1.4 空间向量的应用（思维导图+5大知识点+9大题型）（讲义）-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版201

1.4 空间向量的应用 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 知识点一：直线的方向向量和平面的法向量 4 知识点二：用向量方法判定空间中的平行关系 5 知识点三、用向量方法判定空间的垂直关系 5 知识点四、用向量方法求空间角 5 知识点五、用向量方法求空间距离 7 04 题型归纳，举一反三 8 题型一：利用定义法求平面的法向量 8 题型二：利用向量研究线线平行、线面平行与面面平行问题 9 题型三：利用向量研究线线垂直、线面垂直与面面垂直问题 11 题型四：利用向量法解决异面直线所成的角问题 13 题型五：利用向量法解决线面角问题 14 题型六：利用向量法解决二面角问题 16 题型七：点到直线的距离 18 题型八：点、直线、平面到平面的距离 19 题型九：求异面直线的距离 21 知识点一：直线的方向向量和平面的法向量 1、直线的方向向量： 点A是直线l上的一个点，是直线l的方向向量，在直线l上取，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式. 知识点诠释： （1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量． （2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算． 2、平面的法向量定义： 直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 知识点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量．已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量． 3、平面的法向量确定通常有两种方法： （1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量； （2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： （i）设出平面的法向量为； （ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，； （iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程； （iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 知识点二：用向量方法判定空间中的平行关系 空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行． （1）线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． ②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 知识点三、用向量方法判定空间的垂直关系 空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直． （1）线线垂直 设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． （2）线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （3）面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直． ②证明两个平面的法向量互相垂直． 知识点四、用向量方法求空间角 （1）求异面直线所成的角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为， 则． 知识点诠释：两异面直线所成的角的范围为．两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角． （2）求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 则有． （3）求二面角 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面的法向量， 则二面角的平面角或， 即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角． ①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小． ②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小． 知识点五、用向量方法求空间距离 1、求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点A到平面的距离：，其中是平面的法向量． 2、线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． 直线与平面之间的距离：，其中是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中是平面的法向量． 3、点线距 设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 . 题型一：利用定义法求平面的法向量 【例1】如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，．    (1)求证：平面； (2)求平面的一个法向量． 【方法技巧与总结】 求平面向量的法向量的基本方法是待定系数法，即先设出一个法向量的坐标（x，y，z），再在平面上取两个向量（可取特殊向量，如在某个坐标平面上的向量，或与某坐标轴平行的向量），则它们与法向量均垂直，因此它们的数量积均为0，从而得到x、y、。所满足的两个方程，再令x为某个特殊值，便可得出y、z的值，从而确定一个法向量．要注意一个平面的法向量有无数个，因此不可能直接求出x、y、z的值，但在特殊条件下便可求出． 【变式1-1】如图所示，在四棱锥中，底面是直角梯形，底面，且，建立适当的空间直角坐标系，分别求平面与平面的一个法向量，判断平面与平面是否有可能垂直？    【变式1-2】已知. (1)写出直线的一个方向向量； (2)设平面经过点，且是的一个法向量，是平面内任意一点，试写出满足的关系式. 【变式1-3】如图，在正方体中，是的中点，为底面的中心．求证：是平面的一个法向量． 题型二：利用向量研究线线平行、线面平行与面面平行问题 【例2】如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 【方法技巧与总结】 （1）线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． ②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 【变式2-1】长方体中，，分别是面对角线，上的点，且，．求证：． 【变式2-2】如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，.求证：平面. 【变式2-3】如图，在四棱锥中，平面，，，，，， (1)证明：平面平面； (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 题型三：利用向量研究线线垂直、线面垂直与面面垂直问题 【例3】如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.证明： (1)； (2)平面； (3)平面平面. 【方法技巧与总结】 （1）线线垂直 设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． （2）线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （3）面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直． ②证明两个平面的法向量互相垂直． 【变式3-1】如图，在正方体中，若分别为棱和上任意一点（不与端点重合），是否存在使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式3-2】如图，四边形为正方形，平面，，.证明：平面平面 【变式3-3】（2025·高二·重庆梁平·开学考试）平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点．    (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【变式3-4】（2025·高二·河南焦作·期中）如图，在棱长为1的正方体中，是正方形的中心. (1)求绕棱所在的直线旋转一周所形成的几何体的体积； (2)求证：平面. 题型四：利用向量法解决异面直线所成的角问题 【例4】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）直三棱柱中，为边中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【方法技巧与总结】 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为， 则． 【变式4-1】（2025·高二·江苏淮安·期中）在正四面体中，点M在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为 【变式4-2】（2025·山西临汾·三模）已知正三棱柱各棱长均为2，则直线与AB所成角的正弦值为 ． 【变式4-3】（2025·高二·辽宁·开学考试）已知空间四边形.则对角线与所成角的正切值的取值范围是 . 【变式4-4】如图所示，在棱长为的正方体中，是棱的中点，，若异面直线和所成角的余弦值为，则的值为 . 题型五：利用向量法解决线面角问题 【例5】（2025·辽宁·三模）如图，在四棱台中，底面为正方形，为的中点，． (1)求证：； (2)在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【方法技巧与总结】 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 则有． 【变式5-1】（2025·高二·云南曲靖·期中）如图，在四棱锥中，，，，平面平面平面. (1)证明：； (2)若，，，求直线与平面所成角的正弦值. 【变式5-2】（2025·高二·江苏南京·期中）如图，在三棱柱中，是的中点，、均为边长为的正三角形，且. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【变式5-3】（2025·高二·广东惠州·期中）如图，已知四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，，，平面ABCD，. (1)求证：平面PCD； (2)若M是PC的中点，求PC与平面ADM所成角的正弦值. 题型六：利用向量法解决二面角问题 【例6】（2025·甘肃·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，点M在棱PC上．    (1)当M为PC上靠近点P的四等分点时，求证：平面； (2)若直线与平面所成的角为45°，当M为PC的中点时，求二面角的余弦值． 【方法技巧与总结】 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面的法向量， 则二面角的平面角或， 【变式6-1】（2025·高二·辽宁朝阳·期中）如图所示，平面，四边形为矩形，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值. 【变式6-2】如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，，，点E，F分别是棱PA，PC的中点． (1)证明：． (2)求平面EFD与平面ABCD的夹角的余弦值． 【变式6-3】（2025·高二·四川泸州·期中）如图，在四棱锥中，，，，，，点Q为棱PC上一点． (1)证明：平面； (2)当二面角的余弦值为时，求． 题型七：点到直线的距离 【例7】（2025·高二·江苏常州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)求直线的单位方向向量． (2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度． (3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化． 【变式7-1】（2025·山东淄博·一模）四棱锥中，，，，则三棱锥的体积为（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【变式7-2】（2025·高二·江苏扬州·期中）在长方体中，，点E在棱BC上，且，点G为的重心，则点G到直线AE的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2025·高二·江苏连云港·期中）已知正方体的棱长为1，为棱的中点，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 题型八：点、直线、平面到平面的距离 【例8】（2025·高二·湖南·期中）如图，在四棱锥中，满足，，底面，，，． (1)求证：平面平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长度和点到平面的距离． 【方法技巧与总结】 1、求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点到平面的距离，其中是平面的法向量． 【变式8-1】（2025·高二·上海宝山·期中）如图（1），在 中， 分别是 上的点，且 ，将沿折起到的位置，使，如图（2）. 设点为的中点.    (1)求证：平面 ； (2)求点到平面的距离. 【变式8-2】如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点． (1)求证：平面ABD； (2)求证：平面EGF平面ABD； (3)求平面EGF与平面ABD的距离． 【变式8-3】如图1，是等边三角形，为等腰直角三角形，，将沿翻折到的位置，且点不在平面内（如图2），点在线段上（不含端点）. (1)证明：； (2)若，当平面与平面夹角的余弦值为时，求点到平面的距离. 题型九：求异面直线的距离 【例9】（2025·高二·广东广州·期中）如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角的大小是，M，N分别是AC，BF上的动点，且，则MN的最小值是 【方法技巧与总结】 向量法是一种通用且计算量相对较小的方法，适用于已知两条异面直线上点的坐标或向量方程的情况． 步骤： （1）确定直线方向向量：设两条异面直线分别为​和，其方向向量分别为和． （2）选取直线上一点：在​上取一点A，在上取一点B，得到向量． （3）计算法向量：异面直线的公垂线方向向量． （4）求距离：异面直线距离d为向量在法向量上的投影长度，即． 【变式9-1】（2025·高二·辽宁·期中）在直四棱柱中，底面为菱形，，，为棱的中点，，分别为直线，上的动点，则线段的长度的最小值为 . 【变式9-2】在棱长是的正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离是 【变式9-3】（2025·高二·浙江杭州·期中）两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点，E和A，F，使，且已知，则线段的长为 ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4 空间向量的应用 目录 01 题型归纳目录 3 02 思维导图 4 知识点一：直线的方向向量和平面的法向量 5 知识点二：用向量方法判定空间中的平行关系 6 知识点三、用向量方法判定空间的垂直关系 6 知识点四、用向量方法求空间角 6 知识点五、用向量方法求空间距离 8 04 题型归纳，举一反三 9 题型一：利用定义法求平面的法向量 9 题型二：利用向量研究线线平行、线面平行与面面平行问题 12 题型三：利用向量研究线线垂直、线面垂直与面面垂直问题 16 题型四：利用向量法解决异面直线所成的角问题 21 题型五：利用向量法解决线面角问题 25 题型六：利用向量法解决二面角问题 31 题型七：点到直线的距离 36 题型八：点、直线、平面到平面的距离 39 题型九：求异面直线的距离 45 知识点一：直线的方向向量和平面的法向量 1、直线的方向向量： 点A是直线l上的一个点，是直线l的方向向量，在直线l上取，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式. 知识点诠释： （1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量． （2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算． 2、平面的法向量定义： 直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 知识点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量．已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量． 3、平面的法向量确定通常有两种方法： （1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量； （2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： （i）设出平面的法向量为； （ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，； （iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程； （iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 知识点二：用向量方法判定空间中的平行关系 空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行． （1）线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． ②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 知识点三、用向量方法判定空间的垂直关系 空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直． （1）线线垂直 设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． （2）线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （3）面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直． ②证明两个平面的法向量互相垂直． 知识点四、用向量方法求空间角 （1）求异面直线所成的角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为， 则． 知识点诠释：两异面直线所成的角的范围为．两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角． （2）求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 则有． （3）求二面角 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面的法向量， 则二面角的平面角或， 即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角． ①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小． ②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小． 知识点五、用向量方法求空间距离 1、求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点A到平面的距离：，其中是平面的法向量． 2、线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． 直线与平面之间的距离：，其中是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中是平面的法向量． 3、点线距 设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 . 题型一：利用定义法求平面的法向量 【例1】如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，．    (1)求证：平面； (2)求平面的一个法向量． 【解析】（1）因为底面为正方形，故； 平面，平面，故， 平面， 故平面； （2）以D为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 设，则， 故， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则， 故平面的一个法向量为. 【方法技巧与总结】 求平面向量的法向量的基本方法是待定系数法，即先设出一个法向量的坐标（x，y，z），再在平面上取两个向量（可取特殊向量，如在某个坐标平面上的向量，或与某坐标轴平行的向量），则它们与法向量均垂直，因此它们的数量积均为0，从而得到x、y、。所满足的两个方程，再令x为某个特殊值，便可得出y、z的值，从而确定一个法向量．要注意一个平面的法向量有无数个，因此不可能直接求出x、y、z的值，但在特殊条件下便可求出． 【变式1-1】如图所示，在四棱锥中，底面是直角梯形，底面，且，建立适当的空间直角坐标系，分别求平面与平面的一个法向量，判断平面与平面是否有可能垂直？    【解析】 如图所示，以A为原点，所在直线分别为横、纵、竖轴建立空间直角坐标系，则，即, 由条件易知平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，则有， 令，则，即平面的一个法向量为， ，故平面与平面不可能垂直． 【变式1-2】已知. (1)写出直线的一个方向向量； (2)设平面经过点，且是的一个法向量，是平面内任意一点，试写出满足的关系式. 【解析】（1）因为， 所以直线的一个方向向量为： . （2）因为平面经过且是平面内的任意一点， 则有， 又因为是平面的一个法向量， 所以， 从而， 即， 所以， 整理可得， 所以满足的关系式为：. 【变式1-3】如图，在正方体中，是的中点，为底面的中心．求证：是平面的一个法向量． 【解析】如图，以为坐标原点，分别以，，所在直线 为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．不妨设正方体的棱长为2， 则，，，，， 于是，，， 所以，， 所以，，所以，． 因为，平面，平面， 所以平面．所以是平面的一个法向量． 题型二：利用向量研究线线平行、线面平行与面面平行问题 【例2】如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 【解析】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，，. 则，因为，，分别是，，的中点， 所以，，， 所以. 因为平面的一个法向量为， 所以，即. 又因为平面，所以平面. （2）因为， 所以，所以， 又平面，所以平面. 又因为，平面， 所以平面平面. 【方法技巧与总结】 （1）线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． ②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 【变式2-1】长方体中，，分别是面对角线，上的点，且，．求证：． 【解析】如图所示，分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 设，，，则得下列各点的坐标： ，，，，，. 由即，可得：， 由，即，可得：． ，，． 又与不共线，． 【变式2-2】如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，.求证：平面. 【解析】证明：如图， 因为H，P分别是BC，AB的中点，所以， 因为，可得，又因为平面ABC， 以点为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，，，，，，，， 所以向量，且平面的法向量为， 则，所以， 又因为平面，所以平面. 【变式2-3】如图，在四棱锥中，平面，，，，，， (1)证明：平面平面； (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）如图，连接,由于平面，平面,则. 且，，则. 又，则，故. 又,则,又,则四边形为平行四边形.则. 平面,平面,则平面(∗). 由于，，则.又，则, 则,则，则. 平面,平面,则平面(∗∗). 平面,结合 (∗)，(∗∗)，得到平面平面. （2）由前面证明知道，四边形为矩形，平面， 则两两垂直，可建立空间直角坐标系.则 , 设,则. 设平面法向量为，且. 则,则，则解得. 又,若平面，则. 则， 则，解得.此时. 故棱上存在一点，使得平面，. 题型三：利用向量研究线线垂直、线面垂直与面面垂直问题 【例3】如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.证明： (1)； (2)平面； (3)平面平面. 【解析】（1）证明：依题意，以点为原点建立空间直角坐标系： 可得. 由为棱的中点，得. （1）向量， 故， 所以. （2）因为， 又平面，平面， 所以，，平面， 所以平面， 所以向量为平面的一个法向量， 而， 所以， 又平面，所以平面. （3）由（2）知平面的法向量为， 向量，， 设平面的一个法向量为， 则，即 不妨令，可得， 所以为平面的一个法向量. 且， 所以 所以平面平面. 【方法技巧与总结】 （1）线线垂直 设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． （2）线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （3）面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直． ②证明两个平面的法向量互相垂直． 【变式3-1】如图，在正方体中，若分别为棱和上任意一点（不与端点重合），是否存在使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 【解析】设正方体的棱长为3， 则， 则， 则， 则，所以或， 当时，与重合，时，与重合， 故不存在使得. 【变式3-2】如图，四边形为正方形，平面，，.证明：平面平面 【解析】由题意易知两两互相垂直. 如图，以D为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系.设. 依题意有， 则， 所以， ， 即， 又，平面， 故平面.又平面， 所以平面平面. 【变式3-3】（2025·高二·重庆梁平·开学考试）平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点．    (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）取中点，连接，如图， 又为的中点， ，由，则， 又为等腰直角三角形，，， ，又，平面， 平面，又平面， （2）平面平面，平面平面，，平面， 平面，平面，故， 故以为原点，为、、轴正方向的空间直角坐标系，设，   ， 则，，， 若存在使得平面平面，且，， 则，解得，， 则，， 设为平面的一个法向量，则， 令，即， 设是平面的一个法向量，则， 令，则， ，可得． 存在使得平面平面，此时 【变式3-4】（2025·高二·河南焦作·期中）如图，在棱长为1的正方体中，是正方形的中心. (1)求绕棱所在的直线旋转一周所形成的几何体的体积； (2)求证：平面. 【解析】（1）因为正方体的棱长为1， 所以，，是直角三角形， 所以绕棱所在的直线旋转一周所形成的几何体是底面半径为， 高为1的圆锥，其体积为； （2）方法一：连接，如图. 在正方体中，易知， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面. 又平面，所以， 同理可证平面，所以. 因为，平面， 所以平面. 方法二：以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 则， ， 所以，， 又，，平面， 所以平面. 题型四：利用向量法解决异面直线所成的角问题 【例4】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）直三棱柱中，为边中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【答案】 【解析】取中点，连接，因为，所以， 以为原点，分别为轴，过点且垂直于面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以， 所以， 所以， 所以异面直线与所成角为，. 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为， 则． 【变式4-1】（2025·高二·江苏淮安·期中）在正四面体中，点M在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为 【答案】 【解析】设棱长均为1, 因为，所以 ，所以，所以. 又. 设异面直线与所成角为, 则. 故答案为: . 【变式4-2】（2025·山西临汾·三模）已知正三棱柱各棱长均为2，则直线与AB所成角的正弦值为 ． 【答案】/ 【解析】取 的中点 ，连接 ，因为是正三角形，所以 . 又因为正三棱柱中，平面 平面 ， 平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 . 以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系. 已知正三棱柱各棱长均为 ，则 ，，，。 所以，. 则 . 设直线 与 所成角为 ， 所以 . 故答案为： 【变式4-3】（2025·高二·辽宁·开学考试）已知空间四边形.则对角线与所成角的正切值的取值范围是 . 【答案】 【解析】在中，因为，所以， 过点在平面中作于点，则， 所以，所以，， 取中点，连接，在三角形中，因为，所以， 如图，以为坐标原点，为轴，为轴，过作直线垂直于平面，这条直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，所以，所以， 设，且， 所以，， 设直线与直线的夹角为， 则 ， 因为，所以当时，， 所以当时，， 因为，所以. 故答案为：. 【变式4-4】如图所示，在棱长为的正方体中，是棱的中点，，若异面直线和所成角的余弦值为，则的值为 . 【答案】 【解析】以为坐标原点，以为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，正方体的棱长为，则， ， . ， 解得（舍去）. 故答案为：. 题型五：利用向量法解决线面角问题 【例5】（2025·辽宁·三模）如图，在四棱台中，底面为正方形，为的中点，． (1)求证：； (2)在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）证明：连接， 因为，所以． 因为是的中点，所以， 因为，平面，所以平面， 所以， 因为， 所以． （2）因为， 所以，所以， 又由（1）知，且平面， 所以平面， 因为为四棱台，底面为正方形，四棱台的上下底面对应边平行且比例相同， 所以四边形为正方形，上下面平行 所以平面，. 因为点是的中点，，所以. 所以且，所以四边形为平行四边形 所以. 又平面，所以平面． 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，则，． 设平面的法向量为， 则 令． 设直线与平面所成角为， 则， 化简得， 即，所以． 【方法技巧与总结】 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 则有． 【变式5-1】（2025·高二·云南曲靖·期中）如图，在四棱锥中，，，，平面平面平面. (1)证明：； (2)若，，，求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）证明：分别取，的中点，，连接，，，如图， 则，，四边形为平行四边形，， 由，得， 又平面平面，平面平面，平面， 平面，则平面， 平面，，又为的中点，. （2）由（1）知，平面，平面，得， 而，，，平面，则平面， 又，则平面，在平面内过作， 则，直线，，两两垂直， 以点为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 由，，， 得，而，解得， 则，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则即取，则，， 则平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为. 【变式5-2】（2025·高二·江苏南京·期中）如图，在三棱柱中，是的中点，、均为边长为的正三角形，且. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）如图，取的中点，连接、， 因为、均为边长为的正三角形， 所以，，且， 同理可得， 又因为，故，所以， 又因为，、平面，所以平面． 又因为平面，所以平面平面． （2）因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 由得， ，，， 设是平面的一个法向量， 则，令，则， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【变式5-3】（2025·高二·广东惠州·期中）如图，已知四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，，，平面ABCD，. (1)求证：平面PCD； (2)若M是PC的中点，求PC与平面ADM所成角的正弦值. 【解析】（1）因为，平面，平面， 所以平面； （2） 以AD，AB，AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 因为底面ABCD是直角梯形，，，， 所以， ，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 所以，所以，令，则， 设PC与平面ADM所成角为， 所以， 所以PC与平面ADM所成角的正弦值为. 题型六：利用向量法解决二面角问题 【例6】（2025·甘肃·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，点M在棱PC上．    (1)当M为PC上靠近点P的四等分点时，求证：平面； (2)若直线与平面所成的角为45°，当M为PC的中点时，求二面角的余弦值． 【解析】（1）如图，连接AC交BD于点O，连接OM， 因为，所以∽，所以， 因为M为PC上靠近点P的四等分点，所以． 因为，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为平面，所以为与底面所成的角，所以， 因为，所以， 由题意得，又平面，所以两两垂直， 以D为原点，以所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面PBD的法向量为，则， 所以，即，解得，令，则， 则， 设平面MBD的法向量为，则， 所以，即，令，则， 则， 因为，又二面角的平面角为锐角， 所以二面角的余弦值为． 【方法技巧与总结】 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面的法向量， 则二面角的平面角或， 【变式6-1】（2025·高二·辽宁朝阳·期中）如图所示，平面，四边形为矩形，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）证明：四边形为矩形，. 又平面平面平面. 又，平面，平面， ∴平面. 又平面 平面平面. 又平面平面. （2） 如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， . 设是平面的一个法向量，则 即,令，解得, 所以平面的一个法向量 又是平面的一个法向量， ， 平面与平面所成角的正弦值为. 【变式6-2】如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，，，点E，F分别是棱PA，PC的中点． (1)证明：． (2)求平面EFD与平面ABCD的夹角的余弦值． 【解析】（1）因为四棱锥的底面是正方形，平面， 所以以点D为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则，，， 所以，． 设平面EFD的法向量为， 则令，则． 又因为，所以，即， 由平面，得平面． （2）设平面与平面的夹角为θ， 平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 所以， 则平面与平面的夹角的余弦值为． 故答案为：. 【变式6-3】（2025·高二·四川泸州·期中）如图，在四棱锥中，，，，，，点Q为棱PC上一点． (1)证明：平面； (2)当二面角的余弦值为时，求． 【解析】（1）在四棱锥中， 由，，，， 得，， 则，， 又，且，平面， 所以平面． （2）由（1）知两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图： 则， 可得，，， 设（），则， 设平面的法向量， 则，令，得， 设平面的法向量为， 由，解得，令，，得， 由二面角的余弦值为，得， 即，整理得，解得， 所以． 题型七：点到直线的距离 【例7】（2025·高二·江苏常州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，可得， 设，所以可得； 因此， 因此点到直线的距离为 . 当（满足题意）时，取得最小值，即点到直线的距离的最小值为. 故选：A 【方法技巧与总结】 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)求直线的单位方向向量． (2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度． (3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化． 【变式7-1】（2025·山东淄博·一模）四棱锥中，，，，则三棱锥的体积为（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【解析】设平面的法向量为， 则，则， 则点到平面的距离为， 又，， 则点到直线的距离为， 则， 故三棱锥的体积为. 故选：C 【变式7-2】（2025·高二·江苏扬州·期中）在长方体中，，点E在棱BC上，且，点G为的重心，则点G到直线AE的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在长方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，得， 由点E在棱BC上，且，得，的重心， 则，，，， 所以点G到直线AE的距离. 故选：A 【变式7-3】（2025·高二·江苏连云港·期中）已知正方体的棱长为1，为棱的中点，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，以正方体的顶点为坐标原点，以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，所以，， 设与的夹角为，则， 所以， 所以点到直线的距离为. 故选：D. 题型八：点、直线、平面到平面的距离 【例8】（2025·高二·湖南·期中）如图，在四棱锥中，满足，，底面，，，． (1)求证：平面平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长度和点到平面的距离． 【解析】（1）因为平面，平面， ∴，又，，平面， ∴平面， 又平面，∴平面平面. （2）∵平面，平面，∴，， 又，∴以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 设，，则，，，，， ∴，， 设平面的法向量为， 则，取，得，， ∴， 平面的法向量为， ∵平面与平面的夹角的余弦值为，∴， 解得，即， 所以，， 所以点到平面的距离为． 法（二）等体积法，∴，，， ∴， ∵，∴， ∴， 设点到平面的距离为， 由，得， 解得， ∴点到平面的距离为． 【方法技巧与总结】 1、求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点到平面的距离，其中是平面的法向量． 【变式8-1】（2025·高二·上海宝山·期中）如图（1），在 中， 分别是 上的点，且 ，将沿折起到的位置，使，如图（2）. 设点为的中点.    (1)求证：平面 ； (2)求点到平面的距离. 【解析】（1）， ，， 又平面，，平面， 又平面， ， 又 ，，平面， 平面 . （2）如图： 以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 在中，因， ，则，即，得，， 则在中，， 则，， ， 设平面法向量为， 则，可得：， 取，可得，， ， 则， 即点到平面的距离. 【变式8-2】如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点． (1)求证：平面ABD； (2)求证：平面EGF平面ABD； (3)求平面EGF与平面ABD的距离． 【解析】（1）由题设，两两互相垂直， 以B为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，设，则. 所以，易得，， 所以，，所以，， 又，且都在平面内，故平面ABD. （2）由题意知，则， 所以，，则，， 所以，， 又且都在平面内，所以平面EFG， 结合（1）知，平面EGF平面ABD. （3）由（1）（2）知，，是平面ABD的法向量， 所以点F到平面ABD的距离为， 由（2）知，平面EGF与平面ABD的距离等于点F到平面ABD的距离， 所以两平面间的距离为. 【变式8-3】如图1，是等边三角形，为等腰直角三角形，，将沿翻折到的位置，且点不在平面内（如图2），点在线段上（不含端点）. (1)证明：； (2)若，当平面与平面夹角的余弦值为时，求点到平面的距离. 【解析】（1）取中点为，连接， 因为，所以， 又因为，平面， 所以平面，又因为平面，所以. （2）因为为等腰三角形，，即，所以， 因为为等边三角形，所以， 故，，因，则，即， 又因，所以两两互相垂直， 以为原点，以为基底，建立空间直角坐标系， 则， 则，，， 设，则， 则 设平面的法向量为， 则， 取，得， 设平面的法向量为， 则，取，得， 所以， 得或（舍），则， 则点到平面的距离为. 题型九：求异面直线的距离 【例9】（2025·高二·广东广州·期中）如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角的大小是，M，N分别是AC，BF上的动点，且，则MN的最小值是 【答案】/0.5 【解析】连接，如下图， 由题意，，，正方形中， 正方形中，平面，平面， 平面平面， ∴就是二面角的平面角，则， ∴向量与向量夹角为，且，， 设，，，则， 且由题意， ∴， ， ∴， 令，，图象开口向上，且对称轴为， ∴当时，取得最小值， 即最小值为， ∴的最小值是. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 向量法是一种通用且计算量相对较小的方法，适用于已知两条异面直线上点的坐标或向量方程的情况． 步骤： （1）确定直线方向向量：设两条异面直线分别为​和，其方向向量分别为和． （2）选取直线上一点：在​上取一点A，在上取一点B，得到向量． （3）计算法向量：异面直线的公垂线方向向量． （4）求距离：异面直线距离d为向量在法向量上的投影长度，即． 【变式9-1】（2025·高二·辽宁·期中）在直四棱柱中，底面为菱形，，，为棱的中点，，分别为直线，上的动点，则线段的长度的最小值为 . 【答案】/ 【解析】 连接，，设， 由题意，以为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，，，， ，，. 设与，都垂直的向量为， 则，即， 令，则，， 所以为与，都垂直的一个向量， 则线段的长度的最小值为. 故答案为： 【变式9-2】在棱长是的正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离是 【答案】/ 【解析】以D为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系， 则， 则， 设与异面直线和都垂直的向量为， 则，令，则， 又，故异面直线和间的距离是， 故答案为： 【变式9-3】（2025·高二·浙江杭州·期中）两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点，E和A，F，使，且已知，则线段的长为 ． 【答案】或 【解析】由题意，得， 所以， 因为，所以，， 因为，所以，则，同理：， 因为异面直线a，b所成的角为， 当的夹角为时，， 所以，则，即，故； 当的夹角为时，， 所以，则，故； 综上：线段的长为或. 故答案为：或. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$