第一讲 集合与常用逻辑用语讲义-2026届高三数学一轮复习

集合与常用逻辑用语 【知识梳理】 知识点一、集合的含义与表示 （1）集合的概念：集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法：表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象与集合的关系是，或者，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(). 知识点二、集合间的基本关系 （1）子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 性质 示意图 子集 （或 A中的任一元素都属于B (1)AA (2) (3)若且，则 (4)若且，则 或 真子集 AB （或BA） ，且B中至少有一元素不属于A （1）（A为非空子集） (2)若且，则 集合 相等 A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A (1)AB (2)BA （7）已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集. 知识点三、集合的基本运算 （8）交集、并集、补集 名称 记号 意义 性质 示意图 交集 且 （1） （2） （3） 并集 或 （1） （2） （3） 补集 1 2 【基本题型】 题型一、集合的表示 【例题精讲】 例1. 定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（       ） A． B． C． D． 例2. 用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（       ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型二、集合元素的特征 【例题精讲】 例1. 已知集合，则A中元素的个数为（       ） A．9 B．8 C．5 D．4 例2. 函数，则集合元素的个数有（       ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型三、集合的关系 【例题精讲】 例1. 已知集合，则的子集个数为（       ） A． B．8 C． D． 例2. 设集合，，若，则实数a的取值范围是（       ）． A． B． C． D． 例3. 已知，，若集合，则的值为（       ） A． B． C． D． 例4. （多选题）已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（       ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 例5. 设集合A={}，B={x}，且AB，则实数k的取值范围是______________(写成集合形式). 题型四、集合的运算 【例题精讲】 例1. （多选题）已知､均为实数集的子集，且，则下列结论中正确的是（       ） A． B． C． D． 例2. ，若，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 题型五、新定义 【例题精讲】 例1. 设S是整数集Z的非空子集，如果任意的，有，则称S关于数的乘法是封闭的.若、是Z的两个没有公共元素的非空子集，．若任意的，有，同时，任意的，有，则下列结论恒成立的是(       ) A．、中至少有一个关于乘法是封闭的 B．、中至多有一个关于乘法是封闭的 C．、中有且只有一个关于乘法是封闭的 D．、中每一个关于乘法都是封闭的 例2. 设集合中，至少有两个元素，且满足：①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则.若有4个元素，则有___________个元素. 例3. 在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即.给出下列四个结论. ①；②；③；④“整数属于同一“类”的充要条件是“”. 其中正确的结论是__________（填所有正确的结论的序号）. 例4. 若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为_____. 例5. 已知数集．若存在，使得对任意都有，则称A为完美集，给出下列四个结论： ①存在，使得为完美集； ②存在，使得为完美集； ③如果，那么一定不为完美集； ④使得A为完美集的所有的值之和为-2． 其中，所有正确结论的序号是______． 题型六、量词命题的否定、充分条件和必要条件 例1. 命题“，”的否定是（       ） A．， B．， C．， D．， 例2. 直线与函数的图象有两个公共点的充要条件为（       ） A． B． C． D． 例3. “，使得成立”的充要条件是（       ） A． B． C． D． 题型七、综合应用 例1. 已知条件，条件．． (1)若，求． (2)若是的必要不充分条件，求的取值范围． 例2. 不等式的解集是，关于x的不等式的解集是. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. (3)设实数x满足，其中，命题实数x满足.若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 不等式与基本不等式 【知识梳理】 含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 （1）含绝对值的不等式的解法 不等式 解集 或 把看成一个整体，化成，型不等式来求解 （2）一元二次不等式的解法 判别式 二次函数的图象 一元二次方程的根 （其中 无实根 的解集 或 的解集 【基本题型】 题型一、不等式性质的应用 【例题精讲】 例1. （多选题）己知非零实数a，b满足，则下列不等关系一定成立的是（       ） A． B． C． D． 例2. （多选题）已知，，且，则下列不等关系成立的是（       ） A． B． C． D． 例3. （多选题）已知a，b，c满足c<a<b，且ac<0，那么下列各式中一定成立的是（       ） A．ac（a-c）>0 B．c（b-a）<0 C． D． 题型二、已知不等式的关系，求目标式的取值范围 【例题精讲】 例1. 若实数x，y满足，则的取值范围（       ） A． B． C． D． 例2. 已知，，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 例3. 设二次函数，若函数的值域为，且，则的取值范围为___________. 例4. 已知有理数a，b，c，满足，且，那么的取值范围是_________． 题型三、不等式的综合问题 【例题精讲】 例1. 若实数a，b满足，则下列选项中一定成立的有（       ） A． B． C． D． 例2. 若，，则下列选项中正确的是（       ） A． B． C． D． 例3. （多选题）已知，直线与曲线相切，则下列不等式一定成立的是（       ） A． B． C． D． 题型四、基本不等式及其应用 【例题精讲】 例1. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（       ） A． B． C． D． 例2. （多选题）下列函数中最小值为6的是（       ） A． B． C． D． 题型五、直接法求最值 【例题精讲】 例1. 若实数a，b满足，则ab的最大值为（       ） A．2 B．1 C． D． 例2. 若x，y为实数，且，则的最小值为（       ） A．18 B．27 C．54 D．90 例3. 已知二次函数（）的值域为，则的最小值为（       ） A． B．4 C．8 D． 例4. 函数的最小值为（       ） A．4 B． C．3 D． 例5. 若，且，则的最大值是_______________. 题型六、常规凑配法求最值 【例题精讲】 例1. 若 ，则有（       ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 例2. 若，且，则的最小值为（       ） A．3 B． C． D． 例3. 已知，且，则最大值为______． 题型七、消参法求最值 【例题精讲】 例1. 若直线过点，则的最大值为________. 例2. 设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（       ） A． B． C． D． 例3. 已知正实数a，b满足，则的最小值是（　　） A．2 B． C． D．6 例4. 若正实数，满足，则的最大值为______． 例5. 若，，则的最小值为___________. 例6. 若，则的取值范围是_______ 题型五：双换元求最值 【例题精讲】 例1. 设，，若，则的最大值为 例2. 若，，，，则的最小值为______． 例3. 已知x＋y＝1，y＞0，x＞0，则的最小值为____________． 例4. 已知，，，则取到最小值为 ________． 例5. 若，且，则的最小值为_________ 例6. 若正实数，满足，则的最小值是__________． 题型六：“1”的代换求最值 【例题精讲】 例1. 已知正实数x，y满足，则的最小值为（       ） A．2 B．4 C．8 D．12 例2. 设正项等差数列的前项和为，若，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 例3. 若实数，满足，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 例4. 已知，则的最小值为（       ） A．13 B．19 C．21 D．27 例5. 已知，且，则的最小值是(       ) A．49 B．50 C．51 D．52 例6. 已知正数a，b满足，则的最小值为___________. 例7. 设，，，则的最小值为______． 例8. 函数图象过定点，点在直线上，则最小值为___________. 题型七：齐次化求最值 【例题精讲】 例1. 已知，满足则的最小值是（       ） A． B． C． D． 例2. 已知函数的定义域为R，则的最大值是___________. 例3. 若a，b，c均为正实数，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 例4. 已知三次函数在上单调递增，则最小值为（       ） A． B． C． D． 例5. 已知，，且，则的最小值为____________. 例6. 已知x，y，z为正实数，且，则的最大值为______． 3 学科网（北京）股份有限公司 $$