1．2 集合间的基本关系（7大题型）（精练）-2025-2026学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第一册）

1．2 集合间的基本关系 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题 2 题型二：韦恩图及其应用 3 题型三：由集合间的关系求参数的范围 3 题型四：集合间的基本关系 5 题型五：判断两集合是否相等 7 题型六：根据两集合相等求参数 8 题型七：空集的性质 9 02 重难点拓展 11 题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题 1．集合的子集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由集合， 根据集合子集的定义，可得， 故选：D. 2．已知集合，那么满足的集合的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解析】由题意得或或， 则满足题意的的个数是3. 故选：B. 3．已知集合，，则集合的所有真子集的个数（   ） A．7 B．4 C．8 D．15 【答案】A 【解析】依题意，所以集合B的真子集的个数为. 故选：A. 4．满足的集合的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】解方程的根，，则. 因为  . 那么A中一定含有元素和，可能含有元素，，（但不全有）， 所以集合的个数即为集合的真子集个数，共有个. 故选：C. 题型二：韦恩图及其应用 5．用Venn图表示下列集合之间的关系：A={x|x是平行四边形} ； B={x|x是菱形}；C={x|x是矩形} ；D= {x|x是正方形} 【解析】由题意，根据几何图形的相关知识明确各元素所在集合之间的关系，画出Venn图， 如图所示： 6．指出下列各集合之间的关系，并用Venn图表示： A={是四边形}，B={是平行四边形}，C={是矩形}，D={是正方形}. 【解析】各集合之间的关系为DCBA用Venn图表示如图所示： 题型三：由集合间的关系求参数的范围 7．已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 【解析】（1）因为，所以， 当时，则，与题意矛盾， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （2）因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素， 当时，则，符合题意， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （3）因为， 所以，解得， 所以， 当时，， 当时，， 因为，所以或，解得或， 综上所述，实数的取值集合为. 8．（1）已知集合，，若，求实数，的值. （2）已知集合或，，若，求实数的取值范围. 【解析】（1）由已知，得或. 当时，解得或； 当时，解得或. 又由集合中元素的互异性，得或. （2）因为，所以，利用数轴表示，如图所示， 或 则或，解得或， 所以的取值范围是或. 9．（2025·高一·全国·单元测试）若集合，，且，求实数的值. 【解析】由题意知， 当时，，符合题意； 当时，； 当时，， 综上，的值为或. 10．设集合，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围 【解析】（1）集合， ， ①若，则 则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：，即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且， 则 综上所述，实数的取值范围是或． （2），， 则，即 即0和是方程的两根 解得：或（舍去） 故． 题型四：集合间的基本关系 11．（2025·高一·重庆·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：D. 12．（2025·高一·重庆渝北·期中）已知集合，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知集合， 由集合的包含关系可知，，A选项正确； 由元素和集合的关系可知，，B选项错误； 由集合的包含关系可知，，C选项错误； 由集合的包含关系可知，，D选项错误； 故选：A 13．（2025·高一·广西南宁·期中）已知集合，，则A与B的关系是（    ） A． B． C． D．无法确认 【答案】A 【解析】集合，， 所以， 故选：A. 14．（2025·高一·贵州六盘水·期中）已知集合，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为集合，， 可知，但，所以集合A不是的子集，故AB错误； 显然，故C错误， 且，故D正确； 故选：D. 题型五：判断两集合是否相等 15．（2025·高一·湖北十堰·期末）集合，，的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】任取，则，， 所以，所以， 任取，则，， 所以，所以， 所以， 任取，则，， 所以，所以， 又，， 所以， 所以， 故选：C. 16．下列各项中两个集合不是同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】集合中的元素具有无序性，选项A中两个集合是同一个集合，故A不符题意； 选项B中两个集合都是数集，且范围都是全体实数，故是同一个集合，故B不符题意； 选项C中两个集合都是数集，描述的都是大于1的数，故是同一个集合，故C不符题意； 选项D中两个集合都是点集，在平面直角坐标系中，点与点是不同的， 故两集合不是同一个集合，故D正确． 故选：D 17．在下列集合的表示中，集合与集合表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】选项A中的两个集合不是同一个集合，集合中有两个元素，集合中只有一个元素，故A错误； 选项B中集合是点集，集合是数集，不是同一个集合，故B错误； 选项C中的两个集合都是数集，描述的都是大于1的数，故C正确； 选项D中的两个集合都是点集，但是在平面直角坐标系中，点与点是不同的，故D错误． 故选：C 18．下列各组集合表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】对于A，是数的集合，而是点的集合，故不是同一集合，故A错误； 对于B，，，故不是同一集合，故B错误； 对于C，不是同一个点，故不是同一集合，故C错误； 对于D，由集合元素的无序性可得，故D正确； 故选：D. 题型六：根据两集合相等求参数 19．（2025·高一·湖南·期中）设集合，，若，则 . 【答案】1 【解析】由题意得，解得. 故答案为：1 20．（2025·高一·安徽芜湖·期中）已知，，，，若，则 【答案】 【解析】依题意，，所以或. 由解得，与集合元素的互异性矛盾. 由解得或（与集合元素的互异性矛盾，舍去）， 则，所以. 故答案为： 21．（2025·高一·上海·期中）1.若集合，则的值为 【答案】12 【解析】因为， 所以集合可表示为，所以. 故答案为：12. 22．（2025·高一·甘肃武威·期中）若集合，集合，且，则实数 【答案】 【解析】由题意知集合，集合，且， 故是的两根， 故，满足题意. 故答案为： 题型七：空集的性质 23．关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】方程整理得， 则有，解得且， 由方程的解集为空集，所以，即. 故选：D. 24．（多选题）（2025·高一·贵州黔东南·期中）下列关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】因为，故A错误； 是指元素为0的集合，所以，故B正确； 是指元素为的集合，所以，故C正确； 是任何集合的子集，所以，故D正确． 故选：BCD． 25．（多选题）下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】选项A：空集中没有元素，故A错误； 选项B：中只有一个元素，故B正确； 选项C，D：空集是任意集合的子集，故C，D正确 故选：BCD 26．写出下列关系正确的序号 . （1）；（2）；（3）⫋；（4）；（5）；（6）. 【答案】（1）（2）（3）（4）（5） 【解析】一个集合是它本身的子集，故（1）正确； 集合具有无序性，故（2）正确； 空集是任意非空集合的真子集，故（3）正确； 0是集合中的元素，故（4）正确； 是有理数，故（5）正确； 空集是不包含任何元素的集合，中有一个元素0，和空集不相等，故（6）错误. 故答案为：（1）（2）（3）（4）（5）. 1．（2025·高三·安徽阜阳·期末）若集合，，且，则（    ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】A 【解析】因为集合，，且， 所以当时，，此时，符合题意； 当时，，此时不是的子集，不符合题意； 当时，，此时不是的子集，不符合题意， 故选：A. 2．（2025·高一·江苏泰州·期末）若，则的最大值为（   ） A．12 B．13 C．16 D．18 【答案】C 【解析】因，要使最大， 则a取，c取，b取，则. 故选：C. 3．（2025·高一·北京·期末）正交数组的概念在现代广泛应用.设集合.任取，若，则称与正交.若，且中任意两个元素均正交，则中元素个数最多是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【解析】不妨设， 由，则中最多包含6个元素， 又，，三组元素不正交， 所以6个元素中最多只有3个元素在集合中，如， 若，且中任意两个元素均正交，则中元素个数最多是. 故选：C. 4．已知集合，，若，则k的值不可能为（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【解析】因为， 当时，即； 当，所以，即； 当，所以，即， 所以的可能取值为，，0，不可能为. 故选：C. 5．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】①根据子集定义可知，①错误； ②集合与集合相等，满足子集定义，②正确； ③空集是任何集合的子集，③正确； ④空集中不含任何元素，集合中有一个元素，空集与集合不相等，④错误； ⑤集合中有两个元素，集合中有一个元素，元素形式不一致，⑤错误； ⑥是元素，是集合，元素与集合之间的关系是属于与不属于的关系，应该为，⑥错误. 故选：B. 6．已知集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，即恒成立，故此时，满足； 当时，由得，故此时， 因为，，所以且， 所以； 当时，由得，故此时， 因为，，所以且， 所以. 综上，实数a的取值范围为. 故选：A. 7．（多选题）（2025·高三·辽宁·期末）已知集合，，若，则的值可能是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】AB 【解析】因为，所以或，解得或或或． 当时，，，此时，则不符合题意． 当时，，，此时，则符合题意． 当时，，，此时，则符合题意． 当时，，，此时，则不符合题意． 故选：AB 8．若，，则集合B的非空真子集的个数为 . 【答案】6 【解析】由题意，当，或时，或； 当，或时，或； 当，或时，或； 综合以上可知，； 所以集合B的非空真子集的个数为， 故答案为：6 9．（2025·高三·广东湛江·期末）已知集合，，且，则实数的值为 ． 【答案】 【解析】因为集合，，且， 所以或， 即时，不合题意； 当时，解得（舍）或， 当时，集合，，满足，所以， 故答案为：. 10．（2025·高一·上海·期中）已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 【答案】 【解析】由题意可知：方程有且仅有一解， 等价于有一个不等于3的实数解， 11．当时，解为，满足题意； 12．当时，只有一解时， 则，解得， 若，则，解得，符合题意； 13．当时，且有两解但3是方程的解， 故，解得； 综上所述，实数取值集合为. 故答案为：. 14．（2025·高一·江苏徐州·期中）设集合的所有非空子集为，其中.设中所有元素之和为，则 . 【答案】 【解析】集合中的每一个元素出现在非空子集中的次数为次， 所以. 故答案为：. 15．含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如，的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和. (2)已知集合，根据提示解决问题. ①求集合M所有非空子集的元素和的总和； 提示：，先求出x在集合M的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M的所有非空子集的元素和的总是； ②求集合M所有非空子集的交替和的总数. 【解析】（1）集合的非空子集为，，，，，，， 集合，，的交替和分别为1，2，3， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 所以集合的所有非空子集的交替和的总和为. （2）①集合所有非空子集中，，，，，，，，数字1、2、3各出现次， 集合所有非空子集为：，，，，，，，，，， ，，，，，其中数字1、2、3、4各出现次， 在集合所有非空子集中，含1的子集的个数为， 因此数字1在16个子集中出现，即数字1在所有的非空子集中出现了16次，同理数字2、3、4、5各出现次， 同理在集合所有非空子集中，数字1、2、3、4、5、6各出现次， 所以集合所有非空子集的元素和的总和为. ②的子集一共有个，按照子集是否含有可分为两类， 每一个含和去掉的两个配对子集交替和之和为，因为不含的子集共有个， 所以的所有非空子集的交替和总和为（的交替和为0，所有子集的交替和与所有非空子集的交替和相等）， 所以集合所有非空子集的交替和的总和. 16．（2025·高一·云南昆明·期中）（1）含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值； （2）设数集满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证：若，则集合中还有其他两个元素. 【解析】（1）因为集合可表示为，也可表示为， 即. 则满足，且，解得，， 所以. （2）证明：若，则； 若，则； 若，则， 所以当时，集合中必含有另外两个元素和. 17．（2025·高一·陕西商洛·期中）已知集合. (1)判断5，12，14是否属于，并说明理由； (2)集合，证明：； (3)写出集合中的所有偶数. 【解析】（1）∵，，∴ 假设，则， 且，， ∴，或，均无整数解，∴ （2）∵集合，恒有 ∴，∴ （3）集合，成立， 同奇或同偶时，，均为偶数，为4的倍数， 一奇一偶时，，均为奇数，为奇数. 因为，故， 所以，集合中的所有偶数为，. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．2 集合间的基本关系 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题 2 题型二：韦恩图及其应用 2 题型三：由集合间的关系求参数的范围 2 题型四：集合间的基本关系 3 题型五：判断两集合是否相等 4 题型六：根据两集合相等求参数 4 题型七：空集的性质 4 02 重难点拓展 6 题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题 1．集合的子集为（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，那么满足的集合的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．已知集合，，则集合的所有真子集的个数（   ） A．7 B．4 C．8 D．15 4．满足的集合的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型二：韦恩图及其应用 5．用Venn图表示下列集合之间的关系：A={x|x是平行四边形} ； B={x|x是菱形}；C={x|x是矩形} ；D= {x|x是正方形} 6．指出下列各集合之间的关系，并用Venn图表示： A={是四边形}，B={是平行四边形}，C={是矩形}，D={是正方形}. 题型三：由集合间的关系求参数的范围 7．已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 8．（1）已知集合，，若，求实数，的值. （2）已知集合或，，若，求实数的取值范围. 9．（2025·高一·全国·单元测试）若集合，，且，求实数的值. 10．设集合，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围 题型四：集合间的基本关系 11．（2025·高一·重庆·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（2025·高一·重庆渝北·期中）已知集合，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 13．（2025·高一·广西南宁·期中）已知集合，，则A与B的关系是（    ） A． B． C． D．无法确认 14．（2025·高一·贵州六盘水·期中）已知集合，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 题型五：判断两集合是否相等 15．（2025·高一·湖北十堰·期末）集合，，的关系是（    ） A． B． C． D． 16．下列各项中两个集合不是同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 17．在下列集合的表示中，集合与集合表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 18．下列各组集合表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型六：根据两集合相等求参数 19．（2025·高一·湖南·期中）设集合，，若，则 . 20．（2025·高一·安徽芜湖·期中）已知，，，，若，则 21．（2025·高一·上海·期中）1.若集合，则的值为 22．（2025·高一·甘肃武威·期中）若集合，集合，且，则实数 题型七：空集的性质 23．关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 24．（多选题）（2025·高一·贵州黔东南·期中）下列关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 25．（多选题）下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 26．写出下列关系正确的序号 . （1）；（2）；（3）⫋；（4）；（5）；（6）. 1．（2025·高三·安徽阜阳·期末）若集合，，且，则（    ） A．0 B．1 C． D．3 2．（2025·高一·江苏泰州·期末）若，则的最大值为（   ） A．12 B．13 C．16 D．18 3．（2025·高一·北京·期末）正交数组的概念在现代广泛应用.设集合.任取，若，则称与正交.若，且中任意两个元素均正交，则中元素个数最多是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．已知集合，，若，则k的值不可能为（   ） A． B． C． D．0 5．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（多选题）（2025·高三·辽宁·期末）已知集合，，若，则的值可能是（    ） A． B． C．1 D．3 8．若，，则集合B的非空真子集的个数为 . 9．（2025·高三·广东湛江·期末）已知集合，，且，则实数的值为 ． 10．（2025·高一·上海·期中）已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 14．（2025·高一·江苏徐州·期中）设集合的所有非空子集为，其中.设中所有元素之和为，则 . 15．含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如，的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和. (2)已知集合，根据提示解决问题. ①求集合M所有非空子集的元素和的总和； 提示：，先求出x在集合M的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M的所有非空子集的元素和的总是； ②求集合M所有非空子集的交替和的总数. 16．（2025·高一·云南昆明·期中）（1）含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值； （2）设数集满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证：若，则集合中还有其他两个元素. 17．（2025·高一·陕西商洛·期中）已知集合. (1)判断5，12，14是否属于，并说明理由； (2)集合，证明：； (3)写出集合中的所有偶数. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$