题型二 平面直角坐标系中的规律探究 2025年 中考数学复习课件（河南专版）

题型二 平面直角坐标系中的规律探究 1 类型1 旋转型 （第1题） 1.如图,在平面直角坐标系中,风车图案的中心为正方形 正方形的中心为 ，四个叶片为全等的平行四边形,其中 一个叶片上的点,的坐标分别为,,将风车绕点 逆时针旋转,每次旋转 ，则第2 025次旋转结束时,点 的坐标为( ) B A. B. C. D. 2025河南中考专题 2 （第1题） 【解析】易求 风车绕点 逆时针旋转， 每次旋转 ，而， 每旋转 12次为一个循环.而 ， ， 第2 025次旋转结束时点D 的位置与第9次旋转结束时点D的位置相同，即 在第四象限，且此时点D到轴的距离为1，到 轴的距离为3， . 2025河南中考专题 3 （第2题） 2.如图，已知矩形的顶点, ,若矩形绕 点逆时针旋转，每次旋转 ,则第75次旋转结束时， 矩形对角线的交点 的坐标为( ) C A. B. C. D. 2025河南中考专题 4 【解析】如图，易知，取 轴正半轴上任一点 ，则 矩形绕点 逆时针旋转，每次 旋转 ，而， 每8次为一个循环. 又， 第75次旋转结束时点D的 位置与第3次旋转结束时点D的位置相同，即点D从 初始位置逆时针旋转了 ，恰好落在轴的负半轴上，记为 ，则 ， . 2025河南中考专题 5 巧解快解 观察各选项，点在第一象限，点在 轴正半轴上，点在 轴负半轴上，点 在第四象限，故只分析点 第75次旋转结束 时的大致位置，即可确定正确选项. 2025河南中考专题 6 （第3题） 3.新角度 倒推旋转次数如图，在 中， ，顶点在第一象限，点， 分别 在轴、轴上，，， .将 绕点顺时针旋转，每次旋转 ，若旋转 结束时,点的对应点的坐标是 ，则旋转的 次数可能是( ) C A.2 022 B.2 023 C.2 024 D.2 025 2025河南中考专题 7 （第3题） 【解析】绕点顺时针旋转，每次旋转 ， 每旋转4次为一个循环，且第1,2,3,4,5， 次旋转结束时， 点A的对应点 分别在第四象限、第三象限、第二象限、 第一象限、第四象限……若旋转结束时，点 的坐标为 ，则说明 旋转了整数个循环，故旋转的次数 为4的整数倍，故选C. 名师碎碎念 本题不用根据条件求点的坐标，只要根据旋转规律推得点 的对应点所在的象限即可. 2025河南中考专题 8 （第4题） 4.如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点 在轴正半轴上，顶点， 在第一象限， ，点的坐标为.将菱形 绕 原点逆时针旋转，每次旋转 ，则第2 025次 旋转结束时，点的对应点 的坐标为( ) D A. B. C. D. 2025河南中考专题 9 （第4题） 【解析】如图，延长交轴于点 ， 轴.又 ， ， ， ， ， 旋转过程中，每 旋转6次为一个循环.又， 的位置与第3次 旋转结束时点B的对应点的位置相同.又 ， 点 与 点B关于原点对称， . 2025河南中考专题 10 （第5题） 5.新考法 结合赵爽弦图探究坐标规律如图，在平面直角 坐标系中，大正方形 是由四个全等的直角三角形和 一个小正方形组成的“赵爽弦图”,正方形 的中心与原 点重合，轴，正方形 的面积为5,正方形 的面积为1,将绕点 顺时针旋转，每次旋转 ,则第204次旋转结束时，点 的坐标为( ) D A. B. C. D. 2025河南中考专题 11 【解析】绕点顺时针旋转，每次旋转 ， 每4次为一个循环.又， 第204次旋转结 束时，点回到起点.如图，过点作于点 正方形的面积为5，正方形 的面积为1， ，.设，则 . 在中,由勾股定理，得，解得 ， （舍去），，.易证 ， ， 2025河南中考专题 12 ，， ， ， ， . 2025河南中考专题 巧解快解 绕点顺时针旋转，每次旋转 ， 每4次为 一个循环.又， 第204次旋转结束时，点 回到起点，即第四象限，故可排除选项A，B. 方法一：正方形的面积为1，.连接 ， 则 .由C项中的坐标可得 ,故可排除C项. 2025河南中考专题 14 方法二：过点作于点，设 ， ，， ， ， ， ，可知选D. 2025河南中考专题 15 旋转变换下点 的坐标规律的解题步骤 （1）求出点 的初始位置的坐标. （2）确定多少次旋转是一个循环，记次数为 如每次旋转 ，，若求第 次旋 转结束时点 的坐标，就计算： ,则第 次旋转结束时的点 与第次旋转结束时的点 重合. 2025河南中考专题 16 （3）求点 的坐标： ①若，则点与点 的初始位置重合； ②若第次旋转结束时，点恰好旋转了 ，则点 与点 的初始位置关于原点对称； ③若是其他情况，可根据等边三角形如旋转角恰为 或、等腰直角三角形如旋转角恰为 或 等 特殊三角形的性质进行求解. 2025河南中考专题 17 （第6题） 6.在平面直角坐标系中， 的位置如图所示，其中 ，.将 绕某点顺时针旋转，每次旋转 .第1次旋转结束时，得到点,, 的对应 点分别为点，，,则第202次旋转结束时，点 的对应点 的坐标为______. 2025河南中考专题 18 【解析】如图，连接，分别作线段和 的垂 直平分线，两直线交于点，则点 即为旋转中心．易 知点的坐标为， 每旋转4次 为一个循环.又， 点 的位置与 点第2次旋转结束时的位置相同，易知点 如图所 示，其坐标为 . 2025河南中考专题 19 （第2题） 7.倒推旋转次数 如图，在 中， ，顶点 在第一象限，点 ， 分 别在 轴、 轴上， ， ， .将 绕点 顺时针旋转，每次旋转 ，若旋转结束时,点 的对应点 的坐标是 ，则旋转的次数可能是( ) C A. 2 022 B. 2 023 C. 2 024 D. 2 025 20 【解题思路】 绕点 顺时针旋转，每次旋转 ， 每旋转4次为一个循环，且第1,2,3,4,5， 次旋转结束时，点 的对应点 分别在第四象限、第三象限、第二象限、第一象限、第四象限……若旋转结束时，点 的坐标为 ，则说明 旋转了整数个循环，且 ，故旋转的次数为4的整数倍，故选C. 21 （第4题） 8. 如图，在 中，顶点 在 轴的负半 轴上， ， ， .将 绕点 逆时针旋转，每秒旋转 ， 则第2 024秒旋转结束时，点 的对应点的坐 标为_ ______. <m></m> 22 【解题思路】 ， ， ， ， .在 中， ， ， ， .将 绕点 逆时针 旋转，每秒旋转 ，而 ， 每旋转6秒为一个循环.又 ， 第2 024秒旋转结束时，点 的对应点的位置 与第2秒旋转结束时点 的对应点的位置相同，此时点 的对应点 在 轴负半轴上，且 ， . 23 类型2 平移型 （第7题） 9.如图,在平面直角坐标系中,点为 轴上一点， ,以为底构造等腰三角形 ,且 ,将沿着射线 方向平移,每次 平移的距离都等于线段 的长,则第70次平移结束时, 点的对应点 的坐标为( ) C A. B. C. D. 2025河南中考专题 24 【解析】是等腰三角形， ， ，.如图，过点B作 轴 于点C，则，， 点 B的坐标为.将沿着射线 方向平移， 每次平移的距离都等于线段的长， 点B每次向右 平移1个单位长度，向上平移 个单位长度，故第70 次平移结束时，点的横坐标为 ，纵坐标为 ， . 2025河南中考专题 25 类型3 渐变型 （第8题） 10.如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点 在第 二象限，， .将绕点 顺时针旋转并以点为位似中心扩大，每次旋转 ， 扩大后的面积为原来的4倍.例如：将 旋转并扩大 后，得到，且；将 再旋转并扩大后，得到，且 以此类推， 则的顶点 的坐标是________. 2025河南中考专题 26 （第8题） 【解析】在三角形变换的过程中，射线为自然数 的位置每3次变换（旋转并扩大1次为1次变换）为1个循 环.， 射线与射线 重合， 故点在 轴正半轴上.根据“相似三角形的面积比等于 相似比的平方”，可知，， ， ， ，， . 2025河南中考专题 27 （第6题） 11. 在平面直角坐标系中,菱形 的位置如图所示,其 中点 的坐标为 .第1次，将菱形 绕点 逆 时针旋转 ,同时边长扩大为原来的2倍得到菱形 即 ；第2次，将菱形 绕点 逆时针再旋转 ,同时边长扩大为原来的2倍 得到菱形 即 ；第3次，将菱 形 绕点 逆时针再旋转 ,同时边长扩大为原来的2倍得到菱 形 即 依次类推,则点 的坐标为( ) 28 A. B. C. D. √ 29 【解题思路】点 ， ， ， ， ， 分别在第二象限、第三象限、第四象限、第一象限、第二象限……每旋转4次为一个循环，又 ， 点 在第四象限.结合各选项中的坐标，可知选A. 30 类型4 徘徊型 12.如图，在平面直角坐标系中，的顶点,, 的坐 标分别为，，.点,,, 中的相邻两点 关于的一个顶点对称.如：点,关于点 对称；点 ,关于点对称；点,关于点对称；点, 关于点 C A. B. C. D. 对称；点,关于点对称；点,关于点 对称……对称中心分别是 ,,,,,, ，且这些对称中心依次循环，若点的坐标是 ,则点 的坐标是( ) 2025河南中考专题 31 【解析】如图，根据规律标出点，,,,, 的位置，其中点与点重合，从而可知点 ， ，,,,,， 的位置每6个为一个循环， 又， 点与点 重合， 其坐标为 ，故选C. 2025河南中考专题 32 13.新考法 结合抛物线考查点的坐标规律如图，在平面直角坐标系中，将 抛物线沿 轴翻折，并向右平移2个单位长度， 得到抛物线，再将抛物线沿 轴翻折，并向右平移2个单位长度，得到 抛物线 直线从与轴重合的位置出发，沿 轴正方向平移，每秒平 移个单位长度.设抛物线，，， 组成的曲线与直线交于点 ，则 第205秒结束时，点 的纵坐标为_____. 2025河南中考专题 33 【解析】第1秒结束时， ；第2秒结束时， ；第3秒结束时， （依据：抛物线的对称性）； 第4秒结束时，；第5秒结束时，；第6秒结束时， ； 第7秒结束时，；第8秒结束时， .根据这条曲线的形成规律， 可知点的纵坐标每8秒为1个循环.， 第205秒结束 时，点的纵坐标与第5秒结束时的纵坐标相同，为 . . . 2025河南中考专题 34 （第7题） 17. 如图，在正六边形 中， ， ，点 从点 出发，沿 以每秒1个单位长度 的速度做循环运动，当运动到第2 023秒结束时， 的面积为( ) B A. B. C. D. 1 35 【解题思路】由 ， ，易知 轴、 轴均 是正六边形 的对称轴.如图，连接 ，易知 是等边三角形， 点 的运动 速度为每秒1个单位长度，正六边形 的周长为 12， 点 运动一周需要12秒（关键点）. ， 当运动到第2 023秒结束时，点 在 的 中点处，且 ，过点作轴于点（巧作辅助线： ，图可 巧，作垂直，建直角），则 ， . 36 类型 5 其他类型 （第8题） 15. 跳跃运动 如图,在平面直角坐标系中,动点 从 出发,向上运动1个单位长度到达点 , 分裂为两个点,分别向左上、右上运动到点 、 点 ,此时称动点 完成第一次跳跃,再分别从 ， 点出发,每个点重复上述运动,到达点 ， ， ,此时称动点 完成第 二次跳跃……以此规律跳跃下去,动点 完成第2 023次跳跃时,最左边的点 的坐标是( ) 37 A. B. C. D. √ 38 【解题思路】分析如下： 完成跳跃后，最左边的点的坐标 第1次跳跃 ，即 第2次跳跃 ，即 第3次跳跃 ，即 … … 第 次跳跃 故动点 完成第2 023次跳跃时，最左边的点的坐标是 . 39 （第9题） 16. 翻折 平移 如图，在平面直角坐标系中， 正方形 的两个顶点为 ， ， 规定把正方形 “先沿 轴翻折，再向下平移 1个单位”为一次变换，这样连续经过2 023次变换 后，正方形 的中心的坐标为( ) C A. B. C. D. 40 【解题思路】（第一步：求变换之前正方形 的中心的坐标.） 设变化之前正方形 的中心为 .由 ， ，得 四边形 是正方形， ， ， . （第二步：求变换过程中点 的坐标的变化规律.） 第1次变换结束时，点 的对应点的横坐标为 ，纵坐标为 ；第2 次变换结束时，点 的对应点的横坐标为3，纵坐标为 ；第3次 变换结束时，点 的对应点的横坐标为 ，纵坐标为 第 次变换结束时，点 的对应点的横坐标为 ，纵坐标为 . （第三步：确定第2 023次变换结束时点 的对应点的坐标.） 第2 023次变换结束时，点 的对应点的坐标为 . 41 $$