专题02 第五章 导数及其应用（考点串讲，12大考点&23大题型剖析）-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（人教A版2019）

人教A版（2019）高二数学下学期·期末大串讲 专题02 第五章 导数及其应用 （12考点&23题型） 人教A版2019 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 考点透视 考点透视 清单02 含参问题讨论单调性  考点透视 清单03 函数的极值  考点透视 清单04 函数的最大（小）值  考点透视 清单05 函数的最值与极值的关系  考点透视 清单06 分离参数法  考点透视 清单07 分类讨论法  清单08 等价转化法  考点透视 清单09 最值定位法  清单10 值域法解决双参问题  考点透视 清单11 函数的零点  清单12  函数零点判断  题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 易错易混 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 （1）已知函数在区间上单调 ①已知在区间上单调递增，恒成立. ②已知在区间上单调递减，恒成立. 注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号. （2）已知函数在区间上存在单调区间 ①已知在区间上存在单调增区间使得有解 ②已知在区间上存在单调减区间使得有解 （3）已知函数在区间上不单调，使得有变号零点 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 第一步：求的定义域 第二步：求（导函数中有分母通分） 第三步：确定导函数有效部分，记为 对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负. 第四步：确定导函数有效部分的类型： ①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型） 第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 一般地，对于函数， （1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值. （2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值． （3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为： （1）求在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； （2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； （3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． ③转化：，使得能成立； ，使得能成立． ④求最值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ①当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. ②当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）,,使得成立 （2）,,使得成立 （3）,,使得成立 （4）,,使得成立 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ,,使得成立 ①，求出的值域，记为 ②求出的值域，记为 ③则,求出参数取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点． （2）三个等价关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理． 注意：单调性+存在零点=唯一零点 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 可得， 故函数的单调递减区间为. 【考点题型一】求已知函数（不含参）的单调区间 【例1】（24-25高二下·四川泸州·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的定义域为，解不等式， 设，则， 故在上单调递减，又，可知在区间上单调递增， 在区间上单调递减， 故，的取值范围是. 【考点题型二】已知函数在区间上单调，求参数 【例2】（2025·山西·一模）设，若函数在区间上单调，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】， 当时，解可得，不满足定义域； 当时，令， 要使函数在区间内存在单调递减区间， 只需满足或. 由可得，，此时有； 【考点题型三】已知函数在区间上存在单调区间，求参数 由可得，，此时有. 所以，. 【例3】（24-25高二下·天津滨海新·期中）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知可得定义域为， 因为函数在区间上不单调， 所以在上有变号零点， 即，解得 故选：C 【考点题型四】已知函数在区间上不单调，求参数 【例4】（24-25高二下·江西南昌·期中）若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，令， 选项B:函数在区间上单调递减，故B错误； 选项C:函数在左右两侧都单调递减，函数在此处不取得极大值，故C错误； 选项D:函数在区间先单调递增，再单调递减，故在区间内内至多有两个零点，故D正确． 【考点题型五】函数与导函数图象之间的关系 【例5】（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ）． A．函数在点处的切线斜率小于零 B．函数在区间上严格增 C．函数在处取得极大值 D．函数在区间内至多有两个零点 【答案】D 【详解】选项A:曲线在点处的切线斜率等于零，故A错误； （2）函数的定义域为R，求导得， 当时，恒成立，函数在R上单调递减； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在R上单调递减； 【考点题型六】导函数有效部分是一次型或可化为一次型 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【例6】（24-25高二下·福建三明·期中） (1)，求曲线在点处的切线方程 (2)讨论的单调性 【详解】（1）当时，，求导得，则，而， 所以所求切线方程为：，即． 整理得. （2）由题设，且 当时，当时，时 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，时，或时， 【考点题型七】导函数有效部分是二次型或可化为二次型 所以在上单调递减，在上单调递增 当时，恒成立，即在上单调递减；. 当时，时，或时， 所以在上单调递减，在上单调递增； 【例7-1】（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数. (1)若，求在处的切线方程. (2)讨论的单调性. 【详解】（1）由题设，则， 所以，，故切线方程为， 因此曲线在点处的切线方程为． 【考点题型八】导函数有效部分是不可因式分解的二次型 【例8】（2025·吉林·模拟预测）已知函数，其中为常数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； 【详解】（1）当时，，， ，此时， 当时，中， 当，即时， 方程在上仅有一个正根 令得，令得， 此时函数在上单调递增，在上单调递减； 当，即时， 方程在上有两个不等正根， 分别为，， ，故， 令得，令得， 此时函数在和上单调递增， 在上单调递减． (2)讨论函数的单调性； （2）函数的定义域为，， 当，即时，，令，解得， 令得，令得， 此时函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，有极小值，极小值为； 当时，有极大值，极大值为． 【考点题型九】求已知函数（不含参）极值（点）最值 【例9-1】（24-25高二下·甘肃武威·期中）已知函数． (1)求函数的极值； (2)求函数在上的最大值和最小值． 【详解】（1）定义域，令，， 0 2 0 0 单调递减 极小值 单调递增 极大值0 单调递减 （2） 0 2 3 0 0 16 单调递减 极小值 单调递增 极大值0 单调递减 所以，.． 由题有，得到，所以， 得到，当且仅当时，取等号， 故选：D. 【考点题型十】根据函数的极值（点）求参数 【例10】（24-25高二下·浙江·期中）若，，且函数在处有极值，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则， 【考点题型十一】求已知函数（含参）极值（点）、最值 【例11】（24-25高二下·北京·期中）已知函数 (1)若时，求函数在处的切线方程； (2)求函数的极值. 【详解】（1）当时，函数，求导得，则，而， 所以函数的图象在处的切线方程为，即. 函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在处取得极大值，无极小值； 当时，函数的定义域为， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极大值，无极小值. （2）当时，函数的定义域为， 求导得，当时，；当时，， 当时， 所以在递增，在递减，则为极大值点，不符合题意； 当时， 在递减，在递增，则为极小值点，符合题意； 所以的取值范围为. 【考点题型十二】根据函数的最值求参数 【例12】（24-25高二下·四川绵阳·期中）函数 (1)若在处取得极小值，求实数的取值范围， (2)若在区间上的最大值是，最小值是，求的值. 【详解】（1）因为， 令得或， 又，， ，， ，满足，则 当时， 在递减，在递增， ，， ，满足，则， 综上：. （2）当时， 在递增，在递减， （2）， 当时，，∴在上为增函数； 当时，， 令，得；令，得． ∴在上为增函数，在上为减函数． 【考点题型十三】借助分离变量法解决恒成立问题 【例13】（24-25高二下·湖南·期中）已知函数，． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)无论取何值，函数的图象都在函数图象的上方，求实数的取值范围． 【详解】（1），，． 切线方程为，． 令，， ． 令，得；令，得， 则在上为增函数，在上为减函数， ∴， 则． (3)无论取何值，函数的图象都在函数图象的上方，求实数的取值范围． （3）无论取何值，函数的图象都在函数图象的上方， 即为恒成立，即，则，恒成立， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时函数有极小值，无极大值； 【考点题型十四】借助分离变量法解决能成立（有解）问题 【例14】（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知函数． (1)当时，求的单调区间与极值； (2)若在上有解，求实数的取值范围． 【详解】（1）当时，，所以， 当时；当时， 令，， 则 由（1）知时，即， 所以当时，当时； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，所以， 综上可知，实数的取值范围是. （2）当时恒成立，所以； 当，在上有解，即在上有解， 即在上有解， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 【考点题型十五】借助分类讨论法解决恒成立问题 【例15】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若时，总有成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， ， 因为，所以, 所以,恒满足题意； 当时，函数在恒单调递增，即， 所以也满足题意； 综上：. （2）由题意得， 当时，函数在单调递减，在单调递增， 即， 当时， 时，，时，， 函数在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，只有增区间为. 当时，的增区间为，减区间为. 【考点题型十六】借助分类讨论法解决能成立（有解）问题 【例16】（23-24高三下·贵州贵阳·阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，证明：存在正实数，使得. 【详解】（1）（1）解：， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，令， 在区间上有一个零点. 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. . 由，得，所以. 设，当时，， 所以在上单调递增，所以，即， 所以存在正实数，使得. （2）证明：由已知得，的定义域为， 当时，存在正实数，使得. 只需要满足在上恒小于等于在上的最大值. 因为， 所以在上单调递减， 所以在上得最大值为， 所以，在上恒成立， 即在上恒成立， 即在上恒成立. 设，， 则. 【考点题型十七】最值定位法解决双参不等式问题 则当时，有，即在上单调递增； 当时，有，即在上单调递减. 所以，在上的最大值为. 则由在上恒成立可知，. 故答案为：. 【例17】（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知函数，，对任意的，总存在，使，则实数的取值范围是 【答案】 【详解】由已知可知，只需满足对任意的，， ②若则，即， 当时，，故在上单调递增， 当时，，在上单调递减．- 【考点题型十八】等价转化法解决问题 【例18】（24-25高二下·四川内江·期中）已知． (1)讨论函数在的单调性； (2)当时，若恒成立，求b的取值范围． 【详解】（1）由题可得，令，得． ①若，则，即， 故当时，，在上单调递减． 令，则， 所以在上单调递增， 又， 所以存在唯一的，使得（☆） 当时，，即，则在上单调递减， 当时，，即，则在上单调递增， 则． 由（☆）得， 设，则，易知在上单调递增， 所以，得， 由，得，故， 故， 因此，故b的取值范围为． （2）法一：当时，即恒成立， 令，则， 则函数的零点个数即为方程实数根的个数， 令， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在单调增，所以， 则关于的方程实数根的个数， 即为关于的方程实数根的个数， 即为关于的方程， 令，则， 【考点题型十九】判断（讨论）函数零点（方程的根）的个数 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 当时，，当时，， 所以当时，无零点； 当时，有一个零点； 当时，有两个零点. 【例19】（2025高三·全国·专题练习）若函数，讨论函数零点的个数. 【详解】令， 则，即， 【考点题型二十】证明函数零点（方程的根）的唯一性 【例20】（2025·安徽淮北·二模）已知函数 (1)若，求函数在处的切线方程； (2)求证：当时，有且仅有一个零点. 【详解】（1）若，则， 所以，函数在处的切线方程为； 当时，，函数递增，由，知存在唯一零点； 当时，令得， 当时，函数递增： 当时，函数递减； 当时，函数递增： 当时，，所以，函数无零点； 因为当时递减，当时递增 且，所以存在唯一零点. 综上所述，当时，有且仅有一个零点. （2）的定义域为， 当时有且仅有一个零点4： 所以曲线在点处的切线斜率为， 切线方程为：，即. （2）由可得： 因为， 所以当时，，此时函数在上单调递减； 当时，令，得；令，得， 此时函数在区间上单调递减；在区间上单调递增. 【考点题型二十一】利用极值（最值）研究函数的零点（方程的根） 综上可得：当时，函数的单调减区间为，无单调增区间； 当时，函数的单调减区间为，单调增区间为. 【例21】（24-25高二下·四川南充·期中）已知函数 ． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若有两个零点，求的取值范围． 【详解】（1）当时，， 则，， 因为有两个零点， 所以，. 因为函数为上的增函数，且， 所以的解为. 故当有两个零点， 的取值范围为. （3）由（2）可得：当时，根据零点存在性定理可得函数在上不会有两个零点，不符合题意； 当时， 函数的最小值为， 且当时，，当时，， 当且仅当时等号成立，所以在上单调递减； 当时，，令，解得或， 令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减； 当时，，令，解得或， 令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. 【考点题型二十二】数形结合法研究函数的零点（方程的根） 【例22】（24-25高二下·重庆·期中）已知． (1)讨论的单调性； (2)若，且函数有三个零点，求的取值范围． 【详解】（1）因为的定义域为，且， 当时，恒成立， 当无限趋向于负无穷大时，无限趋向于正穷大， 因为函数有三个零点，则方程有三个根， 所以函数与直线有三个交点， 又，由图可知：，即的取值范围为. （2）若，由（1）得在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 且当无限趋向于正无穷大时，无限趋向于0，且， 所以， 设函数，则恒成立， 所以函数在上单调递增， 由得，即，故. 故选：A. 【考点题型二十三】利用同构函数法研究函数的零点（方程的根） 【例23】（24-25高二下·重庆·阶段练习）若实数是函数的零点，则（   ） A．0 B．1 C．e D． 【答案】A 【详解】由题可得， 当时，，解得， 此时，，在处取得极值， 综上， 1．（24-25高二下·山东·阶段练习）已知． (1)若，且在处取得极值，求，的值； 【详解】（1）由，得，即，解得或. 求导，因是极值点，故，即，化简为. 当时，，解得, 此时，恒成立，无极值点，舍. 由存在大于1的极值点，可知存在大于1的根 即存在大于1的解，即存在大于1的解， 而时，随x增大而增大，故 故，故选：B 1．（24-25高二下·江苏徐州·期中）函数存在大于1的极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知的定义域为， 则， 即，分离参数可得， 因为函数在上单调递增，所以， 所以，故实数的取值范围是. 2．（24-25高二下·四川南充·期中）已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由求导可得， 根据题意，在区间上单调递增，则在上恒成立， 则在上单调递减，在上单调递增 则， 因不等式有解，则，得， 则实数m的取值范围为. 3．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）若不等式有解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则 则得；得， 当时，，在上单调递增. 所以当时，有极小值，所以，. 4．（24-25高二下·北京·期中）已知函数在处取得极值. (1)求实数、的值； (2)求函数在区间上的取值范围. 【详解】（1）由，得. 又当时，有极值，所以，解得. 所以， 当时，，在上单调递减； 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表可知在上的最大值为，最小值为 即在上的取值范围为. （2）由（1）知，， 令，得，， 、的值随的变化情况如下表： 所以该函数增区间为和，减区间为， 当时取得极大值，当时取得极小值； 5．（24-25高二下·江苏徐州·期中）已知函数 (1)若，求函数的单调区间和极值； (2)若存在，使得成立，求a的取值范围． 【详解】（1）若，则， 则， 令，可得或；令，可得， 设，其中，则， 因为，所以， 当时，， 因此在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，即， （2）因为存在，有成立， 所以存在，有成立，即存在， 因为，所以存在，， 故函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，令得，令得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 综上所述，当时，函数的单调递增区间为； 函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 6．（24-25高二下·天津·阶段练习）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 【详解】（1）由，定义域为， 则， 当时，， 由，，则， 由于，故在上恒成立， 故在上单调递增， 故， 所以，即. 令，， 则， 故在上单调递减， 又， 所以当时，， 故m的取值范围为. （2）当时，若对于任意，总存在，使得， 即在上的最大值小于等于在的最大值 由（1）知，在上单调递增，在上单调递减； 故. $$