1．1 集合的概念（思维导图+2大知识点+9大题型）-2025-2026学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第一册）

1．1 集合的概念 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：集合的有关概念 4 知识点二：集合的表示方法 5 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：集合的含义 6 题型二：元素与集合的关系的判断 6 题型三：根据元素与集合的关系求参数 7 题型四：集合中元素的特性及应用 7 题型五：用列举法表示集合 8 题型六：用描述法表示集合 9 题型七：集合表示法的综合应用 10 题型八：方程与集合的综合应用 11 题型九：集合新定义运算 11 知识点一：集合的有关概念 1、一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合． 知识点诠释： （1）对于集合一定要从整体的角度来看待它．例如由“我们班的同学”组成的一个集合A，则它是一个整体，也就是一个班集体． （2）要注意组成集合的“对象”的广泛性：一方面，任何一个确定的对象都可以组成一个集合，如人、动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象；另一方面，就是集合本身也可以作为集合的对象，如上面所提到的集合A，可以作为以“我们高一年级各班”组成的集合的元素． 2、关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立． （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素． （3）无序性：集合中的元素的次序无先后之分．如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合． 知识点诠释： 集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性．反过来，一组对象若不具备这三性，则这组对象也就不能构成集合，集合中元素的这三大特性是我们判断一组对象是否能构成集合的依据． 解决与集合有关的问题时，要充分利用集合元素的“三性”来分析解决，也就是，一方面，我们要利用集合元素的“三性”找到解题的“突破口”；另一方面，问题被解决之时，应注意检验元素是否满足它的“三性”． 3、元素与集合的关系： （1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA （2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 4、常用数集及其表示 非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N*或N+ 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R 知识点二：集合的表示方法 1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内．如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…． 2、描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 知识点诠释： （1）用描述表示集合时应注意：①弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么），是数，还是有序实数对（点）还是其他形式？②元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑． （2）用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性时，可选用逻辑联结词“且”与“或”等连接；若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围． 题型一：集合的含义 【例1】（2025·高一·上海·期中）在“①难解的题目；②方程在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（   ） A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④ 【方法技巧与总结】（判断一组对象能否组成集合的标准） 判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性． 【变式1-1】（2025·高一·湖北·期中）下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．中国古代四大发明 B．所有无理数 C．2024年高考数学难题 D．小于的正整数 【变式1-2】下列对象能构成集合的是（    ） A．不等式的解集 B．著名的数学家 C．非常接近的数 D．面积非常小的三角形 【变式1-3】下列四组对象，能构成集合的是（   ） A．长安一中所有高个子的学生 B．倒数等于它自身的实数 C．一切较大的数 D．中国著名的艺术家 题型二：元素与集合的关系的判断 【例2】（2025·高一·安徽铜陵·期末）下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【方法技巧与总结】判断元素与集合关系的两种方法 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 【变式2-1】（2025·高一·内蒙古包头·期中）已知集合，若，则（   ） A． B． C． D．不属于M，Q，P中的任意一个 【变式2-2】设集合，集合，则集合中有（ ）个元素 A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2-3】设，，若集合，则，与集合的关系是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型三：根据元素与集合的关系求参数 【例3】（2025·高一·广西玉林·期末）若，则a的值为（   ） A． B． C．或 D．0 【方法技巧与总结】 根据元素与集合的关系求参数，关键在于利用集合中元素的确定性、互异性，以及集合间的关系或运算结果。通过观察元素是否属于集合、集合间是否存在子集或交集等关系，我们可以建立关于参数的数学条件，进而求解出参数的具体值或取值范围。 【变式3-1】已知集合，且，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知集合，若，则（    ） A． B． C． D．或 【变式3-3】已知非空数集满足：任意的，则，若集合中含有4个元素，则这四个元素之积为（    ） A． B． C． D． 题型四：集合中元素的特性及应用 【例4】（2025·高一·陕西安康·期末）有4根火柴棒的长度可以构成一个四元数集，将这4根火柴棒首尾相接连成一个平面四边形，则这个平面四边形可能是（    ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 【方法技巧与总结】（根据集合中元素的特性求解字母取值（范围）的3个步骤） 【变式4-1】已知一个三角形的三边长为一个集合的3个元素，该三角形一定不可能是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式4-2】 “mooncake”中的字母构成一个集合，该集合的元素个数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式4-3】已知集合A中的四个元素，，，是某四边形的四条边的边长，则该四边形可能是（    ） A．正方形 B．长方形 C．直角梯形 D．菱形 题型五：用列举法表示集合 【例5】（2025·高一·江苏淮安·开学考试）若，，用列举法表示 ． 【方法技巧与总结】（用列举法表示集合的三个步骤） 1、求出集合的元素； 2、把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； 3、用花括号括起来． 【变式5-1】集合，用列举法可以表示为 【变式5-2】用列举法表示下列集合： (1)小于10的所有正整数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)直线与y轴的交点所组成的集合； (4)由所有正整数组成的集合. 【变式5-3】已知集合M满足：当a∈M时，∈M，当a=2时，用列举法表示集合M= . 题型六：用描述法表示集合 【例6】用描述法表示下列集合： (1)不等式的解集； (2)平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合； (3)二次函数图象上的点组成的集合． (4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合； (5)集合. (6)所有被3整除的整数组成的集合； (7)方程的所有实数解组成的集合. 【方法技巧与总结】（描述法表示集合的2个步骤） 【变式6-1】用描述法表示下列集合． (1)所有不在第一、三象限的点组成的集合； (2)所有被3除余1的整数组成的集合； (3)使有意义的实数x组成的集合． (4)方程的解集． 【变式6-2】（2025·高一·上海黄浦·期中）用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为 ． 【变式6-3】已知集合，在下列集合中： （1）； （2）； （3）； （4）； 与相同的集合有 ．（填序号） 题型七：集合表示法的综合应用 【例7】（2025·四川乐山·三模）已知集合，则集合A的元素个数为（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 【方法技巧与总结】（集合表示法中元素与集合的关系） 1、若已知集合是用描述法表示的，理解集合的代表元素和集合属性是关键； 2、若已知集合是用列举法表示的，把握元素的共同特征是关键； 【变式7-1】已知集合，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】由1，2，3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有（      ）个元素 A．15 B．16 C．17 D．18 【变式7-3】已知集合，则集合等于（    ） A． B． C． D． 题型八：方程与集合的综合应用 【例8】已知集合A是由关于x的方程的实数根组成的集合. (1)当A中有两个元素时，求实数a的取值范围； (2)当A中没有元素时，求实数a的取值范围； (3)当A中有且仅有一个元素时，求实数a的值，并求出此元素. 【方法技巧与总结】 (1)集合中元素的个数即为方程的根的个数． 【变式8-1】已知为方程的所有实数解构成的集合，其中为实数． (1)若是空集，求的取值范围； (2)若是单元素集合（只有一个元素），求的值： (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【变式8-2】设关于的方程的解集为． （1）求证：中至少有2个元素； （2）若中有3个元素，求的值及中3个元素之和． 【变式8-3】已知a，，求使关于x的方程有实数解得有序实数对的个数． 题型九：集合新定义运算 【例9】（2025·高一·上海·期中）“群”的概念由数学家伽罗瓦在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.“群”的定义是：设为某种元素组成的一个非空集合，若在内定义一个运算“*”，满足以下条件： ①任意.有 ②如，有； ③在中有一个元素，对任意，都有，称为的单位元； ④任意，在中存在唯一确定的，使，称为的逆元； 此时称为一个群 例如实数集和实数集上的加法运算“＋”就构成一个群，其单位元是，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（    ） A．，则为一个群 B．，为一个群 C．，则为一个群 D．，则为一个群 【方法技巧与总结】 一看代表元素，是数集还是点集，二看元素满足什么条件即有什么公共特性． 【变式9-1】（2025·高一·北京丰台·期末）记为非空集合A中的元素个数，定义.若，，且，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式9-2】（多选题）（2025·高一·江苏苏州·期中）给定实数集，定义集合都有，若是非空集合，则称集合中最小的元素为集合的上确界，记作．以下说法正确的是（   ） A．若数集中有2024个元素，则数集一定有上确界 B．若数集中没有最大值，则数集中一定没有上确界 C．若数集有上确界，则数集一定也有上确界，为 D．若数集有上确界，则数集一定也有上确界，为 【变式9-3】（2025·高一·安徽宿州·期中）定义1:对于一个数集，定义一种运算，对任意都有，则称集合关于运算是封闭的（例如:自然数集对于加法运算是封闭的）. 定义2:对于一个数集，若存在一个元素，使得任意，满足，则称为集合中的零元，若存在一个元素，使得任意，满足，则称为集合中的单位元（例如:0和1分别为自然数集中的零元和单位元）. 定义3:对于一个数集，如果满足下列关系: ①有零元和单位元； ②关于加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都是封闭的； ③对于乘法和加法都满足交换律和结合律，且满足乘法对加法的分配律，则称这个数集是一个数域. (1)指出常用数集中，哪些数集可以构成数域（不需要证明）； (2)已知集合，证明:集合关于乘法运算是封闭的； (3)已知集合，证明:集合是一个数域. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．1 集合的概念 目录 01 题型归纳目录 3 02 思维导图 4 03 知识点梳理 5 知识点一：集合的有关概念 5 知识点二：集合的表示方法 6 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：集合的含义 7 题型二：元素与集合的关系的判断 8 题型三：根据元素与集合的关系求参数 9 题型四：集合中元素的特性及应用 10 题型五：用列举法表示集合 12 题型六：用描述法表示集合 13 题型七：集合表示法的综合应用 15 题型八：方程与集合的综合应用 17 题型九：集合新定义运算 18 知识点一：集合的有关概念 1、一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合． 知识点诠释： （1）对于集合一定要从整体的角度来看待它．例如由“我们班的同学”组成的一个集合A，则它是一个整体，也就是一个班集体． （2）要注意组成集合的“对象”的广泛性：一方面，任何一个确定的对象都可以组成一个集合，如人、动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象；另一方面，就是集合本身也可以作为集合的对象，如上面所提到的集合A，可以作为以“我们高一年级各班”组成的集合的元素． 2、关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立． （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素． （3）无序性：集合中的元素的次序无先后之分．如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合． 知识点诠释： 集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性．反过来，一组对象若不具备这三性，则这组对象也就不能构成集合，集合中元素的这三大特性是我们判断一组对象是否能构成集合的依据． 解决与集合有关的问题时，要充分利用集合元素的“三性”来分析解决，也就是，一方面，我们要利用集合元素的“三性”找到解题的“突破口”；另一方面，问题被解决之时，应注意检验元素是否满足它的“三性”． 3、元素与集合的关系： （1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA （2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 4、常用数集及其表示 非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N*或N+ 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R 知识点二：集合的表示方法 1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内．如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…． 2、描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 知识点诠释： （1）用描述表示集合时应注意：①弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么），是数，还是有序实数对（点）还是其他形式？②元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑． （2）用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性时，可选用逻辑联结词“且”与“或”等连接；若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围． 题型一：集合的含义 【例1】（2025·高一·上海·期中）在“①难解的题目；②方程在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（   ） A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④ 【答案】A 【解析】①难解的题目，不满足元素的确定性，不能组成集合； ②方程无解，即方程在实数集内的解组成的集合为； ③直角坐标平面上第四象限内的所有点组成的集合为； ④很多多项式，不满足元素的确定性，不能组成集合； 故选：A. 【方法技巧与总结】（判断一组对象能否组成集合的标准） 判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性． 【变式1-1】（2025·高一·湖北·期中）下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．中国古代四大发明 B．所有无理数 C．2024年高考数学难题 D．小于的正整数 【答案】C 【解析】对于A，中国古代四大发明是指造纸术、指南针、火药、印刷术，满足集合定义，即A能构成集合； 对于B，所有无理数定义明确，即B能构成集合; 对于C，2024年高考数学难题定义不明确不具有确定性，不符合集合的定义，即C构不成集合； 对于D，小于的正整数只有1，2，3，具有确定性，满足集合定义，即D能构成集合. 故选：C 【变式1-2】下列对象能构成集合的是（    ） A．不等式的解集 B．著名的数学家 C．非常接近的数 D．面积非常小的三角形 【答案】A 【解析】对于A，不等式的解集为空集，可以构成集合，故A正确； 对于B，著名的数学家没有确定性，不能构成集合，故B错误； 对于C，非常接近0的数没有确定性，不能构成集合，故C错误； 对于D，面积非常小的三角形没有确定性，不成构成集合，故D错误； 故选：A 【变式1-3】下列四组对象，能构成集合的是（   ） A．长安一中所有高个子的学生 B．倒数等于它自身的实数 C．一切较大的数 D．中国著名的艺术家 【答案】B 【解析】长安一中所有高个子的学生, 一切较大的数，中国著名的艺术家，元素不明确； 倒数等于它自身的实数，符合集合元素的确定性. 故选：B 题型二：元素与集合的关系的判断 【例2】（2025·高一·安徽铜陵·期末）下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】，，，，①②③正确，④错误. 故选：C 【方法技巧与总结】判断元素与集合关系的两种方法 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 【变式2-1】（2025·高一·内蒙古包头·期中）已知集合，若，则（   ） A． B． C． D．不属于M，Q，P中的任意一个 【答案】A 【解析】∵， ∴，， ∴， ∴. 故选：A. 【变式2-2】设集合，集合，则集合中有（ ）个元素 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】因为集合，集合， 所以， 所以， 即集合中有个元素. 故选：C. 【变式2-3】设，，若集合，则，与集合的关系是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】，， 对比集合中元素的系数可得，， 故选：A 题型三：根据元素与集合的关系求参数 【例3】（2025·高一·广西玉林·期末）若，则a的值为（   ） A． B． C．或 D．0 【答案】C 【解析】因为，所以， 故选：C 【方法技巧与总结】 根据元素与集合的关系求参数，关键在于利用集合中元素的确定性、互异性，以及集合间的关系或运算结果。通过观察元素是否属于集合、集合间是否存在子集或交集等关系，我们可以建立关于参数的数学条件，进而求解出参数的具体值或取值范围。 【变式3-1】已知集合，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，所以，解得. 故选：D. 【变式3-2】已知集合，若，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】因为集合，且，分以下两种情况讨论： （1）若，则，此时，， 此时集合中的元素不满足互异性，舍去； （2）若，即，解得或（舍）， 当时，，合乎题意. 综上所述，. 故选：B. 【变式3-3】已知非空数集满足：任意的，则，若集合中含有4个元素，则这四个元素之积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，，， ，则， . 故选：C. 题型四：集合中元素的特性及应用 【例4】（2025·高一·陕西安康·期末）有4根火柴棒的长度可以构成一个四元数集，将这4根火柴棒首尾相接连成一个平面四边形，则这个平面四边形可能是（    ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 【答案】A 【解析】可得四个元素互不相等，则四条边互不相同， 所以不可能围成矩形、菱形和等腰梯形，有可能连成梯形. 故选：A. 【方法技巧与总结】（根据集合中元素的特性求解字母取值（范围）的3个步骤） 【变式4-1】已知一个三角形的三边长为一个集合的3个元素，该三角形一定不可能是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【解析】因为三角形的三边长为一个集合的3个元素，根据集合元素的互异性，三角形的三条边长互不相等，所以一定不可能是等腰三角形. 故选：D. 【变式4-2】 “mooncake”中的字母构成一个集合，该集合的元素个数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】因为“mooncake”中的字母有m，o，n，c，a，k，e， 其构成的集合为，有7个元素. 故选：C. 【变式4-3】已知集合A中的四个元素，，，是某四边形的四条边的边长，则该四边形可能是（    ） A．正方形 B．长方形 C．直角梯形 D．菱形 【答案】C 【解析】根据集合中元素的互异性，可知，，，互不相等，即四边形的四条边互不相等， 所以A，B，D错误，C正确． 故选：C. 题型五：用列举法表示集合 【例5】（2025·高一·江苏淮安·开学考试）若，，用列举法表示 ． 【答案】 【解析】因为，， 所以. 故答案为： 【方法技巧与总结】（用列举法表示集合的三个步骤） 1、求出集合的元素； 2、把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； 3、用花括号括起来． 【变式5-1】集合，用列举法可以表示为 【答案】 【解析】根据集合中的可知可以取； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 即符合题意的的值可以取， 对应的值依次是， 所以可得集合列举法可以表示为. 故答案为： 【变式5-2】用列举法表示下列集合： (1)小于10的所有正整数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)直线与y轴的交点所组成的集合； (4)由所有正整数组成的集合. 【解析】（1）设小于10的所有正整数组成的集合为A，那么. （2）设方程的所有实数根组成的集合为B，那么. （3）将代入，得，即交点是，故交点组成的集合是. （4）正整数有1，2，3，4，，故由所有正整数组成的集合为. 【变式5-3】已知集合M满足：当a∈M时，∈M，当a=2时，用列举法表示集合M= . 【答案】 【解析】当a=2时，因为2∈M，所以=-3∈M；因为-3∈M，所以=∈M； 因为∈M，所以∈M；因为∈M，所以=2∈M，所以M=. 故答案为：. 题型六：用描述法表示集合 【例6】用描述法表示下列集合： (1)不等式的解集； (2)平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合； (3)二次函数图象上的点组成的集合． (4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合； (5)集合. (6)所有被3整除的整数组成的集合； (7)方程的所有实数解组成的集合. 【解析】（1）不等式的解集用描述法表示为. （2）根据点坐标的符号，集合用描述法表示为. （3）集合用描述法表示为. （4）根据点坐标的符号，集合用描述法表示为. （5）集合用描述法表示为. （6）集合用描述法表示为. （7）方程的解集用描述法表示为. 【方法技巧与总结】（描述法表示集合的2个步骤） 【变式6-1】用描述法表示下列集合． (1)所有不在第一、三象限的点组成的集合； (2)所有被3除余1的整数组成的集合； (3)使有意义的实数x组成的集合． (4)方程的解集． 【解析】（1）∵不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上， ∴所有不在第一、三象限的点组成的集合为． （2）∵被3除余1的整数可表示为，∴所有被3除余1的整数组成的集合为 ． （3）要使有意义．则．解得且． ∴使有意义的实数x组成的集合为且． （4）由，解得．∴方程的解集为． 【变式6-2】（2025·高一·上海黄浦·期中）用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为 ． 【答案】且． 【解析】用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为：且． 故答案为：且． 【变式6-3】已知集合，在下列集合中： （1）； （2）； （3）； （4）； 与相同的集合有 ．（填序号） 【答案】（1）（2）（3） 【解析】对于（1），由，可得，，一一对应， 则，故（1）符合； 对于（2），由，可得，，一一对应， 则，故（2）符合； 对于（3），由， 可得，， 一一对应，则，故（3）符合； 对于（4），，但方程无实数解， 则与不相同，（4）不符合. 故答案为：（1）（2）（3） 题型七：集合表示法的综合应用 【例7】（2025·四川乐山·三模）已知集合，则集合A的元素个数为（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】C 【解析】，共6个元素. 故选：C. 【方法技巧与总结】（集合表示法中元素与集合的关系） 1、若已知集合是用描述法表示的，理解集合的代表元素和集合属性是关键； 2、若已知集合是用列举法表示的，把握元素的共同特征是关键； 【变式7-1】已知集合，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，时，， 时，， 或或或时，， 或或或时，， 故. 故选：D. 【变式7-2】由1，2，3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有（      ）个元素 A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【解析】只取一个元素组成的没有重复数字的自然数：共3个； 只取两个元素组成的没有重复数字的自然数：有12，21，13，31，23，32共6个； 取三个元素组成的没有重复数字的自然数：有123，132，213，231，312，321共6个； 共有种方法，即由1，2，3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有15个元素， 故选：A. 【变式7-3】已知集合，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，时，， 时，，或或或时，，或或或时，， 故. 故选：D. 题型八：方程与集合的综合应用 【例8】已知集合A是由关于x的方程的实数根组成的集合. (1)当A中有两个元素时，求实数a的取值范围； (2)当A中没有元素时，求实数a的取值范围； (3)当A中有且仅有一个元素时，求实数a的值，并求出此元素. 【解析】（1）当A中有两个元素时，关于x的方程有两个不相等的实数根，所以，且，解得，且. （2）当A中没有元素时，关于x的方程没有实数根，所以，且，解得. （3）当A中有且仅有一个元素时，关于x的方程有一个实数根或有两个相等的实数根. 当时，方程的根为；当时，令，解得，此时. 综上所述，当时，集合A中有且仅有一个元素；当时，集合A中有且仅有一个元素. 【方法技巧与总结】 (1)集合中元素的个数即为方程的根的个数． 【变式8-1】已知为方程的所有实数解构成的集合，其中为实数． (1)若是空集，求的取值范围； (2)若是单元素集合（只有一个元素），求的值： (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【解析】（1）若是空集，则方程无实数根， ①当时，原方程变为，此时，不符合题意； ②则，，解得， 所以的范围为. （2）因为是单元素集合（只有一个元素）， ①当时，原方程变为，此时，符合题意； ②则，，解得， 所以或． （3）因为中至多有一个元素，则或， 解得或. 所以的取值范围为：或. 【变式8-2】设关于的方程的解集为． （1）求证：中至少有2个元素； （2）若中有3个元素，求的值及中3个元素之和． 【解析】（1）方程等价于或． 记方程的解集为， 因为，所以中含有2个元素． 又因为，所以中至少有2个元素． （2）记方程的解集为，由（1）知，中恰有1个元素． 所以，因此，． 当时，，中2个元素之和为-2，所以中3个元素之和为； 当时，，中2个元素之和为2，所以中3个元素之和为3． 【变式8-3】已知a，，求使关于x的方程有实数解得有序实数对的个数． 【解析】①当时，b可以取值－1、0、1、2，方程是一次方程，此时方程均有解； ②当时，方程是二次方程，有解则，即， 若时，b可以取值－1、0、1、2； 若时，b可以取值－1、0、1； 若时，b可以取值－1，0． 故满足条件的有序实数对共有13个﹒ 题型九：集合新定义运算 【例9】（2025·高一·上海·期中）“群”的概念由数学家伽罗瓦在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.“群”的定义是：设为某种元素组成的一个非空集合，若在内定义一个运算“*”，满足以下条件： ①任意.有 ②如，有； ③在中有一个元素，对任意，都有，称为的单位元； ④任意，在中存在唯一确定的，使，称为的逆元； 此时称为一个群 例如实数集和实数集上的加法运算“＋”就构成一个群，其单位元是，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（    ） A．，则为一个群 B．，为一个群 C．，则为一个群 D．，则为一个群 【答案】D 【解析】A选项：有理数的和还是有理数，求和满足结合律， 设，单位元为，则，故， 所以每一个数的相反数为其逆元， 故为一个群，选项A正确； B 选项：中的任何两个数相加还是属于， 求和满足结合律， 设，单位元为， 则，所以， 每一个数的相反数为其逆元，为一个群，故选项B正确； C选项：中的两个元素相乘，其积可能为或， 又，， 设，单位元为，则，故，的逆元为，的逆元为， 所以则为一个群，故C正确； D选项：两个奇数相乘还是奇数，乘法满足结合率， 设，单位元为，则，故， 又，故存在，使得，则，矛盾， 故不为一个群，故D错误. 【方法技巧与总结】 一看代表元素，是数集还是点集，二看元素满足什么条件即有什么公共特性． 【变式9-1】（2025·高一·北京丰台·期末）记为非空集合A中的元素个数，定义.若，，且，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由定义得，又，则或， 由方程，得或， 当时，方程只有一个实数根， 而方程有一根为0，则另一根必为0，，此时无实根，因此； 当时，必有，方程有两个不相等的实数根， 并且都不是方程的根， 显然方程有两个相等的实数根，且异于， 于是，解得或， 当时，方程的根为，满足题意， 当时，方程的根为，满足题意， 因此或，所以，. 故选：C 【变式9-2】（多选题）（2025·高一·江苏苏州·期中）给定实数集，定义集合都有，若是非空集合，则称集合中最小的元素为集合的上确界，记作．以下说法正确的是（   ） A．若数集中有2024个元素，则数集一定有上确界 B．若数集中没有最大值，则数集中一定没有上确界 C．若数集有上确界，则数集一定也有上确界，为 D．若数集有上确界，则数集一定也有上确界，为 【答案】AC 【解析】对于A，若数集中有2024个元素，则数集中的元素一定有最大值， 所以数集一定有上确界，故A正确； 对于B，若，当时，， 则数集中的元素没有最大值， 因为，都有，所以， 所以，即数集中有上确界，故B错误； 对于C，若数集有上确界，设， 由上确界的定义可知，对于，都有， 所以， 即，故C正确； 对于D，若，则数集有上确界，且， 此时， 则，故D错误. 故选：AC. 【变式9-3】（2025·高一·安徽宿州·期中）定义1:对于一个数集，定义一种运算，对任意都有，则称集合关于运算是封闭的（例如:自然数集对于加法运算是封闭的）. 定义2:对于一个数集，若存在一个元素，使得任意，满足，则称为集合中的零元，若存在一个元素，使得任意，满足，则称为集合中的单位元（例如:0和1分别为自然数集中的零元和单位元）. 定义3:对于一个数集，如果满足下列关系: ①有零元和单位元； ②关于加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都是封闭的； ③对于乘法和加法都满足交换律和结合律，且满足乘法对加法的分配律，则称这个数集是一个数域. (1)指出常用数集中，哪些数集可以构成数域（不需要证明）； (2)已知集合，证明:集合关于乘法运算是封闭的； (3)已知集合，证明:集合是一个数域. 【解析】（1）由于，而，因此不是数域； 由于，而，因此不是数域； 中，都有零元：0和单位元：1； 关于加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都是封闭的； 对于乘法和加法都满足交换律和结合律，且满足乘法对加法的分配律， 所以可以是数域. （2）设(都为整数)，显然,且， 则 显然，因此， 所以集合A关于乘法运算是封闭的. （3）①显然,当时，；当时，， 显然对任意，都有，所以集合中有零元0和单位元1； ②设，则， 因为都为有理数，则也都为有理数， 因此； 又由（2）同理可得，都为有理数时，也都为有理数， 于是； 当时，令， 显然都是有理数，则，于是， 因此集合A关于加、减、乘、除运算都是封闭的； ③显然任意，都有，由中加法、乘法运算都满足交换律、结合律，还满足乘法对加法的分配律， 因此集合A中加法、乘法运算都满足交换律、结合律，还满足乘法对加法的分配律， 所以集合A是一个数域. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$