专题02 高二下学期期末真题精选（考题猜想，压轴13大题型）-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020）

专题02 高二下学期期末真题精选 (沪教版2020选择性必修第二册) （压轴13大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 压轴一 利用切线解决距离问题（难点） · 压轴二 构造函数解决不等式问题（难点） · 压轴三 构造函数比较大小（难点） · 压轴四 利用导数研究函数的恒（能）成立问题（高频）（难点） · 压轴五 利用导数研究函数的零点方程的根（高频）（难点） · 压轴六 导数新定义题（难点） · 压轴七 排列组合综合 · 题型八 条件概率与全概率公式（难点） · 题型九 二项分布与超几何分布（高频） · 题型十 正态分布（高频） · 题型十一 概率与数列，导数交汇（难点） · 题型十二 非线性回归拟合（难点） · 题型十三 独立性检验与概率统计综合（重点） 压轴一：利用切线解决距离问题（共3小题） 1．（22-23高二上·上海长宁·期末）已知为直线上的一个动点，为曲线上的一个动点，则线段长度的最小值为 . 【答案】 【知识点】求过一点的切线方程、求点到直线的距离 【分析】先把曲线转化为，判断出线段的最小值即为与平行的直线与相切时，两平行线间的距离.利用导数求出切点坐标，利用点到直线的距离公式求解. 【详解】直线可化为：. 对于曲线. 当时，代入不成立，所以. 所以可化为，导数为 所以线段的最小值即为与平行的直线与相切时，两平行线间的距离. 设切点. 由题意可得：，即，解得：或. 当时，； 当时，. 综上所述：线段长度的最小值为. 故答案为：. 2．（2023·上海闵行·三模）已知函数，直线：，若直线与的图象交于点，与直线交于点，则，之间的最短距离是 . 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求点到直线的距离 【分析】根据题意两直线垂直所以，之间的距离即为到直线的距离，即为与平行且与相切的直线的切点到直线的距离. 【详解】   因为函数，直线：， 若直线与的图象交于点，与直线交于点， 直线的斜率为1，直线：的斜率为， 所以两直线垂直， 所以函数图象上的点A到直线的最短距离， 即为之间的最短距离 由题意可得，. 令，解得（舍去）. 因为，取点， 所以点A到直线的距离， 则，之间的最短距离是. 故答案为： 3．（24-25高三上·上海闵行·期中）已知，，则的最小值为 ． 【答案】2 【知识点】已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】设，把问题转化为求与图象上两点距离的平方的最小值，再利用导数的几何意义求解即可； 【详解】， 设，则在函数的图象上，在函数的图象上，且与关于直线对称， 所以问题转化为求与图象上两点距离的平方的最小值， ，令，则，由对称性可得最小时，， ， 所以的最小值为. 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够把所求代数式转化为求与图象上两点距离的平方的最小值. 压轴二：构造函数解决不等式问题（共4小题） 1．（2023·上海嘉定·一模）对于函数，若对于任意的，恒成立，求a的取值范围 . 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】不等式恒成立等价于即，由于为增函数，由得，即恒成立，令，此题转化为求. 【详解】不等式恒成立等价于即，即， 由于为增函数，所以由，得，即恒成立， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 易得， 所以，所以的取值范围是. 故答案为：. 2．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知函数，若 恒成立，则实数 的取值范围为 . 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数不等式恒成立问题 【分析】将不等式变形为，对恒成立，构造函数，利用函数单调性可得，即，对恒成立，利用导数求出的最大值得解. 【详解】由恒成立，即，对恒成立， 整理得，对恒成立， 令，易知在上单调递增， 则上式为，则，即， 整理得，对恒成立， 令，则， 可得，，单调递增， ，，单调递减，则， 所以. 故答案为：. 3．（24-25高二上·安徽·期末）若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为 . 【答案】/ 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】首先将不等式转化为，再构造函数，利用导数求函数的单调性进一步将问题转化为恒成立，再构造函数，利用函数的单调性即可求得结果. 【详解】因为，所以， 即，令，所以， 又，所以在上单调递增，所以， 即，令，所以， 令，解得，令，解得，所以在上单调递增， 在上单调递减，所以，所以，即的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题主要将不等式转化为，再构造函数，利用导数判断单调性进一步将问题转化为恒成立，再构造函数，通过两次构造函数即可求得结果. 4．（2023·湖南·模拟预测）已知不等式恒成立，则实数的最大值为 . 【答案】 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、根据函数的单调性解不等式 【分析】 将不等式转化为，构造函数，研究函数单调性，将问题转化为恒成立，再运用分离参数法求最值即可. 【详解】因为，所以，. 即. 令，易知在上单调递增， 又， 所以恒成立，即恒成立. 所以. 令，，则，， 由，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即， 故实数的最大值为. 故答案为：. 【点睛】 同构法的三种基本模式： ①乘积型，如可以同构成，进而构造函数； ②比商型，如可以同构成，进而构造函数； ③和差型，如，同构后可以构造函数或. 分离参数法解决恒(能)成立问题的策略： （1）分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （2）恒成立；恒成立； 能成立；能成立. 压轴三：构造函数比较大小（共4小题） 1．（24-25高二下·上海·期中）与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】构造函数，求证其单调性即可得，最后利用对数函数的单调性即可. 【详解】令，则， 则在上单调递减，则， 即，即，即， 因为增函数，则. 故选：C 2．（23-24高二下·上海·期中）设，利用函数单调性比大小，可得（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】构造函数，得，判断函数在上的单调性，结合减函数的性质与不等式性质，判断出的大小关系. 【详解】令，则， 当时，在上单调递减， 又，所以在上恒成立， 所以，即， 因为，所以， 又，所以， 即，又，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以. 故选：B. 3．（23-24高三上·上海·单元测试）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】根据，构造函数，利用导数得出函数单调性即可得解. 【详解】由，，， 设函数，则， 当时，，单调递减， 因为， 所以，所以. 故选：A 4．（22-23高三上·上海·开学考试）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】用作差法可得，令可得，进而可推出，从而得解 【详解】因为， 又，所以， 所以，所以； 令，则恒成立， 所以在递增，所以， 所以 又， 所以，所以， 又， 所以，即； 所以， 故选：B 压轴四：利用导数研究函数的恒（能）成立问题（共7小题） 1．（22-23高二下·上海浦东新·期末）若存在实数，，对任意实数，使得不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数研究能成立问题、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】不等式等价于，原命题等价于存在实数，，对任意实数不等式恒成立，等价于存在实数，，不等式成立，分别讨论，，，的情况，先求出，再求出即可解决问题. 【详解】不等式等价于即， 原命题等价于存在实数，，对任意实数不等式恒成立， 等价于存在实数，，不等式成立， 记，则， （1）当时，对任意，恒成立，即在上单调递减 ①当，即时，， ②当，即时，， 从而当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以； （2）当时，令，解得， 在区间上单调递增，在上单调递减， ，，， ①当时，此时，     当即时，， 当即时，， 从而当时，， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增, 所以； 令，则，，记， 则， 当时，恒成立， 即在区间上单调递减，即， 即； ②当时，此时， 当即时，， 当即时，， 从而当时，， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以； （3）当时，对任意，恒成立，即在上单调递增， ①当，即时，， ②当，即时，， 从而当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以； 综上所述，， 所以. 故选：B 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集 ． 2．（25-26高三上·上海·期末）若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数研究不等式恒成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】令，，首先利用导数说明的单调性，即可得到，再对分类讨论，当时显然成立，当时，利用导数说明函数的单调性即可得. 【详解】令， 设，则对任意的恒成立， 所以在上单调递增，从而. ①若，则当时，恒成立，符合题意. ②若，，易知在上单调递增， 因为，所以，所以，即， 所以. 因为，，所以，，所以. 因为在上单调递增，其图象是一条连续的曲线， 且，所以存在唯一的，使得， 当时，，所以函数在上单调递减，，不符合题意，舍去. 综上，实数a的取值范围为. 故答案为：. 3．（24-25高二上·上海闵行·期末）已知函数. (1)曲线在点处的切线过点，求的值； (2)求函数的单调区间； (3)若不等式恒成立，求整数的最大值. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程，将点代入求值即可； （2）利用导数分类讨论、两种情况下的单调性即可； （3）将原问题转化为不等式在R上恒成立问题，利用导数证明该不等式即可. 【详解】（1）函数的定义域为，则. 因为曲线在点处的切线为过点， 所以，解得. （2）因为， 当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，由，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）依题知，恒成立， 即恒成立， 化简为. 设， 则， 当时，恒成立，故在上单调递增， 因为，所以不符合题意； 当时，由，得，由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则恒成立， 整理得. 设， 则恒成立，所以在上单调递增， 又，且， 故整数的最大值为. 【点睛】关键点点睛：解决本题第3问的关键是将原问题转化为不等式在R上恒成立问题. 4．（23-24高二下·上海·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)函数在区间上有零点，求的值； (3)记函数，设，是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再求出切点坐标，即可求出切线方程； （2）求出的导数，判断的单调性，利用零点存在性定理判断即可； （3）求函数的导函数，令，依题意方程有两不相等的正实根、，利用韦达定理，结合的取值方程，即可求出的取值范围，则，构造函数，，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而得解． 【详解】（1）因为，所以，则切线斜率为， 又，切点为，所以切线方程为； （2），， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以的极小值为，， 在区间上存在一个零点，此时； 又，， 在区间上存在一个零点，此时， 综上，的值为或； （3）函数，， 所以， 由得，依题意方程有两不相等的正实根、， 则，所以， ，，， 又，，，解得， ， 构造函数，， 所以， 在上单调递减， 所以当时，， 因为恒成立， 所以，则的最大值为． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 5．（23-24高二下·上海·期末）已知函数 (1)当时，求函数的极大值； (2)若对一切都成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】导数的运算法则、利用导数研究不等式恒成立问题、求已知函数的极值 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数与极值的关系，即可求得答案； （2）将化为，由此令，则，则原问题转化为在上单调递增；继而结合导数与函数单调性的关系，即可求解. 【详解】（1）当时，，定义域为， 则， 令，则或；令，则； 则在上单调递增，在上单调递减， 故函数的极大值为； （2）因为对一切都成立， 所以对一切都成立， 令，则，定义域为， 则原问题转化为在上单调递增； 又， 当时，，在上单调递增； 当时，需在上恒成立， 即在上恒成立， 对于，图象过定点，对称轴为， 故要使得在上恒成立，需满足且， 解得， 综合可得，即a的取值范围为. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是第二问中求解参数的取值范围，解答时要将原不等式恒成立转化为对一切都成立，从而构造函数，利用导数求解. 6．（23-24高二下·上海·期末）函数的定义域为，如果存在，使得，称t为的一个不动点．函数（，为自然对数的底数），定义在R上的函数满足，且当时，． (1)求证：为奇函数； (2)当a变化时，求函数不动点个数； (3)若存在，，且为函数的一个不动点，求a的取值范围． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)答案见解析 (3) 【知识点】利用导数研究能成立问题、函数奇偶性的定义与判断、函数新定义、利用导数研究方程的根 【分析】（1）根据变形得到，从而得到，证明出结论； （2）由得，令，求导得到函数单调性和极值情况，从而得到的解的情况，得到答案； （3）由题目条件得到在R上单调递减，变形得到，即，由函数单调性得到，根据不动点得到在时有解，构造，，求导得到其单调性和最值，从而得到不等式，求出a的取值范围. 【详解】（1），故， 其中，则， 其中定义域为R，故为奇函数， （2）由得，令，则 令，解得，令，解得， 所以在单调递减，在上单调递增， 其中， 故当时，无解，当时，有1个解， 当时，有2个解； 综上，当时，函数没有不动点； 当时，函数有1个不动点； 当时，函数有2个不动点. （3）当时，，故， 所以在上单调递减， 根据奇函数的对称性，可得在R上单调递减， 因为存在，即， 则， 故，则，即， 因为为函数一个不动点， 所以在时有解， 令，， 因为当时，， 所以在上单调递减，且趋向于时，趋向于， 所以只需，即， 解得， 故a的取值范围是. 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 7．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知函数 (1)若函数在处的切线斜率是2，求的值； (2)若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围； (3)记(是自然对数的底数).若对任意、且时，均有成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）由即可求解； （2）根据极值，求出，得到，利用导数的性质，判断有3个不同的实根时，的取值范围； （3）根据的单调性，问题转化为，整理得，，分别判断函数和函数在上的单调性，根据不等式恒成立的性质，分离参数，即可求出的取值范围. 【详解】（1）， ， 所以， （2）在处有极值，因为，则，故，得； ，此时，， 当或时，,当, 故和上，单调递增，上，单调递减， 因此是极值点，故符合要求， 因为关于x的方程有3个不同的实根，根据函数的图象，当时，满足题意，得，故 （3），单调递减，对任意、且时， ，， 则对任意、且时，均有成立， 转化为，对任意、且时，均有成立，即 ， 所以，函数在上单调递减，函数在上单调递增， ①函数在上单调递减，即在上恒成立， 又因为，，，故， 得在上恒成立，令，，令，得，当所以，在上单调递增，在上单调递减，故，故； ②函数在上单调递增，即在上恒成立， 又因为，，，故，得 在上恒成立，因为函数在上为单调递增函数，故，此时，； 综上所述，实数的取值范围为：. 压轴五：利用导数研究函数的零点方程的根（共5小题） 1．（23-24高二下·上海·期末）已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且点，关于原点对称，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】原题等价于函数的图象与函数的图象有交点，即方程有解，即有解，令，利用导数法求出函数的值域，即可求得答案. 【详解】函数的图象与函数的图象关于原点对称， 则原题等价于函数的图象与函数的图象有交点， 即方程有解，即有解， 令，则， 当时，，函数在上递减； 当，，函数在上递增， 故， 由，， 故当时， 故的取值范围为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：函数的图象与函数的图象关于原点对称，则原题等价于函数的图象与函数的图象有交点. 2．（24-25高三上·上海杨浦·期末）已知函数，，设，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)证明：当函数经过点时函数有且仅有一个零点； (3)证明：对小于的实数，存在实数使得关于方程恰有三个不同的实数根，并指出实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析； (3)证明见解析， 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）由题可得切线斜率，然后由点斜式可得切线方程； （2）由函数经过点可得，然后由单调性可完成证明； （3）通过导数研究性质可得与大致图象，从而可得关于的表达式，然后可完成证明，并能指出实数的取值范围 【详解】（1）时，，， ，，则曲线在点处的切线方程为： ； （2）证明：因函数经过点，则 .令，. 令；， 则在上递减，在上递增，则， 故由，可得. 则此时，，.令， 则在上递增， 注意到，结合在上递增， 则. 得在递减，在上递增，则. 即函数经过点时函数有且仅有一个零点1； （3）证明：，其中. ，令， 则，则在上递增. 注意到，， 则，使，结合在上递增. 则. 得在递减，在上递增， 则的极小值为 令，则 得在上单调递减， 故. 注意到，， 则，使； 令，在上递增， 则， 即； 令，. ， 则在递增，在上递减， 则. 则， 又，. 则，使. 则可得大致图象如下， 图象则相当于对图象做翻折变换，可得大致图象如下. 方程恰有三个不同的实数根，则直线与图象有3个交点， 由图可得时满足题意. 则对小于的实数，存在实数使得关于方程恰有三个不同的实数根， 注意到 则时满足题意 令， 则，则在上递减， 则，. 则的范围为： 【点睛】关键点睛：对于零点问题，常用零点存在性定理结合单调性进行分析，也可利用数形结合思想转化为函数图象与直线的交点问题. 3．（23-24高二下·上海青浦·期末）已知，函数，其中． (1)若，，写出函数图像的一条水平切线的方程； (2)若，，且满足，证明：； (3)若存在，使得函数有唯一零点，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）把，代入，利用导数值为0求出切点坐标即可作答. （2）利用反证法结合均值不等式证明即可. （3）当时，利用导数探讨函数的单调性，确定函数有唯一零点，再证明当时，函数有两个零点作答. 【详解】（1）当，时，，求导得， 由，即，得，此时， 所以所求水平切线的方程为. （2）证明：由题可得：， 即， 此时，若，则，从而有， 但是由平均不等式可得：， 且由知等号不成立，因此，与矛盾， 于是，所以. （3）依题意，， 当时，，函数在上严格递增， 从而当时，有唯一零点， 当时，，其中，而函数在上严格递增， 则当时，，而当时，， 于是函数在区间上严格递减，在区间上严格递增， 又，因此当且时，； 当且时，，而， 从而由零点存在定理知，连续函数在区间和上各有一个零点，即函数不可能有唯一零点， 所以的取值范围是. 【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题. 4．（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知， (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究方程的根、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程； （2）求导，分类讨论求单调区间； （3）根据题意整理可得在区间内有唯一实数解，构建，利用导数求的单调性，数形结合分析运算. 【详解】（1）当时，则，可得， 故， 即切点坐标为，切线斜率， 故函数在点处的切线方程为． （2）由题意可知：函数定义域为，且， 注意到，令，解得或， ①当，即时，与在上的变化情况如下 1 + 0 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； ②当时，在定义域内恒成立， 所以函数的单调递增区间为； 综上所述：当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为． （3）当时，则， 因为方程在区间内有唯一实数解， 即，整理得， 原题意等价于在区间内有唯一实数解， 设，则， 注意到， 当时，；当时，； 故在上单调递增，在上单调递减， 且， 则在上的图像如图所示， 若在区间内的唯一实数解，则或， 解得或， 故实数的取值范围． 【点睛】方法定睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是： （1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； （2）求导数，得单调区间和极值点； （3）画出函数草图，数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解． 5．（24-25高三上·上海浦东新·期中）对于函数，，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点；若存在，使得，则称为函数的二阶不动点，一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为稳定点． (1)已知，求的不动点； (2)已知函数在定义域内严格增，求证：“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件； (3)已知，讨论函数的稳定点个数． 【答案】(1)1 (2)证明见解析； (3)答案见解析 【知识点】充要条件的证明、利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间、函数新定义 【分析】（1）设，判断该函数单调性，确定其解，即可求得答案； （2）根据函数新定义的含义，结合充分性以及必要性的证明，即可证明结论； （3）由题意可知只需研究的不动点即可，令，求出其导数，判断其单调性，然后分类讨论a的取值范围，判断的零点情况，即可判断的稳定点个数. 【详解】（1）设，则恒成立， 故函数在R上单调递增， 又，故函数在R上有唯一零点， 即有唯一不动点1． （2）证明：充分性：设为函数的不动点，则， 则，即为函数的稳定点，充分性成立； 必要性：设为函数的稳定点，即． 假设，而在定义域内单调递增， 若，则，与矛盾； 若，则，与矛盾； 故必有，即 即，故为函数的不动点， 综上，“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件． （3）当时，函数在上单调递增， 由（2）知的稳定点与的不动点等价，故只需研究的不动点即可； 令， 则， 则在上单调递减， 当时，恒成立，即在上单调递增， 当x无限接近于0时，趋向于负无穷小，且 故存在唯一的，使得，即有唯一解， 所以此时有唯一不动点； 当时，即时， 当x趋向无穷大时，趋近于0，此时 存在唯一 使得， 此时f（x）在上单调递增，在上单调递减， 故， 当x趋近于0时，趋向于负无穷大，当x趋向正无穷大时，趋向于负无穷大， 设，则在上单调递增，且 又 在时单调递增， 故（i）当时，即 此时，方程有一个解，即有唯一不动点； （ii）当时，即 此时，方程无解，即无不动点； （iii）当时，即 此时，方程有两个解，即有两个不动点； 综上，当时或时，有唯一稳定点； 当时，无稳定点； 当时，有两个稳定点． 【点睛】方法点睛：解答时要注意理解函数新定义的含义，解答的难点是（3）中判断函数稳定点的个数，解答时要结合新定义，采用分类讨论的方法去解决问题，解答过程较为复杂，要有较强的逻辑思维能力. 压轴六：导数新定义题（共5小题） 1．（23-24高二下·上海闵行·期末）若函数的图像上有两个不同点处的切线重合，则称该切线为函数的图像的“自公切线”. (1)试判断函数与的图像是否存在“自公切线”（不需要说明理由）； (2)若，求函数的图像的“自公切线”方程； (3)设，求证：函数的图像不存在“自公切线” 【答案】(1)答案见详解 (2) (3)证明见详解 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、导数新定义 【分析】（1）对于函数：结合其图象分析判断即可；对于函数：结合的单调性分析判断； （2）求出函数的导数，并设出切点，求出处的切线方程，再利用“双重切线”的定义求出切线方程； （3）假设存在，设切线方程，根据导数求切线方程，列方程组，结合题意分析该方程组解的个数即可判断. 【详解】（1）对于函数： 由函数的图象可知：和为函数的“自公切线”， 所以函数的图像存在“自公切线”； 对于函数：则，可知在上单调递增， 可知，可知，即任意不同两点的切线斜率不相等， 所以函数的图像不存在“自公切线”. （2）函数，求导得， 显然函数在上单调递增，函数在上单调递减， 设切点，则存在，使得， 则在点处的切线方程为，在点处的切线方程为， 因此，消去可得， 令，求导得， 则函数在上单调递增，又，函数的零点为，因此， 所以曲线的“双重切线”的方程为. （3）假设函数的图像存在“自公切线”，设为， 因为，则， 则，， 可知在处的切线方程为， 整理得， 则，即， 可知方程有两个不相等的根，则， 且也为方程的根， 则， 整理得， 且，即， 可得，即， 可得，整理得， 则，整理得，解得， 即此时方程只有一个解， 这与题意相矛盾，即假设不成立， 所以函数的图像不存在“自公切线”. 【点睛】方法点睛：根据过某点切线方程（斜率）或其与某线平行、垂直或重合等求参数问题的解法：利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解． 2．（2024·上海·模拟预测）已知函数，如果存在常数，对任意满足的实数，其中，都有不等式恒成立，则称函数是“绝对差有界函数” (1)函数是“绝对差有界函数”，求常数的取值范围； (2)对于函数，存在常数，对任意的，有恒成立，求证：函数为“绝对差有界函数” (3)判断函数是不是“绝对差有界函数”？说明理由 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)不是，理由见解析. 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、导数新定义 【分析】（1）通过分析式子发现需利用导数求函数单调性，分析数值大小去掉绝对值，当单调递增时，，当单调递减时，，化简后需要对函数极值进行求解，再得出取值， （2）利用区间最大值替代，用特殊代替一般的思想， （3）利用三角函数的周期性及分析问题，同第一问的分析思路化简，对任意常数，只要足够大，就有区间的一个划分满足得出结论. 【详解】（1）， ，， 即当，单调递增；当，单调递减. 所以, 单调递增时，， 单调递减时，. 且当无限趋向于正无穷大时，无限趋向于0， 所以. 所以· （2）成立，则可取， 所以函数为“绝对差有界函数” （3）， 则有， 所以对任意常数，只要足够大，就有区间的一个划分 满足， 所以函数不是的“绝对差有界函数”. 【点睛】关键点点睛：本题考查对函数极值的应用，分析问题的能力.通过对“绝对差有界函数”的定义分析得出，当单调递增时，，当单调递减时，，先对求和式子去掉绝对值，再去分析函数性质. 3．（2024·上海·三模）设函数的定义域为D，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间是的一个“美好区间”． 性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有． (1)已知，．分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”，并说明理由； (2)已知且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数的取值范围； (3)已知函数的定义域为，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”． 【答案】(1)区间是函数的“美好区间”，区间不是函数的“美好区间”，理由见解析； (2) (3)证明见解析 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、由导数求函数的最值（含参）、导数新定义 【分析】（1）分别求出函数在区间和区间上的值域，结合“美好区间”的定义判断即可； （2）记，，根据“美好区间”的定义可得：或，利用导数研究在上的单调性，分，，以及四种情况讨论在区间上的值域，利用集合间的关系，即可得到实数的取值范围； （3）对于任意区间，记，根据单调性得到，若为的“美好区间”必满足性质②，转化为或，得出函数一定存在“美好区间”，记，结合函数的单调性和零点存在定理，得到存在，使得，即可证明结论. 【详解】（1）区间和区间都是函数的“美好区间”，理由如下： 由， 当时，，所以区间是函数的“美好区间” 当时，，不是的子集， 所以区间不是函数的“美好区间” （2）记， 若区间是函数的一个“美好区间”，则或 由，可得， 所以当或时，，则的单调递增区间为：，； 当时，，则的单调递增区间为：， 且，，，得到在的大致图像如下： (i)当时，在区间上单调递减，且， 所以，则，即对于任意，都有，满足性质②, 故当时，区间是函数的一个“美好区间”； (ii)当，在区间上单调递减，在上单调递增，此时， 所以，，则当时，区间不是函数的一个“美好区间”； (iii)当时，在区间上单调递减，在上单调递增，且，此时， 所以，，则当时，区间不是函数的一个“美好区间”； (iv)当时，在区间上单调递减，在上单调递增，且，此时， 因为，则要使区间是函数的一个“美好区间”，则，即， 构造函数， 则， 由于，所以恒成立，则在区间上单调递增， 所以，则，不满足题意， 故当时，区间不是函数的一个“美好区间”， 综上，实数的取值范围是 （3）对于任意区间，记， 因为对于任意，都有， 所以在区间上单调递减，故， 因为，即的长度大于的长度，故不满足性质①， 所以若为的“美好区间”必满足性质②，即， 即只需要或， 由显然不恒成立，所以存在常数使得， 如果，取，则区间满足性质②； 如果，取，则区间满足性质②； 综上，函数一定存在“美好区间”； 记，则的图象连续不断，下证明有零点， 由于在上单调递减，则在上是减函数，记 若，则是的零点； 若，则，记，， 由零点存在定理，可知存在，使得； 若，则，记，， 由零点存在定理，可知存在，使得； 综上，有零点，即， 因为所有“美好区间”都满足性质②，故，否则与性质②矛盾； 即存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”，证毕. 【点睛】思路点睛：本题是新定义题，解题关键是理解“美好区间”的含义，对于区间是函数的一个“美好区间”，实质就是在区间上的值域满足或，这样就把新定义转化为一般函数及导数的问题. 4．（2023·上海奉贤·一模）若函数满足：对任意的实数，，有恒成立，则称函数为 “增函数” ． (1)求证：函数不是“增函数”； (2)若函数是“增函数”，求实数的取值范围； (3)设，若曲线在处的切线方程为，求的值，并证明函数是“增函数”． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，证明见解析 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数新定义 【分析】（1）取反例即可证明； （2）若该函数是“增函数”，设出任意的，，则有恒成立，运算即可得； （3）借助导数的几何意义，对该函数求导后令导函数值为1，可得该方程有根，且是其中一个根，结合导数可证明该函数为严格增函数，故有且仅有一个根，即可得的值，而后设出，结合前面得出的在上是严格增函数，可得在上是严格增函数，又，则，即可得证. 【详解】（1）取，则，因为， 故函数不是“增函数”； （2）因为函数是“增函数”，故任意的，， 有恒成立， 即恒成立 ， 所以恒成立， 又，，故，则， 则，即； （3）记， 根据题意，得， 可得方程的一个解， 令， 则，令， 则， 故在上是严格增函数， 又因为，故在恒成立，故， 故在上是严格增函数，所以是唯一解， 又，此时在处的切线方程即为， 故成立； 设，其中， ，由在上是严格增函数以及， 得， 即 ， 所以在上是严格增函数， 因为，则,故，即得证. 【点睛】本题考查函数新定义，理解新定义是关键，难点在最后一问中的的计算与“增函数”的证明，需要多次求导以得到函数的单调性，结合导数的几何意义帮助计算的值，证明为“增函数”要结合对新定义的理解，设出函数以帮助证明. 5．（24-25高三上·上海嘉定·期中）已知定义域为的函数，其导数为，若对任意的都有，则称函数为“导可控函数”. (1)请说明是否为“导可控函数”； (2)若函数为“导可控函数”，且存在正数，使在上恒成立，试判断函数的零点个数，并说明理由； (3)若函数为“导可控函数”，且存在、，使得，证明：对任意的实数、，都有. 【答案】(1)不是“导可控函数”，说明见解析 (2)1个，理由见解析 (3)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、导数新定义 【分析】（1）对函数求导，依条件判断即可； （2）利用导数判断函数的单调性，再结合函数值域可判断零点个数； （3）利用导数的定义得，再由不等式的性质，适当放缩得证. 【详解】（1）若，则， 当时，， 故不是 “导可控函数” . （2）依题意，， 所以，在上为减函数，所以至多一个零点； ，， 当时，， 当时，， 所以存在零点，综上存在1个零点； （3）因为，由导数的定义得 ， 即， 不妨设 若，则 若， 则 . 命题得证. 【点睛】利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形． （2）构造新的函数． （3）利用导数研究的单调性或最值． （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 压轴七：排列组合综合（共5小题） 1．（24-25高二上·上海·期末）平面向量为2维向量，可由2元有序实数组表示；空间向量为3维向量，可由3元有序实数组表示.维向量可由（为正整数）元有序实数组表示.已知维向量，我们称 为该向量的范数，其中，记范数为奇数的的个数为.设，则 . 【答案】985211 【知识点】分类加法计数原理、组合数的计算、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】由或可知中有偶数个，计算每种情况下的个数，求和即能得到结果. 【详解】当时，. ∵，∴或. 要使为奇数，则需中有偶数个. 当均不为时，，的个数为， 当中有2个时，，的个数为， 当中有4个时，，的个数为， 当中有6个时，，的个数为， ∴， ∴. 故答案为：985211. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是讨论中0的个数，计算每种情况下的个数，求出的值，即可得到的结果. 2．（23-24高二上·上海松江·期末）设为的一个排列，满足，则这样的排列的个数为 个. 【答案】6142 【知识点】求等比数列前n项和、分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理 【分析】根据条件分别对于与时得出排列个数. 【详解】对于给定的，考虑使的满足条件的排列个数， 当时，对有为的排列（若，则没有 这样的i），且（若，则没有这样的j），因此， 当时，类似地有， 因此，满足条件的排列个数为 故答案为：6142. 【点睛】本题关键针对与分别得出排列个数. 3．（22-23高二上·上海浦东新·期末）设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的和共有 个组合. 【答案】 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、求等比数列前n项和 【分析】先分析集合A,分别有多少种选择方法，根据分步计数原理相乘，再对、求和即可求得结果. 【详解】设A中最大的数为，中最小的数为，依题意有. 记，，.因为中最小的数大于A中最大的数，所以A中其它元素只能取自集合，有种选择方法； 中其它元素只能取自集合，有种选择方法； 内的数既不属于A也不属于.根据分步计数原理，集合A，的选择方法有种. 因为，所以满足题目条件的所有集合A，的选择方法种数为. 【点睛】本题求解的关键是：把集合分成三部分，利用分步计数原理求出集合A,B的选择方法，利用等比数列的求和公式求和，综合了集合子集，数列求和，计数原理三模块的知识. 4．（24-25高三上·上海·期中）一个项数为的正整数数列满足，且，若为不大于 的偶数，则符合条件的数列共有 个. 【答案】 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、组合数的计算、分类加法计数原理 【分析】根据题意，先确定数列中的值，再利用组合知识，即可得到结论. 【详解】由题意，且， 当时，，则可以取或，且逐项不减小， 此时满足条件的数列的个数有个； 当，，则可以取或或或，且逐项不减小， 此时满足条件的数列的个数有个； 当，，则可以取或或或或或，且逐项不减小， 此时满足条件的数列的个数有个； 当，，则可以取或或或或或或或， 且逐项不减小，此时满足条件的数列的个数有个； 综上，满足条件的数列共有. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：先确定数列中的值，之后再分析的取值，可能都是同一个值；可能是从可取值中选两个出来，比如选和，那么可能，可能或有三种可能；依次分析即可. 5．（24-25高三上·上海·期中）我们称（为正整数）元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，记范数为奇数的的个数为，则 【答案】 【知识点】二项式定理与数列求和、向量新定义、代数中的计数问题 【分析】考虑当为偶数时，的个数为奇数，当为奇数时，的个数为偶数，根据乘法原理和加法原理，以及和的展开式的加减，求得的通项公式. 【详解】当为偶数时，范数为奇数，则的个数为奇数，则的个数为 根据乘法原理和加法原理可得：， 因① ② 由，故； 当为奇数时，范数为奇数，则的个数为偶数，则的个数为 根据乘法原理和加法原理可得：， 因① ② 由，故. 综上，，故. 故答案为： . 【点睛】关键点点睛：本题考查了向量的新定义，乘法原理，加法原理，二项式定理，数列的通项公式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用和的展开式求数列通项是解题的关键，需要灵活掌握. 6．（24-25高二下·上海·期中）已知集合中的任一个元素都是整数，当存在整数、，且时，称为“间断整数集”.进一步地，若“间断整数集”中任意两个元素的差的绝对值最小为，则称为“－间断整数集”.已知集合. (1)若集合的三元子集是“2－间断整数集”，求符合条件的元素所构成的集合； (2)若集合的四元子集是“1－间断整数集”，求集合的个数； (3)求集合的所有子集中，“间断整数集”的个数. 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、集合新定义、组合数的计算 【分析】（1）根据“2－间断整数集”的定义列方程求解即可； （2）先求所有四元子集的个数，然后减去四个元素都不连续和四个元素连续的个数可得； （3）用总的子集个数减去空集和单元集合，以及所有元素都连续的子集可得. 【详解】（1）因为集合是“2－间断整数集”，且， 所以或，解得， 所以符合条件的元素所构成的集合为. （2）因为集合是1－间断整数集”，所以集合至少有两个连续整数，且不能四个元素连续. 集合的四元子集有个， 其中无连续整数的四元子集个数等价于“从6个元素产生的7个空位中插入4个元素”， 所以无连续整数的四元子集个数为个， 又四个元素都连续的集合有个， 所以，满足条件的集合的个数为个. （3）集合的子集个数为个， 根据间断整数集的定义可知，和单元集合不满足题意，共11个； 连续的二元集合有9个，连续的三元集合有8个，连续的四元集合有7个， 连续的五元集合有6个，连续的六元集合有5个，连续的七元集合有4个， 连续的八元集合有3个，连续的九元集合有2个，连续的十元集合有1个， 综上，非间断整数集共有个， 所以合的所有子集中，“间断整数集”的个数为个. 压轴八：条件概率与全概率公式 1．（24-25高三上·上海杨浦·期末）某校高二有人报名足球俱乐部，人报名乒乓球俱乐部，人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为 ． 【答案】/ 【知识点】计算条件概率 【分析】记事件某人报足球俱乐部，记事件某人报乒乓球俱乐部，根据题意求出的值，再利用条件概率公式可求得的值. 【详解】记事件某人报足球俱乐部，记事件某人报乒乓球俱乐部， 因为，即，解得， 则. 故答案为：. 2．（23-24高二下·上海·期末）甲乙丙丁四名医生随机派往①②③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派一名医生，表示事件“医生甲派往①村庄”；表示事件“医生乙派往①村庄”；表示事件“医生乙派往②村庄”， 则下列说法①事件与相互独立； ②事件与相互独立； ③；④，其中错误的个数是 个． 【答案】3 【知识点】独立事件的判断、计算条件概率 【分析】按相互独立的定义可判断AB，用条件概率公式可判断CD. 【详解】将甲、乙、丙、丁4名医生派往①，②，③三个村庄进行义诊包含 （个）样本点，它们等可能， 事件含有的样本点个数为，则， 同理，， 事件含有的样本点个数为，则， 事件含有的样本点个数为，则， 对于A，，即事件与不相互独立，故A不正确； 对于B，，即事件与不相互独立，故B不正确； 对于C，，故C不正确； 对于D，，故D正确． 所以其中错误的个数是3个． 故答案为：3. 3．（23-24高二上·上海·期末）某校中学生篮球队集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）.每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回.已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，则第二次训练时恰好取到1个新球的概率为 . 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】求出第一次取到0个、1个、2个新球的概率，再结合条件概率及全概率公式列式计算即得. 【详解】用表示第一次取到个新球的事件，用表示第二次训练时恰好取到1个新球的事件， 则，且两两互斥，， ， 因此， 所以第二次训练时恰好取到1个新球的概率为. 故答案为： 4．（23-24高二下·安徽宿州·期中）某校高二年级数学竞赛选拔赛分为初赛和决赛两阶段进行.初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两名同学，且每名同学都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的同学才具备参与决赛的资格.高二某班派出甲和乙参赛.在初赛中，若甲通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是、，乙通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是、，且每名同学所有轮次比赛的结果互不影响. (1)若该班获得决赛资格的同学个数为X，求X的分布列和数学期望； (2)已知甲和乙都获得了决赛资格. 决赛的规则如下：将问题放入A，B两个纸箱中，A箱中有3道选择题和3道填空题，B箱中有4道选择题和4道填空题. 决赛中要求每位参赛同学在A，B两个纸箱中随机抽取两题作答. 甲先从A箱中依次抽取2道题目，答题结束后将题目一起放入B箱中，然后乙再从B箱中抽取题目. ①求乙从B箱中抽取的第一题是选择题的概率； ②已知乙从B箱中抽取的第一题是选择题，求甲从A箱中抽出的是2道选择题的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2)①；② 【知识点】利用全概率公式求概率、求离散型随机变量的均值、计算条件概率、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）分析题意，X为该班获得决赛资格的同学个数，因此需要分别计算出甲和乙进入决赛的概率和. 进入决赛的人数，求出概率，列出分布列，利用期望计算公式得到期望. （2）能够直接计算出的是甲取到道选择题的概率()，以及分别在甲抽取道选择题条件下乙再抽取到选择题的概率，利用全概率公式和条件概率公式、乘法公式，可以得到①、②两问的结果. 【详解】（1）甲获得决赛资格的概率， 乙获得决赛资格的概率. 由题意得， ； ； . 的分布列为： 0 1 2 . （2）设事件“甲取到道选择题”，；事件“乙取到第一题是选择题”. ，，. ，，. ①由全概率公式可得：. ②由条件概率公式和乘法公式可得：. 5．（2024·上海黄浦·二模）某社区随机抽取200个成年市民进行安全知识测试，将这200人的得分数据进行汇总，得到如下表所示的统计结果，并规定得分60分及以上为合格. 组别 频数 9 26 65 53 47 (1)该社区为参加此次测试的成年市民制定了如下奖励方案：①合格的发放个随机红包，不合格的发放个随机红包；②每个随机红包金额(单位：元)的分布为.若从这200个成年市民中随机选取1人，记（单位：元）为此人获得的随机红包总金额，求的分布及数学期望； (2)已知上述抽测中60岁以下人员的合格率约为56%，该社区所有成年市民中60岁以下人员占比为70%.假如对该社区全体成年市民进行上述测试，请估计其中60岁及以上人员的合格率以及成绩合格的成年市民中60岁以下人数与60岁及以上人数之比. 【答案】(1)分布列见解析，39 (2)，98:27 【知识点】利用全概率公式求概率、求离散型随机变量的均值、计算条件概率、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）依题意，的所有可能取值为，利用独立事件的概率乘法公式求解相应的概率，进而得到的分布，再结合期望公式求解即可； （2）利用全概率公式和条件概率公式求解. 【详解】（1）随机抽取的200个成年市民的成绩合格率为， ， ， ， ， ， 所以的分布为 ， 即的数学期望为39； （2）设“从该社区成年市区随机抽取1人，此人年龄在60岁以下”为事件，“从该社区成年市民随机抽取1人，此人安全知识合格”为事件， 则，， 由， 可得，所以， 所求比值. 估计60岁及以上人员的合格率约为，成绩合格的成年市民中60岁以下人数与60岁及以上人数之比约为98:27. 压轴九：二项分布与超几何分布 1．（23-24高二下·上海·期末）一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用二项分布求分布列、二项分布的均值、二项分布的方差 【分析】由题意可知，且小虫向前或向后爬行1个单位的概率均为，结合二项分布求概率，然后逐个分析判断即可. 【详解】由题意可知，爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，且小虫向前或向后爬行1个单位的概率均为， 所以设爬行后小虫一共向前爬行次，则向后爬行， 所以， 所以， 对于AB，的分布列为 … … … … 所以，所以A正确， 因为 ， 所以 ，所以B正确， 对于C，因为， 所以，所以，所以C错误， 对于D，因为， 所以， 所以，所以D正确， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是，根据题意得到相应概率，从而得解. 2．（23-24高三上·上海普陀·期末）全国新高考数学推行8道单选，4道多选的政策.单选题每题5分，选错不得分，多选题每题完全选对5分，部分选对2分，不选得0分.现有小李和小周参与一场新高考数学题，小李的试卷正常，而小周的试卷选择题是被打乱的，所以他12题均认为是单选题来做.假设两人选对一个单选题的概率都是，且已知这四个多选题都只有两个正确答案. (1)记小周选择题最终得分为，求的分布列以及数学期望. (2)假设小李遇到四个多选题时，每个题他只能判断有一个选项是正确的，且小李也只会再选1个选项，假设他选对剩下1个选项的概率是，请你帮小李制定回答4个多选题的策略，使得分最高. 【答案】(1)分布列见解析， (2)答案见解析 【知识点】乘法公式、均值的实际应用、二项分布的均值、利用二项分布求分布列 【分析】（1）由题意得到小周做对单选题与多选题的个数服从二项分布，然后设他单选题与多选题分别对了个，由此结合二项分布的概率公式、乘法公式以及期望公式即可得解； （2）若他不选其他选项肯定能得两分，如果继续选其它选项的话，那么这个题的得分期望是，故只需比较这两个数的大小即可. 【详解】（1）由题意，对于单选题，小周每个单选题做对的概率为， 对于多选题，小周每个多选题做对的概率为， 设小周做对单选题的个数为，做对多选题的个数为， 则，， 所以，， 而小周选择题最终得分为， 所以. 设小周单选题与多选题分别对了个， 则 ， 所以的分布列为， （2）由题意他能判断一个选项正确，先把这个正确选项选上， 如果他不继续选其他选项肯定能得两分， 如果他继续选其它选项的话，设此时他的最终得分为，则的所有可能取值为0，5， 则的分布列为： 0 5 那么这个题的得分期望是， 所以我们只需要比较2和的大小关系即可， 令，解得，此时四个多选题全部选两个选项得分要高， 反之，若，此时四个多选只选他确定的那个选项得分最高. 3．（22-23高二上·上海徐汇·期末）随着网络的快速发展，电子商务成为新的经济增长点，市场竞争也日趋激烈，除了产品品质外，客服团队良好的服务品质也是电子商务的核心竞争力，衡量一位客服工作能力的重要指标—询单转化率，是指咨询该客服的顾客中成交人数占比，可以看作一位顾客咨询该客服后成交的概率，已知某网店共有10位客服，按询单率分为，两个等级（见表），且视，等级客服的询单转化率分别为对应区间的中点值. 等级 询单转化率 人数 (1)求该网店询单转化率的平均值； (2)现从这10位客服中任意抽取4位进行培训，求这4人的询单转化率的中位数不低于的概率； (3)已知该网店日均咨询顾客约为1万人，为保证服务质量，每位客服日接待顾客的数量不超过1300人.在网店的前期经营中，进店咨询的每位顾客由系统等可能地安排给任一位客服接待，为了提升店铺成交量，网店实施改革，经系统调整，进店咨询的每位顾客被任一位A等级客服接待的概率为a，被任一位B等级客服接待的概率为b，若希望改革后经咨询日均成交人数至少比改革前增加300人，则a应该控制在什么范围？ 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】求超几何分布的概率、二项分布的均值、建立二项分布模型解决实际问题、计算几个数的平均数 【分析】（1）由已知分别求出、等级客服的询单转化率，根据平均数公式求出即可； （2）设A等级客服的人数为，则的可能取值为，对应的询单转化率中位数分别为，进而利用超几何分布求出对应的概率，求出答案； （3）根据二项分布的期望公式计算出改革前的日均成交人数为7200，然后表示出改革后的日均成交人数，结合每位客服日接待顾客的数量不超过1300人，列出不等式组，即可求出a的取值范围. 【详解】（1）解：由已知可得，等级客服的询单转化率为，等级客服的询单转化率为，所以该网店询单转化率的平均值为. （2）解：由（1）知：、等级客服的询单转化率分别为. 设抽取4位客服中，等级客服的人数为X，则X的可能取值为0,1,2,3,4. 由题意可得，服从超几何分布. 当时，4人转化率为，中位数为； 当时，4人转化率为，中位数为； 当时，4人转化率为，中位数为； 当时，4人转化率为，中位数为； 当时，4人转化率为，中位数为. 所以，当时，这4人的询单转化率的中位数不低于. 因为，服从超几何分布，所以的分布列为，. 所以. （3）解：设改革前后等级客服的接待顾客人数分别为. 则改革前，每位进店咨询顾客被等级客服接待的概率为， 所以，则. 因为，等级客服的询单转化率分别为， 所以改革前日均成交人数为； 改革后，每位进店咨询顾客被等级客服接待的概率为， 所以，则， 故改革后日均成交人数为. 由得：，① 因为每位顾客被一位等级客服接待的概率为，又，所以每位顾客被一位等级客服接待的概率为. 又每位客服日接待顾客的数量不超过1300人，所以， 解得：，② 由①②得：，所以应该控制在. 4．（22-23高二上·上海虹口·期末）某批件产品的次品率为2%，现从中任意地依次抽出3件进行检验. (1)当，，，若以取后放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？ (2)当，，，若以取后不放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？ (3)（1）、（2）分别对应哪种分布，并结合（1）（2）探究两种分布之间的联系. 【答案】(1)； (2)见解析； (3)见解析. 【知识点】求超几何分布的概率、建立二项分布模型解决实际问题、独立重复试验的概率问题、有放回与无放回问题的概率 【分析】（1）当时，如果放回，是二项分布，计算概率值； （2）如果不放回，是超几何分布，分别计算概率值； （3）对超几何分布与二项分布关系的认识从共同点、不同点和联系三个方面进行说明． 【详解】（1）若以有回放的方式抽取，每次抽取时都是从这件产品中抽取，从而抽到次品的概率都为， 可以把3次抽取看成是3次独立重复试验，这样抽到的次品数， 恰好抽到1件次品的概率为. （2）若以不回放的方式抽取，抽到的次品数是随机变量，服从超几何分布，的分布与产品的总数有关， 所以需要分3种情况分别计算： ①时，产品的总数为500件，其中次品的件数为件，合格品的件数为490件， 从500件产品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率为. ②时，产品的总数为5000件，其中次品的件数为件，合格品的件数为4900件， 从5000件产品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率为. ③时，产品的总数为50000件，其中次品的件数为件，合格品的件数为49000件， 从50000件产品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率为. （3）对超几何分布与二项分布关系的认识： 共同点：每次试验只有两种可能的结果：成功或失败． 不同点： 1、超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取； 2、超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”； 联系：当产品的总数很大时，超几何分布近似于二项分布． 5．（22-23高二上·上海嘉定·期中）已知共15张卡牌由5张红卡、10张其它颜色卡组成，混合后分3轮发出，每轮随机发出5张卡． (1)求事件“第1轮无红色卡牌”的概率； (2)求事件“第1轮有至少3张红色卡牌”的概率； (3)求事件“每轮均有红色卡牌”的概率． 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】求超几何分布的概率、计算古典概型问题的概率、利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】（1）应用组合数，结合古典概型的概率求法求； （2）应用组合数，结合互斥事件的加法公式求； （3）讨论第一轮有红牌1、2、3张，对应第二轮出现红牌可能张数的概率和，即可求. 【详解】（1）由题意，“第1轮无红色卡牌”的概率. （2）由题意，“第1轮有至少3张红色卡牌”的概率. （3）要使每轮都有红色卡牌，有如下情况： 第一轮抽到1张红牌，则第二轮红牌有1张、2张、3张， 此时每轮都有红牌的概率为， 第一轮抽到2张红牌，则第二轮红牌有1张、2张， 此时每轮都有红牌的概率为， 第一轮抽到3张红牌，则第二轮红牌有1张， 此时每轮都有红牌的概率为， 综上，3轮中“每轮均有红色卡牌”的概率. 压轴十：正态分布 1．（20-21高二下·福建福州·期中）江先生每天9点上班，上班通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行，私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，从停车场步行到单位要6分钟；江先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计的角度出发，下列说法中合理的有（    ） 参考数据：若，则，， A．若出门，则开私家车不会迟到 B．若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 C．若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 D．若出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到 【答案】D 【知识点】特殊区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】对于A，由即可判断；对于BC，分别计算开私家车及乘坐地铁不迟到的概率即可判断；对于D，计算即可判断 【详解】对于A，当满足时， 江先生仍旧有可能迟到，只不过发生的概率较小，故A错误； 对于，若出门， ①江先生开私家车， 当满足时， 此时江先生开私家车不会迟到； ②江先生乘坐地铁， 当满足时， 此时江先生乘坐地铁不会迟到； 此时两种上班方式，江先生不迟到的概率相当，故B错误； 对于C，若出门， ①江先生开私家车， 当满足时， 此时江先生开私家车不会迟到； ②江先生乘坐地铁， 当满足时，此时江先生乘坐地铁不会迟到； 此时两种上班方式，显然江先生开私家车不迟到的可能性更大，故C错误； 对于D，若出门， 江先生乘坐地铁上班， 当满足时，江先生乘坐地铁不会迟到， 此时不迟到的可能性极小，故江先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到，故D正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是分别分析得江先生使用不同交通工具在路上所花时间，结合正态分布的对称性求得其对应的概率，从而得解. 2．（23-24高三下·上海松江·阶段练习）王先生每天8点上班，他通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行.私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，从停车场步行到单位要6分钟；王先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线较长，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计角度出发，关于两种上班方式，下列说法正确的个数是（    ）个 ①若7：00出门，则王先生开私家车上班不会迟到 ②若7：02出门，则王先生开私家车上班不迟到的可能性更大 ③若7：06出门，则王先生乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 ④若7：12出门，则王先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到 参考数据：若，则，， A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】根据正态分布的期望和方差进行概率计算即可，再逐项判断即可. 【详解】对于①，由题得，当满足时，仍有可能迟到，故①错误； 对于②，若7：02出门，分2种情况： 若开私家车，当满足时，不会迟到， 若乘坐地铁，当满足时，不会迟到， 此时两种方式，不迟到的概率相当，所以②错误； 对于③，若7：06出门，分2种情况： 若开私家车，当满足时，不会迟到； 若乘坐地铁，当满足时，不会迟到， 此时两种方式，显然开私家车不迟到的可能性更大，所以③错误； 对于④，若7：12出门，乘坐地铁上班，当满足时，不会迟到， 此时不迟到的可能性极小，故乘坐地铁几乎不可能上班不迟到，所以④正确. 故选：A. 3．（23-24高二下·上海·期末）老张每天下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有，两条线路可以选择.乘坐线路所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要5分钟；乘坐线路所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要12分钟. 下列说法从统计角度认为不合理的是 . 参考数据：若，则，， ①若乘坐线路，前一定能到家； ②乘坐线路比乘坐线路在前到家的可能性更大； ③乘坐线路比乘坐线路在前到家的可能性更大； ④若乘坐线路，则在前到家的可能性不超过. 【答案】①② 【知识点】3δ原则、正态曲线的性质、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】利用正态分布曲线的对称性及正态分布的概率，对四个选项逐个分析判断即可. 【详解】对于①，因为， 即乘坐线路能到家的概率为， 所以乘坐线路，前不一定能到家，所以①错误； 对于②，乘坐线路A在前到家的概率为 ， 乘坐线路在前到家的概率为 ， 所以乘坐线路A和乘坐线路在前到家的可能性一样，所以②错误； 对于③，乘坐线路A在前到家的概率为， 乘坐线路在前到家的概率为 ， 所以乘坐线路比乘坐线路A在前到家的可能性更大，故③正确； 对于④，乘坐线路A，则在前到家的概率为 ，所以④正确. 故答案为：①② 压轴十一：概率与数列交汇 1．（23-24高二下·上海·期末）“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚.甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种.他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为，乙每天选择“共享单车”的概率为，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为，如此往复. (1)求3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率； (2)记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为，求的分布、期望与方差； (3)求丙在3月份第天选择“共享单车”的概率，并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数. 【答案】(1) (2)分布列见解析；， (3)；2 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、利用对立事件的概率公式求概率、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】（1）根据对立事件的概率求法，即可求得答案； （2）确定X的取值，求出每个值相应的概率，可得分布列，继而求得期望和方差； （3）确定与的关系式，从而构造数列求出的表达式，结合题意可得需满足，讨论n的奇偶性，即可求得答案. 【详解】（1）由题意可得3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率为； （2）由题意知X的可能取值为， 则，， ， ， 则X的分布列为： X 0 1 2 3 P 故； . （3）由题意得， 则， 则，即得， 又，故数列是以为首项，以为公比的等比数列， 故， 在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率需满足，即， 即，即， 当n为偶数时，上式显然不成立， 故当n为奇数时，有， 当时，成立； 当时，成立； 当时，，即不成立； 又随n的增大而减小，故时，均不成立； 则只有在第1天和第3天时有， 故在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数为2. 【点睛】关键点睛：本题综合考查了概率知识和数列的应用问题，有一定难度，解答的关键在于第三问，解答时要能确定，进而根据数列知识求得的表达式，即可求解. 2．（23-24高二下·上海·期末）6月1日某商场举办了赢取冰墩墩、雪容融吉祥物挂件答题活动．为了提高活动的参与度，计划有的人只能赢取冰墩墩挂件，另外的人既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，每位顾客若只能赢取冰墩墩挂件，则记1分，若既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，则记2分，假设每位顾客能赢取冰墩墩挂件和赢取雪容融挂件相互独立，视频率为概率． (1)从顾客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； (2)从顾客中随机抽取n人（），记这n人的合计得分恰为分的概率为，求． 【答案】(1)分布列见解析； (2) 【知识点】错位相减法求和、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列、独立重复试验的概率问题 【分析】（1）根据题意，随机变量的取值为，利用独立重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，结合期望公式，即可求解； （2）根据题意 ，这人的合计得分恰为分，得到，结合乘公比错误相减法求和，即可求解. 【详解】（1）解：根据题意，随机变量的取值为， 可得， ， 所以的分布列为： 3 4 5 6 所以期望为. （2）解：因为这人的合计得分恰为分， 则其中有且只有1人既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件， 所以， 设，则， 两式相减得， 所以，即. 3．（21-22高二下·上海金山·期末）近两年因为疫情的原因，线上教学越来越普遍了．为了提升同学们的听课效率，授课教师可以选择在授课过程中进行专注度监测，即要求同学们在10秒钟内在软件平台上按钮签到，若同学们能够在10秒钟内完成签到，则说明该同学在认真听课，否则就可以认为该同学目前走神了．经过一个月对全体同学上课情况的观察统计，平均每次专注度监测有的同学能够正常完成签到．为了能够进一步研究同学们上课的专注度情况，我们做如下两个约定： ①假设每名同学在专注度监测中出现走神情况的概率均相等； ②约定每次专注度监测中，每名同学完成签到加2分，未完成签到加1分． 请回答如下两个问题： (1)若一节课老师会进行3次专注度监测，那么某班同学在3次专注度监测中的总得分的数学期望是多少？ (2)记某位同学在数次专注度监测中累计得分恰为分的概率为（比如：表示累计得分为分的概率，表示累计得分为的概率），求： ①的通项公式； ②的通项公式． 【答案】(1)； (2)①；②. 【知识点】累加法求数列通项、二项分布的均值、写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和 【分析】（1）根据二项分布的期望求解，求得三次监测中完成签到次数的数学期望，再求结果即可； （2）求得的递推关系，结合等比数列的通项公式，即可求得；再结合累加法，以及等比数列前项和公式，即可求得. 【详解】（1）设某班同学在3次专注度监测中完成签到的次数为，由题可知，，故， 设某班同学3次专注度监测的总得分为，根据题意，故. 故某班同学在3次专注度监测中的总得分的数学期望是. （2）①由题可知， 根据题意，，故可得 故数列为首项，公比为的等比数列， 则. ②根据上式可得， 则， 故的通项公式. 4．（21-22高二下·上海徐汇·期末）设有两个罐子，A罐中放有2个白球，1个黑球，B罐中放有3个白球，这些球的大小与质地相同．现从这两个罐子中各摸1个球进行交换，用表示事件“交换n次后，黑球还在A罐中” (1)分别求这样交换1次和2次后，黑球还在A罐中的概率和； (2)试研究与具有怎样的递推关系，并在此基础上，求出关于n的表达式． 【答案】(1) (2)， 【知识点】独立事件的乘法公式、构造法求数列通项、互斥事件的概率加法公式 【分析】（1）一次交换后黑球还在A罐中，从A罐中摸到的只能是白球，而两次交换后黑球还在A罐中，则可能是第一次从从A罐中摸到的是白球，第二次从A罐中摸到的还是白球，或第一次从从A罐中摸到的是黑球，第二次从罐中摸到的是黑球，由此可计算出； （2）根据与的关系可得与的关系，由互斥事件概率公式可得，根据所得式子凑配出等比数列后可得通项公式． 【详解】（1）一次交换后黑球还在A罐中，即从A罐中摸到的是白球，所以， 两次交换后黑球还在A罐中，则可能是第一次从A罐中摸到的是白球，第二次从A罐中摸到的还是白球，或第一次从从A罐中摸到的是黑球，第二次从罐中摸到的是黑球， 所以； （2）事件的发生分成两个互斥事件：发生的情况下，从A罐中摸到的是白球，或者是不发生时，从罐中摸到的是黑球， 所以， 所以，而， 所以是等比数列，首项为，公比为， 所以，． 压轴十二： 非线性回归拟合 1．（2024·上海·一模）为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量（单位：克每立方米）与样本对原点的距离（单位：米）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中）． 6 97.90 0.21 240 0.14 14.12 26.13 (1)利用相关系数的知识，判断与哪一个更适宜作为平均金属含量关于样本对原点的距离的回归方程类型； (2)根据（1）的结果建立关于的回归方程，并估计样本对原点的距离米时，平均金属含量是多少？ 【答案】(1)更适宜作为回归方程类型； (2)，. 【知识点】求回归直线方程、相关系数的意义及辨析、相关系数的计算、根据回归方程进行数据估计 【分析】（1）根据题意，分别求得相关系数的值，结合和，结合，即可得到结论. （2）（i）根据最小二乘法，求得回归系数，进而求得回归方程；（ii）当时，结合回归方程，即可求得预报值. 【详解】（1）因为的线性相关系数， 的线性相关系数， 因为， 所以更适宜作为平均金属含量关于样本对原点的距离的回归方程类型. （2）依题意，， 则，于是， 所以关于的回归方程为. 当时，金属含量的预报值为. 2．（2023·上海长宁·二模）某地新能源汽车保有量符合阻沛型增长模型，其中为自统计之日起，经过t年后该地新能源汽车保有量、和r为增长系数、M为饱和量． 下表是该地近6年年底的新能源汽车的保有量（万辆）的统计数据： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 t 0 1 2 3 4 保有量 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 假设该地新能源汽车饱和量万辆． (1)若，假设2018年数据满足公式，计算的值（精确到0.01）并估算2023年年底该地新能源汽车保有量（精确到0.1万辆）； (2)设，则与t线性相关．请依据以上表格中相关数据，利用线性回归分析确定和r的值（精确到0.01）． 附：线性回归方程中回归系数计算公式如下：. 【答案】(1)，万辆 (2)， 【知识点】求回归直线方程、非线性回归、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】（1）根据题意代入即可求出，代入利用公式估算即可得解； （2）设设，转化为关于的线性回归问题，利用公式求出即可. 【详解】（1）由题意可知，2018年对应，， 满足，所以，解得， 因为年对应的， 所以 所以估计2023年底该地新能源汽车保有量为40.3万辆. （2）， 设，则， t 0 1 2 3 4 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 3.37 3.07 2.77 2.44 2.11 ，， ， 所以， 因为， 所以. (该题无参考数据，需要计算器计算) 压轴十三：独立性检验与概率统计综合 1．（23-24高二下·上海·期末）某校准备在体育锻炼时间提供三项体育活动供学生选择．为了解该校学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度（态度分为同意和不同意），随机调查了200名学生，得到的反馈数据如下：（单位：人） 男生 女生 合计 同意 70 50 120 不同意 30 50 80 合计 100 100 200 (1)能否有的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关? (2)假设现有足球、篮球、跳绳这三项体育活动供学生选择． ①若甲、乙两名学生从这三项运动中随机选一种假设他们选择各项运动的概率相同并且相互独立互不影响．记事件为“学生甲选择足球”，事件为“甲、乙两名学生都没有选择篮球”，求，并判断事件，是否独立，请说明理由． ②若该校所有学生每分钟跳绳个数．根据往年经验，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步．假设经过训练后每人每分钟跳绳个数比开始时个数均增加10个，若该校有1000名学生，请预估经过训练后该校每分钟跳169个以上的学生人数（结果四舍五入到整数）． 参考公式和数据：，其中，．若，，，． 【答案】(1)有关 (2)①，不独立，理由见解析；②977 【知识点】卡方的计算、正态分布的实际应用、计算条件概率、指定区间的概率 【分析】（1）计算出卡方，即可判断； （2）①求出，，，再由条件概率公式求出，由相互独立事件的定义即可判断；②由已知，经过训练后每人每分钟跳绳个数，根据正态分布的性质求出，从而估计出人数. 【详解】（1）提出假设：学生对该问题的态度与性别无关． 根据列联表中的数据可求得，． 因为当成立时，的概率约为， 所以有的把握认为，学生对该观点的态度与性别有关． （2）①因为事件为“学生甲选择足球”，事件为“甲、乙两名学生都没有选择篮球”， 所以事件为“学生甲选择足球，学生乙不选择篮球”， 所以，，， 所以， 因为，所以事件、不独立． ②记经过训练后每人每分钟跳绳个数为， 由已知，经过训练后每人每分钟跳绳个数． 因为，所以． 所以（人）． 所以经过训练后该校每分钟跳个以上人数约为． 2．（22-23高二下·上海黄浦·期末）某市一健身连锁机构对去年来该机构健身的100名会员进行了统计，制作成如下两个统计图，图1为该健身连锁机构会员年龄等级分布图，图2为一个月内会员到健身连锁机构频数分布扇形图.      若将会员按年龄分为“年轻人”（20岁-39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或40岁及以上）两类，将一个月内来健身房锻炼16次及以上的会员称为“健身达人”，15次及以下的会员称为“健身爱好者”，且已知在“健身达人”中有是“年轻人”. (1)根据上图的数据，补全下方列联表，并依据显著性水平的独立性检验，分析一个人是“健身达人”与这个人为“年轻人”是否有关联？ 年轻人 非年轻人 总计 健身达人 健身爱好者 总计 100 附：，，，与k的若干对应数值见下表： 0.25 0.05 0.005 1.323 3.841 7.879 (2)该连锁机构随机选取3名会员进行回访.设随机变量X表示选取的3人中既是“年轻人”又是“健身达人”的人数，求X的分布及其期望. 【答案】(1)列联表见解析，不能 (2)分布列见解析， 【知识点】独立性检验解决实际问题、利用二项分布求分布列、完善列联表、二项分布的均值 【分析】 （1）根据题意完善列联表，求，并与临界值对比分析； （2）根据题意分析可得，结合二项分布求分布列和期望. 【详解】（1）因为“年轻人”（20岁-39岁）所占的频率为，人数为， “非年轻人”（19岁及以下或40岁及以上）的人数为， “健身达人”所占的频率为，人数为， “健身爱好者”的人数为， 其中“年轻人”且“健身达人”的人数为， 据此列联表为 年轻人 非年轻人 总计 健身达人 50 10 60 健身爱好者 30 10 40 总计 80 20 100 可得， 所以“健身达人”与这个人为“年轻人”没有关联. （2）由题意可知：既是“年轻人”又是“健身达人”的频率， 用频率估计概率，可得，则有： ， ， 则X的分布为 X 0 1 2 3 P 期望. 3．（2025·上海·模拟预测）某航天公司研发一种火箭推进器，为测试其性能，对推进器飞行距离与损坏零件数进行了统计，数据如下： 飞行距离 56 63 71 79 90 102 110 117 损坏零件数（个） 61 73 90 105 119 136 149 163 (1)建立关于的回归模型，根据所给数据及回归模型，求回归方程及相关系数；（精确到0.1，精确到整数，精确到0.0001） (2)该公司进行了第二次测试，从所有同型号推进器中随机抽取100台进行等距离飞行测试，飞行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的推进器占比，请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为推进器是否报废与保养有关？ \ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 合计 60 100 参考数据、公式如下： ，其中，. ，. 保养 未保养 合计 报废 未报废 合计 ，其中. 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】(1)， (2)列联表见解析，有的把握认为是否报废与是否保养有关 【知识点】求回归直线方程、独立性检验解决实际问题、相关系数的计算 【分析】（1）利用最小二乘法求出，即可得出回归方程，再根据公式求出相关系数即可. （2）根据题意可将列联表补充完整，根据公式可求得，再对照临界值表即可得出结论. 【详解】（1）由题意可得， ， 又由， 所以， ， 所以变量关于的线性回归方程为. ， . （2）设零假设：是否报废与是否保养无关. 由题意，报废推进器中保养过得共台，未保养的推进器共台， 补充列联表如下： 保养 未保养 合计 报废 6 14 20 未报废 54 26 80 合计 60 40 100 则， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否报废与是否保养有关，此判断错误的概率不大于0.01. 4．（2024·上海·三模）某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位:小时）分配情况等数据，并将样本数据分成，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)现认为大于10小时的公益劳动时间为长，小于10小时的公益劳动时间为短，填写下列列联表，并判断是否有95%把握认为公益劳动时间与学生性别有关. 性别 公益劳动时间 合计 长 短 男 110 女 120 合计 (2)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在内的学生人数为，求的分布列和期望； (3)以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“”表示这20名学生中恰有名学生参加公益劳动时间在]（单位:小时）内的概率，其中.当最大时，写出的值. 0.100 0.050 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】(1)表格见解析，没有95%的把握认为公益劳动时间与学生性别有关 (2)分布列见解析， (3) 【知识点】卡方的计算、写出简单离散型随机变量分布列、独立重复试验的概率问题、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据频率分布直方图利用频率之和为1求解,再列表计算卡方得解； （2）分层抽样后，根据题意的可能取值为0，1，2，3，求出概率列出分布列和期望即可； （3）根据独立重复试验概率公式得出不等式组，解不等式得解. 【详解】（1）由频率分布直方图得: ，解得      由频率分布直方图可得大于10小时的人数为, 填表如下 性别 公益劳动时间 合计 长 短 男 110 180 290 女 90 120 210 合计 200 300 500 ①提出原假设H0：认为公益劳动时间与学生性别无关 ②确定显著性水平： ③计算：     ④无法否定原假设 ⑤结论：没有95%的把握认为公益劳动时间与学生性别有关 （2）这500名学生中参加公益劳动时间在三组内的学生人数分别为:人，人，人， 若采用分层抽样的方法抽取了10人， 则从参加公益劳动时间在内的学生中抽取:人， 现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3， 的分布列为:         0 1 2 3 则其期望为 （3）由（2）可知参加公益劳动时间在的概率 所以 依题意，即， 即，解得 因为为非负整数，所以， 即当最大时， $$专题02 高二下学期期末真题精选 (沪教版2020选择性必修第二册) （压轴13大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 压轴一 利用切线解决距离问题（难点） · 压轴二 构造函数解决不等式问题（难点） · 压轴三 构造函数比较大小（难点） · 压轴四 利用导数研究函数的恒（能）成立问题（高频）（难点） · 压轴五 利用导数研究函数的零点方程的根（高频）（难点） · 压轴六 导数新定义题（难点） · 压轴七 排列组合综合 · 题型八 条件概率与全概率公式（难点） · 题型九 二项分布与超几何分布（高频） · 题型十 正态分布（高频） · 题型十一 概率与数列，导数交汇（难点） · 题型十二 非线性回归拟合（难点） · 题型十三 独立性检验与概率统计综合（重点） 压轴一：利用切线解决距离问题（共3小题） 1．（22-23高二上·上海长宁·期末）已知为直线上的一个动点，为曲线上的一个动点，则线段长度的最小值为 . 2．（2023·上海闵行·三模）已知函数，直线：，若直线与的图象交于点，与直线交于点，则，之间的最短距离是 . 3．（24-25高三上·上海闵行·期中）已知，，则的最小值为 ． 压轴二：构造函数解决不等式问题（共4小题） 1．（2023·上海嘉定·一模）对于函数，若对于任意的，恒成立，求a的取值范围 . 2．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知函数，若 恒成立，则实数 的取值范围为 . 3．（24-25高二上·安徽·期末）若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为 . 4．（2023·湖南·模拟预测）已知不等式恒成立，则实数的最大值为 . 压轴三：构造函数比较大小（共4小题） 1．（24-25高二下·上海·期中）与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 2．（23-24高二下·上海·期中）设，利用函数单调性比大小，可得（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·上海·单元测试）设，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（22-23高三上·上海·开学考试）设，则（    ） A． B． C． D． 压轴四：利用导数研究函数的恒（能）成立问题（共7小题） 1．（22-23高二下·上海浦东新·期末）若存在实数，，对任意实数，使得不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·上海·期末）若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为 . 3．（24-25高二上·上海闵行·期末）已知函数. (1)曲线在点处的切线过点，求的值； (2)求函数的单调区间； (3)若不等式恒成立，求整数的最大值. 4．（23-24高二下·上海·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)函数在区间上有零点，求的值； (3)记函数，设，是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值. 5．（23-24高二下·上海·期末）已知函数 (1)当时，求函数的极大值； (2)若对一切都成立，求实数的取值范围. 6．（23-24高二下·上海·期末）函数的定义域为，如果存在，使得，称t为的一个不动点．函数（，为自然对数的底数），定义在R上的函数满足，且当时，． (1)求证：为奇函数； (2)当a变化时，求函数不动点个数； (3)若存在，，且为函数的一个不动点，求a的取值范围． 7．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知函数 (1)若函数在处的切线斜率是2，求的值； (2)若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围； (3)记(是自然对数的底数).若对任意、且时，均有成立，求实数的取值范围． 压轴五：利用导数研究函数的零点方程的根（共5小题） 1．（23-24高二下·上海·期末）已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且点，关于原点对称，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·上海杨浦·期末）已知函数，，设，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)证明：当函数经过点时函数有且仅有一个零点； (3)证明：对小于的实数，存在实数使得关于方程恰有三个不同的实数根，并指出实数的取值范围． 3．（23-24高二下·上海青浦·期末）已知，函数，其中． (1)若，，写出函数图像的一条水平切线的方程； (2)若，，且满足，证明：； (3)若存在，使得函数有唯一零点，求实数m的取值范围． 4．（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知， (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围． 5．（24-25高三上·上海浦东新·期中）对于函数，，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点；若存在，使得，则称为函数的二阶不动点，一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为稳定点． (1)已知，求的不动点； (2)已知函数在定义域内严格增，求证：“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件； (3)已知，讨论函数的稳定点个数． 压轴六：导数新定义题（共5小题） 1．（23-24高二下·上海闵行·期末）若函数的图像上有两个不同点处的切线重合，则称该切线为函数的图像的“自公切线”. (1)试判断函数与的图像是否存在“自公切线”（不需要说明理由）； (2)若，求函数的图像的“自公切线”方程； (3)设，求证：函数的图像不存在“自公切线” 2．（2024·上海·模拟预测）已知函数，如果存在常数，对任意满足的实数，其中，都有不等式恒成立，则称函数是“绝对差有界函数” (1)函数是“绝对差有界函数”，求常数的取值范围； (2)对于函数，存在常数，对任意的，有恒成立，求证：函数为“绝对差有界函数” (3)判断函数是不是“绝对差有界函数”？说明理由 3．（2024·上海·三模）设函数的定义域为D，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间是的一个“美好区间”． 性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有． (1)已知，．分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”，并说明理由； (2)已知且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数的取值范围； (3)已知函数的定义域为，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”． 4．（2023·上海奉贤·一模）若函数满足：对任意的实数，，有恒成立，则称函数为 “增函数” ． (1)求证：函数不是“增函数”； (2)若函数是“增函数”，求实数的取值范围； (3)设，若曲线在处的切线方程为，求的值，并证明函数是“增函数”． 5．（24-25高三上·上海嘉定·期中）已知定义域为的函数，其导数为，若对任意的都有，则称函数为“导可控函数”. (1)请说明是否为“导可控函数”； (2)若函数为“导可控函数”，且存在正数，使在上恒成立，试判断函数的零点个数，并说明理由； (3)若函数为“导可控函数”，且存在、，使得，证明：对任意的实数、，都有. 压轴七：排列组合综合（共5小题） 1．（24-25高二上·上海·期末）平面向量为2维向量，可由2元有序实数组表示；空间向量为3维向量，可由3元有序实数组表示.维向量可由（为正整数）元有序实数组表示.已知维向量，我们称 为该向量的范数，其中，记范数为奇数的的个数为.设，则 . 2．（23-24高二上·上海松江·期末）设为的一个排列，满足，则这样的排列的个数为 个. 3．（22-23高二上·上海浦东新·期末）设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的和共有 个组合. 4．（24-25高三上·上海·期中）一个项数为的正整数数列满足，且，若为不大于 的偶数，则符合条件的数列共有 个. 5．（24-25高三上·上海·期中）我们称（为正整数）元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，记范数为奇数的的个数为，则 6．（24-25高二下·上海·期中）已知集合中的任一个元素都是整数，当存在整数、，且时，称为“间断整数集”.进一步地，若“间断整数集”中任意两个元素的差的绝对值最小为，则称为“－间断整数集”.已知集合. (1)若集合的三元子集是“2－间断整数集”，求符合条件的元素所构成的集合； (2)若集合的四元子集是“1－间断整数集”，求集合的个数； (3)求集合的所有子集中，“间断整数集”的个数. 压轴八：条件概率与全概率公式 1．（24-25高三上·上海杨浦·期末）某校高二有人报名足球俱乐部，人报名乒乓球俱乐部，人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为 ． 2．（23-24高二下·上海·期末）甲乙丙丁四名医生随机派往①②③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派一名医生，表示事件“医生甲派往①村庄”；表示事件“医生乙派往①村庄”；表示事件“医生乙派往②村庄”， 则下列说法①事件与相互独立； ②事件与相互独立； ③；④，其中错误的个数是 个． 3．（23-24高二上·上海·期末）某校中学生篮球队集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）.每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回.已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，则第二次训练时恰好取到1个新球的概率为 . 4．（23-24高二下·安徽宿州·期中）某校高二年级数学竞赛选拔赛分为初赛和决赛两阶段进行.初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两名同学，且每名同学都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的同学才具备参与决赛的资格.高二某班派出甲和乙参赛.在初赛中，若甲通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是、，乙通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是、，且每名同学所有轮次比赛的结果互不影响. (1)若该班获得决赛资格的同学个数为X，求X的分布列和数学期望； (2)已知甲和乙都获得了决赛资格. 决赛的规则如下：将问题放入A，B两个纸箱中，A箱中有3道选择题和3道填空题，B箱中有4道选择题和4道填空题. 决赛中要求每位参赛同学在A，B两个纸箱中随机抽取两题作答. 甲先从A箱中依次抽取2道题目，答题结束后将题目一起放入B箱中，然后乙再从B箱中抽取题目. ①求乙从B箱中抽取的第一题是选择题的概率； ②已知乙从B箱中抽取的第一题是选择题，求甲从A箱中抽出的是2道选择题的概率. 5．（2024·上海黄浦·二模）某社区随机抽取200个成年市民进行安全知识测试，将这200人的得分数据进行汇总，得到如下表所示的统计结果，并规定得分60分及以上为合格. 组别 频数 9 26 65 53 47 (1)该社区为参加此次测试的成年市民制定了如下奖励方案：①合格的发放个随机红包，不合格的发放个随机红包；②每个随机红包金额(单位：元)的分布为.若从这200个成年市民中随机选取1人，记（单位：元）为此人获得的随机红包总金额，求的分布及数学期望； (2)已知上述抽测中60岁以下人员的合格率约为56%，该社区所有成年市民中60岁以下人员占比为70%.假如对该社区全体成年市民进行上述测试，请估计其中60岁及以上人员的合格率以及成绩合格的成年市民中60岁以下人数与60岁及以上人数之比. 压轴九：二项分布与超几何分布 1．（23-24高二下·上海·期末）一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·上海普陀·期末）全国新高考数学推行8道单选，4道多选的政策.单选题每题5分，选错不得分，多选题每题完全选对5分，部分选对2分，不选得0分.现有小李和小周参与一场新高考数学题，小李的试卷正常，而小周的试卷选择题是被打乱的，所以他12题均认为是单选题来做.假设两人选对一个单选题的概率都是，且已知这四个多选题都只有两个正确答案. (1)记小周选择题最终得分为，求的分布列以及数学期望. (2)假设小李遇到四个多选题时，每个题他只能判断有一个选项是正确的，且小李也只会再选1个选项，假设他选对剩下1个选项的概率是，请你帮小李制定回答4个多选题的策略，使得分最高. 3．（22-23高二上·上海徐汇·期末）随着网络的快速发展，电子商务成为新的经济增长点，市场竞争也日趋激烈，除了产品品质外，客服团队良好的服务品质也是电子商务的核心竞争力，衡量一位客服工作能力的重要指标—询单转化率，是指咨询该客服的顾客中成交人数占比，可以看作一位顾客咨询该客服后成交的概率，已知某网店共有10位客服，按询单率分为，两个等级（见表），且视，等级客服的询单转化率分别为对应区间的中点值. 等级 询单转化率 人数 (1)求该网店询单转化率的平均值； (2)现从这10位客服中任意抽取4位进行培训，求这4人的询单转化率的中位数不低于的概率； (3)已知该网店日均咨询顾客约为1万人，为保证服务质量，每位客服日接待顾客的数量不超过1300人.在网店的前期经营中，进店咨询的每位顾客由系统等可能地安排给任一位客服接待，为了提升店铺成交量，网店实施改革，经系统调整，进店咨询的每位顾客被任一位A等级客服接待的概率为a，被任一位B等级客服接待的概率为b，若希望改革后经咨询日均成交人数至少比改革前增加300人，则a应该控制在什么范围？ 4．（22-23高二上·上海虹口·期末）某批件产品的次品率为2%，现从中任意地依次抽出3件进行检验. (1)当，，，若以取后放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？ (2)当，，，若以取后不放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？ (3)（1）、（2）分别对应哪种分布，并结合（1）（2）探究两种分布之间的联系. 5．（22-23高二上·上海嘉定·期中）已知共15张卡牌由5张红卡、10张其它颜色卡组成，混合后分3轮发出，每轮随机发出5张卡． (1)求事件“第1轮无红色卡牌”的概率； (2)求事件“第1轮有至少3张红色卡牌”的概率； (3)求事件“每轮均有红色卡牌”的概率． 压轴十：正态分布 1．（20-21高二下·福建福州·期中）江先生每天9点上班，上班通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行，私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，从停车场步行到单位要6分钟；江先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计的角度出发，下列说法中合理的有（    ） 参考数据：若，则，， A．若出门，则开私家车不会迟到 B．若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 C．若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 D．若出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到 2．（23-24高三下·上海松江·阶段练习）王先生每天8点上班，他通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行.私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，从停车场步行到单位要6分钟；王先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线较长，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计角度出发，关于两种上班方式，下列说法正确的个数是（    ）个 ①若7：00出门，则王先生开私家车上班不会迟到 ②若7：02出门，则王先生开私家车上班不迟到的可能性更大 ③若7：06出门，则王先生乘坐地铁上班不迟到的可能性更大 ④若7：12出门，则王先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到 参考数据：若，则，， A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高二下·上海·期末）老张每天下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有，两条线路可以选择.乘坐线路所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要5分钟；乘坐线路所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要12分钟. 下列说法从统计角度认为不合理的是 . 参考数据：若，则，， ①若乘坐线路，前一定能到家； ②乘坐线路比乘坐线路在前到家的可能性更大； ③乘坐线路比乘坐线路在前到家的可能性更大； ④若乘坐线路，则在前到家的可能性不超过. 压轴十一：概率与数列交汇 1．（23-24高二下·上海·期末）“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚.甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种.他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为，乙每天选择“共享单车”的概率为，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为，如此往复. (1)求3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率； (2)记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为，求的分布、期望与方差； (3)求丙在3月份第天选择“共享单车”的概率，并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数. 2．（23-24高二下·上海·期末）6月1日某商场举办了赢取冰墩墩、雪容融吉祥物挂件答题活动．为了提高活动的参与度，计划有的人只能赢取冰墩墩挂件，另外的人既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，每位顾客若只能赢取冰墩墩挂件，则记1分，若既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，则记2分，假设每位顾客能赢取冰墩墩挂件和赢取雪容融挂件相互独立，视频率为概率． (1)从顾客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； (2)从顾客中随机抽取n人（），记这n人的合计得分恰为分的概率为，求． 3．（21-22高二下·上海金山·期末）近两年因为疫情的原因，线上教学越来越普遍了．为了提升同学们的听课效率，授课教师可以选择在授课过程中进行专注度监测，即要求同学们在10秒钟内在软件平台上按钮签到，若同学们能够在10秒钟内完成签到，则说明该同学在认真听课，否则就可以认为该同学目前走神了．经过一个月对全体同学上课情况的观察统计，平均每次专注度监测有的同学能够正常完成签到．为了能够进一步研究同学们上课的专注度情况，我们做如下两个约定： ①假设每名同学在专注度监测中出现走神情况的概率均相等； ②约定每次专注度监测中，每名同学完成签到加2分，未完成签到加1分． 请回答如下两个问题： (1)若一节课老师会进行3次专注度监测，那么某班同学在3次专注度监测中的总得分的数学期望是多少？ (2)记某位同学在数次专注度监测中累计得分恰为分的概率为（比如：表示累计得分为分的概率，表示累计得分为的概率），求： ①的通项公式； ②的通项公式． 4．（21-22高二下·上海徐汇·期末）设有两个罐子，A罐中放有2个白球，1个黑球，B罐中放有3个白球，这些球的大小与质地相同．现从这两个罐子中各摸1个球进行交换，用表示事件“交换n次后，黑球还在A罐中” (1)分别求这样交换1次和2次后，黑球还在A罐中的概率和； (2)试研究与具有怎样的递推关系，并在此基础上，求出关于n的表达式． 压轴十二： 非线性回归拟合 1．（2024·上海·一模）为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量（单位：克每立方米）与样本对原点的距离（单位：米）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中）． 6 97.90 0.21 240 0.14 14.12 26.13 (1)利用相关系数的知识，判断与哪一个更适宜作为平均金属含量关于样本对原点的距离的回归方程类型； (2)根据（1）的结果建立关于的回归方程，并估计样本对原点的距离米时，平均金属含量是多少？ 2．（2023·上海长宁·二模）某地新能源汽车保有量符合阻沛型增长模型，其中为自统计之日起，经过t年后该地新能源汽车保有量、和r为增长系数、M为饱和量． 下表是该地近6年年底的新能源汽车的保有量（万辆）的统计数据： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 t 0 1 2 3 4 保有量 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 假设该地新能源汽车饱和量万辆． (1)若，假设2018年数据满足公式，计算的值（精确到0.01）并估算2023年年底该地新能源汽车保有量（精确到0.1万辆）； (2)设，则与t线性相关．请依据以上表格中相关数据，利用线性回归分析确定和r的值（精确到0.01）． 附：线性回归方程中回归系数计算公式如下：. 压轴十三：独立性检验与概率统计综合 1．（23-24高二下·上海·期末）某校准备在体育锻炼时间提供三项体育活动供学生选择．为了解该校学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度（态度分为同意和不同意），随机调查了200名学生，得到的反馈数据如下：（单位：人） 男生 女生 合计 同意 70 50 120 不同意 30 50 80 合计 100 100 200 (1)能否有的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关? (2)假设现有足球、篮球、跳绳这三项体育活动供学生选择． ①若甲、乙两名学生从这三项运动中随机选一种假设他们选择各项运动的概率相同并且相互独立互不影响．记事件为“学生甲选择足球”，事件为“甲、乙两名学生都没有选择篮球”，求，并判断事件，是否独立，请说明理由． ②若该校所有学生每分钟跳绳个数．根据往年经验，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步．假设经过训练后每人每分钟跳绳个数比开始时个数均增加10个，若该校有1000名学生，请预估经过训练后该校每分钟跳169个以上的学生人数（结果四舍五入到整数）． 参考公式和数据：，其中，．若，，，． 2．（22-23高二下·上海黄浦·期末）某市一健身连锁机构对去年来该机构健身的100名会员进行了统计，制作成如下两个统计图，图1为该健身连锁机构会员年龄等级分布图，图2为一个月内会员到健身连锁机构频数分布扇形图.      若将会员按年龄分为“年轻人”（20岁-39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或40岁及以上）两类，将一个月内来健身房锻炼16次及以上的会员称为“健身达人”，15次及以下的会员称为“健身爱好者”，且已知在“健身达人”中有是“年轻人”. (1)根据上图的数据，补全下方列联表，并依据显著性水平的独立性检验，分析一个人是“健身达人”与这个人为“年轻人”是否有关联？ 年轻人 非年轻人 总计 健身达人 健身爱好者 总计 100 附：，，，与k的若干对应数值见下表： 0.25 0.05 0.005 1.323 3.841 7.879 (2)该连锁机构随机选取3名会员进行回访.设随机变量X表示选取的3人中既是“年轻人”又是“健身达人”的人数，求X的分布及其期望. 3．（2025·上海·模拟预测）某航天公司研发一种火箭推进器，为测试其性能，对推进器飞行距离与损坏零件数进行了统计，数据如下： 飞行距离 56 63 71 79 90 102 110 117 损坏零件数（个） 61 73 90 105 119 136 149 163 (1)建立关于的回归模型，根据所给数据及回归模型，求回归方程及相关系数；（精确到0.1，精确到整数，精确到0.0001） (2)该公司进行了第二次测试，从所有同型号推进器中随机抽取100台进行等距离飞行测试，飞行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的推进器占比，请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为推进器是否报废与保养有关？ \ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 合计 60 100 参考数据、公式如下： ，其中，. ，. 保养 未保养 合计 报废 未报废 合计 ，其中. 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 4．（2024·上海·三模）某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位:小时）分配情况等数据，并将样本数据分成，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)现认为大于10小时的公益劳动时间为长，小于10小时的公益劳动时间为短，填写下列列联表，并判断是否有95%把握认为公益劳动时间与学生性别有关. 性别 公益劳动时间 合计 长 短 男 110 女 120 合计 (2)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在内的学生人数为，求的分布列和期望； (3)以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“”表示这20名学生中恰有名学生参加公益劳动时间在]（单位:小时）内的概率，其中.当最大时，写出的值. 0.100 0.050 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 $$