1.4 空间向量的应用（9大题型）（精练）-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第一册）

1.4 空间向量的应用 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：利用定义法求平面的法向量 2 题型二：利用向量研究线线平行、线面平行与面面平行问题 5 题型三：利用向量研究线线垂直、线面垂直与面面垂直问题 9 题型四：利用向量法解决异面直线所成的角问题 13 题型五：利用向量法解决线面角问题 15 题型六：利用向量法解决二面角问题 20 题型七：点到直线的距离 25 题型八：点、直线、平面到平面的距离 27 题型九：求异面直线的距离 30 02 重难点拓展 35 题型一：利用定义法求平面的法向量 1．已知，，求平面的一个法向量 【解析】设平面的一个法向量为， 则，令，得，，所以. 故可得平面的一个法向量. 2．如图所示，在直三棱柱中，，，棱，、分别为、的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题： (1)求的模； (2)求的值； (3)求证：是平面CMN的一个法向量. 【解析】（1）因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立 如下图所示的空间直角坐标系， 则，，所以， 则. （2）依题意得、、、， 所以，，，， 又，， 所以，. （3）依题意得、、、、， 则，，， 所以，，， 则，，即，， 又因为，平面，所以平面. 是平面的一个法向量. 3．如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，PD＝AD＝DC，底面ABCD为正方形，E为PC的中点，点F在PB上，问点F在何位置时，为平面DEF的一个法向量?    【解析】以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设DA＝2，则， ∴，, ∵，∴， 设，，∴，∴ ∴，∴ ∵＝0，∴，∴， ∴F为线段PB的一个三等分点(靠近P点)． 4．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面PCD的一个法向量. 【解析】如图所示，建立空间直角坐标系A－xyz，则P(0，0，1)，C(1，，0)， 所以即为直线PC的一个方向向量. 设平面PCD的一个法向量为＝(x，y，z). 因为D(0，，0)，所以＝(0，，－1). 则,即令y＝1，则z＝，，则 所以平面PCD的一个法向量为. 题型二：利用向量研究线线平行、线面平行与面面平行问题 5．如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，点为的中点.求证：平面. 【解析】平面平面， 平面平面， 平面，所以平面， 则以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则 . ， 设平面的法向量为，则， 令，解得：，所以， 又，即， 又平面，所以平面. 6．如图，在平行六面体中，，，分别是，，的中点，请选择恰当的基向量证明： (1)； (2)平面平面． 【解析】（1）取基， 因为 ， ， 所以， 又，无公共点，所以． （2）因为 ， ， 所以， 又，无公共点， 所以． 又平面，平面， 所以平面． 又由（1）知， 同理可得平面， 又， 平面， 所以平面平面． 7．在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．    【解析】因为，，是棱的中点， 所以，所以为正三角形． 因为为等腰梯形，，， 所以． 取的中点，连接，则，所以． 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，，， 所以，，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 8．如图，在斜三棱柱中，，四边形为矩形，是的中点，是与的交点．在线段上是否存在点，使得平面？ 【解析】因为，所以， 因为四边形为矩形，所以， 又平面,平面, 所以平面，又平面，所以， 因为，所以， 由余弦定理得， 即，所以，所以， 又因为平面,平面, 所以平面， 所以以为原点，建立如图空间直角坐标系， 则， 则，， 设， 所以，， 设平面的法向量为， 则即令，则， 要证平面，则，即，解得， 所以，所以． 故在线段上存在点，使得平面． 题型三：利用向量研究线线垂直、线面垂直与面面垂直问题 9．如图所示，在直二面角中，四边形是边长为2的正方形，，F为上的点，且平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【解析】（1）∵为正方形，∴， ∵二面角为直二面角，∴平面， 以线段的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 过点平行于的直线为轴，建立如图空间直角坐标系， 则，，，， 设()， ∵为上的点，， ∴设，∴， ∴，，， ∵平面，、平面，∴， 且，解得，，∴，， 所以，，∴，∴， ∵平面，平面，∴， 又，、平面，∴平面； （2）由题意可知，平面的法向量为， 设面的法向量为，，， ∴且，取，则，， ∴，∴，∴平面平面. 10．（2025·高二·广东中山·期中）如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．证明：平面． 【解析】如图以D为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， ∵E，F分别为AB，的中点，∴， ，，， ∵，，∴， 又，平面， 平面． 11．（2025·高二·山东青岛·期末）如图，平行六面体的底面ABCD是菱形，且． (1)求的长； (2)求证：平面． 【解析】（1）设， 由于四边形ABCD为菱形，则，即， 所以，同理可得， 由题意可得， 所以； （2）因为， 所以， 所以，同理可证 又因为平面． 所以平面 12．如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形所在的平面互相垂直，已知，. (1)求证：； (2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1） 证明：∵平面平面，平面， ，平面，∴平面. ∵平面，∴， 过A作于H， 则， ∴，∴，∴. ∵，平面， ∴平面. ∵平面，∴. （2） 存在.理由：由（1）知，两两垂直， 以A为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 假设在线段BE上存在一点P满足题意，则易知点P不与点B，E重合， 设，则， 由，可求得. 设平面PAC的一个法向量为，则， 由， 可得， 即，令，则，所以为平面PAC的一个法向量. 又， 设平面BCEF的一个法向量为， 则，可得， 所以为平面BCEF的一个法向量. 当，即时，平面平面，故存在满足题意的P， 此时. 题型四：利用向量法解决异面直线所成的角问题 13．（2025·高二·江苏泰州·期中）空间四面体中，，，且，，则直线与直线所成角的余弦值为 【答案】 【解析】在空间四面体中，，， 将四面体补成长方体， 则，解得， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 因为为的中点，则，由，可得， 所以，， 所以. 因此，直线与直线所成角的余弦值为. 故答案为：. 14．（2025·高二·北京密云·期末）如图，在长方体中， ，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．    【答案】 【解析】以D为原点建立空间直角坐标系如图所示， 则， 所以， 则, 则异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 15．在正四面体中，点M在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【答案】 【解析】如图，在正方体中构造出正四面体，建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体边长为.因为， ∴，，，， ∴，， ， ∴异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 题型五：利用向量法解决线面角问题 16．如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，点E在棱PD上（除端点外），，． (1)证明：点是的中点； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）由平面，平面，所以； 又底面是正方形，所以； 因为，平面，所以平面； 又平面，所以， 因为，，平面， 可得平面，又平面， 所以，又因为， 可知点E是的中点； （2）根据题意可得两两垂直， 因此以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 设，则； 所以； 设平面的一个法向量为， 可得，令，可得； 即； 设直线与平面所成的角为， 则 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17．（2025·高二·广西·期中）如图，在四棱锥中，，，平面平面，，M，N分别是，的中点.    (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）∵，是的中点，∴， 又∵平面平面且交于，平面， ∴平面， 又平面，∴. （2）取的中点E，∵， ∴，，且，， ∴四边形是矩形，∴， 因此是正三角形，∴，，. 如图所示，建立空间直角坐标系   ，，，，， ∴，，， 设平面的法向量， 则有， 令，则，， 故为平面的一个法向量. 由 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18．（2025·高二·甘肃兰州·期中）如图，正方体的棱长为2，E是的中点． (1)求证：⊥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）连接，在正方体中有平面，又平面， 所以，又因为四边形是正方形，E是的中点， 所以，又,平面， 所以平面； （2）以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，由棱长为2， 则， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令得， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19．（2025·高二·广东惠州·期中）如图，在多面体中，平面平面四边形为正方形，四边形为梯形，且，，，点满足． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）因为平面，，平面， 所以，， 又，故AB，，两两垂直， 以A为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 因为，，，，， 所以，，，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，故， 因为， 即，而平面， 故CE平面； （2）设平面的法向量为， 则， 解得，令，则， 则，， ，，， 所以，， 设直线与平面所成角的大小为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 题型六：利用向量法解决二面角问题 20．（2025·高二·福建莆田·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，为中点，点在上，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； 【解析】（1）∵，，． ∴， ∴，即． 又∵，且，且直线均在平面内， ∴平面． （2）∵平面平面，平面平面． 又，平面， ∴平面，又因为面， ∴． 由(1)已证，且已知，以为原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，， ∴，，，， ∵E为的中点，∴， 又∵，∴， 设平面的法向量为，则， 令，则，，∴， 由(1)可知，平面， ∴平面的法向量为， ∴， ∴平面与平面夹角的余弦值为. 21．（2025·高二·北京·期中）长方体中，为棱的中点，，，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【解析】（1）连接，根据长方体的结构特征易知，即四点共面， 所以平面即为平面， 由为棱的中点，，，，则， 所以，且，则， 所以，则， 而平面，平面，则， 由都在平面内，则平面，即平面； （2）由题设，可构建如图示的空间直角坐标系，则， 由（1）知平面的一个法向量为， 又，，若是平面的一个法向量， 所以，取，则， 所以，即所求两个平面夹角的余弦值为. 22．（2025·高二·重庆·期中）如图，四棱锥中，底面为菱形，为的中点. (1)证明平面； (2)若在平面上的射影为中点，且，求平面与平面夹角的余弦值. 【解析】（1）连接，交于，连接，作图如下： 在菱形，因为，所以为的中点， 在中，因为分别为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）记的中点为，连接，由题意可知平面， 在菱形中，由，则，易知为等边三角形， 由为的中点，则，由平面， 则， 以为原点，分别以所在是直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图： 由，，则， 易知，则，且， 由图可得，，，， 则，， 设平面的法向量，由（1）易知， 则，令，则， 所以平面的一个法向量， 由图易知为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则. 23．蒙古包可以近似的看成是由一个圆柱跟一个圆锥拼接而成．如图，为某一个蒙古包的轴截面，，现沿直线将向上折起得到，得到四棱锥，且P点在平面上的射影在上，E为的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1） 设交于点，连接， 因为四边形是矩形，所以点是的中点，点是的中点， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）取中点，连接，由题意可知，平面平面， 故， 又因为平面平面，平面， 所以平面， 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 因为平面，所以可取平面的一个法向量为， 由于，所以， 所以， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，解得， 故为平面的法向量， 所以. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 题型七：点到直线的距离 24．（2025·高二·广东深圳·期末）已知，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，，则，， 所以点到直线的距离为：. 故选：D 25．在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 以D为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图， 则，，， ，则方向的单位向量， 那么， 所以F到直线AE的距离， 故选：D． 26．（2025·河南安阳·一模）如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，，，为线段上靠近的三等分点，点为的重心，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 根据题意，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 又点为的重心，所以， 则，， 则， 则， 所以点到直线的距离为. 故选：B 题型八：点、直线、平面到平面的距离 27．如图，正三棱柱中，是棱的中点，，点在上，且． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【解析】（1）如图，以为坐标原点，分别为轴所在直线，在平面内过作的垂线为轴所在直线， 则， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 因为，可知， 且平面，所以平面. （2）由（1）可知，，平面的法向量， 则点到平面的距离为， 所以点到平面的距离为. 28．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，与平面交于点F． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离． 【解析】（1）在正方体中，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 则，，，， 设平面ACE的法向量为， 则 则有，令，得， 可得， 设直线DE与平面ACE所成角为， 则有， 即直线与平面所成角得正弦值为； （2）由（1）可，点到平面ACE的距离为． 29．设正方体的棱长为2，求平面与平面之间的距离． 【解析】根据正方体的性质可知，由于平面， 平面，所以平面，同理可证得平面， 由于平面， 所以平面平面， 所以平面内的点到平面的距离即为所求． 如图建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以点到平面的距离． 题型九：求异面直线的距离 30．（2025·高二·浙江宁波·期末）如图，正四棱锥的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为 ． 【答案】 【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，则有： ，，，，， 可得： 设，且 则有：， 可得： 则有： 故 则当且仅当时， 故答案为： 31．如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，N是棱AD的中点，M是棱CC1上的点，且CC1=3CM，则直线BM与B1N之间的距离为 . 【答案】 【解析】正方体的棱长为1，如图，以D为坐标原点，所在方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系， 则B(1，1，0)，B1(1，1，1)，，，∴=(0，0，1)，，. 设直线BM与B1N的公垂线方向上的向量，由，， 得，令x=2，则z=6，y=-7，∴， 设直线BM与B1N之间的距离为d，则d===. 故答案为：. 32．在三棱锥中，，，.记的中点为，的中点为，则异面直线与的距离为 . 【答案】 【解析】三棱锥的三组对棱分别相等，因此三棱锥的外接平行六面体为长方体，将三棱锥放在长方体中，设长方体的长、宽、高分别为，，，且即解得 因此以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，，，. ，. 设垂直于和，所以 令，则，，所以. 又，所以异面直线与的距离. 故答案为： 33．在菱形中，，，将菱形沿对角线折成直二面角，折起后直线与间的距离为 . 【答案】 【解析】设，在菱形中，， 折起后，，， 由于二面角为直二面角，即平面平面， 平面平面，，平面，平面， 以为坐标原点，直线、、分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系. 在原菱形中，，，，， ，，，， 则，， 设，令，则. 令，则，，. 又，因此，与间的距离. 1．（2025·高二·广东广州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点，则平面到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由且知，四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面； 由且知，四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面.又平面， 所以平面， 则到平面的距离即为平面到平面的距离. 建立如图空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以，则点到平面的距离为， 即平面到平面的距离为. 故选：A 2．（2025·高二·甘肃平凉·期中）正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影， 所以面， 连接，，则且交于. 因为 面， 所以，. 所以以，，为 ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 因为， 则，，，，， 所以，. 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则有 ，即，取. 又因为， 所以异面直线与的距离. 所以异面直线与的距离为. 故选：B 3．（多选题）如图，已知正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（    ）    A．异面直线与的夹角的正弦值为1 B．平面 C．点与平面的距离为 D．直线与平面所成的角为 【答案】AB 【解析】以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， A：由，，则， 即，故异面直线与的夹角的正弦值为1，对； B：由，，则四边形为平行四边形， 所以，平面，平面，则平面，对； C：由，，， 若平面的一个法向量为， 所以，令，则， 所以点与平面的距离为，错； D：易知平面的一个法向量为，又， 设直线与平面的夹角为，则， 所以直线与平面所成的角不为，错. 故选：AB 4．（多选题）如图，在长方体中，是线段上的一动点，则以下命题正确的是（   ） A．平面 B．的最小值为 C．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D．B为球心，为半径的球面与侧面的交线长为 【答案】ABD 【解析】 如图连接，在长方体中，易知，， 面， ，面，同理可证面， ，面面，又平面， 平面，A正确. 如图所示，把面和面展开，线段就是的最小值， 设，， 易知， 在中，则， 在中，， 根据余弦两角和的公式有， 在中，， ，B正确. 如图所示，以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系，则，设， ， ，解得， ， 易知面的一个法向量， 所以直线与平面所成角的正弦值， 二次函数，在时有最大值，此时取得最小，最小值为，所以C错误. 如图所示，球与面的交线是，以为圆心，为半径的圆，弧长为，所以D正确. 故选：ABD. 5．（多选题）（2025·高二·重庆·期中）已知正方体的棱长为，分别是线段上的动点，且，下列说法正确的是（   ） A． B．直线与平面所成的角为定值 C．三棱锥的顶点都落在球的表面上，则球的最大半径为 D．当三棱锥的体积最大时，平面与平面的夹角的正切值为 【答案】ABD 【解析】对于A中，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设， 可得， 则， 则，所以，所以A正确； 对于B中，连接，在正方体中，可得， 且平面，且平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，且，平面， 所以平面，所以直线与平面所成的角为定值，所以B正确； 对于C中，三棱锥的顶点都落在球的表面上， 在正方体中，可得两两垂直， 所以三棱锥的外接球等价于补成的对应长方体的外接球， 其中对应长方体的长宽高分别为， 所以外接球的直径为，其中， 所以外接球半径的最小值为，所以C错误； 对于D中，由， 当时，三棱锥的体积最大，即是的中点时，体积最大， 取的中点，连接，可得， 在正方体中，可得平面， 因为平面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以为平面与平面所成的角， 在直角中，可得，所以D正确. 故选：ABD. 6．（2025·高二·福建莆田·期中）如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，F是半圆弧上（不含B，C）的动点，FG为圆柱的一条母线，点A在半圆柱下底面所在平面内，，． (1)求证：； (2)若平面ABE，求平面FOD与平面GOD夹角的余弦值. 【解析】（1）取弧中点，则，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 连接，在中，，，则， 于是， 设，则，其中，， 因此，即， 所以． （2）由平面平面，得， 又，则，而平面， 则平面，即为平面的一个法向量， ，由平面，得， 又，解得，此时， 设是平面的法向量，则， 取，得， 设是平面的法向量，则， 取，得， 则平面与平面夹角的余弦值为． 7．（2025·高二·湖南长沙·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，点E是棱PD上的一点，平面AEC． (1)求证：点E是棱PD的中点； (2)若平面ABCD，，PC与平面ABCD所成角的正切值为，求二面角的正切值． 【解析】（1）连接BD，BD与AC交于，点F，连接EF， 四边形ABCD为矩形，为BD的中点， 平面AEC，平面PBD经过PB且与平面AEC交于EF，， 又点F是BD的中点，点E是棱PD的中点. （2）方法一：平面ABCD，AC，AD，平面ABCD，， 则就是PC与平面ABCD所成的角， 故，解得． 四边形ABCD为矩形，， 又，PA与AD是平面PAD内的两相交直线，平面PAD， 如图，平面PAD内作，垂足为G，连接GC，则， 是二面角的平面角． 在直角三角形PAD中，，点E是PD的中点， ，且 平面PAD，平面PAD，，故， 二面角的平面角的正切值为． 方法二：平面ABCD，AC，AD，平面ABCD， ，则就是PC与平面ABCD所成的角， 又四边形ABCD为矩形，， 分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 设是平面AEC的一个法向量，二面角的大小为， 由，可得， 则， 故 解得，所以， 又是平面AED的一个法向量，且为锐角， 故， 则，即， 所以二面角的平面角的正切值为． 8．如图，在三棱柱中，，，，是的中点，. (1)求三棱柱的体积； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）因为，，是的中点，所以，， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 又平面平面，作交于点，平面， 所以平面， 则为三棱柱的高， 又，，所以，， 又，所以，则，即为等腰直角三角形， 所以， 所以三棱柱的体积. （2）如图以为轴，为轴，过点作与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，取， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 9．（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，等腰梯形是由三个边长为2的等边三角形拼成，现将沿翻折至，使得，如图2所示. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)试问在内是否存在一点，使得平面？若存在，求的长度；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）在图1连接交于点， 在图2中，知、都是等边三角形， 得，，又，平面， 可得平面； 又直线平面， 所以. （2）因为，，则在中，由， 由余弦定理得，作，垂足为，连接，得，， 如图，以的中点为原点，，，分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，， 因此， 设平面的法向量为， 则，解得，令，则； 即向量， 设直线与平面所成角为，则， 直线与平面所成角的正弦值为， （3）假设在内存在点，使得平面成立，， 设，，， ， 由，得， 解得，不满足题意，所以不存在使得平面成立； 10．（2025·高二·北京平谷·期中）如图，已知平面，四边形为矩形，，，点，分别是，的中点 (1)证明：平面； (2)若点为线段中点，求证：平面． (3)求二面角的余弦值． 【解析】（1）在矩形中，，因为平面，平面， 所以，又，平面，所以平面， 又平面，所以，又是的中点，， 所以，又，平面，所以平面， （2）连结交于，连结， 因为四边形是矩形，所以，且， 又分别为的中点，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以为的中点， 又因为是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面； （3）以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 由（1）可知平面，所以平面的一个法向量， 所以， 由图可知所求二面角是锐二面角， 所以二面角的余弦值为． 11．（2025·高二·广东汕头·期中）在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，为CD的中点，二面角为直二面角． (1)求证：； (2)求直线PC与平面PAB所成角的正弦值； 【解析】（1）因为，O为CD的中点， 所以． 又因为平面平面ABCD，平面平面，平面PCD， 所以平面ABCD． 因为，，，所以． 取的中点，连接，则， 以点O为坐标原点，OD，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，． ，， 因为， 所以． （2）设平面PAB的一个法向量为， 则，即， 解得，令，则，则． 设直线PC与平面PAB所成的角为， 又， 则， 所以直线PC与平面PAB所成的角的正弦值为． 12．（2025·高二·甘肃天水·期中）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ABCD，，，，E为AB的中点. (1)求平面EMC与平面MBC夹角的余弦值； (2)在线段AM上是否存在点P，使直线PE与平面MBC所成的角为?若存在，求出PE的长；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）连接DE，由四边形ABCD是菱形，， 所以为正三角形，又E是AB的中点，得，即， 因为平面ABCD，平面ABCD， 所以，建立如图空间直角坐标系D-xyz， 则，，，，， 得，，， 设平面、平面MBC的一个法向量分别为、， 则， 令，得，令，得， ∴，， 得， 又平面与平面MBC的夹角为锐角， ∴平面与平面MBC所成角的余弦值为； （2）设，则，且， 由（2）知平面MBC的法向量为， 设直线PE与平面MBC的所成角为，则， 所以， 解得，不符合题意， ∴在线段AM上不存在点P，使直线PE与平面MBC的所成角为． 13．（2025·高二·天津·期中）在如图所示的几何体中，四边形是菱形，，四边形是矩形，平面，，，点E为的中点． (1)求证平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在直线上存在动点P，使得直线与平面所成角的余弦值为求线段的长． 【解析】（1）设与交于点，连接 四边形是菱形，是矩形， 所以且，且， 则且， 四边形是平行四边形，则是的中点． 是的中点， ，平面，平面， 平面． （2）连接，由四边形是菱形，， 为正三角形， 又是的中点，得，即， 平面，、平面， ，， 以为原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示 则，，，，， 得，，， 设平面的一个法向量为 则 令，得，， 平面的一个法向量为， 令，得，，， 得， 平面与平面所成角的余弦值为； （3）设，且， 由（2）知平面的法向量为， 设直线与平面的所成角为，则， 所以， 解得或， 或． 14．如图，三棱锥，，，． (1)求证：； (2)若点Q满足，且点Q到平面的距离为1，求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1）如图，取中点，连接， ，，， 则，， ，，， 平面，平面，则平面， 平面，．- （2）由，，， ，， ，即，则两两垂直， 以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， ， 设，，平面的一个法向量为， ， 又，，解得，， 设平面的一个法向量为， ， ，令，，， 当Q点坐标为时，设平面的一个法向量为， ， ，令，则 ， ，    ， 当Q点坐标为时，同理求得平面的一个法向量为， ， 综上所述：平面与平面夹角的余弦值为． 15．（2025·湖北十堰·模拟预测）如图，四棱锥中，且. (1)当平面平面ABCD时，证明：平面平面PCD； (2)若，求二面角的余弦值. 【解析】（1）由平面平面，平面平面，，平面，得平面， 又，平面，则，，又，于是， 由，，得， ，，， 取中点，连接BM，DM，有，， 又，，则，， 而，平面，平面，因此平面， 又平面，所以平面平面. （2）取AD中点，以为原点，向量的方向分别为轴正方向， 垂直于平面ABCD的直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 点在平面xOz内，，设， 则，， ，由，得， 即，解得， 于是，， 设平面PBC与平面PCD的法向量分别为， 则，取，得， ，取，得， 设二面角的平面角为，由图观察得该二面角所成角为钝角， 因此， 所以二面角的余弦值为. 16．（2025·高三·湖南株洲·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【解析】（1）取的中点，连接， 因为点为的中点，所以， 又因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）因为，所以，所以， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面， 所以，又， 以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，    建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 因为点为的中点，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以，                          又平面的一个法向量，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17．（2025·甘肃庆阳·模拟预测）如图，已知等腰直角三角形的直角顶点为，斜边的中点为，将沿翻折得，且. (1)求的长度； (2)证明：平面； (3)求二面角的余弦值. 【解析】（1）易得， 因为， 在等腰三角形中， 易得：. （2）证明：因为为等腰直角三角形，所以， 由于翻折不改变与的垂直关系，所以， 又因为平面，所以平面. （3）以点为坐标原点，方向分别为轴､轴的正方向，垂直于平面于点作轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 故， 又因为，故，. 易知平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则可得 不妨令，则，故， 设二面角的平面角为， 故， 由题可得二面角的平面角为锐角， 故二面角的余弦值为. 18．（江西省2025届高三5月模拟预测数学试题）在四棱锥中，已知，，，，平面平面. (1)证明：平面平面. (2)若，在棱上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）分别取，的中点和，连接，，. 则，. 又，，所以，， 所以四边形是平行四边形，， 因为，所以，又,则平面， 所以平面， 因为面，所以. 因为，，,所以平面， 又,所以平面平面. （2）由（1）可知，为的中点，，所以. 又，所以是等边三角形. 取的中点，连接，由（1）可知，所以平面. 如图，建立空间直角坐标系，则，，， ，，，. 设平面的法向量为， 所以即取，得. 假设存在一点满足条件，设（）， 所以，. 设平面的法向量为， 所以即取，得. 设平面与平面的夹角为，则， 即，解得或（舍去），此时， 所以在棱上存在中点，使得平面与平面的夹角的余弦值为. 19．（2025·山东·二模）如图，梯形中，，，为的中点，将沿边折起，使点C到达点P的位置. (1)证明：； (2)若二面角的大小为120°，求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）连接交于点，连接， 由题可得，且，所以为的中点， 在中，，所以，同理， 又，平面，所以平面， 又因为平面，所以； （2）由（1）可以点为坐标原点，以，方向和垂直于平面向上的方向分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题可知为等腰梯形，且，可得， 由（1）可知，为二面角二面角的平面角， 所以，从而， 因为，所以点到平面的距离为， 则有，，，， 所以，，， 设为平面的一个法向量， 则有，令，则， 设直线与平面所成角为， 则有， 故直线与平面所成角的正弦值为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4 空间向量的应用 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：利用定义法求平面的法向量 2 题型二：利用向量研究线线平行、线面平行与面面平行问题 3 题型三：利用向量研究线线垂直、线面垂直与面面垂直问题 5 题型四：利用向量法解决异面直线所成的角问题 7 题型五：利用向量法解决线面角问题 7 题型六：利用向量法解决二面角问题 9 题型七：点到直线的距离 11 题型八：点、直线、平面到平面的距离 11 题型九：求异面直线的距离 12 02 重难点拓展 14 题型一：利用定义法求平面的法向量 1．已知，，求平面的一个法向量 2．如图所示，在直三棱柱中，，，棱，、分别为、的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题： (1)求的模； (2)求的值； (3)求证：是平面CMN的一个法向量. 3．如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，PD＝AD＝DC，底面ABCD为正方形，E为PC的中点，点F在PB上，问点F在何位置时，为平面DEF的一个法向量?    4．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面PCD的一个法向量. 题型二：利用向量研究线线平行、线面平行与面面平行问题 5．如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，点为的中点.求证：平面. 6．如图，在平行六面体中，，，分别是，，的中点，请选择恰当的基向量证明： (1)； (2)平面平面． 7．在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．    8．如图，在斜三棱柱中，，四边形为矩形，是的中点，是与的交点．在线段上是否存在点，使得平面？ 题型三：利用向量研究线线垂直、线面垂直与面面垂直问题 9．如图所示，在直二面角中，四边形是边长为2的正方形，，F为上的点，且平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 10．（2025·高二·广东中山·期中）如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．证明：平面． 11．（2025·高二·山东青岛·期末）如图，平行六面体的底面ABCD是菱形，且． (1)求的长； (2)求证：平面． 12．如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形所在的平面互相垂直，已知，. (1)求证：； (2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 题型四：利用向量法解决异面直线所成的角问题 13．（2025·高二·江苏泰州·期中）空间四面体中，，，且，，则直线与直线所成角的余弦值为 14．（2025·高二·北京密云·期末）如图，在长方体中， ，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．    15．在正四面体中，点M在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为 . 题型五：利用向量法解决线面角问题 16．如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，点E在棱PD上（除端点外），，． (1)证明：点是的中点； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 17．（2025·高二·广西·期中）如图，在四棱锥中，，，平面平面，，M，N分别是，的中点.    (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 18．（2025·高二·甘肃兰州·期中）如图，正方体的棱长为2，E是的中点． (1)求证：⊥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 19．（2025·高二·广东惠州·期中）如图，在多面体中，平面平面四边形为正方形，四边形为梯形，且，，，点满足． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 题型六：利用向量法解决二面角问题 20．（2025·高二·福建莆田·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，为中点，点在上，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； 21．（2025·高二·北京·期中）长方体中，为棱的中点，，，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 22．（2025·高二·重庆·期中）如图，四棱锥中，底面为菱形，为的中点. (1)证明平面； (2)若在平面上的射影为中点，且，求平面与平面夹角的余弦值. 23．蒙古包可以近似的看成是由一个圆柱跟一个圆锥拼接而成．如图，为某一个蒙古包的轴截面，，现沿直线将向上折起得到，得到四棱锥，且P点在平面上的射影在上，E为的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 题型七：点到直线的距离 24．（2025·高二·广东深圳·期末）已知，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 25．在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 26．（2025·河南安阳·一模）如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，，，为线段上靠近的三等分点，点为的重心，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 题型八：点、直线、平面到平面的距离 27．如图，正三棱柱中，是棱的中点，，点在上，且． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 28．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，与平面交于点F． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离． 29．设正方体的棱长为2，求平面与平面之间的距离． 题型九：求异面直线的距离 30．（2025·高二·浙江宁波·期末）如图，正四棱锥的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为 ． 31．如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，N是棱AD的中点，M是棱CC1上的点，且CC1=3CM，则直线BM与B1N之间的距离为 . 32．在三棱锥中，，，.记的中点为，的中点为，则异面直线与的距离为 . 33．在菱形中，，，将菱形沿对角线折成直二面角，折起后直线与间的距离为 . 1．（2025·高二·广东广州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点，则平面到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·高二·甘肃平凉·期中）正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（多选题）如图，已知正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（    ）    A．异面直线与的夹角的正弦值为1 B．平面 C．点与平面的距离为 D．直线与平面所成的角为 4．（多选题）如图，在长方体中，是线段上的一动点，则以下命题正确的是（   ） A．平面 B．的最小值为 C．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D．B为球心，为半径的球面与侧面的交线长为 5．（多选题）（2025·高二·重庆·期中）已知正方体的棱长为，分别是线段上的动点，且，下列说法正确的是（   ） A． B．直线与平面所成的角为定值 C．三棱锥的顶点都落在球的表面上，则球的最大半径为 D．当三棱锥的体积最大时，平面与平面的夹角的正切值为 6．（2025·高二·福建莆田·期中）如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，F是半圆弧上（不含B，C）的动点，FG为圆柱的一条母线，点A在半圆柱下底面所在平面内，，． (1)求证：； (2)若平面ABE，求平面FOD与平面GOD夹角的余弦值. 7．（2025·高二·湖南长沙·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，点E是棱PD上的一点，平面AEC． (1)求证：点E是棱PD的中点； (2)若平面ABCD，，PC与平面ABCD所成角的正切值为，求二面角的正切值． 8．如图，在三棱柱中，，，，是的中点，. (1)求三棱柱的体积； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 9．（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，等腰梯形是由三个边长为2的等边三角形拼成，现将沿翻折至，使得，如图2所示. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)试问在内是否存在一点，使得平面？若存在，求的长度；若不存在，请说明理由. 10．（2025·高二·北京平谷·期中）如图，已知平面，四边形为矩形，，，点，分别是，的中点 (1)证明：平面； (2)若点为线段中点，求证：平面． (3)求二面角的余弦值． 11．（2025·高二·广东汕头·期中）在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，为CD的中点，二面角为直二面角． (1)求证：； (2)求直线PC与平面PAB所成角的正弦值； 12．（2025·高二·甘肃天水·期中）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ABCD，，，，E为AB的中点. (1)求平面EMC与平面MBC夹角的余弦值； (2)在线段AM上是否存在点P，使直线PE与平面MBC所成的角为?若存在，求出PE的长；若不存在，请说明理由. 13．（2025·高二·天津·期中）在如图所示的几何体中，四边形是菱形，，四边形是矩形，平面，，，点E为的中点． (1)求证平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在直线上存在动点P，使得直线与平面所成角的余弦值为求线段的长． 14．如图，三棱锥，，，． (1)求证：； (2)若点Q满足，且点Q到平面的距离为1，求平面与平面夹角的余弦值． 15．（2025·湖北十堰·模拟预测）如图，四棱锥中，且. (1)当平面平面ABCD时，证明：平面平面PCD； (2)若，求二面角的余弦值. 16．（2025·高三·湖南株洲·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 17．（2025·甘肃庆阳·模拟预测）如图，已知等腰直角三角形的直角顶点为，斜边的中点为，将沿翻折得，且. (1)求的长度； (2)证明：平面； (3)求二面角的余弦值. 18．（江西省2025届高三5月模拟预测数学试题）在四棱锥中，已知，，，，平面平面. (1)证明：平面平面. (2)若，在棱上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 19．（2025·山东·二模）如图，梯形中，，，为的中点，将沿边折起，使点C到达点P的位置. (1)证明：； (2)若二面角的大小为120°，求直线与平面所成角的正弦值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$