第七单元 解决问题的策略（知识清单）-2024-2025学年五年级数学下学期期末复习讲练测（苏教版）

第七单元 解决问题的策略（知识清单） （知识梳理+重点提炼+易错集锦+巩固拔高） 01 知识梳理 1、用转化的策略解决问题 知识归纳转化是一种常见的解题策略，如在计算不规则图形的周长、面积时，可以通过平移、旋转等方法将不规则图形转化为规则图形，然后利用公式求解。 （1）将图形放在方格中转化成规则图形，运用数方格的方法计算。 （2）用数方格的方法需要一个格一个格地数，并且有一些涂色部分占的不是满格，数出的结 2、对于某些复杂的计算问题，可以根据式子的特点，利用数形结合的思想来发现其中的规律，从而把代数问题转化为几何问题。 （1）计算异分母分数加、减法时，把异分母分数转化成同分母分数。 （2）推导面积公式时，把三角形转化成平行四边形，把圆转化成长方形。 （3）计算小数乘法时，把小数乘法转化成整数乘法…… 02 重点提炼 1、会用转化的策略解决问题，并能根据具体的问题确定合理的解题方法，有效地解决问题。 03 易错集锦 易错点1：单位“1”的确定。 误区点拨： （1）在用转化的策略解决分数问题时，单位“1”是经常变动的，这时要按照单位“1”的确定方法，及时转变思路，准确定位单位“1” （2）特殊计算问题数值较大或较多，表面看来非常复杂。如果利用数与数之间的联系，可以将一部分数据相互抵消，最后形成几个数值进行计算。 易错点2：转化的策略。 误区点拨： （1）解决图形问题的时候，通过割补、平移、旋转等方法把复杂的、难以比较的图形变成熟悉的图形。 （2）有些较复杂的分数问题，可以结合图形来解答，这也叫作数形结合法。 04 巩固拔高 一、填空题 1．计算： 。 【答案】 【分析】根据，，，将每个加数转化为这样的分数相加，再提出，再计算即可简便计算。 【解答】 2．（ ）。 【答案】 【分析】观察算式中的每一个式子，发现： ； …… 根据连续减去几个数相当于减去这几个数的和，几个减数相加后再根据上面的发现的规律将算式转化发现通过前后抵消可以得出是1－，然后再计算。 【解答】 则 3．＝（ ）。 【答案】/0.3 【分析】两两分组，通分计算即可。 【解答】 因此 4．有一个街心花坛（如下图）。图中正方形的边长为15米，正方形的顶点正好是四个圆的圆心，圆的半径是5米。这个花坛的面积是（ ）平方米。 【答案】460.5 【分析】将其中一个扇形平均分成3份，分给另外3个扇形，这样另外三个扇形就变成了3个整圆，花坛的面积就转化为了一个正方形的面积加上3个半径是5米的圆的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝解答。 【解答】15×15＋3.14××3 ＝225＋3.14×25×3 ＝225＋78.5×3 ＝225＋235.5 ＝460.5（平方米） 所以这个花坛的面积是460.5平方米。 5．下图中阴影部分面积占正方形面积的。 【答案】 【分析】如图：；左边阴影部分面积等于红色阴影部分面积，很容易看出，原来阴影部分的面积等于正方形面积的一半，据此解答即可。 【解答】由分析可得，阴影部分的面积等于正方形面积的一半，即阴影部分面积占正方形面积的。 【点评】熟练掌握转化思想，将阴影部分转化成三角形是解题关键。 6．如图，等边三角形的边长是4厘米，则阴影部分的面积是（ ）平方厘米，空白部分的周长是（ ）厘米。 【答案】6.28 6.28 【分析】由题意可知，阴影部分是三个形状相同的扇形，扇形的半径是三角形边长的一半，三个扇形的圆心角之和等于三角形的内角和，则阴影部分的面积可以转化为半圆的面积，利用“”即可求出阴影部分的面积；空白部分的周长由扇形的三段弧组成，它们的和刚好等于圆周长的一半，利用“”即可求出空白部分的周长，据此解答。 【解答】三角形的内角和为180°。 3.14×（4÷2）2× ＝3.14×22× ＝12.56× ＝6.28（平方厘米） 2×3.14×（4÷2）× ＝2×3.14×2× ＝12.56× ＝6.28（厘米） 所以，阴影部分的面积是6.28平方厘米，空白部分的周长是6.28厘米。 7．如图的周长是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。 【答案】51.4// 103.5// 【分析】圆的周长C＝2πr，圆的面积S＝πr²，正方形面积S＝a²。 如图，中间是一个边长是5厘米的正方形，周边有四个完全相同且半径是5厘米的四分之一圆，四个四分之一圆正好组合成一个圆。如图的周长等于半径为5厘米的圆的周长加上半径长度的4倍。如图的面积等于边长是5厘米的正方形面积加上半径为5厘米的圆的面积，据此解答。 【解答】2×3.14×5＋5×4 ＝6.28×5＋20 ＝31.4＋20 ＝51.4（厘米） 3.14×52＋5×5 ＝3.14×25＋25 ＝78.5＋25 ＝103.5（平方厘米） 故如图的周长是51.4厘米，面积是103.5平方厘米。 8．观察下面的算式： 22－12＝2＋1，42－32＝4＋3，62－52＝6＋5，…… （1）根据其中的规律再写一道这样的算式：（ ）。 （2）运用这个规律计算：102－92＋82－72＋…＋22－12＝（ ）。 【答案】（1）82－72＝8＋7（答案不唯一） （2）55 【分析】观察算式可以看出，每个等式都是两个相邻的奇偶数的平方差，等于这两个数的和。根据这个规律再写一道这样的算式，应该继续按照这个规律，比如82－72＝8＋7或其他类似的；运用这个规律计算（2）的算式，利用一个交替的平方差相加，从102开始，减去92，加上82减72，依此类推，直到22减12，那么每个这样的平方差都可以转化为两个数的和，然后整个表达式就变成这些和相加的结果。 【解答】（1）根据规律，接下来的一组数，比如82－72＝8＋7＝15。 根据其中的规律再写一道这样的算式：82－72＝8＋7（答案不唯一）。 （2）102－92＋82－72＋…＋22－12 ＝10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1 ＝19＋15＋11＋7＋3 ＝55 运用这个规律计算：102－92＋82－72＋…＋22－12＝55。 二、选择题 9．一个长方形ABCD被分成了4部分（如图），其中甲的周长是14厘米，乙的周长比甲短4厘米。原来长方形ABCD的周长是（    ）厘米。 A．28 B．48 C．24 D．20 【答案】C 【分析】 假设甲长方形的长为a厘米，宽为b厘米，乙长方形的长为c厘米，宽为d厘米，甲长方形的周长＝2a＋2b，乙长方形的周长＝2c＋2d，由图可知，2a＋2b＋2c＋2d＝长方形ABCD的周长，所以长方形ABCD的周长＝甲长方形的周长＋乙长方形的周长，据此解答。 【解答】14－4＝10（厘米） 14＋10＝24（厘米） 所以，原来长方形ABCD的周长是24厘米。 故答案为：C 10．下列各图都表示单位“1”，阴影部分表示可以用“”计算的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【分析】分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数；分母是平均分的总份数，分子是取的其中的几份。根据分数的意义，用分数表示出各图形中每个阴影部分，再相加，即可得出结论。 【解答】如图： ＋＋； ＋＋＋； ＋＋； 阴影部分表示可以用“”计算的有2个。 故答案为：B 11．明明是个善于观察，乐于思考的好孩子，他通过数形结合（如图），发现求几个连续偶数的和可以用长方形面积公式去求。你能根据规律完成算式吗？ （    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察算式，都是连续偶数的和，和＝加数的个数×（加数的个数＋1）；据此解答即可。 【解答】 故答案为：C 12．的值在以下两数之间（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】算式中每个分数的分子比分母大1，于是把每个分数可以写成整数1和一个分子为1的分数相加1，剩余的分数可以拆成两个分数相减的形式，即，然后通过加减相抵消的方法，得出最后结果选择范围即可。 【解答】 故答案为：B 13．计算：＝（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数据后发现，可以设，则，然后作差，根据即可求解。 【解答】解：设，则。 因此 所以 故答案为：C 14．4个半径均为1厘米的圆按如图所示的方式相交，阴影区域的周长是（    ）厘米。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由图可知，阴影部分的周长＝1的长度＋2的长度＋3的长度＋4的长度＋5的长度，5的长度和6的长度相等，3的长度和7的长度相等，2的长度和8的长度相等，则阴影部分的周长＝1的长度＋8的长度＋7的长度＋4的长度＋6的长度，即阴影区域的周长等于圆的周长，据此解答。 【解答】2××1＝（厘米） 所以，阴影区域的周长是厘米。 故答案为：C 15．如图，两个大小相同的正方形，关于两个图形中阴影部分，叙述正确的是（    ）。 A．两个阴影的周长相等，面积不相等 B．两个阴影的周长和面积都相等 C．两个阴影的周长不相等，面积相等 D．两个阴影的周长和面积都不相等 【答案】C 【分析】观察图形可知：第一个图形中，阴影部分的周长＝空白半圆组成的圆的周长＋正方形的边长×2，阴影部分的面积＝正方形的面积－空白半圆组成的圆的面积；第二个图形中，阴影部分的周长＝4个空白部分组成的圆的周长，阴影部分的面积＝正方形的面积－4个空白部分组成的圆的面积。根据题意，空白半圆组成的圆与4个空白部分组成的圆的直径相等，则半径相等，周长相等，面积也相等，所以两个阴影的周长不相等，面积相等。 【解答】通过分析可得：两个阴影的周长不相等，面积相等。 故答案为：C 16．如图，平行四边形的面积是6平方分米，圆的面积是（    ）平方分米。 A．6.28 B．9.42 C．12.56 D．18.84 【答案】B 【分析】观察图形可知，平行四边形的底等于圆的直径，平行四边形的高等于圆的半径，直径＝2×半径；根据平行四边形的面积＝底×高，即2×半径×半径＝平行四边形面积，半径×半径＝平行四边形面积÷2，再根据圆的面积＝πr2，据此求出圆的面积。 【解答】3.14×（6÷2） ＝3.14×3 ＝9.42（平方分米） 圆的面积是9.42平方分米。 故答案为：B 三、计算题 17．用简便方法计算。 ＋ 【答案】 【分析】本题可以利用分数的拆分公式进行拆分，然后就可以加减抵消从而达到简便计算的目的。 【解答】＋ 18．＋9＋99＋999＋1 【答案】1111 【分析】观察数据后发现，可以将1写成4个，然后根据加法的交换律与结合律简算即可。 【解答】＋9＋99＋999＋1 ＝＋9＋99＋999＋4× ＝（＋）＋（9＋）＋（99＋）＋（999＋） ＝1＋10＋100＋1000 ＝1111 19．求涂色部分的面积。（单位：厘米） △AOC的面积为11平方厘米。 【答案】25平方厘米；17.25平方厘米 【分析】（1）将右边的阴影部分转移到左边，则整个阴影部分的面积就是三角形的面积，三角形的底是10厘米，高是圆的半径5厘米，利用三角形的面积公式：底×高÷2即可算出； （2）先算出半圆的面积，半径是5厘米，根据圆的面积公式：先算出圆的面积，再除以2即可，其次算空白部分的面积，由于三角形AOB和三角形AOC等底等高，因此面积相同，所以空白部分的面积等于2倍三角形AOC的面积，最后用半圆的面积减去空白的面积即可。 【解答】（1）10÷2＝5（厘米） 10×5÷2 ＝50÷2 ＝25（平方厘米） 涂色部分的面积是25平方厘米。 （2）10÷2＝5（厘米） 3.14×52÷2 ＝3.14×25÷2 ＝78.5÷2 ＝39.25（平方厘米） 11×2＝22（平方厘米） 39.25－22＝17.25（平方厘米） 涂色部分的面积是17.25平方厘米。 20．求涂色部分的周长。（单位：厘米） 【答案】57.12厘米；36.56厘米 【分析】（1）由图可知，涂色部分的周长由直线和曲线两部分构成，直线部分的长度等于正方形的周长“”，曲线部分的长度等于直径为8厘米圆的周长“”，最后把两部分长度相加求和； （2）由图可知，涂色部分的周长由直线和曲线两部分构成，直线部分的长度等于圆的半径的6倍，曲线部分的长度等于半径为4厘米圆周长的一半“”，最后把两部分长度相加求和，据此解答。 【解答】（1）8×4＋3.14×8 ＝32＋25.12 ＝57.12（厘米） 所以，涂色部分的周长是57.12厘米。 （2）三角形的内角和等于180°。 4×6＋2×4×3.14× ＝4×6＋2×4×3.14× ＝24＋12.56 ＝36.56（厘米） 所以，涂色部分的周长是36.56厘米。 四、解答题 21．记A，那么比A小的最大的自然数是多少？ 【答案】 【分析】观察可知，将算式中的分数分别看作1减几分之几，进而用简便算法求出A的值，根据求出A的值是多少，再求出比A小的自然数是多少。 【解答】A ＝（1）＋（1）＋（1）＋（1）＋。。。。。。＋（1） ＝10﹣（。。。。。。） ＝10﹣（1） ＝ 所以比A小的最大自然数是9。 22．下图中正方形的边长是2厘米，四个相同圆的圆心分别是正方形的四个顶点。求涂色部分的面积。 【答案】9.42平方厘米 【分析】通过重新组合阴影部分得出阴影部分的面积就是3个圆的面积，根据题意，正方形的边长是2厘米，相当于圆的两个半径，即圆的半径就是1厘米，根据圆的面积＝得出一个圆的面积，再乘3即可。 【解答】3.14×（2÷2）2×3 ＝3.14×12×3 ＝3.14×3 ＝9.42（平方厘米） 答：涂色部分的面积是9.42平方厘米。 23．下图是一个装满了铅笔的铅笔架。你能联系梯形面积公式，计算出铅笔的支数吗？ 【答案】105支；195 【分析】根据题意，装满了铅笔的铅笔架是一个梯形，梯形的下底有6支铅笔，每摆一层多一支铅笔，梯形的上底有15支，共摆了10层；那么求铅笔的总支数列式为6＋7＋8＋…＋15，可以根据梯形的面积公式＝（上底＋下底）×高÷2，求出铅笔的总支数。 求15＋16＋17＋18＋19＋20＋21＋22＋23＋24的和时，可以结合上面铅笔支数的计算方法，把它看作一个上底为15、下底为24、高为10的梯形，然后根据梯形的面积公式求出和。 【解答】 （支） 答：铅笔共有105支。这10个连续自然数的和是195。 24．一张桌子中间的正方形桌面边长1米，如果把它垂在四周的桌面撑开（如图），就形成一个圆形桌面，求这个圆形桌面的面积。 【答案】1.57平方米 【分析】 根据题意，连接正方形2条对角线，如图：，将正方形平均分成4个小等腰直角三角形，用1×1＝1平方米，求出正方形面积，然后一个小等腰直角三角形的面积就是1÷4＝0.25平方米，再根据三角形的面积＝底×高÷2，用0.25×2＝0.5米，即是两条小等腰直角三角形直角边的积，直角边又等于圆的半径，也就是圆的两条半径之积是0.5米，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。 【解答】圆的半径之积： 1×1÷4×2 ＝1÷4×2 ＝0.25×2 ＝0.5（米） 圆面积：3.14×0.5＝1.57（平方米） 答：圆桌面的面积是1.57平方米。 25．小明用圆规和直尺设计了一幅图（如图），图中空白部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】1.14平方厘米 【分析】 由图可知，大半圆的直径是4厘米，小圆的直径等于大半圆的半径，正方形的对角线长度等于小圆的直径，正方形的面积可以看作两个完全相同的等腰直角三角形的面积之和，空白部分的面积＝小圆的面积－正方形的面积，据此解答。 【解答】 ＝ ＝ ＝ ＝3.14－2 ＝1.14（平方厘米） 答：图中空白部分的面积是1.14平方厘米。 26．科创社团准备举行四驱车比赛，比赛场地示意图如下图。场地外围为赛道，如需给比赛场地铺草皮，需要准备多少平方米草皮？王新同学制作的四驱车速度约为2米/秒，如沿赛道跑一周需要多长时间？ 【答案】39.25平方米；15.7秒 【分析】观察图形可知：比赛场地是一个不规则图形，右下角的小半圆可以填补到左边的空白半圆处，这样比赛场地就变为一个以10米为直径的半圆，根据圆的面积＝πr2，求出圆的面积，再除以2即可求出需要草皮的面积。 观察图形可知：比赛场地周长的上半部分是以10米为直径的圆的周长的一半，下半部分的两条半圆弧可以组成以（10÷2）米为直径的圆。根据圆的周长＝πd，分别求出两部分的长度，再把它们相加可以求出比赛场地的周长。最后根据路程÷速度＝时间，用场地的周长除以2，即可求出沿赛道跑一周需要多长时间。 【解答】（10÷2）2×3.14÷2 ＝52×3.14÷2 ＝25×3.14÷2 ＝39.25（平方米） 10×3.14÷2＋10÷2×3.14 ＝15.7＋15.7 ＝31.4（米） 31.4÷2＝15.7（秒） 答：需要准备39.25平方米草皮；沿赛道跑一周需要15.7秒。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七单元 解决问题的策略（知识清单） （知识梳理+重点提炼+易错集锦+巩固拔高） 01 知识梳理 1、用转化的策略解决问题 知识归纳转化是一种常见的解题策略，如在计算不规则图形的周长、面积时，可以通过平移、旋转等方法将不规则图形转化为规则图形，然后利用公式求解。 （1）将图形放在方格中转化成规则图形，运用数方格的方法计算。 （2）用数方格的方法需要一个格一个格地数，并且有一些涂色部分占的不是满格，数出的结 2、对于某些复杂的计算问题，可以根据式子的特点，利用数形结合的思想来发现其中的规律，从而把代数问题转化为几何问题。 （1）计算异分母分数加、减法时，把异分母分数转化成同分母分数。 （2）推导面积公式时，把三角形转化成平行四边形，把圆转化成长方形。 （3）计算小数乘法时，把小数乘法转化成整数乘法…… 02 重点提炼 1、会用转化的策略解决问题，并能根据具体的问题确定合理的解题方法，有效地解决问题。 03 易错集锦 易错点1：单位“1”的确定。 误区点拨： （1）在用转化的策略解决分数问题时，单位“1”是经常变动的，这时要按照单位“1”的确定方法，及时转变思路，准确定位单位“1” （2）特殊计算问题数值较大或较多，表面看来非常复杂。如果利用数与数之间的联系，可以将一部分数据相互抵消，最后形成几个数值进行计算。 易错点2：转化的策略。 误区点拨： （1）解决图形问题的时候，通过割补、平移、旋转等方法把复杂的、难以比较的图形变成熟悉的图形。 （2）有些较复杂的分数问题，可以结合图形来解答，这也叫作数形结合法。 04 巩固拔高 一、填空题 1．计算： 。 2．（ ）。 3．＝（ ）。 4．有一个街心花坛（如下图）。图中正方形的边长为15米，正方形的顶点正好是四个圆的圆心，圆的半径是5米。这个花坛的面积是（ ）平方米。 5．下图中阴影部分面积占正方形面积的。 6．如图，等边三角形的边长是4厘米，则阴影部分的面积是（ ）平方厘米，空白部分的周长是（ ）厘米。 7．如图的周长是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。 8．观察下面的算式： 22－12＝2＋1，42－32＝4＋3，62－52＝6＋5，…… （1）根据其中的规律再写一道这样的算式：（ ）。 （2）运用这个规律计算：102－92＋82－72＋…＋22－12＝（ ）。 二、选择题 9．一个长方形ABCD被分成了4部分（如图），其中甲的周长是14厘米，乙的周长比甲短4厘米。原来长方形ABCD的周长是（    ）厘米。 A．28 B．48 C．24 D．20 10．下列各图都表示单位“1”，阴影部分表示可以用“”计算的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．0 11．明明是个善于观察，乐于思考的好孩子，他通过数形结合（如图），发现求几个连续偶数的和可以用长方形面积公式去求。你能根据规律完成算式吗？ （    ）。 A． B． C． D． 12．的值在以下两数之间（    ）。 A． B． C． D． 13．计算：＝（    ）。 A． B． C． D． 14．4个半径均为1厘米的圆按如图所示的方式相交，阴影区域的周长是（    ）厘米。 A． B． C． D． 15．如图，两个大小相同的正方形，关于两个图形中阴影部分，叙述正确的是（    ）。 A．两个阴影的周长相等，面积不相等 B．两个阴影的周长和面积都相等 C．两个阴影的周长不相等，面积相等 D．两个阴影的周长和面积都不相等 16．如图，平行四边形的面积是6平方分米，圆的面积是（    ）平方分米。 A．6.28 B．9.42 C．12.56 D．18.84 三、计算题 17．用简便方法计算。 ＋ 18．＋9＋99＋999＋1 19．求涂色部分的面积。（单位：厘米） △AOC的面积为11平方厘米。 20．求涂色部分的周长。（单位：厘米） 四、解答题 21．记A，那么比A小的最大的自然数是多少？ 22．下图中正方形的边长是2厘米，四个相同圆的圆心分别是正方形的四个顶点。求涂色部分的面积。 23．下图是一个装满了铅笔的铅笔架。你能联系梯形面积公式，计算出铅笔的支数吗？ 24．一张桌子中间的正方形桌面边长1米，如果把它垂在四周的桌面撑开（如图），就形成一个圆形桌面，求这个圆形桌面的面积。 25．小明用圆规和直尺设计了一幅图（如图），图中空白部分的面积是多少平方厘米？ 26．科创社团准备举行四驱车比赛，比赛场地示意图如下图。场地外围为赛道，如需给比赛场地铺草皮，需要准备多少平方米草皮？王新同学制作的四驱车速度约为2米/秒，如沿赛道跑一周需要多长时间？ 学科网（北京）股份有限公司 $$