专题05 第6章 两个计数原理及排列组合（3考点清单，知识导图+7个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020）

清单05 第6章 两个计数原理及排列组合 （3个考点梳理+7题型解读+提升训练） 清单01 两个计数原理综合 （1）定义：完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. （2）定义：完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. 清单02 排列数计算 排列数公式 ①（连乘形式）：，， ②（阶乘形式），， 清单03 组合数的计算和性质 或：（，）. （1）性质1： （2）性质2： 【考点题型一】两个计数原理综合（） 【例1】（24-25高一上·福建莆田·期中）已知集合，且，则集合所有可能的情况有 种. 【变式1-1】.（24-25高二下·上海·期中）有9名学生站在一排拍毕业纪念照，其中甲要和乙站在一起，丙的个子最高站在中间，则不同排法有 种． 【变式1-2】.（2025·上海宝山·二模）有件商品的编号分别为，它们的售价（元），且满足，则这件商品售价的所有可能情况有 种. 【变式1-3】.（24-25高二下·全国·课后作业）从集合中取两个不同的数分别作为对数的底数与真数，则不同的对数值的个数为 ． 【考点题型二】排列数，组合数（组合数性质）计算（） 【例2】（24-25高二下·上海青浦·期中）已知是大于等于3的正整数，且，则的值为 ． 【变式2-1】.（24-25高二下·上海闵行·期中）若m为正整数，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】.（24-25高二下·上海浦东新·期中）若排列数，则 . 【变式2-3】.（24-25高二下·上海·期中）设为正整数，若，则 . 【变式2-4】.（25-26高三上·上海·单元测试）若，则 . 【考点题型三】相邻与不相邻问题（） 【例3】（24-25高二下·上海·期中）某学校组织学生参加劳动实践活动， 其中 4 名男生和 2 名女生参加农场体验活动， 体验活动结束后，农场主与 6 名同学站成一排合影留念，则 2 名女生互不相邻，且农场主站在中间的方法数为 ． (用数字作答) 【变式3-1】.（24-25高二下·上海徐汇·期中）某校艺术节总汇演，已知高一，高二，高三分别选送了4，3，2个节目，若高一的节目彼此都不相邻，高三的节目必须相邻，共计有 种出场顺序． 【变式3-2】.（24-25高二下·上海闵行·期中）在电影《哪吒之魔童闹海》中，哪吒、敖丙、太乙真人、申公豹、鹿童五人参加一场仙法比试，需要站成一排拍照留念.哪吒和敖丙要求必须相邻，且太乙真人不能站在两端，那么共有 种不同的站法. 【变式3-3】.（24-25高二下·上海·阶段练习）某班新年联欢会原定是5个节目，且已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目增加到原节目单中，那么新节目单可能有种 . 【变式3-4】.（24-25高二上·辽宁·阶段练习）一盒子里有编号的红球和编号的白球各一个，随机取出4个球排成一列，则相同颜色和相同编号均不相邻的排法有 种. 【考点题型四】分组与分配问题（） 【例4】（24-25高二下·上海·期中）第33届夏季奥运会在法国巴黎举办，这届奥运会将新增霹雳舞、滑板、攀岩、冲浪四个比赛项目及两个表演项目．现有三个场地分别承担这6个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，其中两个表演项目不在一个场地举办，则不同的安排方法有 种． 【变式4-1】.（2025·上海·模拟预测）两本不同的图画书和两本不同的音乐书全部分给三个小朋友，每人至少一本，且两本图画书不分给同一个小朋友，则不同的分法共有 种． 【变式4-2】（24-25高二下·上海浦东新·期中）上海市实验学校为了组织2025体育节，从高二年级挑选3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 种. 【变式4-3】.（24-25高二下·上海·期中）将5名篮球新秀分配给4支篮球队，要求每支篮球队至少分配到1名新秀，那么不同的分配方法有 种（用数字作答） 【变式4-4】.．（24-25高二下·上海静安·期中）将3名志愿者分配到2个项目进行培训，若每名志愿者只分配到1个项目，且每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有 种． 【考点题型五】数字排列问题（） 【例5】（24-25高二上·上海·假期作业）用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个 (1)数字1不排在个位和千位 (2)数字1不在个位，数字6不在千位． 【变式5-1】.（2025·上海嘉定·二模）在由1，2，3，4，5这五个数组成的无重复数字的四位数中，其能被3整除的概率为 . 【变式5-2】.（24-25高二上·上海·假期作业）用，，，，，组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且和相邻，这样的六位数的个数是 （用数字作答）． 【变式5-3】.（24-25高三·上海·随堂练习）用0，1，2，3，4五个数字： (1)可组成多少个无重复数字的五位数？ (2)可组成多少个无重复数字的五位奇数？ 【考点题型六】涂色问题（） 【例6】（2025·湖南郴州·三模）如图，这是一个平面图形，现提供四种颜色给图中的区域1､区域2､区域3､区域4､区域5､区域6共六个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则共有 种不同的涂色方案． 【变式6-1】.（24-25高二下·安徽·阶段练习）某学校为培养学生的动手能力、合作能力和环保意识，在新的学期建立了一块劳动基地（形状如图），并进行花卉种植活动．现有4种不同的花卉，在基地的5个区域种植，只要求相邻区域种植不同的花卉，则不同的种植方法共有 种． 【变式6-2】.（24-25高二下·广东广州·期中）如图，对、、、、五块区域涂色，现有种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有 种. 【变式6-3】.（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）如图，圆的两条弦把圆分成4个部分，用5种不同的颜色给这4个部分涂色，每个部分涂1种颜色，任何相邻（有公共边）的两个部分涂不同的颜色，那么共有 种不同的涂色方法． 【考点题型七】隔板法（） 【例7】（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）某单位4男3女参加乡村振兴工作，这7人将被派驻到A，B，C 3个乡村进行乡村振兴工作(每个乡村至少派驻1人)．若只考虑3个乡村的名额分配，则有 种不同的名额分配方式；若每个乡村至少派驻1男1女两位工作人员，且男性甲必须派驻到A乡村，则有 种不同的派驻方式．(用数字填写答案) 【变式7-1】.（24-25高二下·山西朔州·期中）11个相同的小球放入3个编号为1，2，3的盒中，每个盒子至少1个，有 种放法.（用数字作答） 【变式7-2】.（23-24高二下·全国·课后作业）将8个相同的小球放入5个编号为1，2，3，4，5的盒子，每个盒子都不空的方法数为 . 【变式7-3】.（23-24高二下·全国·课堂例题）四元一次方程的正整数解有 组，非负整数解有 组． 【变式7-4】.（24-25高二上·全国·课后作业）将8个相同的小球放入5个编号为1，2，3，4，5的盒子，每个盒子都不空的方法数为 ，恰有一个空盒子的方法数为 ． 提升训练 一、填空题 1．（24-25高二下·上海徐汇·期中）5名篮球队员排成一排，若甲必须站在排头，有 种不同的排法. 2．（24-25高二下·上海金山·期中）为进一步了解学生的学习和生活，某校选派4名老师去三个学生家中进行家访活动，每个学生家中至少去1人，恰有两个学生家中所派人数相同，则不同的安排方式有 种 3．（24-25高二下·上海奉贤·期中）若组合数，则的最大值为： ． 下·上海·期中）学校组织文艺汇演，有3个舞蹈节目、2个歌唱节目和1个魔术节目，要求3个舞蹈节目必须连续表演，那么这6个节目的表演顺序共有 种． 5．（24-25高二下·上海闵行·期中）从6名同学中选择4人参加三天志愿服务活动，有一天安排两人，另两天各安排一人，共有 种安排方法（用数字作答） 6．（24-25高二下·上海宝山·期中）某班3个男孩和2个女孩站成一排做游戏，这2个女孩不相邻的站法种数为 ． 7．（24-25高三下·上海虹口·期中）已知个小球的编号为、、、，从中有放回地摸取小球三次，并依次记录其编号，若这三个编号成等差数列，则共有 种不同的摸取方法. 8．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）已知集合，，为从定义域到值域的函数，且有两个不同的实数根，则这样的函数个数为 . 二、解答题 9．（24-25高二下·上海闵行·期中）现有5名男生4名女生站成一排，求： (1)女生都不相邻有多少种排法； (2)男生甲、乙、丙排序一定（只考虑位置的前后顺序），有多少种排法； (3)男甲不在首位，男乙不在末位的概率． 10．（23-24高二下·云南丽江·阶段练习）现有6名孩子和3个不同的房间，并让孩子都进入房间． (1)若每个房间进2个小孩，共有多少种不同的方法？ (2)恰有一个房间没有孩子，共有多少种安排方法？ 11．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期中）5名男生，2名女生，站成一排照相. (1)共有多少种排法？ (2)两名女生不排在队伍两头的排法有多少种？ (3)两名女生不相邻的排法有多少种？ 12．（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）有六个数字．（运算结果以数字作答） (1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？ (2)能组成多少个无重复数字且比1230大的四位数？ (3)能组成多少个恰有三个重复数字的四位数？ 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单05 第6章 两个计数原理及排列组合 （3个考点梳理+7题型解读+提升训练） 清单01 两个计数原理综合 （1）定义：完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. （2）定义：完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法. 清单02 排列数计算 排列数公式 ①（连乘形式）：，， ②（阶乘形式），， 清单03 组合数的计算和性质 或：（，）. （1）性质1： （2）性质2： 【考点题型一】两个计数原理综合（） 【例1】（24-25高一上·福建莆田·期中）已知集合，且，则集合所有可能的情况有 种. 【答案】500 【知识点】交集的概念及运算、分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】由题意分类讨论，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】设初始状态为： 中元素：，中元素：，为空集. 现将元素往三个集合中放， 有两种放法，放在集合中或者不放在集合中；同，有两种放法. 对于，分两种情况：放在集合中或者不放在集合中. 当放在中时，可以不放在集合与集合中，也可以放在其中一个集合，但不能同时放在集合中，共3种放法；当不放在集合中时，必须放在集合或集合中，共两种放法，故对于，共5种放法. 同，有5种放法，同，有5种放法， 由分步乘法计数原理得，共有种. 故答案为：500. 【变式1-1】.（24-25高二下·上海·期中）有9名学生站在一排拍毕业纪念照，其中甲要和乙站在一起，丙的个子最高站在中间，则不同排法有 种． 【答案】8460 【知识点】分类加法计数原理、元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】先确定丙站在正中间，然后分甲乙都在丙的左手边和甲乙都在丙的右手边计数，最后利用分类加法计数原理求排法总数. 【详解】由题知，当丙站在正中间，其左右各有4个位置， 若甲乙两位同学站在一起且都在丙的左手边，则从剩下6个人中选2个人，连同甲乙一起站在丙的左手边，其余4个位置的人站法按全排列站在丙的右手侧， 有种， 同理，当甲乙两个人站在丙的右手侧时，有种 由分类加法计数原理知，共有种排法. 故答案为：8460 【变式1-2】.（2025·上海宝山·二模）有件商品的编号分别为，它们的售价（元），且满足，则这件商品售价的所有可能情况有 种. 【答案】 【知识点】分类加法计数原理、实际问题中的组合计数问题 【分析】利用组合数中允许重复的原则，分四类讨论，再由加法原理和组合数计算即可. 【详解】分四类讨论： ①当时，有6种情况； ②当时， 若，有5种选法； 若，有4种选法； 若，有3种选法； 若，有2种选法； 若，有1种选法； 由加法原理可得共有15种； ③当时， 若，选择有5种选法； 若，选择有4种选法； 若，选择有3种选法； 若，选择有2种选法； 若，选择有1种选法； 由加法原理可得共有15种； ④当时，有种， 综上，共有种. 故答案为：56. 【变式1-3】.（24-25高二下·全国·课后作业）从集合中取两个不同的数分别作为对数的底数与真数，则不同的对数值的个数为 ． 【答案】52 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】先利用分步乘法计数原理得到个对数，再排除掉相等的对数值，得到答案. 【详解】第一步，取底数，有8种取法；第二步，取真数，有7种取法． 根据分步乘法计数原理，共得到个对数． 但在这些对数中，，，， ，所以可以得到个不同的对数值． 故答案为：52 【考点题型二】排列数，组合数（组合数性质）计算（） 【例2】（24-25高二下·上海青浦·期中）已知是大于等于3的正整数，且，则的值为 ． 【答案】5 【知识点】排列数方程和不等式、组合数方程和不等式 【分析】根据组合数以及排列数公式求解，即得答案. 【详解】由得且， 即，即， 故答案为：5 【变式2-1】.（24-25高二下·上海闵行·期中）若m为正整数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】排列数的计算 【分析】根据组合数的计算公式得解. 【详解】因为， 即9个连续正整数相乘，且最大值为， 故， 故选：D 【变式2-2】.（24-25高二下·上海浦东新·期中）若排列数，则 . 【答案】 【知识点】排列数的计算 【分析】根据排列数公式来求解的值. 【详解】排列数公式为， 这里 对比公式可看出. 故答案为：3. 【变式2-3】.（24-25高二下·上海·期中）设为正整数，若，则 . 【答案】 【知识点】排列数方程和不等式、组合数方程和不等式 【分析】利用排列数和组合数公式可得出关于的等式，解之即可. 【详解】由题意可知且，由可得， 整理可得，解得. 故答案为：. 【变式2-4】.（25-26高三上·上海·单元测试）若，则 . 【答案】 【知识点】排列数方程和不等式、组合数方程和不等式 【分析】借助排列数与组合数的计算公式计算即可得. 【详解】由题意可得，且， 故，即. 故答案为：. 【考点题型三】相邻与不相邻问题（） 【例3】（24-25高二下·上海·期中）某学校组织学生参加劳动实践活动， 其中 4 名男生和 2 名女生参加农场体验活动， 体验活动结束后，农场主与 6 名同学站成一排合影留念，则 2 名女生互不相邻，且农场主站在中间的方法数为 ． (用数字作答) 【答案】 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、不相邻排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】先求农场主站在中间的方法数，以及利用捆绑法求农场主站在中间，且2名女生相邻的方法数，再利用间接法求得2名女生互不相邻，且农场主站在中间的方法数. 【详解】由题意，农场主站在中间有种方法， 农场主站在中间，且2名女生相邻有种方法， 所以2名女生互不相邻，且农场主站在中间的方法数为. 故答案为：528. 【变式3-1】.（24-25高二下·上海徐汇·期中）某校艺术节总汇演，已知高一，高二，高三分别选送了4，3，2个节目，若高一的节目彼此都不相邻，高三的节目必须相邻，共计有 种出场顺序． 【答案】 【知识点】相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】根据相邻问题捆绑，再把不相邻问题应用插空计算求解. 【详解】高三2个节目视作1个节目，与高二3个节目全排列， 再把高一的4个节目插入所成的5个空中的4个，所以共有 . 故答案为：. 【变式3-2】.（24-25高二下·上海闵行·期中）在电影《哪吒之魔童闹海》中，哪吒、敖丙、太乙真人、申公豹、鹿童五人参加一场仙法比试，需要站成一排拍照留念.哪吒和敖丙要求必须相邻，且太乙真人不能站在两端，那么共有 种不同的站法. 【答案】24 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】根据题意，结合哪吒和敖丙的站法，分类讨论，确定太乙真人的站法，进而得到答案. 【详解】若哪吒和敖丙站第2、3位置，则太乙真人再第4位置，余下的两人站余下的位置， 此时有种站法； 同理，若哪吒和敖丙再第3、4位置，此时有种站法； 若哪吒和敖丙站在第1、2位置，则太乙真人再第3或第4位置，余下的两人站余下的位置， 此时有种站法； 同理，若哪吒和敖丙站第4、5位置，此时也有种站法， 综上可得，共有种站法. 故答案为：24. 【变式3-3】.（24-25高二下·上海·阶段练习）某班新年联欢会原定是5个节目，且已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目增加到原节目单中，那么新节目单可能有种 . 【答案】42 【知识点】分类加法计数原理、不相邻排列问题 【分析】利用插空法，分两个新节目在一起和两个新节目不在一起两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】原定的5个节目形成6个空． 当插入的这两个新节目在一起时，有插法； 当插入的这两个新节目不在一起时，有插法， 所以总的不同插法的种数为种，即新节目单可能有种排法． 故答案为：42． 【变式3-4】.（24-25高二上·辽宁·阶段练习）一盒子里有编号的红球和编号的白球各一个，随机取出4个球排成一列，则相同颜色和相同编号均不相邻的排法有 种. 【答案】12 【知识点】不相邻排列问题 【分析】通过举例分析得到选取的球的颜色和编号的要求，从而得到有多少种选取的方式，再对其中一种选取结果进行排列，从而得到一种选取方式得到的排列数，由分步计算法则得到结果. 【详解】设编号为的红球为，编号为的白球为， 当同一个颜色的球取出个数为3个时，例如：，无论怎么排了均无法满足相同颜色不相邻，舍去. 所以取出的球中红色和白色的个数均为2个， 当选取的白球和红球编号为两组相同编号时，例如：时，当满足相同颜色不相邻时，无法满足相同编号不相邻，舍去. 所以取出的球结果一定为两个白球两个红球，且红球和白球只有一个编号相同，例如：， 所以排列情况如下：、、、、、. 即共有种取出方式， 排列例如：、，相同编号只能在最前和最后，一种选取方式共有种排列方式， 所以总的排列方式有种. 故答案为：12. 【考点题型四】分组与分配问题（） 【例4】（24-25高二下·上海·期中）第33届夏季奥运会在法国巴黎举办，这届奥运会将新增霹雳舞、滑板、攀岩、冲浪四个比赛项目及两个表演项目．现有三个场地分别承担这6个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，其中两个表演项目不在一个场地举办，则不同的安排方法有 种． 【答案】390 【知识点】分组分配问题、分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理，结合分组分配问题列式求解. 【详解】三个场地分别承担个项目，不同安排方法种数为； 三个场地分别承担个项目，不同安排方法种数为； 三个场地分别承担个项目，不同安排方法种数为， 综上，不同的安排方法共有（种）. 故答案为：390 【变式4-1】.（2025·上海·模拟预测）两本不同的图画书和两本不同的音乐书全部分给三个小朋友，每人至少一本，且两本图画书不分给同一个小朋友，则不同的分法共有 种． 【答案】 【知识点】分组分配问题、排列组合综合 【分析】先根据分组分配策略计算“把两本不同的图画书和两本不同的音乐书全部分给三个小朋友，每人至少一本”的分法种数，再减去“两本图画书分给同一个小朋友”的分法种数即可. 【详解】把两本不同的图画书和两本不同的音乐书全部分给三个小朋友，每人至少一本，有种分法， 其中两本图画书分给同一个小朋友的分法有种， 故两本图画书不分给同一个小朋友的分法有种. 故答案为：. 【变式4-2】（24-25高二下·上海浦东新·期中）上海市实验学校为了组织2025体育节，从高二年级挑选3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 种. 【答案】 【知识点】分组分配问题 【分析】将4项工作分成3组，再分配即可. 【详解】第一步，将4项工作分成3组，由种， 第二步，将3组分配到3名志愿者，有种， 共种， 故答案为： 【变式4-3】.（24-25高二下·上海·期中）将5名篮球新秀分配给4支篮球队，要求每支篮球队至少分配到1名新秀，那么不同的分配方法有 种（用数字作答） 【答案】240 【知识点】分组分配问题 【分析】先将5名篮球新秀分为4组，再利用排列知识进行求解 【详解】将5名篮球新秀分为4组，再和4支篮球队进行全排列， 故有种分配方法. 故答案为：240 【变式4-4】.．（24-25高二下·上海静安·期中）将3名志愿者分配到2个项目进行培训，若每名志愿者只分配到1个项目，且每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有 种． 【答案】6 【知识点】分组分配问题、排列组合综合 【分析】先分为两组，再进行排列，得到答案. 【详解】先分为两组，再进行排列，故不同的分配方案为种. 故答案为：6 【考点题型五】数字排列问题（） 【例5】（24-25高二上·上海·假期作业）用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个 (1)数字1不排在个位和千位 (2)数字1不在个位，数字6不在千位． 【答案】(1)240 (2)252 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】（1）按组成的四位数包含不包含1分类计算. （2）用间接法解决问题. 【详解】（1）第一类：组成的四位数不包含1，这样的四位数有：个； 第二类：组成的四位数包含1，若1在十位，则这样的四位数有：个； 若1在百位，则这样的四位数有：个. 根据分类加法计数原理，满足条件的四位数共有：个. （2）（方法一：间接法）用6个数字可以组成个，其中：1在各位的有个，6在千位的有个，1在个位且6在千位的有个，所以满足条件的四位数有：个. （方法二：直接法）第一类：若1在千位，这样的四位数有：个； 第二类：若1不在千位，则1可以在十位或百位，有2种排法，再从2，3，4，5中任选1个排在千位，有4种排法，剩余的两个位置可从剩余的4个数字中任选2个排列，有种排法，根据分步乘法计数原理，这样的四位数有：个； 第三类：若组成的四位数不含1，则千位有4种排法，后三位有种排法，所以这样的四位数有：个. 所以满足条件的四位数有：个. 【变式5-1】.（2025·上海嘉定·二模）在由1，2，3，4，5这五个数组成的无重复数字的四位数中，其能被3整除的概率为 . 【答案】/0.2 【知识点】数字排列问题、元素（位置）有限制的排列问题、计算古典概型问题的概率 【分析】利用排列数公式分别求出由1，2，3，4，5这五个数组成的无重复数字的四位数的个数，及其中能被3整除的四位数的个数，再根据古典概型公式即可得解. 【详解】由1，2，3，4，5这五个数组成的无重复数字的四位数共个， 其中能被3整除的四位数是由1，2，4，5组成的，共， 故由1，2，3，4，5这五个数组成的无重复数字的四位数中，其能被3整除的概率为. 故答案为：. 【变式5-2】.（24-25高二上·上海·假期作业）用，，，，，组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且和相邻，这样的六位数的个数是 （用数字作答）． 【答案】40 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】欲求可组成符合条件的六位数的个数，先考虑任何相邻两个数字的奇偶性不同，再考虑1和2相邻，利用分步计数原理计算即可. 【详解】任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，可分三步来做这件事： 第一步：先将3、5排列，共有种排法； 第二步：再将4、6插空排列，共有种排法； 第三步：将1、2放到3、5、4、6形成的空中，共有种排法． 由分步乘法计数原理得共有（种）． 故答案为：40 【变式5-3】.（24-25高三·上海·随堂练习）用0，1，2，3，4五个数字： (1)可组成多少个无重复数字的五位数？ (2)可组成多少个无重复数字的五位奇数？ 【答案】(1)96； (2)36． 【知识点】数字排列问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】（1）先排万位，再排其他位置的数. （2）考虑特殊位置个位和万位, 再排其他位置的数. 【详解】（1）先排万位，从1，2，3，4中任取一个有种方法，其余四个位置四个数字共有种方法.故共有（个）符合要求的数； （2）考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从1，3中选一个填入个位，有种方法. 然后从剩余3个非0数中选一个填入万位，有种方法. 包含0在内还有3个数在中间三位置上全排列，排列数为. 故共有（个）符合要求的数． 【考点题型六】涂色问题（） 【例6】（2025·湖南郴州·三模）如图，这是一个平面图形，现提供四种颜色给图中的区域1､区域2､区域3､区域4､区域5､区域6共六个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则共有 种不同的涂色方案． 【答案】96 【知识点】涂色问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】根据使用颜色的数量进行分类计算即可． 【详解】若仅用三种颜色涂色，则区域1，6同色，区域2，4同色，区域3，5同色，共有种涂法； 若用四种颜色涂色，则区域1，6，区域2，4，区域3，5中有一组不同色，则有3种情况， 先从四种颜色中取两种涂同色区，有种涂法，剩余两种涂在不同区域，有2种涂法，共有种涂法； 故总的涂色方案有种， 故答案为：96． 【变式6-1】.（24-25高二下·安徽·阶段练习）某学校为培养学生的动手能力、合作能力和环保意识，在新的学期建立了一块劳动基地（形状如图），并进行花卉种植活动．现有4种不同的花卉，在基地的5个区域种植，只要求相邻区域种植不同的花卉，则不同的种植方法共有 种． 【答案】72 【知识点】涂色问题 【分析】按照分类加法和分步乘法计数原理计算可得结果. 【详解】依题意可按照的顺序分为5步进行种植， 则区域1，2，3各有4种、3种、2种不同的花卉供选择， 若区域4与区域2种植相同的花卉，则区域4有一种选择，区域5有2种； 若区域4与区域2种植不同的花卉，则区域4有一种选择，区域5有1种； 再由分类分步计数原理计算可得. 故答案为：72 【变式6-2】.（24-25高二下·广东广州·期中）如图，对、、、、五块区域涂色，现有种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有 种. 【答案】 【知识点】涂色问题 【分析】依次填、、、、区域，讨论、同色和异色两种情况，结合分类加法和分步乘法计数原理可得结果. 【详解】先涂区域，有种选择，再涂区域，有种选择， 接下涂、区域，若、区域颜色相同，则区域有种选择； 若、区域颜色不同，则区域有种选择，区域有种选择； 最后涂区域，有种选择， 由分类加法和分步乘法计数原理可知，不同的涂色方法种数为种. 故答案为：. 【变式6-3】.（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）如图，圆的两条弦把圆分成4个部分，用5种不同的颜色给这4个部分涂色，每个部分涂1种颜色，任何相邻（有公共边）的两个部分涂不同的颜色，那么共有 种不同的涂色方法． 【答案】260 【知识点】涂色问题 【分析】分3步，第一步给涂色，第二步给涂色，第三步给和涂色，分2类：与同色或不同色，计算得解. 【详解】第一步给涂色，有5种方法； 第二步给涂色，有4种方法； 第三步给和涂色，分2类：当与的颜色相同时，涂色方法为种； 当与颜色不同时，涂色方法有种，故共有种. 由分步计数原理，总共方法数为种. 故答案为：260. 【考点题型七】隔板法（） 【例7】（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）某单位4男3女参加乡村振兴工作，这7人将被派驻到A，B，C 3个乡村进行乡村振兴工作(每个乡村至少派驻1人)．若只考虑3个乡村的名额分配，则有 种不同的名额分配方式；若每个乡村至少派驻1男1女两位工作人员，且男性甲必须派驻到A乡村，则有 种不同的派驻方式．(用数字填写答案) 【答案】 15； 72. 【知识点】分组分配问题、实际问题中的组合计数问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】在7个名额中间的6个空位中插入2个隔板即可得空一；先将3女分到3个乡村，再将4男分成3组，将有甲的一组分到A乡村，然后再分配剩余2组即可得空二. 【详解】第一空，隔板法，将7个名额排成一排，在除去两端的6个空位中选择2个空位插入隔板， 共有种分配方式； 第二空，先将3女分配到3个乡村，有种， 再将4男分成3组，有种，将有男性甲的一组分配到A乡村有1种， 然后将剩余两组分配到其他两个乡村，有种分法， 所以共有种分配方式. 故答案为：15；72. 【变式7-1】.（24-25高二下·山西朔州·期中）11个相同的小球放入3个编号为1，2，3的盒中，每个盒子至少1个，有 种放法.（用数字作答） 【答案】45 【知识点】分组分配问题 【分析】相同元素用“隔板法”求解即可. 【详解】根据题意，将11个相同的小球放入3个盒中，每个盒子至少1个， 相当于将11个相同的小球分成3组，每组至少1个. 可将11个小球排成一列，然后在除两端的10个空位中，选取2个，插入隔板，故共有种放法. 故答案为：45 【变式7-2】.（23-24高二下·全国·课后作业）将8个相同的小球放入5个编号为1，2，3，4，5的盒子，每个盒子都不空的方法数为 . 【答案】35 【知识点】实际问题中的组合计数问题 【分析】用插隔板法：先把8个相同的小球排成一行，然后在8个小球之间的7个空隙中任选4个空隙各插入一块隔板，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，由此可得结论． 【详解】先把8个相同的小球排成一行，然后在8个小球之间的7个空隙中任选4个空隙各插入一块隔板， 每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式， 故每个盒子都不空的方法数共有种. 故答案为：35. 【变式7-3】.（23-24高二下·全国·课堂例题）四元一次方程的正整数解有 组，非负整数解有 组． 【答案】 84 286 【知识点】x+y+z=n的整数解的个数 【详解】将问题转化为有10个小球排成一排，利用隔板法可求正整数解、非负整数解的组数. 的正整数解的组数相当于在10个小球之间的9个空隙中插入3个隔板， 把球分为4组的方法数，即一共有种， 故第1空答案为84； 非负整数解的组数相当于的正整数解的组数，即的正整数解组数， 同样的方法看成14个小球排成一排，在13个空隙中插入3个隔板分成4组的方法数， 则共有：种. 故答案为：84；286. 【变式7-4】.（24-25高二上·全国·课后作业）将8个相同的小球放入5个编号为1，2，3，4，5的盒子，每个盒子都不空的方法数为 ，恰有一个空盒子的方法数为 ． 【答案】 35 175 【知识点】实际问题中的组合计数问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】对于空1，先把8个相同的小球排成一行，求出用隔板法将8个相同的小球分成5份的方法数即得解；对于空2，先选出一个空盒子，接着求出用隔板法将排成一行的8个相同的小球分成4份的方法数，再结合分步乘法计数原理即可求解. 【详解】先把8个相同的小球排成一行， 然后在8个小球之间的7个空隙中任选4个空隙各插入一块隔板， 每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式， 故每个盒子都不空的方法数共有种； 若恰有一个空盒子，先选出一个空盒子，有种选法， 并在8个小球之间的7个空隙中任选3个空隙各插入一块隔板，有种插法， 故由分步乘法计数原理恰有一个空盒子的方法数共有种. 故答案为：35；175. 提升训练 一、填空题 1．（24-25高二下·上海徐汇·期中）5名篮球队员排成一排，若甲必须站在排头，有 种不同的排法. 【答案】 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题 【分析】先安排甲在排头，再利用全排列数计算其余四人即可. 【详解】因为甲已经站在排头，所以其余4人进行全排列，有种排法， 所以甲必须站在排头，有种24不同的排法. 故答案为：24. 2．（24-25高二下·上海金山·期中）为进一步了解学生的学习和生活，某校选派4名老师去三个学生家中进行家访活动，每个学生家中至少去1人，恰有两个学生家中所派人数相同，则不同的安排方式有 种 【答案】36 【知识点】排列组合综合 【分析】先从4名老师中选2名作为一组 ，将这三组对应三个学生家进行全排列，根据分步乘法计数原理，安排方式共有种. 【详解】某校选派4名老师去三个学生家中进行家访活动， 每个学生家中至少去1人，恰有两个学生家中所派人数相同，选派方案为：1，1，2；不同的安排方式有：（种）． 故答案为：36 3．（24-25高二下·上海奉贤·期中）若组合数，则的最大值为： ． 【答案】11 【知识点】二项式系数的增减性和最值 【分析】根据给定条件，利用二项式系数的性质求出的范围即可. 【详解】由及二项式系数的增减性，得，解得，而， 所以的最大值为11. 故答案为：11 4．（24-25高二下·上海·期中）学校组织文艺汇演，有3个舞蹈节目、2个歌唱节目和1个魔术节目，要求3个舞蹈节目必须连续表演，那么这6个节目的表演顺序共有 种． 【答案】144 【知识点】相邻问题的排列问题 【分析】利用捆绑法即可求得答案. 【详解】将3个舞蹈节目捆绑，再与其他3个节目全排列可得, 所以共有144种表演顺序， 故答案为：144. 5．（24-25高二下·上海闵行·期中）从6名同学中选择4人参加三天志愿服务活动，有一天安排两人，另两天各安排一人，共有 种安排方法（用数字作答） 【答案】 【知识点】分组分配问题 【分析】先从6人中选出4人，再将4人分成3组，其中一组2人，最后进行全排列，即可求解. 【详解】根据题意，先从6人中选出4人，再将4人分成3组，其中一组2人，最后进行全排列， 所以有一天安排两人，另两天各安排一人，共有种. 故答案为：. 6．（24-25高二下·上海宝山·期中）某班3个男孩和2个女孩站成一排做游戏，这2个女孩不相邻的站法种数为 ． 【答案】 【知识点】不相邻排列问题 【分析】采用插空法来求解.先排好个男孩，再在男孩形成的空位中插入个女孩，最后根据排列组合的乘法原理计算出所有的站法种数. 【详解】个男孩进行全排列，则个男孩的排列方法有种. 个男孩排好后会形成个空位（包括两端），从这个空位中选个空位安排个女孩. 则个女孩的排列方法有种. 根据排列组合的乘法原理： 所以个女孩不相邻的站法种数为（种）. 故答案为：72. 7．（24-25高三下·上海虹口·期中）已知个小球的编号为、、、，从中有放回地摸取小球三次，并依次记录其编号，若这三个编号成等差数列，则共有 种不同的摸取方法. 【答案】 【知识点】分类加法计数原理、实际问题中的组合计数问题 【分析】设这三个编号分别为、、，对三个编号是否相同进行分类讨论，利用分类加法计数原理可得结果. 【详解】若三个编号成等差数列，若三个编号相同，共有种， 若三个编号彼此都不相同，设这三个编号为、、，则， 则、同为奇数或同为偶数，则可由来确定， 奇数编号的小球共个，偶数编号的小球共个， 若、同为奇数，则、的选择方法种数为种； 若、同为偶数，则、的选择方法种数为种. 当三个编号彼此不同时，不同的摸法种数为种. 综上所述，不同的摸法种数为种. 故答案为：. 8．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）已知集合，，为从定义域到值域的函数，且有两个不同的实数根，则这样的函数个数为 . 【答案】 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题、函数关系的判断 【分析】由题意可知，函数值可以从集合中选择两个元素与之对应，集合中剩余的两个元素分别与、对应，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】由题意可知，函数值可以从集合中选择两个元素与之对应，有种方法， 集合中的元素可从集合中剩余的两个元素选一个与之对应，有种方法， 集合中的元素只能对应集合中剩余的最后一个元素，有种方法， 由分步乘法计数原理可知，满足条件的函数个数为种. 故答案为：. 二、解答题 9．（24-25高二下·上海闵行·期中）现有5名男生4名女生站成一排，求： (1)女生都不相邻有多少种排法； (2)男生甲、乙、丙排序一定（只考虑位置的前后顺序），有多少种排法； (3)男甲不在首位，男乙不在末位的概率． 【答案】(1)43200 (2)60480 (3) 【知识点】不相邻排列问题、计算古典概型问题的概率、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】（1）利用不相邻问题插空法列式求解. （2）利用写序问题倍缩法求解. （3）利用对立事件，结合古典概率求解. 【详解】（1）先排5名男生，再在每个排列形成的6个间隙中插入4个女生， 所以女生都不相邻的排法种数为. （2）9人的全排列种数为，其中男生甲、乙、丙的排列种数为， 而男生甲、乙、丙排序一定，即男生甲、乙、丙的排列只有1种， 所以所求排列种数为. （3）9人的全排列种数为，其中男甲在首位的排列种数为，男乙在末位的排列种数为， 男甲在首位且男乙在末位的排列种数为， 所以男甲不在首位，男乙不在末位的概率为. 10．（23-24高二下·云南丽江·阶段练习）现有6名孩子和3个不同的房间，并让孩子都进入房间． (1)若每个房间进2个小孩，共有多少种不同的方法？ (2)恰有一个房间没有孩子，共有多少种安排方法？ 【答案】(1) (2)186 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题 【分析】（1）先进行平均分组，然后全排即可. （2）分为1、5、0；2、4、0；3、3、0讨论即可. 【详解】（1）由题意知，有种方法． （2）由题意知，三个房间进入小孩数有如下分配： ①1、5、0分配，这种情况下有种安排方法； ②2、4、0分配，这种情况下有种安排方法； ③3、3、0分配，这种情况下有种安排方法． 故一共有种安排方法． 11．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期中）5名男生，2名女生，站成一排照相. (1)共有多少种排法？ (2)两名女生不排在队伍两头的排法有多少种？ (3)两名女生不相邻的排法有多少种？ 【答案】(1)5040 (2)2400 (3)3600 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、不相邻排列问题、全排列问题 【分析】（1）由题意7名学生全排，即； （2）两名女生不排在队伍的两头，即特殊元素特殊处理即可； （3）两名女生不相邻，即把两名女生插在男上排列中，用插空法即可. 【详解】（1）由题意有； （2）中间5个位置先排2名女生，有种排法， 然后其余5个位置排剩下的5人，有种排法， 故共有种排法； （3）先排5名男生，有种排法， 然后在5名男生排列的6个空中选2个空插入2名女生，有种排法， 故共有种排法； 12．（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）有六个数字．（运算结果以数字作答） (1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？ (2)能组成多少个无重复数字且比1230大的四位数？ (3)能组成多少个恰有三个重复数字的四位数？ 【答案】(1)156个 (2)284个 (3)100个 【知识点】分类加法计数原理、元素（位置）有限制的排列问题、数字排列问题、排列数的计算 【分析】（1）利用分类计数加法原理，来计算四位偶数的个数； （2）利用分类计数加法原理，来计算比1230大的四位数个数； （3）利用分类计数加法原理，来计算恰有三个重复数字的四位数个数. 【详解】（1）由题意组成无重复数字的四位偶数分为三类： 第一类：0在个位时，有个； 第二类：2在个位时，首位从中选定1个，有种，十位和百位从余下的数字中选，有种，共有个； 第三类：4在个位时，与第二类同理，也有个． 由分类加法计数原理知，共有个无重复数字的四位偶数． （2）组成无重复数字且比1230大的四位数分为四类： 第一类：形如，，，，共个； 第二类：形如，，，共有个； 第三类：形如，，共有个； 第四类：形如，共有个． 由分类加法计数原理知，共有个无重复数字且比1230大的四位数． （3）组成恰有三个重复数字的四位数分为三类： 第一类：重复数字为0时，再从剩余的5个数中选择1个放在千位，故有个； 第二类：重复数字不为0，但数中有0时，0可以从百位，十位，个位选择一个数位，有种，再从5个数中选择1个，有种，故此时有个； 第三类：重复数字不为0，数中也无0时，先从5个数中选择1个不重复的数字，且可放在任意一个数位上，有种，再从剩余的4个数中选择一个可重复的数，有种，故此时有个． 由分类加法计数原理知，共有个恰有三个重复数字的四位数． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$