专题06 导数与函数的零点（方程的根）（2考点清单，知识导图+5个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（北师大版2019）

清单06 第二章 导数与函数的零点 （2个考点梳理+5题型解读+提升训练） 清单01 函数的零点 （1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点． （2）三个等价关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点． 清单02 函数零点判断 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理． 注意：单调性+存在零点=唯一零点 【考点题型一】讨论函数零点（方程的根）的个数（） 【例1】（2025·江西·模拟预测）已知函数. (1)若存在，使得的图象在处的切线过原点，求的取值范围； (2)若，判断的零点个数. 【答案】(1) (2)两个零点. 【知识点】利用导数研究函数的零点、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）利用导数的几何意义得到，再构造，利用导数求解其值域，最后得到取值范围即可. （2）利用导数判断函数的单调性，再结合零点存在性定理求解零点个数即可. 【详解】（1）由题意得定义域为， 因为，所以， 若存在，使得的图象在处的切线过原点， 则切线斜率，得到， 整理得，设，则， 所以在区间上单调递增，， 又，时，，故的取值范围是. （2）当时，， 则， 设，则在区间上单调递减， 且，，得到， 所以由零点存在性定理得存在，使得，即， 则，得到， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 得到， 又时，，时，，故有两个零点. 【变式1-1】.（2024·湖北·模拟预测）函数． (1)当时，证明：； (2)讨论函数的零点个数． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式 【分析】（1）求导可得，当时，，当时，，可证结论； （2）由已知可得，求导可得的单调性，进而可求函数的零点个数． 【详解】（1）当时，，所以，令得． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 从而，不等式得证． （2）令，则，． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 又，当时，；当时，． 从而当时，无零点；当或时，有一个零点； 当时，有两个零点． 【变式1-2】.（23-24高二下·江西赣州·期末）已知函数. (1)求函数的最值； (2)讨论函数的零点个数. 【答案】(1)最大值，无最小值 (2)当时，函数没有零点，当或时，函数只有1个零点，当时，函数有两个零点. 【知识点】利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求出导函数，令，得到函数的函数值符号区间即可得到的单调区间，从而求解最值； （2）把函数零点问题转化为方程解的个数问题，构造函数，求导得单调区间，数形结合即可求解. 【详解】（1）由函数，，得， 令，则恒成立， 所以在上单调递减，且， 所以时，，时，，所以在上单调递增，在上单调递减，即当时，取得最大值，无最小值； （2）函数的零点个数就是方程的解的个数， 整理得，令，，由（1）可知，在上单调递增， 在上单调递减，当时，取得最大值， 当趋近于0时，趋近于，当趋近于时，恒大于0且趋近于0， 作出函数图象如图：    由图知，当时，函数没有零点， 当或时，函数只有1个零点， 当时，函数有两个零点. 【变式1-3】.（23-24高二下·甘肃武威·期中）已知函数． (1)求函数的单调区间和极值： (2)若，讨论函数的零点个数． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为；极小值为，无极大值 (2)答案见解析 【知识点】利用导数研究函数的零点、求已知函数的极值、利用导数求函数的单调区间（不含参）、导数的运算法则 【分析】（1）求导后，根据正负可得单调区间；根据极值点定义可求得极值； （2）将问题转化为与的交点个数问题，结合（1）中结论作出函数图象分析可得结果． 【详解】（1）∵定义域为，， 又恒成立， ∴当时，；当时，； 的单调递减区间为，单调递增区间为； 所以极小值为，无极大值． （2）当时，，当时，，结合（1）中结论作出函数图象如图： 的零点个数等价于与的交点个数； 当时，与有且仅有一个交点； 当时，与有两个不同交点； 当时，与有且仅有一个交点； 当时，与无交点； 综上所述：当时，有唯一零点； 当时，有两个不同零点； 当时，无零点． 【变式1-4】（23-24高二下·福建福州·期末）设函数. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)试判断的零点个数，并证明你的结论. 【答案】(1)； (2)解析过程见详解. 【知识点】利用导数研究函数的零点、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）根据导数的几何意义进行求解即可； （2）利用转化法，结合导数的性质分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）因为，所以，因此， 于是有，而， 所以函数在点处的切线方程为：； （2）判断的零点个数等价于函数的图象与直线的交点个数， ， 因为， 所以当时，单调递减， 当时，，当时，，所以函数的图象与直线有一个交点； 当时， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以， 设，则， 当时，单调递增，当时，单调递减， 因此，所以， 当，时，都有，所以函数的图象与直线有二个交点， 综上所述：当时，函数有一个零点， 当时，函数有二个零点. 【点睛】方法点睛：关于零点问题，一般可以用转化为两个函数图象的交点问题. 【考点题型二】证明函数零点（方程的根）的唯一性（） 【例2】（2024·江西南昌·一模）已知函数，f(x)=-mx2-m+ln(1-m)，(m<1)． （Ⅰ）当m=时，求f(x)的极值； （Ⅱ）证明：函数f(x)有且只有一个零点． 【答案】（Ⅰ）函数极大值为，极小值为 ；（Ⅱ）见解析 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点 【解析】（Ⅰ）利用导数，通过的符号，判断出函数的单调性，找到极值点，可得结果. （Ⅱ）计算，采用分类讨论的方法，，以及，判断函数的单调性，可得结果. 【详解】（Ⅰ） ，则在递增， 在递减，在上递增， 所以函数极大值为， 极小值为． （Ⅱ） ①当时，， 只有一个零点0，符合题意； ②当时，在单调递增， 在单调递减，在单调递增， ， 令，， 显然单调递减，有，即， 则只有一个零点，符合题意； ③当时，在单调递增， 在单调递减，在单调递增， ，，由②构造的函数知， ， 则只有一个零点，符合题意． 综上所述，时，函数有且只有一个零点． 【点睛】本题考查导数的应用，关键在于对含参数的函数单调性的判断，熟练使用分类讨论的思想以及学会构造函数，使问题化繁为简，属难题. 【变式2-1】.（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)证明：当时，方程在上有且仅有一个实数解． 【答案】(1)答案不唯一，具体见解析 (2)证明见解析 【知识点】利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）先求出函数的定义域，再求出，然后分，可得出函数的单调性. （2）设，将问题转化为函数在上有且仅有一个零点，又当时，，所以只需证在上有且仅有一个零点，求出其导数，由零点存在原理即可证明. 【详解】（1）函数的定义域是，． 当时，令，得；令，得， 故在上单调递增，在上单调递减； 当时，恒成立，故在上单调递减． （2）当时，方程即为，即． 令，则， 则“方程在上有且仅有一个实数解”等价于“函数在上有且仅有一个零点”． 当时，，所以在上恒成立， 所以只需证在上有且仅有一个零点． 因为，所以当时，，， 所以在上恒成立． 所以在上单调递增，又，， 所以在上有且仅有一个零点，即在上有且仅有一个零点． 故方程在上有且仅有一个实数解． 【变式2-2】.（23-24高三下·全国·阶段练习）已知函数. （1）判断的单调性； （2）若方程有唯一实根，求证：. 【答案】（1）在上是减函数，在上是增函数；（2）证明见解析. 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求得，分析的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间； （2）设，利用导数分析函数的单调性，根据已知条件得出，其中为函数的极小值点，可得出，消去可得出，构造函数，分析函数在区间上的单调性，结合零点存在定理证得，即可得出. 【详解】（1）因为，所以，则， 所以，函数在上是增函数，且， 所以，当时，；当时，. 所以在上是减函数，在上是增函数； （2）设，则， 因为是增函数，又，， 所以存在唯一的，使得. 当时，，此时，函数单调递减； 当时，，此时，函数单调递增. 所以，. 方程有唯一实根，则， 且，即，消去得， 设，则， 所以，函数在上是减函数， 因为，，所以，即. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 【变式2-3】.（2024·全国·模拟预测）设函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若，求证：方程有唯一零点. 【答案】（1）函数在上单调递减，在上单调递增（2）证明见解析； 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）当时，，即可得出其单调区间 （2）令，，则，然后分，，三种情况讨论即可. 【详解】（1）当时，，所以，即， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. （2）令，， ①当时，，当且仅当时取等号，所以为减函数. 因为，，所以在内有唯一零点； ②当时，当或时，；当时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增. 因为，， 所以在内有唯一零点； ③当时，当或时，；当时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增. 因为，， 所以在内有唯一零点. 综上可得方程有唯一零点. 【点睛】本题考查的是利用导数研究函数的单调性和零点个数，属于较难题. 【考点题型三】利用极值（最值）研究函数的零点（方程的根）（） 【例3】（2025·江西宜春·一模）已知函数. (1)已知的导函数为，证明：有唯一实数解. (2)若函数，，，，求m的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求导可得，将问题转化为在内存在唯一零点，结合函数的单调性以及零点存在定理即可证明； （2）根据题意，将问题转化为，结合导数分别求得函数与的最值，即可得到结果. 【详解】（1）证明：的定义域为. . 由可知，等价于. 设函数，，因为，在内单调递增， 所以在内单调递增. 因为，， 所以在内存在唯一零点， 所以有唯一实数解. （2）由（1）知，当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增， 所以. 因为，所以，，. ，即. ， 令，得，令，得，令，得， 所以. 因为，，，所以， 所以，解得，所以m的取值范围为. 【变式3-1】.（23-24高二下·江西九江·期末）已知函数. (1)求的极大值与极小值之差； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）利用导数研究函数单调性，进而确定函数的极值，即可求极值之差； （2）由（1）确定给定区间的单调性，根据零点的个数及函数端点值、最值列不等式组求参数范围. 【详解】（1），令，解得或. 当或时，单调递增； 当时，单调递减. 所以的极大值为，极小值为. 所以的极大值与极小值之差为. （2）由（1）知：在上单调递减，在上单调递增， 所以，又， 因为函数在上恰有2个不同的零点， 所以，即，解得， 即实数的取值范围为. 【变式3-2】.（23-24高二下·河北石家庄·期中）已知函数. (1)若在处取得极值，求a的值； (2)若有两个零点，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）求得，由，求得，经验证，当时，函数取得极小值，符合题意； （2）由，当时， 单调递减，不符合题意；当时，利用导数求得函数的单调性与最小值，结合，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，可得函数的定义域为， 且， 因为函数在处取得极值，所以，解得， 当时，可得， 当时，，单调递减 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得极小值，符合题意. （2）解：由，其中， 当时，可得，单调递减，函数至多有一个零点，不符合题意； 当时，令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 当时，函数极小值，也是最小值，最小值为， 当时，，且， 要使得函数有两个零点，则满足，即， 解得，所以实数的取值范围是. 【变式3-3】.（23-24高三下·河南·阶段练习）已知函数． (1)若，求的极值； (2)若在区间上有两个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2) 【知识点】利用导数研究函数的零点、求已知函数的极值 【分析】（1）对求导，通过研究单调性，进而求出极值； （2）求出，对的范围进行讨论，研究单调性，进而求出结果. 【详解】（1）若，则， 且函数的定义域为， 所以． 令，解得；令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，无极小值． （2）， ①当时，，所以函数在上单调递增， 所以在上至多有一个零点，不合题意； ②当时，令，得， 令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以仅有一个极大值点， 且． 要使在上有两个零点，必有， 且， 即，且， 解得， 即实数a的取值范围为． 【考点题型四】数形结合法研究函数的零点（方程的根）（） 【例4】（23-24高三·江西·期中）已知 (1)求的最值； (2)若有两个零点，求k的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（含参） 【分析】 （1）求出函数的定义域，对函数求导，由导函数的正负确定函数的单调性，进而求出最值； （2）构造函数，求导确定函数的单调性，确定函数的最值，画出函数的图象，确定参数的取值范围. 【详解】（1） 的定义域为，. 当时，恒成立，在上单调递增，此时函数无最值. 当时，在上，，单调递增； 在上，，单调递减. 所以在处取得极大值，即最大值，. 综上可知，时，在上无最值. 时，的最大值为，无最小值. （2） 有两个零点，可得有两个实根. 令，. 令，得；令，得， 在上单调递增，在上单调递减. . 当时，，，所以，又， 时，；时，. 大致图象如图所示， 若直线与的图象有两个交点， 则，∴k的取值范围是. 【点睛】常见的根据函数的零点个数求参数取值范围的方法： 1．将函数的零点转化为对应方程的根的个数，进一步转化为函数与函数图像交点的个数； 2．根据题意直接转化为函数的图像与轴的交点的个数，讨论求出参数的取值范围. 【变式4-1】.（23-24高二下·江西南昌·期中）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求a的取值范围； 【答案】(1)函数在上单调递增，在上单调递减. (2) 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求导，根据导数的正负确定函数的单调性即可； （2）参变分离，构造函数，求导研究函数图象的单调性及极值，最值情况，求出的取值范围. 【详解】（1）由题意可知，函数的定义域为， 易得，令可得， 当时，，函数为单调递减， 当时，，函数为单调递增， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. （2）根据题意，若有两个零点，即方程有两个实数根， 所以函数与有两个不同的交点， 由（1）知，在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在时取极大值，也是最大值， 且时，；时，； 时，， 画出函数如右图所示：    由图可知，若函数与有两个不同的交点，则， 即a的取值范围为. 【变式4-2】.（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）已知函数在及处取得极值． (1)求a，b的值； (2)若方程有三个不同的实根，求c的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【知识点】利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数、求已知函数的极值 【分析】（1）由已知可得，解方程即可得出.进而根据导函数的符号，检验即可得出答案； （2）根据（1）求出的极值，结合三次函数的图象，可知，求解即可得出c的取值范围． 【详解】（1）由题意得， 函数在及处取得极值， 得，解得. 此时，. 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增. 所以，在处取得极大值，在处取得极小值，满足题意. （2）由（1）知，在处取得极大值，在处取得极小值． 又有三个不同的实根， 由图象知，解得， 所以实数c的取值范围是． 【变式4-3】.（23-24高三上·江西萍乡·阶段练习）已知函数. (1)当时，求在上的最值； (2)曲线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围. 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2) 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）当时，利用导数分析函数在上的单调性，可得出函数在上的最大值和最小值； （2）对实数的取值范围进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，根据函数只有一个零点可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：当时，，则，可得或（舍）. 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，当时，， 又因为，，则. （2）解：，则. ①当时，对任意的，且不恒为零， 故函数在上单调递增，，， 由零点存在定理可知，函数在区间存在唯一零点，合乎题意； ②当时，由可得，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的极大值为，极小值为， 作出函数的图象如下图所示： 因为函数只有一个零点，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 【考点题型五】导数中新定义题（） 【例5】（24-25高三下·江苏·阶段练习）曲率是数学上衡量曲线弯曲程度的重要指标，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率为. (1)求曲线在处的曲率； (2)已知正弦曲线， ①求的曲率的平方的最大值； ②若，判断在区间上零点的个数，并写出证明过程. 【答案】(1) (2)①1②2个，证明见解析 【知识点】利用导数研究函数的零点、导数新定义、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）根据曲率的定义可求得的值； （2）①求得，令，则，故，利用导数求出函数在上的最大值，即为的最大值； ②利用导数分析函数在上的单调性，结合零点存在定理可证得结论成立. 【详解】（1）因为，所以，， 所以. （2）①已由，，则，， 令，则，故， 设，则， 在时，在上递减，所以，最大值为. ②因为，，则. 当时，因为， 所以在上单调递减. 所以，所以在上无零点； 当时，因为单调递增，且，，在上图象不间断， 所以存在，使， 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增，且，所以. 设，，， ，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 所以，所以，在上图象不间断， 所以在上存在一个零点，所以在有个零点， 综上所述，在上的零点个数为. 【变式5-1】.（24-25高三上·安徽·阶段练习）设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数13的图象的对称中心为． (1)求实数m，n的值； (2)求的零点个数. 【答案】(1) (2)3个零点． 【知识点】导数的运算法则、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点、导数新定义 【分析】（1）利用拐点的概念，结合导数的运算即可求解； （2）利用导数求出函数的单调区间，结合极值情况即可判断零点个数. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 又因为的图象的对称中心为， 所以 即解得 （2）由（I）知，， 所以， 令，得或， 当变化时，的变化情况如下表： -3 1 + 0 - 0 + ↗ 14 ↘ -18 ↗ 所以的极大值为，极小值为， 又， 所以有3个零点． 【变式5-2】.（23-24高二下·江西萍乡·期中）定义：如果函数在定义域内存在实数，使成立，其中为大于0的常数，则称点为函数的级“平移点”.已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若在上存在1级“平移点”，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数图象及性质、导数新定义 【分析】（1）通过导数求斜率进而求解切线方程即可； （2）将题意转化为与图象有公共点，通过对右侧函数值域的研究即可得到答案. 【详解】（1）当时，，. ，. 故曲线在处的切线方程为 （2）因为在上存在1级“平移点”， 所以存在，使. 由， 得， 即， 即与图象有公共点， 令， 则， 所以在上单调递增，所以， 因为，所以，，所以， 所以，所以. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 【变式5-3】.（24-25高二下·江西·阶段练习）已知函数的定义域为，区间是的子集，若的图象上存在两点，，使直线恰好是曲线的一条切线，且为切点，记直线的方程为，如果都有，则称函数是“桥函数”，称两点为“桥墩”. (1)若，试说明函数能否是以两点为“桥墩”的“桥函数”？ (2)判断函数与是不是“桥函数”？并说明你的理由. 【答案】(1)是 (2)不是“桥函数”，是 “桥函数”，理由见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数新定义、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出两点处的切线方程，再结合所给定义判断即可； （2）求出的导函数，根据导函数的单调性判断不是“桥函数”；设设，求出函数的导函数，表示出切线方程，依题意可得且，取，，结合所给定义证明即可. 【详解】（1）因为，所以，则，， 所以函数在处的切线均为， 因此经过两点的直线恰好为的一条切线， 又对恒成立， 所以函数是以两点为“桥墩”的“桥函数”. （2）函数不是“桥函数”，是 “桥函数”，理由如下： 对于函数，则，显然在定义域上单调递减， 所以在函数上任意两点的切线的斜率均不相同， 故不满足“直线恰好是曲线的一条切线”，所以不是“桥函数”； 对于，则， 设， 所以点处的切线方程为和， 所以， 所以， 不妨取且， 代入，可得 则，即， 所以，不妨取，则，， 所以， 又在点处的切线的斜率，， 所以函数在，两点的直线恰好是曲线的一条切线， 此时切线的方程为， 再说明当时，函数的图象不在的下方， 即需要说明对恒成立， 因为对任意的实数，横跨， 即恒成立， 所以是 “桥函数”. 提升训练 1．（23-24高二下·江西景德镇·期末）下列给出的四个函数中，零点的个数最多的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】根据零点的定义，以及利用导数判断函数的单调性，以及最值，零点存在性定理，即可判断零点个数最多的函数. 【详解】A. ，得，有1个零点， B. ，，得，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，当时，函数取得最大值， 且，所以只有1个零点， ，所以在区间只有1个零点， 所以函数有2个零点， C. ，，得， 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 所以当时，函数取得最小值0，所以只有1个零点， D. 在定义域单调递增，，， 所以函数只有1个零点， 综上可知，零点个数最多的是函数有2个零点. 故选：B 2．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）已知函数，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线平行，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】求导，问题转化为有两个不同的根，利用导数研究函数的单调性，结合单调性和最值可得结果. 【详解】因为，则， 令，整理得， 设，则， 时，；时，； 可知在上单调递减，在上单调递增， 则， 当趋近于时，趋近于0，当趋近于时，趋近于， 由题意可知：有两个不同的解， 即与的图像有两个不同的交点， 则，解得， 令，则， 可知， 即切点坐标为，则切线方程为， 代入点可得：，解得， 且，所以实数的取值范围是. 故选：A. 3．（2024·江西宜春·模拟预测）已知函数有3个极值点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数 【分析】将函数有三个极值点转化为导函数有三个变号零点，再根据导函数的对称性即可得出答案. 【详解】由题意知有三个变号零点， 且三个零点为，不妨设， ， 因为， 所以函数关于对称， 又，所以， 所以. 故选：D. 4．（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）关于的方程至少有两个实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用导数研究方程的根、求已知函数的极值、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】构造函数，利用导数求出极大值与极小值，再根据给定根的情况结合三次函数的图象性质列式求解即得. 【详解】令函数，依题意，函数至少有两个零点， 求导得，显然，否则恒有，在上递增，最多一个零点， 当或时，，当时，， 因此函数在，上单调递增，在上单调递减， 函数在处取得极大值，在处取得极小值， 而，由函数至少有两个零点，得，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 5．（2024·江西·模拟预测）已知函数）有三个零点，则实数a的取值范围是（    ） A．（0，） B．（0，） C．（0，1） D．（0，e） 【答案】A 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】令，得到或，令，易知有一个零点，转化为则有两个根求解. 【详解】令， 所以或， 令，则， 令，则， 当时，，h(x)在（－∞，0）上单调递增； 当时，，h(x)在（0，＋∞）上单调递减， 所以，即， 所以g(x)在R上单调递减，又，g（0）＝， 所以存在使得， 所以方程有两个异于的实数根，则， 令，则， 当时，，k(x)在（－∞，1）上单调递增； 当时，，k(x)在（1，＋∞）上单调递减，且． 所以， 所以与的部分图象大致如图所示， 由图知， 故选：A． 6．（2025·江西新余·模拟预测）若函数的图象上存在四个点能够构成一个以坐标原点O为对称中心的平行四边形，则称该函数为柯尔莫哥洛夫函数.已知函数为柯尔莫哥洛夫函数，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用导数研究函数的零点、函数新定义 【分析】设四个点分别为，，，，，，转化问题为方程在上至少存在两个不同的根，，令，结合导数分析其单调性，进而得到方程至少有两个大于1的根，可得直线与函数的图象在上的部分至少有两个交点，进而结合图象求解即可. 【详解】设四个点分别为A，B，C，D，坐标原点O为线段AC，BD的中点. 不妨设，，，，则，， 且，， 两组方程分别相加，得，， 相当于方程在上至少存在两个不同的根，. 方程等价于， 因为，，，所以，即. 令，则：等价于. 因为，所以当时，， 所以在上单调递增， 所以等价于，且方程至少有两个大于1的根. 由，得，令， 则直线与函数的图象在上的部分至少有两个交点. 当时，，当时，，当时，. 又，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且，当时，，的大致图象如图. 由图可知当时，直线与函数的图象在上的部分有两个交点， 即相当于方程在上有两个不同的根. 故选：A. 7．（2025·江西鹰潭·二模）已知函数，若方程有三个不同根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点 【分析】探讨给定函数的对称性及单调性，脱去法则“f”，构造函数，利用导数探讨函数的性质并作出图象，数形结合求得答案. 【详解】函数的定义域为R，且在R上单调递增， ，即， 方程，即，于是， 即，令，依题意，直线与函数的图象有三个不同的交点， 求导得，当时，， 当时，，函数在上递减，在上递增， 当时，取极小值；当时，取极大值为， 而当或时，恒有， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象， 观察图象得，原方程有三个不同实根，所以实数的取值范围为， 故选：A 二、填空题 8．（2024·福建泉州·一模）已知函数有且只有两个零点，则a的范围 ． 【答案】 【知识点】利用导数研究函数的零点、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】根据题意，转化为有两个根据，即或有两个解，分别令，，利用导数求得函数和的单调性与最值，作出函数和的图象，结合图象，即可求解. 【详解】由函数，令，可得， 即，因为，所以，所以， 可得或， 即或， 令，，可得，， 当时，可得，在单调递增，且； 当时，且； 当时，可得，在单调递减； 当时，可得，在单调递增，且， 又当时，，， 当时，且； 作出函数的图象，如图所示， 要使得有两个实数根，即有两个不同的零点， 结合图象，可得或，即实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法： 1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决； 3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解. 结论拓展：与和相关的常见同构模型 ①，构造函数或； ②，构造函数或； ③，构造函数或. 9．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知函数，若在上存在零点，则实数a的最大值是 ． 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】由在上存在零点，可转化为方程在上有解，求出在上的范围即可得. 【详解】由，在存在零点， 即在上有解， 令，，则恒成立， 故在上单调递增，故， 即， 令，，则， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故，当时，， 即有，故，即实数a的最大值是. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题关键在于将题意转化为方程在上有解后，构造出函数，及，，从而求出的最值. 10．（2024·江西宜春·三模）已知方程在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】利用导数研究方程的根、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】先分离参数，构造函数，将问题转化为函数的图象与直线在上有两个交点，再将变形，构造函数，，通过导数研究函数进而求出的取值范围. 【详解】由，得，令， 则函数的图象与直线在上有两个交点， 而； 令，，则恒成立， 故在上单调递增，故，即， 令，函数，， 则函数的图象与直线有两个交点，由， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处有极小值， 且，当且时，， 所以，即实数m的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：，将函数化成相同整体变量进而构造函数解决参数取值范围是解决导数问题的常用方法. 三、解答题 11．（24-25高二下·湖北荆州·阶段练习）已知函数； (1)若，讨论的单调性； (2)若对所有都有，求实数的取值范围； (3)若关于的方程恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【知识点】利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）写出函数，求导，对参数进行分类讨论，进而研究单调性； （2）对所有都有，参变分离，转化为最值问题即可解决; （3）研究函数的单调性，由有两个不等实根，转化为有两个不同的零点，结合函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为，所以 因为，若，即时，在上单调递增， 若，即时，令，得； 令，得，所以在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）， 当时，恒成立， 等价于恒成立， 等价于恒成立， 令，则恒成立. 当时，， 在上单调递增， ， ，即实数的取值范围为. （3）若关于的方程恰有两个不相等的实数根， 则的图象和的图象在上有两个不同的交点， 的定义域是，令，解得； 令，解得，故在上单调递减，在上单调递增， 所以. 在上单调递减，在上单调递增， 又当时，时，， 故当时，满足的图象和的图象在上有两个不同的交点， 即若关于的方程恰有两个不相等的实数根， 则，故的取值范围为. 12．（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)讨论的极值点个数； (2)探究的零点个数. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【知识点】利用导数研究函数的零点、求已知函数的极值点 【分析】（1）对a分类讨论，判断的正负，得的单调性和极值点个数； （2）令，分离参数，将的零点个数问题转化为直线与曲线的交点个数问题． 【详解】（1）定义域为，， ①当时，，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，有1个极值点． ②当时，令，得或， （ⅰ）当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，有2个极值点； （ⅱ）当时，，，所以在上单调递增，无极值点； （ⅲ）当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调增，有2个极值点． 综上，当时，有1个极值点；当时，无极值点；当或时，有2个极值点． （2）由题知，． 当时，由，得， 则的零点个数即直线与曲线的交点个数． 令， 则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增． 因为，当，且时，，当时，， 又时，，且当时，，当时，． 所以的大致图象如图所示． 由图象可知，当时，与曲线有2个交点；当时，与曲线有1个交点． 所以，当时，有2个零点；当时，有1个零点． 13．（2025·河北秦皇岛·三模）给定函数，，定义：（其中表示不超过的最大整数）.已知函数. (1)判断函数在上的单调性； (2)证明：当时，函数的图象在直线的上方； (3)若关于的方程在内有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）由题意，得到，分，，，和，五种情况讨论，得出函数的单调区间； （2）根据题意，当时，得到在为常数函数，又由，得到，满足的图象在直线的上方；当时，得到，转化为，令，得到在上单调递增，证得，即可得证； （3）当时，得到，转化为在内有解，令函数，得到，令，求得，进而得到单调递减，结合，，即可求解. 【详解】（1）解：由函数， 当时，，此时， 可得，在上单调递减； 当时，，此时， 可得，在上单调递减； 当时，，此时，此时在为常数函数； 当时，，此时， 可得，在上单调递单调递增， 当时，，此时， 可得，在上单调递单调递增， 综上可得：在区间，上单调递减；在上为常数函数； 在上单调递增函数；在上单调递增函数； （2）解：当时，，此时，此时在为常数函数， 由函数，可得，即，满足的图象在直线的上方； 当时，，此时， 只需证明，即证， 令，可得，在上单调递增， 则，所以满足的图象在直线的上方， 综上可得，当时，函数的图象在直线的上方. （3）解：当时，可得，可得， 方程，即为在内有解， 即为在内有解， 设，可得， 令，可得， 所以单调递减，且，所以，所以单调递减， 所以，， 所以的取值范围为. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单06 第二章 导数与函数的零点 （2个考点梳理+5题型解读+提升训练） 清单01 函数的零点 （1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点． （2）三个等价关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点． 清单02 函数零点判断 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理． 注意：单调性+存在零点=唯一零点 【考点题型一】讨论函数零点（方程的根）的个数（） 【例1】（2025·江西·模拟预测）已知函数. (1)若存在，使得的图象在处的切线过原点，求的取值范围； (2)若，判断的零点个数. 【变式1-1】.（2024·湖北·模拟预测）函数． (1)当时，证明：； (2)讨论函数的零点个数． 【变式1-2】.（23-24高二下·江西赣州·期末）已知函数. (1)求函数的最值； (2)讨论函数的零点个数. 【变式1-3】.（23-24高二下·甘肃武威·期中）已知函数． (1)求函数的单调区间和极值： (2)若，讨论函数的零点个数． 【变式1-4】（23-24高二下·福建福州·期末）设函数. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)试判断的零点个数，并证明你的结论. 【考点题型二】证明函数零点（方程的根）的唯一性（） 【例2】（2024·江西南昌·一模）已知函数，f(x)=-mx2-m+ln(1-m)，(m<1)． （Ⅰ）当m=时，求f(x)的极值； （Ⅱ）证明：函数f(x)有且只有一个零点． 【变式2-1】.（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)证明：当时，方程在上有且仅有一个实数解． 【变式2-2】.（23-24高三下·全国·阶段练习）已知函数. （1）判断的单调性； （2）若方程有唯一实根，求证：. 【变式2-3】.（2024·全国·模拟预测）设函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若，求证：方程有唯一零点. 【考点题型三】利用极值（最值）研究函数的零点（方程的根）（） 【例3】（2025·江西宜春·一模）已知函数. (1)已知的导函数为，证明：有唯一实数解. (2)若函数，，，，求m的取值范围. 【变式3-1】.（23-24高二下·江西九江·期末）已知函数. (1)求的极大值与极小值之差； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求的取值范围. 【变式3-2】.（23-24高二下·河北石家庄·期中）已知函数. (1)若在处取得极值，求a的值； (2)若有两个零点，求a的取值范围. 【变式3-3】.（23-24高三下·河南·阶段练习）已知函数． (1)若，求的极值； (2)若在区间上有两个零点，求实数a的取值范围． 【考点题型四】数形结合法研究函数的零点（方程的根）（） 【例4】（23-24高三·江西·期中）已知 (1)求的最值； (2)若有两个零点，求k的取值范围. 【变式4-1】.（23-24高二下·江西南昌·期中）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求a的取值范围； 【变式4-2】.（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）已知函数在及处取得极值． (1)求a，b的值； (2)若方程有三个不同的实根，求c的取值范围． 【变式4-3】.（23-24高三上·江西萍乡·阶段练习）已知函数. (1)当时，求在上的最值； (2)曲线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围. 【考点题型五】导数中新定义题（） 【例5】（24-25高三下·江苏·阶段练习）曲率是数学上衡量曲线弯曲程度的重要指标，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率为. (1)求曲线在处的曲率； (2)已知正弦曲线， ①求的曲率的平方的最大值； ②若，判断在区间上零点的个数，并写出证明过程. 【变式5-1】.（24-25高三上·安徽·阶段练习）设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数13的图象的对称中心为． (1)求实数m，n的值； (2)求的零点个数. 【变式5-2】.（23-24高二下·江西萍乡·期中）定义：如果函数在定义域内存在实数，使成立，其中为大于0的常数，则称点为函数的级“平移点”.已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若在上存在1级“平移点”，求的取值范围. 【变式5-3】.（24-25高二下·江西·阶段练习）已知函数的定义域为，区间是的子集，若的图象上存在两点，，使直线恰好是曲线的一条切线，且为切点，记直线的方程为，如果都有，则称函数是“桥函数”，称两点为“桥墩”. (1)若，试说明函数能否是以两点为“桥墩”的“桥函数”？ (2)判断函数与是不是“桥函数”？并说明你的理由. 提升训练 1．（23-24高二下·江西景德镇·期末）下列给出的四个函数中，零点的个数最多的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）已知函数，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线平行，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江西宜春·模拟预测）已知函数有3个极值点，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）关于的方程至少有两个实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江西·模拟预测）已知函数）有三个零点，则实数a的取值范围是（    ） A．（0，） B．（0，） C．（0，1） D．（0，e） 6．（2025·江西新余·模拟预测）若函数的图象上存在四个点能够构成一个以坐标原点O为对称中心的平行四边形，则称该函数为柯尔莫哥洛夫函数.已知函数为柯尔莫哥洛夫函数，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·江西鹰潭·二模）已知函数，若方程有三个不同根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（2024·福建泉州·一模）已知函数有且只有两个零点，则a的范围 ． 9．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知函数，若在上存在零点，则实数a的最大值是 ． 10．（2024·江西宜春·三模）已知方程在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ． 三、解答题 11．（24-25高二下·湖北荆州·阶段练习）已知函数； (1)若，讨论的单调性； (2)若对所有都有，求实数的取值范围； (3)若关于的方程恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 12．（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)讨论的极值点个数； (2)探究的零点个数. 13．（2025·河北秦皇岛·三模）给定函数，，定义：（其中表示不超过的最大整数）.已知函数. (1)判断函数在上的单调性； (2)证明：当时，函数的图象在直线的上方； (3)若关于的方程在内有解，求实数的取值范围. / 学科网（北京）股份有限公司 $$