专题03 导数的概念意义及运算（考点清单，知识导图+8个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（北师大版2019）

清单03 第二章 导数的概念意义及运算 （4个考点梳理+10题型解读+提升训练） 清单01 函数的平均变化率 定义：一般地，函数在区间上的平均变化率为：，表示为函数从到的平均变化率，若设,则平均变化率为 清单02 函数在处的导数（瞬时变化率） 定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作. 清单03 导数的几何意义 如图,在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.则割线的斜率 清单04 曲线的切线问题 1、在型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2、过型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率；计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【考点题型一】求平均变化率（） 【例1】（24-25高二下·福建厦门·阶段练习）如果质点M的运动方程是，那么在时间段内的平均速度是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高二下·广西南宁·期中）函数在区间上的平均变化率等于 . 【变式1-2】.（24-25高三上·上海·期中）函数在区间上的平均变化率为 . 【变式1-3】.（24-25高二下·广西南宁·期中）已知函数. (1)当，且时，求函数的增量Δy和平均变化率; (2)设，分析（1）问中的平均变化率的几何意义. 【考点题型二】求瞬时变化率（） 【例2】（24-25高二下·北京·期中）一物体做直线运动，其位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则时，其速度（单位：m/s）为（    ） A． B． C．0 D．2 【变式2-1】.（24-25高二下·天津·期中）一个做直线运动的质点的位移与时间的关系式为，若该质点的瞬时速度为时，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】.（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）一质点做直线运动，其运动的位移（单位：）与时间（单位：）的关系为，则时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高二下·黑龙江鸡西·阶段练习）某物体的运动路程（单位：）， 时间（单位：）之间的关系，求在时的瞬时速度（      ） A．4 B．5 C．6 D．8 【考点题型三】导数概念中极限的简单计算（） 【例3】（24-25高二下·吉林松原·期中）设函数，则（   ） A．0 B．1 C． D． 【变式3-1】.（24-25高二下·甘肃白银·期中）已知函数，则 ． 【变式3-2】.（24-25高二下·辽宁·期中）已知函数，则= ． 【变式3-3】.（24-25高二下·上海黄浦·期中）设函数的导函数为，若，则 ． 【考点题型四】求在某一点出切线（） 【例4】（24-25高二下·天津南开·期中）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 【变式4-1】.（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知函数，则的图象在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二下·贵州贵阳·期中）曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】.（24-25高二下·北京·期中）函数在处的切线方程为 . 【考点题型五】求过某一点处切线（） 【例5】（24-25高二下·湖北孝感·期中）已知函数 (1)求曲线在处的切线方程. (2)若直线过且与曲线相切，求直线的方程. 【变式5-1】.（24-25高二下·云南昆明·期中）已知曲线，过点作切线，则的方程为 ． 【变式5-2】.（24-25高二下·河南·期中）求下列直线的方程： (1)曲线在处的切线； (2)曲线过点的切线． 【变式5-3】.（24-25高二下·河南·阶段练习）已知曲线.若曲线在处的切线方程为. (1)求，的值； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 【考点题型六】已知切线求参数（） 【例6】（24-25高二下·河南·期中）函数在处的切线与直线平行，则实数（ ） A． B．1 C． D． 【变式6-1】.（24-25高二下·辽宁·期中）若直线是曲线的切线，则（   ） A．0 B． C． D． 【变式6-2】.（24-25高二下·重庆·期中）曲线在点处的切线与直线垂直，则（   ） A．2 B．0 C． D． 【变式6-3】.（24-25高二下·河南·期中）若曲线在处的切线经过点，则实数 ． 【变式6-4】（24-25高二下·四川广安·期中）已知函数在点的切线与直线平行，求的值 . 【考点题型七】已知某点处的导数值求参数 【例7】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）设函数，若，则 ． 【变式7-1】.（24-25高二上·河南安阳·期末）已知函数，若，则（    ） A．e B． C．1 D． 【变式7-2】.（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，且，则m的值为（    ） A． B．2 C． D． 【变式7-3】.（23-24高二下·湖北孝感·阶段练习）已知函数（且），若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式7-4】.（23-24高二下·青海西宁·阶段练习）已知函数，且，则 . 【考点题型八】导数的加减乘除，复合运算（） 【例8】（多选）（24-25高二下·河南·期中）下列求导数的运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】.（多选）（24-25高二下·辽宁·期中）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】.（多选）（24-25高二下·广东东莞·期中）下列函数求导正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（多选）（24-25高二下·广东江门·期中）下列求导正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-4】.（多选）（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期中）下列求函数的导数正确的是（    ） A． B．. C． D． 【考点题型九】已知切线的条数求参数（） 【例9】（多选）（23-24高二下·河北唐山·期中）已知函数，若曲线过点的切线有两条，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】.（24-25高二下·河南·阶段练习）若曲线与有且仅有一条斜率为1的公切线，则实数（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】.（24-25高一下·上海·期中）若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围为 ． 【变式9-3】.（24-25高二下·上海浦东新·期中）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ． 【变式9-4】.（24-25高二下·广东佛山·期中）过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为 ． 【考点题型十】公切线问题（） 【例10】（2025·辽宁·模拟预测）曲线与曲线的公切线方程为 . 【变式10-1】.（2025·云南昆明·模拟预测）若直线同时与曲线和曲线相切，则直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】.（24-25高二下·山东临沂·期中）已知过点的直线是曲线与的公共切线，则实数的值为（    ） A．或3 B．1或 C． D．3 【变式10-3】.（24-25高二下·山东菏泽·期中）可与曲线和的公切线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式10-4】（24-25高二下·浙江·期中）已知函数，，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为（   ） A． B． C． D． 提升训练 一、单选题 1．（2025高三·全国·专题练习）已知曲线在处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·重庆·期中）函数在处的切线斜率为（   ） A． B．4 C． D． 3．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知函数，曲线在点处的切线方程是，则曲线在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·上海浦东新·期中）若函数在处可导，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．（24-25高二下·山东威海·期中）函数的导函数为（    ） A． B． C． D． 6．（2025高三·全国·专题练习）若曲线在点处的切线斜率为3，则a的值为（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．1或 7．（2025高三·全国·专题练习）若是函数的导函数，，则（ ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知函数，其导函数记为，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 二、多选题 9．（24-25高二下·宁夏银川·期中）下列命题正确的有（    ） A．已知函数，若，则 B．已知函数在上可导，若，则 C． D．设函数的导函数为，且，则 10．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）若一条自来水管道中流过的水量（单位：）与时间（单位：）的函数关系为.水流量的大小为单位时间内流过的水的体积，则下列说法正确的是（   ） A．在这段时间里，平均水流量为 B．在这段时间里，平均水流量为 C．在时的瞬时水流量为 D．每经过，水管中流过的水量为 三、填空题 11．（2025·上海浦东新·三模）曲线的图象上有一动点，则在此动点处切线的斜率的取值范围为 . 12．（24-25高二下·广东江门·期中）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿在《流数法》一书中给出了高次代数方程的一种数值求法——牛顿法，用“作切线”的方法求方程的近似解.如图，方程的根就是函数的零点，取初始值，在处的切线与轴的交点横坐标为，在处的切线与轴的交点横坐标为，一直继续下去，得到、、、、，它们越来越接近.若，取，则用牛顿法得到的的近似值 . 四、解答题 13．（24-25高二下·辽宁大连·期中）（1）已知函数，求曲线在处的切线的斜率与方程； （2）已知函数，求过点且与曲线相切的直线方程． 14．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知函数． (1)求在区间上的平均变化率； (2)求曲线在处的切线． 15．（24-25高二下·广东江门·期中）已知函数. (1)求； (2)若函数，求曲线在点处的切线方程. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 第二章 导数的概念意义及运算 （4个考点梳理+10题型解读+提升训练） 清单01 函数的平均变化率 定义：一般地，函数在区间上的平均变化率为：，表示为函数从到的平均变化率，若设,则平均变化率为 清单02 函数在处的导数（瞬时变化率） 定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作. 清单03 导数的几何意义 如图,在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.则割线的斜率 清单04 曲线的切线问题 1、在型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2、过型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率；计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【考点题型一】求平均变化率（） 【例1】（24-25高二下·福建厦门·阶段练习）如果质点M的运动方程是，那么在时间段内的平均速度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平均变化率 【分析】由平均速度的定义求解即可. 【详解】由题意可得平均速度是. 故选：A 【变式1-1】（24-25高二下·广西南宁·期中）函数在区间上的平均变化率等于 . 【答案】 【知识点】平均变化率 【分析】根据题意，利用函数平均变化率的计算公式，进行计算，即可求解. 【详解】由函数， 可得函数在上的平均变化率为 故答案为：. 【变式1-2】.（24-25高三上·上海·期中）函数在区间上的平均变化率为 . 【答案】3 【知识点】平均变化率 【分析】根据平均变化率的定义，函数的平均变化率为，分别计算出的值代入计算即可. 【详解】由题意得，函数在区间上的平均变化率为， 故答案为：3. 【变式1-3】.（24-25高二下·广西南宁·期中）已知函数. (1)当，且时，求函数的增量Δy和平均变化率; (2)设，分析（1）问中的平均变化率的几何意义. 【答案】(1)，. (2)答案见解析 【知识点】平均变化率 【分析】（1）当且时，求得，得到函数的增量为，再求得的值，即可得到答案. （2）根据题意，得到，结合直线斜率的概念，即可求解. 【详解】（1）解：由函数， 当且时，可得，即函数的增量为， 则平均变化率. （2）解：由，可得， 且， 表示曲线上两点和所在的直线的斜率为. 【考点题型二】求瞬时变化率（） 【例2】（24-25高二下·北京·期中）一物体做直线运动，其位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则时，其速度（单位：m/s）为（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、导数的加减法 【分析】根据瞬时速度与导数的关系求时的速度. 【详解】由题设，则，即时，其速度（单位：m/s）为2. 故选：D 【变式2-1】.（24-25高二下·天津·期中）一个做直线运动的质点的位移与时间的关系式为，若该质点的瞬时速度为时，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、求某点处的导数值 【分析】质点在某个时刻的瞬时速度即函数在该时刻的导函数值，故先将位移对时间进行求导，再由求即可. 【详解】质点在某个时刻的瞬时速度即函数在该时刻的导函数值，故先将位移对时间进行求导，有 ， 该质点的瞬时速度为时，有. 故选：. 【变式2-2】.（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）一质点做直线运动，其运动的位移（单位：）与时间（单位：）的关系为，则时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、导数的加减法、求某点处的导数值 【分析】求导可得，代入即可得结果. 【详解】因为，则， 所以当时，. 故选：B. 【变式2-3】（24-25高二下·黑龙江鸡西·阶段练习）某物体的运动路程（单位：）， 时间（单位：）之间的关系，求在时的瞬时速度（      ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、导数的运算法则、求某点处的导数值 【分析】求导，求出，从而求出时的瞬时速度. 【详解】，故时，， 故在时的瞬时速度为5. 故选：B 【考点题型三】导数概念中极限的简单计算（） 【例3】（24-25高二下·吉林松原·期中）设函数，则（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【知识点】导数定义中极限的简单计算、基本初等函数的导数公式、求某点处的导数值 【分析】利用导数的极限定义，将极限值化成，再对原函数求导代入即得. 【详解】由求导，可得：. 而，故. 故选：C. 【变式3-1】.（24-25高二下·甘肃白银·期中）已知函数，则 ． 【答案】 【知识点】导数定义中极限的简单计算、简单复合函数的导数、求某点处的导数值 【分析】求出函数的导函数，即可求出，再根据导数的极限定义计算即得. 【详解】因为，所以， 则， 所以. 故答案为： 【变式3-2】.（24-25高二下·辽宁·期中）已知函数，则= ． 【答案】 【知识点】导数定义中极限的简单计算、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】求导，即可代入求解的值，进而根据导数的定义即可极限的运算性质即可求解. 【详解】，故， 故， 故答案为： 【变式3-3】.（24-25高二下·上海黄浦·期中）设函数的导函数为，若，则 ． 【答案】4 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】利用导数的定义求解即可. 【详解】由题设， 所以. 故答案为：4. 【考点题型四】求在某一点出切线（） 【例4】（24-25高二下·天津南开·期中）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、导数的乘除法 【分析】根据函数解析式先写出切点坐标，再对函数求导根据导数的几何意义写出切线的斜率，最后由点斜式写出直线方程. 【详解】因为函数，所以， 故切点坐标为， ， 切点处的导数值为切线的斜率，所以， 用点斜式写出切线方程：， 整理得：. 故答案为： 【变式4-1】.（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知函数，则的图象在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的乘除法 【分析】构建，可得，求导，结合导数的几何意义求切线方程. 【详解】构建， 则，， 可得，，可知切线坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. 故选：A. 【变式4-2】（24-25高二下·贵州贵阳·期中）曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则 【分析】求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切线方程. 【详解】因为，所以， 所以，，即切点为，切线的斜率， 所以切线方程为，即. 故选：A 【变式4-3】.（24-25高二下·北京·期中）函数在处的切线方程为 . 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】函数，求导得，则，而， 所以所求切线方程为. 故答案为：. 【考点题型五】求过某一点处切线（） 【例5】（24-25高二下·湖北孝感·期中）已知函数 (1)求曲线在处的切线方程. (2)若直线过且与曲线相切，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程 【分析】（1）利用商的导数来求正切函数的导数，即可求在某点处的切线方程； （2）利用导数公式来求经过某点的切线方程. 【详解】（1）由， 则，， 则所求的切线方程为：， 即 （2）由，设切点为， 则， 切线方程为： 又在切线上，则，得. 所以的方程为：， 即 【变式5-1】.（24-25高二下·云南昆明·期中）已知曲线，过点作切线，则的方程为 ． 【答案】 【知识点】求过一点的切线方程、导数的运算法则 【分析】求出函数的导函数，利用导数的几何意义计算可得. 【详解】因为，所以，则，显然点在上， 所以过点作切线的方程为，即. 故答案为： 【变式5-2】.（24-25高二下·河南·期中）求下列直线的方程： (1)曲线在处的切线； (2)曲线过点的切线． 【答案】(1) (2)或 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程、导数的运算法则 【分析】（1）根据导数的几何意义，先求导，再根据直线的点斜式方程求解即可； （2）设切点为，再根据导数的几何意义求得切线方程，再代入求解即可. 【详解】（1），故曲线在处的切线斜率为， 故在处的切线方程为，即； （2）设切点为，因为，故曲线在处的切线方程为， 化简可得，代入可得， 即，解得或， 代入切线方程可得或. 【变式5-3】.（24-25高二下·河南·阶段练习）已知曲线.若曲线在处的切线方程为. (1)求，的值； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】(1)， (2)和 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程、已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】（1）对函数求导，根据导数的几何意义以及切线斜率计算可得，的值； （2）设切点，由经过点解方程可得或，即可得出直线方程. 【详解】（1）易知，因为，， 所以在处的切线方程为， 即， 所以，， 可得，； （2）由（1）可知， 设切点坐标为，则， 故切线方程为， 因为切线过，所以，即， 所以或， 当时，切线斜率为3，此时切线方程为； 当时，切线斜率为，此时切线方程为； 故过点且与曲线相切的直线方程为和， 即和. 【考点题型六】已知切线求参数（） 【例6】（24-25高二下·河南·期中）函数在处的切线与直线平行，则实数（ ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】函数在切点处的导数即为切线的斜率，利用直线的平行得到斜率相等，得关于的方程，可求出的值. 【详解】函数的导函数为 ， 函数在处的切线的导数即为切线的斜率为， 且切线与直线平行， 则有 ，可得 . 故选：C 【变式6-1】.（24-25高二下·辽宁·期中）若直线是曲线的切线，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知切线（斜率）求参数 【分析】设切点坐标为，则利用结合导数的几何意义求得，再将点坐标代入直线和曲线方程，即可求解. 【详解】，则， 设切点坐标为，则，解得， 又点在直线上，又在曲线上， 即，又，解得. 故选：B 【变式6-2】.（24-25高二下·重庆·期中）曲线在点处的切线与直线垂直，则（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】D 【知识点】已知切线（斜率）求参数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、简单复合函数的导数 【分析】求导，根据导数的几何意义结合直线垂直运算求解即可. 【详解】因为，则，， 又因为直线的斜率为1， 由题意可得，解得. 故选：D. 【变式6-3】.（24-25高二下·河南·期中）若曲线在处的切线经过点，则实数 ． 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的加减法 【分析】求出切点坐标与切线斜率，利用导数几何意义可得出关于的等式，即可解得实数的值. 【详解】令，则，，则， 切点为，由导数的几何意义可得，即，解得. 故答案为：. 【变式6-4】（24-25高二下·四川广安·期中）已知函数在点的切线与直线平行，求的值 . 【答案】1 【知识点】已知切线（斜率）求参数 【分析】根据导数的几何意义，即可求解. 【详解】，由题意可知，直线的斜率为2，所以，得. 故答案为：1 【考点题型七】已知某点处的导数值求参数 【例7】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）设函数，若，则 ． 【答案】2 【知识点】导数的运算法则、已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再代入求出的值. 【详解】函数，求导得，由，得， 所以. 故答案为：2 【变式7-1】.（24-25高二上·河南安阳·期末）已知函数，若，则（    ） A．e B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】简单复合函数的导数、已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】求出，再由可得答案. 【详解】， 若，则， 解得. 故选：A. 【变式7-2】.（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，且，则m的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【知识点】利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率）、已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】∵， ∴， ∴，，解得． 故选：D. 【变式7-3】.（23-24高二下·湖北孝感·阶段练习）已知函数（且），若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】基本初等函数的导数公式、已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】求导，结合运算求解即可. 【详解】因为，则， 则，又因为且，解得． 故选：B． 【变式7-4】.（23-24高二下·青海西宁·阶段练习）已知函数，且，则 . 【答案】 【知识点】已知某点处的导数值求参数或自变量、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得. 【详解】根据题意，， 由，得，解得. 故答案为：. 【考点题型八】导数的加减乘除，复合运算（） 【例8】（多选）（24-25高二下·河南·期中）下列求导数的运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】导数的运算法则、导数的乘除法、基本初等函数的导数公式 【分析】根据初等函数的导数和导数的四则运算逐项计算即可. 【详解】对A，根据基本初等函数及导数的求导法则知，，选项A正确： 对B，因为是常数．所以，选项B错误： 对C，根据基本初等函数及导数的求导法则知，，选项C正确： 选项，选项D错误． 故选：AC． 【变式8-1】.（多选）（24-25高二下·辽宁·期中）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】导数的运算法则、简单复合函数的导数、基本初等函数的导数公式 【分析】根据导数的四则运算法则以及复合函数的求导法则代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，因为是常数，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D， ，故D正确. 故选：BCD. 【变式8-2】.（多选）（24-25高二下·广东东莞·期中）下列函数求导正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】导数的运算法则、简单复合函数的导数、基本初等函数的导数公式、导数的乘除法 【分析】ABD选项，利用导数四则运算法则求解；C选项，利用复合函数求导公式进行求解. 【详解】A选项，，A正确； B选项，，B正确； C选项，，C错误； D选项，，D错误. 故选：AB 【变式8-3】（多选）（24-25高二下·广东江门·期中）下列求导正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】导数的运算法则、简单复合函数的导数 【分析】根据求导法则及简单复合函数的求导法则计算可得. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D正确. 故选：BCD 【变式8-4】.（多选）（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期中）下列求函数的导数正确的是（    ） A． B．. C． D． 【答案】BC 【知识点】导数的乘除法、简单复合函数的导数、导数的加减法 【分析】利用复合函数的求导法则可判断A选项；利用导数的运算法则可判断BCD选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D错. 故选：BC. 【考点题型九】已知切线的条数求参数（） 【例9】（多选）（23-24高二下·河北唐山·期中）已知函数，若曲线过点的切线有两条，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的加减法 【分析】设切点为，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据过点的切线有两条，从而可得关于的方程有两个不同的根，由此得解即可. 【详解】设切点为，直线的斜率为，又， 则，所以切线方程为， 将代入化简得， 因为过点的切线有两条，所以得到方程有两个不同的实数解， 所以，且，解得或， 即实数的取值范围为. 则实数的值可以为和，故C，D正确. 故选：CD 【变式9-1】.（24-25高二下·河南·阶段练习）若曲线与有且仅有一条斜率为1的公切线，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则、已知切线（斜率）求参数 【分析】根据导数的几何意义以及切线方程的求解方法计算即可求解. 【详解】设公切线在曲线与的切点分别是， 由，得，所以，解得， 又，即，所以切线方程为； 由，得，所以，解得， 又，即， 因为点也在切线上， 所以，解得. 故选：B 【变式9-2】.（24-25高一下·上海·期中）若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】求已知函数的极值、求过一点的切线方程 【分析】设切点为,利用导数的几何意义先求切线方程，由切线方程过点得，令，即与的图像有三个交点， 利用导数研究极值即可求解. 【详解】设切点为，则，所以， 所以切线方程为， 又切线过点，所以， 即，令， 所以，即与的图象有三个交点， 所以，令有或， 由得或，得， 所以在单调递减，在上单调递增， 所以的极大值为，的极小值为， 所以，即， 故答案为：. 【变式9-3】.（24-25高二下·上海浦东新·期中）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】∵， ∴，设切点为，则， 切线方程为：， ∵切线过原点， ∴， 整理得：， ∵切线有两条，∴， ∴的取值范围是， 故答案为： 【变式9-4】.（24-25高二下·广东佛山·期中）过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为 ． 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】分别求出曲线在点，点处的切线方程，再将点代入化简即可. 【详解】设，，由曲线，得， 所以 曲线在点处的切线方程为， 把代入切线方程，得，又，化简得， 同理可得曲线在点处的切线方程为， ，都满足直线，直线的方程为． 故答案为： 【考点题型十】公切线问题（） 【例10】（2025·辽宁·模拟预测）曲线与曲线的公切线方程为 . 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】设两个函数的切点，求导，根据点斜式分别求解切线方程，进而得，构造函数，求导得函数单调性，进而求解方程的根得解. 【详解】设公切线与曲线切于点，与曲线切于点， 易知公切线的斜率存在，对求导得， 可得公切线的斜率， 所以公切线方程为，即①. 对求导得， 所以公切线方程为， 即②. 由①②得所以， 令，，所以， 当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以， 所以公切线方程为，即. 故答案为： 【变式10-1】.（2025·云南昆明·模拟预测）若直线同时与曲线和曲线相切，则直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】设切线分别切两曲线于，，则直线斜率为，从而可得，，再利用导数，即可求解． 【详解】因为和曲线， 所以，，， 设切线分别切两曲线于，， 则直线斜率为，所以， 所以，， 设，，则，， 所以当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以，且当与时，， 所以 故选：B. 【变式10-2】.（24-25高二下·山东临沂·期中）已知过点的直线是曲线与的公共切线，则实数的值为（    ） A．或3 B．1或 C． D．3 【答案】A 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、利用导数研究方程的根 【分析】先设切点坐标为，再求切线方程，再将点代入切线方程中，构造函数，通过其单调性求出，进而求出切线方程，再联立切线方程与，利用即可求得. 【详解】设曲线的切点坐标为， 因，则切线斜率为， 故切线方程为， 将点代入切线方程中得，即， 若，则，故，则， 若，则，，，则，即， 令， 则， 则得；得， 则在上单调递增，在上单调递减， 则，即，等号成立时， 故， 故切线方程为， 联立，得， 则，得或. 故选：A 【变式10-3】.（24-25高二下·山东菏泽·期中）可与曲线和的公切线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、简单复合函数的导数、由两条直线垂直求方程 【分析】设与和分别相切于，，利用导数的几何意义得到方程，求出，即可得到切线的斜率，即可求得答案. 【详解】设与和分别相切于，， 而，， ，， ，解得，，即公切线的斜率为， 故与垂直的直线的斜率为， 所以所求直线方程可为． 故选：D． 【变式10-4】（24-25高二下·浙江·期中）已知函数，，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】设直线切函数的图象于点，利用导数的几何意义可得出直线的方程，将直线的方程与函数的解析式联立，由求出的值，即可得出直线的方程. 【详解】设直线切函数的图象于点，则，切线斜率为， 所以切线的方程为，即， 联立可得， ，整理可得， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，故方程的根为， 因此，直线的方程为，即. 故选：D. 提升训练 一、单选题 1．（2025高三·全国·专题练习）已知曲线在处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的加减法 【分析】由导数的几何意义求得切线斜率，再由垂直关系即可求解. 【详解】设，求导得， 即，即曲线在处的切线斜率为． 又曲线的切线与直线垂直， 可得，所以， 解得． 故选：C 2．（24-25高二下·重庆·期中）函数在处的切线斜率为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则、简单复合函数的导数 【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率即可. 【详解】由，则， 所以， 即函数在处的切线斜率为. 故选：D. 3．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知函数，曲线在点处的切线方程是，则曲线在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则 【分析】先求，进而得，求导得，最后代入切线方程即可求解. 【详解】由题意有，， 所以，， 所以， 所以切线方程为， 故选：B. 4．（24-25高二下·上海浦东新·期中）若函数在处可导，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】根据导数的定义及极限的相关运算性质计算可得. 【详解】因为，所以， 又函数在处可导， 所以. 故选：D 5．（24-25高二下·山东威海·期中）函数的导函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】根据常用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求解即可. 【详解】, 故选：B. 6．（2025高三·全国·专题练习）若曲线在点处的切线斜率为3，则a的值为（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．1或 【答案】D 【知识点】已知切线（斜率）求参数、简单复合函数的导数 【分析】根据导数的几何意义，即可求解. 【详解】，当时，，解得：或. 故选：D 7．（2025高三·全国·专题练习）若是函数的导函数，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】等式两侧同时求导，令，结合原等式得到关于与的方程组，解方程组求出与的值.把的值代回原等式，可确定的表达式，进而得到结果. 【详解】对求导，得， 令，得，所以． 在中，令，得， 联立，解得， 所以，得，故， 所以． 故选：C． 8．（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知函数，其导函数记为，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的应用、简单复合函数的导数、导数的运算法则 【分析】化简，令，判断该函数的奇偶性，结合奇偶性以及，求得，根据复合函数求导法则得，进而得，即，即可得解. 【详解】因为， 令，则， 又因为，所以函数为奇函数， 所以，所以； 因为，所以，即， 又，所以，所以， 所以． 故选：D 二、多选题 9．（24-25高二下·宁夏银川·期中）下列命题正确的有（    ） A．已知函数，若，则 B．已知函数在上可导，若，则 C． D．设函数的导函数为，且，则 【答案】BD 【知识点】简单复合函数的导数、导数的运算法则、求某点处的导数值、导数定义中极限的简单计算 【分析】A选项，求导得到，从而得到方程，求出；B选项，利用导数定义得到；C选项，利用导数除法法则计算出C错误；D选项，求导，得到，代入，求出答案. 【详解】A选项，，故，解得，A错误； B选项，，B正确； C选项，，C错误； D选项，，令得， 解得，D正确. 故选：BD 10．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）若一条自来水管道中流过的水量（单位：）与时间（单位：）的函数关系为.水流量的大小为单位时间内流过的水的体积，则下列说法正确的是（   ） A．在这段时间里，平均水流量为 B．在这段时间里，平均水流量为 C．在时的瞬时水流量为 D．每经过，水管中流过的水量为 【答案】BCD 【知识点】平均变化率、瞬时变化率的概念及辨析、导数的运算法则 【分析】利用平均变化率的定义可判断AB选项；求出瞬时变化率，结合瞬时变化率的概念可判断C选项；利用函数求值可判断D选项. 【详解】函数在上的平均变化率为，故A错误，B正确； 由得，故当时，， 即在时的瞬时水流量为，故C正确； 每经过，水管中流过的水量为，故D正确． 故选：BCD 三、填空题 11．（2025·上海浦东新·三模）曲线的图象上有一动点，则在此动点处切线的斜率的取值范围为 . 【答案】 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】根据导数的几何意义，即可求解. 【详解】，根据导数的几何意义可知，切线的斜率的取值范围为. 故答案为： 12．（24-25高二下·广东江门·期中）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿在《流数法》一书中给出了高次代数方程的一种数值求法——牛顿法，用“作切线”的方法求方程的近似解.如图，方程的根就是函数的零点，取初始值，在处的切线与轴的交点横坐标为，在处的切线与轴的交点横坐标为，一直继续下去，得到、、、、，它们越来越接近.若，取，则用牛顿法得到的的近似值 . 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】利用导数求出曲线在处的切线方程，可求出的值. 【详解】因为，，则， 且，则， 所以，曲线在处的切线方程为，即， 由题意可得，解得． 故答案为：. 四、解答题 13．（24-25高二下·辽宁大连·期中）（1）已知函数，求曲线在处的切线的斜率与方程； （2）已知函数，求过点且与曲线相切的直线方程． 【答案】（1）切线斜率为，方程为；（2） 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】（1）利用导数的几何意义即可求得切线斜率和方程； （2）设出切点，由点斜式方程得到所求切线的方程，代入，解方程可得切点，进而得到切线方程. 【详解】（1）， ，， 所以曲线在处的切线的斜率为， 切线方程为即. （2），设切点坐标为，则， 则所求切线方程为， 代入点的坐标得，解得， 则过点且与曲线相切的直线方程为，即. 14．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知函数． (1)求在区间上的平均变化率； (2)求曲线在处的切线． 【答案】(1) (2) 【知识点】导数的运算法则、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、平均变化率 【分析】（1）根据平均变化率的定义计算可得； （2）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程； 【详解】（1）因为，所以，， 所以在区间上的平均变化率为； （2）因为，所以， 所以， 所以切点为，切线的斜率， 所以曲线在处的切线为，即. 15．（24-25高二下·广东江门·期中）已知函数. (1)求； (2)若函数，求曲线在点处的切线方程. 【答案】(1)6； (2). 【知识点】导数定义中极限的简单计算、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的定义求出极限值. （2）求出函数及其导数，再利用导数的几何意义求解. 【详解】（1）函数，求导得， 所以. （2）函数，， 求导得，则， 所以曲线在点处的切线方程为. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$