第六单元 圆（知识清单）-2024-2025学年五年级数学下学期期末复习讲练测（苏教版）

第六单元 圆（知识清单） （知识梳理+重点提炼+易错集锦+巩固拔高） 01 知识梳理 1、圆的特征。 圆是由曲线围成的封闭图形，没有顶点。 2、圆的各部分的名称。 （1）圆心：用圆规画圆时，针尖固定的一点是圆心，通常用字母O表示，圆心决定圆的位置。 （2）半径：连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母r表示。半径决定圆的大小，半径越长，圆越大；半径越短，圆越小。 （3）直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母d表示。 3、半径和直径的特征及圆的对称性。 （1）圆有无数条直径和半径。在同圆或者等圆中，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半，用字母表示是d=2r或r=。 （2）圆是轴对称图形，有无数条对称轴，每一条直径所在的直线都是圆的对称轴。 4、圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 5、圆的画法： （1）把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离。 （2）把有针尖的脚固定在一点上。 （3）把装有铅笔芯的脚旋转一周，就画成了一个圆。旋转圆规时，两脚间的距离不能变。 6、如图，由圆的两条半径和对应的一段曲线围成的图形叫作扇形（即图中阴影部分）。A、B两点之间的曲线是弧，它是圆的一部分。 7、像上图中∠1那样，顶点在圆心的角叫作圆心角。 圆心角的大小：把量角器的0°刻度线和圆心角的一边重合，角的另一边对应的刻度是多少，这个圆心角就是多少度。 8、弧的意义：圆上任意两点之间的曲线叫作弧。 9、圆的周长的意义。 围成圆的曲线的长叫作圆的周长。 10、圆周率的意义。 任何一个圆的周长除以直径的商都是一个固定的数，叫作圆周率，用字母π表示，π是一个无限不循环小数。π=3.141592653…在计算时，一般保留两位小数，取它的近似值3.14。 11、圆的周长的公式。 如果用C表示圆的周长，那么周长C与直径d或半径r的关系：C=πd或C=2πr。 12、圆的面积的估算。 圆的面积可以用画正方形的方法来估算，圆的面积比以它的半径为边长的正方形面积的3倍多一些。估算时，圆的面积大约等于半径×半径×3。 13、在推导圆的面积计算公式时，把圆分成偶数等份，然后拼成一个近似的长方形，根据长方形的面积计算公式推导出圆的面积计算公式。 14、圆的面积计算公式：圆的面积等于圆周率乘半径的平方。如果用S表示圆的面积，r表示圆的半径，那么圆的面积计算公式是S=πr2。 15、运用圆的面积公式解决问题。 运用圆的面积公式解决问题，关键是先找准或求出圆的半径，然后运用圆的面积公式即可求出圆的面积。 16、圆环的面积。 圆环是由两个半径不同的同心圆构成的，环形面积就是两个圆之间的部分的面积，故圆环面积等于外圆面积减去内圆面积。 用字母表示为s = πR2-πr2（R表示外圆半径，r表示内圆半径）。 17、简单组合图形的面积。 对于组合图形的面积的计算，可以先把它分解成两个或几个规则图形的和或差，再计算这些规则图形的面积的和或差，从而求出组合图形的面积。 02 重点提炼 1、在观察、画图、测量等活动中认识圆，掌握圆的有关特征；了解圆的各部分名称，会用字母表示圆的各部分名称。 2、能用圆规画指定大小的圆，理解同圆或等圆中半径和直径的关系。 3、初步理解弧、圆心角和扇形的意义，了解扇形的特征。 4、通过观察、测量、计算、归纳等活动，探究圆周率和圆的周长公式；掌握圆的周长公式，并会用字母表示。 5、通过操作、观察、填表、验证、讨论和归纳等教学活动，探索、掌握圆的面积公式，能运用圆的面积公式计算圆的面积。 6、理解圆环的意义以及圆环面积公式的推导过程；能正确运用圆环的面积公式计算圆环的面积。 03 易错集锦 易错点1：圆的特征的理解。 误区点拨： （1）误认为圆的直径都是半径的2倍，忽略前提条件：同圆或等圆。 （2）圆的特征的前提条件是在同圆中或者等圆中。圆有无数条对称轴，也就是直径所在的直线，不能说成直径就是对称轴。 易错点2：圆周率的理解。 误区点拨： （1）误认为π就是3.14。 （2）圆周率是一个无限不循环小数，在计算时一般保留两位小数，取它的近似值3.14，但不能说成π就是3.14。 易错点3：求半圆的周长。 误区点拨： （1）求半圆的周长时，容易只计算出圆周长的一半，而忽略了直径。 （2）半圆的周长包括两个部分，一部分是圆的周长的一半，另一部分是一条直径，所以在计算时求出圆周长的一半后，不要忘记加上直径的长度，这样才能求出半圆的周长。 易错点4：求环形的面积发生错误。 误区点拨： （1）求圆环的面积时容易用环形的宽度的平方乘3.14。 （2）对于环形的面积计算，先要找出外圆的半径和内圆的半径，然后根据公式来计算。当题目中知道环宽时，要先求出外圆或内圆的半径，然后求面积。 04 巩固拔高 一、填空题 1．一个圆形花坛的直径是3米，它的面积是（ ）平方米；绕花坛走一圈，至少要走（ ）米。 【答案】7.065 9.42 【分析】根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，求出花坛的面积；求绕花坛走一圈，至少要走多少米，就是求花坛的周长，根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，即可解答。 【解答】3.14×（3÷2）2 ＝3.14×1.52 ＝3.14×2.25 ＝7.065（平方米） 3.14×3＝9.42（米） 一个圆形花坛的直径是3米，它的面积是7.065平方米；绕花坛走一圈，至少要走9.42米。 2．下面各图的涂色部分中，哪些是扇形？在括号里画“√”。 【答案】见详解 【分析】扇形的定义是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形。我们根据这个定义来判断每个图中的涂色部分是否为扇形。 【解答】第一个图：观察，可以看到涂色部分是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的，符合扇形的定义，所以是扇形。 第二个图：涂色部分不是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的，不符合扇形的定义，所以不是扇形。 第三个图：它是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的，符合扇形的定义，所以是扇形。 第四个图：涂色部分不是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的，不符合扇形的定义，所以不是扇形。 3．一辆自行车的轮胎外直径约是70厘米，车轮转100周，可前进（ ）米。 【答案】219.8 【分析】车轮前进一周就是轮胎转一圈即为轮胎的周长，根据圆的周长＝πd，再乘100即可。最后要除以100将厘米转化为米。 【解答】3.14×70×100 ＝219.8×100 ＝21980（厘米） 21980厘米＝219.8米 则可前进219.8米。 4．在一个边长10厘米的正方形内画一个最大的圆，圆的直径是（ ）厘米，圆的周长是（ ）厘米；在一个长4分米、宽2分米的长方形内画一个最大的圆，圆的直径是（ ）分米，圆的周长是（ ）分米。 【答案】10 31.4 2 6.28 【分析】在正方形内画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长；根据圆的周长公式：周长＝π×直径；代入数据，求出圆的周长。 长方形内画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽；再根据圆的周长公式，求出圆的周长。 【解答】在一个边长10厘米的正方形内画最大的圆，圆的直径是10厘米。 3.14×10＝31.4（厘米） 在一个长4分米、宽2分米的长方形内画最大的圆，圆的直径是2分米。 3.14×2＝6.28（分米） 在一个边长10厘米的正方形内画一个最大的圆，圆的直径是10厘米，圆的周长是31.4厘米；在一个长4分米、宽2分米的长方形内画一个最大的圆，圆的直径是2分米，圆的周长是6.28分米。 5．圆的半径由6厘米增加到9厘米，圆的周长增加了（ ）厘米，圆的面积增加了（ ）平方厘米。 【答案】18.84 141.3 【分析】第一问：根据圆的周长公式，代入数据分别计算出原来圆的周长和增加后圆的周长，再相减即可。 第二问：根据圆的面积公式，代入数据分别计算出原来圆的面积和增加后圆的面积，再相减即可。 【解答】 （厘米） （平方厘米） 圆的半径由6厘米增加到9厘米，圆的周长增加了18.84厘米，圆的面积增加了141.3平方厘米。 6．观察图中三个同心圆，可以发现： 。 【答案】圆的位置没有变化，大小发生变化，即半径依次增加1cm 【分析】根据圆的位置，以及圆的大小，即圆的半径之间的变化，进行解答。 【解答】圆的位置没有变化，大小发生变化，即半径依次增加1cm。（说法合理即可） 7．在一个钟面上，时针长6厘米，分针长10厘米。从3时整到3时25分，分针扫过的区域可以看作扇形，这个扇形的圆心角是（ ）°，半径是（ ）厘米。 【答案】150 10 【分析】分析题目，从3时整到3时25分经过了25分钟，分针在钟面上转一圈是60分钟，据此用25÷60×360°即可求出圆心角的度数，扇形的半径是就是分针的长度，据此解答。 【解答】3时25分－3时＝25（分钟） 25÷60×360° ＝×360° ＝150° 在一个钟面上，时针长6厘米，分针长10厘米。从3时整到3时25分，分针扫过的区域可以看作扇形，这个扇形的圆心角是150°，半径是10厘米。 8．在周长为16厘米的正方形内画一个最大的圆，圆的面积是（ ）平方厘米；如果在周长为24厘米的正方形内画一个最大的扇形，扇形的半径是（ ）厘米。 【答案】12.56 6 【分析】正方形内画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长；根据正方形周长公式：周长＝边长×4，边长＝周长÷4，代入数据，求出正方形的边长，也就是正方形内最大圆的直径，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，求出圆的面积。 正方形内画最大的扇形，扇形的半径等于正方形的边长，据此解答。 【解答】16÷4＝4（厘米） 3.14×（4÷2）2 ＝3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 24÷4＝6（厘米） 周长为16厘米的正方形内画一个最大的圆，圆的面积是12.56平方厘米；如果在周长为24厘米的正方形内画一个最大的扇形，扇形的半径是6厘米。 二、选择题 9．如果一个圆的直径增加2厘米，那么它的周长增加（    ）厘米。 A．π B．2π C．4π D．无法确定 【答案】B 【分析】设原来圆的直径为d厘米，则后来的圆的直径为（d＋2）厘米，那么原来圆的周长＝d，增加后的圆的周长＝（d＋2）厘米，然后用“原来圆的周长－后来圆的周长”解答即可。 【解答】设原来圆的直径为d厘米。 （d＋2）－d ＝d＋2－d ＝2（厘米） 所以如果一个圆的直径增加2厘米，那么它的周长增加2厘米。 故答案为：B 10．一只时钟的分针长10厘米，从2时到4时，分针的尖端走过了（    ）厘米。 A．314 B．62.8 C．125.6 D．20 【答案】C 【分析】钟面上分针转一圈是1小时，从2时到4时，经过2小时，分针转2圈。分针转一圈时，针尖走过的路程等于半径为10厘米的圆的周长，根据圆的周长公式C＝2πr求出一周的长度，再乘2即可。 【解答】4时－2时＝2（小时） 分针转2圈。 2×3.14×10×2＝125.6（厘米） 分针的尖端走过了125.6厘米。 故答案为：C 11．如图（单位：厘米），阴影部分的面积是（    ）平方厘米。取 A．50.24 B．18.24 C．32 D．16 【答案】B 【分析】阴影面积是一个不规则图形，可以利用割补法和移补法，将左下角正方形的阴影部分移补到右上角小正方形左上角的空白处，如图： 这样阴影部分的面积＝以8厘米为半径的扇形BAD面积＋长方形BCFE面积－大正方形ABCD的面积。扇形面积公式：S＝πR2，正方形的四个角是直角90°，所以扇形的圆心角是90°，据此列式解答即可。 【解答】根据分析： 4＋4＝8（厘米） ×π×82 ＝×3.14×64 ＝50.24（平方厘米） 4×8＝32（平方厘米） 8×8＝64（平方厘米） 50.24＋32－64＝18.24（平方厘米） 阴影部分的面积是18.24平方厘米。 故答案为：B 【点评】本题关键是利用割补法和移补法，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积，再进行解答。 12．一根铁丝长为10.28dm。如果把它围成一个半圆，那么这个半圆的面积是（    ）dm2。 A．25.12 B．6.28 C．12.56 D．18.84 【答案】B 【分析】根据题意，用一根长为10.28dm的铁丝围成一个半圆，那么这个半圆的周长等于这根铁丝的长度； 根据半圆的周长＝圆周长的一半＋直径＝2πr÷2＋2r，其中圆的周长公式C＝2πr，圆的直径d＝2r，据此列出方程，求出半圆的半径； 根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积，再除以2，即是这个半圆的面积。 【解答】解：设半圆的半径是rdm。 2×3.14×r÷2＋2r＝10.28 3.14r＋2r＝10.28 5.14r＝10.28 5.14r÷5.14＝10.28÷5.14 r＝2 半圆的面积： 3.14×22÷2 ＝3.14×4÷2 ＝6.28（dm2） 那么这个半圆的面积是6.28dm2。 故答案为：B 13．在一个边长是6cm的正方形内，能画出的圆的直径最大是（    ）。 A．12cm B．3cm C．6cm D．2cm 【答案】C 【分析】根据题意，要在正方形里画一个最大的圆，那么这个圆的直径等于正方形的边长，据此解答。 【解答】如图： 在一个边长是6cm的正方形内，能画出的圆的直径最大是6cm。 故答案为：C 14．如图，在正方形内画一个最大的圆，正方形的周长是圆直径的4倍。在圆内再画一个正六边形，正六边形的顶点都在圆上，则正六边形的周长是圆直径的（    ）倍。 A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】A 【分析】看图可知，正六边形被分割成6个等边三角形，所以正六边形的边长是圆的半径，正六边形的周长是半径的6倍。用r来表示圆的半径，那么正六边形的周长是6r，圆直径是2r。将正六边形的周长除以圆直径，求出正六边形的周长是圆直径的几倍。 【解答】6r÷2r＝3 所以正六边形的周长是圆直径的3倍。 故答案为：A 15．下面关于扇形的说法正确的是（    ）。 A．扇形是所在圆的一部分，圆的一部分是扇形 B．在同一圆内，圆心角越大，扇形也就越大 C．扇形有无数条对称轴 D．扇形的圆心角大于0°，小于180° 【答案】B 【分析】A选项：因为一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形，所以圆的一部分是一段弧，而不是扇形； B选项：根据圆心角、弦、弧的关系，得到在同一个圆中，圆心角越大，所对应的弧线越长，得到的扇形面积越大，圆心角越小，所对应的弧线越短，扇形的面积越小。 C选项：轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据定义可知，扇形是轴对称图形，只有1条对称轴。 D选项：一条圆弧和经过这条圆弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形，所以，扇形的圆心角可以等于180°，也可以大于180°。 【解答】A．圆的一部分是一段弧，而不是扇形；原题干说法错误； B．在同一圆内，圆心角越大，所对应的弧线越长，扇形也就越大；原题干说法正确； C．扇形是轴对称图形，只有1条对称轴；原题干说法错误； D．扇形的圆心角可以等于180°，也可以大于180°，原题干说法错误。 故答案为：B 16．草地上有一只羊，用3m长的绳子把它拴在木桩上，它能吃到草的面积是（    ）m2，如果拴羊的绳子再加长1m，羊可以多吃到（    ）m2的草。 A．28.26；21.98 B．12.56；21.98；9.42 C．21.98 D．12.56；9.42 【答案】A 【分析】羊能吃到草的范围是以木桩为圆心，以绳长为半径的圆。我们需要根据圆的面积公式S＝分别计算出两种情况下羊能吃到草的面积，然后求出面积差。 【解答】3.14× ＝3.14×9 ＝28.26（） 3＋1＝4（m） 3.14× ＝3.14×16 ＝50.24（） 50.24－28.26＝21.98（） 所以它能吃到草的面积是28.26，如果拴羊的绳子再加长1m，羊可以多吃到21.98m2的草。 故答案为：A 三、计算题 17．求涂色图形的周长。（单位：dm） 【答案】72dm；31.4dm 【分析】图一涂色部分的周长可以看作一个宽16dm，长20dm长方形的周长，根据长方形的周长＝（a＋b）×2，代入数据解答即可； 图二涂色部分的周长可以看作一个直径为10dm圆的周长，根据圆的周长公式C＝πd，代入数据计算求解。 【解答】（16＋20）×2 ＝36×2 ＝72（dm） 3.14×10＝31.4（dm） 图一涂色部分的周长是72dm，图二涂色部分的周长是31.4dm。 18．求下面各图中涂色部分的面积。 【答案】75.36平方米；164.48平方分米；37.68平方厘米 【分析】左边图形：阴影部分是一个圆环，根据圆环的面积公式：面积＝π（R2－r2），代入数据，即可解答。 中间图形：阴影部分面积＝直径是16分米圆面积的一半＋底是16分米、高是（16÷2）分米的三角形面积；根据圆的面积公式：面积＝πr2，三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，即可解答。 右边图形：阴影部分面积＝直径是8厘米圆的面积－直径是（8÷2）厘米圆的面积，代入圆的面积公式，即可解答。 【解答】左边图形： 3.14×（72－52） ＝3.14×（49－25） ＝3.14×24 ＝75.36（平方米） 阴影部分的面积是75.36平方米。 中间图形： 3.14×（16÷2）2÷2＋16×（16÷2）÷2 ＝3.14×82÷2＋16×8÷2 ＝3.14×64÷2＋128÷2 ＝100.48＋64 ＝164.48（平方分米） 阴影部分的面积是164.48平方分米。 右边图形： 3.14×（8÷2）2－3.14×（8÷2÷2）2 ＝3.14×42－3.14×（4÷2）2 ＝3.14×16－3.14×22 ＝50.24－3.14×4 ＝50.24－12.56 ＝37.68（平方厘米） 阴影部分面积是37.68平方厘米。 19．计算下面各涂色部分的周长。（单位：厘米） 【答案】25.12厘米；12.56厘米 【分析】左侧图中：涂色部分周长＝直径为8厘米的大圆周长的一半＋两个白色小圆周长的各自一半，把图中的白色大半圆直径设为a厘米，白色小半圆直径设为b厘米，那么两个小圆周长的各自一半的和就是（aπ＋bπ）÷2，而a＋b＝8，所以左侧涂色部分的周长就相当于是一个直径是8厘米圆的周长。右侧图中：涂色部分周长是两个圆心角为90°的扇形弧长的和，也就是半径是4厘米的圆周长的一半，根据C＝πd计算解答。 【解答】3.14×8＝25.12（厘米） 涂色部分周长是25.12厘米。 3.14×（2×4）÷2 ＝3.14×8÷2 ＝25.12÷2 ＝12.56（厘米） 涂色部分周长是12.56厘米。 四、操作题 20．下面的图形各能画出几条对称轴？画一画，填一填。 （   ）条      （   ）条        （   ）条       （   ）条 【答案】图见详解；3；4；6；无数 【分析】一个图形沿一条直线对折后，折痕两旁的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴。 【解答】如图： 五、解答题 21．一个直角三角形的面积是12平方厘米，一条直角边长4厘米。以另一条直角边为直径画一个圆，这个圆的面积是多少平方厘米？ 【答案】28.26平方厘米 【分析】直角三角形的两条直角边互为彼此的底和高，直角三角形的面积＝一条直角边×另一条直角边÷2，另一条直角边＝直角三角形的面积×2÷已知的直角边，另一条直角边等于圆的直径，利用“”求出这个圆的面积，据此解答。 【解答】12×2÷4 ＝24÷4 ＝6（厘米） 3.14×（6÷2）2 ＝3.14×32 ＝28.26（平方厘米） 答：这个圆的面积是28.26平方厘米。 22．景秀小区里有一个圆形花坛，周长为100.48米，中间有一个底座为圆形的雕塑，底座半径为6米。这个花坛中除雕塑外的部分种满了太阳花，太阳花的种植面积是多少平方米？ 【答案】690.8平方米 【分析】根据圆的周长＝，则周长÷3.14÷2，求出周长是100.48米圆形花坛的半径，再根据圆的面积＝，分别求出花坛和雕塑的面积，用花坛的面积减去雕塑的面积就是太阳花的种植面积。 【解答】100.48÷3.14÷2 ＝32÷2 ＝16（米） 3.14×162－3.14×62 ＝3.14×（162－62） ＝3.14×（256－36） ＝3.14×220 ＝690.8（平方米） 答：太阳花的种植面积是690.8平方米。 23．如下图，已知中间小圆的直径是4厘米，图中正方形的面积是10平方厘米，则图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】14.13平方厘米 【分析】看图可知，正方形的边长是大圆的半径。正方形面积＝边长×边长，即正方形的面积等于大圆半径的平方。将小圆的直径除以2，求出小圆的半径。圆面积＝πr2，据此求出大圆和小圆的面积。再将大圆面积减去小圆面积求出圆环的面积。由图可知，将圆环平均分成4份，阴影部分占其中的3份。那么将圆环的面积除以4，求出每份的面积，再乘3即可求出阴影部分的面积。 【解答】3.14×10－3.14×（4÷2）2 ＝31.4－3.14×22 ＝31.4－3.14×4 ＝31.4－12.56 ＝18.84（平方厘米） 18.84÷4×3＝14.13（平方厘米） 答：图中阴影部分的面积是14.13平方厘米。 24．一台压路机的前轮半径是0.5米，如果前轮每分转动8周，20分可以从路的一端转到另一端，这条路约长多少米？ 【答案】502.4米 【分析】前轮是圆形的，根据圆周长＝2πr列式求出前轮的周长，再将周长乘8，求出每分钟前轮压过的路程。速度×时间＝路程，将前轮每分钟压过的路程乘20，即可求出20分钟的路程，即这条路约长多少米。 【解答】2×3.14×0.5×8×20 ＝3.14×8×20 ＝25.12×20 ＝502.4（米） 答：这条路约长502.4米。 25．一根绳子长31.4米，把它围成一个正方形或圆形。是围成的正方形面积大，还是围成的圆形面积大？大多少？ 【答案】围成的圆形面积大，大16.8775平方米。 【分析】这根绳子就是正方形和圆形的周长，根据圆的周长公式的逆运算，用圆的周长除以圆周率再除以2可得半径，再根据圆的面积公式代入数据可得圆的面积，再根据的逆运算，用正方形的周长除以4可得边长，再根据，代入数据可得正方形的面积。最后比较圆和正方形的面积的大小，再相减即可得解。 【解答】 （平方米） （平方米） （平方米） 答：围成的圆形面积大，大16.8775平方米。 26．小方骑自行车到学校用10分钟，这辆自行车的车轮外直径大约是70厘米。按车轮每分钟转100圈计算，从小方家到学校大约有多少米？ 【答案】2198米 【分析】已知自行车的车轮外直径大约是70厘米，根据圆的周长公式C＝πd，求出自行车转一圈行驶的距离；再乘100，即是车轮每分钟行驶的距离，也就是自行车的速度； 已知小方骑自行车到学校用10分钟，根据“路程＝速度×时间”，求出小方家到学校的距离。注意单位的换算：1米＝100厘米。 【解答】3.14×70＝219.8（厘米） 219.8×100×10＝219800（厘米） 219800厘米＝2198米 答：从小方家到学校大约有2198米。 27．下面有两个长为3cm、宽为2cm的长方形，在左边长方形中画一个最大的圆，右边的长方形中画一个最大的半圆。 算一算，比一比，圆和半圆，哪个面积大？ 【答案】图见详解；半圆的面积大 【分析】长方形内画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽；据此画圆；再求出圆的半径，再根据圆的面积公式，面积＝π×半径2，代入数据，求出圆的面积。 长方形内画最大的半径，圆的直径等于长方形的长，据此画出半圆；再求出圆的半径，再带入圆的面积公式，求出半径的面积，再进行比较，即可解答。 【解答】如图： 圆的面积： 3.14×（2÷2）2 ＝3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（平方厘米） 半圆面积： 3.14×（3÷2）2÷2 ＝3.14×1.52÷2 ＝3.14×2.25÷2 ＝7.065÷2 ＝3.5325（平方厘米） 3.14＜3.5325，半圆的面积大。 答：半圆的面积大。 28．一个运动场，两端是半圆，中间是长方形。 （1）这个运动场的占地面积是多少平方米？ （2）如果绕着这个运动场跑3圈，要跑多少米？ 【答案】（1）2851.84平方米 （2）685.44米 【分析】（1）观察图形，运动场两端是两个完全一样的半圆，合起来是一个圆。这个运动场的占地面积＝圆的面积＋长方形的面积，根据圆的面积公式S＝πr2，长方形的面积公式S＝ab，代入数据计算求解。 （2）这个运动场的周长＝圆的周长＋2条直跑道的长度，根据圆的周长公式C＝πd，代入数据计算求出这个运动场的周长，再乘3，即是绕着这个运动场跑3圈的米数。 【解答】（1）3.14×（32÷2）2＋64×32 ＝3.14×162＋2048 ＝3.14×256＋2048 ＝803.84＋2048 ＝2851.84（平方米） 答：这个运动场的占地面积是2851.84平方米。 （2）3.14×32＋64×2 ＝100.48＋128 ＝228.48（米） 228.48×3＝685.44（米） 答：绕着这个运动场跑3圈，要跑685.44米。 29．下面每个正方形中都画了一个最大的圆。 （1）分别计算每个图形中圆的面积占正方形面积的几分之几。 （2）通过计算，你有什么发现？又有什么猜想？再举几个例子验证一下。 【答案】（1）每个图形中圆的面积都占正方形面积的。 （2）见详解 【分析】（1）观察可知，正方形的边长与圆的直径相等，根据正方形的面积公式和圆的面积公式分别求出正方形和圆的面积，再根据求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算。据此解答。 （2）根据计算的结果，会发现图中圆的面积占正方形面积的分率都相等，可以猜想：任意正方形中最大的圆的面积占正方形面积的分率一定。 再举例，在边长为20cm的正方形中画最大的圆，计算圆的面积占正方形面积的分率；在边长为100cm的正方形中画最大的圆，计算圆的面积占正方形面积的分率。证实猜想是否成立，据此解答。 【解答】（1） 答：每个图形中圆的面积都占正方形面积的。 （2）我发现：所给三个图形中，圆的面积占正方形面积的分率都相等。 猜想：任意正方形中最大的圆的面积占正方形面积的分率都是。 举例：①边长为20cm的正方形中画出最大的圆的直径为20cm。 ②边长为100cm的正方形中画出最大的圆的直径为100cm。 则上述猜想成立。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六单元 圆（知识清单） （知识梳理+重点提炼+易错集锦+巩固拔高） 01 知识梳理 1、圆的特征。 圆是由曲线围成的封闭图形，没有顶点。 2、圆的各部分的名称。 （1）圆心：用圆规画圆时，针尖固定的一点是圆心，通常用字母O表示，圆心决定圆的位置。 （2）半径：连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母r表示。半径决定圆的大小，半径越长，圆越大；半径越短，圆越小。 （3）直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母d表示。 3、半径和直径的特征及圆的对称性。 （1）圆有无数条直径和半径。在同圆或者等圆中，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半，用字母表示是d=2r或r=。 （2）圆是轴对称图形，有无数条对称轴，每一条直径所在的直线都是圆的对称轴。 4、圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 5、圆的画法： （1）把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离。 （2）把有针尖的脚固定在一点上。 （3）把装有铅笔芯的脚旋转一周，就画成了一个圆。旋转圆规时，两脚间的距离不能变。 6、如图，由圆的两条半径和对应的一段曲线围成的图形叫作扇形（即图中阴影部分）。A、B两点之间的曲线是弧，它是圆的一部分。 7、像上图中∠1那样，顶点在圆心的角叫作圆心角。 圆心角的大小：把量角器的0°刻度线和圆心角的一边重合，角的另一边对应的刻度是多少，这个圆心角就是多少度。 8、弧的意义：圆上任意两点之间的曲线叫作弧。 9、圆的周长的意义。 围成圆的曲线的长叫作圆的周长。 10、圆周率的意义。 任何一个圆的周长除以直径的商都是一个固定的数，叫作圆周率，用字母π表示，π是一个无限不循环小数。π=3.141592653…在计算时，一般保留两位小数，取它的近似值3.14。 11、圆的周长的公式。 如果用C表示圆的周长，那么周长C与直径d或半径r的关系：C=πd或C=2πr。 12、圆的面积的估算。 圆的面积可以用画正方形的方法来估算，圆的面积比以它的半径为边长的正方形面积的3倍多一些。估算时，圆的面积大约等于半径×半径×3。 13、在推导圆的面积计算公式时，把圆分成偶数等份，然后拼成一个近似的长方形，根据长方形的面积计算公式推导出圆的面积计算公式。 14、圆的面积计算公式：圆的面积等于圆周率乘半径的平方。如果用S表示圆的面积，r表示圆的半径，那么圆的面积计算公式是S=πr2。 15、运用圆的面积公式解决问题。 运用圆的面积公式解决问题，关键是先找准或求出圆的半径，然后运用圆的面积公式即可求出圆的面积。 16、圆环的面积。 圆环是由两个半径不同的同心圆构成的，环形面积就是两个圆之间的部分的面积，故圆环面积等于外圆面积减去内圆面积。 用字母表示为s = πR2-πr2（R表示外圆半径，r表示内圆半径）。 17、简单组合图形的面积。 对于组合图形的面积的计算，可以先把它分解成两个或几个规则图形的和或差，再计算这些规则图形的面积的和或差，从而求出组合图形的面积。 02 重点提炼 1、在观察、画图、测量等活动中认识圆，掌握圆的有关特征；了解圆的各部分名称，会用字母表示圆的各部分名称。 2、能用圆规画指定大小的圆，理解同圆或等圆中半径和直径的关系。 3、初步理解弧、圆心角和扇形的意义，了解扇形的特征。 4、通过观察、测量、计算、归纳等活动，探究圆周率和圆的周长公式；掌握圆的周长公式，并会用字母表示。 5、通过操作、观察、填表、验证、讨论和归纳等教学活动，探索、掌握圆的面积公式，能运用圆的面积公式计算圆的面积。 6、理解圆环的意义以及圆环面积公式的推导过程；能正确运用圆环的面积公式计算圆环的面积。 03 易错集锦 易错点1：圆的特征的理解。 误区点拨： （1）误认为圆的直径都是半径的2倍，忽略前提条件：同圆或等圆。 （2）圆的特征的前提条件是在同圆中或者等圆中。圆有无数条对称轴，也就是直径所在的直线，不能说成直径就是对称轴。 易错点2：圆周率的理解。 误区点拨： （1）误认为π就是3.14。 （2）圆周率是一个无限不循环小数，在计算时一般保留两位小数，取它的近似值3.14，但不能说成π就是3.14。 易错点3：求半圆的周长。 误区点拨： （1）求半圆的周长时，容易只计算出圆周长的一半，而忽略了直径。 （2）半圆的周长包括两个部分，一部分是圆的周长的一半，另一部分是一条直径，所以在计算时求出圆周长的一半后，不要忘记加上直径的长度，这样才能求出半圆的周长。 易错点4：求环形的面积发生错误。 误区点拨： （1）求圆环的面积时容易用环形的宽度的平方乘3.14。 （2）对于环形的面积计算，先要找出外圆的半径和内圆的半径，然后根据公式来计算。当题目中知道环宽时，要先求出外圆或内圆的半径，然后求面积。 04 巩固拔高 一、填空题 1．一个圆形花坛的直径是3米，它的面积是（ ）平方米；绕花坛走一圈，至少要走（ ）米。 2．下面各图的涂色部分中，哪些是扇形？在括号里画“√”。 3．一辆自行车的轮胎外直径约是70厘米，车轮转100周，可前进（ ）米。 4．在一个边长10厘米的正方形内画一个最大的圆，圆的直径是（ ）厘米，圆的周长是（ ）厘米；在一个长4分米、宽2分米的长方形内画一个最大的圆，圆的直径是（ ）分米，圆的周长是（ ）分米。 5．圆的半径由6厘米增加到9厘米，圆的周长增加了（ ）厘米，圆的面积增加了（ ）平方厘米。 6．观察图中三个同心圆，可以发现： 。 7．在一个钟面上，时针长6厘米，分针长10厘米。从3时整到3时25分，分针扫过的区域可以看作扇形，这个扇形的圆心角是（ ）°，半径是（ ）厘米。 8．在周长为16厘米的正方形内画一个最大的圆，圆的面积是（ ）平方厘米；如果在周长为24厘米的正方形内画一个最大的扇形，扇形的半径是（ ）厘米。 二、选择题 9．如果一个圆的直径增加2厘米，那么它的周长增加（    ）厘米。 A．π B．2π C．4π D．无法确定 10．一只时钟的分针长10厘米，从2时到4时，分针的尖端走过了（    ）厘米。 A．314 B．62.8 C．125.6 D．20 11．如图（单位：厘米），阴影部分的面积是（    ）平方厘米。取 A．50.24 B．18.24 C．32 D．16 12．一根铁丝长为10.28dm。如果把它围成一个半圆，那么这个半圆的面积是（    ）dm2。 A．25.12 B．6.28 C．12.56 D．18.84 13．在一个边长是6cm的正方形内，能画出的圆的直径最大是（    ）。 A．12cm B．3cm C．6cm D．2cm 14．如图，在正方形内画一个最大的圆，正方形的周长是圆直径的4倍。在圆内再画一个正六边形，正六边形的顶点都在圆上，则正六边形的周长是圆直径的（    ）倍。 A．3 B．4 C．6 D．9 15．下面关于扇形的说法正确的是（    ）。 A．扇形是所在圆的一部分，圆的一部分是扇形 B．在同一圆内，圆心角越大，扇形也就越大 C．扇形有无数条对称轴 D．扇形的圆心角大于0°，小于180° 16．草地上有一只羊，用3m长的绳子把它拴在木桩上，它能吃到草的面积是（    ）m2，如果拴羊的绳子再加长1m，羊可以多吃到（    ）m2的草。 A．28.26；21.98 B．12.56；21.98；9.42 C．21.98 D．12.56；9.42 三、计算题 17．求涂色图形的周长。（单位：dm） 18．求下面各图中涂色部分的面积。 19．计算下面各涂色部分的周长。（单位：厘米） 四、操作题 20．下面的图形各能画出几条对称轴？画一画，填一填。 （   ）条      （   ）条        （   ）条       （   ）条 五、解答题 21．一个直角三角形的面积是12平方厘米，一条直角边长4厘米。以另一条直角边为直径画一个圆，这个圆的面积是多少平方厘米？ 22．景秀小区里有一个圆形花坛，周长为100.48米，中间有一个底座为圆形的雕塑，底座半径为6米。这个花坛中除雕塑外的部分种满了太阳花，太阳花的种植面积是多少平方米？ 23．如下图，已知中间小圆的直径是4厘米，图中正方形的面积是10平方厘米，则图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 24．一台压路机的前轮半径是0.5米，如果前轮每分转动8周，20分可以从路的一端转到另一端，这条路约长多少米？ 25．一根绳子长31.4米，把它围成一个正方形或圆形。是围成的正方形面积大，还是围成的圆形面积大？大多少？ 26．小方骑自行车到学校用10分钟，这辆自行车的车轮外直径大约是70厘米。按车轮每分钟转100圈计算，从小方家到学校大约有多少米？ 27．下面有两个长为3cm、宽为2cm的长方形，在左边长方形中画一个最大的圆，右边的长方形中画一个最大的半圆。 算一算，比一比，圆和半圆，哪个面积大？ 28．一个运动场，两端是半圆，中间是长方形。 （1）这个运动场的占地面积是多少平方米？ （2）如果绕着这个运动场跑3圈，要跑多少米？ 29．下面每个正方形中都画了一个最大的圆。 （1）分别计算每个图形中圆的面积占正方形面积的几分之几。 （2）通过计算，你有什么发现？又有什么猜想？再举几个例子验证一下。 学科网（北京）股份有限公司 $$