精品解析：2025年安徽省安庆市宜秀区部分学校联考二模数学试题

2025年度安徽省中考数学模拟试卷（5月） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 2. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，是上的一条弦，直径，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，点A，，的坐标分别为，，．若存在点，使得直线平分的面积，，，，这四个点中，可作为点的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7. 如图，已知中，，，将绕边中点O旋转，且，得到，若，延长交于点Q，则（ ） A. B. C. D. 8. 某校计划举办九年级毕业典礼，想在现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“毕”“业”“典”“礼”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点）到的距离为，如图2所示，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个黑球、3个白球、2个蓝球和1个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（ ） A. 黑球 B. 白球 C. 蓝球 D. 红球 10. 已知在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点和点在函数的图象上(且)，点和点在函数的图象上．当与的积为负数时，t的取值范围是( ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 比较大小：_____2（填“”，“”或“”）． 12. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 13. 已知一次函数图像与一圆心为，半径为1的圆相切，则切点坐标为________． 14. 如图，在正八边形中，对角线，交于点P，则____°． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算：． 16. 先化简，再求值：，其中 17. 如图，在中，O是边上一点，和关于点O成中心对称，连接． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，求证：四边形是菱形． 18. 《哪吒2》自2025年1月29日上映以来，票房表现非常强劲．阅读以下统计图并回答问题． （1）1月29日至2月7日，单日票房的中位数为_______亿元． （2）1月29日至2月7日，单日票房较前一日增长率最大的是_______．（填日期） （3）下列结论中，所有正确结论的序号是_______．（说明：全部填对的得4分，部分填对的得2分，有填错的得0分） ①1月29日至2月7日，单日票房占单日总票房的比重呈上升趋势 ②1月29日至2月7日，单日票房的极差为3．87亿元 ③1月29日至2月7日，2月4日的单日总票房最高 ④1月29日至2月7日，单日总票房先上升后下降 19. 工人师傅借助六步梯更换灯泡．如图，已知六步梯相邻踏脚点之间的距离为，即（踏板的厚度忽略不计），完全展开时梯子与地面的夹角为．当工人师傅站立在第二块踏板上时，刚好能摸到灯泡，此时人与梯子的夹角为．已知工人师傅的身体在一条直线上，且脚底到指尖的距离长为，垂直于地面，垂足为点，求灯泡到地面的高度．（参考数据：，，，，，，结果精确到） 20. 已知：矩形ABCD，AB＝8，BC＝12． （1）用直尺和圆规作⊙O，使⊙O过B、C两点，且与AD相切（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求（1）中所作圆的半径． 21. 在中，，，点D是上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段顺时针旋转得到线． （1）如图1，当时，求的度数； （2）如图2，连接，当时，的大小是否发生变化？如果不变求，的度数；如果变化，请说明理由； （3）如图3，点M在CD上，且，以点C为中心，将线CM逆时针转得到线段CN，连接EN，若，求线段EN的取值范围． 22. 景点商店销售某种纪念品，每件成本为50元，经市场调研，该纪念品的月销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图像如图所示． （1）求该纪念品的月销售量与销售单价之间的函数关系式； （2）若商店某月销售这种纪念品共获利12000元，求该纪念品当月的销售单价． 23. 太阳灶是利用凹面镜会聚光的性质把太阳能收集起来，用于做饭、烧水的一种器具．目前应用最广泛的聚光式太阳造是利用镜面反射汇聚阳光，如图1，这种太阳灶的镜面设计，可以看成是抛物线绕其对称轴旋转一周所得的旋转抛物面，其原理是，如图2，若有一束平行光沿对称轴方向射向这个抛物面，则反射光线都会集中反射到一特殊点（即抛物线的焦点）的位置，于是形成聚光，达到加热的目的．若抛物线的表达式为，则抛物线的焦点为． （1）已知在平面直角坐标系中，某款太阳灶抛物线的表达式为，则焦点的坐标是______； （2）如图3，用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中，对称轴与轴重合，顶点与原点重合，若太阳灶采光面的直径为1.5米，凹面深度为0.25米，求抛物线的表达式______； （3）如图4，在（2）的条件下，为平行于轴的入射光线，为反射光线，为切点，为焦点，当时，求点的横坐标； （4）如图5，在（1）的条件下，点是焦点，表示太阳灶边缘（最远程）反射光同对称轴的夹角，当为时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年度安徽省中考数学模拟试卷（5月） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案． 【详解】解：|﹣5|=5． 故选A． 2. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解决此题的关键． 根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合，即可解题． 【详解】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方及合并同类项，熟练掌握幂运算法则及合并同类项得法则是解题的关键．根据幂运算法则及合并同类项法则，即可判断答案． 【详解】A、，所以A选项错误，不符合题意； B、，所以B选项正确，符合题意； C、，所以C选项错误，不符合题意； D、，所以D选项错误，不符合题意； 故选：B． 4. 如图，在中，是上的一条弦，直径，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】连接，根据圆周角定理，垂径定理即可求解； 解： 连接， 是上的一条弦，直径， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，垂径定理，正确做出辅助线是解本题的关键． 5. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将分式方程化为一元一次方程，再利用解一元一次方程的一般步骤即可解答．本题考查了解分式方程一般步骤，学会将分式方程化为一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：， 去分母，得， ， 去括号，得， ， 移项，得， ， 合并同类项，得， ， 系数化为，得， ， 检验：将代入， ∴是原分式方程的解， 故选． 6. 如图，在平面直角坐标系中，点A，，的坐标分别为，，．若存在点，使得直线平分的面积，，，，这四个点中，可作为点的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据点的坐标，利用网格计算三角形的面积，根据点的坐标，在平面直角坐标系中描出点是解题的关键． 先在平面直角坐标系中描出点C，再根据点的坐标，利用网格，由割补法求出，，再比较即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵，，， 当点C坐标为时， ∴， ∴ ∴不能平分的面积， 故点C坐标不能为； 当点C坐标为时， ∴， ∴，即平分的面积， 故点C坐标能为； 当点C坐标为时， ∴ ∴，即平分的面积， 故点C坐标能为； 当点C坐标为时， ∴ ∴， ∴不能平分的面积， 故点C坐标不能为； 综上，可作为点的有和，共2个， 故选：B． 7. 如图，已知中，，，将绕边中点O旋转，且，得到，若，延长交于点Q，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、解直角三角形、矩形的判定与性质等知识，先根据已知求得，，过O作于M，利用锐角三角函数和矩形的判定与性质分别求得，，在中，解利用锐角三角函数定义求得，进而求解即可． 【详解】解：∵中，，， ∴，， 过O作于M，则， ∵将绕边中点O旋转，且，得到， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故选：C． 8. 某校计划举办九年级毕业典礼，想在现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“毕”“业”“典”“礼”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点）到的距离为，如图2所示，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再由题意得出点的横坐标为2，代入抛物线计算即可得解． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系． 由题意可得点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为， 故设抛物线的解析式为， 将点的坐标代入上式，得， 解得：， 抛物线的解析式为． 点的横坐标为2， 点的纵坐标为， 点到的距离为． 9. 数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个黑球、3个白球、2个蓝球和1个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（ ） A. 黑球 B. 白球 C. 蓝球 D. 红球 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，由频率估计概率，先求出四种颜色球出现的概率，再根据频率估计出概率，即可求解． 【详解】解：由题意可知，袋子中的球共有：（个）， ∴黑球出现的概率为：， 白球出现的概率为：， 蓝球出现的概率为：， 红球出现的概率为：， ∵试验中该颜色的球出现的频率稳定在0.2左右， ∴该颜色的球出现的概率为0.2， ∴该种球的颜色最有可能是蓝球， 故选：C． 10. 已知在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点和点在函数的图象上(且)，点和点在函数的图象上．当与的积为负数时，t的取值范围是( ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】将交点的横坐标1代入两个函数，令二者函数值相等，得．令，代入两个函数表达式，并分别将点A、B的坐标和点C、D的坐标代入对应函数，进而分别求出与的表达式，代入解不等式并求出t的取值范围即可． 【详解】解：∵的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1， ∴． 令，则，． 将点和点代入，得； 将点和点代入，得． ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ①当时，， ∴不符合要求，应舍去； ②当时，， ∴符合要求； ③当时，， ∴不符合要求，应舍去； ④当时，， ∴符合要求； ⑤当时，， ∴不符合要求，应舍去． 综上，t的取值范围是或． 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解不等式是本题的关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 比较大小：_____2（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】采用平方法将无理数转化为有理数后比较，根据两个正实数，平方更大的原数更大得到结果． 【详解】解：∵，， 又 ∵， ∴． 12. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 【答案】x≥3 【解析】 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得到关于x的不等式，解不等式即可得答案. 【详解】由题意可得：x—3≥0， 解得：x≥3， 故答案为：x≥3 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键. 13. 已知一次函数图像与一圆心为，半径为1的圆相切，则切点坐标为________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查切线的性质、两点坐标距离公式、勾股定理，熟练掌握切线的性质是解答的关键．先得到一次函数图像过定点，设切点坐标为，圆心为，根据切线定义、勾股定理以及两点坐标距离公式列方程求解即可． 【详解】解：对于，当时，， ∴一次函数图像过定点， 如图，设切点坐标为，圆心为， 则，，， ∴， 由勾股定理得， 则， 由①②解得，， ∴切点坐标为，， 故答案为：，． 14. 如图，在正八边形中，对角线，交于点P，则____°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键． 根据正八边形的性质得出是它的一条对称轴，，即可得出的度数，从而求出的度数． 【详解】解：∵八边形是正八边形， ∴是它的一条对称轴，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算与特殊锐角三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用绝对值的性质，负整数指数幂，零指数幂，特殊锐角三角函数值计算后再算加减即可． 【详解】解：原式， ， ． 16. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据分式的混合运算法则进行化简，再代数求值． 【详解】解：原式 ， 将代入， 原式． 17. 如图，在中，O是边上一点，和关于点O成中心对称，连接． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 证明：和关于点O成中心对称， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2） 证明：连接， AI 和关于点O成中心对称， B，O，F三点共线，， 四边形是平行四边形， ， ， 即， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， 又四边形是平行四边形， 是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定． （1）根据中心对称图形的性质得到，，推出，即可证明四边形是平行四边形； （2）连接．先证得四边形是平行四边形，求得，得到，推出四边形是菱形．推出，即可证明四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 《哪吒2》自2025年1月29日上映以来，票房表现非常强劲．阅读以下统计图并回答问题． （1）1月29日至2月7日，单日票房的中位数为_______亿元． （2）1月29日至2月7日，单日票房较前一日增长率最大的是_______．（填日期） （3）下列结论中，所有正确结论的序号是_______．（说明：全部填对的得4分，部分填对的得2分，有填错的得0分） ①1月29日至2月7日，单日票房占单日总票房的比重呈上升趋势 ②1月29日至2月7日，单日票房的极差为3．87亿元 ③1月29日至2月7日，2月4日的单日总票房最高 ④1月29日至2月7日，单日总票房先上升后下降 【答案】（1） （2）月31日 （3）①② 【解析】 【分析】本题考查中位数，极差，掌握中位数，观察折线图的变化趋势是解题关键， （1）根据中位数的定义解答即可； （2）结合条形统计图解答即可； （3）结合折线统计图和条形统计图解答即可． 【小问1详解】 解：把1月29日至2月7日，单日票房从小到大排列为， 位于正中间的两个数为， ∴中位数为； 故答案为： 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴单日票房较前一日增长率最大的是1月31日； 【小问3详解】 解：①1月29日至2月7日，单日票房占单日总票房的比重呈上升趋势，正确； ②1月29日至2月7日，单日票房的极差为亿元，正确； ③1月29日至2月7日，2月4日的单日票房最高，原说法错误； ④1月29日至2月7日，单日总票房先下降，再上升后，然后下降，原说法错误； 故答案为：①② 19. 工人师傅借助六步梯更换灯泡．如图，已知六步梯相邻踏脚点之间的距离为，即（踏板的厚度忽略不计），完全展开时梯子与地面的夹角为．当工人师傅站立在第二块踏板上时，刚好能摸到灯泡，此时人与梯子的夹角为．已知工人师傅的身体在一条直线上，且脚底到指尖的距离长为，垂直于地面，垂足为点，求灯泡到地面的高度．（参考数据：，，，，，，结果精确到） 【答案】灯泡到地面的高度为． 【解析】 【分析】本题主要考查了解三角形的应用．过点作，垂足为，过点作，垂足为．在中，利用三角函数求得的长，在中，利用三角函数求得的长，据此求解即可． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为． ∴四边形为矩形， 在中，， ． 四边形为矩形， ． ∵， ． ． 在中，， ． ． 答：灯泡到地面的高度为． 20. 已知：矩形ABCD，AB＝8，BC＝12． （1）用直尺和圆规作⊙O，使⊙O过B、C两点，且与AD相切（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求（1）中所作圆的半径． 【答案】（1）作图如下： ； （2） 【解析】 【分析】（1）作的角平分线与 的交点 ,以 点在作一条中位线 ，在以 的长度，通过，两点之间的交点来确定圆心 ，在以为圆心过B、C两点为半径画圆即可； （2）连接OB，由（1）可知∠EMC=90º，通过四边形ABCD是矩形，得知EM=AB=8，在设半径为R，通过勾股定理即可得出结论． 【详解】解：（1）略 （2）连接OB，由（1）可知∠EMC=90º， ON⊥BE，BM= =6 ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠ABM=90º ∴ ∠EMB=∠A=∠ABM=90º， ∴ 四边形ABME是矩形 ∴ EM=AB=8 设半径为R，则OB=OE=R，OM=8-R 在Rt△BOM中，由勾股定理得：BM2+OM2=BO2，故（8-R）2+62=R2 则 ． 21. 在中，，，点D是上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段顺时针旋转得到线． （1）如图1，当时，求的度数； （2）如图2，连接，当时，的大小是否发生变化？如果不变求，的度数；如果变化，请说明理由； （3）如图3，点M在CD上，且，以点C为中心，将线CM逆时针转得到线段CN，连接EN，若，求线段EN的取值范围． 【答案】（1） （2） 解：的大小不发生变化，，理由如下： 连接交于点O， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得，由等边对等角和三角形内角和定理得到，由三角形外角的性质得，进而可求出的度数； （2）连接交于点O，证明得，再证明即可求出的度数； （3）过点C作于H，求出，则；由旋转的性质得，，，设，则；如图所示，过点D作于G，则可得到，，由勾股定理得；证明，在中，由勾股定理得 ；再求出，即可得到． 【小问1详解】 解：由旋转的性质得． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，过点C作于H， ∵，， ∴， ∵， ∴； 由旋转的性质得，，， 设， ∵， ∴， 如图所示，过点D作于G， ∵，， ∴， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴, ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ， ∴或（舍去）； ∵点D是上一个动点（点D不与A，B重合）， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边对等角等，正确作出辅助线构造相似三角形和直角三角形是解题的关键． 22. 景点商店销售某种纪念品，每件成本为50元，经市场调研，该纪念品的月销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图像如图所示． （1）求该纪念品的月销售量与销售单价之间的函数关系式； （2）若商店某月销售这种纪念品共获利12000元，求该纪念品当月的销售单价． 【答案】（1） （2）70或80元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用等知识，解题的关键是： （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据“销售利润=单个利润×销售量”列出方程，然后解方程即可进行求解． 【小问1详解】 解：设，代入，， 则． 解得 ． 【小问2详解】 解：． 解得，， 答：当获利12000元时，该纪念品的销售单价是70或80元． 23. 太阳灶是利用凹面镜会聚光的性质把太阳能收集起来，用于做饭、烧水的一种器具．目前应用最广泛的聚光式太阳造是利用镜面反射汇聚阳光，如图1，这种太阳灶的镜面设计，可以看成是抛物线绕其对称轴旋转一周所得的旋转抛物面，其原理是，如图2，若有一束平行光沿对称轴方向射向这个抛物面，则反射光线都会集中反射到一特殊点（即抛物线的焦点）的位置，于是形成聚光，达到加热的目的．若抛物线的表达式为，则抛物线的焦点为． （1）已知在平面直角坐标系中，某款太阳灶抛物线的表达式为，则焦点的坐标是______； （2）如图3，用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中，对称轴与轴重合，顶点与原点重合，若太阳灶采光面的直径为1.5米，凹面深度为0.25米，求抛物线的表达式______； （3）如图4，在（2）的条件下，为平行于轴的入射光线，为反射光线，为切点，为焦点，当时，求点的横坐标； （4）如图5，在（1）的条件下，点是焦点，表示太阳灶边缘（最远程）反射光同对称轴的夹角，当为时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，熟练进行计算是解题的关键． （1）根据题意即可解答； （2）利用待定系数法即可解答； （3）过点作轴交于点，利用等腰直角三角形的性质表示出点的坐标，代入抛物线即可解答； （4）设，利用等腰直角三角形的性质表示出点的坐标，代入抛物线即可解答． 【小问1详解】 解：， 所以焦点的坐标是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵为1.5， ∴， ∵为0.25米， ∴， 设抛物线的表达式的表达式为， 把代入可得， 解得， 所以抛物线的表达式的表达式为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图，过点作轴交于点， 根据题意可得点为焦点，坐标为， 轴，轴， ， ， ， 为等腰直角三角形， 设， ， 当点在轴右边时，设， 把代入， 可得， 解得（负值舍去）， 当点在轴左边时，点的横坐标为，即， 综上，点的横坐标为或； 【小问4详解】 解：, 为等腰直角三角形， 设， , ， 把代入抛物线表达式为， 解得（负值舍去）， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $