专题01 平面向量的概念与运算9种常考题型总结（四川专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题01 平面向量的概念与运算9种常考题型总结 题型概览 题型01向量的相关概念辨析 题型02向量的线性运算 题型03用已知向量表示其他向量平面向量 题型04向量共线问题 题型05向量数量积的运算 题型06向量垂直的应用 题型07向量夹角相关计算 题型08向量模长相关计算 题型09向量的投影向量 ( 题型01 ) 向量的相关概念辨析 （多选）1．（2024春•东坡区期末）下列说法中正确的是　　 A．若，则 B． C．若为单位向量，则 D．是与非零向量共线的单位向量 2．（2023春•乐山期末）下列说法正确的是　　 A．若，则 B．若和都是单位向量，则 C．若，，则 D．若，则 （多选）3．（2023春•叙州区校级期末）下列说法错误的是　　 A．零向量没有方向 B．共线向量是同一条直线上的向量 C．若向量与向量共线，则有且只有一个实数，使得 D． （多选）4．（2024春•凉山州期末）下列关于平面向量的说法正确的是　　 A．若，是共线的单位向量，则 B．若，是相反向量，则 C．若，则向量，共线 D．若，则点，，，必在同一条直线上 ( 题型02 ) 向量的线性运算 5．（2021春•凉山州期末）在平行四边形中，　　 A． B． C． D． 6．（2024春•自贡期末）在△中，　　 A． B． C． D．0 7．（2024春•东坡区期末）　　 A． B． C． D． 8．（2023春•翠屏区校级期末）下列各式中结果为零向量的是　　 A．B． C． D． （多选）9．（2023春•锦江区校级期末）下列各式中结果为零向量的是　　 A． B．C． D． ( 题型03 ) 用已知向量表示其他向量平面向量 10．（2023春•遂宁期末）三角形中，为边上一点，且满足，则等于　　 A． B． C． D． 11．（2024春•雅安期末）如图，在梯形中，，在上，且，设，，则　　 A． B． C． D． 12．（2022春•新都区校级期末）如图，在平行四边形中，是的中点，，则　　 A． B． C． D． 13．（2024春•凉山州期末）在中，边上的中线为，点满足，则　　 A． B． C． D． ( 题型04 ) 向量共线问题 14．（2024春•仁寿县期末）已知向量，，若与共线，则　　 A． B．4 C． D．或4 15．（2024春•成都期末）已知，为两个不共线的向量，且，，则下列向量与共线的是　　 A． B． C． D． 16．（2024春•四川期末）已知是不共线的向量，且，则　　 A．，，三点共线 B．，，三点共线 C．，，三点共线 D．，，三点共线 17．（2024春•仁寿县期末）已知平面向量不共线，且，若，，三点共线，则　　． 18．（2024春•江阳区期末）已知，． （1）若，且、、三点共线，求的值． （2）当实数为何值时，与垂直？ 19．（2024春•成都期末）设向量与不共线． 若，，若，，，求实数的值； 若，，，求证：，，三点共线． ( 题型0 5 ) 向量数量积的运算 20．（2023秋•翠屏区校级期末）平行四边形中，，，，点是边的一个四等分点（靠近点），则的值是　　 A． B． C．1 D．2 21．（2023秋•泸州期末）已知△是边长为3的正三角形，若，则　　 A． B． C． D． 22．（2024春•成都期末）在中，，，，则　　 A． B．16 C．32 D． 23．（2024春•泸州期末）如图，为直角三角形，，，为斜边的中点，为线段的中点，则　　 A．1 B． C． D． ( 题型0 6 ) 向量垂直的应用 24．（2024秋•凉山州期末）已知向量，，且与垂直． （1）求的值； （2）求与的夹角，． 25．（2024春•德阳期末）平面向量，，若，则实数　　 A． B．9 C． D．7 26．（2024春•青羊区校级期末）已知向量，，若，则　　 A． B． C． D． 27．（2024春•仁寿县期末）已知向量，若，则实数　　 A． B． C． D． ( 题型0 7 ) 向量夹角相关计算 28．（2024秋•凉山州期末）已知向量，向量，则与的夹角为　　 A． B． C． D． 29．（2024春•攀枝花期末）已知是单位向量，，若在方向上的投影向量是，则与的夹角为　　 A． B． C． D． 30．（2024春•宜宾期末）已知向量，，若，则与的夹角为　　 A． B． C． D． 31．（2024春•东坡区期末）设向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围 　　 ． 32．（2024春•东坡区期末）已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为　　 A． B． C．，， D．，， ( 题型0 8 ) 向量模长相关计算 33．（2024春•雅安校级期末）已知，均为单位向量，它们的夹角为，则　　 A．1 B． C． D．2 34．（2023春•泸县校级期末）已知向量，满足，，且，的夹角为，则　　 A． B．7 C． D．3 35．（2023春•天府新区期末）如图、在四边形中，，分别为，的中点． （1）求证：； （2）若，，向量，的夹角为，，求． 36．（2023春•成都期末）在中，交于点，设． （1）用，表示； （2）若，，，夹角为，求． ( 题型0 9 ) 向量的投影向量 37．（2024秋•资阳校级期末）已知平面向量，，则在上的投影向量为　　 A． B． C． D． 38．（2024春•凉山州期末）已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为　　 A． B． C． D． 39．（2024春•仁寿县期末）若向量，则在上的投影向量的坐标为　　 A． B． C． D． 40．（2024春•南充期末）已知向量与的夹角是，且，，则向量在向量上的投影向量是　　 A． B． C． D． 41．（2024春•德阳期末）若，，则在方向上的投影向量为　　 A． B． C． D． 1．（2024春•郫都区校级期末）已知平面向量，的夹角为，且满足，，则下列说法错误的是　　 A． B． C． D．与的夹角为 2．（2023秋•四川期末）已知向量，满足，，且，则　　 A．5 B． C．10 D． 3．（2024春•凉山州期末）已知为非零向量，若向量在上的投影向量为，则的最小值是 　　． （多选）4．（2024春•眉山期末）如图，在矩形中，，，是的中点，是上的一点，且，则下列说法正确的是　　 A． B． C． D． （多选）5．（2024春•雅安期末）若平面向量，满足，则　　 A． B．向量与的夹角为 C． D．在上的投影向量为 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平面向量的概念与运算9种常考题型总结 题型概览 题型01向量的相关概念辨析 题型02向量的线性运算 题型03用已知向量表示其他向量平面向量 题型04向量共线问题 题型05向量数量积的运算 题型06向量垂直的应用 题型07向量夹角相关计算 题型08向量模长相关计算 题型09向量的投影向量 ( 题型01 ) 向量的相关概念辨析 （多选）1．（2024春•东坡区期末）下列说法中正确的是　　 A．若，则 B． C．若为单位向量，则 D．是与非零向量共线的单位向量 【解析】．根据零向量的定义知正确； ．根据向量加法的几何意义知正确； 与方向不同时，，错误； ，与非零向量共线，且是单位向量，正确． 故选：． 2．（2023春•乐山期末）下列说法正确的是　　 A．若，则 B．若和都是单位向量，则 C．若，，则 D．若，则 【解析】因为向量不能比较大小（除非相等），故错误， 单位向量模都为1，方向任意，故错误， 当时，和可能不平行，故错误， 因为，所以，即， 所以，又，则， 因为，所以，则，故正确． 故选：． （多选）3．（2023春•叙州区校级期末）下列说法错误的是　　 A．零向量没有方向 B．共线向量是同一条直线上的向量 C．若向量与向量共线，则有且只有一个实数，使得 D． 【解析】对，零向量的方向规定为任意方向，故错误， 对，共线向量是能平移到一条直线上的向量，不是一定要在一条直线上的向量，故错误， 对，根据共线定理可知，，才有唯一实数，使得，若，则实数不唯一，故错误， 对，，故正确， 故选：． （多选）4．（2024春•凉山州期末）下列关于平面向量的说法正确的是　　 A．若，是共线的单位向量，则 B．若，是相反向量，则 C．若，则向量，共线 D．若，则点，，，必在同一条直线上 【解析】对于，，是共线的单位向量，则或，错误； 对于，若，是相反向量，则，正确； 对于，，即，则向量，共线，正确； 对于，，点，，，可以不在同一 直线上，错误． 故选：． ( 题型02 ) 向量的线性运算 5．（2021春•凉山州期末）在平行四边形中，　　 A． B． C． D． 【解析】四边形为平行四边形， ， ． 故选：． 6．（2024春•自贡期末）在△中，　　 A． B． C． D．0 【解析】在△中， ． 故选：． 7．（2024春•东坡区期末）　　 A． B． C． D． 【解析】． 故选：． 8．（2023春•翠屏区校级期末）下列各式中结果为零向量的是　　 A．B． C． D． 【解析】对，，错误； 对，，错误； 对，，错误； 对，，正确． 故选：． （多选）9．（2023春•锦江区校级期末）下列各式中结果为零向量的是　　 A． B．C． D． 【解析】，，，． 故选：． ( 题型03 ) 用已知向量表示其他向量平面向量 10．（2023春•遂宁期末）三角形中，为边上一点，且满足，则等于　　 A． B． C． D． 【解析】， 故选：． 11．（2024春•雅安期末）如图，在梯形中，，在上，且，设，，则　　 A． B． C． D． 【解析】因为在梯形中，，在上，且，，， 所以， ． 故选：． 12．（2022春•新都区校级期末）如图，在平行四边形中，是的中点，，则　　 A． B． C． D． 【解析】在平行四边形中，是的中点，， 由图可知，． 故选：． 13．（2024春•凉山州期末）在中，边上的中线为，点满足，则　　 A． B． C． D． 【解析】由题意可知，， 如图所示： 所以， 即． 故选：． ( 题型04 ) 向量共线问题 14．（2024春•仁寿县期末）已知向量，，若与共线，则　　 A． B．4 C． D．或4 【解析】由两向量共线可知，即，解得或． 故选：． 15．（2024春•成都期末）已知，为两个不共线的向量，且，，则下列向量与共线的是　　 A． B． C． D． 【解析】因为，，则， 结合向量共线定理可知，，选项符合． 故选：． 16．（2024春•四川期末）已知是不共线的向量，且，则　　 A．，，三点共线 B．，，三点共线 C．，，三点共线 D．，，三点共线 【解析】对于中，设，即， 可得，此时方程组无解，所以，，三点不共线，所以不正确； 对于中，设，且，可得， 可得，解得，所以，，三点共线，所以正确； 对于中，设，且，可得， 可得，此时方程组无解，所以，，三点不共线，所以不正确； 对于中，设，可得， 可得，此时方程组无解，所以，，三点不共线，所以不正确． 故选：． 17．（2024春•仁寿县期末）已知平面向量不共线，且，若，，三点共线，则　　． 【解析】，，三点共线， 与共线，设， ，， ， 又， ，解得． 故答案为：1． 18．（2024春•江阳区期末）已知，． （1）若，且、、三点共线，求的值． （2）当实数为何值时，与垂直？ 【解析】（1），，，， 则，，且、、三点共线， 则可得， 即，解得； （2），，，， 则，， 因为与垂直， 则可得，解得． 19．（2024春•成都期末）设向量与不共线． 若，，若，，，求实数的值； 若，，，求证：，，三点共线． 【解析】（1），， 则， ，即，即，解得； （2）证明：，，， 则，， 则， 有公共点， 则、、三点共线． ( 题型0 5 ) 向量数量积的运算 20．（2023秋•翠屏区校级期末）平行四边形中，，，，点是边的一个四等分点（靠近点），则的值是　　 A． B． C．1 D．2 【解析】已知平行四边形中，，，，点是边的一个四等分点（靠近点）， 则，， 又，， 所以． 故选：． 21．（2023秋•泸州期末）已知△是边长为3的正三角形，若，则　　 A． B． C． D． 【解析】如图所示，因为△是边长为2的等边三角形，且， 所以， 所以． 故选：． 22．（2024春•成都期末）在中，，，，则　　 A． B．16 C．32 D． 【解析】因为，，， 所以，即， 所以． 故选：． 23．（2024春•泸州期末）如图，为直角三角形，，，为斜边的中点，为线段的中点，则　　 A．1 B． C． D． 【解析】为斜边的中点， 则， 为线段的中点， 则， ， ，，为直角三角形， 故． 故选：． ( 题型0 6 ) 向量垂直的应用 24．（2024秋•凉山州期末）已知向量，，且与垂直． （1）求的值； （2）求与的夹角，． 【解析】（1），， ， 与垂直， ， ； （2）， ，， ，， ，． 25．（2024春•德阳期末）平面向量，，若，则实数　　 A． B．9 C． D．7 【解析】根据题意，平面向量，， 则， 若，则，解可得． 故选：． 26．（2024春•青羊区校级期末）已知向量，，若，则　　 A． B． C． D． 【解析】因为向量，， 若，则， 解得． 故选：． 27．（2024春•仁寿县期末）已知向量，若，则实数　　 A． B． C． D． 【解析】，， 则，解得． 故选：． ( 题型0 7 ) 向量夹角相关计算 28．（2024秋•凉山州期末）已知向量，向量，则与的夹角为　　 A． B． C． D． 【解析】因为向量，向量， 所以，，， ， 所以， 因为，所以． 故选：． 29．（2024春•攀枝花期末）已知是单位向量，，若在方向上的投影向量是，则与的夹角为　　 A． B． C． D． 【解析】因为是单位向量，所以， 因为在方向上的投影向量是， 所以，即， 因为，所以， 因为，所以． 故选：． 30．（2024春•宜宾期末）已知向量，，若，则与的夹角为　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，，则， 因为，所以， 即，所以， 设与的夹角为，则，又，， 所以与的夹角为． 故选：． 31．（2024春•东坡区期末）设向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围 　　 ． 【解析】因为向量，，且与的夹角为锐角，则，且、不共线， 所以，解得，且； 所以实数的取值范围是，，． 故答案为：，，． 32．（2024春•东坡区期末）已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为　　 A． B． C．，， D．，， 【解析】当与反向共线时，， 与的夹角为钝角， 且， ，解得，且． 故选：． ( 题型0 8 ) 向量模长相关计算 33．（2024春•雅安校级期末）已知，均为单位向量，它们的夹角为，则　　 A．1 B． C． D．2 【解析】由题意可得：， ，均为单位向量，它们的夹角为， ， ， 故选：． 34．（2023春•泸县校级期末）已知向量，满足，，且，的夹角为，则　　 A． B．7 C． D．3 【解析】，，且，的夹角为， ， 则． 故选：． 35．（2023春•天府新区期末）如图、在四边形中，，分别为，的中点． （1）求证：； （2）若，，向量，的夹角为，，求． 【解析】证明：（1），分别为，的中点， ，， ，① ，② ①②得：， ． 解：（2），， ， ，向量，的夹角为， ， ． 36．（2023春•成都期末）在中，交于点，设． （1）用，表示； （2）若，，，夹角为，求． 【解析】（1），， 故 ， ； （2）设，则有 ， ，，三点共线， ， 故 ， ，，，夹角为， ． ( 题型0 9 ) 向量的投影向量 37．（2024秋•资阳校级期末）已知平面向量，，则在上的投影向量为　　 A． B． C． D． 【解析】平面向量，， 则，， 故所求投影向量：． 故选：． 38．（2024春•凉山州期末）已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为　　 A． B． C． D． 【解析】因为， 所以，， 所以在方向上的投影向量的坐标为． 故选：． 39．（2024春•仁寿县期末）若向量，则在上的投影向量的坐标为　　 A． B． C． D． 【解析】在上的投影向量为 ． 故选：． 40．（2024春•南充期末）已知向量与的夹角是，且，，则向量在向量上的投影向量是　　 A． B． C． D． 【解析】因为向量与的夹角是，且，， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为． 故选：． 41．（2024春•德阳期末）若，，则在方向上的投影向量为　　 A． B． C． D． 【解析】因为，且， 所以，解得，则， 所以在方向上的投影向量为． 故选：． 1．（2024春•郫都区校级期末）已知平面向量，的夹角为，且满足，，则下列说法错误的是　　 A． B． C． D．与的夹角为 【解析】对于，因为平面向量，的夹角为，且满足，， 所以，故正确； 对于，由知，则，故正确； 对于，，故正确； 对于，因为， 所以，， 所以，，故错误． 故选：． 2．（2023秋•四川期末）已知向量，满足，，且，则　　 A．5 B． C．10 D． 【解析】已知， 则， 又， 则， 又， 则， 所以． 故选：． 3．（2024春•凉山州期末）已知为非零向量，若向量在上的投影向量为，则的最小值是 　　． 【解析】因为向量在上的投影向量为， 所以，即， 所以， ， 因为为非零向量，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是． 故答案为：． （多选）4．（2024春•眉山期末）如图，在矩形中，，，是的中点，是上的一点，且，则下列说法正确的是　　 A． B． C． D． 【解析】由题意，，故正确，错误； 因为， 所以 ，故错误，正确． 故选：． （多选）5．（2024春•雅安期末）若平面向量，满足，则　　 A． B．向量与的夹角为 C． D．在上的投影向量为 【解析】已知平面向量，满足， 对于， 则， 故正确； 对于， 故错误； 对于， 又， 则向量与的夹角为， 故错误； 对于在上的投影向量为， 故正确． 故选：． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$