精品解析：黑龙江省龙东十校联盟2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

龙东十校联盟高二学年度下学期期中考试 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知导函数的图象如图所示，在标记的点中，函数取极大值的点是（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知等比数列的前3项和是7，前3项积是8，则的公比为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 2或 4. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. 、 C. 、 D. 5. 某公司购置了一台价值为230万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少20万元，设备使用n年后，其价值将低于购进价值的5%，设备将报废，则n的最小值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 6. 函数在定义域内的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 已知数列的通项公式为，其前项和为，则取得最小值时的值为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 8. 已知定义在上的函数的导函数满足，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数的图像与轴相切于点的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知等差数列的前n项和为，则下列命题正确的是（ ） A. 若为递增数列，则公差 B. 公差时，有最大值 C. 若中有不同的四项满足，则 D. 为等差数列 11. 已知函数，则（        ） A. 时，函数在上单调递增 B. 时，对任意的恒成立 C. 时，有两个零点 D. 时，有两个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，，则实数_______ 13. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……，设各层球数构成一个数列．则数列的通项公式__________ 14. 已知过点与曲线相切的直线有两条，则实数的取值范围是_________ 四、解答题∶本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前n项和为，满足，． （1）求数列的通项公式． （2）求证： 16. 已知函数． （1）若，求函数的单调区间． （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 17. 已知数列的前项和为，满足，. （1）证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式． （2）设数列的前项和为，求． （3）数列中是否存在不同的三项成等差数列，若存在请求出这些项；若不存在，请说明理由． 18. 已知函数，定义域为． （1）讨论的单调性． （2）若函数在定义域内有两个极值点 ①求实数的取值范围． ②时，，求的值． 19. 已知函数，定义域为． （1）时，证明：． （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． （3）求证：（） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙东十校联盟高二学年度下学期期中考试 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知导函数的图象如图所示，在标记的点中，函数取极大值的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导函数的图象，可得函数只有在左边单调递增，右边单调递减，可得解. 【详解】由图知，，，函数在单增； ，，函数在单减； 所以函数在处取极大值. 故选：B. 2. 已知数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】代入逐项求解，可得数列的周期为3，继而求得. 【详解】，，数列的周期为3，， 故选：D. 3. 已知等比数列的前3项和是7，前3项积是8，则的公比为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质求出，根据等比数列通项列方程求解即可. 【详解】由题意得，， 又 设公比为，则，解得或. 故选：C. 4. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. 、 C. 、 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数单调性与导数的关系可求出函数的增区间. 【详解】函数的定义域为，， 由可得，即，解得， 因此，函数的增区间为. 故选：A. 5. 某公司购置了一台价值为230万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少20万元，设备使用n年后，其价值将低于购进价值的5%，设备将报废，则n的最小值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式可得，再建立不等式可求n的范围得到最小值. 【详解】设使用n年后，这台设备的价值为万元，则数列满足. 可得数列是一个公差为的等差数列，因为购进设备的价值为230万元， 这样，于是， 根据题意得：， 故选：B. 6. 函数在定义域内的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求导函数，再证其单调性即可求出最值. 【详解】定义域为，且 则得，得 则在上递减，在上递增，所以的最小值为. 故选：D. 7. 已知数列的通项公式为，其前项和为，则取得最小值时的值为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出数列的正负项，再判断取得最小值时的值. 【详解】设，，解得：， 当和时，，所以取得最小值时，. 故选：C 8. 已知定义在上的函数的导函数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，利用导数分析函数在上的单调性，结合函数的单调性逐项判断即可. 【详解】设，则， 所以，函数在上为增函数， 对于AB选项，，即， 所以，AB无法判断； 对于CD选项，，即，可得，C错D对. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数的图像与轴相切于点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由导数的几何意义逐个计算切线方程，即可判断. 【详解】A.，当时，，所以切线方程为，正确； B.，当时，，在的切线斜率不为0，不符合题意；错误； C.，当时，，所以切线方程为，正确； D.在的切线斜率不为0，不符合题意，错误. 故选：AC. 10. 已知等差数列的前n项和为，则下列命题正确的是（ ） A. 若为递增数列，则公差 B. 公差时，有最大值 C. 若中有不同的四项满足，则 D. 为等差数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】由可判断A；表示出，由二次函数的性质可判断B；举反例可判断C；由可判断D. 【详解】对于A，为等差数列且递增，所以，故A正确； 对于B，等差数列的前n项和为， 当时，有最大值，故B正确； 对于C，当为常数列时，任意四项满足， 但不一定成立，故C错误； 对于D，因为，则 所以， 所以是公差为的等差数列，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，则（        ） A. 时，函数在上单调递增 B. 时，对任意的恒成立 C. 时，有两个零点 D. 时，有两个零点 【答案】BC 【解析】 【分析】求导，根据导数可判断A；求导，得函数单调性，计算可判断B；求导，计算得函数的极小值，进而计算可判断C；由C推导得函数的单调性，进而计算可判断D. 【详解】对于A，时，，所以仅在上单调递增，故A错误； 对于B，时，在上单调递增，所以，故B正确； 对于C，a＞1时，， ， 而时，，所以在有唯一零点， 显然在有唯一零点，故C正确； 对于D，由C的推导知，在上递增，在上递减， 时，，，所以在上有唯一零点， 令，当时，， 此时在恒小于0，无零点，故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，，则实数_______ 【答案】1 【解析】 【分析】求导根据导数的值可求实数. 【详解】，这样. 故答案为：1 13. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……，设各层球数构成一个数列．则数列的通项公式__________ 【答案】 【解析】 【分析】由题意写出数列的递推关系得，再由等差数列的前n项和公式即可求解. 【详解】由题意可知，，，…，， 故， 所以数列的一个通项公式为. 故答案为： 14. 已知过点与曲线相切的直线有两条，则实数的取值范围是_________ 【答案】 【解析】 【分析】先设切点，再求切线方程，将点代入切线方程，将问题转化为在上有两解，构造函数研究其单调性即可. 【详解】定义域为，且， 设切点为，则切线斜率为， 则切线方程为，即， 将点代入切线方程有：， 若，则，与定义域矛盾；则， 因过点与曲线相切的直线有两条， 所以在上有两解， 设， 则得；得； 则在上单调递增，在上单调递减，则， 又时，； ；时，，且时，， 所以，则实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题∶本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前n项和为，满足，． （1）求数列的通项公式． （2）求证： 【答案】（1） （2）证明如下： ， 当时，成立； 当时，， 所以成立. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项公式求出首项和公差即可得解； （2）根据，利用裂项相消法求和，即可得证. 【小问1详解】 等差数列中，设公差为， ， ， 所以，故； 【小问2详解】 略 16. 已知函数． （1）若，求函数的单调区间． （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）增区间是、，减区间是 （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求出的导数，利用函数的单调性与导数的关系可求出函数的增区间和减区间； （2）分、两种情况讨论，利用导数分析函数在区间上的单调性，根据可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，则， 由可得，由可得或， 所以函数的增区间是、，减区间是. 【小问2详解】 因为，则， 当时，可得，由可得或， 所以函数的增区间是、，减区间是. 所以函数的极大值为，且， 所以，解得，此时； 当时，由可得或，由可得， 此时函数的增区间为，减区间为、， 所以函数的极大值为，且，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 17. 已知数列的前项和为，满足，. （1）证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式． （2）设数列的前项和为，求． （3）数列中是否存在不同的三项成等差数列，若存在请求出这些项；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明如下： 当时，由可得， 两式相减得，即，从而， 当时，，所以，， 由得，从而， 故总有，，，从而， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，故. （2） （3）不存在，理由如下： 假设中存在三项、、成等差数列， 则， 两边同时除以得：，而，， 所以、为偶数，的左边是奇数，右边是偶数，显然不可能成立， 故不存在不同的三项成等差数列. 【解析】 【分析】（1）当时，由可得，两式作差变形得出，当时，求出的值，可得出，由此可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可得出数列的通项公式； （2）求得，利用错位相减法、分组求和法可求出的表达式； （3）假设中存在三项、、成等差数列，根据等差数列的定义得出，根据等式左边为奇数、右边为偶数可得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 设数列的前项和为，则，① 所以，② ①②可得 ，故， 所以，. 【小问3详解】 略 18. 已知函数，定义域为． （1）讨论的单调性． （2）若函数在定义域内有两个极值点 ①求实数的取值范围． ②时，，求的值． 【答案】（1）当时，在上递增；当时，在上递增，在上递减 （2）①；②或4 【解析】 【分析】（1）对求导，令，分和，判断与0的正负即可得出的单调性； （2）①由（1）可求出实数的取值范围；②方程的两根就是两极值点，由韦达定理求出，代入可得，令，求出的单调性，即可求出的值． 【小问1详解】 因为， 所以， 设，， (i)时，则， 所以在上递增； (ii)或，， 当时，，， 方程的两根都为正， 令可得：，令可得：， 所以在上递增，在上递减； 当时，，， 方程的两根都为负， 令可得：，所以在上递增， 综上：当时，在上递增； 当时，在上递增，在上递减； 【小问2详解】 ①由（1）知：当时，在上递增，在上递减， 则函数在定义域内有两个极值点， 所以实数的取值范围应为. ②满足，方程的两根就是两极值点， 由韦达定理有：， , 将韦达定理代入可得：，又因为， 得：， 设， 令， 在递增，在递减，因为， 由，可得或，满足. 故或. 19. 已知函数，定义域为． （1）时，证明：． （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． （3）求证：（） 【答案】（1）证明如下： 当时，函数，，不等式， 设，求导得，函数在上单调递减， 因此，所以. （2） （3）证明如下： 由（1）知：当时，，令，则， 因此， 由（2）知：令，当时，， 当时，，要证不等式左侧成立， 时， ， 因此， 所以. 【解析】 【分析】（1）把代入，等价变形所证不等式，再构造函数并利用导数证明不等式. （2）变形不等式，结合给定条件可得，构造函数，利用导数求解恒成立的范围. （3）利用（1）（2）的结论，结合等比数列前和公式求和即可推理得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，不等式 令，显然，求导得， 当时，，函数在上单调递增， 因此，符合题意； 当时，记， 抛物线的开口向上，对称轴，又， 当时，，从而， 函数在上单调递减，则当时，，不符合题意. 所以. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $