专题05 数列（期末压轴专项训练29题）-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（人教A版2019）

专题05 数列（期末压轴专项训练29题） 一、数列周期性 1．已知无穷正整数数列满足，则的可能值有（    ）个 A．2 B．4 C．6 D．9 【答案】C 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、数列周期性的应用 【分析】变形给定的递推公式，由，推导出矛盾，从而得，再代入即可分析求解. 【详解】由，得，当时，， 两式相减得，即， 于是，依题意， 若，有，则，即是递减数列， 由于是无穷正整数数列，则必存在，使得与矛盾， 因此，即，于是数列是周期为2的周期数列， 当时，由，得，即， 从而，所以的可能值有6个. 故选：C 【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，结合已知条件探讨项间关系而解决问题. 2．已知数列满足，且，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数列周期性的应用 【分析】先求出前几项，发现规律，为周期数列，一个周期为4，并且，从而得到，计算出答案. 【详解】，解得， ，， ，……， 故为周期数列，一个周期为4， 其中， 故. 故选：D 3．已知数列满足，该数列的前项和为，则下列论断中正确的有 . ①   ②     ③非零常数，使得    ④ ，都有 【答案】①②④ 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推数列研究数列的有关性质、分组（并项）法求和、数列周期性的应用 【分析】由已知项计算判断①；由已知递推关系化简计算判断②；由已知递推关系总结数列的规律，再结合反证法判断③；由已知递推关系找到前项和的规律判断④. 【详解】对于①，由，得，①正确； 对于②，由，， 得，②正确； 对于③，设非零常数，，则， 由题意，不合题意； 当时，则，不合题意； 当时，则，不合题意； 当时，则，不合题意； 当时，，则为数列的的周期， 同理即也为数列的周期，以此类推，最终可得一个奇数为数列的的周期，不合题意； 所以不存在非零常数，，使得，③错误； 对于④，由，得；由，得； 由，得，，， 因此，， 则当时，， 于是， 所以，④正确. 故答案为：①②④ 4．斐波那契数列又称“黄金分割数列”，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．斐波那契数列可以用如下方法定义：，，若此数列各项除以的余数依次构成一个新数列，则 ． 【答案】 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数列周期性的应用 【分析】列举出数列的前几项，根据题意求出的前几项，即可判断出数列是以为周期的周期数列，进而即可求解. 【详解】因为， 所以数列为 此数列各项除以的余数依次构成的数列为 所以是以为周期的周期数列，则， 故答案为：. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于根据条件列出中的部分项，从而得出中的部分项，进而得出是以为周期的周期数列. 5．已知数列满足：（为正整数），，当时，使得的最小n为 ；设为数列的前n项和，若，则所有可能的取值为 . 【答案】 13 235，257，284 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、分组（并项）法求和、数列周期性的应用 【分析】利用给定的递推公式依次计算得解；求出，再借助周期性质求出. 【详解】依题意，， ， 所以当时，使得的最小n为13； 由，得，则或， 若，则；若，则或， 当时，；当时，； 当时，， 由，得，因此数列从第6项起成周期性，周期为3， 于是，当时，； 当时，；当时，， 所以所有可能的取值为235，257，284. 故答案为：13；235，257，284 二、由递推关系求通项公式 1．设数列满足，则数列的前10项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由递推关系式求通项公式、裂项相消法求和 【分析】先求得，当时，利用递推关系式，得到（）,数列的各项裂相求和，然后在加上首项即得所求. 【详解】当 时，. 当时，利用递推关系：, 因此，（）. 当 时，项为 , 当时，项为, , 将的项与剩余项相加：. 故选：A. 2．已知数列满足．且，若，则 ． 【答案】2024 【知识点】由递推关系式求通项公式、分组（并项）法求和 【分析】利用构造法与迭代法求得，从而利用并项求和法即可得解. 【详解】因为，所以， 又，则， 所以 ， 故，则， 所以， 则的各项分别为， 所以 . 故答案为：2024 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将推递关系式化得，从而求得，由此得解. 3．设数列满足，，若且数列的前项和为，则 ． 【答案】 【知识点】由递推关系式求通项公式、裂项相消法求和 【分析】由可化为，由，可得，可求得，再将的通项展开裂项，利用裂项求和方法计算即得. 【详解】因，设①，展开整理得：， 对照，可得：，解得， 故①式为：， 因时，， 即数列为常数列，故， ， 数列的前项和为：， ． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查数列递推式型如，（为非零常数）的数列的通项求法和数列求和的裂项相消法,属于较难题. 解题关键点有二，其一，对递推式的处理.可设展开整理后与对照，求得，，回代入原式，发现规律即得通项；其二，对于分式型数列通项的求和处理.要观察表达式特点，将其适当裂项，运用裂项相消法即可求得. 三、等差（等比）数列综合 1．我国古代数学家沈括，杨辉，朱世杰等研究过二阶等差数列的相关问题．如果，且数列为等差数列，那么数列为二阶等差数列．现有二阶等差数列的前4项分别为1，3，6，10，则该数列的前8项和为（    ） A．120 B．220 C．240 D．256 【答案】A 【知识点】累加法求数列通项、求等差数列前n项和、数列的概念及辨析 【分析】根据题意可知数列的前4项，再由可求出，，由数列为等差数列，可求出的通项公式，代入中再利用累加法可求出的通项公式，从而可求出结果． 【详解】由题意可知数列的前4项为1，3，6，10，即，，，， 因为，所以，， 所以等差数列的公差为， 所以， 所以， 所以，，，， 所以上面个式子相加得 ， 所以， 所以， 故选：A 2．在各项均为正数的等差数列中，若，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【知识点】利用等差数列的性质计算、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据等差数列的性质求得，然后由“1”的代换应用基本不等式求得最小值． 【详解】由题意， ∴， 当且仅当，即时等号成立． 故选：B. 3．已知，，，成等比数列，且，若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】利用导数证明不等式、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】先利用导数法证不等式，然后再确定首项和公比的取值范围，进而利用不等式性质作出判断. 【详解】令，则，令得， 所以当时，，当时，， 因此，所以， 所以，所以， 又，所以， 所以等比数列的公比，且，则，从而，即， 所以， ，因为，，所以，即. 故选：B. 4．数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由定义判定等比数列、等比数列下标和性质及应用 【分析】根据等比数列的定义可得数列为等比数列，则在根据分式通分运算可得解. 【详解】因为，即， 则数列为等比数列， 又所以 则 . 故选：C 5．（多选）已知数列中，，，下列说法正确的是（   ） A．若是等比数列，则 B．若是等差数列，则 C．若是等比数列，则、的等比中项为8 D．若是等差数列，则、的等差中项为17 【答案】BCD 【知识点】利用等差数列的性质计算、等比数列下标和性质及应用、等差中项的应用、等比中项的应用 【分析】由等比数列、等差数列的性质逐个判断即可. 【详解】对于A：由，可知，故错误； 对于B：，正确； 对于C：，又等比数列偶数项同号，所以8，正确； 对于D：，所以，正确； 故选：BCD 6．设两个等差数列的前项和分别为，若对任意正整数都有，则的值为 . 【答案】 【知识点】利用等差数列的性质计算、两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】根据等差数列的性质和求和公式计算即可. 【详解】因为 为等差数列，所以 ． 故答案为：. 7．设数列的前项和为，且，则 . 【答案】 【知识点】求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】根据并项求和，结合等比数列的求和公式即可求解. 【详解】由可得 ， 故答案为： 四、数列求和 1．已知等差数列的前n项和为，满足，． (1)求数列的通项公式． (2)求证： 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、裂项相消法求和、等差数列通项公式的基本量计算、放缩法 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项公式求出首项和公差即可得解； （2）根据，利用裂项相消法求和，即可得证. 【详解】（1）等差数列中，设公差为， ， ， 所以，故； （2）， 当时，成立； 当时，， 所以成立. 2．已知数列的前项和为，． (1)证明：数列为等比数列，并求数列的前项和； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析；； (2) 【知识点】求等比数列前n项和、错位相减法求和、由递推关系证明等比数列 【分析】（1）根据化简结合等比数列定义证明，再结合等比数列前n项和公式分组求和计算求解； （2）先应用对数运算律化简，再应用错位相减法计算求解. 【详解】（1）数列的前项和为，，， 当时，， 当时，， 所以， 所以， 所以，所以， 所以数列是首项为3，以3为公比的等比数列， 所以，所以， ， 所以； （2）因为， 所以， 设数列的前项和为， ， ， ， ， ， ， 所以. 3．已知为等差数列，为等比数列，，， (1)求和的通项公式； (2)对，设，求数列的前n项和． 【答案】(1)， (2) 【知识点】错位相减法求和、裂项相消法求和、等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）利用等差等比的通项公式即可求解； （2）利用分类讨论奇偶数分别求和，此时奇偶项数分别为或，这样在裂项相消法时只要关注首项和最后一项，但在错位相减法求和时要注意项数根据分类是不同的，最后利用分组求和即可得结论. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为q． 由，，可得． 从而的通项公式为． 由，， 又，可得，解得， 从而的通项公式为． （2）当n为奇数时，， 当n为偶数时，， 所以当n为奇数时， 令，则， 两式相减得：， 可得： 可得：， 即， 所以， 所以当n为偶数时， 令，则， 两式相减得：， 可得： 可得：， 即， 所以 综上可得：． 4．已知正项数列的前项和为，且，数列满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若任意，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、利用定义求等差数列通项公式、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）根据的关系，作差可得是首项为7，公差为3的等差数列，即可求，作差即可求解， （2）利用裂项求和即可求解，进而利用单调性求解最值，解不等式即可. 【详解】（1）由，得， 两式相减得，即． 因为，所以，即． 当时，，解得或（舍去）， 所以是首项为7，公差为3的等差数列，故， 因为，① 所以当时，，② ①-②得，也满足． 故的通项公式为，的通项公式为． （2）因为， 所以， 当时，取得最小值． 因为对任意，恒成立，所以， 整理得，解得． 5．已知正项数列的首项为7，且，数列满足，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)设，为数列的前n项和，若对任意，恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】裂项相消法求和、分组（并项）法求和、利用定义求等差数列通项公式、求等比数列前n项和 【分析】（1）对于，由变形因式分解，结合得出，确定是等差数列求通项；对于，用项和与项和作差得，再验证首项． （2）已知，是其前项和，分别用等差数列和等比数列求和公式计算． （3）先对裂项相消求出，找到最小值，再根据恒大于等于，解关于的不等式． 【详解】（1）（1）因为，所以． 因为，所以，即． 又，所以是首项为7，公差为3的等差数列． 因为，① 所以当时，，② ①-②得也满足． 故的通项公式为的通项公式为． （2）由（1）知， 所以 （3）因为， 所以， 当时，取得最小值． 因为对任意恒成立，所以， 整理得，解得． 6．已知数列中，，且满足． (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)令，为数列的前n项和，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和 【分析】（1）由题意，可得，结合等比数列的定义即可证明； （2）由（1），根据等比数列的通项公式计算即可求解； （3）由（2）可得，利用裂项相消求和法可得，结合作差法即可证明. 【详解】（1）由题意知，所以， 由于，故， 故， 故数列是以3为首项，公比为3的等比数列； （2）由（1）知，数列是以3为首项，公比为3的等比数列， 所以，故 （3）由（2）知．， 所以，- 故 由于，故， 7．记首项为1的数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【知识点】求等差数列前n项和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用消去，得到等差数列，并通过求出其通项，进而得到的通项，并对时验证； （2）先求，将数列的前项和转化为数列的前项和. 【详解】（1）∵， ∴， 两式相减得：， 即， ∴，∴， ∴数列是以1为首项，以0为公差的等差数列， ∴，∴. 当时，满足上式，∴. （2）由（1）知， ∴， ∴， 又 即数列是以为首项，为公差的等差数列. ∴. 8．已知数列的前n项和为，且． (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)记，记数列的前n项和为． ①求； ②若存在，使得，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析，； (2)①；②. 【知识点】由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和、写出等比数列的通项公式、数列不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）根据给定的递推公式，利用及构造法推理得证，进而求出通项公式. （2）①由（1）求出，再利用裂项相消法求和；②由①求出，借助单调性求出的最小值即可. 【详解】（1）数列中，，当时，， 两式相减得，整理得，于是， 而，即，则， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，，； （2）①由（1）知，，， . ②由①知，，， ， 而数列单调递增，则， 因此，由存在，使得，得， 所以的取值范围是. 五、数列不等式 1．已知数列的前项积为，且. (1)证明：是等差数列； (2)设，求数列的前项和； (3)若对于任意，恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【知识点】分组（并项）法求和、数列不等式恒成立问题、由递推关系证明数列是等差数列、求等比数列前n项和 【分析】（1）根据已知得，且，进而得到，结合等差数列的定义即可证； （2）由（1）得，讨论的奇偶性，应用分组求和及等差、等比数列的前n项和公式求； （3）由（2）有，不等式化为，作商法研究右侧的单调性，确定参数范围，即可得. 【详解】（1）当，则，故，所以， 由，故，可得， 由，则， 所以是首项为2，公差为1的等差数列； （2）由（1）得，则，故， 所以， 当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 所以； （3）由（2）得，原不等式等价于， 令，， 则， 故，即， 所以在上单调递增，故，即实数的最大值. 2．已知数列的前项和为． (1)求证：数列是等差数列； (2)设的前项和为； ①求； ②若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．（结果可保留幂的形式） 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【知识点】错位相减法求和、数列不等式恒成立问题、利用定义求等差数列通项公式、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用的关系结合等差数列的定义可得； （2）①先由等差数列的性质求出的通项，再由错位相减法求和可得； ②先分离参数，然后构造数列，利用单调性法求出其最大值即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以，所以， 所以是公差为1的等差数列； （2）①因为，所以，所以， ， ， ， 两式相减得， ， ． ②对任意的恒成立， 所以则对任意的恒成立， 令； 所以， 则当时，为递增数列，； 当时，； 当时，为递减数列，. 当或6时，，故． 3．设是等差数列，数列的前项和为，满足，且，，. (1)求与的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3). 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、利用定义求等差数列通项公式、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）根据，得到为公比为3的等比数列，求出的通项公式，进而得到的首项和公差，得到通项公式； （2）可以采取分组求和的方式，即将奇数项与偶数项的和分开求解，再利用错位相减法以及裂项相消法分别求和； （3）求参数的范围，可以采用分离参数的方法，求后面式子的最值，结合函数的单调性进行分析求解． 【详解】（1）当时，，解得， ，当时，， 上面两式相减得，故， 所以是以3为首项，3为公比的等比数列，故， 所以，， 设的公差为，则，解得， 故， 故，． （2）当为奇数时，， 记，则有 ， ， 得：， ， ， 当为偶数时，， 记 ， ． （3）由与恒成立， 可得恒成立， 恒成立，先求出的最大值， 设， ， 单调递增， 又， ， ． 4．已知函数，数列满足 (1)证明数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求； (3)对于（2）中的，若存在，使不等式成立，求实数k的最大值． 【答案】(1)证明见解析， (2) (3) 【知识点】由递推关系式求通项公式、数列不等式能成立（有解）问题、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）得出递推关系再取倒数，构造等比数列即可； （2）利用分组求和以及等比数列求和公式即可； （3）化简得出，利用作差法判断数列的增减性，进而得出最大值即可. 【详解】（1）因为函数，所以， 则，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则有，即， 故数列的通项公式为； （2）由（1）可知：， 所以 （3）由（2）可知：，所以化简为， 因为，所以由，得， 设，则， 由二次函数性质可知：当时，函数是减函数， ，于是有时，， 所以，因此， 存在，使得成立， 则有，因此实数k的最大值． 5．设数列是公差大于1的等差数列，，满足，记，分别为数列，的前项和，且，． (1)求的通项公式； (2)若存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、数列不等式能成立（有解）问题、求等差数列前n项和 【分析】（1）根据已知条件求出和，即可求出的通项公式； （2）先求出，可得为等差数列，利用等差数列求和公式求出，根据题意可得，即可求出的取值范围. 【详解】（1），，解得，； 由，可知，； ，， 又， ， 即，解得或（舍去）， ． （2）由（1）知： 可知，，解得， 所以为等差数列，故， 存在，有即 又 所以 故，整理解得． 所以的取值范围是. 6．已知数列的前项积，数列的前项和为，，满足. (1)求数列、的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、数列不等式能成立（有解）问题、裂项相消法求和、累乘法求数列通项 【分析】（1）由可求得数列的通项公式，当时，由可得出，两式作差可得出，利用累乘法可求出数列的通项公式； （2）求得，利用裂项求和法可求得，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】（1）当时，， 当时，满足上式，所以，，. 因为，当时，， 两式作差得， 即，所以，， 所以，当时，，，，，， 上述等式全部相乘得，所以，， 也满足，所以，对任意的，. （2）因为. 所以，. 由已知，即，解得， 因此，实数的取值范围是. 7．已知数列的前n项和为数列满足， (1)求数列的通项公式； (2)令求数列的前n项和； (3)若， 存在正整数n使得，成立，求k的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】错位相减法求和、数列不等式能成立（有解）问题、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式求解即可； （2）利用错位相减法来求和即可； （3）由不等式能成立，来求的最小值，再由使不等式都成立，分离参变量，即可求k的取值范围. 【详解】（1）由得：， 两式相减得：， 所以数列是等比数列，公比为， 由于，即， 又因为，所以， 即数列是等差数列上，公差为，首项为， 所以, 即; （2）由于， 则， 利用错位相减法，则 ， 上面两式相减得：， 则， 即； （3）由于，所以数列是递增数列，即， 因为当， 存在正整数n使得，成立， 则，由,变形得：， 因为，由基本不等式可得，当且仅当时取等号， 所以有， 则有. 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 数列（期末压轴专项训练29题） 一、数列周期性 1．已知无穷正整数数列满足，则的可能值有（    ）个 A．2 B．4 C．6 D．9 2．已知数列满足，且，则（    ） A． B．1 C． D． 3．已知数列满足，该数列的前项和为，则下列论断中正确的有 . ①   ②     ③非零常数，使得    ④ ，都有 4．斐波那契数列又称“黄金分割数列”，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．斐波那契数列可以用如下方法定义：，，若此数列各项除以的余数依次构成一个新数列，则 ． 5．已知数列满足：（为正整数），，当时，使得的最小n为 ；设为数列的前n项和，若，则所有可能的取值为 . 二、由递推关系求通项公式 1．设数列满足，则数列的前10项和为（   ） A． B． C． D． 2．已知数列满足．且，若，则 ． 3．设数列满足，，若且数列的前项和为，则 ． 三、等差（等比）数列综合 1．我国古代数学家沈括，杨辉，朱世杰等研究过二阶等差数列的相关问题．如果，且数列为等差数列，那么数列为二阶等差数列．现有二阶等差数列的前4项分别为1，3，6，10，则该数列的前8项和为（    ） A．120 B．220 C．240 D．256 2．在各项均为正数的等差数列中，若，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 3．已知，，，成等比数列，且，若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 4．数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 5．（多选）已知数列中，，，下列说法正确的是（   ） A．若是等比数列，则 B．若是等差数列，则 C．若是等比数列，则、的等比中项为8 D．若是等差数列，则、的等差中项为17 6．设两个等差数列的前项和分别为，若对任意正整数都有，则的值为 . 7．设数列的前项和为，且，则 . 四、数列求和 1．已知等差数列的前n项和为，满足，． (1)求数列的通项公式． (2)求证： 2．已知数列的前项和为，． (1)证明：数列为等比数列，并求数列的前项和； (2)设，求数列的前项和． 3．已知为等差数列，为等比数列，，， (1)求和的通项公式； (2)对，设，求数列的前n项和． 4．已知正项数列的前项和为，且，数列满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若任意，使得成立，求的取值范围． 5．已知正项数列的首项为7，且，数列满足，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)设，为数列的前n项和，若对任意，恒成立，求实数m的取值范围． 6．已知数列中，，且满足． (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)令，为数列的前n项和，证明：． 7．记首项为1的数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 8．已知数列的前n项和为，且． (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)记，记数列的前n项和为． ①求； ②若存在，使得，求的取值范围． 五、数列不等式 1．已知数列的前项积为，且. (1)证明：是等差数列； (2)设，求数列的前项和； (3)若对于任意，恒成立，求实数的最大值. 2．已知数列的前项和为． (1)求证：数列是等差数列； (2)设的前项和为； ①求； ②若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．（结果可保留幂的形式） 3．设是等差数列，数列的前项和为，满足，且，，. (1)求与的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围. 4．已知函数，数列满足 (1)证明数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求； (3)对于（2）中的，若存在，使不等式成立，求实数k的最大值． 5．设数列是公差大于1的等差数列，，满足，记，分别为数列，的前项和，且，． (1)求的通项公式； (2)若存在，使得，求实数的取值范围． 6．已知数列的前项积，数列的前项和为，，满足. (1)求数列、的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若使成立，求实数的取值范围. 7．已知数列的前n项和为数列满足， (1)求数列的通项公式； (2)令求数列的前n项和； (3)若， 存在正整数n使得，成立，求k的取值范围. 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$