专题03 平行四边形（考点清单+思维导图+四大考点12种题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学下册章节期末复习培优题型变式专练（人教版）

专题03 平行四边形 一.平行四边形 1.平行四边形的性质 （1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． （2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分． （3）平行线间的距离处处相等． （4）平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 2.．平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形． （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形． （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形． （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形． （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形． 3.．平行四边形的判定与性质 平行四边形的判定与性质的作用 平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的． 运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单． 凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题． 二、菱形 1 菱形的性质 （1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． （2）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （3）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度） 2 菱形的判定 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形． 几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形 3 菱形的判定与性质 （1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形． （2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）　　（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法． 三、矩形 1 矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 2 矩形的判定 （1）矩形的判定： ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”） （2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等． ②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形． 四、正方形 1. 定义：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形． 2. 正方形与矩形、菱形的关系 矩形 邻边相等 正方形 菱形 一个角是直角 正方形 3. 性质定理 正方形即是矩形又是菱形，因而它具备两者所有的性质． 性质定理1：正方形的四个角都是直角；正方形的四条边都相等． 性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对 角． 4. 判定定理： 判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定定理2：有一个内角是直角的菱形是正方形． 目录 【题型一 利用平行四边形的性质求解】 5 【题型二 利用平行四边形的性质证明】 6 【题型三 证明四边形是平行四边形】 8 【题型四 平行四边形的性质和判定的综合应用】 11 【题型五 利用矩形的性质求解】 14 【题型六 矩形性质和判定的综合应用】 16 【题型七 矩形中的折叠问题】 20 【题型八 利用菱形的性质求解】 22 【题型九 菱形性质和判定的综合应用】 25 【题型十 菱形中的动点问题】 27 【题型十一 利用证明的性质求解】 31 【题型十二 正方形的判定】 34 【题型一 利用平行四边形的性质求解】 例题：（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线、交于点，若，，则的周长为（   ） A．24 B．21 C．20 D．15 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．由平行四边形的性质可得，然后根据三角形周长公式可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴； 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，中，对角线交于点O，，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，根据平行四边形对角线互相平分得，从而可求出的值． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，且， ∴， ∴， 故选：D． 2．（24-25八年级下·内蒙古包头·期中）如图，在平行四边形中，于E，，则的大小是 ． 【答案】37 【分析】本题主要考查的是平行四边形的性质、直角三角形的性质等知识点，掌握平行四边形的对角相等是解题的关键． 先根据平行四边形的性质求出的度数，再由直角三角形的两锐角互余即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：37． 【题型二 利用平行四边形的性质证明】 例题：（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，在中，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质．解题的关键在于熟练掌握平行四边形的性质．根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，然后对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故A不正确，D正确； 与不一定相等，故B不正确； ，故C不正确； 故选D． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，交的延长线于点，若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查尺规作图——作角平分线，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，综合运用各个知识是解题的关键．根据题意的作图可得平分，则，由四边形是平行四边形，，可得，，，证明得，再证明即可求解． 【详解】根据题意的作图可得平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为2． 2．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）如图，中，交于点O，过点O的直线交于点E，交于点F．求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，根据平行四边形的性质得出，，，然后根据证明，最后根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵四边形时平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【题型三 证明四边形是平行四边形】 例题：（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，则应增加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．根据平行四边形的判方法逐项分析即可． 【详解】解：A．∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故A正确； B．添加不能证明四边形为平行四边形，故B不正确； C．添加不能证明四边形为平行四边形，故C不正确； D．添加不能证明四边形为平行四边形，故D不正确； 故选A． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，且．连结，交于点O． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，的周长是12，求平行四边形的周长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质及判定，线段垂直平分线的性质，正确运用平行四边形的性质及判定定理是解题的关键。 （1）根据平行四边形的性质可得，,再结合已知利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可以证明四边形是平行四边形即可； （2）根据平行四边形的性质得，由可证明是的垂直平分线，可得，根据的周长是12及平行四边形的对边相等这一性质即可求出平行四边形的周长． 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ，， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， （2）解：由（1）得，平行四边形， ， ， ， 的周长是12， ， ∴平行四边形的周长. 2．（2025·陕西榆林·二模）如图，在四边形中，连接，，过点A作交于点F，过点C作交于点E，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，由平行线的性质得到，再证明，得到，即可得出结论，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】证明：， ， ， ，即， ∵，， ∴， ， ， 四边形是平行四边形． 【题型四 平行四边形的性质和判定的综合应用】 例题：（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，已知的面积为18，点D在线段上，点F在线段的延长线上，且，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】连接，过A作交的延长线于M，求出平行四边形，根据等底等高的三角形面积相等得出的面积和的面积相等，的面积和的面积相等，推出阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，求出的值即可．本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积的应用，主要考查学生的推理能力和转化能力，题目比较好，但是有一定的难度． 【详解】解：连接，过A作交的延长线于M， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵边上的高和的边上的高相同， ∴的面积和的面积相等， 同理的面积和的面积相等， 即阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，是 ∵， ∴， ∵的面积是18， ∴ ∴， ∴阴影部分的面积是． 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在平行四边形中，点，分别在，的延长线上，，，，，则的长是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，证明四边形是平行四边形是解题的关键． 证明四边形是平行四边形，得到，则，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵ ∴在中，由勾股定理得， 故答案为：2． 2．（2025·江苏无锡·二模）如图，在中，为的中点，延长交的延长线于点，连接、． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握平行四边形的判定和性质是关键． （1）根据中点得到，根据平行四边形的性质得到，，运用角边角即可求证； （2）根据三线合一得到，由勾股定理得到，再证明四边形为平行四边形，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵为的中点， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由得，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵且， ∴四边形为平行四边形， ∴． 【题型五 利用矩形的性质求解】 例题：（贵州省六盘水市2025年初中学业水平考试（适应性考试）数学试卷）如图，矩形的对角线，交于点，若，则的长是（   ） A．5 B．6 C．7 D．10 【答案】B 【分析】本题考查的是矩形的性质，根据矩形的对角线相等且互相平分可得答案. 【详解】解：∵矩形的对角线，交于点，， ∴， ∴， 故选：B 【变式训练】 1．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边对等角和三角形外角的性质，根据矩形的对角线互相平分且相等得到，则由等边对等角得到，再由三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵在矩形中，对角线相交于点O， ∴， ∴ ∵， ∴， 故选：C． 2．（2025·江苏徐州·二模）如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时． (1)求证：； (2)的度数为 ． 【答案】(1)见解析 (2)60 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）先由矩形的性质得，，再由等边三角形的性质得，再利用证明即可； （2）由（1）的结论根据全等的性质得，再根据等边三角形的性质得，最后根据平角的定义可求的度数． 【详解】（1）证明：∵为矩形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴在和中， ， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：60． 【题型六 矩形性质和判定的综合应用】 例题：（23-24八年级下·重庆南川·期中）如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的证明，矩形的判定与性质，三角形内角和定理，通过比值换算，求出角的度数，再通过三角形内角和计算是解题的关键． （1）要证明平行四边形是矩形，证明求得即可． （2）首先根据矩形的性质和得到，，则，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）得：四边形是矩形， ，， ， 在直角三角形中，， ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，四边形是平行四边形，点E，F分别在和上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，勾股定理，矩形的性质和判定等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）根据据平行四边形的性质可得，，由线段的和差可求得，进而可得结论； （2）由题意根据勾股定理可得，再根据，四边形是平行四边形可判定四边形是矩形，根据矩形的性质可得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴， 在中，根据勾股定理得， ， ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴． 2．（24-25八年级下·江西宜春·期中）如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)80 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形． （1）根据平行四边形的性质得出，，则，通过证明四边形是平行四边形，结合，即可求证； （2）根据题意推出，则，根据勾股定理得出，最后根据矩形的面积公式，即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的面积是：． 【题型七 矩形中的折叠问题】 例题：（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）如图，在矩形中，是边上的一点，将沿所在直线折叠，使得点恰好落在边上点处．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，根据矩形的性质可得，根据，可得，进而根据折叠的性质，即可求解． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∵将沿所在直线折叠， ∴， 故选：A． 【变式训练】 1．（2025·广东梅州·二模）如图，把矩形沿 翻折， 点恰好落在边的处且， 则是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，根据可得，根据折叠的性质，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴ 故选：A． 2．（2025·江苏扬州·二模）如图，为矩形的对角线，将边沿折叠，使点落在上的点处，将边沿折叠，使点落在上的点处． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查矩形的性质、平行四边形的判定、折叠的性质及勾股定理，熟练掌握矩形的性质、平行四边形的判定、折叠的性质及勾股定理是解题的关键； （1）由题意易得，由折叠的性质可知：，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意易得，由折叠的性质可知：，设，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：在矩形中，，， ∴， 由折叠的性质可知：， 设，则有， ∴在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴， ∴． 【题型八 利用菱形的性质求解】 例题：（2025·河南南阳·二模）如图，已知菱形的面积为分别为的中点，若的长为4，对角线的长为（　　） A．12 B．18 C．24 D．48 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，连接，三角形的中位线定理求出的长，利用菱形的面积公式求出的长即可． 【详解】解：连接， ∵分别为的中点，的长为4， ∴， ∵菱形的面积为， ∴， ∴； 故选C． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，是菱形的对角线，，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了菱形的性质，熟记菱形的对边平行，并且每一条对角线平分一组对角是解题的关键．根据菱形的性质可得，，根据已知得出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，是菱形的对角线， ∴，， ∵， ∴， ∵， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如图，在菱形中，过点作于点，点在边上，且，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查菱形的性质（对边平行且相等）、矩形的判定（有一个角是直角的平行四边形是矩形）以及勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）．利用菱形性质推出四边形是平行四边形，以及根据菱形性质设未知数，借助勾股定理建立方程求解边长是解题的关键． （1）要证明四边形是矩形，需先依据菱形性质得到相关边与角的关系，再通过已知条件推出四边形是平行四边形，最后结合有一个角是直角这一条件来判定． （2）求的长，在直角三角形中，已知的长，需先求出的长，再利用勾股定理计算，而的长可根据菱形性质及已知线段长度得出． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，． ∵， ∴，即． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴． 设，则， ∴． 在中，，根据勾股定理可得，即． ∴， ∴， 解得． ∴． 【题型九 菱形性质和判定的综合应用】 例题：（24-25八年级下·山东滨州·期中）如图，在中，，，则对角线等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据菱形的判定定理得到是菱形，得到，得到是等边三角形，得出，即可得到答案． 【详解】解：在中，，， 是菱形， ， 是等边三角形， ． 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，分别以C、B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、．若，则 °． 【答案】25 【分析】根据作图，得到，得到菱形，根据菱形的性质解得即可． 本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：根据作图，得到， 故四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：25． 2．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是： （1）根据平行线的性质，角平分线的定义可得出，根据等角对等边得出，则，根据一组对边平行且相等是四边形是平行四边形可出四边形是平行四边形，然后结合邻边相等即可得证； （2）根据直角三角形斜边中线的性质求出，根据菱形的性质求出、，根据勾股定理求出，最后根据等面积法求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形， （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴． 【题型十 菱形中的动点问题】 例题：（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，菱形的周长为，，，分别是、上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质等知识．连接，作于，利用证明，得，当点、、共线，的最小值为的长，再求出的长即可． 【详解】解：连接，作于， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 当点、、共线，的最小值为的长， ∵菱形的周长为，则， ∵，则 ∴ ， 的最小值为， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）矩形中，厘米，厘米，点P是线段上一动点，O为的中点，的延长线交于Q．若P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动(不与D重合)．设点P运动时间为t秒，若点P和Q与点中的两个点为顶点的四边形是菱形．则t的值为(　　) A．7 B．20 C．7或25 D．7或20 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，运用数形结合及方程思想是解本题的关键． 分两种情况：①如果四边形是菱形，则，在中，根据勾股定理得出，列出关于t的方程，解方程求出t的值；②如果四边形是菱形，则，在中，根据勾股定理得出，列出关于t的方程，解方程求出t的值． 【详解】解：分两种情况： ①如果四边形是菱形，则．   ∵四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即运动时间为25秒时，四边形是菱形． ②如果四边形是菱形，则， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，即运动时间为7秒时，四边形是菱形； 故选：C． 2．（24-25九年级上·四川达州·期中）如图，在边长为的菱形中，，是边上的动点，是边上的动点，且，连接，则的最小值是（   ）． A．3 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】连接，，，如图所示，首先由菱形性质、等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质证明是等边三角形，构建垂线段最短，可知当时，最短，即最短． 【详解】解：连接，，，如图所示： 四边形是菱形， ， ， ，都是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， 时，最小， ∵为等边三角形， ∴此时， ∴， 的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理，全等三角形的判定与性质、动点最值问题-垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，灵活运用垂线段最短解决最值问题． 【题型十一 利用证明的性质求解】 例题：（24-25八年级下·广东·期中）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了正方形的性质以及等边三角形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握正方形，等边三角形和等腰三角形的性质． 先根据正方形的性质求得，，再根据等边三角形得到，，最后根据等腰三角形和三角形内角和定理求出答案即可． 【详解】解：∵正方形中，，， ∵等边三角形， ∴， ∴，， ∴ 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在边长为3的正方形内取一点E，连接，，，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．根据正方形得到，，过A作于G，求得，根据勾股定理得到，，过E作于F，根据全等三角形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 过A作于G，如图， ， ， ，， ， ， ， 过E作于F， ∴， ， ，， ， ，， ， ． 故答案为：． 2．（2025·河南信阳·二模）如图，在正方形的内部作等边三角形，连接，，对角线交于于点，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理等．根据正方形的四个角都是，四条边都相等，对角线平分对角得出，，，根据等边三角形的三个角都是，三条边都相等得出，，求出，，根据等边对等角和三角形内角和是求出，即可求解． 【详解】解：∵是正方形的对角线， ∴，，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴，， 故， ∴． 故答案为：． 【题型十二 正方形的判定】 例题：（24-25八年级下·北京·期中）如图，四边形是菱形，与相交于点，添加一个条件： ，可使它成为正方形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了正方形的判定，掌握正方形的判定方法是解题的关键． 根据有一个角是直角的菱形是正方形即可证明． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（    ） A．当时，平行四边形是菱形 B．当时，平行四边形是矩形 C．当时，平行四边形是菱形 D．当且时，平行四边形是正方形 【答案】A 【分析】本题考查了矩形，菱形，正方形的判定，熟练掌握矩形的判定定理、菱形的判定定理，正方形的判定定理是解此题的关键． 根据有一个角等于的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等且对角线垂直的平行四边形是正方形，逐一判定． 【详解】A．当时，无法确定平行四边形是菱形，故该选项不正确，符合题意； B．当时，平行四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意； C．当时，平行四边形是菱形，故该选项正确，不符合题意； D．当且时，平行四边形是正方形，故该选项正确，不符合题意． 故选A． 2．（2025·青海·二模）如图，在中，，，，是边上的两点，且，过点，分别作，，垂足分别为，，与的延长线交于点，连接，．    (1)求证：． (2)求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定． （1）证明，即可得出结论； （2）先证明四边形是矩形，再证明，推出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：，， ． 在和中，， ， ； （2）证明：，， ． ， 四边形是矩形． ，，， 和均为等腰直角三角形，． 在与中，， ， ． ， ， 四边形是正方形． 一、单选题 1．（2025·河南·模拟预测）如图，在菱形中，于点E，F为边的中点，连接，若菱形的周长为20，则线段的长为（   ） A．5 B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，根据菱形的性质求出，根据三线合一的性质得出E是是的中点，然后根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，且周长为20， ， ， 是的中点， 为的中点， ． 故选：C． 2．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，在四边形中，对角线与相交于点，．添加下列条件，可以判定四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形，矩形的判定，掌握其判定方法是关键． 根据题意可得四边形是平行四边形，再结合矩形的判定方法即可求解． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， A、添加，不能判定平行四边形是矩形，不符合题意； B、添加， ∴， 根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，得到平行四边形是矩形，符合题意； C、添加， 根据对角线相互垂直的平行四边形是菱形， ∴不能判定平行四边形是矩形，不符合题意； D、添加，由四边形是平行四边形得，， ∴， ∴平行四边形是菱形，不能判定平行四边形是矩形，不符合题意； 故选：B ． 3．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期中）如图，矩形中，，将矩形沿折叠，使顶点落在上的点处，其中在上连接，则（    ）． A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质和勾股定理，根据折叠得出，由勾股定理求得长，进而求得长，设，在中利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：矩形中，，由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， 解得，， 故选：A． 4．（24-25八年级下·四川南充·期中）如图，平行四边形中，，，平分交边于点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握相关知识．根据平行四边形的性质可得：，，推出，由角平分线的定义可得，得到，推出，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 平分交边于点， ， ， ， ， 故选：B． 5．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，点E在边上，将沿翻折，使点B恰好与边上的点F重合．若的周长为14，，则的周长为（　 　） A．24 B．28 C．38 D．40 【答案】C 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题）、平行四边形的性质，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．由翻折可得，进而可得，结合的周长为，可得，进一步即可得出答案． 【详解】解：由翻折可得，， ∵四边形为平行四边形， ， ，，， ∵的周长为14， ， ∵， ∴， ∴的周长为． 故选：C． 二、填空题 6．（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图，在中，已知、相交于点，两条对角线长的和为厘米，的长为厘米，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟悉掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质，对角线相互平分求解即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在菱形中，点分别在上，沿翻折后，点落在边上的处．若，，．则的长为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．作交的延长线于点H，因为，所以，由四边形是菱形，得，则四边形是平行四边形，所以，由折叠得，则，所以，由勾股定理得，求得，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交的延长线于点H，则， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由折叠得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·山东淄博·期中）如图，四边形是菱形，，，于点E，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形对角线互相垂直平分和勾股定理求出的长，再根据菱形面积计算公式可得，据此列式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图，平行四边形的对角线，相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是中点，若，，则的长为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、三角形中位线的判定与性质等知识点，由平行四边形可得,则，根据平分可得，从而可得，可得，进一步可得的长，再根据三角形中位线定理可得即可解答． 【详解】解：在平行四边形中， ∴，，O是的中点， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点，O是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为1． 10．（2025·宁夏银川·二模）如图，在矩形中，对角线、相交于点于，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了矩形的性质、中垂线的性质和勾股定理，根据垂直平分线的性质得到，然后根据矩形的性质求出长，然后根据勾股定理求出长即可． 【详解】解：∵是矩形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（贵州省六盘水市2025年初中学业水平考试（适应性考试）数学试卷）如图，是的对角线，于点于点，连接，． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质； （1）先证明，可得； （2）先证明，，可得，再证明，可得，从而可得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵，， ∴． ∴， 在和中， ∴． ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 12．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在平行四边形中，，平分交与点． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的性质，“两直线平行，内错角相等”，等角对等边，掌握知识点是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质，可得，即可求出的度数，再由角平分线的定义，即可解答； （2）根据平行四边形的性质，可得，再由平分，，可求出，即可解答． 【详解】（1）解：在平行四边形中，， ∴， ∴， ∵平分， ∴ （2）在平行四边形中， ，， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．（2025·江苏扬州·二模）如图，在平行四边形中，E，F是对角线上的点，且，连接，． (1)求证； (2)连接，若，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）利用证明三角形全等； （2）根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ，又， ， ． 在和中， ． ． （2）四边形是菱形，理由如下． 连接，交于O， ．， ． 又， ． ． 四边形是平行四边形． 四边形是平行四边形，， 四边形是菱形． ． 四边形是菱形． 14．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在正方形中，、为对角线上两点，已知，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及菱形的判定，解题的关键是通过证明三角形全等得出四边形的四条边相等． 【详解】证明：如解图，连结交于点， ∵四边形是正方形， ， ， ， 根据正方形的性质可知， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， 根据正方形的性质可知， ∴四边形是菱形． 15．（2025·江苏苏州·二模）已知：如图，四边形为正方形，点在的延长线上，连接， (1)求证：； (2)若，若，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到.，可证明； （2）由（1）知，得到，求出，得到，推出． 【详解】（1）证明：四边形为正方形， .， ， ； （2）解：由（1）知， ， ， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平行四边形 一.平行四边形 1.平行四边形的性质 （1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． （2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分． （3）平行线间的距离处处相等． （4）平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 2.．平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形． （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形． （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形． （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形． （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形． 3.．平行四边形的判定与性质 平行四边形的判定与性质的作用 平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的． 运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单． 凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题． 二、菱形 1 菱形的性质 （1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． （2）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （3）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度） 2 菱形的判定 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形． 几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形 3 菱形的判定与性质 （1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形． （2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）　　（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法． 三、矩形 1 矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 2 矩形的判定 （1）矩形的判定： ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”） （2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等． ②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形． 四、正方形 1. 定义：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形． 2. 正方形与矩形、菱形的关系 矩形 邻边相等 正方形 菱形 一个角是直角 正方形 3. 性质定理 正方形即是矩形又是菱形，因而它具备两者所有的性质． 性质定理1：正方形的四个角都是直角；正方形的四条边都相等． 性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对 角． 4. 判定定理： 判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定定理2：有一个内角是直角的菱形是正方形． 目录 【题型一 利用平行四边形的性质求解】 5 【题型二 利用平行四边形的性质证明】 6 【题型三 证明四边形是平行四边形】 6 【题型四 平行四边形的性质和判定的综合应用】 7 【题型五 利用矩形的性质求解】 8 【题型六 矩形性质和判定的综合应用】 9 【题型七 矩形中的折叠问题】 10 【题型八 利用菱形的性质求解】 11 【题型九 菱形性质和判定的综合应用】 12 【题型十 菱形中的动点问题】 12 【题型十一 利用证明的性质求解】 13 【题型十二 正方形的判定】 14 【题型一 利用平行四边形的性质求解】 例题：（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线、交于点，若，，则的周长为（   ） A．24 B．21 C．20 D．15 【变式训练】 1．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，中，对角线交于点O，，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（24-25八年级下·内蒙古包头·期中）如图，在平行四边形中，于E，，则的大小是 ． 【题型二 利用平行四边形的性质证明】 例题：（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，在中，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，交的延长线于点，若，则的长为 ． 2．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）如图，中，交于点O，过点O的直线交于点E，交于点F．求证：． 【题型三 证明四边形是平行四边形】 例题：（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，则应增加的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，且．连结，交于点O． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，的周长是12，求平行四边形的周长． 2．（2025·陕西榆林·二模）如图，在四边形中，连接，，过点A作交于点F，过点C作交于点E，，求证：四边形是平行四边形． 【题型四 平行四边形的性质和判定的综合应用】 例题：（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，已知的面积为18，点D在线段上，点F在线段的延长线上，且，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式训练】 1．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在平行四边形中，点，分别在，的延长线上，，，，，则的长是 ． 2．（2025·江苏无锡·二模）如图，在中，为的中点，延长交的延长线于点，连接、． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【题型五 利用矩形的性质求解】 例题：（贵州省六盘水市2025年初中学业水平考试（适应性考试）数学试卷）如图，矩形的对角线，交于点，若，则的长是（   ） A．5 B．6 C．7 D．10 【变式训练】 1．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏徐州·二模）如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时． (1)求证：； (2)的度数为 ． 【题型六 矩形性质和判定的综合应用】 例题：（23-24八年级下·重庆南川·期中）如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，四边形是平行四边形，点E，F分别在和上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 2．（24-25八年级下·江西宜春·期中）如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 【题型七 矩形中的折叠问题】 例题：（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）如图，在矩形中，是边上的一点，将沿所在直线折叠，使得点恰好落在边上点处．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2025·广东梅州·二模）如图，把矩形沿 翻折， 点恰好落在边的处且， 则是（  ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏扬州·二模）如图，为矩形的对角线，将边沿折叠，使点落在上的点处，将边沿折叠，使点落在上的点处． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的面积． 【题型八 利用菱形的性质求解】 例题：（2025·河南南阳·二模）如图，已知菱形的面积为分别为的中点，若的长为4，对角线的长为（　　） A．12 B．18 C．24 D．48 【变式训练】 1．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，是菱形的对角线，，则的度数是 ． 2．（24-25八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如图，在菱形中，过点作于点，点在边上，且，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【题型九 菱形性质和判定的综合应用】 例题：（24-25八年级下·山东滨州·期中）如图，在中，，，则对角线等于（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，分别以C、B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、．若，则 °． 2．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【题型十 菱形中的动点问题】 例题：（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，菱形的周长为，，，分别是、上的动点，则的最小值为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）矩形中，厘米，厘米，点P是线段上一动点，O为的中点，的延长线交于Q．若P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动(不与D重合)．设点P运动时间为t秒，若点P和Q与点中的两个点为顶点的四边形是菱形．则t的值为(　　) A．7 B．20 C．7或25 D．7或20 2．（24-25九年级上·四川达州·期中）如图，在边长为的菱形中，，是边上的动点，是边上的动点，且，连接，则的最小值是（   ）． A．3 B．6 C． D． 【题型十一 利用证明的性质求解】 例题：（24-25八年级下·广东·期中）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在边长为3的正方形内取一点E，连接，，，若，，则 ． 2．（2025·河南信阳·二模）如图，在正方形的内部作等边三角形，连接，，对角线交于于点，则的度数是 ． 【题型十二 正方形的判定】 例题：（24-25八年级下·北京·期中）如图，四边形是菱形，与相交于点，添加一个条件： ，可使它成为正方形． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（    ） A．当时，平行四边形是菱形 B．当时，平行四边形是矩形 C．当时，平行四边形是菱形 D．当且时，平行四边形是正方形 2．（2025·青海·二模）如图，在中，，，，是边上的两点，且，过点，分别作，，垂足分别为，，与的延长线交于点，连接，．    (1)求证：． (2)求证：四边形是正方形． 一、单选题 1．（2025·河南·模拟预测）如图，在菱形中，于点E，F为边的中点，连接，若菱形的周长为20，则线段的长为（   ） A．5 B．4 C． D．2 2．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，在四边形中，对角线与相交于点，．添加下列条件，可以判定四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期中）如图，矩形中，，将矩形沿折叠，使顶点落在上的点处，其中在上连接，则（    ）． A． B． C． D．1 4．（24-25八年级下·四川南充·期中）如图，平行四边形中，，，平分交边于点，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，点E在边上，将沿翻折，使点B恰好与边上的点F重合．若的周长为14，，则的周长为（　 　） A．24 B．28 C．38 D．40 二、填空题 6．（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图，在中，已知、相交于点，两条对角线长的和为厘米，的长为厘米，则的周长为 ． 7．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在菱形中，点分别在上，沿翻折后，点落在边上的处．若，，．则的长为 ． 8．（24-25八年级下·山东淄博·期中）如图，四边形是菱形，，，于点E，则 ． 9．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图，平行四边形的对角线，相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是中点，若，，则的长为 ． 10．（2025·宁夏银川·二模）如图，在矩形中，对角线、相交于点于，若，则的长为 ． 三、解答题 11．（贵州省六盘水市2025年初中学业水平考试（适应性考试）数学试卷）如图，是的对角线，于点于点，连接，． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 12．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在平行四边形中，，平分交与点． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 13．（2025·江苏扬州·二模）如图，在平行四边形中，E，F是对角线上的点，且，连接，． (1)求证； (2)连接，若，判断四边形的形状，并说明理由． 14．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在正方形中，、为对角线上两点，已知，求证：四边形是菱形． 15．（2025·江苏苏州·二模）已知：如图，四边形为正方形，点在的延长线上，连接， (1)求证：； (2)若，若，求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$