专题03 沪科版八年级下册期末复习解答压轴题（考题猜想，解答压轴必刷3大题型30题）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（沪科版）

专题03 沪科版八年级下册期末复习解答压轴题 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 目录 题型一 矩形之解答压轴题 1 题型二 菱形之解答压轴题 27 题型三 正方形之解答压轴题 57 题型一 矩形之解答压轴题 1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）四边形，． (1)如图1，求证：四边形为矩形； (2)如图2，点E在的延长线上，，连接交于点，求证：点为中点； (3)如图3，在（2）的条件下，点M，G在上，，连接，过点作的垂线，点H为垂足，若，求的长． 2．（23-24八年级下·江苏南通·期末）在数学活动课上，老师提供了不同的矩形纸片，要求各小组开展“矩形的折叠”探究活动． 【初步探究】 （1）甲小组拿到的矩形纸片中，，，如图1，进行以下操作并提出问题：操作：在边上取点E，沿折叠得，点F落在边上； 问题：求的长； 【拓展延伸】 （2）乙小组拿到的矩形纸片中，，，如图2，进行以下操作并提出问题：操作：在射线上取点E，沿折叠得，连接； 问题：当时，求的长． 3．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，在矩形纸片中，E为边上的动点，F为边上的动点，连接． (1)若． ①如图①，点E与点D重合，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，设与相交于H，求的长； ②如图②，将矩形纸片沿折叠，使点B与点D重合，求折痕的长； (2)如图③，点E为的中点，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，且点G在矩形内部，延长交于点H，若，求的值． 4．（23-24八年级下·浙江金华·期末）如下图，在矩形中，，，点P从点B出发，沿向点D运动，作关于直线的对称（点C，D的对称点分别为，）. (1)如下图，当点在的延长线上时，连结，求的长. (2)如下图，当点P与点C重合时，连结，、交分别于点E、F. ①求证：； ②求的长. (3)当直线经过点B时，求的长. 5．（23-24八年级下·吉林长春·期末）【知识回顾】 我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 【定理证明】 将下列的定理证明过程补充完整： 已知：如图①，在中，点D、E分别是与的中点． 求证：，． 证明： 【定理应用】 (1)如图②，在中，对角线、相交于点O，的平分线与边相交于点E，点F是的中点，若，，则　　； (2)如图③，将矩形的边绕点A旋转一定的角度，得到线段，连结，点E，F分别是和的中点，连结，，，已知，，则的面积的最大值为 ． 6．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）在一次数学活动课上，老师带领同学们探究图形的变换问题．老师先提出这样一个问题：有一张矩形纸片，其中，，你能用这张矩形纸片折出一个等边三角形吗？ 【操作】小明同学是这样操作的：如图①，先将矩形沿对折；展开后，再将点沿折叠，使点落在上的点处；再展开，连接，，则为等边三角形． 【验证】（1）求证：为等边三角形； 【应用】（2）连接，，如图②，求的长； 【拓展】（3）将图②中的绕着点顺时针旋转（）得到（点，的对应点分别为，），连接，，当为等腰三角形时，直接写出线段的长． 7．（23-24八年级下·河南省直辖县级单位·期末）学习完《四边形》这章后，数学老师给一个问题情境让同学们探讨． 问题情境：如图1，矩形中，，，点为对角线和的交点，点为上一个动点，连接并延长交于点． (1)判断和的数量关系并证明． (2)如图2，将四边形沿方向平移得到四边形，当点与点重合时，由（1）可得点与点重合，求证：四边形是平行四边形． (3)如图3，当点在直线上运动时，若直线交直线于点，连接，将沿折叠，点的对应点为点，连接，得到，当时，请直接写出线段的长度． 8．（23-24八年级下·河南商丘·期末）数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动．如图，四边形为矩形，将矩形沿着过点的直线翻折，交于点，点的对应点为点． (1)如图1，当点正好落在对角线和的交点处时，的度数是 ； 如图2，若点是的中点，点落在矩形的内部时，延长交边于点．若，请探究之间的数量关系，并说明理由； (2)已知，，直线与射线交于点，当是直角三角形时，请直接写出的长． 9．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在下方的直线． (1)P为直线上一动点，连接，．若，． ①如图1，求证：四边形是平行四边形； ②如图2，，，作于点，连接，若，求的长； (2)如图3，，，作于点，连接，，若的面积始终为，求长的最大值． 10．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）已知，在矩形中． (1)若点F是矩形边上一点，点E在边上，连接，． ①如图1，点F在边上，且，连接．求的度数； ②如图2，点F在边上，且，连接交于点G，过C作交于H．求的度数． (2)如图3，在矩形中，若E是边上一动点，将沿折叠后得到，点N在矩形内部（不含边），射线分别交射线，射线于点M，F，，． ①当点E是的中点时，求线段的长； ②点E在运动过程中，求出的周长的最小值． 题型二 菱形之解答压轴题 11．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在菱形中，，对角线，交于点，是射线上一动点，连接，以为边顺时针作等边三角形，连接，，． (1)①填空：________，________； ②当时．求证：，； (2)如图，当时，连接，若，求的长； (3)如图，当时，连接，若，直接写出的长． 12．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）数学课上，张老师出示了一个问题：在菱形中，连接，可在直线上平移，得到，的平分线交射线于点． (1)小芳想，当点在的沿长线上时，如图1，线段和线段之间会有怎样的数量关系呢？请你作出判断：_______（填“”，“”或“”） (2)当点在线段上时，如图2，小琳同学对线段和线段之间的数量关系作出了判断：． ①小迪认为在图2中，不用添画辅助线，可以证明出小琳的结论； ②小芮觉得可以添画如图3的辅助线，构造全等三角形来证明小琳的结论； 请你选择用小迪或小芮的思路，写出一种证明过程． (3)小怡突发奇想：点在线段上，若，，当是等腰三角形时，请直接写出平移的距离． 13．（23-24八年级下·山西大同·期末）综合与实践 问题情境： 在数学实践课上，老师要求同学们将两个菱形纸片的一个顶点重合，分别记为菱形和菱形，其中，连接，．（菱形的位置不动，改变菱形的位置） 操作发现： （1）如图1，当边与重合时，直接写出与之间的数量关系． 探究发现： （2）将两个菱形纸片按如图2所示的方式放置，其中点D在边上，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 拓广探究： （3）创意小组的同学发现图1中的，，． ①求菱形的边长（结果化为不含分母的形式，提示：）； ②在放置两个菱形纸片的过程中，当A，B，F三点在同一条直线上时，连接，请直接写出的长． 14．（23-24八年级下·福建厦门·期末）四边形是菱形，点O为对角线交点，点E在射线上（点C与E不重合），，直线与直线交于点F，如图1所示． (1)若边的垂直平分线交线段于点P（P不与O重合），连接，求证：； (2)当，时，求的度数； (3)若，垂足为M，请在图2中补全图形，并探究与的数量关系． 15．（23-24八年级下·江西赣州·期末）课本再现 思考 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗? 可以发现并证明菱形的一个判定定理； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 定理证明 （1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在中，对角线，垂足为． 求证：是菱形． 知识应用 （2）如图，在中，对角线和相交于点，，，． 求证：是菱形； 延长至点，连接交于点，若，求的长． 16．（23-24七年级下·重庆忠县·期末）如图所示四边形的对角线AC、BD交于点O，已知点，，BD平分． (1)证明：四边形是菱形； (2)如图1，过四边形的顶点C作，且，线段CF交OD于点E，交AD于点H，交BA的延长线于点F，求证：； (3)如图2，在四边形ABCD中，若，的面积为，点P是直线AD上一动点，连接BP．点M在线段AB的左侧，为等边三角形，连接AM，当线段AM最短时，求的值． 17．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）探究思考：我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理；对角线互相垂直的平行四边形是菱形． (1)定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在中，对角线，垂足为O． 求证：是菱形． (2)知识应用：如图2，在中，对角线和相交于点O，． ①求证：是菱形； ②延长至点E，连接交于点F，若，求的面积． 18．（23-24八年级下·重庆秀山·期末）在菱形中，． (1)如图1，过点作于点，连接，点是线段的中点，连接，若，求线段的长度； (2)如图2，过点作于点，连接，过点作，连接，且，连接，请探索线段之间的数量关系，并证明； (3)如图3，连接，点是对角线上的一个动点，若，求的最小值． 19．（23-24八年级下·广东云浮·期末）综合与实践课上，智慧星小组三名同学对含角的菱形进行了以下探究． 【背景】 在菱形中，，作，，分别交，于点，． 【感知】 （1）如图1，若是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系：____________________． 【探究】 （2）如图2，当为边上任意一点时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由． 【应用】 （3）如图3，在菱形纸片中，，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点．当时，求线段的长． 20．（23-24八年级下·山西大同·期末）给合与实践 数学课上，小组同学对含角的菱形进行了探究． 【背景】在菱形中，，作，、分别交边、于点、． (1)【感知】 如图1，若点是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为__________． (2)【探究】 如图2，说“点为上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立”，你同意吗？请说明理由． 如图3，若点为射线上任意一点时，作，交边所在射线于．则（1）中结论是否仍然成立？回答并说明理由． (3)【应用】 取出如图2所示的菱形纸片，测得，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长． 题型三 正方形之解答压轴题 21．（23-24八年级下·天津·期末）如图1，点是正方形内的一点，连接，点在点右侧，且，；连接，，． (1)如图1， ①求证：； ②延长交线段于点，若，，线段的长为______． (2)如图2，交于点，若，，三点在同一条直线上，且，求证：． 22．（23-24八年级下·安徽六安·期末）已知正方形中，点E，F分别在边，上，连接，． (1)若E为的中点，于点O． ①如图1，求证：； ②如图2，连接，求的值． (2)如图3，若，，则的最小值为 ．（直接写出结果）． 23．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点、（点与点，不重合）.探索线段、、之间的数量关系．    【问题初探】 （1）如图1，爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论，请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【问题引申】 （2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段、、之间的数量关系，并说明理由． 24．（23-24八年级下·广东广州·期末）四边形 是正方形，点 是射线 上一动点，过点作交直线 于点，作的平分线交直线于点，连接． (1)如图1，若点 在线段延长线上，点在线段上． ①求证：； ②如图2，连接 交 于点 ，交 于点 ，请探索之间的数量关系并证明； (2)请直接写出 和之间的数量关系． 25．（23-24八年级下·河南信阳·期末）如图，在正方形中，点、分别是、上的点，且，连接，过点作，使，连接、． (1)判断：与的位置关系是______，、、之间的数量关系为______． (2)如图，若点，分别是边，延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明； (3)如图，若点、分别是边、延长线上的点，正方形的边长为，，其他条件不变，请直接写出四边形的面积． 26．（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，正方形中，为上一点，过作于，延长至点使． (1)当点在线段上时： ①判断与有怎样的数量关系，并说明理由； ②求证：； (2)若点是线段的三解分点，，求的长． 27．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在正方形中，M、N分别是射线和射线上的动点，且始终． (1)如图1，当点M、N分别在线段上时，请写出线段之间的数量关系并证明； (2)如图2，当点M、N分别在的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给予证明；若不成立，写出正确的结论，并证明； (3)如图3，在中，，D、E在上，，若，求线段围成的三角形的面积，直接写出结果． 28．（23-24八年级下·河南郑州·期末）【问题背景】 如图①，在正方形中，是上一点，点在的延长线上，且交于，连接． 【初步认识】 （1）猜想线段和有何数量关系：__________________． 【深入思考】 （2）请求出的度数． 【延伸迁移】 （3）如图②，把正方形改为菱形，其他条件不变，当时，连接，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 29．（23-24八年级下·辽宁·期末）在正方形中，将边绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交边于点，连接．      (1)如图1， ①若，求的度数； ②求的度数． (2)如图2，点在边上，，连接，求证：； (3)如图3，过作于，延长交的延长线于，若，求正方形的面积． 30．（23-24八年级下·山东临沂·期末）【问题情境】 （1）如图1，四边形是正方形，点是对角线上一动点．则与的数量关系为______． 【深入探究】 （2）如图2，在正方形中，点P是对角线上一动点，过点P分别作，，垂足分别为E、F，连接． ①试猜想与的数量关系．并证明你的猜想． ②若，求的最小值． 【拓展应用】 （3）如图3，延长交于点与交于点Q，点H为的中点，连接，请判断的形状．并说明理由． $$专题03 沪科版八年级下册期末复习解答压轴题 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 目录 题型一 矩形之解答压轴题 1 题型二 菱形之解答压轴题 27 题型三 正方形之解答压轴题 57 题型一 矩形之解答压轴题 1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）四边形，． (1)如图1，求证：四边形为矩形； (2)如图2，点E在的延长线上，，连接交于点，求证：点为中点； (3)如图3，在（2）的条件下，点M，G在上，，连接，过点作的垂线，点H为垂足，若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3) 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用矩形的性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理： （1）根据平行线的性质可得，从而得到，即可求证； （2）证明，即可求证； （3）连接，证明，可得，在上截取，连接，根据三角形中位线定理可得，可得，再由，可得，证明，可得，即可求解． 【详解】（1）证明∶ ， ， ， ， ， ∴四边形为矩形； （2）∵四边形为矩形，       ∴， ， ，        ，， ， ， ， ，        ， ∴点F为中点； （3）解：连接， ∵，，， ∴， ∴， 在上截取，连接， ∵点为中点，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（23-24八年级下·江苏南通·期末）在数学活动课上，老师提供了不同的矩形纸片，要求各小组开展“矩形的折叠”探究活动． 【初步探究】 （1）甲小组拿到的矩形纸片中，，，如图1，进行以下操作并提出问题：操作：在边上取点E，沿折叠得，点F落在边上； 问题：求的长； 【拓展延伸】 （2）乙小组拿到的矩形纸片中，，，如图2，进行以下操作并提出问题：操作：在射线上取点E，沿折叠得，连接； 问题：当时，求的长． 【答案】（1）5；（2）的长为2.5或10． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、矩形与折叠问题、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由折叠可知，由全等三角形的性质可得出，由矩形的性质可知，利用勾股定理求出，进而求出，设，则，在中，利用勾股定理建立关于x的方程求解即可的得出答案． （2）分两种情况，①当点E在线段上，由折叠可知，，， 当时，，进而判定为等腰三角形，过点F作于点H，延长交于点G，由等腰三角形三线合一的性质可得出，，由勾股定理求出，再求出，设，则，在中，利用勾股定理建立关于x的方程求解即可的得出答案． ②当点E在线段延长线上，由①得，则，设，则，， 在中，利用勾股定理建立关于x的方程求解即可的得出答案． 【详解】解：（1）由折叠可知， ，， ， 在中， 设， ，， ， 在中，， 即：， 解得：， 的长为 5； （2）①当点E在线段上，如图①， 由折叠可知，，， 当时，， 为等腰三角形， 过点F作于点H，延长交于点G， ，， 在中， 设，则，， 在中，， 即：， 解得：， 长为； ②当点E在线段延长线上，如图②， 由①得，则， 设，则，， 在中，， 即：， 解得：， 长为10； 综上得：的长为2.5或10． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠的问题，全等三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理的性质，分类的思想，掌握矩形的性质以及折叠的性质是解题的关键． 3．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，在矩形纸片中，E为边上的动点，F为边上的动点，连接． (1)若． ①如图①，点E与点D重合，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，设与相交于H，求的长； ②如图②，将矩形纸片沿折叠，使点B与点D重合，求折痕的长； (2)如图③，点E为的中点，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，且点G在矩形内部，延长交于点H，若，求的值． 【答案】(1)； (2) 【知识点】矩形与折叠问题、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形 【分析】（1）①由折叠性质和矩形的性质可得，设，根据即可求解； ②连接，过点E作，由折叠性质和矩形的性质可得，，设，根据勾股定理即可求解； （2）连接，设，，则，，由折叠性质和勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）解①：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴； 设， ∵， ∴， ∵， 即， 解得：， ∴； ②如图，连接，过点E作， 由折叠可得：，， ∵， ∴， ∴， 由折叠可得：， ∴， 由①同理可求：， 设，则， ∵，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）连接 ∵，点E为的中点， 设，，则，， ∴； 由折叠性质可得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是矩形的折叠问题，考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作辅助线是关键． 4．（23-24八年级下·浙江金华·期末）如下图，在矩形中，，，点P从点B出发，沿向点D运动，作关于直线的对称（点C，D的对称点分别为，）. (1)如下图，当点在的延长线上时，连结，求的长. (2)如下图，当点P与点C重合时，连结，、交分别于点E、F. ①求证：； ②求的长. (3)当直线经过点B时，求的长. 【答案】(1) (2)①证明过程见详解；②； (3)或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、矩形与折叠问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由对称，得，，再用勾股定理即可求出的长； （2）①由对称，得，，，，进而得 ，，即； ②在矩形中，由，得，进而得，，，设，则，用勾股定理建立方程即可求解； （3）分直线在边上，直线经过点B时两种情况，用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：在矩形中，，， ， 、关于直线对称， ， ， 在中，； （2）解：① 、关于直线对称， ，，，， ， ， ， ，即； ② 在矩形中，， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得，， 即的长是； （3）解：①当直线在边上时，如下图所示： 连接， 、关于直线对称， ，，，，，， ， ，即，当直线经过点B时， 在中，，， 在中，， 即，， ； ②当直线在边上时，如下图所示： 、关于直线对称， ，，， ， ， 当直线经过点B时， 在中，， 在矩形中，， ， ， ， 在和中， ， ， ； 综上所述，当直线经过点B时，的长或． 【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、轴对称的性质及勾股定理等知识，解题的关键是学会正确画出图形，学会分类讨论，充分利用矩形、轴对称的性质解决问题，属于压轴题． 5．（23-24八年级下·吉林长春·期末）【知识回顾】 我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 【定理证明】 将下列的定理证明过程补充完整： 已知：如图①，在中，点D、E分别是与的中点． 求证：，． 证明： 【定理应用】 (1)如图②，在中，对角线、相交于点O，的平分线与边相交于点E，点F是的中点，若，，则　　； (2)如图③，将矩形的边绕点A旋转一定的角度，得到线段，连结，点E，F分别是和的中点，连结，，，已知，，则的面积的最大值为 ． 【答案】(1)1 (2)12 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质求面积、利用平行四边形的性质求解 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，，得到，根据角平分线的定义得到，求得，得到，得到，根据三角形中位线定理得到； （2）根据三角形中位线定理得到，，由的面积点D到的距离点D到的距离，得到当点D到的距离最大时，的面积有最大值，求得将线段绕点B旋转时，点D到的距离最大，即为，根据三角形的面积公式即可得到结论， 本题考查了，平行四边形的性质，三角形的中位线，矩形的性质，旋转的性质，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】（1）解：（1）在平行四边形中，，，， ∴， ∵DE平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵F是的中点，O是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：1； （2） （2）∵点E，F分别是和的中点， ∴，， ∵的面积点D到的距离点D到的距离， ∴当点D到的距离最大时，的面积有最大值， ∴将线段绕点B旋转时，点D到的距离最大，即为， 如图， ∴的面积的最大值为：， 故答案为：12． 6．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）在一次数学活动课上，老师带领同学们探究图形的变换问题．老师先提出这样一个问题：有一张矩形纸片，其中，，你能用这张矩形纸片折出一个等边三角形吗？ 【操作】小明同学是这样操作的：如图①，先将矩形沿对折；展开后，再将点沿折叠，使点落在上的点处；再展开，连接，，则为等边三角形． 【验证】（1）求证：为等边三角形； 【应用】（2）连接，，如图②，求的长； 【拓展】（3）将图②中的绕着点顺时针旋转（）得到（点，的对应点分别为，），连接，，当为等腰三角形时，直接写出线段的长． 【答案】（1）见详解；（2）2；（3）或 【知识点】全等三角形综合问题、矩形与折叠问题、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】（1）可知是的垂直平分线，则，由折叠得，故，即可求证； （2）由勾股定理可求，而，对运用勾股定理可求； （3）当时，记与交于点H，可证明是直角三角形，即，由面积法可求，则，继而可得是等边三角形，则此时旋转到，因此点对应点落到点的位置，故；当时， 过作于，过点作，则，，可证明，则，在中，由勾股定理得，，综上，线段的长为或． 【详解】（1）证明：矩形沿对折， 是的垂直平分线， ， 折叠， ， ， 是等边三角形； （2）解：， ，， ， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ， ， ∵是折痕， ， ； （3）解：旋转， ， ， 等腰三角形中， 可分两种情况讨论， ①当时，记与交于点H，如图所示， 由（2）知，，，， ， 是直角三角形，即， ， 垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 此时旋转到， 点对应点落到点的位置， 此时； ②当时，如图所示， 过作于，过点作， ， ， ∵，由轴对称得，， ∴， ∴， ∴， 由旋转得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得，， 综上，线段的长为或． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、矩形的性质，等边三角形的判定和性质、勾股定理、旋转的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 7．（23-24八年级下·河南省直辖县级单位·期末）学习完《四边形》这章后，数学老师给一个问题情境让同学们探讨． 问题情境：如图1，矩形中，，，点为对角线和的交点，点为上一个动点，连接并延长交于点． (1)判断和的数量关系并证明． (2)如图2，将四边形沿方向平移得到四边形，当点与点重合时，由（1）可得点与点重合，求证：四边形是平行四边形． (3)如图3，当点在直线上运动时，若直线交直线于点，连接，将沿折叠，点的对应点为点，连接，得到，当时，请直接写出线段的长度． 【答案】(1)，证明见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平移的性质求解 【分析】（1）利用矩形的性质，证明，即可得出结论； （2）由平移的性质可得，再由，即可证明四边形是平行四边形； （3）当时，此时点Q落在上，根据折叠的性质，勾股定理求出的长，进而求出的长，设，则，在中，由勾股定理，进行求解即可． 【详解】（1）解：，证明如下： ∵矩形， ∴，， ∴． 又∵，， ∴， ∴． （2）证明：由平移的性质可得， 由（1）知：，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （3）当时，此时点Q落在上，如图： ∵折叠， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查矩形与折叠，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平移的性质，平行四边形的判定等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 8．（23-24八年级下·河南商丘·期末）数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动．如图，四边形为矩形，将矩形沿着过点的直线翻折，交于点，点的对应点为点． (1)如图1，当点正好落在对角线和的交点处时，的度数是 ； 如图2，若点是的中点，点落在矩形的内部时，延长交边于点．若，请探究之间的数量关系，并说明理由； (2)已知，，直线与射线交于点，当是直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)①；②，理由见解析 (2)2或18 【知识点】矩形与折叠问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】（1）①根据矩形的性质和折叠的性质证明是等边三角形，即可得解；②连接，证明得到，求出，设，则，求出，即可得解； （2）分两种情况：当直线与边交于点，点落在矩形内部，是直角三角形时；当直线与边交于点，点落在矩形外部，是直角三角形时；分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ②如图，连接， ， ∵点是的中点， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由折叠可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴； （2）解：当直线与边交于点，点落在矩形内部，是直角三角形时，如图， ， ∵四边形是矩形， ∴，，， 设，由折叠可得：，，， ∴，， ∴，， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； 当直线与边交于点，点落在矩形外部，是直角三角形时，如图， ， 由折叠可得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 9．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在下方的直线． (1)P为直线上一动点，连接，．若，． ①如图1，求证：四边形是平行四边形； ②如图2，，，作于点，连接，若，求的长； (2)如图3，，，作于点，连接，，若的面积始终为，求长的最大值． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【知识点】证明四边形是平行四边形、斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形、矩形性质理解 【分析】（1）①通过等角转化即可证出两组对边平行； ②根据边的关系，设和，用勾股定理求出，再用等面积即可得出，然后用未知数把的边长用未知数表示出来，再利用勾股定理建立方程即可求解． （2）由前述思路可以构造一个矩形和一个直角三角形，再利用斜边中点构造三角形，最后用三边关系求最值即可． 【详解】（1）①证明：， ，， ，， ，， ， 四边形是平行四边形． ②解：过作于点，交于点，则四边形是矩形， 设，则， ， 根据等面积可得：，， ， ， ， ， ，即， 解得， ，， ． （2）解：如图，过作交于点，作交于点，则四边形是矩形， ， ， ， ， ， 取中点，连接、，则， 在中，， 是直角三角形，是中点， ， 根据三角形三边关系可得，， 最大值为． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定、平行四边形的判定、勾股定理、矩形的判定和性质、直角三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题关键． 10．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）已知，在矩形中． (1)若点F是矩形边上一点，点E在边上，连接，． ①如图1，点F在边上，且，连接．求的度数； ②如图2，点F在边上，且，连接交于点G，过C作交于H．求的度数． (2)如图3，在矩形中，若E是边上一动点，将沿折叠后得到，点N在矩形内部（不含边），射线分别交射线，射线于点M，F，，． ①当点E是的中点时，求线段的长； ②点E在运动过程中，求出的周长的最小值． 【答案】(1)①；② (2)①；②12 【知识点】全等三角形综合问题、矩形与折叠问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键； （1）①证明是等腰直角三角形即可得出；②先证四边形是平行四边形，再证明是等腰直角三角形即可得出； （2）①根据勾股定理求的长度；②根据折叠性质得，在证点B、N、D在同一条直线上时，最小，即可求出的周长． 【详解】（1）①，，， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ； ②，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，，， ∴， 同①是等腰直角三角形，则， ， ； （2）①连接， E是的中点， ， 沿折叠后得到， ， ， 在矩形中， ， ， ，， ， ， 设，则，， 在中，， 解得， ； ②由折叠知，，， ， 当最小时，的周长最小， ， 点B、N、D在同一条直线上时，最小， ， 此时，， 的周长． 题型二 菱形之解答压轴题 11．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在菱形中，，对角线，交于点，是射线上一动点，连接，以为边顺时针作等边三角形，连接，，． (1)①填空：________，________； ②当时．求证：，； (2)如图，当时，连接，若，求的长； (3)如图，当时，连接，若，直接写出的长． 【答案】(1)①，；②证明见详解 (2) (3) 【知识点】利用菱形的性质求线段长、全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】（1）①根据菱形的性质可得出，用勾股定理，即可求出，的值，再根据菱形的性质和，即可得出为等边三角形，即可求出的值；②由等边三角形和菱形的性质即可得出，从而得出，，再根据，可得，即． （2）根据， ，，由勾股定理可得，同（1）证明过程相同，证明，，用勾股定理即可求出的长． （3）同（1）证明过程相同，证明，，用勾股定理即可求出，由，得，再用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）①解：∵四边形为菱形，，， ∴，，， ∴， ∴， 化简即可求出， ∵四边形为菱形， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为，． ②证明：当时，点在线段上 ∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：当时，点在线段上， ∵，， ∴， ∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：当时，点在线段的延长线上， ∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的全等，菱形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 12．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）数学课上，张老师出示了一个问题：在菱形中，连接，可在直线上平移，得到，的平分线交射线于点． (1)小芳想，当点在的沿长线上时，如图1，线段和线段之间会有怎样的数量关系呢？请你作出判断：_______（填“”，“”或“”） (2)当点在线段上时，如图2，小琳同学对线段和线段之间的数量关系作出了判断：． ①小迪认为在图2中，不用添画辅助线，可以证明出小琳的结论； ②小芮觉得可以添画如图3的辅助线，构造全等三角形来证明小琳的结论； 请你选择用小迪或小芮的思路，写出一种证明过程． (3)小怡突发奇想：点在线段上，若，，当是等腰三角形时，请直接写出平移的距离． 【答案】(1) (2)见解析 (3)1；； 【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用菱形的性质求线段长、全等的性质和SAS综合（SAS）、利用平移的性质求解 【分析】（1）根据菱形的性质得出，，，根据平移得出，，根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，证明，根据等腰三角形的判定得出，即可证明，得出结论； （2）①根据菱形的性质得出，，，根据平移得出，，根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，证明，根据等腰三角形的判定得出，即可证明，得出结论； ②证明，得出，证明，得出； （3）分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵四边形为菱形， ∴，，， 根据平移可得：，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； （2）证明：①∵四边形为菱形， ∴，，， 根据平移可得：，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； ②∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵菱形中， ∴， 根据平移可知：， ∴， 即， 根据①得：， ∴， ∴， ∴； （3）解：菱形中，， 根据平移可知：，， 当时，如图所示： 根据解析（2）可知：， ∴， ∴， ∴； 当时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 根据解析（2）可知：， 设，则， ∴， 解得：， 即； 当时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 根据解析（2）可知：， 设，则， ∴， 解得：， 即； 综上分析可知：的长度为：1；；． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平移的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质． 13．（23-24八年级下·山西大同·期末）综合与实践 问题情境： 在数学实践课上，老师要求同学们将两个菱形纸片的一个顶点重合，分别记为菱形和菱形，其中，连接，．（菱形的位置不动，改变菱形的位置） 操作发现： （1）如图1，当边与重合时，直接写出与之间的数量关系． 探究发现： （2）将两个菱形纸片按如图2所示的方式放置，其中点D在边上，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 拓广探究： （3）创意小组的同学发现图1中的，，． ①求菱形的边长（结果化为不含分母的形式，提示：）； ②在放置两个菱形纸片的过程中，当A，B，F三点在同一条直线上时，连接，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）成立，证明见解析；（3）①；②6或 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用菱形的性质证明、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由菱形的性质可得出，，再结合已知条件，即可证明，由全等的性质即可得出． （2）由(1)得∶，，再结合已知条件，即可得出，即可证明，由全等的性质即可得出． （3）①过点E作于点H，则，由已知条件得出，由含直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，再由已知条件得出进一步即可得出，求出即可得出答案． ②连接，过点B作于点M，则，利用菱形的性质以及含直角三角形的性质得出，再结合①得出，然后分两种情况，当点G在线段上时， 当点G在射线上时，分别画出图形求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是菱形，四边形是菱形， ∴，， 在和中 ∴， ∴． （2）仍然成立，理由如下∶ 由(1)得∶，， 又， ∴ 即 在和中 ∴ ∴； （3）①如图，过点E作于点H，则． ∵， ∴， ∴． 在中，由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴． ∴菱形的边长． ②如图，在菱形中， ，，连接 过点B作于点M，则 ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴ 由①知菱形的边长为， ∴． 当A，B，F三点在同一条直线上时，易得A，G，C三点也在同一条直线上． 分两种情况∶ 当点G在线段上时， 当点G在射线上时，． 综上，的长为6或． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定以及性质，含直角三角形的性质，勾股定理等知识，学会分类思想以及画出图形是解题的关键． 14．（23-24八年级下·福建厦门·期末）四边形是菱形，点O为对角线交点，点E在射线上（点C与E不重合），，直线与直线交于点F，如图1所示． (1)若边的垂直平分线交线段于点P（P不与O重合），连接，求证：； (2)当，时，求的度数； (3)若，垂足为M，请在图2中补全图形，并探究与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)．理由见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、判断三边能否构成直角三角形、利用菱形的性质证明 【分析】（1）利用菱形的性质得到是线段的垂直平分线，又点P在边的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质即可证明； （2）结合菱形的性质得，可证得，由勾股定理逆定理得为直角三角形，且，利用即可求得； （3）作，垂足为Ｎ，证明，推出，再推出，利用等腰三角形的性质求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵菱形， ∴是线段的垂直平分线， ∵点P在线段上， ∴， ∵点P在边的垂直平分线上， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∵由（1）得，即， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， 又∵， ∴； （3）解：．理由如下， 如图，作，垂足为N， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理逆定理等知识点，解题的关键是掌握菱形的性质． 15．（23-24八年级下·江西赣州·期末）课本再现 思考 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗? 可以发现并证明菱形的一个判定定理； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 定理证明 （1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在中，对角线，垂足为． 求证：是菱形． 知识应用 （2）如图，在中，对角线和相交于点，，，． 求证：是菱形； 延长至点，连接交于点，若，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；． 【知识点】证明四边形是菱形、利用菱形的性质证明、利用平行四边形的性质证明、判断三边能否构成直角三角形 【分析】定理证明（）根据平行四边形的性质和已知条件判定是的垂直平分线，推出后利用菱形的定义即可判定是菱形； 知识应用：（）根据平行四边形的性质求出、的长，然后根据勾股定理逆定理判定，然后根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形．”即可得证； 由四边形是菱形，得，则，再根据三角形的外角性质得，求得即可求解； 本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理逆定理，平行四边形的性质， 三角形外角性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】定理证明：（）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵，垂足为， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴是菱形； 知识应用： （）证明：∵中，对角线和相交于点，，， ∴，， 又∵， ∴在中，， ∴， 即， ∴是菱形； ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．（23-24七年级下·重庆忠县·期末）如图所示四边形的对角线AC、BD交于点O，已知点，，BD平分． (1)证明：四边形是菱形； (2)如图1，过四边形的顶点C作，且，线段CF交OD于点E，交AD于点H，交BA的延长线于点F，求证：； (3)如图2，在四边形ABCD中，若，的面积为，点P是直线AD上一动点，连接BP．点M在线段AB的左侧，为等边三角形，连接AM，当线段AM最短时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是菱形 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明，即可得出结论； （2）在上截取，过点作交于点，连接、，先证明，得，再证明，得到，然后利用，即，即可得出结论； （3）在中，设，过点A作于E，利用三角形的面积公式求出，以为边在下方作等边，连接，证明，得到，则当于点P时，最短，即最短，再在上取点使，设，则，，所以，根据，即可求解． 【详解】（1）解： ，， 四边形是平行四边形， ∵ ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∴ 四边形是菱形； （2）解：在上截取，过点作交于点，连接、， ∵，且， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵四边形是菱形 ∴，，，， ∴ ∴， ∴， ∴，， ∵ ， ∴， ∵， ， ， ∵四边形是菱形 ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴ 在与中，，，， ， ， 在中，， ， ，即， ； （3）解：在中，设，过点A作于E， ，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 以为边在下方作等边，连接， ∴， ， ，而，， ， ， 当于点P时，最短，即最短， 在中，，，在上取点使， ∴， 设， ∴，， ∴， ∵， ，解得， 即此时的值． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短．此题属四边形综合题目，正确作出辅助线构造特殊三角形是解题的关键． 17．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）探究思考：我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理；对角线互相垂直的平行四边形是菱形． (1)定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在中，对角线，垂足为O． 求证：是菱形． (2)知识应用：如图2，在中，对角线和相交于点O，． ①求证：是菱形； ②延长至点E，连接交于点F，若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、判断三边能否构成直角三角形、利用平行四边形的性质证明、证明四边形是菱形 【分析】（1）证明，则，根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可； （2）①由四边形是平行四边形，可得，由，可得是直角三角形，且，即，进而结论得证；②由四边形是菱形，可得，则，由，可求，则，，，，即，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）①证明： ∵四边形是平行四边形，． ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴四边形是菱形； ②解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， 解得：， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理的逆定理，三角形外角的性质，等角对等边．熟练掌握全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理的逆定理，三角形外角的性质，等角对等边是解题的关键． 18．（23-24八年级下·重庆秀山·期末）在菱形中，． (1)如图1，过点作于点，连接，点是线段的中点，连接，若，求线段的长度； (2)如图2，过点作于点，连接，过点作，连接，且，连接，请探索线段之间的数量关系，并证明； (3)如图3，连接，点是对角线上的一个动点，若，求的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【知识点】全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】（1）设菱形的边长为，根据即可求出，进而利用勾股定理求得，由即可求解； （2）在上截取，证，再证即可求解； （3）作，连接，可得；根据可得，据此即可求解； 【详解】（1）解：设菱形的边长为，则 ∵， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 解得：或（舍） ∴ ∴ ∵点是线段的中点， ∴； （2）解：，理由如下： 在上截取，如图所示： ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴； （3）解：作，连接，如图所示： ∵菱形中，关于直线对称 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵且点在直线上运动 ∴当即点与重合时，有最小值，且最小值为的长 ∵ ∴ ∴ 即： ∴ 故：的最小值为． 【点睛】本题综合考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、含度角的直角三角形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、轴对称的性质等知识点，综合性较强，需要学生具备扎实的几何基础． 19．（23-24八年级下·广东云浮·期末）综合与实践课上，智慧星小组三名同学对含角的菱形进行了以下探究． 【背景】 在菱形中，，作，，分别交，于点，． 【感知】 （1）如图1，若是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系：____________________． 【探究】 （2）如图2，当为边上任意一点时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由． 【应用】 （3）如图3，在菱形纸片中，，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点．当时，求线段的长． 【答案】（1）；（2）仍然成立，详见解析；（3）或 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质证明 【分析】本题考查菱形，全等三角形，勾股定理的知识，解题的关键是掌握菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用． （1）连接，根据菱形的性质，等边三角形的判定和性质，则，即；根据，求出；根据全等三角形的判定和性质，，即可； （2）连接，根据菱形的性质，等边三角形的判定和性质，则和是等边三角形，根据，等量代换则，根据全等三角形的判定和性质，即可； （3）过点作交于点，连接，根据菱形的性质，等边三角形的判定和性质，则和是等边三角形，求出，；根据勾股定理求出，；根据全等三角形的判定和性质，，；分类讨论：当点在点的右侧；当点在点的左侧，即可． 【详解】解：（1），理由如下： 连接， ∵四边形是菱形 ∴， ∴和是等边三角形 ∵是边的中点 ∴，即 ∴ ∵ ∴ 在和中， ， ∴， ∴； （2）仍然成立，理由如下： 连接， ∵四边形是菱形 （3）过点作交于点，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 当点在点的右侧， ∴， 当点在点的左侧， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 20．（23-24八年级下·山西大同·期末）给合与实践 数学课上，小组同学对含角的菱形进行了探究． 【背景】在菱形中，，作，、分别交边、于点、． (1)【感知】 如图1，若点是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为__________． (2)【探究】 如图2，说“点为上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立”，你同意吗？请说明理由． 如图3，若点为射线上任意一点时，作，交边所在射线于．则（1）中结论是否仍然成立？回答并说明理由． (3)【应用】 取出如图2所示的菱形纸片，测得，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)当点为上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，理由见解析；点为射线上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，理由见解析 (3)或 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质证明 【分析】（1）连接，利用菱形的性质和等边三角形的三线合一性质证明即可； （2）利用菱形的性质和等边三角形的性质证明即可； （3）利用菱形的性质和等边三角形的性质可得，利用勾股定理求，，分当点在点的左侧和点在点的右侧两种情况，分别讨论即可． 【详解】（1）解：线段与之间的数量关系：． 理由：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴和都是等边三角形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）当点为上任意一点时，仍然成立． 理由：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 当点为射线上任意一点时，仍然成立． 理由：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）如图，过点作于，连接， ∵四边形是菱形，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 当点在点的左侧时，， 当点在点的右侧（图中处）时，， ∴或， 由（2）知：， ∴， ∴或， ∴线段的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，运用了分类讨论的思想．解题的关键是添加适当的辅助线构造全等三角形． 题型三 正方形之解答压轴题 21．（23-24八年级下·天津·期末）如图1，点是正方形内的一点，连接，点在点右侧，且，；连接，，． (1)如图1， ①求证：； ②延长交线段于点，若，，线段的长为______． (2)如图2，交于点，若，，三点在同一条直线上，且，求证：． 【答案】(1)①证明见解析；② (2)证明见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定证明 【分析】（1）①由已知并结合正方形的性质得，证明，即可得证； ②设交于点，推出，得到，则，继而得到，由，得，则，证明四边形是正方形，即可求得线段的长； （2）作交的延长线于点，则，证明四边形是正方形，得，作于点，则，再证明，得，因为，得，则，再证明，即可得证． 【详解】（1）①证明：∵四边形是正方形，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：如图1，设交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴线段的长是， 故答案为：； （2）证明：如图2，作交的延长线于点， ∵，，三点在同一条直线上，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， 作于点， ∵，； ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的判定与性质，矩形的判定，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识．通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 22．（23-24八年级下·安徽六安·期末）已知正方形中，点E，F分别在边，上，连接，． (1)若E为的中点，于点O． ①如图1，求证：； ②如图2，连接，求的值． (2)如图3，若，，则的最小值为 ．（直接写出结果）． 【答案】(1)①证明见解析；②的值为 (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】（1）①证明，即可得； ②过点分别作于，于，先证明，再证明，由此可得，，即可得到； （2）连接，延长至，使得，连接，由垂直平分线性质得，再证明，得，从而的最小值为的长，由勾股定理求得即可． 【详解】（1）①解：四边形为正方形， ，， 又，， ， ， 又为的中点， ； ②证明：过点分别作于，于， ，， 为的中点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ； （2）解：如图，连接，延长至，使得，连接， 垂直平分， ， ，，， ， ， ， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形的综合问题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、勾股定理、两点之间线段最短，解题的关键是掌握以上知识点． 23．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点、（点与点，不重合）.探索线段、、之间的数量关系．    【问题初探】 （1）如图1，爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论，请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【问题引申】 （2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；理由见解析；（2）；理由见解析 【知识点】利用菱形的性质证明、根据正方形的性质证明 【分析】本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． （1）根据正方形的性质可得，，证明，得到，即可求解； （2）取的中点，连接，根据菱形的性质可得是等边三角形，可证明，得到，即可证明； 【详解】解：（1）结论：．理由如下： 正方形的对角线，交于点， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2），理由如下： 如图，取的中点，连接，    四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ，， ∴， ∵，为边上的中线， ∴， 是等边三角形， ，， ∴， ， ∴， ， 在和中， ， ， ， ． 24．（23-24八年级下·广东广州·期末）四边形 是正方形，点 是射线 上一动点，过点作交直线 于点，作的平分线交直线于点，连接． (1)如图1，若点 在线段延长线上，点在线段上． ①求证：； ②如图2，连接 交 于点 ，交 于点 ，请探索之间的数量关系并证明； (2)请直接写出 和之间的数量关系． 【答案】(1)①见解析；②； (2)当点E在线段的延长线上时，；当点E在线段的上时，． 【知识点】根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题 【分析】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识． （1）①利用同角的余角相等即可得到结论；②在上截取点G，使得，连接，证明，则，得到，则，得到，证明，则，即可得到； （2）当点E在线段的延长线上时，证明，则，证明，则，得到；当点E在线段的上时，证明，则，证明，则，即可得到． 【详解】（1）①证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②，证明如下；在上截取点G，使得，连接，如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的平分线交直线于点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； （2）当点E在线段的延长线上时，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当点E在线段的上时，如图， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 综上可知，当点E在线段的延长线上时，；当点E在线段的上时，． 25．（23-24八年级下·河南信阳·期末）如图，在正方形中，点、分别是、上的点，且，连接，过点作，使，连接、． (1)判断：与的位置关系是______，、、之间的数量关系为______． (2)如图，若点，分别是边，延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明； (3)如图，若点、分别是边、延长线上的点，正方形的边长为，，其他条件不变，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1)， (2)不成立，证明见解析 (3)55 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用平行四边形性质和判定证明、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查的是正方形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，能够证明是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到，进而证明，根据全等三角形的性质得到，证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质解答即可； （2）仿照（1）的作法解答； （3）根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式、平行四边形的面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：设与交于点， 四边形为正方形， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ，， ， 故答案为：；； （2）解：（1）中结论不成立，，， 证明：仿照（1）的作法可得：， ，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ，， ； （3）解：同（1）的作法可得：四边形为平行四边形， ， 在中，由勾股定理得：， ， 四边形的面积的面积平行四边形的面积． 26．（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，正方形中，为上一点，过作于，延长至点使． (1)当点在线段上时： ①判断与有怎样的数量关系，并说明理由； ②求证：； (2)若点是线段的三解分点，，求的长． 【答案】(1)①，理由见解析；②证明见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】（1）①根据同角的余角相等即可证明；②过点作于点，如图所示，根据已知条件可证明，所以，，又因为，所以可得，进而证明； （2）在中，利用勾股定理分别求出、即可解决问题． 【详解】（1）解：①， 理由如下： 过点作于点，如图所示： ， ， ， ②证明：，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ； （2）解：如图所示： 点是线段的三解分点， ， 在中，，，由勾股定理可得，则， 由（2）可知，， ， ， ， 在中，由勾股定理可得． 【点睛】本题考查了互余定义、等腰直角三角形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三等分点定义以及勾股定理的运用，题目的综合性很强，对学生的解题要求能力很高，熟练运用相关几何性质是解决问题的关键． 27．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在正方形中，M、N分别是射线和射线上的动点，且始终． (1)如图1，当点M、N分别在线段上时，请写出线段之间的数量关系并证明； (2)如图2，当点M、N分别在的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给予证明；若不成立，写出正确的结论，并证明； (3)如图3，在中，，D、E在上，，若，求线段围成的三角形的面积，直接写出结果． 【答案】(1)，理由见解析； (2)（1）中的结论不成立，正确结论是，理由见解析； (3)2． 【知识点】根据旋转的性质求解、根据正方形的性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）如图1，延长至F，使，连接，可证得，得出，再证得，进而证明结论； （2）如图2，在射线上截取，连接，可证得，得出，再证得，进而证明结论； （3）将绕点A逆时针旋转得到，连接，则，得，因此，同（2）得，则，得围成的三角形面积，据此即可求解． 【详解】（1）解：．理由如下： 如图1，延长至F，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：（1）中的结论不成立，正确结论是，理由如下： 如图2，在射线上截取，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：将绕点A逆时针旋转得到，连接，如图3， 则， ∴， ∴， 同（2）得：， ∴， ∴围成的三角形面积为围成的三角形面积． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、正方形的性质以及四边形和三角形面积等知识点，本题综合性强，正确作出辅助线得出全等三角形是解题的关键． 28．（23-24八年级下·河南郑州·期末）【问题背景】 如图①，在正方形中，是上一点，点在的延长线上，且交于，连接． 【初步认识】 （1）猜想线段和有何数量关系：__________________． 【深入思考】 （2）请求出的度数． 【延伸迁移】 （3）如图②，把正方形改为菱形，其他条件不变，当时，连接，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），见解析 【知识点】根据正方形的性质证明、利用菱形的性质证明、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）根据正方形的性质证明即可得到结论； （2）证明；可得，从而可得结论； （3）连接，在菱形中，，证明，证明，，证明是等边三角形，再结合等边三角形的性质可得结论. 【详解】解：（1）四边形是正方形， ∴，， 在与中， ， ∴； ∴，而， （2）由（1）可得， ， ， ， ， ， ； ， ； （3），理由如下： 连接，在菱形中，， ． 在和中 ， ， ， ，， ， ∵， ， ， ， 是等边三角形， ， ； 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练的利用类比的方法解题是关键. 29．（23-24八年级下·辽宁·期末）在正方形中，将边绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交边于点，连接．      (1)如图1， ①若，求的度数； ②求的度数． (2)如图2，点在边上，，连接，求证：； (3)如图3，过作于，延长交的延长线于，若，求正方形的面积． 【答案】(1)①；② (2)见解析 (3)58 【知识点】根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）①先证明，得出，得到； ②根据，，得出，从而得到； （2）过B作交的延长线于Q，证明，根据勾股定理得出，再证明，得到，根据，得到； （3）连接，，通过计算得出线段长度，根据勾股定理得出，再根据四边形是正方形，得出，得到，所以正方形的面积为58． 【详解】（1）解：①将边绕点逆时针旋转得到 ． 四边形是正方形， ． ； ② ． 又， ， ． （2）证明：如图，过作交的延长线于 ． ， ． 在中，根据勾股定理得，， ． 四边形是正方形， ， ， ， 又 ． ；    （3）解：如图，连接 是的垂直平分线， ， ， ． 在中，根据勾股定理得，， ． 四边形是正方形， ， 正方形的面积为58．    【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，角度计算等，掌握正方形的性质是解题的关键． 30．（23-24八年级下·山东临沂·期末）【问题情境】 （1）如图1，四边形是正方形，点是对角线上一动点．则与的数量关系为______． 【深入探究】 （2）如图2，在正方形中，点P是对角线上一动点，过点P分别作，，垂足分别为E、F，连接． ①试猜想与的数量关系．并证明你的猜想． ②若，求的最小值． 【拓展应用】 （3）如图3，延长交于点与交于点Q，点H为的中点，连接，请判断的形状．并说明理由． 【答案】（1）；（2）①，证明见详解；②的最小值为；（3）的形状为直角三角形 【知识点】全等三角形综合问题、斜边的中线等于斜边的一半、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质证明 【分析】（1）利用正方形的性质，证明求解，进而推出线段关系； （2）①根据矩形的性质，证明，再利用（2）的结论，进而得证； ②当时，最小，此时，则可得出答案； （3）为的中点，，进而求得，即可得答案． 【详解】（1）， 证明：∵四边形是正方形， 在与中， ， ， ； （2）解：①猜想：． 证明：由（1）可知，， ∵，垂足分别为， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； ②连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ， ， ∵四边形是正方形， ， 当时，最小， 此时， ∴的最小值为． （3）解：∵为的中点，， ， 在中，， 在与中， ， ， ， ， ， ∴的形状为直角三角形； 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质等知识；熟练掌握以上知识是解题的关键． $$