10.1.4 概率的基本性质（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

人教A版2019必修第二册 10.1.4 概率的基本性质 第十章 概率 学习目标 1 2 3 通过实例，理解概率的基本性质 能利用概率的基本性质解决相关实际问题，能利用概率的基本性质求较复杂事件的概率，培养数学建模的核心素养 掌握随机事件的概率的运算法则，会用互斥事件、对立事件的概率解决实际问题，培养数学运算的核心素养 复习回顾 1.互斥事件与对立事件如是何定义的？ 2.古典概型的特征是什么？ (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 3.古典概型的概率计算公式 互斥 对立 A与B不能同时发生 A与B有且仅有一个发生 A∩B= A∩B=,A∪B=Ω 新课导入 一般而言，给出了一个数学对象的定义，就可以从定义出发研究这个数学对象的性质. 例如，在给出指数函数的定义后，我们从定义出发研究了指数函数的定义域、值域、单调性、特殊点的函数值等性质，这些性质在解决问题时可以发挥很大的作用. 类似地，在给出了概念的定义后，我们来研究概率的基本性质. ？ 概率取值范围？ 特殊事件发生的概率？ 具有特殊关系的事件，它们的概率之间的关系？ 问题1 你认为可以从哪些角度研究概率的性质? 概念生成 由概率的定义可知： 任何事件的概率都是非负的; 在每次试验中,必然事件一定发生,不可能事件一定不会发生. 概率的性质： 一般地，可得概率有如下性质： 性质1 对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0， 即P(Ω)=1，P()=0. 新知探究 问题2 设事件A与事件B互斥,和事件A∪B的概率与事件A、B的概率之间具有怎样的关系? 我们用10.1.2节例6来探究. 例6 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球. R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”. 则事件R和G的关系是 ， 互斥 事件R∪G=“ ” 两次摸到球颜色相同 n(Ω)=12 n(R)=2 n(G)=2 n(R∪G)=2+2=4 所以P(R)+P(G)= = P(R∪G) 概念生成 事实上，若事件A与事件B互斥，即A与B不含有相同的样本点，则n(A∪B)=n(A)+n(B)，这就等价于P(A∪B)=P(A)+ P(B)，即两个互斥事件的和事件的概率等于这两个事件概率之和. 所以我们就得到互斥事件的概率加法公式. 即 性质3 若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B). 推论: 若事件A1,A2,…,Am两两互斥, 则P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am). 新知探究 问题3 设事件A和事件B互为对立事件，它们的概率有什么关系? 事件A与事件B互为对立事件 事件A∪B为必然事件 P(A∪B)=1 事件A与事件B为互斥事件 P(A∪B)=P(A)+P(B) P(A)+P(B)=1 性质4 若事件A与事件B互为对立事件，则P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B). 即P(A)+P(B)=1. 如：从10名同学(6男4女)中选3人呢，则P(至少有1男)=______________ 1－P(3女) 1男2女 2男1女 3男0女 0男3女 （正难则反） 新知探究 问题4 在古典概型中，对于事件A与事件B，如果A⊆B，那么P(A)与P(B)有什么关系？ 如：掷一枚质地均匀的骰子,事件A=“点数为1”,事件B=“点数为奇数”则P(A)_____P(B). ≤ ∵A⊆B，∴n(A)≤n(B)， 即P(A)≤P(B). 性质5 (概率的单调性)若A⊆B，则P(A)≤P(B). ∵⊆A⊆Ω， ∴P()≤P(A)≤P(Ω)， 即0≤P(A)≤1. 推论 任何事件的概率在0~1之间： 0≤P (A)≤1 (概率的取值范围) 新知探究 问题5 在10.1.2节例6的摸球试验中，R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”,“两个球中有红球”=R1∪R2,那么P(R1∪R2)和P(R1)+ P(R2)相等吗? 如果不相等，请你说明原因，并思考如何计算P(R1∪R2). n(Ω)=12 n(R1)=6 P(R1) n(R2)=6 P(R2) n(R1∪R2)=10 P(R1∪R2) n(R1∩R2)=2 P(R1∩R2) n(R1∪R2)=n(R1)+n(R2)－n(R1∩R2) P(R1∪R2)=P(R1)+P(R2)－P(R1∩R2) 性质6 设A、B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A∩B). 追问 性质6和性质3是什么关系呢？ 新知归纳 性 质 1 性 质 2 性 质 3 性 质 4 性 质 5 性 质 6 由此我们得到概率的6大性质如下，可以简化概率的计算. 对任意的事件A，都有P(A)≥0. 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)=1，P()=0. 若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B). 若事件A与事件B互为对立事件，则P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B). (概率的单调性)若A⊆B，则P(A)≤P(B). 设A、B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A∩B). 典例分析 例11 从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A=“抽到红心”, 事件B=“抽到方片”, P(A)=P(B)= , 那么 (1)C=“抽到红花色”，求P(C)； (2)D=“抽到黑花色”，求P(D). 解：（1）因为C=A∪B ， 且A与B不会同时发生， 由互斥事件的概率加法公式，得： ． 所以A与B是互斥事件． 所以C 与D互为对立事件． (2) C∩D= ， 由（1）知 ， 所以 ． C∪D=Ω 典例分析 例12为了推广一种新饮料,某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料。若从一箱中随机抽出2罐,能够中奖的概率为多少？ 中奖 第一罐中奖但第二罐不中奖 第一罐不中奖但第二罐中奖 两罐都中奖 事件A 事件A1A2 样本空间包含的样本点个数为n(Ω)=6×5=30 中奖 不中奖 第一罐 2 4 第二罐 中奖 不中奖 1 4 中奖 不中奖 2 3 可能结果数 2×1=2 2×4=8 4×2=8 4×3=12 事件A1A2 ¯ 事件A1A2 ¯ 事件A1A2，A1A2，A1A2两两互斥， 且A=A1A2∪A1A2∪A1A2 ¯ ¯ ¯ ¯ P(A)=P(A1A2)+P(A1A2)+P(A1A2) ¯ ¯ n(A1A2)=2，n(A1A2)=8，n(A1A2)=8 ¯ ¯ 设事件A=“中奖”，事件A1=“第一罐中奖” 事件A2=“第二罐中奖” 典例分析 例12 为了推广一种新饮料,某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料。若从一箱中随机抽出2罐,能够中奖的概率为多少？ 追问 还有另外方法求解此题吗？ 解法2： 事件A的对立事件A=“不中奖” ¯ 即“两罐都不中奖” 由于A1A2 =“两罐都不中奖” ¯ ¯ 而n(A1A2 )=4×3=12 ¯ ¯ 所以P(A)= 1-P(A1A2 )= ¯ ¯ 反思 此解法说明什么？ 正难则反 典例分析 设不中奖的4罐记为1, 2, 3, 4, 中奖的2罐记为a, b，随机抽2罐中有一罐中奖，就表示能中奖，其样本空间为： (1, 2)，(1, 3)，(1, 4)，(1, a)，(1, b)， (2, 3)，(2, 4)，(2, a)，(2, b)， (3, 4)，(3, a)，(3, b)， (4, a)，(4, b)， (a, b). 共15个样本点. 而中奖的样本点有9个，所以 例12 为了推广一种新饮料,某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料。若从一箱中随机抽出2罐,能够中奖的概率为多少？ 追问 还有另外方法求解此题吗？ 解法3： 能中奖的概率为 上述解法没有考虑顺序，其结果是一样的. 学以致用 教材P245 1.已知P(A)=0.5，P(B)=0.3. (1) 如果B⊆A，那么P(A∪B)=_____ ，P(AB)=______ ; (2) 如果A, B互斥，那么P(A∪B)=_____ ，P(AB)=_____. 0.5 0.3 0.8 0 2.指出下列表述中的错误: (1) 某地区明天下雨的概率为0.4，明天不下雨的概率为0.5; (2) 如果事件A与事件B互斥，那么一定有P(A)+P(B)=1. 解：(1) 因为明天下雨与明天不下雨是对立事件, 且明天下雨的概率为0.4, 所以明天不下雨的概率为0.6. (2) 因为事件A与事件B互斥，但不一定不对立，所以不一定有P(A)+P(B)=1. 学以致用 教材P245 3. 在学校运动会开幕式上，100 名学生组成一个方阵进行表演，他们按照性别 (M (男)、F (女) )及年级(G1 (高一)、G2(高二)、G3(高三))分类统计的人数如下表: 若从这100名学生中随机选一名学生， 求下列概率: P(M) =______， P(F) =______，P(M∪F) =______， P(MF) =______， P(G1) = ______，P(M∪G2) =_______， P(FG3) =______. G1 G2 G3 M 18 20 14 F 17 24 7 0.52 0.48 1 0 0.35 0.76 0.07 能力提升 题型一 互斥事件概率公式 例题1 在数学考试(满分100分)中,小明的成绩在90分及90分以上的概率是0.18 ,在8089分(包括80分与89分,下同)的概率是0.51, 在7079分的概率是0.15 ,在6069分的概率是0.09 ,在60分以下的概率是0.07.计算下列事件的概率： (1)小明在数学考试中取得80分及80分以上的成绩； (2)小明数学考试及格（60分及60分以上为及格）. [解析] 记小明的成绩“在90分及90分以上”“在 分”“在 分”“在 分” “在60分以下”分别为事件 ， ， ， ， ，显然事件 ， ， ， ， 两两互斥. (1)小明的成绩在80分及80分以上的概率为 . (2)小明数学考试及格的概率为 . 方法总结 能力提升 解题感悟 运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要判断事件之间是否互斥，同时要学会把一个事件拆分为若干个两两互斥的事件，然后求出各事件的概率，用互斥事件的概率加法公式得出结果. 能力提升 题型二 对立事件概率公式 [解析] 试验的样本空间 , 共25个样本点. 例题2 盒子里装有外形相同且编号为1，2，3，4，5的五个小球，其中1号与2号是黑球，3号、4号与5号是红球，从中有放回地每次取出1个球，共取两次. (1)求取到的2个球中恰好有1个是黑球的概率； (2)求取到的2个球中至少有1个是红球的概率. (1)事件“取到的2个球中恰好有1个是黑球”包含的样本点为 共12个，故所求的概率为 . (2)事件“取到的2个球中至少有1个是红球”的对立事件为“没有红球”，即“全是黑球”. 事件“全是黑球”包含的样本点为 ， ， ， ，共4个，故所求的概率为 . 方法总结 能力提升 解题感悟 当直接计算符合条件的事件的概率比较麻烦时，可先计算出其对立事件的概率，然后利用对立事件的概率公式求出符合条件的事件的概率. 能力提升 题型三 概率性质的综合应用 例题3 某班级有 的学生喜欢打羽毛球， 的学生喜欢打乒乓球，两种运动都 喜欢的学生有 .现从该班随机抽取一名学生，求以下事件的概率： (1)只喜欢打羽毛球； (2)至少喜欢以上一种运动； (3)只喜欢以上一种运动； (4)以上两种运动都不喜欢. [解析] 设事件 “喜欢打羽毛球”, “喜欢打乒乓球”,则P(A)=0.45,P(B)=0.8, P(AB)=0.3. (1)只喜欢打羽毛球的概率为 . (2)至少喜欢以上一种运动的概率为 . (3)只喜欢以上一种运动的概率为 . (4)以上两种运动都不喜欢的概率为 . 方法总结 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 能力提升 解题感悟 1.当事件的个数没有很明显的规律，并且涉及的样本点又不是太多时，我们可以借助树状图直观地将其表示出来.树状图可以清晰准确地列出所有的样本点，并且画出一个“树枝”之后可猜想其余的情况. 2.在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把所有的样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点. 3.含有“至多”“至少”等词语的事件的概率的求法 （1）当所给的事件比较简单时，先将其分解成两两互斥的几个事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解，注意一定要将事件拆分成若干个两两互斥的事件，不能重复和遗漏. （2）当所给的事件比较复杂，且很难将其分解成几个两两互斥的事件时，常考虑先求其对立事件的概率，然后运用公式求解. 课堂小结 性 质 1 性 质 2 性 质 3 性 质 4 性 质 5 性 质 6 本节课所学的概率6大性质如下： 对任意的事件A，都有P(A)≥0. 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)=1，P()=0. 若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B). 若事件A与事件B互为对立事件，则P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B). (概率的单调性)若A⊆B，则P(A)≤P(B). 设A、B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A∩B). 主讲： 人教A版2019必修第二册 感谢聆听 $$