第七单元 三角形、平行四边形和梯形（知识清单）-2024-2025学年四年级数学下学期期末复习讲练测（苏教版）

第七单元 三角形、平行四边形和梯形（知识清单） （知识梳理+重点提炼+易错集锦+巩固拔高） 01 知识梳理 1、三条线段首尾相接围成的图形叫作三角形。 生活中的三角形：生活中的三角形无处不在，如大桥的桥柱、斜拉索与桥面可以组成三角形。生活中一些物体的包装盒的面，一些积木的面等都是三角形。 2、三角形的特点。 （1）三角形有3条边、3个角和3个顶点。 （2）三角形的3条边都是线段。 （3）三角形的三条线段要首尾相接地围起来。 3、画三角形时，先确定三角形的三个顶点，然后把其中的每两个点均用线段连接起来即可。 4、三角形的三个顶点不能在同一条直线上，即过同一条直线上的三个点不能画出三角形。 5、三角形的底和高 （1）从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。 （2）三角形高的画法：通常用三角尺画三角形的高。 6、画三角形的高。 把三角尺的一条直角边与三角形指定的底重合，沿着这条底平移三角尺，使三角尺的另一条直角边经过这条底所对的顶点，沿着这条直角边从顶点向底边作垂线，顶点到底边的垂直线段就是三角形的高。 7、三角形的三边关系。 在拼成的三角形中，任意两根小棒的长度一定大于第三根小棒的长度。 判断给定的三条线段能否围成三角形，只要计算出其中两条较短的线段的长度和，若它们的和大于第三条线段的长度，就一定能围成三角形。 8、观察发现：三角形的3个角拼在一起形成了一个平角，平角是180°，即3个内角的度数之和是180°。 9、三角形按角分类，可以分为三类：3个角都是锐角的三角形是锐角三角形;有一个角是直角的三角形是直角三角形;有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。 10、各类三角形之间的联系： 各类三角形之间的联系可以用下图表示，把所有的三角形看作一个整体，锐角三角形、直角三角形和钝角三角形都是这个整体的一部分。 11、等腰三角形和等边三角形： （1）两条边相等的三角形是等腰三角形。等腰三角形中，相等的两边叫作腰，另一条边叫作底。两腰的夹角叫作顶角，底边上的两个角叫作底角，如图。 （2）等腰三角形的底角相等。 （3）等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴，它底边上的高在它的对称轴上。 12、等边三角形及其特征： （1）3条边都相等的三角形是等边三角形，也叫作正三角形。 （2）等边三角形的3个角相等，等边三角形是轴对称图形，等边三角形有3条对称轴。 （3）三角形按边分类： 13、平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。 14、特征： （1）平行四边形有4条边、4个角。 （2）平行四边形的两组对边分别平行。 （3）平行四边形的两组对边分别相等。 15、平行四边形的底和高的认识： 从平行四边形一条边上的一点到它对边的垂直线段，是平行四边形的高，这条对边是平行四边形的底。 16、梯形：只有一组对边平行的四边形叫作梯形。 17、认识梯形的底和高 互相平行的一组对边分别是梯形的上底和下底，不平行的一组对边是梯形的腰。从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫作梯形的高。 18、梯形的分类 （1）直角梯形：如果梯形的一条腰和梯形的底互相垂直，那么这条腰就是梯形的高，这样的梯形叫作直角梯形。 （2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫作等腰梯形。 19、四边形、五边形、六边形的内角和。 多边形可以分成几个三角形来计算内角和。四边形的内角和是360°，五边形的内角和是540°，六边形的内角和是720°。 20、探索任意多边形内角和的计算方法。 （1）多边形的内角和可以根据三角形的内角和推算出来。 （2）多边形可以分成几个小三角形，多边形的内角和就是几个180°。由此可得多边形得内角和=（多边形的边数-2）✖180°。 02 重点提炼 1、通过动手操作和观察比较，认识三角形的特点，理解和掌握三角形的定义。 2、结合具体情境认识三角形的底和高，理解并掌握三角形底和高的含义，能在三角形内画出对应边上的高。 3、通过直观操作活动和计算观察，探索并发现三角形任意两边长度的和大于第三边。 4、通过量、剪、拼等实践活动，发现、验证三角形的内角和是180°并能运用这一知识解决生活中简单的实际问题。 5、通过动手操作，经历给三角形分类的过程，认识并辨别锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。 6、在实际的操作过程中，认识等腰三角形和等边三角形的基本特征。 7、在联系生活实际和动手操作的过程中，认识平行四边形和梯形，掌握平行四边形和梯形的基本特征。 03 易错集锦 易错点1：三角形的内角和。 误区点拨： （1）误认为三角形大的内角和也大。 （2）所有三角形的内角和都是180°。大三角形的内角和与小三角形的内角和相同，都是 180°。 易错点 2：对平行四边形的特征理解出错。 误区点拨： （1）对边平行和两组对边分别平行分不清。 （2）对边平行既包括两组对边平行，也包括一组对边平行。当两组对边平行时这个四边形是平行四边形，当一组对边平行时，这个四边形不一定是平行四边形。 易错点 3：对四边形的概念理解出错。 误区点拨： （1）误认为四边形只包含平行四边形、长方形、梯形和正方形。 （2）平行四边形、长方形、梯形和正方形都是四边形，它们是一些特殊的四边形此外还有许多不规则的四边形，它们既不是平行四边形，也不是梯形、长方形或正方形。不能简单地认为四边形只包含平行四边形、长方形、梯形和正方形。 04 巩固拔高 一、填空题 1．数一数，下图中有（ ）个三角形，（ ）个平行四边形，（ ）个梯形。 2．一张长方形纸长12厘米，宽4厘米。把它三折（三等分）后展开（如下图），以展开图上的8个交点为顶点，可以画出不同的梯形或平行四边形。画出的最大的梯形的上底与下底的和是（ ）厘米，高是（ ）厘米；画出的最小的平行四边形的底是（ ）厘米，高是（ ）厘米。 3．一个等腰三角形，如果它的顶角是40°，那么它的一个底角是（ ）°；如果它的一个底角是40°，那么它的顶角是（ ）°。 4．求下面每个图形中∠1和∠2的度数。      ∠1＝（ ）°    ∠1＝（ ）° ∠2＝（ ）°     ∠2＝（ ）° 5．把一根长15厘米的吸管剪成3段（每段都是整厘米数），用线穿成一个三角形，可以怎样剪？请在括号里写出两组。 （ ）（ ） 6．把一根144厘米长的铁丝围成一个等边三角形，这个三角形的边长是（ ）厘米；如果用这根铁丝围成一个腰长是60厘米的等腰三角形，这个三角形的底边长是（ ）厘米。 7．一块平行四边形的菜地，其中较长的一边靠墙，这块菜地相邻的两边长分别是9米和7米，如果用篱笆把它围起来，至少需要（ ）米长的篱笆。 8．在直角三角形中，如果一个锐角是28°，那么另一个锐角是（ ）°；如果一个锐角的度数是另一个锐角的2倍，那么较小的锐角是（ ）°。 二、选择题 9．一个三角形中，一个内角的度数比另外两个内角的和的2倍多6°，这个三角形是（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法确定 10．从两根长9厘米，两根长4厘米和两根长2厘米的小棒中选三根摆成一个等腰三角形，这个等腰三角形的周长是（    ）厘米。 A．8 B．13 C．17 D．10或20或22 11．从平行四边形的一个顶点可以向对边画（    ）条高。 A．1 B．2 C．3 D．无数 12．下面是用一副三角尺拼的角，拼出的角是135°的是（    ）。 A． B． C． D． 13．李大伯家有一块三角形菜园，其中两条边的长分别是10米和20米。要在菜园的边上围篱笆，篱笆的长是（    ）米。 A．20 B．40 C．30 D．50 14．在下面的四个图形中，只有1条对称轴的图形是（    ）。 A．正三角形 B．长方形 C．正方形 D．等腰梯形 15．如图所示，在正方形纸上像这样剪出一个三角形，那么的度数是（    ）。 A． B． C． D． 16．在直角三角形ABC中，如图∠A＝30°，且∠1＝∠2，则∠3等于（    ）。 A．30° B．60° C．70° D．80° 三、计算题 17．在下图的三角形中，已知∠1＝65°，∠2＝60°，请求出∠4的度数。 18．如图，计算梯形中∠1、∠2、∠3的度数。 四、操作题 19．在方格纸上画一个底4厘米、高3厘米的三角形，一个底3厘米、高4厘米的平行四边形。（每个小方格表示1平方厘米） 20．在下面的方格纸上画一个锐角三角形、一个直角三角形和一个钝角三角形，并分别画出它们的一条高。 五、解答题 21．如图，在一张上底20厘米、下底35厘米、高8厘米的梯形纸上剪下一个最大的长方形，这个长方形的面积是多少平方厘米？ 22．如图，等边三角形内有一个等腰三角形，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求∠6。图中的等腰三角形按角分是什么三角形？ 23．一个梯形的下底是上底的3倍，如果将这个梯形的上底延长8厘米，就变成了平行四边形。这个梯形的上、下底各是多少厘米？（先在图中画一画，再解答） 24．有一根长10厘米的小棒，如果以它为一条边，围成一个周长是25厘米的三角形，还需要两根多长的小棒？（小棒长度都是整厘米数〉 25．有一个上底是4厘米，下底是7厘米的梯形。在这个梯形上剪一刀，刚好剪成了一个正方形和一个三角形。已知剪出的三角形中有一条边是5厘米，求这个梯形的周长。（要求：先画出草图再计算） 26．有一个等腰三角形，底比腰短5厘米，底角是75°。 （1）它的顶角是（ ）°。 （2）把它的三条边紧贴桌面转一周后，测量长度为34厘米（如图），它的腰长（ ）厘米。 27．美美、丽丽、兴兴和花花四位同学研究三角形的内角和的学习记录如下图： 请你认真研究他们的学习记录单，看完后回答下列问题： （1）我的研究方法与同学 一样，我的研究结论是：三角形的内角和是 。 （2）我是这样得到这个研究结论的： 。 28．将一根12厘米长的线段剪成三段，围成一个三角形（边长取整厘米数），可以怎样剪？ （1）如果第一次从9厘米处剪开，那么第二次可以从（    ）厘米或（    ）厘米处剪开。 （2）第一次剪在中点6厘米处，可以吗？说说你的理由。 （3）如果剪完后拼成的是等腰三角形，三条边的长度分别是多少？请你想出两种剪法，并说明每条边各长多少厘米。（可以画图、列表或列算式，把思考过程记录下来） 29．用相同的直角三角形进行拼图游戏（如下图），请观察图中的拼图规律，第⑤幅图的周长是多少厘米？照这样排下去，第⑩幅图的周长是多少厘米？（请用图片、文字或算式写出你的思考过程） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七单元 三角形、平行四边形和梯形（知识清单） （知识梳理+重点提炼+易错集锦+巩固拔高） 01 知识梳理 1、三条线段首尾相接围成的图形叫作三角形。 生活中的三角形：生活中的三角形无处不在，如大桥的桥柱、斜拉索与桥面可以组成三角形。生活中一些物体的包装盒的面，一些积木的面等都是三角形。 2、三角形的特点。 （1）三角形有3条边、3个角和3个顶点。 （2）三角形的3条边都是线段。 （3）三角形的三条线段要首尾相接地围起来。 3、画三角形时，先确定三角形的三个顶点，然后把其中的每两个点均用线段连接起来即可。 4、三角形的三个顶点不能在同一条直线上，即过同一条直线上的三个点不能画出三角形。 5、三角形的底和高 （1）从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。 （2）三角形高的画法：通常用三角尺画三角形的高。 6、画三角形的高。 把三角尺的一条直角边与三角形指定的底重合，沿着这条底平移三角尺，使三角尺的另一条直角边经过这条底所对的顶点，沿着这条直角边从顶点向底边作垂线，顶点到底边的垂直线段就是三角形的高。 7、三角形的三边关系。 在拼成的三角形中，任意两根小棒的长度一定大于第三根小棒的长度。 判断给定的三条线段能否围成三角形，只要计算出其中两条较短的线段的长度和，若它们的和大于第三条线段的长度，就一定能围成三角形。 8、观察发现：三角形的3个角拼在一起形成了一个平角，平角是180°，即3个内角的度数之和是180°。 9、三角形按角分类，可以分为三类：3个角都是锐角的三角形是锐角三角形;有一个角是直角的三角形是直角三角形;有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。 10、各类三角形之间的联系： 各类三角形之间的联系可以用下图表示，把所有的三角形看作一个整体，锐角三角形、直角三角形和钝角三角形都是这个整体的一部分。 11、等腰三角形和等边三角形： （1）两条边相等的三角形是等腰三角形。等腰三角形中，相等的两边叫作腰，另一条边叫作底。两腰的夹角叫作顶角，底边上的两个角叫作底角，如图。 （2）等腰三角形的底角相等。 （3）等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴，它底边上的高在它的对称轴上。 12、等边三角形及其特征： （1）3条边都相等的三角形是等边三角形，也叫作正三角形。 （2）等边三角形的3个角相等，等边三角形是轴对称图形，等边三角形有3条对称轴。 （3）三角形按边分类： 13、平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。 14、特征： （1）平行四边形有4条边、4个角。 （2）平行四边形的两组对边分别平行。 （3）平行四边形的两组对边分别相等。 15、平行四边形的底和高的认识： 从平行四边形一条边上的一点到它对边的垂直线段，是平行四边形的高，这条对边是平行四边形的底。 16、梯形：只有一组对边平行的四边形叫作梯形。 17、认识梯形的底和高 互相平行的一组对边分别是梯形的上底和下底，不平行的一组对边是梯形的腰。从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫作梯形的高。 18、梯形的分类 （1）直角梯形：如果梯形的一条腰和梯形的底互相垂直，那么这条腰就是梯形的高，这样的梯形叫作直角梯形。 （2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫作等腰梯形。 19、四边形、五边形、六边形的内角和。 多边形可以分成几个三角形来计算内角和。四边形的内角和是360°，五边形的内角和是540°，六边形的内角和是720°。 20、探索任意多边形内角和的计算方法。 （1）多边形的内角和可以根据三角形的内角和推算出来。 （2）多边形可以分成几个小三角形，多边形的内角和就是几个180°。由此可得多边形得内角和=（多边形的边数-2）✖180°。 02 重点提炼 1、通过动手操作和观察比较，认识三角形的特点，理解和掌握三角形的定义。 2、结合具体情境认识三角形的底和高，理解并掌握三角形底和高的含义，能在三角形内画出对应边上的高。 3、通过直观操作活动和计算观察，探索并发现三角形任意两边长度的和大于第三边。 4、通过量、剪、拼等实践活动，发现、验证三角形的内角和是180°并能运用这一知识解决生活中简单的实际问题。 5、通过动手操作，经历给三角形分类的过程，认识并辨别锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。 6、在实际的操作过程中，认识等腰三角形和等边三角形的基本特征。 7、在联系生活实际和动手操作的过程中，认识平行四边形和梯形，掌握平行四边形和梯形的基本特征。 03 易错集锦 易错点1：三角形的内角和。 误区点拨： （1）误认为三角形大的内角和也大。 （2）所有三角形的内角和都是180°。大三角形的内角和与小三角形的内角和相同，都是 180°。 易错点 2：对平行四边形的特征理解出错。 误区点拨： （1）对边平行和两组对边分别平行分不清。 （2）对边平行既包括两组对边平行，也包括一组对边平行。当两组对边平行时这个四边形是平行四边形，当一组对边平行时，这个四边形不一定是平行四边形。 易错点 3：对四边形的概念理解出错。 误区点拨： （1）误认为四边形只包含平行四边形、长方形、梯形和正方形。 （2）平行四边形、长方形、梯形和正方形都是四边形，它们是一些特殊的四边形此外还有许多不规则的四边形，它们既不是平行四边形，也不是梯形、长方形或正方形。不能简单地认为四边形只包含平行四边形、长方形、梯形和正方形。 04 巩固拔高 一、填空题 1．数一数，下图中有（ ）个三角形，（ ）个平行四边形，（ ）个梯形。 【答案】4 3 2 【分析】三角形是由三条线段围成的封闭图形；两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形；只有一组对边平行的四边形叫做梯形；依此数出它们的个数即可。 【解答】三角形有4个，平行四边形有3个，梯形有2个。 2．一张长方形纸长12厘米，宽4厘米。把它三折（三等分）后展开（如下图），以展开图上的8个交点为顶点，可以画出不同的梯形或平行四边形。画出的最大的梯形的上底与下底的和是（ ）厘米，高是（ ）厘米；画出的最小的平行四边形的底是（ ）厘米，高是（ ）厘米。 【答案】20 4 4 4 【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形。只有一组对边平行的四边形是梯形。由题意得，以展开图上的8个交点为顶点，要画一个最大的梯形，那么画出的梯形如下图：      12÷3＝4（厘米），所以每个小正方形的边长都是4厘米。由图可知，梯形的上底是（4＋4）厘米，下底是12厘米，高是4厘米。 要画一个最小的平行四边形，那么画出的平行四边形如下图： 由图可知，平行四边形的底是4厘米，高是4厘米。 【解答】12÷3＝4（厘米） 梯形上底与下底的和：4＋4＋12＝8＋12＝20（厘米） 一张长方形纸长12厘米，宽4厘米。把它三折（三等分）后展开（如下图），以展开图上的8个交点为顶点，可以画出不同的梯形或平行四边形。画出的最大的梯形的上底与下底的和是20厘米，高是4厘米；画出的最小的平行四边形的底是4厘米，高是4厘米。 3．一个等腰三角形，如果它的顶角是40°，那么它的一个底角是（ ）°；如果它的一个底角是40°，那么它的顶角是（ ）°。 【答案】70 100 【分析】三角形的内角和为180°。在等腰三角形中，两个底角的度数相等。由题意得，一个等腰三角形的顶角是40°，可以先用180°减去顶角的度数算出两个底角的度数，然后再除以2即可算出一个底角的度数；如果等腰三角形的一个底角是40°，那么另一个底角也是40°，直接用180°减去两个底角的度数即可算出顶角的度数。 【解答】（180°－40°）÷2 ＝140°÷2 ＝70° 180°－40°×2 ＝180°－80° ＝100° 一个等腰三角形，如果它的顶角是40°，那么它的一个底角是70°；如果它的一个底角是40°，那么它的顶角是100°。 4．求下面每个图形中∠1和∠2的度数。      ∠1＝（ ）°    ∠1＝（ ）° ∠2＝（ ）°     ∠2＝（ ）° 【答案】65 60 60 40 【分析】（1）仔细观察图形，做∠3、∠4，根据三角形的内角和是180°，即可知∠4＝180°－55°－90°，∠3＝90°－65°＝25°，求出∠2＝∠3＋∠4，∠1＝180°－∠2－55°，列式计算即可。 （2）如图，做∠3，根据三角形的内角和是180°，∠3＝180°－90°－60°，∠1＝90°－∠3，将下来再结合∠1＋∠2＋80°＝180°，就可推导出∠2的度数。 【解答】根据分析可知： 第一个图形： ∠4＝180°－55°－90°＝125°－90°＝35° ∠3＝90°－65°＝25° ∠2＝∠3＋∠4＝35°＋25°＝60° ∠1＝180°－∠2－55°＝180°－60°－55°＝120°－55°＝65° 第二个图形： ∠3＝180°－90°－60°＝90°－60°＝30° ∠1＝90°－∠3＝60° ∠2＝180°－80°－60°＝100°－60°＝40° 5．把一根长15厘米的吸管剪成3段（每段都是整厘米数），用线穿成一个三角形，可以怎样剪？请在括号里写出两组。 （ ）（ ） 【答案】4厘米、5厘米、6厘米 3厘米、5厘米、7厘米 【分析】总长度为15厘米，根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，因此最长边不能超过15厘米的一半。每段都是整厘米数，即最长边最大为7厘米。由此进行列举即可。 【解答】15÷2＝7（厘米）……1（厘米） 因此最长边最大为7厘米。 三边分别为：①4厘米、5厘米、6厘米；②3厘米、5厘米、7厘米。（答案不唯一） 6．把一根144厘米长的铁丝围成一个等边三角形，这个三角形的边长是（ ）厘米；如果用这根铁丝围成一个腰长是60厘米的等腰三角形，这个三角形的底边长是（ ）厘米。 【答案】48 24 【分析】等边三角形的三条边长度相等。已知铁丝长144厘米，即围成的等边三角形的周长是144厘米。因为等边三角形三条边相等，用周长除以3计算出等边三角形的边长。已知铁丝长144厘米，也就是等腰三角形的周长是144厘米，腰长是60厘米。根据等腰三角形周长＝腰长＋腰长＋底边长，可得底边长＝周长－腰长－腰长，据此列式解答。 【解答】144÷3＝48（厘米） 144－60－60 ＝144－120 ＝24（厘米） 把一根144厘米长的铁丝围成一个等边三角形，这个三角形的边长是48厘米；如果用这根铁丝围成一个腰长是60厘米的等腰三角形，这个三角形的底边长是24厘米。 7．一块平行四边形的菜地，其中较长的一边靠墙，这块菜地相邻的两边长分别是9米和7米，如果用篱笆把它围起来，至少需要（ ）米长的篱笆。 【答案】23 【分析】平行四边形的对边相等，相邻两边长分别为9米和7米，因此四条边中两条为9米，两条为7米。题目明确指出较长边（9米）靠墙，因此该边无需篱笆。需围另外三条边，即一条9米的对边和两条7米的邻边。列式计算求和即可。 【解答】根据分析可知： 9＋7＋7＝23（米） 如果用篱笆把它围起来，至少需要23米长的篱笆。 8．在直角三角形中，如果一个锐角是28°，那么另一个锐角是（ ）°；如果一个锐角的度数是另一个锐角的2倍，那么较小的锐角是（ ）°。 【答案】62 30 【分析】三角形的内角和为180°。在直角三角形中，直角的度数为90°。180°－90°＝90°，那么另外两个锐角的度数之和为90°。由题意得，直角三角形的一个锐角是28°，那么直接用90°减去28°即可算出另一个锐角的度数；如果一个锐角的度数是另一个锐角的2倍，那么这两个锐角的度数之和就是较小的那个锐角的度数的3倍，那么直接用90°除以3即可算出较小的锐角的度数。 【解答】90°－28°＝62° 90°÷（1＋2）＝90°÷3＝30° 在直角三角形中，如果一个锐角是28°，那么另一个锐角是62°；如果一个锐角的度数是另一个锐角的2倍，那么较小的锐角是30°。 二、选择题 9．一个三角形中，一个内角的度数比另外两个内角的和的2倍多6°，这个三角形是（    ）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法确定 【答案】C 【分析】将另外两个内角的和看作1份，那么这个内角的度数看作为2份，所以用三角形内角和是180°，180°减去6°再除以（2＋1），即可算出两个内角的和是多少度，180°减去这两个内角和，可以算出第三个内角的度数。 三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。据此判断三角形的类型。 【解答】（180°－6°）÷（2＋1） ＝174°÷3 ＝58° 180°－58°＝122° 一个三角形中，一个内角的度数比另外两个内角的和的2倍多6°，这个三角形是钝角三角形。 故答案为：C 10．从两根长9厘米，两根长4厘米和两根长2厘米的小棒中选三根摆成一个等腰三角形，这个等腰三角形的周长是（    ）厘米。 A．8 B．13 C．17 D．10或20或22 【答案】D 【分析】等腰三角形的两条腰相等，根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边，选择合适的小棒，看有几个方法组成等腰三角形，再计算其周长即可。 【解答】9＋9＞4，9－4＜9，可以组成等腰三角形，周长＝9＋9＋4＝22（厘米）； 9＋9＞2，9－2＜9，可以组成等腰三角形，周长＝9＋9＋2＝20（厘米）； 4＋4＞2，4－2＜4，可以组成等腰三角形，周长＝4＋4＋2＝10（厘米）； 所以这个等腰三角形的周长是10或20或22厘米。 故答案为：D 11．从平行四边形的一个顶点可以向对边画（    ）条高。 A．1 B．2 C．3 D．无数 【答案】B 【分析】从平行四边形的一条边上的任意一点都可以向对边作垂直线段，这条线段就是平行四边形的高，这条对边叫做平行四边形的底。据此解答。 【解答】由题意得，从平行四边形的一个顶点向对边画高，作图如下： 由图可知，从平行四边形的一个顶点可以向对边画2条高。 故答案为：B 12．下面是用一副三角尺拼的角，拼出的角是135°的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一副三角尺的度数分别为30°，60°，90°和45°，45°，90°，根据拼的角的方法计算度数即可。 【解答】A．60°＋90°＝150° B．45°＋90°＝135° C．90°＋30°＝120° D．60°＋45°＝105° 故答案为：B 13．李大伯家有一块三角形菜园，其中两条边的长分别是10米和20米。要在菜园的边上围篱笆，篱笆的长是（    ）米。 A．20 B．40 C．30 D．50 【答案】D 【分析】三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，那么一定小于20＋10＝30米，而大于20－10＝10米，即第三条边在10米到30米之间。周长是三条边的总和，即10＋20＋第三条边。因此，周长的范围为：40米到60米之间。逐项分析即可。 【解答】20＋10＝30（米），20－10＝10（米），即第三条边在10米到30米之间。周长的范围为：40米到60米之间。 A．20＜40，围不成三角形； B．40＝40，围不成三角形； C．30＜40，围不成三角形； D．60＞50＞40，围成三角形； 故答案为：D 14．在下面的四个图形中，只有1条对称轴的图形是（    ）。 A．正三角形 B．长方形 C．正方形 D．等腰梯形 【答案】D 【分析】如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两边的部分能够完全重合，则这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，据此解答。 【解答】A．正三角形有3条对称轴； B．长方形有2条对称轴；     C．正方形有4条对称轴；     D．等腰梯形只有1条对称轴； 给出的图形中，只有1条对称轴的图形是等腰梯形。 故答案为：D 15．如图所示，在正方形纸上像这样剪出一个三角形，那么的度数是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】斜折上去的那条边就是正方形下面那条边，因为是对折，所以得到的三角形AOB是等边三角形；由此可知，∠OBA是60°，它的一半是60°÷2＝30°，那么∠1＝90°－30°＝60° ，据此解答。 【解答】根据分析可知，在正方形纸上像这样剪出一个三角形，那么的度数是60°。 故答案为：B 16．在直角三角形ABC中，如图∠A＝30°，且∠1＝∠2，则∠3等于（    ）。 A．30° B．60° C．70° D．80° 【答案】B 【分析】直角三角形中最大的角为直角，也就是90°，三角形的内角和为180°；用180°减去90°再减去∠A的度数，可以计算出∠1和∠2的度数和，因为∠1＝∠2，那么再除以2就可以计算出∠2的度数，最后用180°减去90°再减去∠2的度数，可以计算出∠3的度数；据此解答。 【解答】根据分析： （180°－90°－30°）÷2 ＝60°÷2 ＝30° 180°－90°－30°＝60° 所以∠3等于60°。 故答案为：B 三、计算题 17．在下图的三角形中，已知∠1＝65°，∠2＝60°，请求出∠4的度数。 【答案】125° 【分析】已知三角形的三个内角和是180°，三个内角有两个已经知道，要求未知的那一个内角，用180°连续减去两个内角的度数即可，据此可求出∠3的度数，又因为∠3和∠4组成一个平角，用180°减去∠3的度数就是∠4的度数。 【解答】∠3＝180°－65°－60°＝115°－60°＝55° ∠4＝180°－55°＝125° 18．如图，计算梯形中∠1、∠2、∠3的度数。 【答案】∠1＝；∠2＝；∠3＝ 【分析】根据三角形的内角和等于180度，直角是90度，可以求出∠1的度数；∠2的度数等于90度角减去∠1的度数；根据三角形的内角和等于180度，可知∠3的度数等于180度减130度再减∠2，据此解答即可。 【解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 所以。 四、操作题 19．在方格纸上画一个底4厘米、高3厘米的三角形，一个底3厘米、高4厘米的平行四边形。（每个小方格表示1平方厘米） 【答案】见详解 【分析】方格的面积为1平方厘米，所以方格的边长为1厘米；三角形的底4个格子长，高3个格子长，平行四边形的底3个格子长，高4个格子长，据此画图。 【解答】 （图形不唯一） 20．在下面的方格纸上画一个锐角三角形、一个直角三角形和一个钝角三角形，并分别画出它们的一条高。 【答案】见详解 【分析】锐角三角形：三个角都是锐角的三角形，叫做锐角三角形； 直角三角形：有一个角是直角的三角形，叫做直角三角形； 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形，叫做钝角三角形； 作高：找到三角形的一条底边，从底边所对的顶角作一条垂线垂直于底边，并画上垂足符号，这条垂线则为三角形的高； 【解答】根据分析可得：作图如下 五、解答题 21．如图，在一张上底20厘米、下底35厘米、高8厘米的梯形纸上剪下一个最大的长方形，这个长方形的面积是多少平方厘米？ 【答案】160平方厘米 【分析】由题意得，在一张上底20厘米、下底35厘米、高8厘米的梯形纸上剪下一个最大的长方形，那么长方形的长就是20厘米，宽是8厘米。长方形的面积＝长×宽，那么直接将数据代入即可算出长方形的面积。 【解答】20×8＝160（平方厘米） 答：这个长方形的面积是160平方厘米。 22．如图，等边三角形内有一个等腰三角形，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求∠6。图中的等腰三角形按角分是什么三角形？ 【答案】∠6＝120°；钝角三角形 【分析】三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形。有一个角是直角的三角形叫作直角三角形。有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形，三角形的内角和为180°。在等腰三角形中，两个底角相等。在等边三角形中，三个角都相等且每个角的度数都是60°。由题意得，等边三角形内有一个等腰三角形，∠1＝∠2，∠3＝∠4。由图可知，∠1和∠2合起来、∠3和∠4合起来都是等边三角形的内角，那么直接用60°除以2即可算出∠2和∠3的度数。∠2、∠3和∠6是等腰三角形的三个内角，那么直接用180°减去∠2和∠3的度数和即可算出∠6的度数。然后根据三个角的度数来判断三角形的类型即可。 【解答】∠1＝∠2，∠1＋∠2＝60°，那么∠2＝60°÷2＝30°。 ∠3＝∠4，∠3＋∠4＝60°，那么∠3＝60°÷2＝30°。 ∠6＝180°－（∠2＋∠3）＝180°－（30°＋30°）＝180°－60°＝120° ∠6是一个钝角，这个等腰三角形是钝角三角形。 答：∠6＝120°，这个等腰三角形是钝角三角形。 23．一个梯形的下底是上底的3倍，如果将这个梯形的上底延长8厘米，就变成了平行四边形。这个梯形的上、下底各是多少厘米？（先在图中画一画，再解答） 【答案】图见详解；上底4厘米；下底12厘米 【分析】根据题意，上底延长8厘米，就变成了平行四边形，平行四边形对边相等，则梯形的下底比上底多8厘米，下底是上底的3倍，则下底比上底多了上底的（3－1）倍，用8除以多的倍数，即可求出上底是多少厘米，用上底的长度乘3即可求出下底的长度。 【解答】 如图： 8÷（3－1） ＝8÷2 ＝4（厘米） 4×3＝12（厘米） 答：这个梯形的上底是4厘米，下底是12厘米。 24．有一根长10厘米的小棒，如果以它为一条边，围成一个周长是25厘米的三角形，还需要两根多长的小棒？（小棒长度都是整厘米数〉 【答案】3厘米和12厘米、4厘米和11厘米、5厘米和10厘米、6厘米和9厘米、7厘米和8厘米 【分析】根据题意，已知周长是25厘米的三角形，有一条边10厘米，另外两条边的长度之和为：25－10＝15（厘米）。根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；又知小棒长度都是整厘米数；可知：1＋14＝2＋13＝3＋12＝4＋11＝5＋10＝6＋9＝7＋8＝15；筛选出符合要求的答案即可。 【解答】根据分析可知： 25－10＝15（厘米） 1＋14＝2＋13＝3＋12＝4＋11＝5＋10＝6＋9＝7＋8＝15 1＋10＜14，2＋10＜13，不能组成三角形， 所以其余两条边长可以是3厘米和12厘米，也可以是4厘米和11厘米、5厘米和10厘米，6厘米和9厘米、7厘米和8厘米。 答：还需要两根小棒的长度可以是3厘米和12厘米、4厘米和11厘米、5厘米和10厘米、6厘米和9厘米、7厘米和8厘米。 25．有一个上底是4厘米，下底是7厘米的梯形。在这个梯形上剪一刀，刚好剪成了一个正方形和一个三角形。已知剪出的三角形中有一条边是5厘米，求这个梯形的周长。（要求：先画出草图再计算） 【答案】图见详解 20厘米 【分析】根据题意，剪一刀刚好剪成一个正方形和一个三角形，由此推断这个梯形是直角梯形，且垂直于两底的这条腰长度等于梯形上底的长，由此画出图形；三角形的底等于梯形的下底－上底，高等于梯形的高；根据梯形的周长公式：周长＝上底＋下底＋两个腰长，代入数据，求出梯形的周长即可。 【解答】 ＝ ＝ ＝20（厘米） 答：梯形的周长是20厘米。 26．有一个等腰三角形，底比腰短5厘米，底角是75°。 （1）它的顶角是（ ）°。 （2）把它的三条边紧贴桌面转一周后，测量长度为34厘米（如图），它的腰长（ ）厘米。 【答案】（1）30 （2）13 【分析】（1）等腰三角形的两个底角相等。三角形的内角和为180°。由题意得，等腰三角形的一个底角为75°，那么另一个底角的度数也为75°，直接用180°减去两个底角的度数即可得到顶角的度数。 （2）等腰三角形的周长＝两条腰的长度之和＋底边的长度。由题意得，等腰三角形的周长为34厘米。其中，底比腰短5厘米，那么直接用底的长度加上5厘米即可得到腰的长度。等腰三角形的周长加上5厘米就等于一条腰的长度的3倍，再用除法即可算出一条腰的长度。 【解答】（1）180°－75°－75° ＝105°－75° ＝30° 故这个等腰三角形的顶角是30°。 （2）（34＋5）÷3 ＝39÷3 ＝13（厘米） 这个等腰三角形的腰长为13厘米。 27．美美、丽丽、兴兴和花花四位同学研究三角形的内角和的学习记录如下图： 请你认真研究他们的学习记录单，看完后回答下列问题： （1）我的研究方法与同学 一样，我的研究结论是：三角形的内角和是 。 （2）我是这样得到这个研究结论的： 。 【答案】（1） 美美 180° （2）见详解 【分析】（1）说出自己求三角形内角和方法与上面哪位同学一样，求得的三角形内角和是多少度； （2）把自己得出三角形的内角和的度数的过程写出来即可。 【解答】（1）我的研究方法和美美同学一样。我的研究结论是：三角形的内角和是180°。 （2）美美：我先量出每个内角的度数，再相加，我测得，∠1是61°，∠2是75°，∠2是44°，三角形的内角和是180°。（答案不唯一，能说清研究过程即可） 丽丽：我把三角形的三个角撕下来，拼在一起，发现三个角正好拼成了一个平角，平角是180°的角，三角形的内角和是180°。（答案不唯一，能说清研究过程即可） 兴兴：我把三角形的三个角翻折下来，拼在一起，发现三个角正好拼成了一个平角，平角是180°的角，三角形的内角和是180°。（答案不唯一，能说清研究过程即可） 花花：根据长方形的四个角都是直角，可知，长方形的内角和是360°，沿对角线剪开把长方形，分成两个三角形，则每个三角形的三个角的度数和是长方形的四个角度数的一半，即360°÷2＝180°；然后沿长边把两个三角形拼成一个三角形，或沿宽边把两个三角形拼成一个三角形，都发现拼成的三角形的角比长方形剪成的两个三角形少了两个直角，即拼成的三角形的三个内角都是和是180°＋180°－90°×2＝180°；所以三角形的三个内角和是180°。（答案不唯一，能说清研究过程即可） 28．将一根12厘米长的线段剪成三段，围成一个三角形（边长取整厘米数），可以怎样剪？ （1）如果第一次从9厘米处剪开，那么第二次可以从（    ）厘米或（    ）厘米处剪开。 （2）第一次剪在中点6厘米处，可以吗？说说你的理由。 （3）如果剪完后拼成的是等腰三角形，三条边的长度分别是多少？请你想出两种剪法，并说明每条边各长多少厘米。（可以画图、列表或列算式，把思考过程记录下来） 【答案】（1）4；5 （2）不可以，不符合三角形三边关系 （3）4厘米、4厘米、4厘米；5厘米、5厘米、2厘米；思考过程见详解 【分析】（1）根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，从9厘米处剪开则一段是9厘米，另一段是3厘米，要符合三角形三边关系，则必须在9厘米的线段中再减一段，找出符合条件的剪法即可。 （2）如果从6厘米的地方减，则两段都是6厘米，无论剪哪段都有一条边是6厘米，而另外两条边的和都等于6厘米，两边之和等于第三边，不能构成三角形。 （3）等腰三角形两条腰相等，据此列出所有可能性，选出两种剪法即可。 【解答】（1）12－9＝3（厘米），另外两条边的和无论怎么剪都是9，9＞3，只需计算两边之差即可。 当另外两条边是1厘米和8厘米时： 8－1＝7（厘米），7＞3，两边之差大于第三边，不能构成三角形； 当另外两条边是2厘米和7厘米时：7－2＝5（厘米），5＞3，两边之差大于第三边，不能构成三角形； 当另外两条边是3厘米和6厘米时：6－3＝3（厘米），两边之差等于第三边，不能构成三角形； 当另外两条边是4厘米和5厘米时：5－4＝1（厘米），1＜3，两边之差小于第三边，能构成三角形。 如果第一次从9厘米处剪开，那么第二次可以从4厘米或5厘米处剪开。 （2）12＝6＝6（厘米） 答：不可以，因为两边之和等于第三边不能构成三角形。 （3）当腰是1厘米，底边是10厘米时：1＋1＝2（厘米），2＜10，两边之和小于第三边，不能构成三角形； 当腰是2厘米，底边是8厘米时：2＋2＝4（厘米），4＜8，两边之和小于第三边，不能构成三角形； 当腰是3厘米，底边是6厘米时：3＋3＝6（厘米），两边之和等于第三边，不能构成三角形； 当腰是4厘米，底边是4厘米时：三条边都相等的三角形是等边三角形也是特殊的等腰三角形； 当腰是5厘米，底边是2厘米时：5＋2＝7（厘米），7＞5，5－2＝3（厘米），3＜5，能构成三角形。 答：如果剪完后拼成的是等腰三角形，三条边的长度分别是4厘米、4厘米、4厘米或5厘米、5厘米、2厘米。 29．用相同的直角三角形进行拼图游戏（如下图），请观察图中的拼图规律，第⑤幅图的周长是多少厘米？照这样排下去，第⑩幅图的周长是多少厘米？（请用图片、文字或算式写出你的思考过程） 【答案】26厘米；42厘米 【分析】第⑤幅图是由6个三角形拼成的长方形，这个长方形的长是3个3厘米，宽是4厘米，根据长方形周长公式，先求出3个3与1个4的和，再乘2即可求出其周长；第①幅图是由2个三角形拼成的，第②幅图是由3个三角形拼成的，第③幅图是由4个三角形拼成的，据此推算第⑩幅图是由11个三角形拼成的，看拼成的图横向的边由几个3厘米的线段组成，再加左右两边的线段长度即可求出其周长。 【解答】第⑤幅图的周长：（3＋3＋3＋4）×2 ＝（6＋3＋4）×2 ＝（9＋4）×2 ＝13×2 ＝26（厘米）    第⑩幅图的周长： 11×3＋4＋5 ＝33＋4＋5 ＝37＋5 ＝42（厘米） 答：第⑤幅图的周长是26厘米，照这样排下去，第⑩幅图的周长是42厘米。 【点评】找出图形变化的规律是解答的关键，图中变化的是三角形的个数。 学科网（北京）股份有限公司 $$