专题02 第5章 导数在研究函数中的作用（5考点清单，知识导图+12个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020）

清单02 第5章 导数在研究函数中的作用 （5个考点梳理+8题型解读+提升训练） 清单01 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 （1）已知函数在区间上单调 ①已知在区间上单调递增，恒成立. ②已知在区间上单调递减，恒成立. 注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号. （2）已知函数在区间上存在单调区间 ①已知在区间上存在单调增区间使得有解 ②已知在区间上存在单调减区间使得有解 （3）已知函数在区间上不单调，使得有变号零点 清单02 含参问题单调性讨论 第一步：求的定义域 第二步：求（导函数中有分母通分） 第三步：确定导函数有效部分，记为 对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负. 第四步：确定导函数有效部分的类型： ①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型） 第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性 清单03 函数的极值 一般地，对于函数， （1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值. （2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值． （3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数. 清单04 函数的最大（小）值 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为： （1）求在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 清单05 函数的最值与极值的关系 （1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； （2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； （3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 【考点题型一】求已知函数（不含参）的单调区间（） 【例1】（24-25高二下·天津滨海新·期中）函数的单调递增区间为 . 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】利用导数求函数的递增区间即可. 【详解】由题设，令，即的单调递增区间为. 故答案为： 【变式1-1】（24-25高二下·北京·期中）函数的递增区间是 ；递减区间 ． 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求对数型复合函数的定义域、简单复合函数的导数 【分析】先求函数定义域，然后对函数求导，根据导函数得正负即可求出增、减区间. 【详解】函数的定义域为，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增. 所以函数的递增区间是；递减区间． 故答案为：； 【变式1-2】（24-25高二下·浙江绍兴·期中）已知函数，则函数的单调递减区间是 . 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】先求出函数的定义域，然后对函数求导，再由可求出的单调递减区间. 【详解】的定义域为， 由，得， 由，得，，解得， 所以的单调递减区间是. 故答案为： 【变式1-3】.（23-24高二下·上海·期中）若，则的减区间是 ． 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】令，解一元二次不等式即可得解. 【详解】，令，解得， 从而的减区间是. 故答案为：. 【考点题型二】已知函数在区间上单调，求参数（） 【例2】（24-25高三·上海·课堂例题）若函数在区间上严格增，则实数的取值范围 ． 【答案】 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、由函数的单调区间求参数、对数型复合函数的单调性、复合函数的定义域 【分析】由复合函数的单调性和定义域，有函数在区间上严格减，在区间上恒成立，利用导数和二次函数的性质求实数的取值范围. 【详解】函数，令，则， 函数在区间上严格增， 由函数在定义域上严格减，则函数在区间上严格减， 有在区间上恒成立，即在上恒成立，得， 又在区间上恒成立，则在上恒成立， 令，则在上恒成立， 由二次函数的性质可得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式2-1】.（24-25高二下·重庆·期中）若函数有单调递减区间，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、由函数的单调区间求参数 【分析】依题意将函数有单调减区间转化为导函数在上有解，构造函数求得其最值可得结果. 【详解】易知函数的定义域为， 则， 若函数有单调递减区间，则在上有解， 即，也即有解，可得； 令，所以， 由可得， 当时，，此时在上单调递增， 当时，，此时在上单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值，即； 因此可得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 【变式2-2】.（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】由题意可得在上恒成立，即，令，求出即可得出答案. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以，因为在上单调递增， 所以，所以. 故选：B. 【变式2-3】.（24-25高二下·四川凉山·期中）函数的单调递减区间是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】求出的导函数，因为有单调递减区间，所以；再根据与，求出的单调递减区间为，最后根据题目给出的条件得出最后答案即可. 【详解】由题可知，因为函数有单调递减区间，所以； 令，则，又，故， 即的单调递减区间是，可得. 故选：A. 【考点题型三】已知函数在区间上存在单调区间，求参数（） 【例3】（24-25高二下·重庆荣昌·期中）若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】利用，经等价转化得到在区间上有解，故只需求在上的最小值即可. 【详解】依题意，在区间上有解， 即在区间上有解， 设，则，故只需求在上的最小值， 而，当时，取得最小值，故得， 则实数的取值范围为. 故答案为： 【变式3-1】.（2025高二·全国·专题练习）若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】利用，经等价转化得到在区间上有解，故只需求在上的最小值即可. 【详解】依题意，在区间上有解， 即在区间上有解， 设，则，故只需求在上的最小值， 而在时，取得最小值，故得， 则实数的取值范围为. 故答案为： 【变式3-2】.（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）若函数在上存在单调减区间，则实数取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】分析可知，存在，使得，可得，结合反比例函数的单调性可得出实数的取值范围. 【详解】因为，则， 由题意可知，存在，使得，可得， 因为函数在上为减函数，则，故， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式3-3】.（24-25高二下·天津·阶段练习）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】利用导数转化为能成立问题，分离参数法求解即可. 【详解】因为（），所以. 函数在区间内存在单调递增区间，则在上有解. 由. 设，则在上单调递增，所以. 所以. 故答案为： 【考点题型四】已知函数在区间上不单调，求参数（） 【例4】（24-25高二下·浙江台州·期中）已知函数，．若在上不单调，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、比较余弦值的大小、已知三角函数值求角 【分析】根据题意，求出函数的导数，利用导数与函数单调性的关系可得关于的不等式，求解即得答案． 【详解】由，得， 令，得 ∵，∴ 当时，；当时，; 所以在区间上是增函数，在上是减函数. 若在上不单调，则， 解得. 即a的取值范围为. 故答案为： 【变式4-1】.（24-25高二下·北京·阶段练习）若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据函数的单调性求参数值、由函数在区间上的单调性求参数、零点存在性定理的应用 【分析】先对函数求导，根据在上不单调得出导函数分子对应的函数在上存在变号零点.然后设，通过求导判断其单调性，再根据变号零点的性质列出不等式组，最后求解不等式组得到的取值范围. 【详解】已知，在上不单调，所以在上存在变号零点. 设，，对求导得. 因为时，，所以在上单调递增. 由于在上存在变号零点，则，即. 解得；解得.所以. 故答案为：. 【变式4-2】.（24-25高二下·上海闵行·期中）已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】由于函数在区间上不单调，等价于函数在区间上存在极值点.对函数求导，对进行分类讨论，求出极值点，根据极值点在区间内，可得关于的不等式，即可求解. 【详解】∵，∴. 当时，，∴函数在上单调递增，不符合题意； 当时，令，解得；令，解得， ∵函数在上不单调，∴，解得. 故答案为：. 【考点题型五】函数与导函数图象之间的关系（） 【例5】（24-25高二下·上海静安·期中）已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列所有真命题序号为： ． ①在区间上严格增；②是的极小值点； ③在区间上严格增，在区间上严格减；④是的极小值点． 【答案】 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图像与极值点的关系 【分析】已知导函数的图象，结合图象可识别导数值的正负，从而判断函数的单调情况，由变号零点的先负后正或先正后负判断极小或极大值点即可得解. 【详解】当时，，此时，函数单调递减，①错误； 时，，函数单调递减，时，，函数单调递增， 则是的极小值点，②正确； 时，，函数单调递增，时，，函数单调递减， 则是的极大值点，③正确，④错误. 故答案为： 【变式5-1】.（24-25高二下·上海闵行·期中）已知函数的导函数的图像如图所示，给出下列结论： ①在区间上严格增； ②的图像在处的切线斜率等于0 ③在处取得极大值 ④在处取得极小值 正确的个数是（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据导函数图像得到导数的正负，从而得到函数的增减和极值情况，判断①②③，并根据导函数的增减判断④. 【详解】根据的图像可知，在上，，仅在处有， 所以在上单调递减，故①错误； 由可知，的图像在处的切线斜率等于0，故②正确； 在区间上单调，没有极值点，故③错误； 由的图像可知，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，故④正确． 故选：B 【变式5-2】.（24-25高二下·甘肃庆阳·期中）如图是函数的图象，那么导函数的零点个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据函数图象确定极值点个数，进而得到导函数的零点个数. 【详解】根据的图像，共有7个极值点，可得有7个零点． 故选：B． 【变式5-3】.（24-25高二下·上海宝山·期中）已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列命题中正确的有 . ① 有 2 个驻点 ② 在处取得极小值 ③ 有极大值，没有极小值 ④ 在上严格增 【答案】①③④ 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系、函数极值点的辨析 【分析】根据给定的导函数图象，确定驻点，函数的单调区间，进而确定极值情况即可得解. 【详解】观察图象知，当时，，当且仅当，当时，，且， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，无极小值， 因此①③④正确，②错误. 故答案为：①③④. 【考点题型六】讨论函数的单调性（） 【例6】（2023·上海徐汇·一模）已知. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）由导数的几何意义求解， （2）由导数与单调性的关系求解， 【详解】（1）当时，，， 所以，. 所以函数在点处的切线方程为. （2）因为，定义域为， 所以. ①当时，与在上的变化情况如下： 1 + 0 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数在及内严格增，在内严格减； ②当时， 恒成立，所以函数的单调增区间为. 综上，当时，函数的单调增区间为及，单调减区间为； 当时，函数单调增区间为. 【变式6-1】.（24-25高二下·上海黄浦·期中）已知函数 (1)若是函数的驻点，求实数的值； (2)当时，求函数的单调区间； 【答案】(1)1 (2)答案见解析 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、根据极值点求参数 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，即可得解. （2）求出函数的定义域与导函数，分、、三种情况讨论，分别求出函数的单调区间. 【详解】（1）因为， 则，依题意，即，解得； （2）函数的定义域为， 又， 当时， 由，解得或，所以在，上单调递增， 由，解得，所以在上单调递减； 当时恒成立（且仅在处等于），所以在上单调递增； 当时， 由，解得或，所以在，上单调递增， 由，解得，所以在上单调递减； 综上可得， 当时的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时的单调递增为，无单调递减区间； 当时的单调递增区间为，，单调递减区间为. 【变式6-2】.（24-25高二下·上海静安·期中）已知函数． (1)求函数的单调区间； 【答案】(1)增区间为，减区间为 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（含参）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）由函数解析式明确定义域，求导，利用导数与函数单调性的关系，可得答案； 【详解】（1）函数的定义域为，则． 因为时，由，可得，由，可得． 此时，函数的增区间为，减区间为． 综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为． 【变式6-3】.（2024高二·上海·专题练习）设函数，其中. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)函数在上单调递减，在上单调递增 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）利用导数的几何意义求出斜率，写出方程即可. （2）含参讨论函数单调性即可. 【详解】（1）当时，，故， 此时函数在处的切线方程为：. （2）由题意，的定义域为， ， 则当时，单调递增；当时，单调递减. 故函数在上单调递减，在上单调递增. 【变式6-4】（2023·安徽合肥·一模）已知函数． (1)讨论函数的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【知识点】利用导数研究方程的根、含参分类讨论求函数的单调区间、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）求导后，由二次方程根的情况，分类讨论即可求解， 【详解】（1）的定义域为 ， ，． ①当，即时，恒成立，此时，在上单调递减． ②当 ，即时，由解得，． 由解得，；由解得，或，此时，在和上单调递减，在上单调递增． ③当 ，即时， 由，解得或（舍）， 由，解得；由，解得， 此时，在上单调递增，在上单调递减． 【考点题型七】求函数的极值，最值（） 【例7】 （24-25高二下·上海黄浦·期中）已知曲线． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的极值． 【答案】(1) (2)极大值，极小值 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值 【分析】（1）根据题意结合导数的几何意义可知，再由点斜式方程即可得出答案； （2）利用导数考查函数的单调性，求出极值点，进一步计算即可. 【详解】（1）由题意可知：，则 因为曲线在处的切线的斜率为， 又因为， 所以曲线在处的切线方程：， 化简可得：. （2）因为， 当时，；当时，； 可知函数的单调递增区间为和； 函数的单调递减区间为， 的极大值为，的极小值为. 【变式7-1】.（24-25高二下·上海·期中）已知函数在处取得极值，在点处的切线方程为. (1)求函数的解析式及单调增区间； (2)求函数在区间的最大值与最小值. 【答案】(1)，单调递增区间为和. (2)最大值为4，最小值为. 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参）、已知切线（斜率）求参数、根据极值点求参数 【分析】（1）先求导，根据函数取得极值计算参数，再根据导数的几何意义确定参数，从而得出解析式，结合导函数判定单调递增区级即可； （2）利用第一问结论结合端点值及极值确定最值即可. 【详解】（1）由，则， 因为函数在处取得极值，则，即， 此时，则， 令，得或；令，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极小值，则， 又函数在点处的切线方程为， 则，所以， 单调递增区间为和. （2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以函数的最大值为4，最小值为. 【变式7-2】.（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知，． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)设，若，求时函数的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）根据导数的几何意义确定切线斜率与切点纵坐标，从而得函数的切线方程； （2）求导函数，根据已知条件确定函数的单调性即可得最值. 【详解】（1），则， 所以， 所以函数在处的切线方程为，即； （2）， 则，， 因为，则恒成立，所以函数在上单调递减， 所以. 【变式7-3】.（24-25高二下·上海静安·期中）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求在上的最大值． 【答案】(1)增区间为，减区间为 (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（含参）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）由函数解析式明确定义域，求导，利用导数与函数单调性的关系，可得答案； （2）由（1）所得函数单调性，利用分情况，可得答案. 【详解】（1）函数的定义域为，则． 因为时，由，可得，由，可得． 此时，函数的增区间为，减区间为． 综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为． （2）当时，函数在上单调递减， 此时，； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 此时，； 当时，函数在上单调递增，此时，． 综上所述：. 【变式7-4】.（24-25高二下·上海静安·期中）已知函数． (1)当时，直线过点与曲线有且仅有1个公共点，求直线的方程． (2)若函数在处有极值，求函数的极值． 【答案】(1)、、； (2)极大值为；极小值为. 【知识点】求已知函数的极值、求抛物线的切线方程、根据极值点求参数 【分析】（1）分两种情况讨论，直线斜率不存在和斜率存在，斜率不存在时写出直线方程再检验，斜率存在时联立方程组，解即可； （2）先求导，解得出的值，再求导研究的单调性即可求极值. 【详解】（1）当时，， 当直线斜率不存在时，与曲线有且仅有1个公共点，符合题意； 当直线斜率存在时，设， 联立，得， 因直线与曲线有且仅有1个公共点， 则，得或， 则直线的方程为：或 综上，符合条件的直线方程为、、. （2）由，得， 因函数在处有极值，则，得， 则，， 则得或；得， 则在上单调递增，在上单调递减， 则极大值为，极小值为． 【考点题型八】根据函数的极值（点），最值求参数（） 【例8】（24-25高三上·上海·单元测试）已知，其中． (1)若函数在处的切线与轴平行，求的值； (2)求的极值点； (3)若在上的最大值是0，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)． 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求已知函数的极值点、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】（1）利用函数导数的几何意义与直线斜率的关系求得的值； （2）先对函数进行求导，结合对参数分类讨论，计算函数极值点； （3）对参数进行分类讨论，结合函数单调性找到最大值是0，求得的取值范围； 【详解】（1）函数的定义域为， ， 因为函数在处的切线与x轴平行， 所以，解得． （2）函数的定义域为， ． 令得或， 所以当，即时， 的解集为，的解集为， 所以函数在区间和上严格减，在区间上严格增， 是函数的极大值点，是函数的极小值点； 当，即时，在区间上恒成立，此时函数在区间上严格减，无极值点； 当，即时， 的解集为，的解集为， 所以函数在区间和上严格减，在区间上严格增， 是函数的极小值点，是函数的极大值点； 综上，当时，是函数的极大值点，是函数的极小值点； 当时，函数在区间上严格减，无极值点； 当时，是函数的极小值点，是函数的极大值点． （3）由（2）知，当时，函数在区间上严格减， 在区间上严格增，故函数在上的最大值是， 与已知矛盾； 当时，函数在区间上严格减，最大值，满足条件； 当时，函数在区间上严格减，最大值是，满足条件； 综上，a的取值范围是． 【变式8-1】.（24-25高二下·上海·期中）已知函数 ． (1)当时，判断在定义域上的单调性； (2)若函数在上的最小值为，求实数的值． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2) 【知识点】已知函数最值求参数、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）先对求导得到，再结合参数范围讨论导函数正负，进而得到原函数单调性即可. （2）利用分离参数法得到，再构造，利用导数得到，最后确定的取值即可. 【详解】（1）由题意得函数的定义域为， 因为，所以， 当时，令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增. （2）若函数在上的最小值为， 则对于恒成立，且存在使得等号成立， 得到恒成立，即对于恒成立， 令，则恒成立，而， 令，，令，， 故在上单调递减，在上单调递增， 得到，故. 【变式8-2】.（24-25高二下·四川绵阳·期中）函数 (1)若在处取得极小值，求实数的取值范围， (2)若在区间上的最大值是，最小值是，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据极值点求参数、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）利用导数判断函数单调性，从而得极值，即可得解； （2）分和，由单调性得最值，从而求解. 【详解】（1）因为， 令得或， 当时， 所以在递增，在递减，则为极大值点，不符合题意； 当时， 在递减，在递增，则为极小值点，符合题意； 所以的取值范围为. （2）当时， 在递增，在递减， 又，， ，， ，满足，则， 当时， 在递减，在递增， ，， ，满足，则， 综上：. 提升训练 一、填空题 1．（24-25高二下·上海·期中）函数，的最小值是 . 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参） 【分析】求出函数的导函数，即可求出函数的单调性，求出端点处的函数值，即可得解. 【详解】因为，，所以， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，， 所以. 故答案为； 2．（24-25高二下·上海·期中）已知函数在区间上可导，则“函数在区间上是严格增函数”是“对任意的成立”的 条件.（请填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既非充分又非必要”中的一个） 【答案】充分非必要 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、判断命题的充分不必要条件 【分析】利用推出思想来判断充要性，非必要性时可以举反例. 【详解】在函数在区间上可导的条件下， 由“函数在区间上是严格增函数”一定可以推出“对任意的成立”，故满足充分性， 反之：例举，此时，满足“对任意的成立”， 但是此时不是严格增函数，故非必要性， 所以“函数在区间上是严格增函数”是“对任意的成立”的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要. 3．（24-25高三·上海·随堂练习）函数在区间的最小值为 ． 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用函数单调性求最值或值域、导数的乘除法 【分析】得到函数的导数，由得到单调递增区间，由得到单调递减区间，从而得到最小值 【详解】因为，令得， 令得，所以在上单调递增， 令得，所以在上单调递减， 所以. 故答案为：. 4．（23-24高二下·上海·期中）函数的驻点为 ． 【答案】/0.5 【知识点】函数极值点的辨析、导数的运算法则 【分析】求出函数的导数，再求出驻点即得. 【详解】函数，求导得，由，得， 所以函数的驻点为. 故答案为： 5．（24-25高一下·上海·期中）若函数在上为减函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】利用函数在某区间上为减函数等价于导函数在该区间上恒不大于0，再利用分离参数法解决不等式恒成立问题，即可得结果. 【详解】由求导可得， 因为函数在上为减函数，所以在上恒成立， 即，由题意知，故分离参数可得， 二次函数开口向下，对称轴为， 所以时，函数在处取得最大值， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为：. 6．（24-25高三上·上海·阶段练习）设是曲线上一动点，则x+2y的最大值为 . 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可求解极值点与端点值，比较即可求解. 【详解】由题意可得，令，则 令,则 令,则 故在单调递增，在单调递减 故 故答案：. 7．（24-25高三·上海·课堂例题）已知函数在处取得极值为，且有极大值28，则在上的最小值为 ． 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数、根据极值求参数 【分析】由题意建立关于d的方程组，即可求解函数的解析式，再根据函数的单调性，求函数的最小值. 【详解】由题意可知，，且，， 即，得，， 则，故， ，得或，，得， 所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是， 所以函数的极大值是，得， 由单调性可知，函数在区间的最小值可能为或， ，，所以函数在区间的最小值为. 故答案为： 8．（24-25高三·上海·随堂练习）函数的驻点为 ． 【答案】0 【知识点】求已知函数的极值点 【分析】求出函数的导数，令，求得，则函数的驻点为0. 【详解】因为， ， 令，得，而， 所以函数的驻点为0. 故答案为：0. 二、单选题 9．（24-25高二下·上海·期中）如图，已知直线与曲线相切于两点，则有（    ）． A．1个极大值点，2个极小值点 B．2个极大值点，1个极小值点 C．3个极大值点，无极小值点 D．2个极小值点，无极大值点 【答案】A 【知识点】函数（导函数）图像与极值点的关系 【分析】作出与直线平行且与的图象相切的直线，即可结合图象判断的正负性，从而判断函数单调性，从而求得函数极值点的个数. 【详解】作出与直线平行且与的图象相切的直线， 设切点的横坐标从小打到依次为， 则方程有三个根，即， 因， 则结合图象可知， 当时；时，； 时，；时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 故和为极小值点，为极大值点， 故有个极小值点，个极大值点. 故选：A. 10．（24-25高二上·江苏南京·期末）设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数极值点的辨析 【分析】利用导数与函数极值点的关系判断可得出合适的选项. 【详解】因为函数在处取得极小值， 在左侧附近，，此时，， 在右侧附近，即存在，使得当，使得， 此时，，C选项合乎题意. 故选：C. 三、解答题 11．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知函数． (1)若，求的极小值； (2)讨论导函数的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】求已知函数的极值、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数求导，由导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的极小值； （2）先求出函数的定义域，然后对函数求导，再令，求出，再由的正负可求出的单调区间. 【详解】（1）当时，，的定义域为， 则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值． （2）的定义域为， ， 令，则， 当时，恒成立，所以即在上单调递增． 当时，由，得，由，得， 所以即在上单调递减，在上单调递增. 12．（24-25高二下·上海·期中）已知函数，若的极大值为1，求实数的值； 【答案】 【知识点】根据极值求参数 【分析】分类讨论，利用导数判断函数的单调区间，根据极大值建立方程求解即可. 【详解】的定义域为，， 当时，，在上单调递增，函数无极值； 当时，令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故当时，取得极大值，极大值为，解得， 经验证符合题意，故实数a的值为. 13．（24-25高三·上海·随堂练习）已知的一个极值点为2，求函数在区间上的最值． 【答案】最小值为，最大值为． 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】将极值点为转化为，代入导函数待定系数，然后利用导数研究函数单调性求最值. 【详解】， ，由函数的一个极值点为2， 则，解得， 此时， ， 令，得； 令，得或， 故函数在区间上单调递减，在区间上单调递增． 可知是的一个极值点，满足题意. 又可知在上为增函数，在上为减函数， 当时，函数取最大值，最大值为， 又，， 所以函数在区间上的最小值为，最大值为． 14．（23-24高二下·上海·期末）设函数，其中，曲线在点处的切线为.椭圆与直线交于两点，且. (1)求的值以及直线的方程. (2)当时，求函数的极值. 【答案】(1)或，直线的方程或； (2)极小值，没有极大值 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据弦长求参数 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义得到切线方程，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，再由弦长公式得到方程，求出或，求出直线方程； （2）在（1）的基础上得到，求导，得到函数单调性，进而求出极值情况. 【详解】（1）因为，则， 故在处的切线方程， 将直线的方程代入椭圆方程中，得， 设，则，且， 因为，    所以， 解得或， 所以直线的方程为 或. （2）函数的定义域为，由得， 可得，令得， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故当时，函数取得极小值，没有极大值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 第5章 导数在研究函数中的作用 （5个考点梳理+8题型解读+提升训练） 清单01 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 （1）已知函数在区间上单调 ①已知在区间上单调递增，恒成立. ②已知在区间上单调递减，恒成立. 注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号. （2）已知函数在区间上存在单调区间 ①已知在区间上存在单调增区间使得有解 ②已知在区间上存在单调减区间使得有解 （3）已知函数在区间上不单调，使得有变号零点 清单02 含参问题单调性讨论 第一步：求的定义域 第二步：求（导函数中有分母通分） 第三步：确定导函数有效部分，记为 对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负. 第四步：确定导函数有效部分的类型： ①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型） 第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性 清单03 函数的极值 一般地，对于函数， （1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值. （2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值． （3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数. 清单04 函数的最大（小）值 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为： （1）求在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 清单05 函数的最值与极值的关系 （1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； （2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； （3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 【考点题型一】求已知函数（不含参）的单调区间（） 【例1】（24-25高二下·天津滨海新·期中）函数的单调递增区间为 . 【变式1-1】（24-25高二下·北京·期中）函数的递增区间是 ；递减区间 ． 【变式1-2】（24-25高二下·浙江绍兴·期中）已知函数，则函数的单调递减区间是 . 【变式1-3】.（23-24高二下·上海·期中）若，则的减区间是 ． 【考点题型二】已知函数在区间上单调，求参数（） 【例2】（24-25高三·上海·课堂例题）若函数在区间上严格增，则实数的取值范围 ． 【变式2-1】.（24-25高二下·重庆·期中）若函数有单调递减区间，则实数的取值范围为 ． 【变式2-2】.（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】.（24-25高二下·四川凉山·期中）函数的单调递减区间是，则（    ） A． B． C． D． 【考点题型三】已知函数在区间上存在单调区间，求参数（） 【例3】（24-25高二下·重庆荣昌·期中）若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为 . 【变式3-1】.（2025高二·全国·专题练习）若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为 【变式3-2】.（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）若函数在上存在单调减区间，则实数取值范围是 ． 【变式3-3】.（24-25高二下·天津·阶段练习）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是 . 【考点题型四】已知函数在区间上不单调，求参数（） 【例4】（24-25高二下·浙江台州·期中）已知函数，．若在上不单调，则实数a的取值范围为 ． 【变式4-1】.（24-25高二下·北京·阶段练习）若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为 . 【变式4-2】.（24-25高二下·上海闵行·期中）已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为 . 【考点题型五】函数与导函数图象之间的关系（） 【例5】（24-25高二下·上海静安·期中）已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列所有真命题序号为： ． ①在区间上严格增；②是的极小值点； ③在区间上严格增，在区间上严格减；④是的极小值点． 【变式5-1】.（24-25高二下·上海闵行·期中）已知函数的导函数的图像如图所示，给出下列结论： ①在区间上严格增； ②的图像在处的切线斜率等于0 ③在处取得极大值 ④在处取得极小值 正确的个数是（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-2】.（24-25高二下·甘肃庆阳·期中）如图是函数的图象，那么导函数的零点个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式5-3】.（24-25高二下·上海宝山·期中）已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列命题中正确的有 . ① 有 2 个驻点 ② 在处取得极小值 ③ 有极大值，没有极小值 ④ 在上严格增 【考点题型六】讨论函数的单调性（） 【例6】（2023·上海徐汇·一模）已知. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间. 【变式6-1】.（24-25高二下·上海黄浦·期中）已知函数 (1)若是函数的驻点，求实数的值； (2)当时，求函数的单调区间； 【变式6-2】.（24-25高二下·上海静安·期中）已知函数． (1)求函数的单调区间； 【变式6-3】.（2024高二·上海·专题练习）设函数，其中. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调性； 【变式6-4】（2023·安徽合肥·一模）已知函数． (1)讨论函数的单调性； 【考点题型七】求函数的极值，最值（） 【例7】 （24-25高二下·上海黄浦·期中）已知曲线． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的极值． 【变式7-1】.（24-25高二下·上海·期中）已知函数在处取得极值，在点处的切线方程为. (1)求函数的解析式及单调增区间； (2)求函数在区间的最大值与最小值. 【变式7-2】.（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知，． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)设，若，求时函数的最大值． 【变式7-3】.（24-25高二下·上海静安·期中）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求在上的最大值． 【变式7-4】.（24-25高二下·上海静安·期中）已知函数． (1)当时，直线过点与曲线有且仅有1个公共点，求直线的方程． (2)若函数在处有极值，求函数的极值． 【考点题型八】根据函数的极值（点），最值求参数（） 【例8】（24-25高三上·上海·单元测试）已知，其中． (1)若函数在处的切线与轴平行，求的值； (2)求的极值点； (3)若在上的最大值是0，求的取值范围． 【变式8-1】.（24-25高二下·上海·期中）已知函数 ． (1)当时，判断在定义域上的单调性； (2)若函数在上的最小值为，求实数的值． 【变式8-2】.（24-25高二下·四川绵阳·期中）函数 (1)若在处取得极小值，求实数的取值范围， (2)若在区间上的最大值是，最小值是，求的值. 提升训练 一、填空题 1．（24-25高二下·上海·期中）函数，的最小值是 . 2．（24-25高二下·上海·期中）已知函数在区间上可导，则“函数在区间上是严格增函数”是“对任意的成立”的 条件.（请填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既非充分又非必要”中的一个） 3．（24-25高三·上海·随堂练习）函数在区间的最小值为 ． 4．（23-24高二下·上海·期中）函数的驻点为 ． 5．（24-25高一下·上海·期中）若函数在上为减函数，则实数的取值范围是 ． 6．（24-25高三上·上海·阶段练习）设是曲线上一动点，则x+2y的最大值为 . 7．（24-25高三·上海·课堂例题）已知函数在处取得极值为，且有极大值28，则在上的最小值为 ． 8．（24-25高三·上海·随堂练习）函数的驻点为 ． 二、单选题 9．（24-25高二下·上海·期中）如图，已知直线与曲线相切于两点，则有（    ）． A．1个极大值点，2个极小值点 B．2个极大值点，1个极小值点 C．3个极大值点，无极小值点 D．2个极小值点，无极大值点 10．（24-25高二上·江苏南京·期末）设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 三、解答题 11．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知函数． (1)若，求的极小值； (2)讨论导函数的单调性． 12．（24-25高二下·上海·期中）已知函数，若的极大值为1，求实数的值； 13．（24-25高三·上海·随堂练习）已知的一个极值点为2，求函数在区间上的最值． 14．（23-24高二下·上海·期末）设函数，其中，曲线在点处的切线为.椭圆与直线交于两点，且. (1)求的值以及直线的方程. (2)当时，求函数的极值. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$