专题06 一元函数的导数及其应用（期末压轴专项训练49题）-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（人教A版2019）

专题06 一元函数的导数及其应用（期末压轴专项训练49题） 一、切线及其应用 1．已知函数，若曲线与有两条公切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 3．点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（    ） A． B． C． D． 4．动直线分别交直线和曲线于，两点，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 5．已知点不在函数的图象上，且过点有三条直线与的图象相切，则实数的取值范围为 ． 6．已知曲线与有公共切线，求实数a的取值范围是 7．若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是 . 8．过点可作曲线的切线的条数最多为 . 9．若两曲线与存在公切线，则的范围是 二、函数的单调性 1．已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．已知定义在上的奇函数，其导函数为，当时，恒有.则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 6．已知函数. (1)若，求函数在的切线方程； (2)讨论的单调性. 7．已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)求的单调区间. 8．已知函数，． (1)当时，求证：； (2)设函数，讨论函数的单调区间． 三、函数的极值、最值 1．已知函数. (1)若曲线在点处的切线过点，求的值； (2)求的极值点. 2．已知. (1)若 （i）过点作曲线的两条切线，求的取值范围； （ii）求不等式的解集； (2)若在区间内存在极小值点，求的取值范围. 3．已知函数. (1)若函数在点处的切线与轴平行，求的值； (2)当时，设的极大值为，求证：. 4．已知函数； (1)若，求函数的单调区间； (2)当时，求函数在上的最大值． 5．已知函数. (1)若点是曲线上的动点，求点到直线的最短距离； (2)若函数，求在上的最大值. 6．已知函数. (1)若曲线在点处的切线方程为，求的极值； (2)若，求在区间上的最大值. 四、不等式恒（能）成立 1．已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)求函数的极值； (3)当时，不等式在上恒成立，求整数的最大值． 2．函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，解方程； (3)当时，不等式恒成立，求a的取值范围. 3．设函数． (1)若函数在处的切线经过点，求实数的值； (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 4．已知函数． (1)当时，恒成立，求实数的最大值； (2)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 5．已知函数. (1)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若，使得，求实数a的取值范围. 6．已知函数的最大值是． (1)求实数的值； (2)设函数，若，使，求实数的取值范围． 五、函数零点（方程根）问题 1．已知函数. (1)当时，求在区间上的最值； (2)记. （i）证明：曲线为中心对称图形； （ii）若函数有三个零点，求的取值范围. 2．已知函数． (1)当，求在点处的切线方程； (2)若，且， （ⅰ）求的极值； （ⅱ）当时，判断零点个数，并说明理由． 3．已知函数，． (1)当时，函数的最小值为，求实数a的值； (2)当时，试确定函数的零点个数，并说明理由． 4．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)设，若有两个零点，求实数的取值范围． 5．已知函数，. (1)证明：方程有唯一解； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数有两个零点，求实数的取值范围. 6．已知函数，. (1)若，求的取值范围； (2)当时，若方程在上存在实数根，求b的取值范围. 六、利用导数解决双变量问题 1．已知函数. (1)当时，求在区间上的最值； (2)记. （i）证明：曲线为中心对称图形； （ii）若函数有三个零点，求的取值范围. 2．已知函数． (1)当，求在点处的切线方程； (2)若，且， （ⅰ）求的极值； （ⅱ）当时，判断零点个数，并说明理由． 3．已知函数，． (1)当时，函数的最小值为，求实数a的值； (2)当时，试确定函数的零点个数，并说明理由． 4．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)设，若有两个零点，求实数的取值范围． 5．已知函数，. (1)证明：方程有唯一解； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数有两个零点，求实数的取值范围. 6．已知函数，. (1)若，求的取值范围； (2)当时，若方程在上存在实数根，求b的取值范围. 七、极值点偏移问题 1．定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”． (1)若与为“契合函数”，且只有一个“契合点”，求实数a的取值范围． (2)若与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”． ①求b的取值范围； ②证明：． 2．已知函数． (1)求函数的单调区间和极值； (2)若，且，求证：． 3．已知函数． (1)若只有一个零点，求的值； (2)若有两个零点，证明：． 4．设. (1)若，求函数的图象在处的切线方程； (2)若在 上恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数存在两个极值点，求证：. 5．已知函数恰有两个零点． (1)求的取值范围； (2)证明：． 八、导数中的新定义题 1．若定义在上的函数和分别存在导函数和，且对任意实数，都存在常数，使成立，则称函数是函数的“控制函数”，称为控制系数． (1)求证：函数是函数的“控制函数”； (2)若函数是函数的“控制函数”，求控制系数的取值范围； (3)若函数，函数为偶函数，函数是函数的“控制函数”，求证：“”的充要条件是“存在常数，使得恒成立”． 2．在高等数学中，我们将在处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：（其中表示的n次导数），以上公式我们称为函数在处的泰勒展开式．当时泰勒展开式也称为麦克劳林公式．比如在处的麦克劳林公式为：，由此当时，可以非常容易得到不等式请利用上述公式和所学知识完成下列问题： (1)写出在处的泰勒展开式； (2)根据泰勒公式估算的值，精确到小数点后两位； (3)若，恒成立，求a的范围．（参考数据） 3．定理：如果函数在闭区间上的图象是连续不断的曲线，在开区间内每一点存在导数，且，那么在区间内至少存在一点c，使得，这是以法国数学家米歇尔•罗尔的名字命名的一个重要定理，称之为罗尔定理，其在数学和物理上有着广泛的应用. (1)设，记的导数为，试用上述定理，说明方程根的个数，并指出它们所在的区间； (2)如果在闭区间上的图象是连续不断的曲线，且在开区间内每一点存在导数，记的导数为，试用上述定理证明：在开区间内至少存在一点c，使得； (3)利用（2）中的结论，证明：当时，（为自然对数的底数）. 4．中国古建筑具有悠久的历史，屋顶的设计形式有硬山、悬山、攒尖、歇上、庑殿等，具有独特的线条美感，其曲线之美让人称奇．曲线的曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标，定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率． (1)若曲线与在处的曲率分别为，，求证：； (2)求曲线曲率的平方的最大值． 5．对给定的实数a，b，q，其中，.如果函数，：满足（1）对任意的，且；（2）对任意的，.则称为在区间上的一个“q-压缩函数”.区间上所有“q-压缩函数”构成的集合记作. (1)判断下列函数，是否属于集合？（直接写出结论） ①②③ (2)设，若求实数a的取值范围. (3)设.若对任意的，，均有，求M的最小值，并说明理由. 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 一元函数的导数及其应用（期末压轴专项训练49题） 一、切线及其应用 1．已知函数，若曲线与有两条公切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、简单复合函数的导数、利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（含参） 【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义，结合公切线建立方程组，消元构造函数，利用函数有两个零点，借助导数求出范围. 【详解】设公切线与曲线、曲线相切的切点分别为， 而，依题意，，则，因，则， 消去得，令函数， 由曲线与有两条公切线，得函数有两个不同的正零点， ，当时，；当时，， 函数在上递减，在上递增，， 而当从大于0的方向趋近于0时，，当时，， 则当且仅当，即时，函数有两个不同零点， 所以的取值范围是. 故选：C 2．已知，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】D 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的加减法、用两点间的距离公式求函数最值、求点到直线的距离 【分析】根据条件可将转化为函数图象的点到直线上的点的距离，数形结合，求解最小值为两直线平行时的距离，即可得到的最小值，由此一一判断各选项，即得答案. 【详解】解：由题意可知在的图象上， 在的图象上， 由，得， 所以可转化为函数图象的点到直线上的点的距离， 对于，， 当时，，当时，， 当时，；当时，由于增加的速度小于x增加的速度，故； 由此可作出和的图象，如图： 结合图象可知有最小值，无最大值，AB错误； 又因为与直线平行的直线的斜率为， 令，解得， 则的与平行的切线的切点坐标为， 所以到直线的距离为， 所以的最小值为，此时，所以D正确，C错误， 故选：D 3．点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求点到直线的距离 【分析】由题意可知，把直线平移到与曲线首次相切时，切点到直线的距离最小，据此求解即可. 【详解】由题意可知，把直线平移到与曲线首次相切时，切点到直线的距离最小， 求导得，令，解得或（舍去）， 当时，，即， 由点到直线的距离公式可求得点到直线的距离为. 故选：C. 4．动直线分别交直线和曲线于，两点，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则、求平行线间的距离 【分析】根据题意，先求得过曲线上的某点且与直线平行的切线方程，再将的最小值转化为两平行直线的距离，即可得到结果. 【详解】设过曲线上的点的切线方程与直线平行， 则，所以，解得或（舍）， 即，则切点为， 切线方程为，化简可得， 则的最小值即为切线与直线的距离， 所以. 故选：C 5．已知点不在函数的图象上，且过点有三条直线与的图象相切，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】求过一点的切线方程、利用导数研究函数的零点 【分析】根据题意，设出切点坐标，由导数的几何意义可得，将问题转化为函数有三个零点问题，然后列出不等式，即可得到结果. 【详解】点不在函数的图象上，则，即， 设过点的直线与的图象相切于， 则切线的斜率，整理可得， 则问题可转化为有三个零点， 且，令，可得或， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 即当时，有极大值，当时，有极小值， 要使有三个零点， 则，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 6．已知曲线与有公共切线，求实数a的取值范围是 【答案】 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题、利用导数研究方程的根 【分析】由题意可知在存在公切线，由同一条切线的斜率相等，截距相等可将问题转化为方程在上有解，构造函数，利用导数求得的值域，结合题干条件可求得实数a的取值范围. 【详解】由题意可知在上分别存在两个点，使得在处的切线与在处的切线为同一条直线， 因为，由同一条切线的斜率相等可得， 由同一条切线的截距相等，可得， 即， 将斜率相等的表达式代入可得， 即方程在上有解， 令，则， 令，得，当时，；当时，， 且当时，；当时，， 所以存在极大值同时也是最大值，所以的值域为， 若方程在上有解，则， 又，所以. 故答案为：. 7．若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点 【分析】利用导数几何意义，分别设出两条曲线的切线方程，将问题转化为一条直线与一条曲线交点个数问题，即可求出的取值范围. 【详解】设公切线为是与的切点，由，得， 设是与的切点，由，得， 所以的方程为，因为，整理得， 同理，因为，整理得， 依题意两条直线重合，可得， 消去，得， 由题意此方程有三个不等实根，设， 即直线与曲线有三个不同的交点， 因为，令，则， 当或时，；当时，， 所以有极小值为，有极大值为， 因为，，，所以， 当趋近于时，趋近于0；当趋近于时，趋近于， 故的图象简单表示为下图： 所以当，即时，直线与曲线有三个交点， 故答案为： 8．过点可作曲线的切线的条数最多为 . 【答案】 【知识点】求过一点的切线方程、导数的加减法 【分析】设切点坐标为，利用导数求出切线方程，将点的坐标代入切线方程，求出的值，即可得出结果. 【详解】设切点坐标为． 因为，所以，则切线斜率为， 所以切线方程为． 又点在切线上，所以，解得， 故过点可作条切线与曲线相切． 故答案为：. 9．若两曲线与存在公切线，则的范围是 【答案】. 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】根据一元函数导数求切线的方法，设出两条曲线的切线，根据两条切线的斜率和截距分别相当，列出方程组，即可求出的范围. 【详解】对求导，，设切点，则切线方程为：, 化简得. 对求导，，设切点， 则切线方程为：，化简得. 则根据公切线可列方程组，消去得到， 化简得. 令，求导， 当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 可知在上单调递增，在上单调递减，在出取得最大值， ，值域为， 所以的范围是, 故答案为：. 二、函数的单调性 1．已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】设，求导，结合已知条件得在定义域上单调递增，然后化简已知不等式得，利用单调性即可求解. 【详解】设， 则， 因为，所以，又，所以恒成立， 所以在定义域上单调递增． 故原不等式可转化为，又，所以， 所以，所以，故不等式的解集为． 故选：B 2．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】令，，利用导数说明函数的单调性，即可得到，再由，即可得解. 【详解】令，， 则，因为，所以，所以， 则，所以， 所以，所以在上单调递减， 所以，即，即，即， 又，， 所以. 故选：B 3．已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】构造函数，求导后判断的单调性，然后根据单调性解不等式即可. 【详解】令，则， 所以在上单调递减，则原不等式等价于， 因为，所以， 所以，所以，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B 4．已知定义在上的奇函数，其导函数为，当时，恒有.则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、函数奇偶性的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】利用构造偶函数，结合求导可判断单调性，从而求解原不等式. 【详解】根据题意可构造函数， 则， 由题可知，所以在区间上为增函数， 又由于为奇函数，为奇函数，所以为偶函数， 又，即， 又为开口向上的偶函数，所以，解得或. 故选：B. 5．已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）当时，求得，得到且，结合导数的几何意义，即可求得切线方程； （2）根据题意，求得，分和，两种情况，再结合两根得到大小，分三种情况讨论，即可求解. 【详解】（1）当时，函数，可得 且， 故曲线在点处的切线方程. （2）由函数，其定义域为， 且， ① 若，可得 当时，可得；当时，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减； ② 若时，则，令，可得或， 当时，即时，令，可得或； 令，可得，所以在上递增，在上递减； 当时，即时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，即时，令，可得或； 令，可得，所以在上递增，在上递减； 当时，令，可得，令，可得， 所以在上递增，在上递减， 综上可得：当时，在上递增，在上递减； 当，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上递增，在上递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上递增，在上递减. 6．已知函数. (1)若，求函数在的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）当时，求出、，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间. 【详解】（1）当时，，所以，则，， 故当，函数在的切线方程为，即. （2）因为，其中， 当时，，由得；由得. 当时，令， 令得，， 当时，由得；由得. 当，即时，由得； 由得. 当，即时，对任意的恒成立； 当，即时，由得， 由得. 综上，当时，函数的增区间为，减区间为； 当时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的增区间为、，减区间为. 7．已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)求的单调区间. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解； （2）求出导数，再根据得出方程的根，根据的范围讨论即可求出函数单调区间； 【详解】（1）由，所以， 所以，又， 所以曲线在处的切线方程为， 即； （2）由，定义域为， 当时，令得或， （i）时，，，令，得， 令，得或， 所以的递增区间为，递减区间为，； (ii)时，，所以在上单调递减； （iii）当时，即，， 令，得， 令，得或， 所以的递增区间为，递减区间为，； 当时，令，得；令，得， 所以的递增区间为，递减区间为； 综上所述， 当时，的递增区间为，递减区间为，； 当时，在上单调递减； 当时，的递增区间为，递减区间为，； 当时，的递增区间为，递减区间为. 8．已知函数，． (1)当时，求证：； (2)设函数，讨论函数的单调区间． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【知识点】利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求导，然后利用导函数求解函数的单调性及最值，即可证明； （2）求导函数，按照、、、分类讨论求解单调区间即可. 【详解】（1）当时，，则， 令，得，令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，得证； （2）因为，其中， 则， ①当，即时， 由可得，，由可得，， 此时，函数的减区间为，增区间为； ②当，即时， 由可得，，由可得，或， 此时，函数的增区间为、，减区间为； ③当，即时，对任意的，， 此时，函数的增区间为，无减区间； ④当，即时， 由可得，或，由可得，， 此时，函数的增区间为、，减区间为． 综上所述， ①当时，函数的减区间为，增区间为； ②当时，函数的增区间为、，减区间为； ③当时，函数的增区间为，无减区间； ④当时，函数的增区间为、，减区间为． 三、函数的极值、最值 1．已知函数. (1)若曲线在点处的切线过点，求的值； (2)求的极值点. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值 【分析】（1）利用导数的几何意义来求切线斜率，并写出切线方程，代入点即可求值； （2）利用导数研究正负，即可判断原函数单调性和极值点. 【详解】（1）求导得，则，又有， 所以曲线在点处的切线方程为：， 又由切线过点，则； （2）由（1）可知，， 令，则． ①当时，对，有单调递增，无极值． ②当时，的图象开口向下，且对称轴为直线， 又，则在时有一根， 时，单调递增， 时，单调递减． 所以在处取得极大值，极大值点为． ③当时，的图象开口向上，． i．当，即时，有，所以当时， 有单调递增，无极值点． ii．当，即时，在时，， 有两个根． 时，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增．     有极大值点，极小值点． 综上所述， 当时，单调递增，无极值点； 当时，的极大值点为，无极小值点； 当时，的极大值点为，极小值点为． 2．已知. (1)若 （i）过点作曲线的两条切线，求的取值范围； （ii）求不等式的解集； (2)若在区间内存在极小值点，求的取值范围. 【答案】(1)（i）；（ii） (2). 【知识点】求过一点的切线方程、根据极值点求参数 【分析】（1）（i）设切点为，问题可转化为有两个实数根，求解即可；（ii），令，求导可得，进而可求解； （2）求导得，分三种情况讨论函数的单调性，判断极小值点在内可求得的取值范围. 【详解】（1）当时，， （i），设切点为 ，整理得0， 问题转化为方程有两个实数根， ， 或. 的取值范围为. （ii）. 令，则， 由，得， 当时，单调递减， 当时，单调递增，则. 故当时，，当时，， 从而原不等式的解集为. （2）由已知得 1.若， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 在取得最小值，符合题意. 2.若， i）若即， 当在上单调递减， 当在上单调递增， 在取得最小值， ii）当无极值，不符合题意， iii）当即， 当在上单调递减， 当在上单调递增， 在取得极小值符合. 3.若， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 在取得极小值，符合题意； 综上所述：的取值范围为. 3．已知函数. (1)若函数在点处的切线与轴平行，求的值； (2)当时，设的极大值为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】求已知函数的极值、利用导数证明不等式、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）利用导数的几何意义得出，即可得出实数值； （2）对实数的取值进行分类讨论，分析函数的单调性，求出的表达式，再利用导数证明出即可. 【详解】（1）因为 则. 由导数的几何意义可得，得. （2）当时，由可得或， 当时，即当时，由可得或，由可得， 此时函数的增区间为、，减区间为， 则的极大值等于； 当时，，在上单调递增，无极大值； 当时，即当时，由可得或，由可得， 此时函数的增区间为、，减区间为， 所以的极大值等于， 令，所以， 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以故，                         综上所述，. 4．已知函数； (1)若，求函数的单调区间； (2)当时，求函数在上的最大值． 【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为. (2)答案见解析. 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）代入得，求导得，分析其单调性即可； （2）求导得，分和讨论即可. 【详解】（1）函数定义域为， 当时，， 则， 令， 令， 所以的单调增区间为，单调减区间为. （2）， 令解得 ①当时， 当时，在区间上单调递增， 当时，在区间上单调递减． . ②当时， 当时，，在区间单调递增． . 综上所述，当时，， 当时，. 5．已知函数. (1)若点是曲线上的动点，求点到直线的最短距离； (2)若函数，求在上的最大值. 【答案】(1) (2)1 【知识点】已知切线（斜率）求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）法一；设点，点到直线的距离最短需满足在点处的切线与平行,利用导数的几何意义求得,求出切点即可得出结果;法二：设点，由点到直线的距离公式可得,构造函数 ，利用导数求得最值，即可求出切点，进而得出结果； （2）求出的导数，由在单调递增，可判断的单调性，进而可求在上的最大值. 【详解】（1）法一；设点， 则点到直线的距离最短需满足在点处的切线与平行. ，， 切线的斜率. 则点到直线的最短距离. 法二：设点， 点到直线的距离. 设，.. 令，解得. 当变化时，，的变化情况如表所示 1 - 0 + 单调递减 3 单调递增 所以，当时，取得最小值. 所以点到直线的最短距离. （2），， 在单调递增. ， ，使. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. ，， ，， 6．已知函数. (1)若曲线在点处的切线方程为，求的极值； (2)若，求在区间上的最大值. 【答案】(1)的极大值为4，极小值为0 (2)答案见解析 【知识点】求已知函数的极值、函数单调性、极值与最值的综合应用、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程可得，再由导数判断出单调性即可得极值； （2）利用导数求得函数在区间上的单调性，得出其最值的表达式，再对参数的取值范围进行分类讨论得出其最大值. 【详解】（1）由题意， 所以，解得， 因此，则， 由，得或，所以在区间和上单调递增； 由，得，所以在区间上单调递减， 故的极大值为，极小值为. （2）由， 令，得， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以的最大值为或. 而，， ①当，即时，， ②当，即时，. 综上，当时，；当时，. 四、不等式恒（能）成立 1．已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)求函数的极值； (3)当时，不等式在上恒成立，求整数的最大值． 【答案】(1)； (2)当时，函数不存在极值； 当时，函数存在极大值，此时，不存在极小值. (3)4. 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、导数的运算法则、求已知函数的极值 【分析】（1）当时，，求出其导函数，通过判断导函数的正负区间，得到函数的单调性，进而可求得其最小值； （2）将函数代入，得的解析式，求出其导函数，通过讨论得范围，求出函数的单调区间，进而可得其极值； （3）代入得值，将问题转化为对任意恒成立，令，即恒成立，通过求导，判断其单调性，求得得最小值即可. 【详解】（1）当时，，其定义域为， 则， 令，即，解得， 所以当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以，当时，函数取得最小值，即， 所以当时，的最小值为，此时. （2）由题意得，，其定义域为， 则， ①当时，恒成立，所以函数在上单调递增， 所以不存在极值； ②当时，令，解得， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以，当时，存在极大值，无极小值； 综上所述，当时，函数不存在极值； 当时，函数存在极大值，此时，不存在极小值. （3）由题意知，当时，不等式在上恒成立， 即，等价于在上恒成立， 设，即 则， 令，则， 当时，恒成立，则在上单调递增， 又，， 所以，使，即， 当，，即， 当，，即， 即在上单调递减，在上单调递增， 当，存在最小值，即， 由，得， ， 所以， 又，所以的最大值为4. 2．函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，解方程； (3)当时，不等式恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3). 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究方程的根、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）对函数求导，分类讨论、，结合导数的符号确定单调性； （2）由已知得，构造且，并应用导数研究其零点，即可得解； （3）令，则，讨论、，并得到恒成立，利用导数研究右侧的最小值，即可得范围. 【详解】（1）由题设且， 当时，，即在上单调递增， 当时， 若，，即在上单调递减， 若，，即在上单调递增， 综上，时在上单调递增， 时在上单调递减，在上单调递增； （2）由题设，则，故，即， 令且，则， 当，，即在上单调递增， 当，，即在上单调递减， 又，即，当且仅当取等号， 所以的解为，即的解为. （3）由且，令，则， 当时，，此时，满足题设； 当时，恒成立， 令，则， 令，则， 时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增，且， 故时，即，时，即， 所以在上单调递减，在上单调递增，故， 所以，即， 综上，. 3．设函数． (1)若函数在处的切线经过点，求实数的值； (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究不等式恒成立问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程，代入点的坐标，即可求出参数的值； （2）依题意在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，令，，利用导数求出函数的最小值，即可得解； （3）根据题意，转化为，恒成立，设，构造函数利用导数证明，即可求出函数的单调性，求出的最小值，即可求解； 【详解】（1）因为，所以, 则，， 所以函数在处的切线为， 依题意可得，解得； （2）因为，函数在区间上单调递增， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，， 则，所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即实数的取值范围； （3）因为，所以题意等价于当时，， 即，整理得， 因为，所以，故题意等价于， 设，可得， 化简得， 令函数，可得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故在时，取到最小值，即，即， 所以，即， 所以当，即在上单调递减， 当，即在上单调递增， 所以的最小值为， 所以，即实数的取值范围为. 4．已知函数． (1)当时，恒成立，求实数的最大值； (2)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）由题意可知在上恒成立，利用导数求出函数在上的最小值，即可得出实数的最大值； （2）由题意可知，在上有解，利用导数求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）由题，则， 即在上恒成立. 令，， 因为函数、在上均为增函数， 所以，在上单调递增，且． 则当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增． 所以，所以实数的最大值为． （2）不等式在上有解，即在上有解， 令， 则， 当时，， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减， 所以在处取得最小值为， 所以，即实数的取值范围为． 5．已知函数. (1)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若，使得，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，将问题转化为，从而利用反比例函数的单调性即可得解； （2）将问题转化为能成立问题，构造函数研究得的最值，从而得解. 【详解】（1）因为，所以， 因为在上单调递增，所以在上恒成立，即恒成立， 所以，易知在上单调递减，故， 所以. （2）因为，使得，所以能成立， 则能成立，又，故能成立， 令，则，， 令，则恒成立， 所以在上单调递减，注意到， 所以当时，，则在单调递增； 当时，，则在单调递减； 所以， 故，即实数a的取值范围为. 【点睛】结论点睛：“恒成立问题”与“有解问题”在等价转换上的区别： 恒成立问题： （1）恒成立；恒成立． （2）恒成立；恒成立． （3）恒成立；恒成立； （4），，． 有解问题： （1）有解；有解． （2）有解；有解． （3）有解；有解． 6．已知函数的最大值是． (1)求实数的值； (2)设函数，若，使，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用导数研究能成立问题、已知函数最值求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）求出函数导数，分析函数单调性，据此求出函数的最大值即可得解； （2）构造函数，求导后由局部再构造函数，利用导数可得函数单调性，利用零点存在性定理确定唯一零点的大致范围，由此可知为函数最小值，再由隐零点的满足条件化简即可得解. 【详解】（1）求导，得，令 ， 解得 ． 当 时， ；当 时， ， 所以在 上单调递增， 在上单调递减， 所以当 时， 函数有最大值， 即， 所以 （2）令， 求导， 得 令， 求导得， 当时， ， 所以在 上单调递增. 因为 所以存在唯一的， 使， 当时， ; 当时， ， 所以在 上单调递减， 在上单调递增， 由， 得 构造函数， 求导， 得， 所以在 上单调递增， 又，所以 所以. 故实数的取值范围是 【点睛】关键点点睛：构造后，由导数知函数在 上单调递增，需要找到两个合适的值，确定隐零点的范围是解题的第一个关键点，当确定存在唯一的， 使后，利用隐零点得到函数极值，再由隐零点满足的条件构造函数，利用单调性得出是解题的第二个关键所在，解决这两个关键点，即可得解. 五、函数零点（方程根）问题 1．已知函数. (1)当时，求在区间上的最值； (2)记. （i）证明：曲线为中心对称图形； （ii）若函数有三个零点，求的取值范围. 【答案】(1)在区间上的最大值为2，最小值为 (2)（i）证明见解析，（ii） 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点、判断或证明函数的对称性、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）求导，根据导函数的正负，即可根据正负求解函数的单调性，比较端点值以及极值点处的函数值即可求解， （2）（i）根据关于的对称点位，代入化简可求解得解， （ii）根据对称性将问题转化为在上有且仅有一个零点，求导，根据的单调性，对，可判断单调，且，不合题意，当时，根据，，结合零点存在性定理可知的单调性，根据时，，即可求解. 【详解】（1）因为，则， 所以，令，解得， 当，单调递减， 当，单调递增， 又因为， 所以在区间上的最大值为2，最小值为 （2）（i）令得，故的定义域为， 设是图象上任意一点，关于的对称点位， 因为在图象上，所以， ， 所以， 所以关于对称， （ii）因为，所以2是的一个零点， 要使有三个零点，只需要在上有且仅有一个零点， ， 由于在上单调递增，在上单调递增，因此在上单调递增，， 若，即，此时，所以在单调递增， 由可得在没有零点，不符合题意，舍去， 若，即，，又因为，所以存在，使得， 当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增， 所以时，， 时，， 当时，，所以在上存在唯一的零点，符合题意， 综上： 2．已知函数． (1)当，求在点处的切线方程； (2)若，且， （ⅰ）求的极值； （ⅱ）当时，判断零点个数，并说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）答案见解析 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）由导数的几何意义即可求解； （2）（ⅰ）分和两类情况讨论即可求解，（ⅱ）将问题转换成判断的零点个数，求导，通过和两类情况讨论即可. 【详解】（1）当时，，，，， 所以切线方程为：， 即：； （2）（ⅰ）函数的定义域为，且， 所以，则， 当，所以恒成立，所以在上单调递减， 在无极值， 当时，由得： ∴，，，， 即在单调递增，在单调递减， 所以时取得极大值为，无极小值 所以，综上所得：当时，在无极值， 当时，取得极大值为，无极小值． （ⅱ）令，即， 因为，所以， 所以判断的零点个数，即判断的零点个数， 又， 因为，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减 所以，令，则 则令，，则，， 所以， 所以在上单调递减，．所以，当且仅当时等号成立， 所以当时有一个零点，即有一个零点， 当时无零点，即无零点， 综上所得当时有一个零点，当时无零点． 3．已知函数，． (1)当时，函数的最小值为，求实数a的值； (2)当时，试确定函数的零点个数，并说明理由． 【答案】(1) (2)1个零点，理由见解析 【知识点】已知函数最值求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点、求函数零点或方程根的个数 【分析】（1）对函数求导，由，按照的取值分类讨论函数在该区间上的单调性，从而得到最值，计算验证即得的值； （2）由，得方程，显然为此方程的一个实数解．当时，方程可化简为．构造函数，利用导数得到的最小值即可求解. 【详解】（1）由求导得：，因， 当，即时，，则函数在上单调递减， 故，显然不符合题意； 当，即时，，则函数在上单调递增， 故，显然不符合题意； 当，即时，由可得， 当时，，则函数在上单调递减； 当时，，则函数在上单调递增， 故，由，可得，符合题意. 故实数a的值为. （2）由，可得， 显然是该方程的一个实数解，故是函数的一个零点； 当时，方程可化简为，设函数，则， 由可得，当时，，则函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增， 故函数的最小值为， 即对任意的，恒成立，故方程无实数解，即时，函数不存在零点. 综上，函数有且只有1个零点. 4．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)设，若有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）先求定义域以及导函数，再分、两种情况，分类讨论出函数的单调性； （2）将问题转化为在上有两个零点，再结合（1）的单调性可得，再通过以及当时，来说明时在上有两个零点的正确性. 【详解】（1）函数的定义域为， 又， 则当时，恒成立，则在上单调递减； 当时，得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 综上，时，在上单调递减； 时，在上单调递减，在上单调递增. （2）因在上单调递增， 则有两个零点等价于在上有两个零点， 由（1）可知，若，则在上至多存在一个零点，不符合题意； 若，欲使在上有两个零点， 则， 令，则，则在上单调递增， 又因，则， 因， 则由零点存在性定理可知，在上存在一个零点； 令，则， 则得，；得，， 则在上单调递减，在上单调递增， 则，即， 则当时， ， 则由零点存在性定理可知，在上存在一个零点， 则当时，在上有两个零点，存在两个零点， 则实数的取值范围为. 5．已知函数，. (1)证明：方程有唯一解； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，结合特殊点函数值即可证明. （2）将问题转化为恒成立，参变分离，记，利用导数求出的最大值，即可求解. （3）将函数有两个零点转化为有两个解，进而与函数有两个交点，利用导数研究函数的单调性，求其最值，作出图象数形结合即可求得参数范围. 【详解】（1）由得， 因为，所以，所以在上单调递减， 又，所以函数只有一个零点， 即方程有唯一解，且为1； （2）， 则恒成立等价于恒成立，所以在上恒成立， 记，则，， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 所以，故得， 即实数的取值范围为； （3）若有两个零点，等价于有两个解， 也等价于直线与函数有两个交点. 则，记，， 由反比例函数和对数函数的单调性易知在上单调递减，又， 所以当时，，，则在上单调递减； 当时，，，则在上单调递增， 当时，，当时，，则， 作出函数的图象如下： 由图可知：直线与函数有两个交点等价于， 故实数的取值范围为. 6．已知函数，. (1)若，求的取值范围； (2)当时，若方程在上存在实数根，求b的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用导数研究方程的根、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）由构造函数，利用导数得出的最大值，进而得出的取值范围； （2）设，利用导数得出其单调性，进而由题设条件得出b的取值范围. 【详解】（1）由得， ∵，∴， 设，则， 令，解得，令，解得， 故函数在上递增，在上递减， 故时，函数取最大值， ∴，即a的取值范围是. （2）由题意得在上存在实数根， 设，则， 令，得或，令，得， 故在，上递增，在上递减， ∵在上存在实数根， ∴，即，解得， 故b的取值范围是. 【点睛】关键点睛：对于第一问，关键在于分离参数，构造函数，利用导数得出最值，从而得出的取值范围. 六、利用导数解决双变量问题 1．已知函数. (1)当时，求在区间上的最值； (2)记. （i）证明：曲线为中心对称图形； （ii）若函数有三个零点，求的取值范围. 【答案】(1)在区间上的最大值为2，最小值为 (2)（i）证明见解析，（ii） 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点、判断或证明函数的对称性、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）求导，根据导函数的正负，即可根据正负求解函数的单调性，比较端点值以及极值点处的函数值即可求解， （2）（i）根据关于的对称点位，代入化简可求解得解， （ii）根据对称性将问题转化为在上有且仅有一个零点，求导，根据的单调性，对，可判断单调，且，不合题意，当时，根据，，结合零点存在性定理可知的单调性，根据时，，即可求解. 【详解】（1）因为，则， 所以，令，解得， 当，单调递减， 当，单调递增， 又因为， 所以在区间上的最大值为2，最小值为 （2）（i）令得，故的定义域为， 设是图象上任意一点，关于的对称点位， 因为在图象上，所以， ， 所以， 所以关于对称， （ii）因为，所以2是的一个零点， 要使有三个零点，只需要在上有且仅有一个零点， ， 由于在上单调递增，在上单调递增，因此在上单调递增，， 若，即，此时，所以在单调递增， 由可得在没有零点，不符合题意，舍去， 若，即，，又因为，所以存在，使得， 当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增， 所以时，， 时，， 当时，，所以在上存在唯一的零点，符合题意， 综上： 2．已知函数． (1)当，求在点处的切线方程； (2)若，且， （ⅰ）求的极值； （ⅱ）当时，判断零点个数，并说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）答案见解析 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）由导数的几何意义即可求解； （2）（ⅰ）分和两类情况讨论即可求解，（ⅱ）将问题转换成判断的零点个数，求导，通过和两类情况讨论即可. 【详解】（1）当时，，，，， 所以切线方程为：， 即：； （2）（ⅰ）函数的定义域为，且， 所以，则， 当，所以恒成立，所以在上单调递减， 在无极值， 当时，由得： ∴，，，， 即在单调递增，在单调递减， 所以时取得极大值为，无极小值 所以，综上所得：当时，在无极值， 当时，取得极大值为，无极小值． （ⅱ）令，即， 因为，所以， 所以判断的零点个数，即判断的零点个数， 又， 因为，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减 所以，令，则 则令，，则，， 所以， 所以在上单调递减，．所以，当且仅当时等号成立， 所以当时有一个零点，即有一个零点， 当时无零点，即无零点， 综上所得当时有一个零点，当时无零点． 3．已知函数，． (1)当时，函数的最小值为，求实数a的值； (2)当时，试确定函数的零点个数，并说明理由． 【答案】(1) (2)1个零点，理由见解析 【知识点】已知函数最值求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点、求函数零点或方程根的个数 【分析】（1）对函数求导，由，按照的取值分类讨论函数在该区间上的单调性，从而得到最值，计算验证即得的值； （2）由，得方程，显然为此方程的一个实数解．当时，方程可化简为．构造函数，利用导数得到的最小值即可求解. 【详解】（1）由求导得：，因， 当，即时，，则函数在上单调递减， 故，显然不符合题意； 当，即时，，则函数在上单调递增， 故，显然不符合题意； 当，即时，由可得， 当时，，则函数在上单调递减； 当时，，则函数在上单调递增， 故，由，可得，符合题意. 故实数a的值为. （2）由，可得， 显然是该方程的一个实数解，故是函数的一个零点； 当时，方程可化简为，设函数，则， 由可得，当时，，则函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增， 故函数的最小值为， 即对任意的，恒成立，故方程无实数解，即时，函数不存在零点. 综上，函数有且只有1个零点. 4．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)设，若有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）先求定义域以及导函数，再分、两种情况，分类讨论出函数的单调性； （2）将问题转化为在上有两个零点，再结合（1）的单调性可得，再通过以及当时，来说明时在上有两个零点的正确性. 【详解】（1）函数的定义域为， 又， 则当时，恒成立，则在上单调递减； 当时，得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 综上，时，在上单调递减； 时，在上单调递减，在上单调递增. （2）因在上单调递增， 则有两个零点等价于在上有两个零点， 由（1）可知，若，则在上至多存在一个零点，不符合题意； 若，欲使在上有两个零点， 则， 令，则，则在上单调递增， 又因，则， 因， 则由零点存在性定理可知，在上存在一个零点； 令，则， 则得，；得，， 则在上单调递减，在上单调递增， 则，即， 则当时， ， 则由零点存在性定理可知，在上存在一个零点， 则当时，在上有两个零点，存在两个零点， 则实数的取值范围为. 5．已知函数，. (1)证明：方程有唯一解； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，结合特殊点函数值即可证明. （2）将问题转化为恒成立，参变分离，记，利用导数求出的最大值，即可求解. （3）将函数有两个零点转化为有两个解，进而与函数有两个交点，利用导数研究函数的单调性，求其最值，作出图象数形结合即可求得参数范围. 【详解】（1）由得， 因为，所以，所以在上单调递减， 又，所以函数只有一个零点， 即方程有唯一解，且为1； （2）， 则恒成立等价于恒成立，所以在上恒成立， 记，则，， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 所以，故得， 即实数的取值范围为； （3）若有两个零点，等价于有两个解， 也等价于直线与函数有两个交点. 则，记，， 由反比例函数和对数函数的单调性易知在上单调递减，又， 所以当时，，，则在上单调递减； 当时，，，则在上单调递增， 当时，，当时，，则， 作出函数的图象如下： 由图可知：直线与函数有两个交点等价于， 故实数的取值范围为. 6．已知函数，. (1)若，求的取值范围； (2)当时，若方程在上存在实数根，求b的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用导数研究方程的根、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）由构造函数，利用导数得出的最大值，进而得出的取值范围； （2）设，利用导数得出其单调性，进而由题设条件得出b的取值范围. 【详解】（1）由得， ∵，∴， 设，则， 令，解得，令，解得， 故函数在上递增，在上递减， 故时，函数取最大值， ∴，即a的取值范围是. （2）由题意得在上存在实数根， 设，则， 令，得或，令，得， 故在，上递增，在上递减， ∵在上存在实数根， ∴，即，解得， 故b的取值范围是. 【点睛】关键点睛：对于第一问，关键在于分离参数，构造函数，利用导数得出最值，从而得出的取值范围. 七、极值点偏移问题 1．定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”． (1)若与为“契合函数”，且只有一个“契合点”，求实数a的取值范围． (2)若与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”． ①求b的取值范围； ②证明：． 【答案】(1)； (2)①；②证明见解析. 【知识点】利用导数研究函数的零点、函数新定义、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）由给定的定义把问题转化为方程有唯一零点，再构造函数，利用导数探讨函数的性质求解即可. （2）①根据给定的定义将问题转化为方程有两个不同的零点求解；②由①中信息，利用极值点偏移求解. 【详解】（1）由与为“契合函数”，得，使 ，令，依题意，方程有唯一解， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，则， 当时，，时，，， 又和只有一个“契合点”，则直线与函数的图象只有1个交点，则或， 所以实数a的取值范围是. （2）①由与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”， 得存在，使， 即关于的方程有两个相异正根，令函数， 求导得， 由，得，得当时，；当时，， 则函数在上递增，在上递减，则， 当从大于0的方向趋近于0时，；当时，， 因此当时，直线与函数的图象有两个不同交点， 所以b的取值范围是. ②由（1）知，当时，，令， 求导得， 令，求导得， 当时，，函数在上单调递减，，， 函数在上单调递减，，因此当时，， 而，则，又，于是， 又，函数在上递减，则， 所以. 2．已知函数． (1)求函数的单调区间和极值； (2)若，且，求证：． 【答案】(1)增区间为，减区间为，极大值为，无极小值 (2)证明见解析 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、利用导数证明不等式、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）利用函数的单调性、极值与导数的关系可得答案； （2）令，，利用导数分析函数在上的单调性，可得出，设，可得出，进一步得出，结合函数在上的单调性可证得结论成立. 【详解】（1）因为，其中，则， 令，解得，当变化时，、的变化情况如下表： 单调递增 极大值 单调递减 所以，的增区间为，减区间为. 故函数在处取得极大值，无极小值. （2）构造辅助函数，， 则， 当时，，，则，则， 所以，在上单调递增，当时，， 故当时，，（*） 由，， 因为函数的增区间为，减区间为， 可设，将代入（*）式可得， 又，所以，． 又，，而在上单调递增， 所以，，即． 3．已知函数． (1)若只有一个零点，求的值； (2)若有两个零点，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、利用导数研究双变量问题、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）求出函数的导数，通过函数的单调区间，从而求出函数的最小值，令最小值为0求得的值； （2）问题转化为证明，设函数，根据函数的单调性证明即可． 【详解】（1）函数， 令得 当时，在单调递增； 当时，在单调递减； 所以函数在时取最大值， 当时，函数;当 时，函数    ; 根据函数的单调性可知当最大值为0时，函数只有一个零点， 易知， 所以； （2）证明： 不妨设要证明：，只需要证，易知 由（1）可知在单调递增，在单调递减； 所以只要证明，即证， 设函数而， 并且在区间上 即在单调递增，所以 从而所以 所以 4．设. (1)若，求函数的图象在处的切线方程； (2)若在 上恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数存在两个极值点，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）借助导数研究及的单调性后，由函数的最小值可分及进行讨论，结合零点的存在性定理可得时不符合要求； （3）结合极值点定义计算可得，结合函数单调性可得只需证，构造相应函数，结合导数证明其恒成立即可得. 【详解】（1）当时，，则，则， 又，则切线方程为，即； （2），令， 则，当时，有， 故在上单调递增，即在上单调递增， 则， 当时，，则在上单调递增， 有，满足要求； 当时，则，又， 则必存在，使，即， 当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 则 ，令， 则， 则在上单调递减，则， 即，故此时不符合题意，故舍去， 综上所述，； （3）由（2）得， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 又函数存在两个极值点，则，即， 则有，要证，即证， 又，，在上单调递增， 即只需证，又， 即只需证， 令 ，， 则 ， 即在上恒成立，即在上单调递减， 则， 即，即得证. 【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于得到、的范围，从而结合函数单调性，将证明转化为证明，从而可构造相应函数，利用导数研究其单调性. 5．已知函数恰有两个零点． (1)求的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数证明不等式、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）求导得到，利用导数得到的最小值，从而要使有两个零点，则最小值小于，得到的范围； （2）由（1）的结论，构建函数，，由得到函数单调递增，得到，从而得到，又函数在上单调递增，则得到. 【详解】（1）因为，所以， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，函数取最小值． 因为当时，，当时，， 且函数恰有两个零点， 所以,所以的取值范围为． （2）由（1）知，为的极小值点， 所以可设，则， 构建函数，， 所以当时， ， 函数单调递增，所以当时，， 所以， 因为，所以， 所以， 又函数在上单调递增，所以， 所以． 【点睛】关键点点睛：由的极小值点，得到零点的位置，通过构建函数，由函数单调性可得结果. 八、导数中的新定义题 1．若定义在上的函数和分别存在导函数和，且对任意实数，都存在常数，使成立，则称函数是函数的“控制函数”，称为控制系数． (1)求证：函数是函数的“控制函数”； (2)若函数是函数的“控制函数”，求控制系数的取值范围； (3)若函数，函数为偶函数，函数是函数的“控制函数”，求证：“”的充要条件是“存在常数，使得恒成立”． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】充要条件的证明、利用导数研究不等式恒成立问题、由奇偶性求参数、导数新定义 【分析】（1）求出、，证明出，即可证得结论成立； （2）结合定义，构造函数，结合导数求出最小值即可得出实数的取值范围； （3）先证明充分性：若存在常数使得恒成立，结合偶函数定义计算即可得；再证明必要性：由题意可得，又，，可推导出，可得到，即可得证． 【详解】（1）因为，，所以，，则， 故，即恒成立， 故函数是函数的“控制函数”. （2）因为，， 则，， 因为函数是函数的“控制函数”， 所以，对任意的，，则， 令， 则 ， 且， 故当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以，，所以， 若函数是函数的“控制函数”， 则实数的取值范围是. （3）充分性：若存在常数使得恒成立，则， 因为函数为偶函数，所以，则， 则为偶函数，即， 所以恒成立，所以； 必要性：若，则，所以函数为偶函数， 函数是函数的“控制函数”， 因此对任意的，， 又，，所以，，， 所以，即， 用代换可得，故， 综上可知，记，则， 因此存在常数使得恒成立， 综上可得，“”的充要条件是“存在常数使得恒成立”. 2．在高等数学中，我们将在处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：（其中表示的n次导数），以上公式我们称为函数在处的泰勒展开式．当时泰勒展开式也称为麦克劳林公式．比如在处的麦克劳林公式为：，由此当时，可以非常容易得到不等式请利用上述公式和所学知识完成下列问题： (1)写出在处的泰勒展开式； (2)根据泰勒公式估算的值，精确到小数点后两位； (3)若，恒成立，求a的范围．（参考数据） 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题、导数新定义 【分析】（1）利用泰勒展开公式将在处展开即可求解； （2）利用泰勒展开公式将在展开，将代入。利用即可求解； （3）由在处的泰勒展开式，先证，再令，，利用导数研究恒成立即可. 【详解】（1）由，，，， 其中， 在处的泰勒展开式为：， （2）记，则， ， 所以， 因为， 所以且， ，． （3）因为， 由在处的泰勒展开式，先证， 令， ，易知，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以， 再令，，易得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 而，所以恒成立， 当时， ，所以成立， 当时，令，，易求得， 所以必存在一个区间，使得在上单调递减， 所以时，，不符合题意． 综上所述，． 3．定理：如果函数在闭区间上的图象是连续不断的曲线，在开区间内每一点存在导数，且，那么在区间内至少存在一点c，使得，这是以法国数学家米歇尔•罗尔的名字命名的一个重要定理，称之为罗尔定理，其在数学和物理上有着广泛的应用. (1)设，记的导数为，试用上述定理，说明方程根的个数，并指出它们所在的区间； (2)如果在闭区间上的图象是连续不断的曲线，且在开区间内每一点存在导数，记的导数为，试用上述定理证明：在开区间内至少存在一点c，使得； (3)利用（2）中的结论，证明：当时，（为自然对数的底数）. 【答案】(1)根有3个，且分别位于，，这三个区间内 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】导数新定义、利用导数证明不等式、零点存在性定理的应用 【分析】（1）注意到，结合罗尔定理可得答案； （2）构造函数，后利用罗尔定理可证明结论； （3）注意到，后由（2）中结论可证明. 【详解】（1）注意到，则由罗尔定理， 在内存在，使； 在内存在，使： 在内存在，使. 综上，的根有3个，且分别位于，，这三个区间内. （2）证明：构造函数， 则注意到，由罗尔定理， 则在上至少存在一点c，使 即在开区间内至少存在一点c，使得； （3）证明：当时，. 因函数为上连续函数，. 由（2），又，则在上存在， 使； 又，则在上存在 又令，当时，， 则在上单调递增， 又 则 所以： 【点睛】在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等， 并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法. 4．中国古建筑具有悠久的历史，屋顶的设计形式有硬山、悬山、攒尖、歇上、庑殿等，具有独特的线条美感，其曲线之美让人称奇．曲线的曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标，定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率． (1)若曲线与在处的曲率分别为，，求证：； (2)求曲线曲率的平方的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【知识点】简单复合函数的导数、由导数求函数的最值（不含参）、求某点处的导数值、导数新定义 【分析】（1）对求导，应用曲率公式求出处的曲率，即可比较大小； （2）由题设求出的曲率平方，换元令，，，利用导数求的最大值即可. 【详解】（1）因为，则，． 即， 可得曲线在处的曲率为 又因为，则，． 即， 可得曲线在处的曲率为 ， 因为，所以. （2）因为 则， 可得 令，则 设，令 则在上恒成立． 可知函数在上单调递增 当时，取得最大值为2，即的最大值为2． 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是充分理解曲率的定义，从而利用导数即可得解. 5．对给定的实数a，b，q，其中，.如果函数，：满足（1）对任意的，且；（2）对任意的，.则称为在区间上的一个“q-压缩函数”.区间上所有“q-压缩函数”构成的集合记作. (1)判断下列函数，是否属于集合？（直接写出结论） ①②③ (2)设，若求实数a的取值范围. (3)设.若对任意的，，均有，求M的最小值，并说明理由. 【答案】(1)①，③属于集合，②不属于集合 (2) (3)3，理由见解析 【知识点】导数新定义、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）根据，且和任意的，两个条件得出结果，理由见解析. （2）先利用，得出，，取绝对值，构造新函数，在单调递减，则，得出，取交集得出的范围. （3）令则通过三种情况，，分别让，得到，再通过，对任意的，分4种情况证明，最后得出的最小值为3. 【详解】（1）①，③属于集合，②不属于集合. ①，，则；， 表示任意两点斜率的绝对值，所以最大为，所以符合题意； ②，，则；， ，而，所以不符合题意； ③，，则， ，在上增， ，证明即可，即证， 即证，即证单调递减，令，， 所以得证，即，符合题意. （2）一方面，由性质（1），对任意的， 由，得， 由，得或. 所以. 特别地，，此时是上的增函数. 对任意的，其中，则. 由性质（2） ， 令，则在单调递减. 此时，对任意的恒成立，即，对任意的恒成立，故； 综上，经检验，此时符合题意. （3）m的最小值为3. 一方面，令，则，. 对任意的，，，不妨设. （a）若，则 （b）若，则 （c）若，则 所以. 综上，.由，得. 另一方面，设，对任意的 （a）当时， （b）当时，由，得，故； （c）当时，由，得，故； （d）当时， 综上，恒成立. 综上，的最小值为3. 【点睛】思路点睛： 新定义题首先读懂条件，按条件做题即可. 且，注意不是，有 ，都是可以通过取绝对值，构造函数，利用函数单调性求出参数范围的. 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$