精品解析：山东省济南市平阴县第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

2024级高一下学期期中考试数学试题 一、单选题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数z满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 2. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 一个圆台的上、下底面的半径分别为和，表面积为，则它的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 设m，n是两条不同的直线，，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，，则 5. 非零向量，满足：，，则与夹角的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四棱锥中，四边形是梯形，且点F在棱上，且平面，则=（ ） A. B. C. D. 7. 四边形四个顶点在一个平面上，，，，，则的值为（ ） A. B. C. 14 D. 8. 已知点是内一点，若．过点作直线分别与、交于点、，且（），（），则的最小值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 已知复数（i是虚数单位），则下列结论正确的是（ ） A. 复数的虚部等于 B. C. D. 若是实数，是纯虚数，则 10. 如图，向透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，水是定量的（定体积为），固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个结论，其中正确的是（ ） A. 没有水的部分始终呈棱柱形 B. 水面所在四边形的面积为定值 C. 棱总与水面所在的平面平行 D. 当容器倾斜如图所示时，（定值） 11. 下列命题正确的（ ） A. 已知，若与的夹角是钝角，则 B. △ABC中，已知，，若三角形有唯一解，则整数可以为1，2，4. C. 在中，为常数，若，且，则的面积取最大值时， D. 在中，，，设是的内心，若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 如图是一个水平放置的平面图形的直观图，它是一个底角为，腰和上底均为1，下底为的等腰梯形，那么原平面图形的面积为__________. 13. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则_____ 14. 中国雕刻技艺举世闻名，雕刻技艺的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，成品美轮美奂．1966年，玉石雕刻大师吴公炎将这一雕刻技艺应用到玉雕之中，他把玉石镂成多层圆球，层次重叠，每层都可灵活自如的转动，是中国玉雕工艺的一个重大突破.今一雕刻大师在棱长为10的整块正方体玉石内部套雕出一个可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长均相等的三棱锥)，若不计各层厚度和损失，则最内层正四面体的棱长最长为___________ 四、解答题：本小题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量和，则，，，求： （1）的值； （2）与的夹角的余弦值． 16. 已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）. （1）设复数，求； （2）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 17. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，，， （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长． （3）若三角形为锐角三角形，且，求周长的取值范围. 18. 如图，在正方体中，为的中点. （1）求证：平面； （2）若为的中点，求证：平面平面. 19. 在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为． （1）已知，求； （2）在中，若，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高一下学期期中考试数学试题 一、单选题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数z满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件，根据复数相等的定义列方程可求得，再由模长公式求解. 【详解】设, 则，所以且， 故，， 所以，故， 故选：D 2. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量平行的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】由条件可得， ， 由可得，解得. 故选：B 3. 一个圆台的上、下底面的半径分别为和，表面积为，则它的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆台的表面积公式求得母线长，进而求得圆台的高，从而利用圆台的体积公式即可得解. 【详解】设圆台的母线长为．高为． 所以，解得， 所以． 所以该圆台的体积． 故选：C． 4. 设m，n是两条不同的直线，，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行的判断定理可判断A的正误，根据线面平行的定义可判断B的正误，根据面面平行的性质可判断C的正误，根据面面平行的判定定理可判断D的正误. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，则或异面，故B错误； 对于C，若，，，则或异面，故B错误； 对于D，由面面平行的判定定理可证D成立， 故选：D. 5. 非零向量，满足：，，则与夹角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的数量积将已知条件化简可得，再利用向量的夹角公式进行运算即可. 【详解】因为，所以， 则，即，① 又因为，所以，即， 将①代入得，，即， 设与夹角为， 所以， 因为，所以. 故选：C. 6. 如图，在四棱锥中，四边形是梯形，且点F在棱上，且平面，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先作辅助线，构造相似三角形，然后利用相似三角形的性质求得的比值. 【详解】过作交于，连接，如图所示. 因为，平面，不在平面上， 根据线面平行的判定定理可得平面. 又因为平面，，平面， 根据平面与平面平行的判定定理的推论，可得平面平面. 又平面平面，平面平面，所以. 根据相似三角形性质可得：. 因为，，所以四边形为平行四边形，所以. 又，所以，所以. 故选：B. 7. 四边形四个顶点在一个平面上，，，，，则的值为（ ） A. B. C. 14 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，，联立两方程，解出即可求解. 【详解】设， 由题意，，所以， 由余弦定理得， 由勾股定理有， 从而将代入，得, 将代入，得， 即，解得或（舍去）， 所以. 故选：B. 8. 已知点是内一点，若．过点作直线分别与、交于点、，且（），（），则的最小值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量线性运算可得，结合基本不等式可得最值. 【详解】 如图所示，设中点为， 由，则， 即， 又过点作直线分别与、交于点、， 设， 则， 所以，即， 又，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 已知复数（i是虚数单位），则下列结论正确的是（ ） A. 复数的虚部等于 B. C. D. 若是实数，是纯虚数，则 【答案】BD 【解析】 【分析】先根据复数的除法运算化简复数，然后根据复数的虚部概念，共轭复数，复数的运算及纯虚数的概念逐项判定，即可求解. 【详解】由，得， 所以， 复数的虚部等于，故A不正确； ，故B正确； ，故C不正确； ，由是纯虚数，是实数，得，即，故D正确. 故选：BD. 10. 如图，向透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，水是定量的（定体积为），固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个结论，其中正确的是（ ） A. 没有水的部分始终呈棱柱形 B. 水面所在四边形的面积为定值 C. 棱总与水面所在的平面平行 D. 当容器倾斜如图所示时，（定值） 【答案】ACD 【解析】 【分析】画出随着倾斜度得到的图形，根据线面平行的性质及棱柱的定义即可判断A、B、C选项，再根据棱柱的体积公式计算D选项. 【详解】依题意将容器倾斜，随着倾斜度的不同可得如下三种情形， 对于A：依题意，水面，而平面平面，平面，则，同理，而，，又平面，平面平面，因此有水的部分的几何体是直棱柱，长方体去掉有水部分的棱柱，没有水的部分始终呈棱柱形，故A正确； 对于B：水面是矩形，线段的长一定，从图1到图2，再到图3的过程中，线段长逐渐增大，则水面所在四边形的面积逐渐增大，故B错误； 对于C：因为，平面，平面，因此平面， 即棱总是与水面所在的平面平行，故C正确； 对于D :当容器倾斜如图3所示时，有水部分的几何体是直三棱柱，其高为，体积为， 又，，所以，故D正确. 故选：ACD 11. 下列命题正确的（ ） A. 已知，若与的夹角是钝角，则 B. △ABC中，已知，，若三角形有唯一解，则整数可以为1，2，4. C. 在中，为常数，若，且，则的面积取最大值时， D. 在中，，，设是的内心，若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据数量积为负结合两个向量不共线反向计算后可判断A，根据正弦定理结合的范围计算后可判断B的正误，对于C，根据余弦定理可得，再根据求得，结合面积公式计算后可判断C的正误，对于D，利用坐标法计算后可判断其正误. 【详解】对于A，因与的夹角是钝角，则，即，得， 又当与共线时，有，得，不合题意，则， 故的取值范围为.故A错误 对于B，由正弦定理，得，则， 由于有唯一解，则或，解得或， 所以整数可以为1，2，4.故B正确 对于C，在中，由及余弦定理，得， 即，则，又，则有， 即，又，因此， 则，当时取等号 ∴面积取最大值时．故C正确 对于D，以的中点为坐标原点，建立如下图所示的坐标系，则， 设内切圆的半径为，则，解得， 故，则， 因为，所以， 即，解得，故. 故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 如图是一个水平放置的平面图形的直观图，它是一个底角为，腰和上底均为1，下底为的等腰梯形，那么原平面图形的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据斜二侧画法画平面图形的直观图的步骤，判断平面图形为直角梯形，且直角腰长为2，上底边长为1，再求出下底边长，代入梯形的面积公式计算即可． 【详解】平面图形的直观图是一个底角为，腰和上底长均为1的等腰梯形， 平面图形为直角梯形，且直角腰长为2，上底边长为1， 梯形的下底边长为平面图形的面积. 故答案为：. 13. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】由向量在向量上的投影向量求得，根据向量的坐标运算得，即可求得. 【详解】由向量在向量上的投影向量为， 所以，所以， 所以， 故答案为： 14. 中国雕刻技艺举世闻名，雕刻技艺的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，成品美轮美奂．1966年，玉石雕刻大师吴公炎将这一雕刻技艺应用到玉雕之中，他把玉石镂成多层圆球，层次重叠，每层都可灵活自如的转动，是中国玉雕工艺的一个重大突破.今一雕刻大师在棱长为10的整块正方体玉石内部套雕出一个可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长均相等的三棱锥)，若不计各层厚度和损失，则最内层正四面体的棱长最长为___________ 【答案】## 【解析】 【分析】求出求的半径，将正四面体补成正方体，设正四面体的棱长为，可得出正方体的棱长为，利用正方体的体对角线长小于等于球的直径可得出关于的不等式，即可求得的最大值. 【详解】由题意可知，球为棱长为的内切球，则该球的半径为， 设正四面体的棱长为，将正四面体补成正方体， 如下图所示： 则正方体的棱长为， 则该正方体的体对角线长为，解得，显然等号可以成立. 故答案为：. 四、解答题：本小题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量和，则，，，求： （1）的值； （2）与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）平方后利用向量的数量积定义及运算法则求解； （2）由夹角公式及数量积的运算求解. 【小问1详解】 因为， 所以. 【小问2详解】 . 16. 已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）. （1）设复数，求； （2）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由为纯虚数，可得，从而得，再根据模的公式求解即可； （2）化简得，再根据题意列出不等式组求解即可. 【小问1详解】 解：因为，则， 所以为纯虚数， 所以，解得. 所以， 因此. 【小问2详解】 解：因为， 则， 因为复数在复平面内对应的点位于第一象限， 则，解得. 因此实数的取值范围是. 17. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，，， （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长． （3）若三角形为锐角三角形，且，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由数量积坐标公式计算结合两角和正弦公式计算求解； （2）应用余弦定理结合三角形面积公式计算求解； （3）先应用正弦定理结合三角恒等变换计算，再应用正弦函数值域计算求解. 【小问1详解】 ，， 即， ，， 又，，， 【小问2详解】 ，， ， ，， 的周长为． 【小问3详解】 在锐角三角形ABC中，， 因为根据正弦定理，所以， 因为三角形周长为， 又因为，所以， 所以， 因为，即，所以， 即，， 所以. 18. 如图，在正方体中，为的中点. （1）求证：平面； （2）若为的中点，求证：平面平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）构造三角形的中位线，可得线线平行，再利用线面平行的判定定理可得线面平行. （2）寻找线面平行，根据面面平行的判定定理证明面面平行. 【小问1详解】 如图：连接BD，设，连接OM， ∵在正方体中，四边形是正方形，是中点， 是的中点，， 平面，平面， 平面. 【小问2详解】 如图：连接，NB， 为的中点，为的中点， ，又， ∴四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面 由（1）知平面，，平面，平面， ∴平面平面. 19. 在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为． （1）已知，求； （2）在中，若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）将已知条件应用数量积公式计算得出，再结合余弦定理计算求解新定义即可. 【小问1详解】 因为， 所以 . 【小问2详解】 ， ， ，， ， ，， 解得：， ， ， 如图，建系，则， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $