老的老人有多少？（结果按四舍五入取整数） (2)已知变量与之间的样本相关系数，请求出关于的线性回归方程，并据此估计年时，该地区新建社区养老机构的数量．（结果按四舍五入取整数） 参考公式与数据：①，.； ②若随机变量，则，，； ③，. 3．（22-23高二下·江西吉安·期末）某乡镇为了提高乡镇居民收入，对山区进行大面积指导农民种植黄茋、党参、当归等药材，同时在种植药材附近种植草，让牛羊吃，发展畜牧业，第二年将种植药材的地改种草让牛羊吃，将牛羊吃过的草地改种药材，这样药材的生长主要依靠牛羊等有机肥来供给，提高药效，同时增加农民的经济收入.现将该乡镇某农户近7年（2016-2022年对应年份代码1-7）的种植药材的收入金额绘成折线图，同时统计出相关数据：，，，，. (1)根据图中所给出的折线图，判断和哪一个更适合作为回归模型；（给出判断即可，不必说明理由） (2)求相关系数（保留两位小数）并求药材种植收入关于年份代码的回归直线方程； (3)若在生物学上将在药材附近同时种植草称作间作，将药材和草每年轮流种植称作轮作，根据题目所给信息，分析这两种种植方式对当地居民收入的影响. 附：相关系数，回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 4．（22-23高三上·江西·期末）教育部印发的《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》指出，自2022年秋季开始，劳动课将成为中小学一门独立课程．消息一出，“中小学生学做饭”等相关话题引发大量网友关注，儿童厨具也迅速走俏．这类儿童厨具并不是指传统意义上的“过家家”，而是真锅真铲真炉灶，能让孩子煎炒烹炸，把饭菜做熟了吃下肚的“真煮”儿童厨具．一家厨具批发商从2022年5月22日起，每10天就对“真煮”儿童厨具的销量统计一次，得到相关数据如下表所示． 时间 5月22~31日 6月1~10日 6月11~20日 6月21~30日 7月1~10日 7月11~20日 7月21~30日 时间代码x 1 2 3 4 5 6 7 销量/千件 9.4 9.6 9.9 10.1 10.6 11.1 11.4 根据表中数据，判断y与x是否具有线性相关关系？若具有，试求出y关于x的线性回归方程；若不具有，请说明理由．（结果保留两位小数） 附：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，相关系数，. 5．（22-23高二下·北京丰台·期末）如图是我国2015年至2023年岁及以上老人人口数（单位：亿）的折线图， 注：年份代码分别对应年份. (1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数（结果精确到）加以说明； (2)建立关于的回归方程（系数精确到），并预测2024年我国岁及以上老人人口数（单位：亿）. 参考数据：，，，. 参考公式：相关系数，若，则与有较强的线性相关性. 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，. $$专题01 高二下学期期末真题精选 （北师大版2019选择性必修第一册统计案例 +选择性必修第二册） （考题猜想，常考20大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 等差（比）数列通项的基本量计算（高频） · 题型二 等差（比）数列角标和性质（高频） · 题型三 等差（比）数列前项和基本量计算 · 题型四 等差（比）数列前项和性质（高频） · 题型五 数列求通项（重点） · 题型六 数列求和之分组求和法（高频） · 题型七 数列求和之裂项相消法（重点） · 题型八 数列求和之错位相减法（重点） · 题型九 导数的定义 · 题型十 借助导数求切线 （易错） · 题型十一 导数的四则运算 （易错） · 题型十二 利用导数求函数（不含参）的单调区间（易错） · 题型十三 由函数在区间上的单调性求参数（难点） · 题型十四 函数与导数图象之间的关系 · 题型十五 利用导数讨论函数（含参）的单调区间（难点） · 题型十六 函数的极值问题（重点） · 题型十七 函数的最值问题（重点） · 题型十八 一元线性回归模型（高频） · 题型十九 相关系数（难点） · 题型二十 独立性检验（易错） 题型一、等差（比）数列通项的基本量计算（共5小题） 1．（23-24高二下·江西南昌·期末）已知在等差数列 中， ，则 （    ） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】D 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算 【分析】根据等差数列的性质求出公差，结合计算即可求解. 【详解】由题意知，，则， 又，所以等差数列的公差为， 所以. 故选：D 2．（2023·北京海淀·一模）在等差数列中，，则（    ） A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】C 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等差数列的通项公式进行求解即可. 【详解】由题意知，解得，所以，所以. 故选：C. 3．（22-23高二下·湖北武汉·期末）已知等比数列中，，，则（    ） A．9 B． C．3 D． 【答案】A 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等比数列的性质即可求解. 【详解】由于，可得，， 所以， 故选:A 4．（24-25高三上·江西赣州·期末）已知等差数列的前n项和为，，，则公差 . 【答案】2 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式，列出方程组，即可求解公差. 【详解】解： 因为，， 所以 ，即，解得， 即等差数列的公差 故答案为： 5．（23-24高二下·江西九江·期末）设是等比数列，且，则 . 【答案】32 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、利用等比数列的通项公式求数列中的项 【分析】根据题意可求得等比数列的公比，再根据，求得，即可求得答案. 【详解】设的公比为，则， 由，得，解得， 所以. 故答案为：32 题型二、等差（比）数列角标和性质（共6小题） 1．（23-24高二下·江西景德镇·期末）在等差数列中，若，则其前7项和为（    ） A．7 B．9 C．14 D．18 【答案】C 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【分析】由条件利用等差数列性质可求，结合等差数列前项和公式求解结论. 【详解】因为数列为等差数列， 所以， 所以数列的前项和， 故选：C. 2．（23-24高二下·江西九江·期末）等差数列前项和为，则（   ） A．44 B．48 C．52 D．56 【答案】C 【知识点】求等差数列前n项和、利用等差数列的性质计算 【分析】根据等差数列前n项和公式结合等差数列项的性质计算即可 【详解】. 故选：C. 3．（23-24高二下·江西赣州·期末）正项等比数列中，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】根据等比数列的性质求出即可得解. 【详解】由等比数列性质可知，解得， 所以， 故选：B 4．（22-23高二下·江西吉安·期末）已知函数，在正项等比数列中，，则（    ） A．1011 B．1012 C．2023 D．2024 【答案】C 【知识点】分组（并项）法求和、等比数列下标和性质及应用 【分析】由等比数列的性质可得，求得，进而可得答案. 【详解】由题意知， 由等比数列性质可得， 所以， ， 故选：C. 5．（23-24高二上·北京朝阳·期末）已知等差数列，其前项和为，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】C 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【分析】利用等差数列性质，结合前项和公式计算即得. 【详解】在等差数列中，，解得 ， 所以. 故选： C. 6．（22-23高二下·北京房山·期末）在各项均为正数的等比数列中，若，则 ． 【答案】 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】由等比数列的性质求解即可. 【详解】由可得：， 则，因为等比数列的各项均为正数， 则. 故答案为： 题型三、等差（比）数列前项和基本量计算（共6小题） 1．（23-24高二下·江西景德镇·期末）在等差数列中，若，则其前7项和为（    ） A．7 B．9 C．14 D．18 【答案】C 【知识点】求等差数列前n项和、利用等差数列的性质计算 【分析】由条件利用等差数列性质可求，结合等差数列前项和公式求解结论. 【详解】因为数列为等差数列， 所以， 所以数列的前项和， 故选：C. 2．（23-24高二下·江西九江·期末）等差数列前项和为，则（   ） A．44 B．48 C．52 D．56 【答案】C 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【分析】根据等差数列前n项和公式结合等差数列项的性质计算即可 【详解】. 故选：C. 3．（23-24高二下·江西赣州·期末）正项等比数列中，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】根据等比数列的性质求出即可得解. 【详解】由等比数列性质可知，解得， 所以， 故选：B 4．（22-23高二下·江西吉安·期末）已知函数，在正项等比数列中，，则（    ） A．1011 B．1012 C．2023 D．2024 【答案】C 【知识点】等比数列下标和性质及应用、分组（并项）法求和 【分析】由等比数列的性质可得，求得，进而可得答案. 【详解】由题意知， 由等比数列性质可得， 所以， ， 故选：C. 5．（23-24高二上·北京朝阳·期末）已知等差数列，其前项和为，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】C 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【分析】利用等差数列性质，结合前项和公式计算即得. 【详解】在等差数列中，，解得 ， 所以. 故选： C. 6．（22-23高二下·北京房山·期末）在各项均为正数的等比数列中，若，则 ． 【答案】 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】由等比数列的性质求解即可. 【详解】由可得：， 则，因为等比数列的各项均为正数， 则. 故答案为： 题型四、等差（比）数列前项和性质（共6小题） 1．（23-24高二下·江西抚州·期末）已知等差数列与的前项和分别为，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用等差数列的性质计算、两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】利用等差数列的性质与求和公式，结合已知条件求解即可. 【详解】因为等差数列与的前项和分别为，且， 所以设， 所以 . 故选：D 2．（22-23高二下·江西吉安·期末）记为等差数列的前项和，，，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列片段和的性质及应用 【分析】结合等差数列的性质求解即可； 【详解】（法一）数列为等差数列， 有，，成等差数列， ， 解得， 故选：C. （法二）由题意知，，， 解得，， ， 故选：C. 3．（24-25高二上·河北保定·期末）记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A． B．81 C．50 D．61 【答案】D 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】根据等比数列前项和性质，即可求解. 【详解】由题可知，，成等比数列， 所以，即，得， 则此等比数列的首项是1，公比是，那么， ， 所以. 故选：D 4．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）设各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则 ． 【答案】21 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】由成等比数列，可得，代入即可得出答案. 【详解】因为是各项均为正数的等比数列， 所以成等比数列，所以， 解得：. 故答案为：. 5．（24-25高二上·湖北咸宁·期末）在前n项和为的等差数列中，，，则 . 【答案】12 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列片段和的性质及应用 【分析】根据题意可知为等差数列，结合等差中项运算求解即可. 【详解】因为数列为等差数列，可知为等差数列， 则，即，解得. 故答案为：12. 6．（24-25高三上·河南漯河·期末）已知、分别为等差数列、的前项和，，则 ． 【答案】/0.5 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】运用等差数列前n项和的函数特征求解. 【详解】根据等差数列前n项和的函数特征，可设 则. 故答案为：. 题型五、数列求通项（共10小题） 1．（23-24高二下·江西抚州·期末）在数列中，若，则（    ） A．-2 B．4 C．1 D． 【答案】B 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数列周期性的应用 【分析】由已知递推式可求出，可得此数列是以3为周期的周期数列，从而可求出答案. 【详解】因为数列中，， 所以，， ，， 所以数列是以3为周期的周期数列， 所以. 故选：B 2．（23-24高二下·江西南昌·期末）若首项为 1 的数列 满足 ，则 （    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数列周期性的应用、由递推数列研究数列的有关性质 【分析】利用此数列的递推关系，依次求出下一项，直到出现重复，则可以判断周期，从而利用周期性来得到结果. 【详解】由，得： ， ， ， ， ， ， 因为，由此得数列是一个周期为的数列， 所以，则， 故选：C. 3．（24-25高三上·山东泰安·期末）已知数列满足，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由递推关系式求通项公式 【分析】当时，代入得.将两边同时除以可得，即数列是首项为，公差为1的等差数列.利用等差数列通项公式可得，化简即可求解. 【详解】， ∴当时，，即. ， ∴数列是首项为，公差为1的等差数列， ，即. 故选：D. 4．（多选）（24-25高二上·重庆渝中·期末）设数列的前n项和为，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列为递增数列 C．数列为等差数列 D．当取最小值时， 【答案】ABD 【知识点】判断数列的增减性、判断等差数列、根据数列递推公式写出数列的项、求等差数列前n项和的最值 【分析】A. 由递推求解判断；C.由，利用累加法求解判断；B.由，利用二次函数的单调性判断；D.由数列为递增数列，且判断. 【详解】解：由题意，，所以选项A对； ，由累加法有： ，， 显然满足上式，则， 所以，所以数列不是等差数列，所以选项C错误； 又，且在区间单调递增， 所以数列为递增数列，所以选项B对： 数列为递增数列，，所以取最小值时，，故选项D对. 故选：ABD. 5．（多选）（24-25高二上·福建泉州·期末）数列满足：，，则（   ） A． B． C．数列为等差数列 D．数列的前8项和为 【答案】AC 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、由递推关系式求通项公式 【分析】由已知，求出数列的通项，然后依次验证即可. 【详解】因为， 所以,当时, ， 又，满足，所以，故B错误； 则，故A正确； 则，所以数列为等差数列，故C正确； 数列的前8项和为 ，故D错误. 故选：AC. 6．（23-24高二上·北京通州·期末）已知数列的通项公式是，使数列中存在负数项的一个t的值为 ． 【答案】（答案不唯一，中的一个值） 【知识点】判断或写出数列中的项 【分析】记，然后分类讨论、，当以及时可直接根据通项公式的取值正负作出判断，当时，根据的正负作出判断，由此可求解出结果. 【详解】记， 当时，即，显然恒成立，不满足要求； 当时，或， 若，则，所以恒成立，不满足要求； 若，此时，必然满足数列中存在负数项， 由上可知，的可取值的范围是，故可取， 故答案为：（答案不唯一，中的一个值）. 7．（23-24高二下·江西赣州·期末）已知等差数列的公差成等比数列，数列的前项和公式为. (1)求数列和的通项公式： 【答案】(1)， 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用定义求等差数列通项公式、利用an与sn关系求通项或项、错位相减法求和 【分析】（1）根据等差数列的通项公式求等差数列的通项公式，根据数列的前项和，求数列的通项公式. 【详解】（1）由题意：，，， 因为成等比数列， 所以或， 又，所以，所以. 所以. 对数列：当时，， 当时，，， 两式相减得：， 所以是以2为首项，2为公比得等比数列，所以. 8．（23-24高二下·江西抚州·期末）已知数列的首项，且. (1)求数列的通项公式： 【答案】(1) 【知识点】累乘法求数列通项、裂项相消法求和 【分析】（1）将等式变形为，并通过累乘法求解数列通项公式； 【详解】（1）因为， 所以， 即， 将上述个式子相乘得， 所以，当时，成立， 故. 9．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列满足． (1)求的通项公式； 【答案】(1)； 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、求等比数列前n项和 【分析】（1）根据给定条件，利用求出数列通项公式. （2）由（1）求出，再利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）数列中，， 当时，， 两式相减得，解得，当时，，满足上式， 所以的通项公式为. 10．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知为数列的前n项和，，． (1)求的通项公式； 【答案】(1)； 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）利用的关系式探究数列的特性，再求出其通项公式. 【详解】（1）数列中，由，得， 两式相减得，而，则， 又，，因此，数列是首项为2，公差为1的等差数列 所以的通项公式. 题型六、数列求和之分组求和法（共5小题） 1．（23-24高三上·江西·期末）已知等比数列的首项，公比为，的项和为且，，成等差数列. (1)求的通项： (2)若，，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】等差中项的应用、求等差数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据题意，先验证不符合要求，然后再由列出方程，即可求得，从而得到通项公式； （2）根据题意，可得，其奇数次项依次构成一个首项为1，公比为4的等比数列，而偶数次项依次构成一个首项为，公差为的等差数列，然后结合数列求和的公式，代入计算即可得到结果． 【详解】（1）由题意，若， 由首项，可知，， 此时，不符合题意，故， 则由， 可得 化简整理，得， 解得（舍去），或， ，． （2）由（1），可得， 故数列的奇数项是以1为首项，4为公比的等比数列，偶数项是以为首项，为公差的等差数列， ． 2．（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知是公比大于1的等比数列，，且成等差数列. (1)求的通项公式； (2)若是等差数列，且.设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和 【分析】（1）设等比数列公比为，由可得关于的方程，据此可得答案； （2）由题可得的通项公式，然后由分组求和法可得答案. 【详解】（1）设等比数列公比为，因成等差数列， 则. 则； （2）设公差为d，因， 则，得. 则，故 . 3．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1). (2). 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据等差数列通项公式及求和公式列式计算可得结果； （2）根据分组求和法、等差数列求和公式及等比数列求和公式可得结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意，，解得， 所以， 故数列的通项公式 （2）由（1）知，， 所以 . 故数列的前项和. 4．（22-23高一下·北京海淀·期末）已知首项为0的无穷等差数列中，，，成等比数列. (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前2n项和. 【答案】(1)； (2). 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）等差数列的公差为，由等比数列的性质列式可得或，验证可得，根据等差数列的通项公式即可求解； （2），由分组求和法，结合等差数列与等比数列的求和公式即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，，成等比数列，所以， 即，即，解得或. 若，则，则，不能是等比数列中的项，故不符合题意. 所以，, 可得，，符合，，成等比数列， 所以. （2）， 所以 . 所以. 5．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知首项为的数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】求等比数列前n项和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项、构造法求数列通项 【分析】（1）分析可知数列是以首项为，公比为3的等比数列，即可得，即求数列的通项公式； （2）整理可得，利用分组求和结合等比数列求和公式运算求解. 【详解】（1）因为，可得， 且， 可知数列是以首项为，公比为3的等比数列， 则，可得， 当时，， 且符合上式，所以. （2）由（1）可知：， 可得 ， 所以. 题型七、数列求和之裂项相消法（共5小题） 1．（23-24高二下·江西九江·期末）已知数列满足，且为等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】由递推关系式求通项公式、写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和 【分析】（1）根据已知关系式，利用等比数列定义求通项公式即可； （2）利用裂项法求解前项和. 【详解】（1）由题意，得，由，得. 为等比数列，且公比， （2）由（1）得， 2．（23-24高二下·江西·期末）已知数列满足.记. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和； (3)若，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【知识点】由递推关系证明等比数列、错位相减法求和、裂项相消法求和、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据给定的递推公式，结合等比数列定义推理即得. （2）利用（1）的结论求出，再利用分组求和及错位相减法求和即得. （3）由（2）求出，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】（1）由，得，而，则， 又，因此， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）得，，则， 令数列的前项和为，则， ， 两式相减得，则， 所以. （3）由（2）知， ， 而，所以. 3．（23-24高三上·河南南阳·期末）在数列中，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】判断等差数列、利用定义求等差数列通项公式、等比中项的应用、裂项相消法求和 【分析】（1）由等差数列的定义及等比中项的性质可得结果； （2）根据裂项相消求和法可得结果. 【详解】（1）由，即，可知数列是以1为公差的等差数列．           因为成等比数列，所以，所以，解得，                              所以， 故数列的通项公式为. （2），                则 所以数列的前n项和. 4．（22-23高二下·江西·期末）已知等差数列的公差不为0，且，，，，成等比数列， (1)求数列的通项公式： (2)若数列满足，记为数列的前n项和，求. 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用、裂项相消法求和 【分析】（1）根据等比中项的性质以及等差数列的通项公式，建立方程，求得公差，可得答案； （2）根据（1）所得到的通项，整理数列的通项公式，利用裂项相消，可得答案. 【详解】（1）由为等差数列，则，由等差数列，可设其公差为， 则，即，又因为，且，所以； 所以是以为首项，为公差的等差数列，可得. （2）由（1）可知，又，可得； 所以，再通过裂项相消得到： ，所以 5．（22-23高二下·江西九江·期末）已知等差数列的前项和为，. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、裂项相消法求和 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，结合等差数列的通项公式可求得的通项公式； （2）求得，利用裂项相消法可求得. 【详解】（1）解：设等差数列的公差为，由已知得，解得， 故. （2）解：， 所以. 题型八、数列求和之错位相减法（共6小题） 1．（23-24高二下·江西新余·期末）已知公差大于0的等差数列和公比大于0的等比数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和 【分析】(1)设数列的公差为，数列的公比为，由，求出，可得; (2)由的通项公式，利用错位相减求出的前项和,利用作差法求解单调递增，进而证明结果. 【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为， 由， 则， 由①式平方除②式得：，得,或（舍） 故， 通项公式分别为. （2） ， 两式相减可得 . ， 数列为递增数列， 又，. 2．（23-24高二下·江西鹰潭·期末）已知数列的首项，且. (1)证明：是等比数列. (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】错位相减法求和、由递推关系证明等比数列 【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可； （2）结合（1）中结论求得的通项公式，再利用错位相减法及分组求和法即可得解. 【详解】（1）因为，所以 因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列 （2）由（1）知，则， 所以.. 记， 则， 两式相减得 所以，故 3．（23-24高二下·江西景德镇·期末）设为数列的前项和，且. (1)为何值时，是等比数列； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】求等比数列前n项和、写出等比数列的通项公式、利用an与sn关系求通项或项、错位相减法求和 【分析】（1）利用已知条件，结合，得到，然后构造即可得解； （2）由（1）问求出的通项公式，从而求出的通项公式，然后用错位相减法求和即可得解. 【详解】（1）当时，，即，所以， 当时，①，②， ①②得：，即，所以， 所以，当时，是等比数列，首项为6，公比为3. （2）由第（1）问得，，所以， 所以， ， 故 所以. 4．（23-24高二下·江西南昌·期末）已知数列 的前 项和 满足 . (1)求 的通项公式； (2)求数列 的前 项和 . 【答案】(1) (2) 【知识点】求等比数列前n项和、错位相减法求和、由Sn求通项公式 【分析】（1）根据计算即可求解； （2）由（1）知，当时；当时，利用错位相减法计算即可求解. 【详解】（1）， 当时，， 当时，， 则； 又不符合上式，所以. （2）由（1）知，设， 当时，； 当时，， 所以， 则， 两式相减得， 所以， 综上，. 5．（23-24高二下·江西吉安·期末）已知为数列的前n项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前n项和，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】错位相减法求和、求等比数列前n项和、数列不等式恒成立问题、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由，可得：，两式相减化为：，利用等比数列的通项公式即可得出． （2）由，利用错位相减法即可得出．根据关于单调递增，即可证明结论． 【详解】（1）， ， 两式相减，得， ， 又当时，， 为等比数列，公比为， . （2）设， ，则， 两式相减，得 化简得． ，， ， ， 关于单调递增，， 6．（23-24高三上·江西赣州·期末）已知数列满足．记． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】求等比数列前n项和、错位相减法求和、由递推关系证明等比数列 【分析】（1）利用递推公式化简计算及等比数列的定义证明即可； （2）结合（1）的结论结合错位相减法计算即可. 【详解】（1）由， 可得， 因为， 所以表示以1为首项，2为公比的等比数列； （2）由（1）得，，可得， 记， 则， ， 两式相减，可得， 即， 所以. 题型九、导数的定义（共5小题） 1．（23-24高二下·江西抚州·期末）已知函数，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】利用极限的计算方法即可得解. 【详解】因为函数, 所以, 所以. 故选：A. 【点睛】 2．（23-24高二下·江西景德镇·期末）设函数，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【知识点】导数（导函数）概念辨析、基本初等函数的导数公式、导数的加减法、求某点处的导数值 【分析】先求出，再结合导数定义即可得解. 【详解】由题， 故由导数定义得. 故选：A. 3．（23-24高二下·江西吉安·期末）已知函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率）、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、求某点处的导数值 【分析】求出，再由导数定义可得答案. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 4．（22-23高二下·江西吉安·期末）已知函数，则（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【知识点】导数定义中极限的简单计算、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、求某点处的导数值 【分析】求导，可得，再利用导数的定义求解即可. 【详解】因为函数， 所以，则， 故     ， 故选：B. 5．（22-23高二下·北京房山·期末）已知函数，则 ． 【答案】2 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、基本初等函数的导数公式、导数的加减法、求某点处的导数值 【分析】根据导数的定义和导数的运算公式求解. 【详解】因为，所以，则， 所以， 故答案为：2. 题型十、借助导数求切线（共7小题） 1．（23-24高二下·江西九江·期末）已知曲线在处的切线方程为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】导数的运算法则、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】求导后运用导数几何意义解题即可． 【详解】， 将代入，得. 故选：D. 2．（24-25高二上·北京密云·期末）曲线在点处的切线与直线平行，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】利用切线与直线平行得到切线的斜率，再利用导数求出在点处的导数值利从而求出结果. 【详解】令则直线的斜率为 则. 故选：B. 3．（23-24高二下·北京怀柔·期末）设函数，曲线在点处的切线方程为，则值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】简单复合函数的导数、导数的运算法则、已知切线（斜率）求参数 【分析】对函数求导后，由题意可得，得到关于的方程，再由得到关于的方程，解方程组可得结果. 【详解】由，得， 因为曲线在点处的切线方程为， 所以，， 解得. 故选：B 4．（24-25高三上·江西吉安·期末）过点作曲线的切线的斜率为 ． 【答案】2 【知识点】求过一点的切线方程 【分析】设切点坐标，由导数得几何意义求得切线方程，代入即可求解； 【详解】，设切点横坐标为， 故曲线在处的切线方程为l：， 将，代入，得， 解得，∴， 故答案为：2 5．（24-25高三上·江西·期末）已知函数. (1)若，过原点的直线l与的图象相切，求l的方程； 【答案】(1)； 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、求过一点的切线方程 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程即可； 【详解】（1）当时，，则， 设过原点的直线l与的图象在处相切，则切线斜率， 所以，即，所以，则，且， 所以l的方程为，则. 6．（23-24高二下·江西南昌·期末）已知函数 .记 为 的导函数. (1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程； 【答案】(1) 【知识点】简单复合函数的导数、导数的运算法则、含参分类讨论求函数的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）根据导数的几何意义计算即可求解； 【详解】（1）当时，，则， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即； 7．（23-24高二下·北京丰台·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； 【答案】(1)； 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值 【分析】（1）求导，利用导数值求解斜率，由点斜式即可求解直线方程， 【详解】（1）由已知得， 所以． 因为，所以切点为， 故曲线在点处的切线方程为． 题型十一、导数的四则运算（共7小题） 1．（23-24高二下·江西九江·期末）已知曲线在处的切线方程为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】导数的运算法则、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】求导后运用导数几何意义解题即可． 【详解】， 将代入，得. 故选：D. 2．（24-25高二上·北京密云·期末）曲线在点处的切线与直线平行，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】利用切线与直线平行得到切线的斜率，再利用导数求出在点处的导数值利从而求出结果. 【详解】令则直线的斜率为 则. 故选：B. 3．（23-24高二下·北京怀柔·期末）设函数，曲线在点处的切线方程为，则值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】简单复合函数的导数、导数的运算法则、已知切线（斜率）求参数 【分析】对函数求导后，由题意可得，得到关于的方程，再由得到关于的方程，解方程组可得结果. 【详解】由，得， 因为曲线在点处的切线方程为， 所以，， 解得. 故选：B 4．（24-25高三上·江西吉安·期末）过点作曲线的切线的斜率为 ． 【答案】2 【知识点】求过一点的切线方程 【分析】设切点坐标，由导数得几何意义求得切线方程，代入即可求解； 【详解】，设切点横坐标为， 故曲线在处的切线方程为l：， 将，代入，得， 解得，∴， 故答案为：2 5．（24-25高三上·江西·期末）已知函数. (1)若，过原点的直线l与的图象相切，求l的方程； 【答案】(1)； 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、求过一点的切线方程 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程即可； 【详解】（1）当时，，则， 设过原点的直线l与的图象在处相切，则切线斜率， 所以，即，所以，则，且， 所以l的方程为，则. 6．（23-24高二下·江西南昌·期末）已知函数 .记 为 的导函数. (1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程； 【答案】(1) 【知识点】简单复合函数的导数、导数的运算法则、含参分类讨论求函数的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）根据导数的几何意义计算即可求解； 【详解】（1）当时，，则， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即； 7．（23-24高二下·北京丰台·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； 【答案】(1)； 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值 【分析】（1）求导，利用导数值求解斜率，由点斜式即可求解直线方程， 【详解】（1）由已知得， 所以． 因为，所以切点为， 故曲线在点处的切线方程为． 题型十二、利用导数求函数（不含参）的单调区间（共6小题） 1．（24-25高二上·江苏淮安·期末）已知函数，则的单调递增区间为 . 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】对函数求导，令导函数大于零求解即可. 【详解】由题意， 由得， 所以的单调递增区间为. 故答案为： 2．（23-24高二上·天津·期末）已知函数，函数的单调增区间为 . 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】利用函数单调性与导数的关系可求出函数的增区间. 【详解】函数的定义域为， 则， 由，可得，故函数的单调增区间为. 故答案为：. 3．（23-24高二下·江西抚州·期末）已知函数 (1)求的单调增区间； 【答案】(1)， 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求出，令解不等式可得答案； 【详解】（1）， 由解得，或， 所以的单调增区间为，； 4．（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1)． (2)单调减区间是，单调增区间是． 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）求出导函数，计算导数得切线斜率，再求得后由点斜式得切线方程并整理成一般式； （2）由得增区间，由得减区间． 【详解】（1），，又， 所以切线方程为，即． （2），定义域是， ， 当时，，当时，， 所以的单调减区间是，单调增区间是． 5．（23-24高二下·北京昌平·期末）已知函数. (1)求的单调区间； 【答案】(1)的单调递增区间为和，递减区间为； 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】 （1）求导，直接利用导数求单调区间即可； 【详解】（1）因为，所以， 令，即，解得或， 且当时，，当时，， 所以的单调递增区间为和，递减区间为； 6．（23-24高二上·北京朝阳·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 【答案】(1) (2)单调递增区间为；单调递减区间为 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）由导数的几何意义利用导数求切线的斜率，再由点斜式求切线方程； （2）按步骤利用导数求函数的单调区间. 【详解】（1）由，的定义域为. 则， 所以，又， 所以在点处的切线方程为. （2）， 由，得，或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以函数的单调递增区间为； 单调递减区间为. 题型十三、由函数在区间上的单调性求参数（共7小题） 1．（24-25高三上·江西·期末）若函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】问题化为在上恒成立，利用导数研究右侧单调性并确定其值域下界，即可得参数范围. 【详解】因为在区间上单调递增， 所以，即在上恒成立， 令且，则，即在上单调递增， 所以，故. 故选：C 2．（22-23高二下·四川自贡·期末）若函数 在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】求出函数的极值点，分析可知函数在区间上存在极值点，可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】函数的定义域为，且， 令，可得， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以函数的唯一极值点为， 因为函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数， 则函数在区间上存在极值点，且， 所以，解得. 故选：A. 3．（24-25高三上·福建福州·期末）已知函数，若在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】由在上恒成立进行求解即可． 【详解】解：， 因为在上单调递增， 所以在上恒成立， 则， 解得， 故选：C 4．（22-23高一下·北京海淀·期末）已知函数在区间上是单调函数，则正数的一个取值为 . 【答案】（答案不唯一，只要满足即可） 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】首先分析函数在上单调递增，则在上单调递增且函数值大于等于，当时求出函数的导函数，则在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，再利用导数求出函数的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为在上单调递增，且当时， 又函数在区间上是单调函数， 则在上单调递增且函数值大于等于， 当时，且， 则，则在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 又，所以. 故答案为：（答案不唯一，只要满足即可） 5．（22-23高二下·北京海淀·期末）已知函数在上是增函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】将单调性转化为在上恒成立，构造函数利用导数求解最值即可求解. 【详解】由题意可知在上恒成立，所以在上恒成立， 记， 当单调递增，当单调递减，故当取极小值也是最小值，且， 故，即，所以， 故答案为： 6．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知函数在区间上存在单调递减区间，则a的取值范围为 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】问题等价于在有解,再应用参变分离法解之，构造函数，只需即可. 【详解】由函数，可得， 因为函数在区间上存在单调递减区间， 即在有解，即在有解， 设，可得， 所以函数单调递增，所以，即． 故答案为：． 7．（24-25高二上·海南·期末）若函数在上存在单调减区间，则实数的取值范围是 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、求含sinx(型)函数的值域和最值、二倍角的正弦公式 【分析】求出，由已知可得在有解，即在有解，即可求得实数的取值范围. 【详解】因为， 而时，函数存在单调减区间， 所以在有解， 即有解， 因为，所以，即在有解， 又因为，所以，所以． 故答案为： . 题型十四、函数与导数图象之间的关系（共5小题） 1．（23-24高二下·江西赣州·期末）已知函数的定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是（    ） A．函数的增区间是 B．函数的减区间是 C．是函数的极大值点 D．是函数的极大值点 【答案】C 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数与导函数图象之间的关系、函数极值点的辨析 【分析】根据函数图象确定导函数的符号，确定函数的单调区间和极值. 【详解】根据的图象可知： 当时，；时，，当时，，当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 因此函数在时取得极小值，在取得极大值. 故ABD错误，C正确. 故选：C 2．（24-25高二上·北京密云·期末）函数的导函数的图象如图所示，下列选项正确的是（    ） A．在区间上单调递减 B．是的极小值点 C．是的极大值点 D．曲线在处切线的斜率小于零 【答案】C 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】根据导数的几何意义与极值极值点的定义分别判断各选项. 【详解】对于A，由图象可知，当时，，函数单调递增，故A错误； 对于B，由图象可知，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递增，故不是的极小值点，故B错误； 对于C，由图象可知，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，故是的极大值点，故C正确； 对于D，由图象可知，则曲线在处切线的斜率大于零，故D错误. 故选：C. 3．（22-23高二下·北京通州·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，给出下列四个结论：    ①在区间上单调递增 ②在区间上单调递减 ③在处取得最大值 ④在处取得极小值 其中结论一定正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系、函数极值点的辨析 【分析】根据给定的图象求出大于0或小于0的x取值范围，再逐一判断各个命题作答. 【详解】观察图象知，当或时，，当或时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增，①错误，②正确； 函数在处取得极大值，由于函数的值情况未给出，不一定是最大值，③错误； 在处取得极小值，④正确， 所以结论一定正确的个数是2. 故选：B 4．（多选）（24-25高二上·山东滨州·期末）已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数的结论不正确的是（   ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．当时，函数有极小值 D．当时，函数有极小值 【答案】ABD 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】由有，结合图像逐项去分析即可判断. 【详解】由有， 由图可知的分布如图所示： 当时，，，，所以， 所以在单调递增，故A错误； 当时，，所以，即，在单调递减，故B错误； 当时，，所以，由图可知当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增，所以时的极小值点，故当时，函数有极小值，故C正确； 当时，，所以，由图可知当时，，所以，所以， 所以在单调递增，所以当时，函数有极大值，故D错误. 故选：ABD. 5．（多选）（24-25高二上·江苏南京·期末）如图是函数的导函数的图象，则（   ） A．函数的图象在处切线的斜率小于零 B．函数在区间上单调递增 C．在时，函数取得极值 D．在时，函数取得极值 【答案】BC 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】根据导函数图象分析原函数的性质判断各项的正误即可. 【详解】对于A，的图象在处的切线斜率为，故A错误； 对于B，当时，且，此时单调递增，故B正确； 对于C，是导函数的一个变号零点，故当时取得极值，故C正确； 对于D，不是导函数的一个变号零点，故当时不能取得极值，故D错误. 故选：BC 题型十五、利用导数讨论函数（含参）的单调区间（共7小题） 1．（24-25高三上·江西吉安·期末）函数，． (1)求证：函数有且仅有一个零点； (2)讨论函数在区间上的单调性． 【答案】(1)证明见解析 (2)在区间上单调递减，在区间上单调递增 【知识点】利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间、零点存在性定理的应用 【分析】（1）先求导函数得出单调递增，再根据当时，，结合零点存在定理证明即可； （2）根据导函数判断单调性结合平移判定单调区间即可. 【详解】（1）∵，∴单调递增， 当时，，∵，又，∴，． ∴使，∴有且仅有一个零点． （2） ， 令，则函数的图像向左平移个单位长度，得函数的图象． 由（1）知，，当时，，当时，，其中，． ∴当时，，当时，． ∴当时，，，，则，函数单调递增． ∴函数在区间上单调递减，在区间上单调递增 2．（23-24高二下·江西南昌·期末）已知函数 .记 为 的导函数. (1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程； (2)讨论 的单调性. 【答案】(1) (2)详解见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间、导数的运算法则、简单复合函数的导数 【分析】（1）根据导数的几何意义计算即可求解； （2）设，分类讨论当、时对应的单调性即可. 【详解】（1）当时，，则， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即； （2），则， 设，则， 令，得， 当即时，，， 此时在上单调递增； 当即时，，.，. 此时在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 3．（24-25高二上·北京密云·期末）已知函数，. (1)判断函数的单调性； 【答案】(1)在区间单调递减，在区间单调递增 【知识点】利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）先求导，再结合导数与函数单调性的关系判断即可. 【详解】（1）由 ，， 得．     因为，令，所以．     当时，，在区间单调递减；     当时，，在区间单调递增．     所以，在区间单调递减，在区间单调递增． 4．（24-25高三上·北京石景山·期末）设函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）根据导数的几何意义即可得解； （2）导函数，由联想到可依据和的大小关系分类讨论，以便确定导函数的符号，从而确定函数的单调性； 【详解】（1）当时，，则. 又，则所求切线的斜率. 所以曲线在点处的切线方程为 ，即. （2）的定义域为. ，因为，当且仅当时，等号成立； ①若，则，当且仅当时，， 此时的单调递增区间为，无减区间； ②若，由，即， 解得，，因为，所以， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 综上所述，当时，的单调递增区间为，无减区间； 当时，的单调递增区间为和， 单调递减区间为. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； 5．（23-24高二下·北京通州·期末）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)求的单调区间； 【答案】(1)； (2)答案见解析； 【知识点】利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（不含参）、求函数零点或方程根的个数 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，探讨单调性求出最小值. （2）求出函数的导数，按导数的零点分布情况分类讨论求出单调区间. 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，，求导得， 而，则当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值为. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，，则当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，令，解得，， ①当，即时，由，得，由，得， 因此函数在上单调递减，在上单调递增； ②当，即时，由，得或，由，得， 因此函数在，上单调递增，在单调递减； ③当，即时，恒成立，函数上上单调递增； ④当，即时，由，得或，由，得， 因此函数在，上单调递增，在单调递减， 所以当时，函数的递减区间为，递增区间为； 当时，函数的递减区间为，递增区间为，； 当时，函数的递增区间为，无递减区间； 当时，函数的递减区间为，递增区间为，. 6．（23-24高二下·北京大兴·期末）已知函数，． (1)若是函数的极值点，求实数的值； (2)求函数的单调区间； 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数 【分析】（1）根据极值点定义可构造方程求得，再检验即可； （2）分别在和两种情况下，根据导函数的正负得到原函数的单调区间； 【详解】（1）因为，所以， 是的极值点， ，解得，经检验符合题意； （2）函数定义域为，， 当时，恒成立，所以在上单调递增， 的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，令，解得， 当时，；当时，； 的单调递增区间为；单调递减区间为； 综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 7．（23-24高三上·北京丰台·期末）已知函数． (1)若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】已知切线（斜率）求参数、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）先求函数的导函数，若曲线在点处的切线平行于轴，只需保证，求实数的值即可； （2）求得有两个根“和”，再分、和三种情况分析函数的单调性即可. 【详解】（1）由题可得， 因为在点处的切线平行于轴，所以， 即，解得，经检验符合题意． （2）因为， 令，得或． 当时，随的变化，，的变化情况如下表所示： 单调递增 单调递减 单调递增 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 当时，因为，当且仅当时，， 所以在区间上单调递增． 当时，随的变化，，的变化情况如下表所示： 单调递增 单调递减 单调递增 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 综上所述， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． 题型十六、函数的极值问题（共7小题） 1．（23-24高二下·江西南昌·期末）设 为函数 的极值点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据极值点求参数 【分析】根据极值点的概念，结合零点的存在性定理计算即可求解. 【详解】，则， 设，则， 因为是函数的极值点，所以是函数的零点， 又，， 所以，故. 故选：B 2．（23-24高二下·江西南昌·期末）若函数在上存在极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据极值点求参数 【分析】求导，分析可知原题意等价于与在内有交点，进而可得结果. 【详解】因为，则， 令，可得， 原题意等价于与在内有交点， 且当时，；当时，； 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 3．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知函数，若在开区间内存在极大值点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、根据极值点求参数、利用导数研究方程的根 【分析】求导，分离参数得，构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可结合分类讨论以及极值的定义求解. 【详解】由题意可得， 令，则，记，则， 当时，此时在上单调递增， 当时，此时在上单调递减，故， 当，且， 若，则，此时存在， 当时，，此时，，故在上单调递减， 当，，此时，，故在上单调递增，此时只有极小值无极大值，不符合题意舍去， 当，则，存在，使， 故当，，此时，，故在上单调递减， 当，，此时，，故在上单调递增， 当，，此时，，故在上单调递减，此时是的极大值点，符合要求， 当，即时，此时，此时，，故单调递减，不符合题意，舍去， 综上可得， 故选：C. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 4．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、根据极值求参数 【分析】对函数求导，问题化为至少有两个变号零点，导数求的极值并列不等式求参数范围. 【详解】由题设，令， 则， 当或时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减， ，且时趋向，时趋向， 要使函数既有极大值又有极小值， 即至少有两个变号零点，所以至少有两个变号零点， 所以. 故选：A 5．（24-25高二上·北京密云·期末）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)求的极值． 【答案】(1) (2)单调递增区间是和，单调递减区间是 (3)极大值为，极小值为 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）利用导数与函数单调性的关系可求出函数的增区间和减区间； （3）利用（2）中的结论可得出函数的极大值和极小值. 【详解】（1）由函数，得，所以，． 所以函数在点处的切线方程为. （2）函数的定义域为，由（1）得， 令，得或，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是. （3）由（2）可知，函数的极大值为，极小值为. 6．（24-25高三上·云南德宏·期末）已知函数． (1)若函数在处的切线与直线垂直，求实数a； (2)若函数有极大值，且极大值不大于0，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知切线（斜率）求参数、根据极值求参数 【分析】（1）求导，由导数的几何意义结合垂直关系求解即可； （2）利用导数分类讨论分析函数的单调性，由极值求解参数的取值范围即可. 【详解】（1）由题意可知：函数的定义域为，， 因为函数在处的切线与直线垂直， 所以，解得：. （2）因为. 当时，，所以函数在上单调递减，所以无极值； 当时，令得；令得； 可知函数在上单调递增，在上单调递减， 则的极大值为. 因为极大值不大于0，即， 且，可得， 记，，则， 所以在上单调递增. 而，所以由可解得. 即实数的取值范围为. 7．（24-25高三上·重庆长寿·期末）已知函数为非零实数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若存在极值，且极值不小于，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值 【分析】（1）对函数求导后，根据导数的几何意义可求出在处的切线方程； （2）对函数求导后，分和两种情况讨论，求函数的极值，然后根据题意列不等式可求出的取值范围． 【详解】（1）当时，，则，所以， 因为，所以在处的切线方程为． （2）因为，所以， 所以当时，恒成立，在定义域内单调递减，无极值，不符合题意． 当时，当，当， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值， 由题意知，所以 题型十七、函数的最值问题（共5小题） 1．（23-24高二下·江西九江·期末）函数的最大值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】解法一：求出，令，根据的正负确定的单调性即可求解； 解法二：令，通过求导判断函数的单调性即可求解. 【详解】解法一：，则， 令，则在上单调递增， 且，， 故存在，使得，，即， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 所以. 解法二：，令， 则，因为， 所以时，，在上单调递增， 时，，在上单调递减， ，即. 故选：. 【点睛】关键点点睛：求导之后，的零点存在，但无法求出，可采用虚设零点，分析零点所在的区间，结合函数的单调性即可推断. 2．（24-25高三上·江西·期末）已知函数. (1)若，过原点的直线l与的图象相切，求l的方程； (2)若，求的最大值. 【答案】(1)； (2)4. 【知识点】求过一点的切线方程、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程即可； （2）对函数求导，根据导数的符号确定区间单调性，注意隐零点的应用得到，进而求函数最值. 【详解】（1）当时，，则， 设过原点的直线l与的图象在处相切，则切线斜率， 所以，即，所以，则，且， 所以l的方程为，则. （2）当时，且， 所以， 设，易知在上单调递减， 且， 存在，使得，即，所以， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以，则的最大值为4. 3．（23-24高二下·江西赣州·期末）已知函数的图象过点，且在点处的切线恰好与直线平行. (1)求函数的解析式； (2)求在上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)最大值为4；最小值为： 【知识点】已知切线（斜率）求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）根据函数的图象过点，得到关于的一个关系式，再根据函数在处的导数为，又得到关于的一个关系式，可求的值. （2）利用导数分析函数的单调性，可求函数的最大、最小值. 【详解】（1）因为函数的图象过点， 所以. 又因为，且在点处的切线恰好与直线平行， 所以， 由得：，所以. （2）由（1）知：， 由，由或. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，，，， 所以在上的最大值为4，最小值为. 4．（22-23高二下·江西·期末）已知函数，. (1)求的单调区间； (2)设函数，且，求的最小值. 【答案】(1)单调递增区间为；单调递减区间为 (2) 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数求函数的单调区间（不含参）、导数的乘除法 【分析】（1）利用导数、三角函数的性质研究的单调性即可； （2）利用导数求的最小值，注意构造中间函数研究导数的区间符号. 【详解】（1）因为， 当时，有，此时单调递增； 当时，有，此时单调递减. 所以，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由题意得，则. 设，则. 所以在上单调递减. 所以在上，则，即在上单调递减， 此时，最小值为. 5．（22-23高二下·江西南昌·期末）已知函数在处取得极值. (1)求a，b的值； (2)求在上的最大值和最小值. 【答案】(1)， (2)， 【知识点】根据极值点求参数、由导数求函数的最值（不含参）、根据极值求参数 【分析】（1）根据极值点和极值，即可求导代入求解， （2）求解极值点处和端点处的函数值，即可比较得最值. 【详解】（1）因为，所以，   则      解得，. 当，时，， 当或，单调递增， 当单调递减，故是的极值点， 所以，. （2）由（1）可知.     由，得或，由，得，      则在和上单调递增，在上单调递减.       因为，，，， 所以， 题型十八 一元线性回归模型（共6小题） 1．（24-25高二上·江西南昌·期末）经过对中学生记忆能力和识图能力进行统计分析，得到如下数据： 记忆能力 4 6 8 10 识图能力 3 5 6 8 由表中数据，求得线性回归方程为，若小明同学的记忆能力为，则可预测其识图能力为（    ） A．8 B．6 C．2 D．1.9 【答案】D 【知识点】根据回归方程进行数据估计、根据样本中心点求参数 【分析】求出，线性回归方程恒过，代入即可求出，再令，代入求解即可. 【详解】由表中数据可得，，， 又线性回归方程为，则，解得， 故，当时，. 故选：D 2．（24-25高二上·江西·期末）根据下表数据得到y关于x的线性回归方程，则 ． x 1 2 3 4 y 1 4 5 8 【答案】1 【知识点】根据样本中心点求参数 【分析】根据给定的数表求出样本的中心点，再利用回归直线方程求出的值. 【详解】， 所以，解得． 故答案为：1 3．（24-25高二上·江西宜春·期末）某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表： 售出水量（单位：箱） 7 6 6 5 6 收益（单位：元） 165 142 148 125 150 (1)求收益关于售出水量的回归直线，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？ 附： 【答案】(1)，186元. (2) 【知识点】计算条件概率、根据回归方程进行数据估计、求回归直线方程 【分析】（1）利用公式求线性回归方程，代入数据即可得到结果. 【详解】（1）依题意可得， ， ， 当时，（元）， 即每天售出8箱水的预计收益是186元. 4．（23-24高二上·江西南昌·期末）新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献.某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下： 研发投入x（亿元） 1 2 3 4 5 产品收益y（亿元） 3 7 9 10 11 (1)计算的相关系数，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高） (2)求出关于的线性回归方程，并预测若想收益超过50（亿元）则需研发投入至少多少亿元？（结果保留一位小数） 参考数据：； 附：相关系数公式：； 回归直线方程的斜率. 【答案】(1)，相关程度较高 (2)；投入至少亿元 【知识点】求回归直线方程、相关系数的计算、根据回归方程进行数据估计 【分析】（1）直接通过计算相关系数来进行判断； （2）先计算回归直线方程，然后再做出预测. 【详解】（1）， ， ， ， 所以，所以相关程度较高； （2）由（1）得，， 所以，， 所以，令， 得，所以研发投入至少亿元. 5．（23-24高二上·江西九江·期末）2023年9月23日—10月8日，亚运会在杭州举行，“碳中和”是本届亚运会一大亮点.为了打造碳中和亚运会，杭州亚运会上线了“亚运碳中和-减污降碳协同”数字化管理平台.该平台将数字化技术运用到碳排放采集､核算､减排､注销､评价管理全流程，探索建立了一套科学完整的碳排放管理体系.值此机会，某家公司重点推出新型品牌新能源汽车，以下是其中五个月的销售单： 2023月份 5 6 7 8 9 月份代码 1 2 3 4 5 新能源车销售（万辆） 1.6 2.1 2.7 3.7 4.6 (1)根据表中数据，求出关于的线性回归方程； (2)随着亚运会的火热，新能源汽车也会一直持续下去，试估计2023年12月份该公司出售多少辆新能源汽车？ 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 【答案】(1) (2)6.74万辆 【知识点】用回归直线方程对总体进行估计、求回归直线方程 【分析】（1）先分别计算，，，再利用公式求即可求解. （2）先求2023年12月份月份代码，再利用回归方程即可求解. 【详解】（1） ，， 关于的线性回归方程为. （2）根据表中数据可知，12月份月份代码为8 （万辆）， 估计2023年12月份该公司出售6.74万辆新能源汽车. 6．（23-24高二上·江西赣州·期末）大气污染物（直径不大于2.5的颗粒物）的浓度超过一定限度会影响人的身体健康．为研究浓度y（单位：）与汽车流量x（单位：千辆）的线性关系，研究人员选定了10个城市，在每个城市建立交通监测点，统计了24h内过往的汽车流量以及同时段空气中的浓度，得到如下数据： 城市编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 x 1.300 1.444 0.786 1.652 1.756 1.754 1.200 1.500 1.200 0.908 13.5 y 66 76 21 170 156 120 72 120 100 129 1030 并计算得，，． (1)求变量关于的线性回归方程； (2)根据内浓度确定空气质量等级，浓度在0～35为优，35～75为良，75～115为轻度污染，115～150为中度污染，150～250为重度污染，已知某城市内过往的汽车流量为1360辆，判断该城市的空气质量等级． 参考公式：线性回归方程为，其中以． 【答案】(1) (2)轻度污染 【知识点】求回归直线方程、根据回归方程进行数据估计 【分析】（1）根据公式，求线性回归方程； （2）根据线性回归直线方程，预测空气中的浓度，进行判断. 【详解】（1）由题意得， 又因为， 所以 所以 所以变量y关于x的线性回归方程为． （2）当辆千辆时，可得 因为 所以该城市的空气质量等级为轻度污染． 题型十九 相关系数（共5小题） 1．（23-24高二上·江西鹰潭·期末）关于的一组样本数据的散点图中，所有样本点均在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】B 【知识点】线性回归、相关系数的意义及辨析 【分析】由题意得回归直线方程是，由此即可得解. 【详解】因为所有样本点都在直线上，所以回归直线方程是， 可得这两个变量是负相关，故这组样本数据的样本相关系数为负值， 且所有样本点都在直线上，则有相关系数. 故选：B. 2．（23-24高二上·江西新余·期末）某地政府为解除空巢老人日常护理和社会照料的困境，大力培育发展养老护理服务市场．从年开始新建社区养老机构，下表为该地区近年新建社区养老机构的数量对照表． 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 新建社区养老机构 (1)若该地区参与社区养老的老人的年龄近似服从正态分布，其中年龄的有人，试估计该地参与社区养老的老人有多少？（结果按四舍五入取整数） (2)已知变量与之间的样本相关系数，请求出关于的线性回归方程，并据此估计年时，该地区新建社区养老机构的数量．（结果按四舍五入取整数） 参考公式与数据：①，.； ②若随机变量，则，，； ③，. 【答案】(1)约为人 (2)回归方程为；约为个. 【知识点】用回归直线方程对总体进行估计、求回归直线方程、相关系数的计算、3δ原则 【分析】（1）利用原则求出的值，即可求得该地参与社区养老的老人人数为； （2）计算出的值，可求出的值，可求得的值，利用参考数据可求得的值，由此可得出回归直线方程，然后将代入回归直线方程可得结果. 【详解】（1）解：由题意可知，，，则，， 所以， ， 所以，估计该地参与社区养老的老人人数为. （2）解：由表格中的数据可得， 所以，， 由已知条件可得， 所以，， 所以，， 又因为， 显然，解得，则， 所以，关于的回归直线方程为， 当时，. 估计年时，该地区新建社区养老机构的数量约为个. 3．（22-23高二下·江西吉安·期末）某乡镇为了提高乡镇居民收入，对山区进行大面积指导农民种植黄茋、党参、当归等药材，同时在种植药材附近种植草，让牛羊吃，发展畜牧业，第二年将种植药材的地改种草让牛羊吃，将牛羊吃过的草地改种药材，这样药材的生长主要依靠牛羊等有机肥来供给，提高药效，同时增加农民的经济收入.现将该乡镇某农户近7年（2016-2022年对应年份代码1-7）的种植药材的收入金额绘成折线图，同时统计出相关数据：，，，，. (1)根据图中所给出的折线图，判断和哪一个更适合作为回归模型；（给出判断即可，不必说明理由） (2)求相关系数（保留两位小数）并求药材种植收入关于年份代码的回归直线方程； (3)若在生物学上将在药材附近同时种植草称作间作，将药材和草每年轮流种植称作轮作，根据题目所给信息，分析这两种种植方式对当地居民收入的影响. 附：相关系数，回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】(1) (2)， (3)答案见解析 【知识点】相关系数的计算、非线性回归、求回归直线方程、根据折线统计图解决实际问题 【分析】（1）根据折线图作出判断即可； （2）根据相关系数公式计算可得，根据公式计算和可得回归直线方程； （3）①间作：从土地的利用率和居民收入最大化进行分析；②轮作：从提高乡镇居民收入和提高土地的生态效益和经济效益进行分析. 【详解】（1）因为折线图更接近直线，所以更适合作为回归模型. （2）， ， 相关系数， 根据题意，可得， ，. 种植药材收入金额关于年份代码的回归直线方程为. （3）（答案不唯一，合理即可）①间作：药材和草的间作一方面可以同时发展畜牧业来增加居民收入，另一方面可以实现土地的利用率，实现单位面积内经济效益的最大化； ②轮作：一方面牛羊粪等有机肥可以用来供给药材的生长从而提高乡镇居民收入，另一方面可以调节土壤的肥沃能力，形成良性循环，进一步提高土地的生态效益和经济效益. 4．（22-23高三上·江西·期末）教育部印发的《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》指出，自2022年秋季开始，劳动课将成为中小学一门独立课程．消息一出，“中小学生学做饭”等相关话题引发大量网友关注，儿童厨具也迅速走俏．这类儿童厨具并不是指传统意义上的“过家家”，而是真锅真铲真炉灶，能让孩子煎炒烹炸，把饭菜做熟了吃下肚的“真煮”儿童厨具．一家厨具批发商从2022年5月22日起，每10天就对“真煮”儿童厨具的销量统计一次，得到相关数据如下表所示． 时间 5月22~31日 6月1~10日 6月11~20日 6月21~30日 7月1~10日 7月11~20日 7月21~30日 时间代码x 1 2 3 4 5 6 7 销量/千件 9.4 9.6 9.9 10.1 10.6 11.1 11.4 根据表中数据，判断y与x是否具有线性相关关系？若具有，试求出y关于x的线性回归方程；若不具有，请说明理由．（结果保留两位小数） 附：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，相关系数，. 【答案】y与x具有线性相关关系，y关于x的线性回归方程为. 【知识点】求回归直线方程、相关系数的意义及辨析、相关系数的计算、计算样本的中心点 【分析】由已知数据，求出，，，，，根据公式求出，即可判断相关性.进而根据最小二乘法代入公式求出，，即可得出结果. 【详解】由表格数据，得， ， 所以， ， ， 所以相关系数． 因为相关系数，接近1，所以y与x具有线性相关关系，且正相关性很强． 因为， 所以， 所以y关于x的线性回归方程为． 5．（22-23高二下·北京丰台·期末）如图是我国2015年至2023年岁及以上老人人口数（单位：亿）的折线图， 注：年份代码分别对应年份. (1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数（结果精确到）加以说明； (2)建立关于的回归方程（系数精确到），并预测2024年我国岁及以上老人人口数（单位：亿）. 参考数据：，，，. 参考公式：相关系数，若，则与有较强的线性相关性. 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，. 【答案】(1)，与之间存在较强的正相关关系 (2)，亿 【知识点】相关系数的计算、求回归直线方程、用回归直线方程对总体进行估计 【分析】（1）利用相关系数公式可得，进而可得证； （2）利用最小二乘法可得回归方程，进而可得估计值. 【详解】（1）由折线图看出，与之间存在较强的正相关关系，理由如下： 因为，，，， 所以，， ， 所以， 所以， ，故与之间存在较强的正相关关系. （2）由（1），结合题中数据可得， ，， ， 关于的回归方程为， 年对应的值为，故， 预测年我国岁及以上老人人口数为亿. 题型二十 独立性检验（共5小题） 1．（23-24高二上·江西鹰潭·期末）关于的一组样本数据的散点图中，所有样本点均在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】B 【知识点】线性回归、相关系数的意义及辨析 【分析】由题意得回归直线方程是，由此即可得解. 【详解】因为所有样本点都在直线上，所以回归直线方程是， 可得这两个变量是负相关，故这组样本数据的样本相关系数为负值， 且所有样本点都在直线上，则有相关系数. 故选：B. 2．（23-24高二上·江西新余·期末）某地政府为解除空巢老人日常护理和社会照料的困境，大力培育发展养老护理服务市场．从年开始新建社区养老机构，下表为该地区近年新建社区养老机构的数量对照表． 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 新建社区养老机构 (1)若该地区参与社区养老的老人的年龄近似服从正态分布，其中年龄的有人，试估计该地参与社区养老的老人有多少？（结果按四舍五入取整数） (2)已知变量与之间的样本相关系数，请求出关于的线性回归方程，并据此估计年时，该地区新建社区养老机构的数量．（结果按四舍五入取整数） 参考公式与数据：①，.； ②若随机变量，则，，； ③，. 【答案】(1)约为人 (2)回归方程为；约为个. 【知识点】用回归直线方程对总体进行估计、求回归直线方程、相关系数的计算、3δ原则 【分析】（1）利用原则求出的值，即可求得该地参与社区养老的老人人数为； （2）计算出的值，可求出的值，可求得的值，利用参考数据可求得的值，由此可得出回归直线方程，然后将代入回归直线方程可得结果. 【详解】（1）解：由题意可知，，，则，， 所以， ， 所以，估计该地参与社区养老的老人人数为. （2）解：由表格中的数据可得， 所以，， 由已知条件可得， 所以，， 所以，， 又因为， 显然，解得，则， 所以，关于的回归直线方程为， 当时，. 估计年时，该地区新建社区养老机构的数量约为个. 3．（22-23高二下·江西吉安·期末）某乡镇为了提高乡镇居民收入，对山区进行大面积指导农民种植黄茋、党参、当归等药材，同时在种植药材附近种植草，让牛羊吃，发展畜牧业，第二年将种植药材的地改种草让牛羊吃，将牛羊吃过的草地改种药材，这样药材的生长主要依靠牛羊等有机肥来供给，提高药效，同时增加农民的经济收入.现将该乡镇某农户近7年（2016-2022年对应年份代码1-7）的种植药材的收入金额绘成折线图，同时统计出相关数据：，，，，. (1)根据图中所给出的折线图，判断和哪一个更适合作为回归模型；（给出判断即可，不必说明理由） (2)求相关系数（保留两位小数）并求药材种植收入关于年份代码的回归直线方程； (3)若在生物学上将在药材附近同时种植草称作间作，将药材和草每年轮流种植称作轮作，根据题目所给信息，分析这两种种植方式对当地居民收入的影响. 附：相关系数，回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】(1) (2)， (3)答案见解析 【知识点】相关系数的计算、非线性回归、求回归直线方程、根据折线统计图解决实际问题 【分析】（1）根据折线图作出判断即可； （2）根据相关系数公式计算可得，根据公式计算和可得回归直线方程； （3）①间作：从土地的利用率和居民收入最大化进行分析；②轮作：从提高乡镇居民收入和提高土地的生态效益和经济效益进行分析. 【详解】（1）因为折线图更接近直线，所以更适合作为回归模型. （2）， ， 相关系数， 根据题意，可得， ，. 种植药材收入金额关于年份代码的回归直线方程为. （3）（答案不唯一，合理即可）①间作：药材和草的间作一方面可以同时发展畜牧业来增加居民收入，另一方面可以实现土地的利用率，实现单位面积内经济效益的最大化； ②轮作：一方面牛羊粪等有机肥可以用来供给药材的生长从而提高乡镇居民收入，另一方面可以调节土壤的肥沃能力，形成良性循环，进一步提高土地的生态效益和经济效益. 4．（22-23高三上·江西·期末）教育部印发的《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》指出，自2022年秋季开始，劳动课将成为中小学一门独立课程．消息一出，“中小学生学做饭”等相关话题引发大量网友关注，儿童厨具也迅速走俏．这类儿童厨具并不是指传统意义上的“过家家”，而是真锅真铲真炉灶，能让孩子煎炒烹炸，把饭菜做熟了吃下肚的“真煮”儿童厨具．一家厨具批发商从2022年5月22日起，每10天就对“真煮”儿童厨具的销量统计一次，得到相关数据如下表所示． 时间 5月22~31日 6月1~10日 6月11~20日 6月21~30日 7月1~10日 7月11~20日 7月21~30日 时间代码x 1 2 3 4 5 6 7 销量/千件 9.4 9.6 9.9 10.1 10.6 11.1 11.4 根据表中数据，判断y与x是否具有线性相关关系？若具有，试求出y关于x的线性回归方程；若不具有，请说明理由．（结果保留两位小数） 附：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，相关系数，. 【答案】y与x具有线性相关关系，y关于x的线性回归方程为. 【知识点】求回归直线方程、相关系数的意义及辨析、相关系数的计算、计算样本的中心点 【分析】由已知数据，求出，，，，，根据公式求出，即可判断相关性.进而根据最小二乘法代入公式求出，，即可得出结果. 【详解】由表格数据，得， ， 所以， ， ， 所以相关系数． 因为相关系数，接近1，所以y与x具有线性相关关系，且正相关性很强． 因为， 所以， 所以y关于x的线性回归方程为． 5．（22-23高二下·北京丰台·期末）如图是我国2015年至2023年岁及以上老人人口数（单位：亿）的折线图， 注：年份代码分别对应年份. (1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数（结果精确到）加以说明； (2)建立关于的回归方程（系数精确到），并预测2024年我国岁及以上老人人口数（单位：亿）. 参考数据：，，，. 参考公式：相关系数，若，则与有较强的线性相关性. 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，. 【答案】(1)，与之间存在较强的正相关关系 (2)，亿 【知识点】相关系数的计算、求回归直线方程、用回归直线方程对总体进行估计 【分析】（1）利用相关系数公式可得，进而可得证； （2）利用最小二乘法可得回归方程，进而可得估计值. 【详解】（1）由折线图看出，与之间存在较强的正相关关系，理由如下： 因为，，，， 所以，， ， 所以， 所以， ，故与之间存在较强的正相关关系. （2）由（1），结合题中数据可得， ，， ， 关于的回归方程为， 年对应的值为，故， 预测年我国岁及以上老人人口数为亿. $$