专题01 第5章 导数的概念意义及运算（4考点清单，知识导图+10个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020）

清单01 导数的概念意义及运算 （4个考点梳理+10题型解读+提升训练） 清单01 函数的平均变化率 定义：一般地，函数在区间上的平均变化率为：，表示为函数从到的平均变化率，若设,则平均变化率为 清单02 函数在处的导数（瞬时变化率） 定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作. 清单03 导数的几何意义 如图,在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.则割线的斜率 清单04 曲线的切线问题 1、在型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2、过型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率；计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【考点题型一】求平均变化率（） 【例1】（24-25高二下·上海杨浦·期中）函数 在 到 之间的平均变化率是 . (用含 的代数式表示) 【变式1-1】.（25-26高三上·上海·期末）函数在区间上的平均变化率为 . 【变式1-2】.（24-25高三·上海·课堂例题）已知函数，其中，则此函数在区间上的平均变化率为 ． 【变式1-3】.（25-26高三上·上海·单元测试）过函数图象上两点和作曲线的割线，则当时割线的斜率为 ． 【变式1-4】（22-23高三上·上海青浦·阶段练习）函数在区间上的平均变化率等于 . 【考点题型二】求瞬时变化率（） 【例2】（24-25高二下·江苏·阶段练习）已知某容器的高度为20cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系式为，当时，液体上升高度的瞬时变化率为，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为 . 【变式2-1】（24-25高二下·上海静安·期中）某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系满足，其中，则该质点在时的瞬时速度为 m/s． 【变式2-2】.（24-25高三上·上海·期中）已知一罐汽水放入冰箱后的温度（单位：）与时间（单位：h）满足函数关系，则大约经过 分钟，温度的瞬时变化率为（精确到1分钟） 【变式2-3】.（24-25高三·上海·课堂例题）自由落体运动中，物体下落的距离（单位：m）与时间（单位：s）近似满足函数关系式，则物体在时间段内的平均速度为 . 【变式2-4】.（23-24高二下·上海静安·期末）自由落体运动中，物体下落的距离（单位：米）与时间（单位：秒）近似满足函数关系，则 ，其实际意义为 ． 【考点题型三】导数概念中极限的简单计算（） 【例3】（24-25高二下·上海·期中）设，则 . 【变式3-1】（24-25高二下·上海黄浦·期中）设函数的导函数为，若，则 ． 【变式3-2】.（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知函数，则 ． 【变式3-3】.（24-25高二下·上海奉贤·期中）已知函数，若，则常数的值为： ． 【变式3-4】（24-25高二下·上海·期中）已知函数在处可导，且，则 . 【考点题型四】求在某一点出切线（） 【例4】（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）已知，则曲线在处的切线方程是 . 【变式4-1】.（24-25高二下·上海宝山·期中）函数 在 处的切线方程为 【变式4-2】.（24-25高二下·上海·期中）曲线在处的切线方程为 ． 【变式4-3】.（24-25高二下·上海静安·期中）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 【考点题型五】求过某一点处切线（） 【例5】（24-25高三·上海·课堂例题）已知曲线，求： (1)曲线上与直线平行的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的切线方程. 【变式5-1】.（24-25高三·上海·课堂例题）经过点且与曲线相切的直线方程为 . 【变式5-2】.（22-23高二下·上海嘉定·期中）已知曲线，过点作曲线的切线，则切线方程 ． 【变式5-3】.（22-23高三下·上海浦东新·开学考试）已知曲线，过点作曲线的切线，则切线的方程为 . 【考点题型六】已知切线求参数（） 【例6】（24-25高三下·上海宝山·阶段练习）已知 为正实数，直线 与曲线 相切，则 的最小值为 . 【变式6-1】.（24-25高二下·上海·期中）已知 ，函数在点处切线的斜率是4，则实数 ． 【变式6-2】.（24-25高二下·上海浦东新·期中）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ． 【变式6-3】.（24-25高三·上海·课堂例题）已知曲线在点处切线的斜率为8，则 ． 【考点题型七】导数的加减乘除，复合运算 【例7】（24-25高二下·上海浦东新·期中）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】.（24-25高二下·上海·期中）下列求导运算中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】.（23-24高二下·安徽蚌埠·期中）下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】.（24-25高二下·山东威海·期中）函数的导函数为（    ） A． B． C． D． 【考点题型八】已知切线的条数求参数（） 【例8】（24-25高一下·上海·期中）若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围为 ． 【变式8-1】.（24-25高二下·江西南昌·期中）过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高二下·山东青岛·期中）过点作曲线的切线，不同的切线条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式8-3】（24-25高二下·福建厦门·期中）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点题型九】公切线问题（） 【例9】（2024·上海·三模）设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为 . 【变式9-1】.（22-23高二下·上海长宁·期末）若直线l与曲线、曲线都相切，则直线l的方程为 . 【变式9-2】.（22-23高三下·上海宝山·阶段练习）若存在直线，使之既是曲线的切线，又是曲线的切线，则实数的取值范围是 ． 【变式9-3】.（22-23高三下·安徽·开学考试）已知直线l与曲线、都相切，则直线l的方程为 ． 提升训练 一、填空题 1．（2025·上海浦东新·三模）曲线的图象上有一动点，则在此动点处切线的斜率的取值范围为 . 2．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）已知，且 3．（24-25高三上·上海浦东新·阶段练习）已知函数，则在点处的切线的倾斜角为 . 4．（24-25高一下·上海奉贤·期中）若函数，则 ． 5．（24-25高二下·上海闵行·期中）已知函数的导函数为，且满足关系式，则 ． 6．（24-25高二下·重庆城口·阶段练习）已知，直线与曲线相切，则的最小值是 ． 7．（24-25高三·上海·课堂例题）已知函数，其中．若函数的图象在点处的切线不过第四象限且不过原点，则实数的取值范围为 ． 8．（2024·福建宁德·三模）已知曲线和圆有2个交点，则实数的取值范围是 . 二、单选题 9．（24-25高二下·上海浦东新·期中）若函数在处可导，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 10．（20-21高二·全国·单元测试）如图，已知函数的图象在点处的切线为，则（    ） A． B． C．1 D．2 三、解答题 11．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知函数． (1)求在区间上的平均变化率； (2)求曲线在处的切线． 12．（24-25高三·上海·随堂练习）已知函数，其中． (1)从函数图像上看，的驻点有什么特殊性质？ (2)求曲线在处的切线方程． 13．（2024高二·上海·专题练习）已知函数（､）．当时，求函数图象过点的切线方程. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 导数的概念意义及运算 （4个考点梳理+10题型解读+提升训练） 清单01 函数的平均变化率 定义：一般地，函数在区间上的平均变化率为：，表示为函数从到的平均变化率，若设,则平均变化率为 清单02 函数在处的导数（瞬时变化率） 定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作. 清单03 导数的几何意义 如图,在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.则割线的斜率 清单04 曲线的切线问题 1、在型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2、过型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率；计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【考点题型一】求平均变化率（） 【例1】（24-25高二下·上海杨浦·期中）函数 在 到 之间的平均变化率是 . (用含 的代数式表示) 【答案】 【知识点】平均变化率 【分析】由平均变化率的概念即可求解. 【详解】函数 在 到 之间的平均变化率是 . 故答案为：. 【变式1-1】.（25-26高三上·上海·期末）函数在区间上的平均变化率为 . 【答案】1 【知识点】平均变化率 【分析】利用平均变化率的定义，列式计算即得. 【详解】函数在区间上的平均变化率为. 故答案为：1 【变式1-2】.（24-25高三·上海·课堂例题）已知函数，其中，则此函数在区间上的平均变化率为 ． 【答案】3 【知识点】平均变化率 【分析】利用函数的解析式求出区间两个端点的函数值；利用平均变化率公式，求出该函数在区间上的平均变化率． 【详解】，， 该函数在区间上的平均变化率为， ， 故答案为：3． 【变式1-3】.（25-26高三上·上海·单元测试）过函数图象上两点和作曲线的割线，则当时割线的斜率为 ． 【答案】3.31/ 【知识点】平均变化率 【分析】利用斜率公式计算可得答案. 【详解】当时，；故； 故. 故答案为：. 【变式1-4】（22-23高三上·上海青浦·阶段练习）函数在区间上的平均变化率等于 . 【答案】5 【知识点】平均变化率 【分析】根据题意，由平均变化率公式计算可得答案. 【详解】解：因为在区间上，， 所以其平均变化率. 故答案为：5. 【考点题型二】求瞬时变化率（） 【例2】（24-25高二下·江苏·阶段练习）已知某容器的高度为20cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系式为，当时，液体上升高度的瞬时变化率为，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为 . 【答案】8 【知识点】导数的运算法则、瞬时变化率的概念及辨析 【分析】根据瞬时变化率定义求导代入计算可得，即可求出结果. 【详解】易知，依题意可得， 所以或（舍）， 因此时，液体上升高度的瞬时变化率为. 故答案为：8 【变式2-1】（24-25高二下·上海静安·期中）某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系满足，其中，则该质点在时的瞬时速度为 m/s． 【答案】7 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、求某点处的导数值 【分析】根据题意，求导可得，代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得，则， 即质点在时的瞬时速度为m/s． 故答案为： 【变式2-2】.（24-25高三上·上海·期中）已知一罐汽水放入冰箱后的温度（单位：）与时间（单位：h）满足函数关系，则大约经过 分钟，温度的瞬时变化率为（精确到1分钟） 【答案】104 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、导数的运算法则 【分析】利用导数的几何意义计算即可. 【详解】易知，则， 则分钟. 故答案为：104 【变式2-3】.（24-25高三·上海·课堂例题）自由落体运动中，物体下落的距离（单位：m）与时间（单位：s）近似满足函数关系式，则物体在时间段内的平均速度为 . 【答案】25 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析 【分析】利用公式计算物体在时间段内的平均速度即得. 【详解】， 故物体在时间段内的平均速度为. 故答案为：25. 【变式2-4】.（23-24高二下·上海静安·期末）自由落体运动中，物体下落的距离（单位：米）与时间（单位：秒）近似满足函数关系，则 ，其实际意义为 ． 【答案】 物体在时的瞬时速度为m/s. 【知识点】求某点处的导数值、瞬时变化率的概念及辨析、基本初等函数的导数公式 【分析】根据导函数定义求解即可； 【详解】因为，，所以； 其实际意义为物体在时的瞬时速度为m/s； 故答案为：；物体在时的瞬时速度为m/s. 【考点题型三】导数概念中极限的简单计算（） 【例3】（24-25高二下·上海·期中）设，则 . 【答案】 【知识点】导数定义中极限的简单计算、基本初等函数的导数公式、求某点处的导数值 【分析】根据导数定义及基本初等函数的导数计算求解. 【详解】因为，所以， 则. 故答案为：. 【变式3-1】（24-25高二下·上海黄浦·期中）设函数的导函数为，若，则 ． 【答案】4 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】利用导数的定义求解即可. 【详解】由题设， 所以. 故答案为：4. 【变式3-2】.（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知函数，则 ． 【答案】或-0.5 【知识点】导数定义中极限的简单计算、简单复合函数的导数 【分析】根据函数在某点处导数的定义，结合所给函数的导数公式进行求解. 【详解】根据函数的导数定义， 表示的是函数在处的导数. 根据复合函数求导法则，. 所以. 故答案为：. 【变式3-3】.（24-25高二下·上海奉贤·期中）已知函数，若，则常数的值为： ． 【答案】 【知识点】导数定义中极限的简单计算、求某点处的导数值 【分析】根据导数的定义及基本初等函数的导数公式可求解. 【详解】因为，又，所以， 又，所以，所以，所以. 故答案为：. 【变式3-4】（24-25高二下·上海·期中）已知函数在处可导，且，则 . 【答案】 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】根据导数的定义及极限的简单运算计算可得. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为： 【考点题型四】求在某一点出切线（） 【例4】（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）已知，则曲线在处的切线方程是 . 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则 【分析】利用导数的几何意义求出导数值，再由点斜式方程可得答案. 【详解】易知，可得； 又，所以切点坐标为； 因此切线方程为，即. 故答案为： 【变式4-1】.（24-25高二下·上海宝山·期中）函数 在 处的切线方程为 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、简单复合函数的导数 【分析】先求出，再利用导数的意义求出切线的斜率，由点斜式得到直线方程即可. 【详解】， ，， 所以函数 在 处的切线方程为，即. 故答案为：. 【变式4-2】.（24-25高二下·上海·期中）曲线在处的切线方程为 ． 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则 【分析】利用导数的几何意义结合直线的点斜式方程即可求得答案. 【详解】由题意得，当时，， 所以曲线在处的切线方程为，即， 故答案为：. 【变式4-3】.（24-25高二下·上海静安·期中）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】求得，得到，进而求得切线的方程，得到答案. 【详解】由函数，可得，则， 即曲线在点处的切线的斜率为，切点坐标为， 所以曲线在点处的切线方程为. 故答案为：. 【考点题型五】求过某一点处切线（） 【例5】（24-25高三·上海·课堂例题）已知曲线，求： (1)曲线上与直线平行的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的切线方程. 【答案】(1) (2)或 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程、基本初等函数的导数公式 【分析】（1）设切点为，对函数求导后，由题意可得，求出，从而可求出切点坐标，进而可求出切线方程； （2）设切点，利用导数的几何意义表示出切线方程，然后将点坐标代入切线方程可求出，从而可求出切点坐标，进而可求出切线方程. 【详解】（1）设切点为，由得， 因为切线与平行，所以， 所以，所以，所以切点为. 则所求切线方程为，即； （2）若斜率不存在，直线符合题意， 若斜率存在，设切点， 则切线方程为， 又切线过点， 所以，即. 所以切线方程为，即. 综上，切线方程为即或 【变式5-1】.（24-25高三·上海·课堂例题）经过点且与曲线相切的直线方程为 . 【答案】或 【知识点】求过一点的切线方程、基本初等函数的导数公式 【分析】设切点为，然后利用导数的几何意义求解即可. 【详解】设切点为，由，得， 所以切线的斜率为， 所以切线方程为， 因为切线过点，所以， 化简得，解得或， 所以切线方程为或， 即切线方程为或. 故答案为：或 【变式5-2】.（22-23高二下·上海嘉定·期中）已知曲线，过点作曲线的切线，则切线方程 ． 【答案】 【知识点】求过一点的切线方程、导数的加减法、导数的乘除法 【分析】设切点坐标为，求出切线方程，代入点求出，从而可得切线方程. 【详解】设切点坐标为， 由，得， 所以曲线在点处的切线方程为. 因为切线过点，所以，解得. 所以切线方程为. 故答案为:. 【变式5-3】.（22-23高三下·上海浦东新·开学考试）已知曲线，过点作曲线的切线，则切线的方程为 . 【答案】 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、求过一点的切线方程 【分析】设切点坐标为，根据切线所过的点得到的方程，解出后可得所求的切线方程. 【详解】设切点坐标为，,则切线的斜率， 故切线方程为，又因为点在切线上， 所以，整理得到， 解得，所以切线方程为． 故答案为: . 【考点题型六】已知切线求参数（） 【例6】（24-25高三下·上海宝山·阶段练习）已知 为正实数，直线 与曲线 相切，则 的最小值为 . 【答案】9 【知识点】已知切线（斜率）求参数、基本不等式“1”的妙用求最值、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本不等式求和的最小值 【分析】先设切点坐标，再根据切点在直线和曲线上列式求参，最后应用基本不等式计算求解. 【详解】设切点为， 又因为曲线 ，则，直线 斜率为1， 所以，又因为， 所以，所以，因为 为正实数， 所以， 当且仅当，即时，则 取最小值为9. 故答案为：9. 【变式6-1】.（24-25高二下·上海·期中）已知 ，函数在点处切线的斜率是4，则实数 ． 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的乘除法 【分析】根据导数的几何意义列方程，求解即可. 【详解】由题意，， 因为函数在点处切线的斜率是4， 所以，解得. 故答案为：. 【变式6-2】.（24-25高二下·上海浦东新·期中）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】∵， ∴，设切点为，则， 切线方程为：， ∵切线过原点， ∴， 整理得：， ∵切线有两条，∴， ∴的取值范围是， 故答案为： 【变式6-3】.（24-25高三·上海·课堂例题）已知曲线在点处切线的斜率为8，则 ． 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】对函数求导后，由可求出的值. 【详解】由，得， 则由题意得，解得. 故答案为： 【考点题型七】导数的加减乘除，复合运算 【例7】（24-25高二下·上海浦东新·期中）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】简单复合函数的导数、导数的运算法则 【分析】根据导数的运算法则及简单复合函数求导法则计算可得. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：D 【变式7-1】.（24-25高二下·上海·期中）下列求导运算中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】导数的运算法则、简单复合函数的导数、基本初等函数的导数公式 【分析】逐项求导判断即可. 【详解】因为：， ， ， 故ACD计算正确； 因为，故B计算错误. 故选：B 【变式7-2】.（23-24高二下·安徽蚌埠·期中）下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】基本初等函数的导数公式 【分析】逐一求导验证可得结果. 【详解】因为； ； . 故选：A 【变式7-3】.（24-25高二下·山东威海·期中）函数的导函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】根据常用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求解即可. 【详解】, 故选：B. 【考点题型八】已知切线的条数求参数（） 【例8】（24-25高一下·上海·期中）若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】求已知函数的极值、求过一点的切线方程 【分析】设切点为,利用导数的几何意义先求切线方程，由切线方程过点得，令，即与的图像有三个交点， 利用导数研究极值即可求解. 【详解】设切点为，则，所以， 所以切线方程为， 又切线过点，所以， 即，令， 所以，即与的图象有三个交点， 所以，令有或， 由得或，得， 所以在单调递减，在上单调递增， 所以的极大值为，的极小值为， 所以，即， 故答案为：. 【变式8-1】.（24-25高二下·江西南昌·期中）过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求过一点的切线方程、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】根据导数的几何意义及直线的点斜式方程可得切线方程，从而将问题化为方程有3解，进而转化为与有3个交点，设，从而利用导数研究函数的单调性及极值，即可求解. 【详解】因为，所以， 设过点的切线切曲线于点， 则切线方程为，又其过点， 所以，所以根据题意可得该关于的方程有3解， 即方程有3解， 所以与有3个交点， 设，则， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以的极小值为，的极大值为， 且时，；时，， 所以要使与有3个交点，则需． 故选：A 【变式8-2】（24-25高二下·山东青岛·期中）过点作曲线的切线，不同的切线条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】求过一点的切线方程 【分析】设切点坐标，由斜率构造等式求解即可. 【详解】由题意设切点坐标， ， 切线斜率：，， 化简可得：， 解得：或， 所以满足条件的切点有两个，对应切线有2条， 故选：C 【变式8-3】（24-25高二下·福建厦门·期中）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程、导数的乘除法 【分析】设出切点坐标，根据导数的几何意义，得出切线的斜率，代入点斜式方程，得出切线的方程，将原点坐标代入，整理得出.由题意可知，，求解即可得出答案. 【详解】设切点为， 由已知可得. 根据导数的几何意义可知， 切线的斜率为. 代入切线方程为， 整理可得. 又切线经过原点， 所以有， 整理可得. 因为曲线有两条过坐标原点的切线， 所以方程有两个不相等的实数解， 即有，解得或. 故选：B. 【考点题型九】公切线问题（） 【例9】（2024·上海·三模）设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为 . 【答案】2 【知识点】求某点处的导数值、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】根据两曲线在有公切线，则是公共点，该点处的导数值相同，列出方程求出的值，则答案可求. 【详解】由已知得，解得， 又， 所以得， 所以， 所以. 故答案为：2 【变式9-1】.（22-23高二下·上海长宁·期末）若直线l与曲线、曲线都相切，则直线l的方程为 . 【答案】或 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、导数的运算法则 【分析】设切点分别为，，分别求出两曲线的切线方程是和，解方程，且，即得解. 【详解】由得，设切点为，所以切线的斜率为， 则直线l的方程为：，即； 由得，设切点为，所以切线的斜率为， 则直线l的方程为：． 所以，且， 消去得，故或， 所以直线l的方程为：或． 故答案为：或. 【变式9-2】.（22-23高三下·上海宝山·阶段练习）若存在直线，使之既是曲线的切线，又是曲线的切线，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】利用导数研究方程的根、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】设直线与曲线的切点为，结合公切线可得，令，利用导数可求得此函数的值域，从而可求参数的取值范围. 【详解】设该直线与曲线的切点为， 因为，故直线的斜率为，故直线的方程为， 整理得到， 由可得， 因为直线与曲线相切，故， 故， 设，，， 当时，，当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 故， 当时，，故的值域为， 故即，而，故实数的取值范围是 故答案为：. 【点睛】思路点睛：不同曲线的公切线问题，应该以切点的横坐标为枢纽，结合公切线的性质得到切点满足的方程，再通过构建新函数得到方程有解时参数的取值范围，从而使得问题得以解决. 【变式9-3】.（22-23高三下·安徽·开学考试）已知直线l与曲线、都相切，则直线l的方程为 ． 【答案】或 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】分别求出两曲线的切线方程是和，解方程，，即得解. 【详解】解：由得，设切点为，所以切线的斜率为， 则直线l的方程为：； 由得，设切点为，所以切线的斜率为， 则直线l的方程为：． 所以，， 消去得， 故或，所以直线l的方程为：或． 故答案为：或 提升训练 一、填空题 1．（2025·上海浦东新·三模）曲线的图象上有一动点，则在此动点处切线的斜率的取值范围为 . 【答案】 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】根据导数的几何意义，即可求解. 【详解】，根据导数的几何意义可知，切线的斜率的取值范围为. 故答案为： 2．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）已知，且 【答案】 【知识点】导数定义中极限的简单计算、简单复合函数的导数 【分析】根据导数的定义可求极限值. 【详解】由题，, 故答案为： 3．（24-25高三上·上海浦东新·阶段练习）已知函数，则在点处的切线的倾斜角为 . 【答案】 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、反三角函数 【分析】利用导数求出切线斜率，然后由反三角表示即可. 【详解】因为，所以， 记在点处的切线的倾斜角为，则，则， 所以. 故答案为： 4．（24-25高一下·上海奉贤·期中）若函数，则 ． 【答案】 【知识点】求某点处的导数值、导数的运算法则 【分析】由导数的运算可得结果. 【详解】由，，则. 故答案为：. 5．（24-25高二下·上海闵行·期中）已知函数的导函数为，且满足关系式，则 ． 【答案】 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】求导后，令可得结果. 【详解】因为，所以， 所以，得. 故答案为： 6．（24-25高二下·重庆城口·阶段练习）已知，直线与曲线相切，则的最小值是 ． 【答案】27 【知识点】已知切线（斜率）求参数、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由导数几何意义和切线斜率可求得切点坐标，由此得到，利用配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式可求得结果. 【详解】由得：；当时， ， 直线与曲线相切的切点坐标为， ，又为正实数， , （当且仅当，即，即时取等号）， 的最小值为27. 故答案为：27. 7．（24-25高三·上海·课堂例题）已知函数，其中．若函数的图象在点处的切线不过第四象限且不过原点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则 【分析】先利用导数的几何意义求出切线方程，然后由题意可得，从而可求出的取值范围. 【详解】由，得， 所以，， 所以切线方程为， 即， 因为切线不过第四象限且不过原点， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为： 8．（2024·福建宁德·三模）已知曲线和圆有2个交点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】分，，，几种情况，结合图象的变换知识可求的取值范围. 【详解】当时，由图象的变换可得，与一定有两个交点， 当，过点， 求导可得，，所以在处的切线方程为， 此时的圆心到直线的距离， 所以直线与圆只有一个公共点， 此时与只有一个交点， 当向左移动时，即时，与一定没有交点， 当时，与一定有两个交点， 故曲线与有两个交点时的取值范围为. 故答案为：. 二、单选题 9．（24-25高二下·上海浦东新·期中）若函数在处可导，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】根据导数的定义及极限的相关运算性质计算可得. 【详解】因为，所以， 又函数在处可导， 所以. 故选：D 10．（20-21高二·全国·单元测试）如图，已知函数的图象在点处的切线为，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】根据图像算出函数在点处的切线，即可求出其在处的函数值与导数取值。 【详解】由图象可得，切线过点和，切线斜率为，所以， 又因为切线方程为，则切点坐标为，有， 所以. 故选：C 三、解答题 11．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知函数． (1)求在区间上的平均变化率； (2)求曲线在处的切线． 【答案】(1) (2) 【知识点】平均变化率、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则 【分析】（1）根据平均变化率的定义计算可得； （2）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程； 【详解】（1）因为，所以，， 所以在区间上的平均变化率为； （2）因为，所以， 所以， 所以切点为，切线的斜率， 所以曲线在处的切线为，即. 12．（24-25高三·上海·随堂练习）已知函数，其中． (1)从函数图像上看，的驻点有什么特殊性质？ (2)求曲线在处的切线方程． 【答案】(1)的驻点是函数的最高点或者最低点； (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式、二倍角的正弦公式 【分析】（1）利用正弦的二倍角公式及驻点的定义即可求解. （2）利用导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解. 【详解】（1）由题意可知，， 所以， 令，解得，， 从函数图像上看，的驻点是函数的最高点或者最低点； （2）由（1）知，， 所以，切点， 所以曲线在点处的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 13．（2024高二·上海·专题练习）已知函数（､）．当时，求函数图象过点的切线方程. 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、简单复合函数的导数 【分析】利用导数求函数在某一点的切线方程即可 【详解】当时，， 所以切线方程为，即为． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$