高二数学下学期期末考前必刷押题卷-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020）

高二数学下学期期末考前必刷押题卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．若，则的值是 . 2．已知，，则 ． 3．表为2020～2024年某省高三学生的近视人数（单位：万人）. 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码 1 2 3 4 5 万人 50 58 67 80 95 已知与具有线性相关关系，且满足经验回归方程，则 . 4．若两个分类变量与的列联表为： 合计 10 15 25 40 16 56 合计 50 31 81 则“与之间有关系”这个结论出错的概率为 ． 5．已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 6．被8整除的余数为 . 7．已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球(所有球除颜色外完全相同)，某学生先从甲箱中随机取出1个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出2个球，记“从乙箱中取出的2个球都是黑球”为事件B，则 ． 8．已知的取值如表所示，从散点图分析可知与线性相关，如果线性回归方程为，那么表格中数据的值为 . 0 1 2 4 4.3 4.8 6.7 9．已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a是常数，则 ． 1 2 3 … 50 … 10．如图，一只青蛙开始时位于数轴上原点的位置，每次向数轴的左侧或右侧随机跳跃一个单位长度，记为第次跳跃后对应数轴上的数字，则满足的跳跃方法有 种. 11．设是定义在R上的偶函数，为其导函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为 . 12．已知，，，，使恒成立的有序数对有 对． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上1.3m处的直径）越大，树就越高.在研究树高y与胸径x之间的关系时，某同学收集了某种树的5组观测数据（如下表）：假设树高y与胸径x满足的经验回归方程为，则（   ） 胸径x/cm 8 9 10 11 12 树高y/m 8.2 10 11 12 13.8 A．当胸径时，树高y的预测值为14 B． C．表中的树高观测数据y的40%分位数为10 D．当胸径时，树高y的离差为0.32 14．若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数为“十全十美数”，如208，136都是“十全十美数”，则一共有（    ）个“十全十美数”． A．36 B．42 C．48 D．54 15．离散型随机变量X的可能取值为1，2，3，4，，，则等于（    ）． A．10 B．5 C． D． 16．若存在实常数k和b，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，，有下列两个命题： 命题：和之间存在唯一的“隔离直线”； 命题：和之间存在“隔离直线”，且b的最小值是－1．（    ） A．命题、命题都是真命题 B．命题为真命题，命题是假命题 C．命题为假命题，命题是真命题 D．命题、命题都是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 某科技公司的厂告投入（单位：百万）与销售额（单位：千万）之间有如下对应数据： 广告投入 18 16 14 12 10 8 销售额 13 11 9 8 7 6 (1)求样本相关系数（结果保留两位小数），并判断与是否具有较强的线性相关性； (2)求销售额关于广告投入的经验回归方程. 参考公式：. 参考数据：. 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知的展开式中的第2项、第3项和第4项的二项式系数成等差数列． (1)求的值． (2)记，求被4除的余数． 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 甲和乙两人进行足球射门比赛，规定先赢满三局的人获胜，且不存在平局.已知每局比赛中，甲赢的概率为，其中. (1)若，分别计算比赛结束时甲赢的局数为2的概率及局数为3的概率； (2)记为在甲和乙进行了4局比赛分出胜负的条件下甲获胜的概率，为在甲和乙进行了5局比赛分出胜负的条件下甲获胜的概率，若，求的取值范围. 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 《哪吒2：魔童闹海》作为2025年备受瞩目的动画电影，一经上映便迅速火爆全球，影片在特效制作、角色设计、音乐制作等方面都做到了极致．假设其电影原声的音乐制作由甲、乙、丙三个音乐工作室负责．在音乐录制过程中，由于各种因素，部分录制片段会因不符合要求而不被采用．甲、乙、丙三个工作室录制音乐片段总数之比为，音乐片段可用率（能被采用的片段数占录制片段总数的比例）分别为0.8，0.6，0.6．现在从三个工作室录制的所有音乐片段中随机抽取，且每个音乐片段被抽到的可能是相同的，用频率估计概率． (1)若只取1个音乐片段，求它是由乙工作室录制的概率； (2)若抽取2个音乐片段，其中由甲工作室录制的音乐片段数记为，求的分布列和数学期望； (3)假设以往电影原声音乐片段的平均可用率为0.65，计算此次《哪吒2：魔童闹海》电影原声音乐片段的可用率，并判断此次音乐片段的可用率是否高于以往平均可用率． 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后所得曲线仍然是某个函数的图象，则称函数为“函数”. (1)判断函数是否是“函数”，并说明理由； (2)已知函数是“函数”，求该函数的极值； (3)已知函数是“函数”，求实数的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学下学期期末考前必刷押题卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．若，则的值是 . 【答案】5 【知识点】排列数的计算 【分析】由排列数的计算公式即可求解. 【详解】由可得， 故答案为：5 2．已知，，则 ． 【答案】/0.5 【知识点】计算条件概率 【分析】根据条件概率的计算公式即可求解. 【详解】， 故答案为： 3．表为2020～2024年某省高三学生的近视人数（单位：万人）. 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码 1 2 3 4 5 万人 50 58 67 80 95 已知与具有线性相关关系，且满足经验回归方程，则 . 【答案】 【知识点】计算样本的中心点、根据样本中心点求参数 【分析】利用经验回归直线必过样本点的中心，从而可求解待定系数. 【详解】由题表可得，， 根据回归直线经过点，所以. 故答案为： 4．若两个分类变量与的列联表为： 合计 10 15 25 40 16 56 合计 50 31 81 则“与之间有关系”这个结论出错的概率为 ． 【答案】0.01 【知识点】卡方的计算、独立性检验的基本思想 【分析】根据列联表,代入计算公式,得结论. 【详解】由列联表数据,可求得 ， 所以“与之间有关系”出错的概率为0.01． 故答案为：0.01 5．已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、导数的乘除法 【分析】根据函数解析式先写出切点坐标，再对函数求导根据导数的几何意义写出切线的斜率，最后由点斜式写出直线方程. 【详解】因为函数，所以， 故切点坐标为， ， 切点处的导数值为切线的斜率，所以， 用点斜式写出切线方程：， 整理得：. 故答案为： 6．被8整除的余数为 . 【答案】 【知识点】整除和余数问题 【分析】利用二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】由于， 由于均能被8整除，所以除以8的余数为7， 故答案为：7 7．已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球(所有球除颜色外完全相同)，某学生先从甲箱中随机取出1个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出2个球，记“从乙箱中取出的2个球都是黑球”为事件B，则 ． 【答案】/0.48 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】根据题给条件分析具体情况列条件概率和全概率公式计算即可得解. 【详解】记学生先从甲箱中取出的1个球恰有个红球放入乙箱为事件， . 学生先从甲箱中随机取出1个黑球放入乙箱，则此时乙箱中有红黑，此时. 学生先从甲箱中随机取出1个红球放入乙箱，则此时乙箱中有红黑，此时， 则. 故答案为：. 8．已知的取值如表所示，从散点图分析可知与线性相关，如果线性回归方程为，那么表格中数据的值为 . 0 1 2 4 4.3 4.8 6.7 【答案】 【知识点】根据样本中心点求参数、计算样本的中心点 【分析】先求，根据线性回归方程必过样本中心点运算求解. 【详解】因为， 可知样本中心点在线性回归方程为上， 则，解得. 故答案为：. 9．已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a是常数，则 ． 1 2 3 … 50 … 【答案】/0.28 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】由分布列的性质求得，进而可求解. 【详解】由题意，， 解得， 所以 ． 故答案为： 10．如图，一只青蛙开始时位于数轴上原点的位置，每次向数轴的左侧或右侧随机跳跃一个单位长度，记为第次跳跃后对应数轴上的数字，则满足的跳跃方法有 种. 【答案】 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、组合数的计算 【分析】先分两类：①，，②，，然后每类分两步，根据组合数公式列式求出结果，再利用分类计算原理可得结果. 【详解】由，得到或， 若，，即前次跳跃，次向左，次向右， 后面次跳跃全部向右，有种， 若，，即前次跳跃，次向右，次向左， 后面次跳跃次向左，次向右，有种， 最后两次的跳跃方法有种， 所以满足的跳跃方法有种， 故答案为：. 11．设是定义在R上的偶函数，为其导函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】构造，求定义域，求导，得到在上单调递增，结合，得到时，，故，求出为奇函数，故在上单调递增，故当时，，故，得到不等式解集. 【详解】令，的定义域为， 则， 时，恒成立，故， 所以在上单调递增， 又，所以， 故当时，，， 当时，，， 当时，，故， 是定义在R上的偶函数，故， 所以， 所以为奇函数，故在上单调递增， ，故， 当时，，， 故当时，，， 当时，，故， 综上，不等式的解集为. 故答案为： 12．已知，，，，使恒成立的有序数对有 对． 【答案】 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】只需恒成立，设当和时，求出函数的最小值即得解. 【详解】由题得函数定义域为， 要想恒成立， 只需恒成立， 只需恒成立， 设， 所以当时，， 令，解得或，令，解得, 又,所以在上单调递减，在上单调递增， 则，使恒成立的b可取1； 所以当时，， 令，解得或，令，解得, 又,所以在上单调递减，在上单调递增， 则，使恒成立的b可取1，2，3， 所以一共有共4种. 故答案为：4. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上1.3m处的直径）越大，树就越高.在研究树高y与胸径x之间的关系时，某同学收集了某种树的5组观测数据（如下表）：假设树高y与胸径x满足的经验回归方程为，则（   ） 胸径x/cm 8 9 10 11 12 树高y/m 8.2 10 11 12 13.8 A．当胸径时，树高y的预测值为14 B． C．表中的树高观测数据y的40%分位数为10 D．当胸径时，树高y的离差为0.32 【答案】B 【知识点】根据回归方程进行数据估计、根据样本中心点求参数 【分析】利用样本中心点求得，然后根据预测值、百分位数、离差的知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由题意可知，，， 经验回归方程过点，，解，故B正确； 对于A，由B可知，当胸径时，树高y的预测值为，A错误； 对于C，，表中的树高观测数据y的40%分位数为，C错误； 对于D，由B可知，当胸径时，树高y的预测值为， 树高y离差为，D错误. 故选：B. 14．若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数为“十全十美数”，如208，136都是“十全十美数”，则一共有（    ）个“十全十美数”． A．36 B．42 C．48 D．54 【答案】D 【知识点】分类加法计数原理 【分析】利用分类加法原理，根据三位数的具体情况，由列举法，可得答案. 【详解】任取一个＂十全十美三位数＂，包含有一个0的三位数：，分别为： 含有相同数字的三位数：，分别为：424， 不含有0，并且没有相同数字的三位数，分别为： 共54个. 故选：D. 15．离散型随机变量X的可能取值为1，2，3，4，，，则等于（    ）． A．10 B．5 C． D． 【答案】D 【知识点】由离散型随机变量的均值求参数 【分析】由离散型随机变量的均值，可得，由概率和等于1，可得，联立即可求出，最后求得. 【详解】由已知， ， 即，① 又，即，② 由①②，得，，所以． 故选：D. 16．若存在实常数k和b，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，，有下列两个命题： 命题：和之间存在唯一的“隔离直线”； 命题：和之间存在“隔离直线”，且b的最小值是－1．（    ） A．命题、命题都是真命题 B．命题为真命题，命题是假命题 C．命题为假命题，命题是真命题 D．命题、命题都是假命题 【答案】B 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】对命题：和有公共点，故隔离直线过该公共点， 设为，结合二次函数性质对参数分类讨论研究恒成立得，则直线为，再用导数法证恒成立即可； 对命题：设隔离直线为，则有对任意恒成立，结合二次函数性质对参数分类讨论即可. 【详解】（1）对命题： 设，的隔离直线为， 则对任意恒成立，即对任意恒成立， 若，记，，则二次函数有两个不同零点， 记为，由，不妨设，解不等式可知，，即与对任意恒成立矛盾，故， 若，则符合题意，若，由对任意x都成立， 注意到的对称轴为，从而，即， 所以，又的对称轴为，∴， 即，∴，故，同理可得，， 即，的最小值为，故命题为假命题； （2）对命题： 注意到函数和均经过， 若存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点， 设隔离直线的斜率k，则隔离直线方程，即， 由恒成立，即， 整理得：对于均成立. 若，则上述不等式转化成，显然对于恒成立； 若，记， 则该二次函数有两个不同零点且至少一个正零点：， 此时是开口向上的二次函数，必有轴以下的部分， 即对于无法成立.故，此时直线， 下面证明. 令，则，于是当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增， 故当时，函数取得极小值，也是最小值，所以，故，所以和存在唯一的隔离直线，故命题为真命题. 故选：B 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 某科技公司的厂告投入（单位：百万）与销售额（单位：千万）之间有如下对应数据： 广告投入 18 16 14 12 10 8 销售额 13 11 9 8 7 6 (1)求样本相关系数（结果保留两位小数），并判断与是否具有较强的线性相关性； (2)求销售额关于广告投入的经验回归方程. 参考公式：. 参考数据：. 【答案】(1)，有较强的线性相关性 (2) 【知识点】相关关系与函数关系的概念及辨析、判断两个变量是否有相关关系、求回归直线方程 【分析】（1）根据相关系数公式计算即可求解； （2）根据最小二乘法依次计算相关量即可计算求解. 【详解】（1）由题意可知， ， 因为非常接近1，故与有较强的线性相关性； （2）， 故.将代入可得， 故经验回归方程为. 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知的展开式中的第2项、第3项和第4项的二项式系数成等差数列． (1)求的值． (2)记，求被4除的余数． 【答案】(1) (2)1 【知识点】等差中项的应用、求指定项的二项式系数、整除和余数问题 【分析】（1）根据三项的二项式系数成等差，列出方程，求解检验即可； （2）将拆成，运用二项式定理展开整理后，易得被4除的余数. 【详解】（1）依题意，，即，解得或，因，故； （2）由（1）可得，则， 由， 易得，故能被4整除， 则可得被4除的余数为1. 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 甲和乙两人进行足球射门比赛，规定先赢满三局的人获胜，且不存在平局.已知每局比赛中，甲赢的概率为，其中. (1)若，分别计算比赛结束时甲赢的局数为2的概率及局数为3的概率； (2)记为在甲和乙进行了4局比赛分出胜负的条件下甲获胜的概率，为在甲和乙进行了5局比赛分出胜负的条件下甲获胜的概率，若，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、计算条件概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）比赛结束时甲赢的局数为2局即前4局甲赢2局，最后一局乙赢；甲赢的局数为3局即前4局甲赢2局最后一局甲赢，或者是前三局甲赢. （2）分别计算在4局和5局结束时甲获胜的条件概率，并通过比较大小求解取值范围. 【详解】（1）记比赛结束时甲赢的局数为， 当时，比赛结束共打了5局，甲在前4局中赢2局，其余3局是乙赢， 则， 当时，比赛结束共打了3、或4、或5局，即连打3局都是甲赢、 或打4局发生甲赢前3局中2局和第4局、或打5局发生甲赢前4局中2局和第5局， 则. （2）记事件为“进行了4局比赛分出胜负”， 则 记事件为“甲获胜”，则事件为“进行了4局比赛且甲获胜”， 则 因此，在进行了4局比赛分出胜负的情况下，甲获胜的概率为， 记事件为“进行了5局比赛分出胜负”， 则 则表示“进行了5局比赛且甲获胜”， 故 因此，在进行了5局比赛分出胜负的情况下，甲获胜的概率为， 依题意有， 所以. 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 《哪吒2：魔童闹海》作为2025年备受瞩目的动画电影，一经上映便迅速火爆全球，影片在特效制作、角色设计、音乐制作等方面都做到了极致．假设其电影原声的音乐制作由甲、乙、丙三个音乐工作室负责．在音乐录制过程中，由于各种因素，部分录制片段会因不符合要求而不被采用．甲、乙、丙三个工作室录制音乐片段总数之比为，音乐片段可用率（能被采用的片段数占录制片段总数的比例）分别为0.8，0.6，0.6．现在从三个工作室录制的所有音乐片段中随机抽取，且每个音乐片段被抽到的可能是相同的，用频率估计概率． (1)若只取1个音乐片段，求它是由乙工作室录制的概率； (2)若抽取2个音乐片段，其中由甲工作室录制的音乐片段数记为，求的分布列和数学期望； (3)假设以往电影原声音乐片段的平均可用率为0.65，计算此次《哪吒2：魔童闹海》电影原声音乐片段的可用率，并判断此次音乐片段的可用率是否高于以往平均可用率． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)0.67，高于 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率 【分析】（1）利用古典概型概率公式求解即可； （2）依题意可知，的可能取值为0，1，2，且，先利用独立重复实验的概率公式可得分布列，再利用期望公式可得答案. （3）利用全概率公式求出电影原声音乐片段的可用率，再与0.65比较大小即可. 【详解】（1）由题意知，每个音乐片段被抽到的可能是相同的． 因为甲、乙、丙三个工作室录制音乐片段总数之比为， 所以若只取1个音乐片段，它是由乙工作室录制的概率为； （2）设事件分别表示随机抽取的1个音乐片段分别是由甲、乙、丙工作室录制的， 若只取1个音乐片段，则， 所以由乙或丙工作室录制的概率为． 依题意可知，的可能取值为0，1，2，且． 所以，， ， 所以的分布列为 0 1 2 数学期望； （3）设事件表示音乐片段被录用，由（1）（2）知． 所以． 又， 即《哪吒2：魔童闹海》电影原声音乐片段的可用率约为0.67． 又，所以此次音乐片段的可用率高于以往平均可用率. 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后所得曲线仍然是某个函数的图象，则称函数为“函数”. (1)判断函数是否是“函数”，并说明理由； (2)已知函数是“函数”，求该函数的极值； (3)已知函数是“函数”，求实数的取值范围． 【答案】(1)不是，理由见解析. (2)；当时，有极大值；当时，有极小值. (3) 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、求已知函数的极值、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）将该直线绕坐标原点逆时针旋转后的曲线方程写出来，然后判断其是否是函数来确定是否为“函数”； （2）首先根据题意构造函数和方程，然后分情况讨论的取值，判断方程是否至多只有1个解求解的值，然后得到原函数的表达式，求导判断单调性，从而求出该函数的极值； （3）先根据题意构造函数，然后对函数求导，分情况讨论的值，判断函数是否单调来进行求解. 【详解】（1）函数是一条过原点、斜率为1的直线，倾斜角为. 其图像绕原点O逆时针旋转后，所得的曲线是， 不满足函数定义，所以函数不是“函数”. （2）因为函数是“函数”，所以该函数与直线至多只有1个交点. 即方程最多只有1个根，化简方程得： . 当时，方程最多只有1个根，符合题意； 当时，方程的判别式不恒成立，不符合题意. 所以要使得该函数为“函数”，则. 所以函数表达式变为. 对函数求导得：. 当时，，此时函数在和上单调递减； 当或时，，此时函数在和上单调递增； 结合单调性可知函数在处取极大值，在处取极小值. 计算可得函数的极大值为-2，函数的极小值为2. （3）因为函数是“函数”，所以该函数与直线至多只有1个交点. 即方程最多只有1个根，即方程至多一个实数根， 故只需函数是单调函数，求导得. 设，则，其中. ①当时， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 则， 即且，； 故在必不单调； ②当时， 同理可得，在上单调递增，在上单调递减； ，且；， 故恒成立不可能， 所以要使函数是单调函数，则只需恒成立，则只需， 解得，则； ③当时，，符合题意； 综上，若使函数是“函数”，则， 则实数的取值范围为. / 学科网（北京）股份有限公司 $$