精品解析：河北省邯郸市永年区第一中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试卷

2024-2025学年第二学期高一5月考 数学试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1. 下列各组事件中，不是互斥事件的是　(　　) A. 一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6 B. 统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分 C. 播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒 D. 检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70% 2. 某公园有东、南、西、北共4个大门供游客出入，小军、小明从不同的大门进入公园游玩，游玩结束后，他们随机地从其中一个大门离开，则他们恰好从同一个大门出去的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 袋中有a个白球b个黑球，不放回摸球两次，问第二次摸出白球的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 将一颗质地均匀的骰子（各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6）先后抛掷3次，至少出现1次6点向上的概率是（ ）． A. B. C. D. 5. 某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为(　　) A. 280 B. 320 C. 400 D. 1000 6. 若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 7. 甲､乙二人参加某体育项目训练，近期八次测试得分情况如图，则下列结论正确的是（ ） A. 甲得分的极差大于乙得分的极差 B. 甲得分的75%分位数大于乙得分的75%分位数 C. 甲得分的平均数小于乙得分的平均数 D. 甲得分的标准差小于乙得分的标准差 8. 某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13s与19s之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13s且小于14s;第二组，成绩大于等于14s且小于15s；……；第六组，成绩大于等于18s且小于等于19s.如图是按上述分组方法得到频率分布直方图.设成绩小于17s的学生人数占全班总人数的百分比为，成绩大于等于15s且小于17s的学生人数为，平均成绩为，则从频率分布直方图中可分析出，，的值分别为（ ） A. 90%，35，15.86 B. 90%，45，15.5 C. 10%，35，16 D. 10%，45，16.8 二、多选题 9. 下列情况中，适合用抽样调查的是（ ） A. 调查某村去年新生婴儿的数量 B. 调查某地区一年内的空气质量状况 C. 调查一条河流的水质 D. 调查一个班级学生每天的睡眠时间 10. 已知α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，下列说法中正确的是（　　） A. 若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β B. 若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥n C. 若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n D. 若α⊥β，m⊂α，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β 11. 设，为两个随机事件，以下命题正确为（ ） A. 若，是互斥事件，，，则 B. 若，是对立事件，则 C. 若，是独立事件，，，则 D. 若，，且，则，是独立事件 三、填空题 12. 福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表（下表是随机数表的第一行和第二行）选取6个红色球，选取方法是从随机数表中第1行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个红色球的编号为______. 49 54 43 54 82 17 37 93 23 28 87 35 20 56 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 13. 已知有8个样本数据分别为4，7，8，11，13，15，20，22，则估计该组数据的总体的第三四分位数为______． 14. 现有，两队参加关于“十九大”的知识问答竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢1分，答错得0分.队中每人答对的概率均为，队中每人答对的概率分别为，，，且各答题人答题正确与否之间互无影响.若事件表示“队得2分”，事件表示“队得1分”，则___________. 四、解答题 15. 袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球一个，标号为1的小球一个，标号为2的小球n个，已知从袋子中随机抽取一个小球，取到标号是2的小球的概率是． （1）求n的值； （2）从袋子中不放回地随机抽取两个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b，记事件A表示“”，求事件A的概率． 16. 在去年高考体检中，某校随机选取了20名男生，测得其身高（单位：cm）如下表． 序号 1 2 3 4 5 6 7 身高 168 167 165 186 a b c 序号 8 9 10 11 12 13 14 身高 d 178 158 166 178 175 169 序号 15 16 17 18 19 20 / 身高 172 177 182 169 168 176 / 由于统计时出现了失误，导致5、6、7、8号的身高数据丢失，先用字母a、b、c、d表示，但是已知这4人的身高都在区间内（单位：cm），且这20组身高数据的平均数，标准差． （1）为了更好地研究本校男生的身高数据，决定用这20个数据中在区间内的数据，重新计算其平均数与方差，据此估计，高校男生身高的平均值与方差分别为多少（方差结果保留2位小数）？ （2）说明区间内的数据与原数据对比，有什么特点（主要用平均数与方差进行说明）？ （参考公式：） 17. 为庆祝国庆节，某中学团委组织了“歌颂祖国，爱我中华”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名，将其成绩(成绩均为整数)分成[40，50)，[50，60)，…，[90，100)六组，并画出如图所示的部分频率分布直方图，观察图形，回答下列问题： （1）求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）请根据频率分布直方图，估计样本众数、中位数和平均数．（每组数据以区间的中点值为代表） 18. 某中学举办科技文化节活动，报名参加数学史知识竞赛的同学需要通过两轮选拔.第一轮为笔试，若笔试不合格则不能进入下一轮选拔；若笔试合格，则进入第二轮现场面试.最终由面试合格者代表年级组参加全校的决赛，两轮选拔之间相互独立.现有甲、乙、丙三名学生报名参加本次知识竞赛，假设甲、乙、丙三名考生笔试合格的概率分别是，，，面试合格的概率分别是，，. （1）求甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格概率； （2）求三人中至少有一人获得决赛资格的概率. 19. 如图，正三棱柱的棱长均为2，M是侧棱的中点． （1）在图中作出平面与平面的交线l（简要说明），并证明平面； （2）求点C到平面的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期高一5月考 数学试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1. 下列各组事件中，不是互斥事件的是　(　　) A. 一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6 B. 统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分 C. 播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒 D. 检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70% 【答案】B 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义，两个事件不会同时发生，命中环数大于8与命中环数小于6，发芽90粒与发芽80粒，合格率高于与合格率为均为互斥事件，而平均分数不低于90分与平均分数不高于90分，当平均分为90分时可同时发生，即得解. 【详解】根据互斥事件的定义，两个事件不会同时发生， 对于A， 一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6,为互斥事件； 对于B，统计一个班级数学期中考试成绩， 平均分数不低于90分与平均分数不高于90分 当平均分为90分时可同时发生，不为互斥事件； 对于C，播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒,为互斥事件； 对于D，检查某种产品，合格率高于与合格率为,为互斥事件； 故选：B. 2. 某公园有东、南、西、北共4个大门供游客出入，小军、小明从不同的大门进入公园游玩，游玩结束后，他们随机地从其中一个大门离开，则他们恰好从同一个大门出去的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得小军、小明恰好从同一个出口出该公园的情况，再利用古典概率公式求解即可求得答案． 详解】如图，    由树状图可知，共有16种等可能结果，其中小军、小明恰好从同一个出口出该公园的有4种等可能结果， 所以小军、小明恰好从同一个出口出该公园的概率为， 故选：C． 3. 袋中有a个白球b个黑球，不放回摸球两次，问第二次摸出白球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据古典概率公式和全概率公式可求得答案. 【详解】分别记A，B为第一次、第二次摸到白球，则，由全概率公式， P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝·＋·＝ 故选：A. 4. 将一颗质地均匀的骰子（各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6）先后抛掷3次，至少出现1次6点向上的概率是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正难则反原则，先求出“抛掷3次都没有出现6点向上”事件的概率，由对立事件的概率性质，计算可得答案. 【详解】解：将一颗质地均匀的骰子先后掷3次，这3次之间是相互独立， 记事件为“抛掷3次，至少出现一次6点向上”， 则为“抛掷3次都没有出现6点向上”， 记事件为“第次中，没有出现6点向上”，， 则，又，所以， 所以. 故选：D. 【点睛】本题考查对立事件的性质和概率计算，利用了正难则反的原则，属于基础题. 5. 某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为(　　) A. 280 B. 320 C. 400 D. 1000 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知这是一个分层抽样问题，根据青年、中年、老年职员的人数之比为，从中抽取名职员作为样本，得到要从该单位青年职员中抽取的人数，根据每人被抽取的概率为，得到要求的结果 【详解】由题意知这是一个分层抽样问题， 青年、中年、老年职员的人数之比为，从中抽取名职员作为样本， 要从该单位青年职员中抽取的人数为： 每人被抽取的概率为， 该单位青年职员共有 故选 【点睛】本题主要考查了分层抽样问题，运用计算方法求出结果即可，较为简单，属于基础题． 6. 若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 【答案】B 【解析】 【详解】设事件A为不用现金支付， 则 故选：B. 7. 甲､乙二人参加某体育项目训练，近期的八次测试得分情况如图，则下列结论正确的是（ ） A. 甲得分的极差大于乙得分的极差 B. 甲得分的75%分位数大于乙得分的75%分位数 C. 甲得分的平均数小于乙得分的平均数 D. 甲得分的标准差小于乙得分的标准差 【答案】B 【解析】 【分析】根据图表数据特征进行判断即可得解. 【详解】乙组数据最大值29，最小值5，极差24，甲组最大值小于29，最小值大于5，所以A选项说法错误； 甲得分的75%分位数是20，,乙得分的75%分位数17，所以B选项说法正确； 甲组具体数据不易看出，不能判断C选项； 乙组数据更集中，标准差更小，所以D选项错误. 故选：B 8. 某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13s与19s之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13s且小于14s;第二组，成绩大于等于14s且小于15s；……；第六组，成绩大于等于18s且小于等于19s.如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.设成绩小于17s的学生人数占全班总人数的百分比为，成绩大于等于15s且小于17s的学生人数为，平均成绩为，则从频率分布直方图中可分析出，，的值分别为（ ） A. 90%，35，15.86 B. 90%，45，15.5 C. 10%，35，16 D. 10%，45，16.8 【答案】A 【解析】 【分析】 由频率分布直方图可知每组的频率 ,由此可得的值,根据求平均数为每个小矩形底边中点的横坐标乘以每个小矩形的面积再求和，代入数据即可求解. 【详解】由频率分布直方图可得， ，， 第一组的频率为，第二组的频率为，第三组的频率为， 第四组的频率为，第五组的频率为，第六组的频率为， 则， 即. 故选:A 【点睛】本题主要考查利用频率分布直方图估计样本的平均数;从统计图中获取信息是解题的关键;属于中档题. 二、多选题 9. 下列情况中，适合用抽样调查的是（ ） A. 调查某村去年新生婴儿的数量 B. 调查某地区一年内的空气质量状况 C. 调查一条河流的水质 D. 调查一个班级学生每天的睡眠时间 【答案】BC 【解析】 【分析】根据全面调查、抽样调查的性质可得答案. 【详解】A，D适合用全面调查，因为调查对象较少； B，C适合用抽样调查，因为调查对象较多. 故选：BC 10. 已知α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，下列说法中正确的是（　　） A. 若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β B. 若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥n C. 若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n D. 若α⊥β，m⊂α，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β 【答案】ABD 【解析】 【分析】由线面垂直和平行的判定定理、性质定理，对选项进行一一判断，即可得答案； 【详解】由α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，知： 在A中，由m⊥α，m∥n，得，又n⊂β，所以α⊥β，故A正确； 在B中，若α∥β，m⊥α，得，又n⊥β，所以m∥n，故B正确； 在C中，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故C错误； 在D中，若α⊥β，m⊂α，a∩β＝n，m⊥n， 则由面面垂直的性质定理得m⊥β，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面位置关系等基础知识，考查空间想象能力. 11. 设，为两个随机事件，以下命题正确的为（ ） A. 若，互斥事件，，，则 B. 若，是对立事件，则 C. 若，是独立事件，，，则 D. 若，，且，则，是独立事件 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用互斥事件与相互独立事件的性质逐一判断即可 【详解】对于A：若，是互斥事件，，，则，故A错误； 对于B：若，是对立事件，则，故B正确； 对于C：若，是独立事件，，，则，也是独立事件，则，故C正确； 对于D：若，，则且，则，是独立事件，故，也是独立事件，故D正确； 故选：BCD 三、填空题 12. 福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表（下表是随机数表的第一行和第二行）选取6个红色球，选取方法是从随机数表中第1行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个红色球的编号为______. 49 54 43 54 82 17 37 93 23 28 87 35 20 56 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 【答案】05 【解析】 【分析】根据给定的随机数表的读取规则，从第一行第6、7列开始，两个数字一组，从左向右读取，重复的或超出编号范围的跳过，即可. 【详解】根据随机数表，排除超过33及重复的编号，第一个编号为21，第二个编号为32，第三个编号05，故选出来的第3个红色球的编号为05. 【点睛】本题主要考查了简单随机抽样中的随机数表法，属于容易题. 13. 已知有8个样本数据分别为4，7，8，11，13，15，20，22，则估计该组数据的总体的第三四分位数为______． 【答案】17.5## 【解析】 【分析】根据第三四分位数的计算方法计算即可. 【详解】由题意，数据的总体的第三四分位数即第75百分位数，又样本数据有8个， 所以第三四分位数为. 故答案为：17.5. 14. 现有，两队参加关于“十九大”的知识问答竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢1分，答错得0分.队中每人答对的概率均为，队中每人答对的概率分别为，，，且各答题人答题正确与否之间互无影响.若事件表示“队得2分”，事件表示“队得1分”，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】事件表示“队得2分”，事件表示 “队得1分”，由次独立重复实验中事件A恰好发生次概率计算公式求出，再由独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求出，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出. 【详解】解：“队得2分”为事件，即队三人中有一人答错，其余两人答对，. “队得1分”为事件，即队三人中有两人答错，剩余一人答对， . 表示“队得2分，队得1分”，即事件，同时发生，则. 故答案为： 四、解答题 15. 袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球一个，标号为1的小球一个，标号为2的小球n个，已知从袋子中随机抽取一个小球，取到标号是2的小球的概率是． （1）求n的值； （2）从袋子中不放回地随机抽取两个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b，记事件A表示“”，求事件A的概率． 【答案】（1）2； （2）. 【解析】 【分析】(1)利用古典概率公式直接计算得解. (2)利用列举法求出试验的基本事件总数和事件A所含的基本事件数即可计算作答. 【小问1详解】 依题意，袋子中共有个小球，于是得，解得， 所以n的值是2. 【小问2详解】 由(1)记标号为2的两个小球为，，从袋子中不放回地随机抽取两个小球的所有结果有： ，共有12个，它们等可能， 事件A表示含有的结果有，共4个结果，则， 所以事件A的概率是. 16. 在去年高考体检中，某校随机选取了20名男生，测得其身高（单位：cm）如下表． 序号 1 2 3 4 5 6 7 身高 168 167 165 186 a b c 序号 8 9 10 11 12 13 14 身高 d 178 158 166 178 175 169 序号 15 16 17 18 19 20 / 身高 172 177 182 169 168 176 / 由于统计时出现了失误，导致5、6、7、8号的身高数据丢失，先用字母a、b、c、d表示，但是已知这4人的身高都在区间内（单位：cm），且这20组身高数据的平均数，标准差． （1）为了更好地研究本校男生的身高数据，决定用这20个数据中在区间内的数据，重新计算其平均数与方差，据此估计，高校男生身高的平均值与方差分别为多少（方差结果保留2位小数）？ （2）说明区间内的数据与原数据对比，有什么特点（主要用平均数与方差进行说明）？ （参考公式：） 【答案】（1）平均值172，方,32.67 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由题先算出，故需剔除158和，新数据的平均数为：，方差为：，化简计算即可； （2）由新数据样本数占总数据的90%可知，样本数据较集中，平均数无变化，即平均身高无变化，方差变小，即数据更集中，更具代表性. 【小问1详解】 由条件可得区间， 在区间外的数据有158和，剔除后，剩余18个数据，其平均数为：， 方差为：， . 【小问2详解】 以内的数据与原数据对比，有以下特点： ①以内的数据的占总数据个数的， 说明该校左右的男生身高都在区间以内； ②以内的数据与原数据对比，平均数没变，即平均身高没有变化； ③原数据的方差为49，而以内的数据的方差约为32.67，方差变小了， 说明剔除两个极端数据后，数据更趋于集中，更具有代表性. 17. 为庆祝国庆节，某中学团委组织了“歌颂祖国，爱我中华”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名，将其成绩(成绩均为整数)分成[40，50)，[50，60)，…，[90，100)六组，并画出如图所示的部分频率分布直方图，观察图形，回答下列问题： （1）求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）请根据频率分布直方图，估计样本的众数、中位数和平均数．（每组数据以区间的中点值为代表） 【答案】（1）第四组的频率为0.3，直方图见解析；（2）众数：75，中位数：，均分为71分 【解析】 【分析】（1）由各组的频率和等于1求解第四组频率，再补全直方图即可 （2）利用最高的矩形得众数；利用左右面积相等求中位数；利用组中值估算抽样学生的平均分 【详解】(1)因为各组的频率和等于1，所以第四组的频率为. 补全的频率分布直方图如图所示． (2)众数为：， 设中位数为x,则 抽取学生的平均分约为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71(分)，所以可估计这次考试的平均分为71分． 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图、用样本估计总体、等可能事件的概率，同时考查了作图能力，属于中档题． 18. 某中学举办科技文化节活动，报名参加数学史知识竞赛的同学需要通过两轮选拔.第一轮为笔试，若笔试不合格则不能进入下一轮选拔；若笔试合格，则进入第二轮现场面试.最终由面试合格者代表年级组参加全校的决赛，两轮选拔之间相互独立.现有甲、乙、丙三名学生报名参加本次知识竞赛，假设甲、乙、丙三名考生笔试合格的概率分别是，，，面试合格的概率分别是，，. （1）求甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率； （2）求三人中至少有一人获得决赛资格的概率. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）设事件A表示“甲考生获得决赛资格”，设事件B表示“乙考生获得决赛资格”，根据题意可判断两事件相互独立.先根据两轮选拔之间相互独立求出、；再根据互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率计算公式即可求出结果. （2）设事件C表示“丙考生获得决赛资格”，由题意可知事件A、B、C相互独立.借助对立事件的概率计算公式可得结果. 【小问1详解】 设事件A表示“甲考生获得决赛资格”，设事件B表示“乙考生获得决赛资格”，由题意可知事件A、B相互独立. 因为两轮选拔之间相互独立 所以， 则甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率为： 所以甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率. 【小问2详解】 设事件C表示“丙考生获得决赛资格”，由题意可知事件A、B、C相互独立. 则. 因为事件“三人中至少有一人获得决赛资格”的对立事件是“三人都没有获得决赛资格” 所以三人中至少有一人获得决赛资格的概率为 所以三人中至少有一人获得决赛资格的概率. 19. 如图，正三棱柱的棱长均为2，M是侧棱的中点． （1）在图中作出平面与平面的交线l（简要说明），并证明平面； （2）求点C到平面的距离． 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【解析】 【分析】（ 1）利用平面的基本性质作平面的交线，利用线面垂直的判定定理证明线面垂直; （2）利用等体积转化可得答案. 【详解】（１）延长,交CA的延长线于N，连接BN， N在直线CA上，平面ABC，平面ABC， 又平面ABC内，∴直线平面ABC， 直线C1M，直线C1M⊂平面MBC1，平面MBC1， 又平面MBC1，∴直线平面MBC1， 平面，平面； 为AA1的中点，CC1AA1,， ，又∵正三棱柱ABC-A1B1C1各棱长均为2， ,C，B，N在以A为圆心半径为2的圆周上，直径为CN, 由于直径所对的圆周角为直角，为直角， 即NB⊥BC， 又∵正三棱柱的侧棱BB1⊥底面ABC，直线平面ABC， ∴BB1⊥直线BN， 又∵BB1∩BC=B，平面BB1C1C，平面BB1C1C， ∴直线BN⊥平面BB1C1C, 即直线l⊥平面BB1C1C. （2）由（1）知平面，平面，所以, ， ， 所以， ， 设到平面的距离为h， 因为，所以，即 解得，点C到平面的距离为. 【点睛】本题考查正三棱柱的结构特征，空间作图问题和线面垂直的证明，体积问题，属基础题，关键是熟练掌握平面的基本性质，严格准确使用线面垂直的判定定理证明，熟悉棱柱体积的求法. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$