专题01 第四章 数列（考点串讲，17大考点&25大题型剖析）-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（人教A版2019）

人教A版（2019）高二数学下学期·期末大串讲 专题01 第四章 数列 （17考点&25题型） 人教A版2019 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 考点透视 清单01 等差数列的有关概念  清单02 等差数列的通项公式  考点透视 清单03 等差数列判断（证明）方法  清单04 等差数列性质  考点透视 清单05 等差数列前N项和  考点透视 清单06 等差数列前n项和性质  考点透视 清单07 等比数列概念  清单08 等比数列判断与证明  考点透视 清单09 等比数列常用性质  清单10 等比数列前n项和  考点透视 清单11 等比数列前n项和性质  清单12 累加法  考点透视 清单13 累乘法  考点透视 考点透视 清单15 构造法  考点透视 清单16 倒数法  考点透视 清单17 裂项相消法  题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 易错易混 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 首项为,公差为的等差数列的通项公式为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (1)定义法（或者）(是常数)是等差数列． (2)等差中项法： ()是等差数列． (3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数） (4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项） 提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ① ②若，则（特别的，当，有） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1、首项为，末项为的等差数列的前项和公式 2、首项为，公差为的等差数列的前项和公式 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 (1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为 (2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列 (3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则 (4)若等差数列的项数为,则 ，。 (5)若等差数列的项数为,则，，， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示() 符号语言（或者）(为常数，，) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1、定义：（或者）（可判断，可证明） 2、等比中项法：验证（特别注意）（可判断，可证明） 3、通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 设数列是等比数列，是其前项和． （1） (2)若，则，其中.特别地，若，则，其中. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 若等比数列的首项为,公比为,则它的前项和 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 公比为的等比数列的前项和为,关于的性质常考的有以下四类: (1)数列，，，,…组成公比为（）的等比数列 (2)当是偶数时, ;当是奇数时, (3) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对于数列，前项和记为； ①；② 1- ②： 法归类 角度1：已知与的关系；或与的关系 用，得到 例子：已知，求 角度2：已知与的关系；或与的关系 替换题目中的 例子：已知； 已知 角度3：已知等式中左侧含有： 作差法（类似） 例子：已知求 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 用“待定系数法”构造等比数列 形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 用“倒数变换法”构造等差数列 类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. 类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1、等差型 ① 特别注意 ② 如：（尤其要注意不能丢前边的） 2、无理型 ① 如： 3、指数型 ① 如： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 由是关于的一次函数，得数列是公差为的等差数列， C正确； 又是关于的一次函数，则数列是公差为的等差数列，故D错误． 故选：C． 【考点题型一】判断数列是否为等差（等比）数列 【例1-1】（23-24高二下·辽宁沈阳·期末）若等差数列的公差为，前项和为，记，则（    ） A．数列是公差也为的等差数列 B．数列是公差为的等差数列 C．数列是公差为的等差数列 D．数列是公差为的等差数列 【答案】C 根据题意，，， 故是关于的一次函数， ∴数列是公差为的等差数列，故A、B错误； 当时，， 又符合上式，所以. （2）由（1）知，则， 所以，又， 所以数列是以2为首项，以2为公差的等差数列. 【考点题型二】证明数列是等差（等比）数列 【例2-1】（24-25高二上·天津·阶段练习）若数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)证明是等差数列. （1）， 当时，； 在等比数列中，若时单调递减，故B不正确. 设，则， 所以， 因为，所以不为常数，故C不正确. 若，则仍为等比数列，所以D正确. 【考点题型三】等差（等比）数列的单调性 【例3】（多选）（24-25高二上·陕西西安·期末）已知等差数列的公差，等比数列的公比，则下列选项正确的是（    ） A．若，则单调递增 B．若，则单调递增 C．可能为等差数列 D．可能为等比数列 【答案】AD 【详解】等差数列的单调性只与公差有关，与首项无关， 若，则单调递减，若，则单调递增，故A正确. 解得，. 所以的通项公式为. （2）的前n项和. 所以当时，取得最大值. 【考点题型四】求等差（等比）数列中的最大项 【例4】（24-25高二下·北京大兴·期中）已知等差数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和的最大值； (3)若等比数列满足，，问：是否存在最大值与最小值？说明理由. （1）设等差数列的公差为d， 由题意知 故当时，取得最小值.当时，取得最大值. 【考点题型四】求等差（等比）数列中的最大项 【例4】（24-25高二下·北京大兴·期中）已知等差数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和的最大值； (3)若等比数列满足，，问：是否存在最大值与最小值？说明理由. （3）由（1）知，，， 因为等比数列满足，，所以，. 所以等比数列的公比为，.所以. 所以，. 设的公差为，. 【考点题型五】等差数列角标和性质 【例5】（河南省豫西名校2025届高三下学期模拟测试数学试题）在等差数列中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】等差数列中，， 由等比数列的性质得， 因此，. 【考点题型六】等比数列角标和性质 【例6】（24-25高二下·湖北·期中）等比数列的各项均为正数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为等比数列的各项均为正数，且， 因此，. 【考点题型七】等差（等比）数列前项和的基本量计算 【例7】（24-25高二下·山东德州·期中）已知数列为等差数列，该数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为数列为等差数列，且，，则该数列的公差为， 所以， 则. 故答案为： 【考点题型八】等差数列前项和性质（片段和性质） 【例8】（24-25高二下·安徽安庆·阶段练习）已知是等差数列的前项和，若，则 ． 【答案】 【详解】由等差数列片段和的性质知：成等差数列， 则． 故答案为： 【考点题型九】等差数列前项和性质（两个等差数列的比值） 【例9】（2026高三·全国·专题练习）两个等差数列和的前n项和分别为，且，则的值等于 ． 【答案】/4.75 【详解】因为，可设， 所以为等比数列，故为等比数列， 故，故， 故答案为：21 【考点题型十】等比数列前项和性质（片段和性质） 【例10】（24-25高二下·广东广州·阶段练习）已知等比数列的前项和为，且，则 . 【答案】21 【详解】因为为等比数列，其前项和为， 设所有的奇数项和为，则， 设所有的偶数项和为，则， 由，解得， 项数. 【考点题型十一】等差（比）数列前项和性质（奇偶项和性质） 【例11】（24-25高二下·山西晋中·阶段练习）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 【答案】C 【详解】设等差数列的项数为， （2）当时，， 又适合上式，所以； 【考点题型十二】已知与（）的关系，求 【例12】（24-25高二下·陕西渭南·阶段练习）已知数列的前n项和为. (1)求的值； (2)求的通项公式； 【详解】（1）因为数列的前n项和为， 所以； 累加可得， 因为，所以，当时，，满足上式， 所以， 【考点题型十三】累加法求通项 【例13】（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以当时，，，…，， 上述个式子累乘得． 因为，所以， 而当时，，也满足上式， 故数列的通项公式为． 【考点题型十四】累乘法求通项 【例14】（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【详解】当时，有，故， 则有，． 当时，由可得， 上述两个等式作差可得， 整理可得， 又因为数列的各项均为正，所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以数列的通项公式. 【考点题型十五】已知与的关系；或与的关系 【例15】（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知数列的各项均为正，为数列的前项和，. (1)求的通项公式； 【答案】(1) 【详解】（1）因为，则，即， 解得：或（舍）， 可得， 可得，可得， 当时，，适合上式. 所以数列的通项公式为. 所以数列是等比数列，首项为4，公比为2. 【考点题型十六】已知等式中左侧含有： 数列的前项和. 【例16】（24-25高二上·云南大理·期末）若数列{bn}满足：则数列{bn}的前n项和Sn为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】数列满足， 因此数列是首项为，公比为3的等比数列，则， 所以. 【考点题型十七】数列求通项之构造法（形如） 【例17】（24-25高二下·湖北·期中）数列中，，，则通项 ． 【答案】 【详解】数列中，由，得，而， 而，， 故数列是首项为3、公比为的等比数列， 因此，即，所以． 由于， 所以 ． 【考点题型十八】数列求通项之构造法（形如） 【例18】（2025高三·全国·专题练习）数列满足，，则数列的通项公式为 ，前n项和 ． 【详解】数列中，由， 两边同时除以，得，变形得． 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，即，所以． 故答案为： 【考点题型十九】数列求通项之倒数法（形如） 【例19】（24-25高二下·河南南阳·期中）已知数列中，，且，则 ． 【详解】由，可得，即， 又， 则， 设，则， 两式相加可得，解得. 【考点题型二十】数列求和之倒序相加法 【例20】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若等差数列满足，则（   ） A．2025 B． C． D． 【详解】由等差数列满足， 则对于，当时，， 等差数列的首项， . （2）因为是和的等差中项， ，即， 又，，， 所以等比数列的公比， 【考点题型二十一】数列求和之分组求和法（形如） 所以，则， 所以 【例21】（24-25高二下·北京顺义·期中）已知等差数列的前项和为，，．等比数列满足是和的等差中项，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【详解】（1），即， 又，，所以等差数列的公差， 则. 因为，所以. （2）由（1）可得 当为偶数时， 则 【考点题型二十二】数列求和之分组求和法（形如） 则 则 ， 则. 当为奇数时， 故 【例22】（2025·河北沧州·模拟预测）已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)若求数列的前项和. 【详解】（1）当时，. 当时，由，得 故，. （2）, 故 . 【考点题型二十三】数列求和之列项相消法（形如） 【例23】（2025·贵州黔南·模拟预测）已知数列为等差数列，为等比数列，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，证明：． 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由题设有，因，故解得， 又因为点在函数的图象上， 所以， 所以 ， 所以数列是首项为2，公差为2的等差数列 【考点题型二十四】数列求和之列项相消法（形如） 【例24】（24-25高二下·湖北武汉·期中）已知递增数列满足，点在函数的图象上. (1)证明：数列是等差数列； (2)若，求数列的前项和. 【详解】（1）因为， 所以当时， 所以 所以 所以 ， 即 （2）由（1）可知，， 所以， 则，所以. 【考点题型二十五】数列求和之错位相减法 【例25】（广东省部分学校2024-2025学年高二下学期4月月考数学试卷）设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，已知，，，． (1)求，的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 【详解】（1）由题意知，解得或（舍去）， 所以， 所以 两式相减得 ， 故． （2）由（1）知． 因为， 由于不适合该式，故， 故答案为： 1．（23-24高二上·浙江金华·阶段练习）已知数列的前n项和，则通项公式= ． 【详解】因为数列的前n项和， 故当时，， 当时， ， 则，则， 故. 1．（24-25高二下·北京·期中）已知数列满足，，则（   ） A． B． C．12 D．21 【答案】A 【详解】由得，， 因，则数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以， 故． 2．（24-25高二下·四川凉山·期中）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以． 因为，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， . 3．（24-25高二上·云南文山·期末）若数列的通项公式为，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知数列的前项和为 所以 所以 . 故答案为：； 4．（24-25高二下·广东广州·期中）任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化为的形式，从而是有理数：则无限循环小数 （写成的形式，m与n为互质的具体正整数）；若1.5，1.55，1.555，……构成了数列，设数列，则数列的前n项和 ． 【详解】令，则，解得，所以； 易知 所以， 所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，即. 当时，， 当时，不符合上式，故. 5．（24-25高二下·贵州贵阳·期中）已知数列的前n项和为，，当时， (1)求； (2)设，求数列的前n项和为． 【详解】（1）当时，，即， 整理得：，即， 当时，， 由得， 所以. （2）由（1）知，所以， 所以，① ，② $$