1．2 集合间的基本关系（思维导图+3大知识点+8大题型）（讲义）-2025-2026学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第一册）

1．2 集合间的基本关系 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一．子集 4 知识点二．真子集 4 知识点三．空集 4 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：求集合的子集、真子集 6 题型二：韦恩图及其应用 6 题型三：子集、真子集的个数 8 题型四：根据集合的包含关系求参数 8 题型五：判断两个集合的包含关系 9 题型六：判断两个集合是否相等 10 题型七：根据集合相等关系进行计算 10 题型八：空集的概念、应用及性质 11 知识点一．子集 1、Venn图:在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. 2、子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作 (或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)反身性:任何一个集合是它本身的子集，即 (2)传递性:对于集合A，B，C，若，且，则 3、一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作.也就是说，若，且，则. 知识点二．真子集 定义 若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集． 记法与读法 记作AB（或BA），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”） 图示 知识点三．空集 定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 规定 空集是任何集合的子集，即 特性 （1）空集只有一个子集，即它本身，； （2），则∅A 结论：（1）（类比） （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （3）若则（类比，则） （4）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为个，其真子集数为个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0． 题型一：求集合的子集、真子集 【例1】已知集合. (1)写出集合M的子集、真子集; (2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数; (3)猜想:含n个元素的集合的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢? 【方法技巧与总结】 分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏． 【变式1-1】已知集合且，且 (1)写出集合的子集，真子集； (2)求集合的子集数，非空真子集数． 【变式1-2】（2025·高一·上海·期中）若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是 ． 【变式1-3】（2025·高一·上海杨浦·开学考试）已知集合，对于它的非空子集，计算中的所有元素的和，则对的所有非空子集，这些和的总和是 . 题型二：韦恩图及其应用 【例2】（2025·高一·福建南平·期末）下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【方法技巧与总结】 Venn是集合的又一种表示方法，使用方便，表达直观，可迅速帮助我们分析问题、解决问题，但它不能作为严密的数学工具使用． 【变式2-1】下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（）图是 （填序号）. 【变式2-3】（2025·高一·内蒙古呼和浩特·期中）已知全集U=R，那么正确表示集合M={-1，0}和N={x|x2-x=0}关系的韦恩(Venn)图是（    ） A． B． C． D． 题型三：子集、真子集的个数 【例3】（2025·辽宁·三模）已知集合，则的子集个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【方法技巧与总结】 若集合A中有n个元素，则集合A有个子集，有个真子集，有个非空子集，有个非空真子集，该结论可在选择题或填空题中直接使用． 【变式3-1】设集合，则集合A的子集个数为（   ） A．4 B．16 C．8 D．9 【变式3-2】（2025·高一·河南·期中）设集合，，则B的非空子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【变式3-3】（2025·高一·山东泰安·期中）已知集合，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 题型四：根据集合的包含关系求参数 【例4】设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【方法技巧与总结】 1、求解此类问题通常是借助于数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，同时还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心点表示． 2、涉及“A⊆B”或“A⫋B，且B≠⌀”的问题，一定要分A=⌀和A≠⌀两种情况进行讨论，其中A=⌀的情况容易被忽略，应引起足够的重视． 【变式4-1】（2025·高一·河南焦作·期末）设集合． (1)当时，求集合的非空真子集的个数； (2)若，求整数的所有可能取值． 【变式4-2】已知. (1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若，求实数a的取值范围. 【变式4-3】已知． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 【变式4-4】已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 题型五：判断两个集合的包含关系 【例5】（2025·高一·广东·期末）若，则以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的．这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn图，或数形集合表示）． 【变式5-1】已知集合，则间的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】若集合，集合则集合之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·高一·福建·期中）集合，，的关系是（   ） A． B． C． D． 题型六：判断两个集合是否相等 【例6】下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【方法技巧与总结】 判断两集合是否相等，关键在于确认它们是否拥有完全相同的元素，即两个集合中的每一个元素都能在另一个集合中找到，且元素的数量也相同。不考虑元素的排列顺序，只关注元素的存在性和数量。若满足这些条件，则两个集合相等。 【变式6-1】（2025·高一·安徽阜阳·期中）下列集合中表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式6-2】已知集合，，，则的关系为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】数集是整数与数集是整数之间的关系是（ ） A． B． C． D． 题型七：根据集合相等关系进行计算 【例7】（2025·高一·湖北·期中）已知集合，，若，则 . 【方法技巧与总结】 根据两集合相等求参数，关键在于利用集合相等的定义：两个集合相等当且仅当它们拥有完全相同的元素。这意味着，我们可以通过比较两个集合的元素，建立等式或不等式关系，进而求解参数。求解过程中，需要确保集合中的元素满足相等条件，从而解出参数的值。 【变式7-1】（2025·高一·上海浦东新·期中）已知集合，，且，则. 【变式7-2】已知，，若集合，，，则的值为 ． 【变式7-3】设是两两不相等的正整数，已知集合，集合，若，则的最小值是 ． 题型八：空集的概念、应用及性质 【例8】（2025·高一·北京·期中）下列集合：①；②；③；④；⑤；⑥方程的实数解组成的集合.其中，是空集的所有序号为 . 【方法技巧与总结】 空集是特殊的集合，它不包含任何元素。空集具有独特的性质：它是任何集合的子集，包括它自身。空集与任何集合的并集仍是该集合本身，空集与任何集合的交集仍是空集。 【变式8-1】（2025·高一·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是 . 【变式8-2】（2025·高一·四川广安·期中）若集合，则实数a的值的集合为 ． 【变式8-3】（多选题）（2025·高一·新疆乌鲁木齐·期中）下列关系中正确的有（    ） A． B． C． D． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．2 集合间的基本关系 目录 01 题型归纳目录 3 02 思维导图 4 03 知识点梳理 5 知识点一．子集 5 知识点二．真子集 5 知识点三．空集 5 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：求集合的子集、真子集 7 题型二：韦恩图及其应用 8 题型三：子集、真子集的个数 10 题型四：根据集合的包含关系求参数 11 题型五：判断两个集合的包含关系 15 题型六：判断两个集合是否相等 16 题型七：根据集合相等关系进行计算 17 题型八：空集的概念、应用及性质 19 知识点一．子集 1、Venn图:在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. 2、子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作 (或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)反身性:任何一个集合是它本身的子集，即 (2)传递性:对于集合A，B，C，若，且，则 3、一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作.也就是说，若，且，则. 知识点二．真子集 定义 若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集． 记法与读法 记作AB（或BA），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”） 图示 知识点三．空集 定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 规定 空集是任何集合的子集，即 特性 （1）空集只有一个子集，即它本身，； （2），则∅A 结论：（1）（类比） （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （3）若则（类比，则） （4）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为个，其真子集数为个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0． 题型一：求集合的子集、真子集 【例1】已知集合. (1)写出集合M的子集、真子集; (2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数; (3)猜想:含n个元素的集合的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢? 【解析】（1）由题意可知，所以其子集为：，真子集为； （2）由题意可知， 所以其子集为：，共个， 真子集为：，共个， 非空真子集为：，共个； （3）由（1），（2）可猜想含有n个元素的集合其子集个数为个，真子集个数为个， 非空真子集个数为个. 【方法技巧与总结】 分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏． 【变式1-1】已知集合且，且 (1)写出集合的子集，真子集； (2)求集合的子集数，非空真子集数． 【解析】（1）， 的子集有：，，，，，，，； 的真子集有：，，，，，，． （2）， 有4个元素，的子集数为个， 的非空真子集数为个． 【变式1-2】（2025·高一·上海·期中）若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是 ． 【答案】 【解析】由于， 因为集合，的子集为的第个子集，其中， 所以的第211个子集是. 故答案为：. 【变式1-3】（2025·高一·上海杨浦·开学考试）已知集合，对于它的非空子集，计算中的所有元素的和，则对的所有非空子集，这些和的总和是 . 【答案】320 【解析】集合，的所有非空子集数为个， 其中，单元素集合中只有含有元素2，2出现了1次， 双元素集合含有2的有，2出现了4次， 三元素集合含有2的有，2出现了6次 四元素集合含有2的有，2出现了4次 五元素集合含有2的有，2出现了1次， 故2出现了次， 同理，其它元素也都出现了16次， 所以各子集元素和的总和为. 故答案为：320 题型二：韦恩图及其应用 【例2】（2025·高一·福建南平·期末）下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解析】，又， 所以，选项B符合， 故选：B. 【方法技巧与总结】 Venn是集合的又一种表示方法，使用方便，表达直观，可迅速帮助我们分析问题、解决问题，但它不能作为严密的数学工具使用． 【变式2-1】下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得： 由题意得， 所以N是M的真子集． 故选：B 【变式2-2】已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（）图是 （填序号）. 【答案】② 【解析】．由N＝{x|x2+x＝0}， 得N＝{﹣1，0}． ∵M＝{﹣1，0，1}， ∴N⊊M， 故答案为②． 【变式2-3】（2025·高一·内蒙古呼和浩特·期中）已知全集U=R，那么正确表示集合M={-1，0}和N={x|x2-x=0}关系的韦恩(Venn)图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】化简集合，判断集合没有包含关系，即可得出答案.，集合没有包含关系 故选：A 题型三：子集、真子集的个数 【例3】（2025·辽宁·三模）已知集合，则的子集个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【解析】根据题意，联立方程组，可得， 所以，解得，即集合， 所以集合的子集个数为2个． 故选：C． 【方法技巧与总结】 若集合A中有n个元素，则集合A有个子集，有个真子集，有个非空子集，有个非空真子集，该结论可在选择题或填空题中直接使用． 【变式3-1】设集合，则集合A的子集个数为（   ） A．4 B．16 C．8 D．9 【答案】B 【解析】由， 则集合A的子集个数为. 故选：B. 【变式3-2】（2025·高一·河南·期中）设集合，，则B的非空子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【解析】要使，，则，故B中含有三个元素， 所以B的非空子集有，，，，，，共7个． 故选：C. 【变式3-3】（2025·高一·山东泰安·期中）已知集合，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【解析】因为，， 所以当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以， 所以集合的子集个数为. 故选：B 题型四：根据集合的包含关系求参数 【例4】设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）由集合， 因为集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素， 故，所以， 所以实数的取值范围是． （2）由，解得或，所以， 因为，所以集合可能是，，，； 当时，即方程无实数根， 则，解得； 当时，即方程有且只有一个根0， ，解得； 当时，即方程有且只有一个根， 则，方程组无解； 当时，方程有两根和， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围是或． 【方法技巧与总结】 1、求解此类问题通常是借助于数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，同时还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心点表示． 2、涉及“A⊆B”或“A⫋B，且B≠⌀”的问题，一定要分A=⌀和A≠⌀两种情况进行讨论，其中A=⌀的情况容易被忽略，应引起足够的重视． 【变式4-1】（2025·高一·河南焦作·期末）设集合． (1)当时，求集合的非空真子集的个数； (2)若，求整数的所有可能取值． 【解析】（1）当时，， 故，其中含有4个元素， 故其非空真子集的个数为． （2）由题意可得， 由， 可得 解得， 故整数的所有可能取值为1和2． 【变式4-2】已知. (1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若，求实数a的取值范围. 【解析】（1）因为只有一个元素，， 当时，； 当时，对于，有，解得， 把代入集合，得； 综上，或，对应的集合或. （2）因为，， 当时，对于，有，解得； 当时，将代入，得，则， 此时（舍去）； 当，将代入，得，则， 此时（舍去）； 当，则有，方程无解析，此时不存在满足条件； 综上，的取值范围为. 【变式4-3】已知． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 【解析】（1）因为，， 所以，解得， 故实数a的取值范围为； （2），， 当时，，解得，满足题意； 当时，，解集为， 综上，实数a的取值范围为. 【变式4-4】已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）①若，满足，则，解得． ②若，满足，则解得． 由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为． （2）若，数轴表示如下： 依题意有即 此时m的取值范围是． （3）假设存在满足题意的实数m．若， 则必有且，此时无解，即不存在使得的实数m． 题型五：判断两个集合的包含关系 【例5】（2025·高一·广东·期末）若，则以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，为元素，为集合，所以，故A错误； 对于B，为集合，为集合，且，所以，故B正确； 对于C，为集合，是有序数对，故C错误； 对于D，为集合，为集合，且，故，故D错误. 故选：B 【方法技巧与总结】 判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的．这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn图，或数形集合表示）． 【变式5-1】已知集合，则间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，， 则. 故选：B 【变式5-2】若集合，集合则集合之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】集合 而集合，表示直线上所有点组成的集合， 所以． 故选：B． 【变式5-3】（2025·高一·福建·期中）集合，，的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据集合的概念可知集合表示所有被除余的数以及所构成的集合， 集合表示所有被除余的数所构成的集合， 所以， 集合表示所有被除余的数所构成的集合， 任取，则，，所以，， 又，，所以， 综上， 故选：A 题型六：判断两个集合是否相等 【例6】下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】对于A，，，故，所以A错误； 对于B，为点集，为数集，故，所以B错误； 对于C，，，故，所以C错误； 对于D，数集和数集元素一样，故，所以D正确， 故选：D. 【方法技巧与总结】 判断两集合是否相等，关键在于确认它们是否拥有完全相同的元素，即两个集合中的每一个元素都能在另一个集合中找到，且元素的数量也相同。不考虑元素的排列顺序，只关注元素的存在性和数量。若满足这些条件，则两个集合相等。 【变式6-1】（2025·高一·安徽阜阳·期中）下列集合中表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】对于A选项，； 对于B选项，； 对于C选项，为点集，为数集，则； 对于D选项，为数集，为点集，则. 故选：B. 【变式6-2】已知集合，，，则的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， ， ， 故 故选：B. 【变式6-3】数集是整数与数集是整数之间的关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由数集是整数与数集是整数 当为整数时，可取所有奇数， 当为整数时，可取所有奇数， 所以两个集合的元素完全相同，所以. 故选：C. 题型七：根据集合相等关系进行计算 【例7】（2025·高一·湖北·期中）已知集合，，若，则 . 【答案】 【解析】依题意可知，由于可知， 此时， 所以，解得或(舍去) 即. 故答案为： 【方法技巧与总结】 根据两集合相等求参数，关键在于利用集合相等的定义：两个集合相等当且仅当它们拥有完全相同的元素。这意味着，我们可以通过比较两个集合的元素，建立等式或不等式关系，进而求解参数。求解过程中，需要确保集合中的元素满足相等条件，从而解出参数的值。 【变式7-1】（2025·高一·上海浦东新·期中）已知集合，，且，则. 【答案】1 【解析】集合，，且，则有，解得或， 当，与集合中元素的互异性矛盾，舍去； 符合题意. 故答案为：1 【变式7-2】已知，，若集合，，，则的值为 ． 【答案】 【解析】有意义，则， 因为，所以，解得， 所以， 所以，解得， 又当时，，与元素互异性矛盾，舍去， 当时，满足题意， 所以，，， 故答案为： 【变式7-3】设是两两不相等的正整数，已知集合，集合，若，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】不妨设，则， 因为，，， 所以，，， 所以， 所以， 所以， ， ， 因为为正整数，， 所以，，都为奇数，， 故为大于等于的奇数， 又当时，函数，，都随的增大而增大， 所以当时，同时取最小值，此时取最小值， 当时，，，，， 所以的最小值是. 故答案为：. 题型八：空集的概念、应用及性质 【例8】（2025·高一·北京·期中）下列集合：①；②；③；④；⑤；⑥方程的实数解组成的集合.其中，是空集的所有序号为 . 【答案】②④⑥ 【解析】①集合中含有一个元素，故不是空集； ②因为，，故是空集； ③集合中含有一个元素，故不是空集； ④是空集； ⑤集合中含有一个元素，故不是空集； ⑥因为方程没有实数解，故是空集； 故答案为：②④⑥. 【方法技巧与总结】 空集是特殊的集合，它不包含任何元素。空集具有独特的性质：它是任何集合的子集，包括它自身。空集与任何集合的并集仍是该集合本身，空集与任何集合的交集仍是空集。 【变式8-1】（2025·高一·北京·期中）若集合，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【变式8-2】（2025·高一·四川广安·期中）若集合，则实数a的值的集合为 ． 【答案】 【解析】当时，满足题意； 当时，应满足，解得； 综上可知，a的值的集合为． 故答案为：． 【变式8-3】（多选题）（2025·高一·新疆乌鲁木齐·期中）下列关系中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】A：是集合中的元素，故，正确； B：是任意非空集合的真子集，故，正确； C：是的真子集，故，正确； D：研究数值，而研究有序数对，故它们不相等，错误. 故选：ABC 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$