第15课 变量与函数【帮课堂】2021-2022学年八年级数学下册同步精品讲义（人教版）

第15课 变量与函数 ( 目标导航 ) 课程标准 1．知道现实生活中存在变量和常量，变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值范围）； 2．能初步理解函数的概念；能初步掌握确定常见简单函数的自变量取值范围的基本方法；给出自变量的一个值，会求出相应的函数值． 3．对函数关系的表示法（如解析法、列表法、图象法）有初步认识． 4. 理解函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系，会判断一个点是否在函数的图象上，明确交点坐标反映到函数上的含义. 5. 初步理解函数的图象的概念，掌握用“描点法”画一个函数的图象的一般步骤，对已知图象能读图、识图，从图象解释函数变化的关系． ( 知识精讲 ) 知识点01 变量、常量的概念 在一个变化过程中，我们称 的量为变量.数值 的量叫做常量. 【注意】： 一般地，常量是 的量，变量是 的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，，速度60千米/时是 ，时间和里程为 . 【通俗解读】： 常量为数值（或已知数值的字母，如 ），变量为不是数值的字母（或不知数值的字母）。找变量和常量，即等式中的数字记为常量，等式中不知数值的字母即为变量。例如，中，常量为 ，变量为 。 知识点02 函数的定义 一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量与，并且对于的 ，都有 与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数. 【注意】： 对于函数的定义，应从以下几个方面去理解： 　　（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系； 　　（2）对于自变量的取值，必须要使代数式有实际意义； 　　（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于允许取的每一个值，是否都有唯一确定的值与它相对应. 　　（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件： ①函数关系式相同（或变形后相同）； ②自变量的取值范围相同. 否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量的取值范围有时容易忽视，这点应注意. 【通俗解读】： （1）函数关系，实质是两个变量的 （即一个 方程）；这是二元一次方程的一种转化理解，例如二元一次方程，这个二元一次方程有 组解，这无数组解的x和y，分别作为平面直角坐标系中点的 ，那个我们即可得到 个点，这些点就能连成一条直线，即可得到函数的图像； （2）两个变量是否是函数关系，定义“对于x的每一个确定的值， 都有唯一确定的y值与其对应”的含义是：在自变量x与因变量y的等式中（即二元一次方程），给定一个x的值，是否只能解得一个y值，如果只能得到 个y值，那么y是x 的函数，如果解得 y值，那么y不是x的函数； 例如，，当x=1时，，此种情况即不满足定义“对于x的每一个确定的值， 都有唯一确定的y值与其对应”，因此y不是x的函数； 知识点03 函数值 是的函数，如果当＝时＝，那么 叫做当自变量为时的函数值. 【注意】： 对于每个确定的自变量值，函数值是 ，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2. 【通俗解读】： 函数值即为自变量x取一个值时，因变量y的值，即函数值表示因变量y的值； 例如：x与y满足，当，函数值即为将代入，得 ； 知识点04 自变量取值范围的确定 使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围.（当自变量为x时，求使得该等式有意义的x的取值范围） 【注意】： 自变量的取值范围的确定方法： 首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义： 　　（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是 ； 　　（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是 ； 　　（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是 ； （4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的 ； 　　（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义. 知识点05 函数的几种表达方式 变量间的单值对应关系有多种表示方法，常见的有以下三种： （1）解析式法：用来表示函数关系的 叫做函数关系式，也称函数的解析式. （2）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法. （3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系. 【注意】： 函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内