重点专题6-1 概率问题综合（古典概型，相互独立）（9大题型）- 【重难点突破】2024-2025学年高一下·人教A版必修第二册·重难点专题突破

【重难点突破】2024-2025学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 专题6-1 概率问题综合（古典概型，相互独立，大题专练） 总览 题型·解读 【题型1】事件的关系及运算 【题型2】古典概型的概率求解 【题型3】相互独立事件的概率计算 【题型4】相互独立事件的判断，互斥与独立的综合 【题型5】概率的基本性质及其应用 【题型6】“正难则反”思想 【题型7】“放回”与“不放回”的概率问题 【题型8】比赛获胜概率与游戏公平性相关问题 【题型9】综合大题专练 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】事件的关系及运算 基础知识 (1)两个事件的关系和运算 事件的关系或运算 含义 符号表示 图形表示 包含 A发生导致B发生 并事件（和事件） A与B至少一个发生 或 交事件（积事件） A与B同时发生 或 互斥（互不相容） A与B不能同时发生 互为对立 A与B有且仅有一个发生 ， （2）多个事件的和事件、积事件 类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.对于多个事件A，B，C，，A∪B∪C∪ (或 A+B+C+)发生当且仅当A，B，C，中至少一个发生，A∩B∩C∩ (或ABC)发生当且仅当A，B，C，同时发生. 典型例题 【例题1】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）如果，是互斥事件，下列选项正确的是（    ） A．事件与不互斥 B． C．与互斥 D． 【分析】根据互斥事件的有关概念逐一判断即可. 【详解】对A：若，对立，则与也对立，所以与可以互斥，故A错误； 对B：因为，互斥，所以为不可能事件，故为必然事件，所以； 又，所以，故B正确； 对C：根据互斥事件的概念，，互斥，与一定不互斥，故C错误； 对D：只有，对立时，才有，故D错误. 【例题2】抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中；“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4” 下列结论是判断错误的是  （    ） A．与互斥 B．， C． D．，为对立事件 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断AD，由事件的运算判断B，由事件间关系判断C. 【详解】由题意与不可能同时发生，它们互斥，A正确； 中点数为1或2，中点数为3，4，5或6，因此它们的并是必然事件，但它们不可能同时发生，因此为不可能事件，B正确； 发生时，一定发生，但发生时，可能不发生，因此，C正确； 与不可能同时发生，但也可能都不发生，互斥不对立，D错误； 巩固练习 题型 【巩固练习1】掷一枚骰子，设事件：落地时向上的点数是奇数；：落地时向上的点数是3的倍数；：落地时向上的点数是2；：落地时向上的点数是2的倍数，则下列说法中，错误的是（    ） A．和有可能同时发生 B．和是对立事件 C．和是对立事件 D．和是互斥事件 【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的意义逐项判断得解. 【详解】依题意，事件， 对于A，事件和有相同的基本事件：点数3，A正确； 对于B，事件和不能同时发生，但必有一个发生，则和是对立事件，B正确； 对于C，事件和不能同时发生，但可以同时不发生，则和不是对立事件，C错误； 对于D，事件和不能同时发生，它们是互斥事件，D正确. 【巩固练习2】从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取两个球，下列各组事件中，是互斥事件的是（    ） A．“至少一个白球”与“至少一个黄球” B．“恰有一个白球”与“恰有两个白球” C．“至多一个白球”与“至多一个黄球” D．“至少一个黄球”与“都是黄球” 【答案】B 【详解】从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取两个球， 共有三种结果：两白球，一白一黄，两黄球， 这三个事件是互斥事件.所以B是正确的； 由于至少一个白球，包含事件有两白球和一白一黄， 而至少一个黄球包含两黄球和一白一黄， 当取到一白一黄时，此时这两个事件同时发生，故A错误； 由于至多一个白球，包含事件有一白一黄和两黄球， 而至多一个黄球包含一黄一白和两白球， 所以当取到一白一黄时，此时两个事件同时发生，故C错误； 由于至少一个黄球，包含事件一白一黄和两黄球， 而都是黄球显然也是两黄球，故D错误； 【巩固练习3】（多选）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为i”，其中i＝1，2，3，4，5，6；“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4”.下列结论判断正确的是（    ） A．与互斥 B． C． D．为对立事件 【答案】ABC 【详解】对于A：由题意与不可能同时发生，它们互斥，A正确； 对于B：中点数为1或2，中点数为3，4，5或6，因此是必然事件，但它们不可能同时发生，因此为不可能事件，B正确； 对于C：发生时，一定发生，但发生时，可能不发生，因此，C正确； 对于D：与不可能同时发生，但也可能都不发生，互斥不对立，D错误 【题型2】古典概型的概率求解 解题技巧 1．古典概型的判断 (1)事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. (2)古典概型的定义 我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等. (3)古典概型的判断标准 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所有的试验都是古典概型. 下列三类试验都不是古典概型： ①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能; ②样本点(基本事件)个数无限，但等可能； ③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能. 2．古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)==，其中，n(A)和n()分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数. 3．求样本空间中样本点个数的方法 (1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x, y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同. 典型例题 【例题1】（23-24高一下·湖北武汉·期末）掷一枚质地均匀的骰子3次，则三个点数之和大于14的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用列举法结合古典概型求解即可. 【详解】由题，三个点数之和大于14可能为15，16，17，18四种情况， 又， 则包含的基本事件有， 共个， ， 则包含的基本事件有共个， ， 则包含的基本事件有共个， ，包含的基本事件有个， 所以所求概率. 【例题2】已知一个古典概型的样本空间和事件和，若，则 . 【答案】 【分析】根据古典概型特点，求出，根据得到结果. 【详解】因为， 所以 【例题3】（23-24高一下·山东济南·期末）某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.为了得到该敏感性问题的诚实反应，设计如下方案：每个被调查者先后抛掷两颗骰子，调查中使用两个问题：①第一颗骰子的点数是否比第二颗的大？②你是否经常吸烟？两颗骰子点数和为奇数的学生如实回答第一个问题，两颗骰子点数和为偶数的学生如实回答第二个问题.回答“是”的学生往盒子中放一个小石子，回答“否”的学生什么都不用做.若最终盒子中小石子的个数为57，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（    ） A．0.035 B．0.07 C．0.105 D．0.14 【答案】B 【分析】根据古典概型的知识得到回答问题①②的人数均为，再求出点数第一次比第二次大的概率，即可推出第二个问题中回答“是”的人数，进而求出结果． 【详解】由题意，两颗骰子点数和为奇数与偶数的概率相等，都为， 则回答问题①②的人数均为， 如果回答问题①，则掷两次骰子所有可能情况有，，，，，，，，，，，，，，，，，，共18种可能， 所得点数第一次比第二次大的有，，，，，，，，，共9种可能， 所以在回答问题①的前提下，回答是的概率为， 所以回答问题①时，大约有人回答“是”， 所以回答问题②时，大约有人回答“是”， 故该地区中学生吸烟人数的比例约为． 巩固练习 题型 【巩固练习1】从写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任选2张，其上数字和为偶数的概率是 ． 【答案】 【详解】记“从5张卡片中任选2张，其上数字之和为偶数”为事件A, 则样本空间：， 共10种情况，事件A所包含的基本事件有：共4种情况， 所以. 【巩固练习2】（23-24高一下·湖南长沙·期末）有能力互异的3人应聘同一公司，他们按照报名顺序依次接受面试，经理决定“不录用第一个接受面试的人，如果第二个接受面试的人比第一个能力强，就录用第二个人，否则就录用第三个人”，记该公司录用到能力最强的人的概率为，录用到能力中等的人的概率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设三人能力分别为强、中、弱，然后列举出三人参加面试的所有次序，再分别找出该公司录用到能力最强的人和录用到能力中等的人的情况，利用古典概型的概率公式可求出. 【详解】设三人能力分别为强、中、弱，则三人参加面试的次序为： （强、中、弱），（强、弱、中），（中、强、弱），（中、弱、强），（弱、中、强），（弱、强、中），总数， 按“不录用第一个接受面试的人，如果第二个接受面试的人比第一个能力强，就录用第二个人，否则就录用第三个人”的规定， 该公司录用到能力最强的人包含的结果有：（中、强、弱），（中、弱、强），（弱、强、中），共3种情况， 所以该公司录用到能力最强的人的概率， 该公司录用到能力中等的人包含的结果有：（强、弱、中），（弱、中、强），共2种情况， 所以该公司录用到能力中等的人的概率. 【巩固练习3】（23-24高一下·湖南·期末）冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、猜想等，其描述为：任一正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1．例如：给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1．若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则运算次数均为奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题中定义，分别求出正整数6，7，8，9，10按照题中所给运算规律进行运算的次数，最后根据古典概型的概率计算公式进行求解即可. 【详解】按照题中运算规律，正整数6的运算过程为，运算次数为； 正整数7的部分运算过程为， 当运算到10时，运算次数为10，由正整数的运算过程可知， 正整数7总的运算次数为； 正整数8的运算次数为； 正整数9的部分运算过程为，当运算到7时，运算次数为3， 由正整数7的运算过程可知，正整数9总的运算次数为． 正整数10的运算次数为6； 故正整数6，7，8，9，10的运算次数分别为偶数、偶数、奇数、奇数、偶数， 从正整数6，7，8，9，10中任取2个数的方法总数为： ，共种， 其中的运算次数均为奇数的方法总数为：，共种，故运算次数均为奇数的概率为． 【题型3】相互独立事件的概率计算 基础知识 事件的相互独立性 (1)定义 对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. (2)性质 若事件A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立. (3)应用 因为“A与B相互独立”是“P(AB)=P(A)P(B)”的充要条件，所以如果已知两个事件是相互独立的，则由它们各自发生的概率可以迅速得到它们同时发生的概率.在实际问题中，我们常常依据实际背景去判断事件之间是否存在相互影响，若认为事件之间没有影响，则认为它们相互独立. (4)推广 两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈)个事件的相互独立性，即若事件，，，相互独立，则这n个事件同时发生的概率P()=P()P()P(). 典型例题 【例题1】小方每次投篮的命中率为，假设每次投篮相互独立，则他连续投篮2次，恰有1次命中的概率为（    ） A． B． C． D． 【分析】先弄清连续投篮2次，恰有1次命中的情况有两种，它们是互斥关系，因此根据相互独立事件以及互斥事件的概率计算公式进行求解. 【详解】由题意知，他连续投篮2次，有两种互斥的情况，即第一次投中第二次不中和第一次不中第二次投中，因此恰有1次命中的概率为 【例题2】甲、乙两个小朋友各有一个不透明的袋子，甲小朋友的袋子中装有3个白球和2个黄球，乙小朋友的袋子中装有2个白球和3个黄球，甲、乙两个小朋友分别从自己的袋子中摸出一个球，若两个球的颜色相同，则甲小朋友获胜，被两个小朋友摸出的两个小球放入甲小朋友的袋子中，否则乙小朋友获胜，被两个小朋友摸出的两个小球放入乙小朋友的袋子中．两个小朋友在摸球时互不影响．根据上述规则，在第二次摸球时，乙小朋友获胜的概率为 ． 【答案】 【详解】分两类讨论： （1）第一次摸球甲小朋友获胜，第二次摸球乙小朋友获胜： ①第一次摸球，两个小朋友摸出的球均为白球，则第二次摸球，乙小朋友获胜的概率； ②第一次摸球，两个小朋友摸的球均为黄球，则第二次摸球，乙小朋友获胜的概率； （2）第一次摸球乙小朋友获胜，第二次摸球乙小朋友获胜： ①第一次摸球，甲小朋友摸到白球、乙小朋友摸到黄球，则第二次摸球，乙小朋友获胜的概率； ②第一次摸球，甲小朋友摸到黄球、乙小朋友摸到白球，则第二次摸球，乙小朋友获胜的概率． 综上所述，在第二次摸球时，乙小朋友获胜的概率． 巩固练习 题型 【巩固练习1】甲、乙、丙三人参加县里的英文演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（ ） A． B． C． D． 【分析】分情况讨论：三人中恰有两人获得一等奖、三人都获得一等奖，根据独立事件的概率乘法公式求解出对应概率即可. 【详解】设甲、乙、丙获得一等奖的概率分别是 则不获一等奖的概率分别是 则这三人中恰有两人获得一等奖的概率为： 这三人都获得一等奖的概率为 所以这三人中至少有两人获得一等奖的概率 【巩固练习2】在某次学科知识竞赛的初赛中，共有两道试题，两道题都答对者才能进入决赛．现有甲、乙、丙三名学生去参加初赛，他们答对第一题的概率分别是，，，答对第二题的概率分别是，，．已知甲和丙都答对第一题的概率为，且他们三人是否答对各道题之间是互不影响的． (1)求甲进入决赛的概率； (2)求甲、乙、丙这三名学生中恰有两人进入决赛的概率． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由题知：甲和丙都答对第一题的概率为，则； 记“甲进入决赛”为事件，由题知：； （2）记“乙进入决赛”为事件，记“丙进入决赛”为事件， 由题知：；； 则甲、乙、丙三位学生中恰有两人进入决赛的概率为 . 【巩固练习3】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．“星队”在两轮活动中猜对所有成语的概率为． (1)求的值； (2)求“星队”在两轮活动中，猜对3个成语的概率； (3)若某人在两轮活动中至少猜对1个成语，则该人可获得“优秀队员”称号，求“星队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号的概率． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）设分别表示甲两轮猜对0个，1个，2个成语的事件，分别表示乙两轮猜对0个，1个，2个成语的事件， 则 设“‘星队’在两轮活动中猜对了所有成语” ，解得 （2）由（1）知， 设“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则，且与互斥，与与分别相互独立， 则 所以两轮活动‘星队’猜对3个成语的概率为. （3）“‘星队’的甲、乙两人中恰有一人获得此称号”， 则 所以“星队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号的概率. 【题型4】相互独立事件的判断，互斥与独立的综合 基础知识 互斥事件与相互独立事件的辨析 (1)互斥事件与相互独立事件都描述的是两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.用表格表示如下： 相互独立事件 互斥事件 判断方法 一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 两个事件不可能同时发生，即AB=. 概率公式 若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B). 若事件A与B互斥，则P（A∪B）=P（A）+P（B），反之不成立. (2)已知事件A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)，我们有如下结论： 事件 表示 概率（A，B互斥） 概率（A，B相互独立） A，B中至少有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) 1P()P()或 P(A)+P(B)P(AB) A，B都发生 P(AB) 0 P(A)P(B) A，B都不发生 P() 1[P(A)+P(B)] P()P() A，B恰有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) P(A) P()+ P()P(B) A，B中至多有一个发生 P(∪A∪B) 1 1P(A)P(B) 典型例题 【例题1】（23-24高一下·广东广州·期末）已知一个古典概型的样本空间和事件A，B，满足，，，，则下列说法正确的是（   ） A．事件A与事件B互斥 B． C． D．事件A与事件B相互独立 【答案】D 【分析】利用古典概型计算公式可得，利用概率的加法公式可得，再由互斥事件和对立事件定义可判断AB错误，由可知C错误，利用事件独立性定义可判断D正确. 【详解】易知，同理可得，； 由可得，即， 对于A，因为，所以事件A与事件B不互斥，可得A错误； 对于B，显然，即B错误； 对于C，由可得，即 所以，即C错误； 对于D，易知，满足独立性定义，即D正确. 【例题2】（多选）某人连续掷两次骰子，表示事件“第一次掷出的点数是2”，表示事件“第二次掷出的点数是3”．表示事件“两次掷出的点数之和为5”，表示事件“两次掷出的点数之和为9”．则（    ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与不相互独立 D．与不相互独立 【答案】ACD 【分析】根据根据独立事件的乘法公式，结合题意，逐一判断即可. 【详解】由题意知，， ， ． 对A：∵，∴与相互独立，故A正确． 对B：∵，∴与不相互独立，故B错误． 对C：∵，∴与不相互独立，故C正确． 对D：∵，∴与不相互独立，故D正确． 【例题3】（23-24高一下·江苏南京·期末）从甲、乙2名男生，丙、丁2名女生中随机选两个人参加某个比赛，A表示事件“甲被选中参加比赛”，B表示事件“乙没被选中参加比赛”，C表示事件“被选中的两个人性别相同”，则（    ） A．A与B互斥 B．A与B独立 C．A与C互斥 D．A与C独立 【答案】D 【分析】利用古典概型求，再根据互斥事件和独立事件的定义逐项分析判断. 【详解】由题意可知：随机选两个人参加某个比赛，可知： 样本空间：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁）， 则， 事件A：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），则，； 事件B：（甲，丙），（甲，丁），（丙，丁），则，； 事件C：（甲，乙），（丙，丁），则，； 事件AB：（甲，丙），（甲，丁），则，； 事件AC：（甲，乙），则，； 对于选项A：因为，可知A与B不互斥，故A错误； 对于选项B：因为，所以A与B不独立，故B错误； 对于选项C：因为，可知A与C不互斥，故C错误； 对于选项D：因为，可知A与C独立，故D正确 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·广东深圳·期末）（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记下每次朝上的点数，设事件 “第一次的点数不大于3 ”， “第二次的点数不小于4 ”， “两次的点数之和为3的倍数”，则下列结论正确的是（      ） A．事件发生的概率 B．事件与事件相互独立 C．事件 发生的概率 D．事件与事件对立 【答案】ABC 【分析】列举所有的基本事件，由古典概型公式即可求解选项A，C，由相互独立事件的定义即可求解选项B，由对立事件的定义分析选项D. 【详解】根据题意，连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数，则有 ， ， ， ， ， ，共不同结果，即， 对于A，事件包含的样本点有种，故，故A正确； 对于B，事件包含的样本点有种，故， 事件包含的样本点有种，故， 因为，所以事件相互独立，故B正确； 对于C，事件包含的样本点有种，故，故C正确； 对于D，事件与事件有重复的样本点，故事件与事件不对立，故D错误. 【巩固练习2】（高一下·湖北武汉·期末）伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是每次试验只有两种可能结果．若连续抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记录这n次实验的结果，设事件M＝“n次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件N＝“n次实验结果中，最多只出现一次反面”，则下列结论正确的是（    ）． A．若，则M与N不互斥 B．若，则M与N相互独立 C．若，则M与N互斥 D．若，则M与N相互独立 【答案】AD 【分析】根据已知条件，结合互斥事件的定义，以及相互独立事件的概率乘法公式，即可求解 【详解】当时，所有基本事件有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），共4种， 其中（正，反）和（反，正）这两种实验结果，事件M和事件N同时发生，故M与N不互斥，A选项正确； ，，，，则M与N不相互独立，B选项错误； 当时，所有基本事件有：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反），共8种， 其中（正，正，反）、（正，反，正）和（反，正，正）这三种实验结果，事件M和事件N同时发生，故M与N不互斥，C选项错误； ，，，，则M与N相互独立，D选项正确. 【巩固练习3】（23-24高一下·广东东莞·期末）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件“第一次朝上面的数字是奇数”，则下列事件中与相互独立的是（    ） A．第一次朝上面的数字是偶数 B．第一次朝上面的数字是1 C．两次朝上面的数字之和是8 D．两次朝上面的数字之和是7 【答案】D 【分析】根据题意，由相互独立事件的定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】抛掷骰子两次，共有个基本事件数， 则， 共18个基本事件，则， 设事件为第一次朝上面的数字是偶数，则事件与事件是对立事件，故A错误； 设事件为第一次朝上面的数字是1，则，故B错误； 设事件为两次朝上面的数字之和是8， 则共5个基本事件，则， 且，则， ，所以C错误； 设事件两次朝上面的数字之和是7，则， 则，且，则， 因为，所以事件与事件相互独立. 【题型5】概率的基本性质及其应用 基础知识 对任意两个事件与,如果成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立. （1）如果与相互独立,则与，与，与也相互独立. （2）与相互独立事件有关的概率的计算公式如下表: 事件相互独立 概率计算公式 同时发生 同时不发生 至少有一个不发生 至少有一个发生 恰有一个发生 典型例题 【例题1】（23-24高一下·安徽·期末）（多选）已知随机事件A，B的概率都大于0，表示事件A的对立事件，则（    ） A．当时，相互独立 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】AC 【分析】根据相互独立事件的定义即可判断A；借助韦恩图可以分析即可判断BC；根据对立事件的定义即可判断D. 【详解】对于A，因为， 所以相互独立，所以相互独立，故A正确； 对于B，如图，小圆圈表示的对立事件，大圆圈表示事件，， 无法判断与的大小，故B错误； 对于C，根据题意，得到如图所示，阴影部分代表事件， 由图可知，，故C正确； 对于D，根据对立事件的定义，，又， 所以，概率相等，不一定事件相等，故D错误 【例题2】（23-24高一下·江苏南通·期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（    ） A．A与B互斥 B．A与C相互独立 C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意，由互斥事件的定义分析A，由相互独立事件的定义分析B，由古典概型的计算公式分析C、D，综合可得答案． 【详解】根据题意，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则 ， ， ， 所以有， ， 对于A，，事件A、B可以同时发生，则A、B不互斥，A错误； 对于B，，A、C相互独立，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·山东济南·期末）（多选）已知有限集为随机试验的样本空间，事件为的子集，则事件相互独立的充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据相互独立事件的定义逐一分析判断即可. 【详解】对于A，由，得若发生，则一定发生， 所以事件不相互独立，故A错误； 对于B，由，可得，所以， 所以事件相互独立，故B正确； 对于C，因为，所以事件相互独立， 所以事件相互独立，故C正确； 对于D，由，结合， 得，所以事件相互独立，故D正确. 【巩固练习2】（23-24高一下·广东广州·期末）设A，B易两个随机事件，且，则下列结论正确的是（    ） A．若A，B是互斥事件，则 B．若，则 C．若A，B是相互独立事件，则 D．若，则A，B是相互独立事件 【答案】CD 【分析】A由互斥事件概念可知；B由事件的包含关系得；C由概率性质与概率乘法公式可得；D由概率加法公式与相互独立事件的定义可得. 【详解】A项，若是互斥事件，不可能同时发生， ，故A错误； B项，若，则，则，故B错误； C项，若相互独立，则， 所以，故C正确； D项，由，且事件互斥，则, 若， 则， 又，，故相互独立，故D正确. 【巩固练习3】已知事件A，B，C的概率均不为0，则的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据和事件的概率公式判断A、C，根据积事件的概率公式判断D，根据相互独立事件的概率公式判断B. 【详解】对于A，因为，由， 只能得到，并不能得到，故A错误； 对于B，由于不能确定，，是否相互独立， 若，，相互独立，则，， 则由可得， 故由无法确定，故B错误； 对于C，因为， ， 由，只能得到， 由于不能确定，，是否相互独立，故无法确定，故C错误； 对于D，因为，， 又，所以，故D正确 【巩固练习4】（多选）已知，是随机事件，若，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．，为对立事件 C．，相互独立 D． 【答案】AD 【分析】利用对立事件、互斥事件、相互独立事件的性质直接求解. 【详解】，是随机事件，，且， 对于A， ，即， ，即， 又，故，A正确； 对于BCD，因为， 所以，由于，， 则，所以，不是对立事件； 又，所以，不是相互独立事件，故BC错误，D正确. 【题型6】“正难则反”思想 基础知识 正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算. 典型例题 【例题1】甲乙两人独立的解同一道题，甲乙解对的概率分别是，，那么至少有人解对的概率是（    ） A． B． C． D． 【分析】根据题意，利用相互独立事件的概率乘法公式求得没有人解对的概率，再结合对立事件的概率公式，即可求解． 【详解】由甲乙两人独立的解同一道题，甲乙解对的概率分别是，， 可得没有人解对的概率为，故至少有人解对的概率是. 【例题2】假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有个小孩的家庭，此家庭是随机选择的，则下列说法正确的是（　　） A．事件“该家庭个小孩中至少有个女孩”和事件“该家庭个小孩中至少有个男孩”是互斥事件 B．事件“该家庭个孩子都是男孩”和事件“该家庭个孩子都是女孩”是对立事件 C．该家庭个小孩中只有个男孩的概率为 D．该家庭个小孩中至少有2个男孩的概率为 【答案】D 【分析】利用互斥事件的定义判断A；利用对立事件的定义判断B；利用古典概型求概率方法判断C、D即可. 【详解】对于A，事件“该家庭个小孩中至少有个女孩” 和事件“该家庭个小孩中至少有个男孩”能同时发生，不是互斥事件，故A错误； 对于B，事件“该家庭3个孩子都是男孩” 和事件“该家庭个孩子都是女孩”不能同时发生，能同时不发生， 是互斥但不对立事件，故B错误； 对于C，有个小孩的家庭包含的样本点有个，分别为： （男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男）， （男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女）， 该家庭3个小孩中只有个男孩包含的样本点有个， 所以该家庭个小孩中只有个男孩的概率为，故C错误； 对于D，该家庭个小孩中至少有个男孩包含的样本点有个， 所以该家庭个小孩中至少有个男孩的概率为，故D正确． 巩固练习 题型 【巩固练习1】将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为将一颗质地均匀的骰子先后抛掷一次，出现一次6点向上的概率为， 所以先后抛掷3次，没有出现一次6点向上的概率为， 所以少出现一次6点向上的概率为. 【巩固练习2】甲、乙、丙三人参加县里的英文演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（ ） A． B． C． D． 【分析】分情况讨论：三人中恰有两人获得一等奖、三人都获得一等奖，根据独立事件的概率乘法公式求解出对应概率即可. 【详解】设甲、乙、丙获得一等奖的概率分别是 则不获一等奖的概率分别是 则这三人中恰有两人获得一等奖的概率为： 这三人都获得一等奖的概率为所以这三人中至少有两人获得一等奖的概率 【巩固练习3】第十五届中国国际航空航天博览会将于2024年11月在珠海国际航展中心组织，某城市为了了解居民对航空航天知识的认知程度，针对不同社区不同年龄和不同职业的人举办了一次“航空航天”知识竞赛，满分100分（90分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图： (1)根据频率分布直方图，估计这人年龄的第85百分位数； (2)现从以上各组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取20人，担任“航空航天”的宣传使者.若有甲（年龄31），乙（年龄34），丙（年龄42）三人已确定入选宣传使者，现计划从第三组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙、丙三人中至少有一人被选上的概率. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由频率分布直方图得：年龄在的频率分别为，由各组频率知第百分位数， 由，解得，所以第85百分位数为. （2）由第三组、第五组的频率可知第三组抽取人，第五组抽取人， 不妨设除甲、乙、丙外的五人为，于是从第三组和第五组被抽到的使者中抽取2人的所有情况为：甲，甲，甲，甲，甲，甲乙，甲丙，乙, 乙, 乙, 乙，乙，乙丙，丙, 丙, 丙, 丙，丙，，共28种， 其中甲、乙、丙都没抽到的有，共10种， 所以甲､乙、丙三人至少有一人被选上的概率为：. 【题型7】“放回”与“不放回”的概率问题 典型例题 【例题1】一个袋中有6个大小和质地相同的球，其中红球4个，黑球2个，现从中不放回地依次随机摸取2次，每次摸出1个球，则第二次摸出的球是红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】第二次摸出的球是红球的事件有两种情况： 第一次摸到黑球，第二次摸到红球的概率为， 第一次摸到红球，第二次摸到红球的概率为， 所以第二次摸出的球是红球的概率为. 【例题2】（23-24高一下·广东东莞·期末）某商场举办购物抽奖活动，规则如下：每次抽奖时，从装有2个白球和3个红球（球除颜色外，完全相同）的抽奖箱中，不放回地依次随机摸出2个球，若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则不中奖；商场根据购物金额给予顾客一次或多次抽奖机会，每次抽奖之间相互独立. (1)若某顾客有一次抽奖机会，求其中奖的概率； (2)若某顾客有两次抽奖机会，求其至少有一次中奖的概率. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据题意利用列举法结合古典概型的概率公式求解即可； （2）设在第次抽奖时中奖为事件，则由（1）可知，设两次抽奖至少有一次中奖为事件，则,然后利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）设2个白球为，3个红球为，则不放回地依次摸出两个球的情况有： , 共有20种情况， 其中摸出的2个球颜色相同的有：，共8种情况， 所以某顾客有一次抽奖机会，其中奖的概率为； （2）设在第次抽奖时中奖为事件， 由于每次抽奖的情况相同，由（1）可知， 设两次抽奖至少有一次中奖为事件，则, 其中为互斥事件，则， 因为每次抽奖之间相互独立，所以, ，， 所以， 即若某顾客有两次抽奖机会，则至少有一次中奖的概率为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·河南郑州·期末）现有6个相同的盒子，里面均装有6张除图案外其它无区别的卡片，第个盒子中有k张龙形图案的卡片，张兔形图案的卡片．现将这些盒子混合后，任选其中一个盒子，并且从中连续取出两张卡片，每次取后不放回，若第二次取出的卡片为兔形图案的概率为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】分第一次取到龙形图案的卡片，第二次取到兔形图案的卡片和第一次和第二次都取到兔形图案的卡片两种情况，然后求概率即可. 【详解】第个盒子中第一次取到龙形图案的卡片，第二次取到兔形图案的卡片的概率为；第一次和第二次都取到兔形图案的卡片的概率为，所以第二次取到的卡片为兔形图案的概率，解得. 【巩固练习2】从2名男生（记为和）和3名女生（记为和）组成的总体中，任意依次抽取2名学生. (1)不放回简单随机抽样求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率. (2)有放回简单随机抽样求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）从5名学生中，不放回地任意依次抽取2名学生的所有可能结果为： ， 共20种结果. 设事件为抽到的2人为1名男生和1名女生，则事件发生的所有可能结果为： ，共12种结果.由古典概型的概率计算公式得：，即不放回简单随机抽样求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率为. （2）有放回简单随机抽样抽取2名学生的所有可能结果为： ，共25种结果. 设事件为抽到的2人为1名男生和1名女生，则事件发生的所有可能结果为： ，共12种结果.由古典概型的概率计算公式得：， 即有放回简单随机抽样求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率为. 【巩固练习3】—只不透明的袋子中装有2个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同. (1)搅匀后从中任意摸出2个球，求这2个都球是白球的概率； (2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率. 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）将3个红球记为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2， 则任意摸出2个球的样本空间有：红1红2，红1红3，红1白1，红1白2，红2红3，红2白1，红2白2，红3白1，红3白2，白1白2共10个样本点， 其中2球均为白球事件的样本点只有1个，因此2个球都是白球概率为； （2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，将3个红球记为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2，列表如图所示： 第2次摸球第1次摸球 红1 红2 红3 白1 白2 红1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，红3） （红1，白1） （红1，白2） 红2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，红3） （红2，白1） （红2，白2） 红3 （红3，红1） （红3，红2） （红3，红3） （红3，白1） （红3，白2） 白1 （白1，红1） （白1，红2） （白1，红3） （白1,白1） （白1,白2） 白2 （白2，红1） （白2，红2） （白2，红3） （白2,白1） （白2,白2） 所以搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球事件的样本空间共有25个样本点，它们出现的可能性相同， 其中满足事件“2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球”的样本点有12个，所以. 【题型8】比赛获胜概率与游戏公平性相关问题 典型例题 【例题1】（23-24高一下·广东广州·期末）甲、乙、丙三名同学进行羽毛球比赛，每局比赛两人对战，另一人轮空，没有平局，每局胜者与此局轮空者进行下一局的比赛．约定先赢两局者获胜，比赛随即结束，各局比赛结果互不影响，已知每局比赛甲胜乙的概率为，乙胜丙的概率为，甲胜丙的概率为． (1)若第一局由乙丙对战，求甲获胜的概率；(2)若第一局由甲乙对战，求甲获胜的概率． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）甲获胜有两种情况，分别计算出概率，再相加即可； （2）甲获胜有三种情况，分别计算出概率，再相加即可. 【详解】（1）第一局由乙丙对战，甲获胜有两种情况： ①乙丙对战乙胜，乙甲对战甲胜，甲丙对战甲胜，则概率为； ②乙丙对战丙胜，丙甲对战甲胜，甲乙对战甲胜，则概率为； 综上，甲获胜的概率为. （2）若第一局甲乙对战，则甲获胜有三种情况： ①甲乙对战甲胜，甲丙对战甲胜，概率为， ②甲乙对战甲胜，甲丙对战丙胜，丙乙对战乙胜，乙甲对战甲胜的概率为， ③甲乙对战乙胜，乙丙对战丙胜，丙甲对战甲胜，乙甲对战甲胜的概率为， 所以最终甲获胜的概率为. 【例题2】计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响. （1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？ （2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率. 【分析】（1）分别计算三者获得合格证书的概率，比较大小即可（2）根据互斥事件的和,列出三人考试后恰有两人获得合格证书事件，由概率公式计算即可求解. 【详解】（1）设“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则，，. 因为，所以丙获得合格证书的可能性最大. （2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，则. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·湖北武汉·期末）甲、乙两人进行乒乓球对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，且比赛结束，通过分析甲、乙过去比赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球. (1)求该局打4个球甲赢的概率；(2)求该局打5个球结束的概率. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）先设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲赢为事件B，然后分析这4个球的发球者及输赢者，即可得到所求事件的构成，利用相互独立事件的概率计算公式即可求解； （2）先将所求事件分成甲赢与乙赢这两个互斥事件，再分析各事件的构成，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可求得概率. 【详解】（1）设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲赢为事件B，该局打4个球甲赢为事件C， 由题知，，，则， 所以， 所以该局打4个球甲赢的概率为. （2）设该局打5个球结束时甲赢为事件D，乙赢为事件E，打5个球结束为事件F，易知D，E为互斥事件，，，， 所以， ， 所以，所以该局打5个球结束的概率为. 【巩固练习2】某校象棋社团组织了一场象棋对抗赛，参与比赛的40名同学分为10组，每组共4名同学进行单循环比赛．已知甲、乙、丙、丁4名同学所在小组的赛程如表．规定：每场比赛获胜的同学得3分，输的同学不得分，平局的2名同学均得1分，三轮比赛结束后以总分排名，每组总分排名前两位的同学可以获得奖励．若出现总分相同的情况，则以抽签的方式确定排名（抽签的胜者排在负者前面），且抽签时每人胜利的概率均为．假设甲、乙、丙3名同学水平相当，彼此间胜、负、平的概率均为．丁同学的水平较弱，面对任意一名同学时自己胜、负、平的概率都分别为．每场比赛结果相互独立． 第一轮 甲—乙 丙—丁 第二轮 甲—丙 乙—丁 第三轮 甲—丁 乙—丙 (1)求丁同学的总分为5分的概率； (2)已知三轮比赛中丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局，求甲同学能获得奖励的概率． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）丁同学总分为5分，则丁同学三轮比赛结果为一胜两平， 记第轮比赛丁同学胜、平的事件分别为，， 丁同学三轮比赛结果为一胜两平的事件为， 则， 即丁同学的总分为5分的概率为． （2）由于丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局， 则在第二、三轮比赛中，丁同学对战乙、甲同学均获胜， 故丁同学的总分为7分，且同丁同学比赛后，甲、乙、丙三人分别获得0分、0分、1分， 若甲同学获得奖励，则甲最终排名为第二名． ①若第一、二轮比赛中甲同学均获胜，则第三轮比赛中无论乙、丙两位同学比赛结果如何， 甲同学的总分为6分，排第二名，可以获得奖励，此时的概率． ②若第一轮比赛中甲同学获胜，第二轮比赛中甲、丙2名同学平局， 第三轮比赛中乙、丙2名同学平局或乙同学获胜，甲同学的总分为4分，排第二名， 可以获得奖励，此时的概率． ③若第一轮比赛中甲、乙2名同学平局，第二轮比赛中甲同学获胜， 第三轮比赛中当乙、丙2名同学平局时，甲同学的总分为4分，排第二名， 可以获得奖励，此时的概率 第三轮比赛中当乙、丙同学没有产生平局时，甲同学与第三轮比赛乙、丙中的胜者的总分均为4分， 需要进行抽签来确定排名，当甲同学抽签获胜时甲同学排第二名，可以获得奖励， 此时的概率． 综上，甲同学能获得奖励的概率 【巩固练习3】已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等） 现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛. （1）由1，2，3，4，5，6可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来. （2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由. 【分析】（1）根据定义一一列举出即可； （2）由（1）根据古典概型的概率计算公式分别计算概率即可判断. 【详解】解：（1）由题意知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数共有20个. 分别是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456. （2）不公平由（1）知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”有20个，记“甲参加数学竞赛”为事件A，记“乙参加数学竞赛”为事件B.则事件A含有基本事件有：124，134，234，126，136，146，156，236，246，256，346，356，456共13个. 由古典概型计算公式，得 ， 又A与B对立，所以， 所以.故选取规则对甲、乙两名学生不公平. 【题型9】综合大题专练 典型例题 【例题1】（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）嘉兴市期末测试中数学多选题评分标准如下：若某试题有两个正确选项，选对一个得3分，选对两个得6分，有错选得0分；若该试题有三个正确选项，选对一个得2分，选对两个得4分，三个都选对得6分，有错选得0分，小明同学正在做一道数学多选题（多选题每题至少选一项且不能全选，假设每个选项被选到的概率是等可能的），请帮助小明求解以下问题： (1)若该多选题有两个正确选项，在完全盲猜（可以选一个选项、可以选两个选项、也可以选三个选项）的情况下，求小明得6分的概率； (2)若该多选题有三个正确选项，小明已经判定A正确（正确答案中有A选项，且A必选）的情况下，求小明得分大于等于4分的概率． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）（2）根据题意利用列举法结合古典概型即可得解. 【详解】（1）设总选项个数为，记事件“小明得6分”，选项个数为， 假设正确选项为AB，则， 列举法：单选项有A，B，C，D共计4个， 双选项有AB，AC，AD，BC，BD，CD共计6个， 三选项有ABC，ACD，ABD，BCD共计4个， 个，； （2）设总选项个数为，记事件“小明得分大于等于4分”，选项个数为， 假设ABC为答案，小明已经判定A正确（正确答案中有A选项且小明A项必选）的情况下， 列举法：单选项有A共计1个，且仅得2分， 双选项有AB，AC，AD共计3个，其中2个得4分， 三选项有ABC，ACD，ABD共计3个，其中1得6分， ，，． 【例题2】（23-24高一下·广东广州·期末）为普及天文知识，某校开展了“天文知识竞赛”活动，共有1000名学生参加此次竞赛活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计他们的成绩，其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)估计参加这次竞赛的学生成续的第75百分位数； (2)若在抽取的80名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从6人中选择2人作为学生代表，求被选中的2人均为航天达人的概率； (3)已知组的方差为12，组的方差为8，试估计参加此次竞赛的学生不低于80分的成绩方差（结果保留整数）； 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）根据百分位数计算规则计算可得； （2）先按照分层抽样求出各层人数，再利用列举法结合古典概型即可得解. （3）利用分层抽样的方差公式计算可求方差. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，成绩在内的频率为， 成绩在内的频率为， 成绩在内的频率为， 成绩在内的频率为， 成绩在内的频率为， 所以成绩在分以下的学生所占的比例为， 成绩在分以下的学生所占的比例为， 所以成绩的第分位数一定在内，即， 因此估计参加这次竞赛的学生成绩的百分位数为； （2）因为，，， 所以从成绩在，，内的学生中分别抽取了人，人，人， 其中有人为航天达人，设为，有人不是航天达人，设为， 则从人中选择人作为学生代表， 有， 共种， 其中人均为航天达人为共种， 所以被选中的人均为航天达人的概率为． （3）内的频率为，内的频率为， 内的平均数为，内的平均数为， 内的平均数为， 又组的方差为12，组的方差为8， 所以这次竞赛的学生不低于80分的成绩方差为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·广东惠州·期末）为了研究学生每天总结整理数学错题情况，某课题组在我市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时总结整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内总结整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上总结整理数学错题视为“经常总结整理”，少于4天视为“不经常总结整理”.已知数学成绩优秀的学生中，经常总结整理错题的学生占70%. 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常总结整理 不经常总结整理 合计 (1)根据图1、图2中的数据，补全表格； (2)求图1中m的值及学生期中考试数学成绩的第65百分位数； (3)抽取的100名学生中按“经常总结整理错题”与“不经常总结整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈；求这2名同学均来自“经常总结整理错题”的概率. 【答案】(1)表格见详解；(2)；120；(3) 【分析】（1）根据题中数据补全表格； （2）根据频率和为1求得，再结合百分位数的定义列式求解； （3）分别求相应的人数，利用列举法结合古典概型分析求解. 【详解】（1）数学成绩优秀的有人，不优秀的人人， 经常整理错题的有人， 不经常整理错题的是人，经常整理错题且成绩优秀的有人， 所以表格为 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理 35 25 60 不经常整理 15 25 40 合计 50 50 100 （2）由题意可知每组频率依次为， 则，解得； 因为，， 设第65百分位数为，可知， 则，解得， 所以学生期中考试数学成绩的第65百分位数为120. （3）由题意可知：样本中“经常总结整理错题”的人数为，设为， “不经常总结整理错题” 的人数为，设为， 从这5名学生中随机抽取2人，则样本空间，可知， 设这2名同学均来自“经常总结整理错题”为事件M，则，即， 所以. 【巩固练习2】（23-24高一下·浙江宁波·期末）“数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话.某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情，特举办数学节活动.在活动中，共有20道数学问题，满分100分在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：，，……，，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中a的值，并估计该校全体学生这次数学成绩的中位数； (2)活动中，甲、乙、丙三位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，丙同学答对了n道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同. （i）任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率； （ii）任选一道数学问题，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为，求n的值. 【答案】(1)，75；(2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据频率之和为即可求出，根据频率分布直方图中中位数的求法求中位数即可； （2）（i）根据古典概型结合相互独立事件的乘法公式求解即可； （ii）根据相互独立事件的乘法公式及对立事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图有， 解得， 因为，， 所以中位数在区间内，设为x， 则有，得， 所以估计该校全体学生这次数学成绩的中位数为75； （2）设 “任选一道题，甲答对”，“任选一道题，乙答对”， “任选一道题，丙答对”， 则由古典概型概率计算公式得：，，， 所以有，，， （i）记 “甲、乙两位同学恰有一人答对”，则有，且有与互斥， 因为每位同学独立作答，所以A，B互相独立，则A与，与B，与均相互独立， 所以 ，所以任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率； （ii）记“甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对”，则，所以，解得：. 【巩固练习3】（23-24高一下·湖北武汉·期末）某市举办了党史知识竞赛，从中随机抽取部分参赛选手，统计成绩后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图.    (1)试估计全市参赛者成绩的第40百分位数（保留小数点后一位）和平均数（单位：分）； (2)若用按比例分配的分层随机抽样的方法从，，三层中抽取一个容量为6的样本，再从这6人中随机抽取两人.求抽取的两人都及格（大于等于60分为及格）的概率. 【答案】(1)；；(2) 【分析】（1）由频率分布直方图计算可得,再借助百分位数的定义与平均数定义计算即可得； （2）先借助分层随机抽样定义计算出从，，三层中抽取的人数，并给抽取出的人数进行编号，结合古典概型公式，计算出所有可能的样本空间数即符合要求的样本空间数即可得. 【详解】（1），则， ；， 故40百分位数在层，则40百分位数为， 平均数； （2）因为按比例分配的分层随机抽样， 故，，三层中抽取的样本量分别为： ； ； 从这6人中随机抽取两人，记中抽取的人编号为1， 抽取的人编号为2、3， 抽取的人编号为4、5、6， 记事件 “抽取的两人都及格”， ， 所以；，所以； . 【巩固练习4】（23-24高一下·安徽·期末）立德中学高一（1）班某次数学质量检测（满分150分）的统计数据如下表： 性别 参加考试人数 平均成绩 标准差 男 30 100 16 女 20 90 19 (1)按男女比例，采用分层抽样在该班级抽取了5人，现从这5人中随机抽2人，求抽到的2人中至少有一个男生的概率； (2)求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）. 【答案】(1) (2)平均数为，标准差为； 【分析】（1）由分层抽样比可得男女生人数，再由古典概型概率计算公式可得结果； （2）利用分样本与总样本的平均数与方差的关系式代入计算可得结果. 【详解】（1）根据分层抽样比例可得抽取的5人中3名男生，2名女生； 记3名男生分别为，2名女生分别为； 现从这5人中随机抽2人的结果为： ，共10种； 其中至少有一个男生共有9种； 所以抽到的2人中至少有一个男生的概率为 （2）由分层样本与总体样本平均数可得该班参加考试学生成绩的平均数为： ；易知男生样本方差为，女生样本方差为； 则总体样本方差为，可得标准差为 【巩固练习5】（23-24高一下·广东深圳·期末）某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. (1)由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数: (2)为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率: (3)现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差. 【答案】(1)，85；(2) (3)得分在内的平均数为81，方差为26.8. 【分析】（1）首先根据频率和为1求出，再根据百分数公式即可得到答案； （2）求出各自区间人数，列出样本空间和满足题意的情况，根据古典概型公式即可； （3）根据方差定义，证明出分层抽样的方差公式，代入计算即可. 【详解】（1）由题意得:，解得， 设第60百分位数为，则， 解得，第60百分位数为85. （2）由题意知，抽出的5位同学中，得分在的有人，设为、，在的有人，设为、、. 则样本空间为. 设事件“两人分别来自和，则， 因此，所以两人得分分别来自和的概率为. （3）由题意知，落在区间内的数据有个， 落在区间内的数据有个. 记在区间的数据分别为，平均分为，方差为； 在区间的数据分别为为，平均分为，方差为； 这20个数据的平均数为，方差为. 由题意，，且， 则. 根据方差的定义， 由， 可得 故得分在内的平均数为81，方差为26.8. 5 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$【重难点突破】2024-2025学年高一下学期数学常考题专练（新高考） 专题6-1 概率问题综合（古典概型，相互独立，大题专练） 总览 题型·解读 【题型1】事件的关系及运算 【题型2】古典概型的概率求解 【题型3】相互独立事件的概率计算 【题型4】相互独立事件的判断，互斥与独立的综合 【题型5】概率的基本性质及其应用 【题型6】“正难则反”思想 【题型7】“放回”与“不放回”的概率问题 【题型8】比赛获胜概率与游戏公平性相关问题 【题型9】综合大题专练 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】事件的关系及运算 基础知识 (1)两个事件的关系和运算 事件的关系或运算 含义 符号表示 图形表示 包含 A发生导致B发生 并事件（和事件） A与B至少一个发生 或 交事件（积事件） A与B同时发生 或 互斥（互不相容） A与B不能同时发生 互为对立 A与B有且仅有一个发生 ， （2）多个事件的和事件、积事件 类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.对于多个事件A，B，C，，A∪B∪C∪ (或 A+B+C+)发生当且仅当A，B，C，中至少一个发生，A∩B∩C∩ (或ABC)发生当且仅当A，B，C，同时发生. 典型例题 【例题1】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）如果，是互斥事件，下列选项正确的是（    ） A．事件与不互斥 B． C．与互斥 D． 【例题2】抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中；“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4” 下列结论是判断错误的是  （    ） A．与互斥 B．， C． D．，为对立事件 巩固练习 题型 【巩固练习1】掷一枚骰子，设事件：落地时向上的点数是奇数；：落地时向上的点数是3的倍数；：落地时向上的点数是2；：落地时向上的点数是2的倍数，则下列说法中，错误的是（    ） A．和有可能同时发生 B．和是对立事件 C．和是对立事件 D．和是互斥事件 【巩固练习2】从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取两个球，下列各组事件中，是互斥事件的是（    ） A．“至少一个白球”与“至少一个黄球” B．“恰有一个白球”与“恰有两个白球” C．“至多一个白球”与“至多一个黄球” D．“至少一个黄球”与“都是黄球” 【巩固练习3】（多选）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为i”，其中i＝1，2，3，4，5，6；“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4”.下列结论判断正确的是（    ） A．与互斥 B． C． D．为对立事件 【题型2】古典概型的概率求解 解题技巧 1．古典概型的判断 (1)事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. (2)古典概型的定义 我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等. (3)古典概型的判断标准 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所有的试验都是古典概型. 下列三类试验都不是古典概型： ①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能; ②样本点(基本事件)个数无限，但等可能； ③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能. 2．古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)==，其中，n(A)和n()分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数. 3．求样本空间中样本点个数的方法 (1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x, y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同. 典型例题 【例题1】（23-24高一下·湖北武汉·期末）掷一枚质地均匀的骰子3次，则三个点数之和大于14的概率为（    ） A． B． C． D． 【例题2】已知一个古典概型的样本空间和事件和，若，则 . 【例题3】（23-24高一下·山东济南·期末）某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.为了得到该敏感性问题的诚实反应，设计如下方案：每个被调查者先后抛掷两颗骰子，调查中使用两个问题：①第一颗骰子的点数是否比第二颗的大？②你是否经常吸烟？两颗骰子点数和为奇数的学生如实回答第一个问题，两颗骰子点数和为偶数的学生如实回答第二个问题.回答“是”的学生往盒子中放一个小石子，回答“否”的学生什么都不用做.若最终盒子中小石子的个数为57，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（    ） A．0.035 B．0.07 C．0.105 D．0.14 巩固练习 题型 【巩固练习1】从写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任选2张，其上数字和为偶数的概率是 ． 【巩固练习2】（23-24高一下·湖南长沙·期末）有能力互异的3人应聘同一公司，他们按照报名顺序依次接受面试，经理决定“不录用第一个接受面试的人，如果第二个接受面试的人比第一个能力强，就录用第二个人，否则就录用第三个人”，记该公司录用到能力最强的人的概率为，录用到能力中等的人的概率为，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（23-24高一下·湖南·期末）冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、猜想等，其描述为：任一正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1．例如：给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1．若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则运算次数均为奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 【题型3】相互独立事件的概率计算 基础知识 事件的相互独立性 (1)定义 对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. (2)性质：若事件A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立. (3)应用 因为“A与B相互独立”是“P(AB)=P(A)P(B)”的充要条件，所以如果已知两个事件是相互独立的，则由它们各自发生的概率可以迅速得到它们同时发生的概率.在实际问题中，我们常常依据实际背景去判断事件之间是否存在相互影响，若认为事件之间没有影响，则认为它们相互独立. (4)推广 两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈)个事件的相互独立性，即若事件，，，相互独立，则这n个事件同时发生的概率P()=P()P()P(). 典型例题 【例题1】小方每次投篮的命中率为，假设每次投篮相互独立，则他连续投篮2次，恰有1次命中的概率为（    ） A． B． C． D． 【例题2】甲、乙两个小朋友各有一个不透明的袋子，甲小朋友的袋子中装有3个白球和2个黄球，乙小朋友的袋子中装有2个白球和3个黄球，甲、乙两个小朋友分别从自己的袋子中摸出一个球，若两个球的颜色相同，则甲小朋友获胜，被两个小朋友摸出的两个小球放入甲小朋友的袋子中，否则乙小朋友获胜，被两个小朋友摸出的两个小球放入乙小朋友的袋子中．两个小朋友在摸球时互不影响．根据上述规则，在第二次摸球时，乙小朋友获胜的概率为 ． 巩固练习 题型 【巩固练习1】甲、乙、丙三人参加县里的英文演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（ ） A． B． C． D． 【巩固练习2】在某次学科知识竞赛的初赛中，共有两道试题，两道题都答对者才能进入决赛．现有甲、乙、丙三名学生去参加初赛，他们答对第一题的概率分别是，，，答对第二题的概率分别是，，．已知甲和丙都答对第一题的概率为，且他们三人是否答对各道题之间是互不影响的． (1)求甲进入决赛的概率；(2)求甲、乙、丙这三名学生中恰有两人进入决赛的概率． 【巩固练习3】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．“星队”在两轮活动中猜对所有成语的概率为． (1)求的值； (2)求“星队”在两轮活动中，猜对3个成语的概率； (3)若某人在两轮活动中至少猜对1个成语，则该人可获得“优秀队员”称号，求“星队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号的概率． 【题型4】相互独立事件的判断，互斥与独立的综合 基础知识 互斥事件与相互独立事件的辨析 (1)互斥事件与相互独立事件都描述的是两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.用表格表示如下： 相互独立事件 互斥事件 判断方法 一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 两个事件不可能同时发生，即AB=. 概率公式 若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B). 若事件A与B互斥，则P（A∪B）=P（A）+P（B），反之不成立. (2)已知事件A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)，我们有如下结论： 事件 表示 概率（A，B互斥） 概率（A，B相互独立） A，B中至少有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) 1P()P()或 P(A)+P(B)P(AB) A，B都发生 P(AB) 0 P(A)P(B) A，B都不发生 P() 1[P(A)+P(B)] P()P() A，B恰有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) P(A) P()+ P()P(B) A，B中至多有一个发生 P(∪A∪B) 1 1P(A)P(B) 【例题1】（23-24高一下·广东广州·期末）已知一个古典概型的样本空间和事件A，B，满足，，，，则下列说法正确的是（   ） A．事件A与事件B互斥 B． C． D．事件A与事件B相互独立 【例题2】（多选）某人连续掷两次骰子，表示事件“第一次掷出的点数是2”，表示事件“第二次掷出的点数是3”．表示事件“两次掷出的点数之和为5”，表示事件“两次掷出的点数之和为9”．则（    ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与不相互独立 D．与不相互独立 【例题3】（23-24高一下·江苏南京·期末）从甲、乙2名男生，丙、丁2名女生中随机选两个人参加某个比赛，A表示事件“甲被选中参加比赛”，B表示事件“乙没被选中参加比赛”，C表示事件“被选中的两个人性别相同”，则（    ） A．A与B互斥 B．A与B独立 C．A与C互斥 D．A与C独立 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·广东深圳·期末）（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记下每次朝上的点数，设事件 “第一次的点数不大于3 ”， “第二次的点数不小于4 ”， “两次的点数之和为3的倍数”，则下列结论正确的是（      ） A．事件发生的概率 B．事件与事件相互独立 C．事件 发生的概率 D．事件与事件对立 【巩固练习2】（高一下·湖北武汉·期末）伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是每次试验只有两种可能结果．若连续抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记录这n次实验的结果，设事件M＝“n次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件N＝“n次实验结果中，最多只出现一次反面”，则下列结论正确的是（    ）． A．若，则M与N不互斥 B．若，则M与N相互独立 C．若，则M与N互斥 D．若，则M与N相互独立 【巩固练习3】（23-24高一下·广东东莞·期末）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件“第一次朝上面的数字是奇数”，则下列事件中与相互独立的是（    ） A．第一次朝上面的数字是偶数 B．第一次朝上面的数字是1 C．两次朝上面的数字之和是8 D．两次朝上面的数字之和是7 【题型5】概率的基本性质及其应用 基础知识 对任意两个事件与,如果成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立. （1）如果与相互独立,则与，与，与也相互独立. （2）与相互独立事件有关的概率的计算公式如下表: 事件相互独立 概率计算公式 同时发生 同时不发生 至少有一个不发生 至少有一个发生 恰有一个发生 典型例题 【例题1】（23-24高一下·安徽·期末）（多选）已知随机事件A，B的概率都大于0，表示事件A的对立事件，则（    ） A．当时，相互独立 B．当时， C．当时， D．当时， 【例题2】（23-24高一下·江苏南通·期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（    ） A．A与B互斥 B．A与C相互独立 C． D． 【巩固练习1】（23-24高一下·山东济南·期末）（多选）已知有限集为随机试验的样本空间，事件为的子集，则事件相互独立的充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（23-24高一下·广东广州·期末）设A，B易两个随机事件，且，则下列结论正确的是（    ） A．若A，B是互斥事件，则 B．若，则 C．若A，B是相互独立事件，则 D．若，则A，B是相互独立事件 【巩固练习3】已知事件A，B，C的概率均不为0，则的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习4】（多选）已知，是随机事件，若，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．，为对立事件 C．，相互独立 D． 【题型6】“正难则反”思想 基础知识 正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算. 典型例题 【例题1】甲乙两人独立的解同一道题，甲乙解对的概率分别是，，那么至少有人解对的概率是（    ） A． B． C． D． 【例题2】假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有个小孩的家庭，此家庭是随机选择的，则下列说法正确的是（　　） A．事件“该家庭个小孩中至少有个女孩”和事件“该家庭个小孩中至少有个男孩”是互斥事件 B．事件“该家庭个孩子都是男孩”和事件“该家庭个孩子都是女孩”是对立事件 C．该家庭个小孩中只有个男孩的概率为 D．该家庭个小孩中至少有2个男孩的概率为 巩固练习 题型 【巩固练习1】将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】甲、乙、丙三人参加县里的英文演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（ ） A． B． C． D． 【巩固练习3】第十五届中国国际航空航天博览会将于2024年11月在珠海国际航展中心组织，某城市为了了解居民对航空航天知识的认知程度，针对不同社区不同年龄和不同职业的人举办了一次“航空航天”知识竞赛，满分100分（90分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图： (1)根据频率分布直方图，估计这人年龄的第85百分位数； (2)现从以上各组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取20人，担任“航空航天”的宣传使者.若有甲（年龄31），乙（年龄34），丙（年龄42）三人已确定入选宣传使者，现计划从第三组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙、丙三人中至少有一人被选上的概率. 【题型7】“放回”与“不放回”的概率问题 典型例题 【例题1】一个袋中有6个大小和质地相同的球，其中红球4个，黑球2个，现从中不放回地依次随机摸取2次，每次摸出1个球，则第二次摸出的球是红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【例题2】（23-24高一下·广东东莞·期末）某商场举办购物抽奖活动，规则如下：每次抽奖时，从装有2个白球和3个红球（球除颜色外，完全相同）的抽奖箱中，不放回地依次随机摸出2个球，若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则不中奖；商场根据购物金额给予顾客一次或多次抽奖机会，每次抽奖之间相互独立. (1)若某顾客有一次抽奖机会，求其中奖的概率； (2)若某顾客有两次抽奖机会，求其至少有一次中奖的概率. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·河南郑州·期末）现有6个相同的盒子，里面均装有6张除图案外其它无区别的卡片，第个盒子中有k张龙形图案的卡片，张兔形图案的卡片．现将这些盒子混合后，任选其中一个盒子，并且从中连续取出两张卡片，每次取后不放回，若第二次取出的卡片为兔形图案的概率为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【巩固练习2】从2名男生（记为和）和3名女生（记为和）组成的总体中，任意依次抽取2名学生. (1)不放回简单随机抽样求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率. (2)有放回简单随机抽样求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率. 【巩固练习3】—只不透明的袋子中装有2个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同. (1)搅匀后从中任意摸出2个球，求这2个都球是白球的概率； (2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率. 【题型8】比赛获胜概率与游戏公平性相关问题 典型例题 【例题1】（23-24高一下·广东广州·期末）甲、乙、丙三名同学进行羽毛球比赛，每局比赛两人对战，另一人轮空，没有平局，每局胜者与此局轮空者进行下一局的比赛．约定先赢两局者获胜，比赛随即结束，各局比赛结果互不影响，已知每局比赛甲胜乙的概率为，乙胜丙的概率为，甲胜丙的概率为． (1)若第一局由乙丙对战，求甲获胜的概率；(2)若第一局由甲乙对战，求甲获胜的概率． 【例题2】计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响. （1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？ （2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·湖北武汉·期末）甲、乙两人进行乒乓球对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，且比赛结束，通过分析甲、乙过去比赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球. (1)求该局打4个球甲赢的概率；(2)求该局打5个球结束的概率. 【巩固练习2】某校象棋社团组织了一场象棋对抗赛，参与比赛的40名同学分为10组，每组共4名同学进行单循环比赛．已知甲、乙、丙、丁4名同学所在小组的赛程如表．规定：每场比赛获胜的同学得3分，输的同学不得分，平局的2名同学均得1分，三轮比赛结束后以总分排名，每组总分排名前两位的同学可以获得奖励．若出现总分相同的情况，则以抽签的方式确定排名（抽签的胜者排在负者前面），且抽签时每人胜利的概率均为．假设甲、乙、丙3名同学水平相当，彼此间胜、负、平的概率均为．丁同学的水平较弱，面对任意一名同学时自己胜、负、平的概率都分别为．每场比赛结果相互独立． 第一轮 甲—乙 丙—丁 第二轮 甲—丙 乙—丁 第三轮 甲—丁 乙—丙 (1)求丁同学的总分为5分的概率； (2)已知三轮比赛中丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局，求甲同学能获得奖励的概率． 【巩固练习3】已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等） 现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛. （1）由1，2，3，4，5，6可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来. （2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由. 【题型9】综合大题专练 典型例题 【例题1】（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）嘉兴市期末测试中数学多选题评分标准如下：若某试题有两个正确选项，选对一个得3分，选对两个得6分，有错选得0分；若该试题有三个正确选项，选对一个得2分，选对两个得4分，三个都选对得6分，有错选得0分，小明同学正在做一道数学多选题（多选题每题至少选一项且不能全选，假设每个选项被选到的概率是等可能的），请帮助小明求解以下问题： (1)若该多选题有两个正确选项，在完全盲猜（可以选一个选项、可以选两个选项、也可以选三个选项）的情况下，求小明得6分的概率； (2)若该多选题有三个正确选项，小明已经判定A正确（正确答案中有A选项，且A必选）的情况下，求小明得分大于等于4分的概率． 【例题2】（23-24高一下·广东广州·期末）为普及天文知识，某校开展了“天文知识竞赛”活动，共有1000名学生参加此次竞赛活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计他们的成绩，其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)估计参加这次竞赛的学生成续的第75百分位数； (2)若在抽取的80名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从6人中选择2人作为学生代表，求被选中的2人均为航天达人的概率； (3)已知组的方差为12，组的方差为8，试估计参加此次竞赛的学生不低于80分的成绩方差（结果保留整数）； 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·广东惠州·期末）为了研究学生每天总结整理数学错题情况，某课题组在我市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时总结整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内总结整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上总结整理数学错题视为“经常总结整理”，少于4天视为“不经常总结整理”.已知数学成绩优秀的学生中，经常总结整理错题的学生占70%. 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常总结整理 不经常总结整理 合计 (1)根据图1、图2中的数据，补全表格； (2)求图1中m的值及学生期中考试数学成绩的第65百分位数； (3)抽取的100名学生中按“经常总结整理错题”与“不经常总结整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈；求这2名同学均来自“经常总结整理错题”的概率. 【巩固练习2】（23-24高一下·浙江宁波·期末）“数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话.某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情，特举办数学节活动.在活动中，共有20道数学问题，满分100分在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：，，……，，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中a的值，并估计该校全体学生这次数学成绩的中位数； (2)活动中，甲、乙、丙三位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，丙同学答对了n道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同. （i）任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率； （ii）任选一道数学问题，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为，求n的值. 【巩固练习3】（23-24高一下·湖北武汉·期末）某市举办了党史知识竞赛，从中随机抽取部分参赛选手，统计成绩后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图.    (1)试估计全市参赛者成绩的第40百分位数（保留小数点后一位）和平均数（单位：分）； (2)若用按比例分配的分层随机抽样的方法从，，三层中抽取一个容量为6的样本，再从这6人中随机抽取两人.求抽取的两人都及格（大于等于60分为及格）的概率. 【巩固练习4】（23-24高一下·安徽·期末）立德中学高一（1）班某次数学质量检测（满分150分）的统计数据如下表： 性别 参加考试人数 平均成绩 标准差 男 30 100 16 女 20 90 19 (1)按男女比例，采用分层抽样在该班级抽取了5人，现从这5人中随机抽2人，求抽到的2人中至少有一个男生的概率； (2)求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）. 【巩固练习5】（23-24高一下·广东深圳·期末）某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. (1)由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数: (2)为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率: (3)现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差. 5 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$