精品解析：2025年山西省怀仁市多所学校中考信息冲刺卷数学试题

2025年山西省中考信息冲刺卷·第三次适应与模拟 数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡．上将该项涂黑） 1. 点A在数轴上的位置如图所示，则点A对应的实数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴的意义，不难发现点A对应的实数是一个正数，解答即可． 本题考查了数轴上的点与表示数，正确理解数轴是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得点A对应的实数是一个正数， 故选：C． 2. 对称美是一种和谐之美、圆满之美，而中国的方块字中也能找到这种美．下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟知轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，据此逐项判断即可． 【详解】解：B项中的图象能够找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； A、C、D选项中的图形都找不到一条直线，使两旁的部分完全重合，所以不是轴对称图形； 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，平方差公式，合并同类项，单项式除以单项式，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． 根据相关运算法则计算判断，即可解题． 【详解】解：A. ，原选项计算错误，不符合题意； B. ，原选项计算错误，不符合题意； C. ，原选项计算错误，不符合题意； D. ，原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 由5个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，则这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三视图，熟知三视图的定义是解题的关键．根据从上面看得到的图形即为俯视图进行求解即可． 【详解】解：这个几何体的俯视图是： ， 故选：D． 5. 如图，将一把含角的三角尺的直角顶点放在一张矩形纸条的一边上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质．根据两直线平行，同位角相等得到，再利用平角的定义即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A 6. 中国古代四大发明（造纸术、印刷术、指南针、火药）对世界文明发展具有深远的影响．某校历史社团开设了关于四大发明的项目化学习活动，甲、乙两名同学通过抽签的方式从这四项发明中随机抽取一项开展活动，则他们恰好抽到同一项发明的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到他们恰好抽到同一项发明的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设分别用A、B、C、D表示造纸术、印刷术、指南针、火药，画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能性的结果数，其中他们恰好抽到同一项发明的结果数有4种， ∴他们恰好抽到同一项发明的概率为， 故选：D． 7. 端午节是中国的传统节日，某商店销售甲、乙两种礼盒的粽子，经调查发现：用880元购进的甲礼盒数量是用400元购进的乙礼盒数量的2倍，且每个甲礼盒的进价比乙礼盒贵4元，设每个乙礼盒的进价为x元，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查从实际问题中抽象出分式方程，设每个乙礼盒进价为x元，则每个甲礼盒的进价为元，根据用880元购进的甲礼盒数量是用400元购进的乙礼盒数量的2倍即可列出方程． 【详解】解：设每个乙礼盒的进价为x元，则每个甲礼盒的进价为元， 根据题意得：， 故选：B． 8. 校运动会时，甲、乙两班都选派了8名学生参加跳大绳项目，每个班参加比赛的8名学生身高如下表，则甲、乙两班学生身高的方差，大小关系正确的是（ ） 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 甲班学生身高 164 164 165 165 165 166 164 165 乙班学生身高 162 164 163 170 168 166 164 167 A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量．先求出甲班和乙班的身高平均数，再根据方差公式求出甲班学生身高和乙班学生身高的方差，即可得出答案． 【详解】解：甲班学生平均身高为：， 乙班学生平均身高为：， 甲班学生身高方差为： ， 乙班学生身高方差为： ， ∴， 故选：A． 9. 如图，为的弦，是的直径，过点B作的切线交的延长线于点D，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆的基本性质．连接，利用半径相等结合等边对等角求得，再利用三角形的外角性质求得，再根据切线的性质即可求解． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 故选：D． 10. 如图，在中，平分，于点，交于点，交的延长线于点，若，，则的长度为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据性质，先证明，再证明，解答即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角的平分线，熟练掌握性质是解题的关键． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：_____ 3（填“”或“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】对于两个正数，可通过比较平方后结果的大小判断原数大小，平方更大的原数更大，据此求解. 【详解】解：∵ ，， 又∵ ， ∴ . 12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在原点上，顶点在轴正半轴上，直线的解析式为，则该菱形的边长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、一次函数的应用等知识点，求得点B的坐标是解题的关键．令求得，则，即即可解答． 【详解】解：令可得：， 解得：， ∴，即， ∴菱形的边长为5． 故答案为：5． 13. 在“探究杠杆平衡的条件”中，亮亮知道：当阻力和阻力臂一定时，动力与动力臂之间的关系如图所示，且．若动力为，则动力臂为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，求得反比例函数的解析式成为解题的关键． 设该函数的解析式为，将A点代入即可求得k，然后求得当动力为时的函数值即可． 【详解】解：设该函数的解析式为，将A点代入可得：， 解得：， ∴设该函数的解析式为， 当时，． 故答案为：10． 14. 如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径为，高为的圆锥体，那么这个扇形的圆心角的度数是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了圆锥与扇形之间的关系，扇形的弧长，勾股定理；设圆锥的母线为，由勾股定理得，由弧长公式得，即可求解；理解圆锥与扇形之间的关系，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：设圆锥的母线为，这个扇形的圆心角， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 15. 如图，在中，，D，E分别为边上的点，且，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，角平分线的性质，解直角三角形，勾股定理． 作，交于点F，过点E作于点G，则，可得，从而得到，再由角平分线的性质可得，设，则，可得，即可求解． 【详解】解：作，交于点F，过点E作，垂足为点G， 则． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴，． ∴． 设， 则． ∴． ∵， ∴． 即． 解得：． ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 下面是小颖同学的解题过程，请你思考并完成下列任务． 解：原式 第一步 第二步 第三步 ． 第四步 当时，原式． 任务一：以上解题过程中，第______步是通分得到的． 任务二：以上解题过程中，从第______步开始出现了错误．错误的原因是：______ 任务三：请你直接写出该分式正确的化简结果，并代入求值． 【答案】（1）；（2）任务一：一；任务二：二，分式加减时，没有把看作一个整体，应该为；任务三：， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算算术平方根，零指数幂和负整数指数幂，再计算加减法即可得到答案； （2）任务一：根据解题过程可得第一步是通分得到的；任务二：观察解题过程可知，第二步开始出现错误，错误原因为分式加减时，没有把看作一个整体；任务三：先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：任务一：观察解题过程可知，第一步是通分得到的； 任务二：观察解题过程可知，第二步开始出现错误，错误原因为分式加减时，没有把看作一个整体，应该为 任务三：原式 当时，原式． 17. 如图，在中： （1）实践与操作：尺规作的垂直平分线，垂足为，交于点，连接； （2）应用与证明：在（1）的条件下，若，，求四边形的周长． 【答案】（1） 如图，直线，线段即为所作图形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，正确作出图形是解答本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （2）由（1）可知：直线为的垂直平分线，得出，在中，得出，．根据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知：直线为的垂直平分线， ， 在中，，， ，． ． 18. “道路千万条，安全第一条．”交通安全已成为人们最关注的问题之一．某校为了了解七年级学生对交通安全知识掌握的情况，开展了“文明交通，携手共创”主题知识竞赛，本次竞赛满分为100分，学生测试成绩均为不小于50的整数． 【收集数据】从中随机抽取名学生的成绩进行分析． 【整理数据】对测试成绩（单位：分）进行整理： ①划分等级： 等级 A B C D E 取值范围 ②学生成绩在C等级的数据（单位：分）如下： C等级的数据 70 71 72 73 74 75 76 78 79 个数 1 2 3 2 3 3 7 2 2 学生成绩在D等级的数据（单位：分）如下： D等级的数据 80 81 82 83 84 85 87 88 89 个数 2 3 4 3 3 4 5 4 2 ③绘制统计图： 【分析数据】①A等级所在扇形统计图中圆心角度数为； ②此组数据的平均数是78，众数是76，中位数是． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）补全频数分布直方图； （3）若该校七年级600名学生全部都参加本次竞赛，请你估计成绩为E等级的人数． 【答案】（1）100，， （2）见解析 （3）120人 【解析】 【分析】本题考查了从条形统计图和扇形统计图中获取信息，补全条形统计图，样本估计总体等；能从从条形统计图和扇形统计图中获取正确的信息，理解中位数，会进行样本估计总体计算是解题的关键． （1）由等级人占可求出，继而可求出，中位数是按从小到大排列的第、个数据的平均数，第个数据是组的最大的数据，第个数据是组的最小的数据，即可求解； （2）求出等级（人），补全图，即可求解； （3）等级所占的百分比，即可求解； 【小问1详解】 解：等级人占， ，， 中位数是按从小到大排列的第、个数据的平均数，第个数据是组的最大的数据，第个数据是组的最小的数据， ， 故答案为：100，，； 【小问2详解】 解：（人） 补全频数分布直方图如图所示． 【小问3详解】 解：由题意可得 （人）， 答：该校七年级学生成绩为E等级的人数约为120人． 19. 超市购物车使我们的购物方式更方便、快捷，如图为购物车叠放在一起的示意图．3辆超市购物车叠放在一起的长度为，6辆超市购物车叠放在一起的长度为． （1）求每一辆超市购物车的长度； （2）若该超市只有扶手电梯，且倾斜长度为12米，工作人员可以通过电梯转运超市购物车．为安全起见，规定电梯一次只能转运1列超市购物车，并且不能超过电梯总长度的，则工作人员一次最多可以转运多少辆超市购物车？ 【答案】（1）每一辆超市购物车的长度为1米 （2）工作人员一次最多可以转运16辆超市购物车 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设每一辆超市购物车的长度为米，两辆超市购物车重叠部分的长度为米，根据3辆超市购物车叠放在一起的长度为，6辆超市购物车叠放在一起的长度为建立方程组求解即可； （2）设一次最多可以转运辆超市购物车，则购物车的总长度为，再根据购物车的总长度不能超过电梯总长度的建立不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每一辆超市购物车的长度为米，两辆超市购物车重叠部分的长度为米， 根据题意得，， 解得， 答：每一辆超市购物车的长度为1米； 【小问2详解】 解：设一次最多可以转运辆超市购物车， 根据题意得，， 解得， 取最大正整数， 的值为16． 答：工作人员一次最多可以转运16辆超市购物车 20. “一道残阳铺水中，半江瑟瑟半江红．”夕阳西下的晋阳湖美如画．周末小明和爸爸、妈妈泛舟湖上，尽享惬意时光． 小明在点乘船以的速度向北行驶，同时，小船以的速度向北行驶，行驶过程中，小明作了如下记录： 游玩记录 记录一：傍晚7时，小明在点处测得小船在他的北偏东方向上； 记录二：傍晚7时10分，小明在处测得小船在他的北偏东方向的处； 记录三：根据气象预报可知：当天下午6时到晚上8时，湖面平静，没有一丝波澜． 请你根据以上信息解决下列问题： （1）填空：______，______． （2）若两只小船不改变行驶路线和速度，求这两只小船的运动方向与之间的距离？ （参考数据：，，，，，，结果精确到） 【答案】（1），； （2）这两只小船的运动方向与之间的距离约为103米 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，作辅助线构造直角三角形是解题关键． （1）根据题意即可得到答案； （2）过点作于点，过点作于点，则，都是直角三角形，四边形为矩形，设这两只小船的运动方向与之间的距离为米，利用锐角三角函数得到，，再根据列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点， 则，都是直角三角形，四边形为矩形， 设这两只小船的运动方向与之间的距离为米， ∵，， ∴，， 在中，，， ∴，即， ∴， 在中，，， ∴，即， ∴， ∵， 即， 解得， 答：这两只小船的运动方向与之间的距离约为103米． 21. 阅读与思考： 关于“图形的平移”的学习笔记 研究对象：图形的平移． 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念—性质—判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）—猜想—证明—应用． 研究内容： 【一般概念】在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形运动称为平移．平移的距离就是新图形与原图形对应点之间的距离． 【特例研究】（1）如图1，，是线段的三等分点，．若将线段沿方向平移一定距离后得到线段，则________． 【知识应用】（2）如图2，等腰直角三角形的腰长是2．用尺规方法作出沿方向平移距离为2的一个图形．（保留作图痕迹，不要求写作法） （3）如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，以点为圆心，长为半径画圆交轴正半轴于点，平面内存在一点，使得以点，，，为顶点的图形为平行四边形，请直接写出点的坐标：________． 请你根据所学内容，完善上述学习笔记． 【答案】（1）2；（2）见解析；（3）或或 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，坐标与图形，尺规作图，平行四边形的性质，熟练掌握平移的性质，尺规作图，平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据平移的性质解答即可； （2）过点B作，然后在射线上截取，连接，即可； （3）先求出，可得，点，然后分三种情况讨论，结合平行四边形的性质以及平移的性质解答即可． 【详解】解：（1）由平移的性质得：平移的距离， ∵，是线段的三等分点，， ∴， 即； 故答案为：2 （2）如图，即为所求； （3）∵点的坐标分别是，， ∴，， ∴， ∴， ∴点， 若四边形或为平行四边形，此时轴，轴，且， ∴点； 若四边形为平行四边形，此时沿的方向平移至的位置， ∵点的坐标分别是，， ∴点D先向左平移1个单位，再向下平移1单位到达点E， ∴点先向左平移1个单位，再向下平移1单位到达点， ∴； 综上所述，点G的坐标为或或． 22. 学科实践 问题情景：2024年12月4日，中国春节申遗成功，进一步提升了中华文化的国际地位．“放烟花”作为春节的一项习俗，象征着辞旧迎新，庆贺新年的到来． 驱动任务：烟花升空燃烧后形成五彩缤纷图案．某数学研习小组对某款烟花燃放时的相关问题展开研究． 研究步骤：一枚高的烟花，垂直放置在地面上，烟花升空燃放到燃烧物下落过程可以近似看作若干条抛物线．如图，抛物线、抛物线是两条燃烧物落地点距离烟花底部最远的两条抛物线． 烟花燃烧时，抛物线最高点距离地面，点与烟花的水平距离为． 问题解决：请根据以上研究步骤，完成下列任务． （1）以水平地面所在直线为轴，以烟花所在直线为轴建立平面直角坐标系，请在图中画出坐标系，并求抛物线的表达式； （2）求烟花燃尽时，燃烧物落地点离烟花的水平距离； （3）为了安全考虑，工作人员设置了一圈警戒线标识，要求观赏者距离燃烧物落地点至少，计算至少需要多长的警戒线．（不考虑接口处所需警戒线，结果精确到） 【答案】（1）坐标系见解析， （2） （3） 【解析】 【分析】此题重点考查二次函数的图象与性质、二次函数的应用等知识，正确地求出二次函数的解析式是解题的关键． （1）根据题意以水平地面所在直线为x轴，以烟花所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设函数表达式为，利用待定系数法求解即可； （2）令，即可求解； （3）根据题意得为了安全考虑，观赏者到烟花底部的距离为，再根据圆周长公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题可知，建立如图所示的平面直角坐标系． 设抛物线的表达式为， 根据题意可得，， 点的坐标为，点的坐标为，，． 抛物线的表达式为． 将点代入中，得， 解得． 抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：当烟花燃尽时，燃烧物落地点的纵坐标为0，即， ． 解得，（不合题意，舍去）． 答：当烟花燃尽时，燃烧物落地点离烟花的水平距离为． 【小问3详解】 解：为了安全考虑，观赏者到烟花底部的距离为． ． 答：所需警戒线的长度约为． 23. 综合与实践 问题情境：数学课上，老师让同学们以“直角三角形的旋转”为主题展开探究活动，已知在中，，，．将绕点旋转一定角度得到，延长交于点． 初步探究：（1）如图1，勤思小组发现，当时，四边形是正方形，请你证明这一结论． 深入思考：（2）如图2，笃学小组发现，当点正好落在斜边上时，可以求出四边形的面积，你能解决这一问题吗？ 拓展延伸：（3）善思小组继续探究，当和在同一条直线上时，连接．请你在图3中画出图形，并直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）画图见解析，或 【解析】 【分析】（1）由旋转得，．根据，得出，证出四边形是矩形．结合，即可证明矩形是正方形． （2）在 中，，根据勾股定理求出，得出，由旋转得，，得，在 中，，求出，求出，，再根据即可求解． （3）如图，情况一：如图，点A在中间时，过点D作，根据，求出，根据，求出，根据图象求出，再根据勾股定理即可求解；情况二：如图，点C在中间时，同理得出，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）由旋转得，． ， ， ， ∴四边形是矩形． 又， ∴矩形是正方形． （2） 中，， ，， 由旋转得，， ， 在 中，， ， ， ， ． （3）如图，情况一：如图，点A在中间时， 过点D作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 情况二：如图，点C在中间时， 同理， ∴ ． 综上，或． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，旋转的性质，矩形的性质和判定，正方形的判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年山西省中考信息冲刺卷·第三次适应与模拟 数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡．上将该项涂黑） 1. 点A在数轴上的位置如图所示，则点A对应的实数是（ ） A. B. C. D. 2. 对称美是一种和谐之美、圆满之美，而中国的方块字中也能找到这种美．下列汉字是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C D. 4. 由5个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，则这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将一把含角的三角尺的直角顶点放在一张矩形纸条的一边上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 中国古代四大发明（造纸术、印刷术、指南针、火药）对世界文明的发展具有深远的影响．某校历史社团开设了关于四大发明的项目化学习活动，甲、乙两名同学通过抽签的方式从这四项发明中随机抽取一项开展活动，则他们恰好抽到同一项发明的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 端午节是中国的传统节日，某商店销售甲、乙两种礼盒的粽子，经调查发现：用880元购进的甲礼盒数量是用400元购进的乙礼盒数量的2倍，且每个甲礼盒的进价比乙礼盒贵4元，设每个乙礼盒的进价为x元，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 校运动会时，甲、乙两班都选派了8名学生参加跳大绳项目，每个班参加比赛的8名学生身高如下表，则甲、乙两班学生身高的方差，大小关系正确的是（ ） 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 甲班学生身高 164 164 165 165 165 166 164 165 乙班学生身高 162 164 163 170 168 166 164 167 A. B. C. D. 无法确定 9. 如图，为的弦，是的直径，过点B作的切线交的延长线于点D，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，平分，于点，交于点，交的延长线于点，若，，则的长度为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：_____ 3（填“”或“”或“”）． 12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在原点上，顶点在轴正半轴上，直线的解析式为，则该菱形的边长为______． 13. 在“探究杠杆平衡的条件”中，亮亮知道：当阻力和阻力臂一定时，动力与动力臂之间的关系如图所示，且．若动力为，则动力臂为______． 14. 如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径为，高为的圆锥体，那么这个扇形的圆心角的度数是______． 15. 如图，在中，，D，E分别为边上的点，且，若，，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 下面是小颖同学的解题过程，请你思考并完成下列任务． 解：原式 第一步 第二步 第三步 ． 第四步 当时，原式． 任务一：以上解题过程中，第______步是通分得到的． 任务二：以上解题过程中，从第______步开始出现了错误．错误的原因是：______ 任务三：请你直接写出该分式正确的化简结果，并代入求值． 17. 如图，在中： （1）实践与操作：尺规作的垂直平分线，垂足为，交于点，连接； （2）应用与证明：在（1）的条件下，若，，求四边形的周长． 18. “道路千万条，安全第一条．”交通安全已成为人们最关注的问题之一．某校为了了解七年级学生对交通安全知识掌握的情况，开展了“文明交通，携手共创”主题知识竞赛，本次竞赛满分为100分，学生测试成绩均为不小于50的整数． 【收集数据】从中随机抽取名学生的成绩进行分析． 【整理数据】对测试成绩（单位：分）进行整理： ①划分等级： 等级 A B C D E 取值范围 ②学生成绩在C等级数据（单位：分）如下： C等级的数据 70 71 72 73 74 75 76 78 79 个数 1 2 3 2 3 3 7 2 2 学生成绩在D等级的数据（单位：分）如下： D等级的数据 80 81 82 83 84 85 87 88 89 个数 2 3 4 3 3 4 5 4 2 ③绘制统计图： 【分析数据】①A等级所在扇形统计图中的圆心角度数为； ②此组数据的平均数是78，众数是76，中位数是． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）补全频数分布直方图； （3）若该校七年级600名学生全部都参加本次竞赛，请你估计成绩为E等级人数． 19. 超市购物车使我们的购物方式更方便、快捷，如图为购物车叠放在一起的示意图．3辆超市购物车叠放在一起的长度为，6辆超市购物车叠放在一起的长度为． （1）求每一辆超市购物车的长度； （2）若该超市只有扶手电梯，且倾斜长度为12米，工作人员可以通过电梯转运超市购物车．为安全起见，规定电梯一次只能转运1列超市购物车，并且不能超过电梯总长度的，则工作人员一次最多可以转运多少辆超市购物车？ 20. “一道残阳铺水中，半江瑟瑟半江红．”夕阳西下的晋阳湖美如画．周末小明和爸爸、妈妈泛舟湖上，尽享惬意时光． 小明在点乘船以的速度向北行驶，同时，小船以的速度向北行驶，行驶过程中，小明作了如下记录： 游玩记录 记录一：傍晚7时，小明在点处测得小船在他的北偏东方向上； 记录二：傍晚7时10分，小明在处测得小船在他的北偏东方向的处； 记录三：根据气象预报可知：当天下午6时到晚上8时，湖面平静，没有一丝波澜． 请你根据以上信息解决下列问题： （1）填空：______，______． （2）若两只小船不改变行驶路线和速度，求这两只小船的运动方向与之间的距离？ （参考数据：，，，，，，结果精确到） 21. 阅读与思考： 关于“图形的平移”的学习笔记 研究对象：图形的平移． 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念—性质—判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）—猜想—证明—应用． 研究内容： 【一般概念】在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形运动称为平移．平移的距离就是新图形与原图形对应点之间的距离． 【特例研究】（1）如图1，，是线段的三等分点，．若将线段沿方向平移一定距离后得到线段，则________． 【知识应用】（2）如图2，等腰直角三角形的腰长是2．用尺规方法作出沿方向平移距离为2的一个图形．（保留作图痕迹，不要求写作法） （3）如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，以点为圆心，长为半径画圆交轴正半轴于点，平面内存在一点，使得以点，，，为顶点的图形为平行四边形，请直接写出点的坐标：________． 请你根据所学内容，完善上述学习笔记． 22. 学科实践 问题情景：2024年12月4日，中国春节申遗成功，进一步提升了中华文化的国际地位．“放烟花”作为春节的一项习俗，象征着辞旧迎新，庆贺新年的到来． 驱动任务：烟花升空燃烧后形成五彩缤纷图案．某数学研习小组对某款烟花燃放时的相关问题展开研究． 研究步骤：一枚高的烟花，垂直放置在地面上，烟花升空燃放到燃烧物下落过程可以近似看作若干条抛物线．如图，抛物线、抛物线是两条燃烧物落地点距离烟花底部最远的两条抛物线． 烟花燃烧时，抛物线最高点距离地面，点与烟花的水平距离为． 问题解决：请根据以上研究步骤，完成下列任务． （1）以水平地面所在直线为轴，以烟花所在直线为轴建立平面直角坐标系，请在图中画出坐标系，并求抛物线的表达式； （2）求烟花燃尽时，燃烧物落地点离烟花的水平距离； （3）为了安全考虑，工作人员设置了一圈警戒线标识，要求观赏者距离燃烧物落地点至少，计算至少需要多长的警戒线．（不考虑接口处所需警戒线，结果精确到） 23. 综合与实践 问题情境：数学课上，老师让同学们以“直角三角形的旋转”为主题展开探究活动，已知在中，，，．将绕点旋转一定角度得到，延长交于点． 初步探究：（1）如图1，勤思小组发现，当时，四边形是正方形，请你证明这一结论． 深入思考：（2）如图2，笃学小组发现，当点正好落在斜边上时，可以求出四边形的面积，你能解决这一问题吗？ 拓展延伸：（3）善思小组继续探究，当和在同一条直线上时，连接．请你在图3中画出图形，并直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $