第二讲 函数的概念及函数性质讲义-2026届高三数学一轮复习

函数的概念 【知识梳理】 知识点一、函数的概念 （1）函数的概念 ①设、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）叫做集合到的一个函数，记作． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法 ①设是两个实数，且，满足的实数的集合叫做闭区间，记做；满足的实数的集合叫做开区间，记做；满足，或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别记做，；满足的实数的集合分别记做． 注意：对于集合与区间，前者可以大于或等于，而后者必须 ，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①是整式时，定义域是全体实数． ②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤中，． ⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集． ⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知的定义域为，其复合函数的定义域应由不等式解出． ⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值． ②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程，则在时，由于为实数，故必须有，从而确定函数的值域或最值． ④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值． ⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法． 知识点二、函数的表示法 （1）函数的表示方法 表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种． 解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． 【基本题型】 题型一：抽象函数定义域 【例题精讲】 例1. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（       ） A． B． C． D． 例2. 已知函数的定义域是，则函数的定义域为______. 【巩固练习】 1. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（       ） A． B． C． D． 2. 已知函数的定义域为，求函数的定义域 . 题型五：函数定义域的应用 【例题精讲】 例1. 已知函数的定义域为，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1. （多选题）若函数在区间上有意义，则实数可能的取值是（       ） A． B． C． D． 题型六：函数解析式的求法 求函数解析式的常用方法如下： （1）当已知函数的类型时，可用待定系数法求解. （2）当已知表达式为时，可考虑配凑法或换元法，若易将含的式子配成，用配凑法.若易换元后求出，用换元法. （3）若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法. （4）求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求. （5）当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解． （6）若已知成对出现，或，，类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出． 1.待定系数法（函数类型确定） 【例题精讲】 例1. （多选题）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（       ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1. 设y＝f(x)是一次函数，若f(0)＝1，且成等比数列，则等于（       ） A．n(2n＋3) B．n(n＋4) C．2n(2n＋3) D．2n(n＋4) 2. 已知为二次函数，，，求的解析式 ． 2.换元法或配凑法（适用于了型） 【例题精讲】 例1. 已知函数，则的解析式为（       ） A． B． C． D． 例2. 已知函数满足，则的解析式为 . 【巩固练习】 1. 已知函数，则的解析式为_______ 2. 已知，则函数f(x)=_______，=_______． 3.方程组法 【例题精讲】 例1. 已知函数的定义域为，且，则（       ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1. 设函数对的一切实数均有，则等于 . 2. 若函数，满足，且，则________． 4.求分段函数的解析式 【例题精讲】 例1. 设函数，若函数在区间内有且仅有两个零点，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1. 已知函数，则___________，的最大值是___________. 2. 函数f(x)＝－x2＋4x－1在区间[t，t＋1](t∈R)上的最大值为g(t)．求g(t)的解析式 5.抽象函数解析式 【例题精讲】 例1. 对任意实数，，都有，函数的解析式为 ． 例2. 已知函数是定义在上的增函数，且，，则（       ） A． B． C．2 D．3 例3. 已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是（       ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1. 定义在上的函数单调递增，且对，有，则___________. 2. 已知定义在上的单调函数，若对任意都有，则方程的解集为_______． 3. 已知在上是减函数，且对任意的都成立，写出一个满足以上特征的函数___________. 4. 设是定义在上的函数，且满足对任意等式恒成立，则的解析式为_____________． 题型七：函数值域的求解 函数值域的求法主要有以下几种 （1）观察法:根据最基本函数值域 （2）配方法：对于形如的值域，结合二次函数定义域求出函数的值域. （3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型. （4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等. （5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形的值城，可通过换元将原函数转化为二次型函数. （6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析. （7）判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如，或的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围必须为实数集R）. (8)单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域.对于形如或的函数，当ac>0时可利用单调性法. （9）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.因为常出现反解出y的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法. (10)导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域. 1.观察法 【例题精讲】 例1. 函数的值域是（       ） A． B． C． D． 2.配方法 【例题精讲】 例1. 已知正实数，，满足，，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 3.图像法（数形结合） 【例题精讲】 例1. 函数的最小值是（       ） A． B． C． D． 例2. 函数f(x)＝的值域为(　　) A．[－,] B．[－,0] C．[0,1] D．[0,] 【巩固练习】 1. 已知，，，则的最小值为___________. 2. 函数的值域为_____. 4.基本不等式法 【例题精讲】 例1. 下列函数中最小值为6的是（       ） A． B． C． D． 5.换元法（代数换元与三角换元） 【例题精讲】 例1. 函数的值域为（   ） A． B． C． D． 例2. 函数的值域是（       ） A． B． C． D． 例3. 若，则的取值范围是________ 6.分离常数法 【例题精讲】 例1. 函数的值域 . 7.判别式法 【例题精讲】 例1. 函数的最大值与最小值的和是（        ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1. 求函数的值域______________． 8.单调性法 【例题精讲】 例1. 已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 例2. 已知函数，则函数的值域为（       ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1. 函数的值域为（       ） A． B． C． D． 9.有界性法 【例题精讲】 例1. 函数的值域是________________. 例2. 实数，满足，则的最大值为___________． 10.导数法 【例题精讲】 例1. 已知函数，当时，函数的最大值为_______ . 例2. 已知函数，若曲线上存在点，使得，则实数的最大值是（       ） A． B． C． D． 题型八：分段函数的应用 【例题精讲】 例1. 已知，若，则（       ） A．2 B． C．1 D．0 例2. 已知函数，则___________；若，则实数___________. 【巩固练习】 设，若，则__________，__________. 函数的性质——单调性、奇偶性、周期性 【知识梳理】 知识点一、单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性 ①定义及判定方法 函数的 性 质 定义 图象 判定方法 函数的 单调性 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1< x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数． （1）利用定义 （2）利用已知函数的单调性 （3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1< x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数． （1）利用定义 （2）利用已知函数的单调性 （3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减） （4）利用复合函数 ②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数，令，若为增，为增，则为增；若为减，为减，则为增；若为增，为减，则为减；若为减，为增，则为减． 知识点二、奇偶性 （4）函数的奇偶性 ①定义及判定方法 函数的 性 质 定义 图象 判定方法 函数的 奇偶性 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)=－f(x),那么函数f(x)叫做奇函数． （1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称） 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数． （1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y轴对称） ②若函数为奇函数，且在处有定义，则． ③奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反． ④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数． 【基本题型】 题型一：函数的单调性及其应用 【例题精讲】 例1．已知函数的定义域为，且对任意两个不相等的实数，都有，则不等式的解集为（       ）． A． B． C． D． 题型二：复合函数单调性的判断 【例题精讲】 函数单调递减区间是 . 题型三：利用函数单调性求函数最值 【例题精讲】 例1. 定义在上的函数对于任意的，总有，且当时，且． （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明； （3）求函数在上的最大值与最小值． 【巩固练习】 1. 已知，函数的定义域为I，若存在，使得在上的值域为，我们就说是“类方函数”.下列四个函数中是“类方函数”的是（       ） ①；②；③；④. A．①② B．②④ C．②③ D．③④ 2. 已知函数. （1）判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义加以证明； （2）若，求时函数的值域. 题型四：利用函数单调性求参数的范围 【例题精讲】 例1. “”是“函数是在上的单调函数”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例2. 已知函数若，，，且仅有1个零点，则实数m的取值范围为（       ） A． B． C． D． 例3. 若函数是上的单调函数，则的取值范围（       ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1. 已知函数（且）在区间上单调递增，则实数的取值不可能是（       ） A． B． C． D． 2. 函数在上是减函数，则实数的范围是_______. 3. 如果 ，则的取值范围是___________． 4. 已知函数满足，当时，，且. （1）求的值，并判断的单调性； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 题型五：函数的奇偶性的判断与证明 【例题精讲】 例1. 存在函数使得对于都有，则函数可能为（       ） A． B． C． D． 例2. 已知定义在上的函数，满足：①；②为奇函数；③，；④任意的，，. （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）判断并证明函数在（0，+∞）上的单调性. 题型六：已知函数的奇偶性求参数 【例题精讲】 例1. 若是奇函数，则（       ） A． B． C． D． 例2. 若函数是偶函数，则（       ） A．-1 B．0 C．1 D． 【巩固练习】 1. 已知函数为偶函数，则的值为_________. 2. 已知函数为奇函数，则______． 3. 已知函数为偶函数，则______． 4. 已知函数为R上的偶函数，则实数___________. 题型七：已知函数的奇偶性求表达式、求值 【例题精讲】 例1. 已知偶函数，当时，，则的图象在点处的切线的斜率为 . 例2. 已知是定义在R上的奇函数，且时，，则在上的最大值为 . 例3. 分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，则下列说法错误的是（       ） A． B．在上单调递减 C．关于直线对称 D．的最小值为1 【巩固练习】 1. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，. (1)求和的值； (2)求在上的解析式. 2. 若函数是奇函数，是偶函数，且其定义域均为.若，求，的解析式. 题型八：已知奇函数+M 【例题精讲】 例1. 已知（a，b为实数），，则______． 例2. 若对，有，函数在区间上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（ ） A．4 B．8 C．12 D．16 例3. 若函数的最大值和最小值分别为、，则函数图像的对称中心不可能是_______ A． B． C． D． 【巩固练习】 1. 已知函数，且，则（       ） A．2 B．3 C．－2 D．－3 2. 若函数在区间上的最大值、最小值分别为、，则的值为（ ）． A． B． C． D． 3. 函数在区间上的最大值与最小值分别为，，则的值为（ ） A． B． C． D． 4. 函数，若最大值为，最小值为，，则的取值范围是______. 5. 已知定义域为R的函数有最大值和最小值，且最大值和最小值的和为6，则λ-μ=_ __. 题型九：函数的对称性与周期性 【例题精讲】 例1. 设函数的定义域为D，若对任意的，且，恒有，则称函数具有对称性，其中点为函数的对称中心，研究函数的对称中心，求（       ） A．2022 B．4043 C．4044 D．8086 例2. 已知定义在R上的函数满足，且是奇函数，则（       ） A．是偶函数 B．的图象关于直线对称 C．是奇函数 D．的图象关于点对称 例3. 已知函数的定义域为R，且对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且，则（       ） A．2021 B． C．2022 D． 【巩固练习】 1. 已知定义在R上的偶函数满足，且当时，，则下面结论正确的是（       ） A． B． C． D． 2. 已知函数满足对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且 则（       ） A． B． C． D． 3. 已知函数是上的奇函数，且，且当时，，则的值为（       ） A． B． C． D． 4. 函数满足：对，都有，则函数的最小值为（       ） A．-20 B．-16 C．-15 D．0 题型十：类周期函数 【例题精讲】 例1. 定义域为的函数满足，当时，，若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 例2. 定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是(　　 ) A． B． C． D． 【巩固练习】 1. 定义域为的函数满足，当时，，若当时，函数恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2. 已知函数，其中，给出以下关于函数的结论：①②当时，函数值域为③当时方程恰有四个实根④当时，若恒成立，则．其中正确的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型十一：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性 【例题精讲】 例1。 已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 例3. 已知定义在R上的奇函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1. 已知定义域为R的偶函数满足，当时，，则方程在区间上所有解的和为（       ） A．8 B．7 C．6 D．5 2. 已知定义在上的函数，满足： ①； ②任意的，，. （1）求的值； （2）判断并证明函数的奇偶性. 3. 定义在(－1，1)上的函数f(x)满足①对任意x、y∈(－1，1)，都有f(x)+f(y)=f()；②当x∈(－1，0)时，有f(x)>0．求证：． 题型十二：函数性质的综合 【例题精讲】 例1. 已知函数，则关于t的不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 例2. 已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增. 若实数满足， 则的最小值是（ ） A． B．1 C． D．2 例3. 已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1. 已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2. 定义在上的函数满足，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A． B． C． D． 3. 设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4. 已知函数，若有解，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$