专题02 沪科版八年级下册期末复习解答常考题（考题猜想，解答常考必刷8大题型80题）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（沪科版）

专题02 沪科版八年级下册期末复习解答常考题 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 目录 题型一 二次根式解答题常考题 1 题型二 一元二次方程解答题常考题 11 题型三 勾股定理解答题常考题 19 题型四 平行四边形解答题常考题 31 题型五 矩形解答题常考题 47 题型六 菱形解答题常考题 63 题型七 正方形解答题常考题 78 题型八 数据的初步分析解答题常考题 100 题型一 二次根式解答题常考题 1．（24-25八年级下·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先算乘除法以及去括号，再计算加减，即可作答． （2）先根据完全平方公式，平方差公式展开，再计算加减，即可作答． 【详解】（1）解： （2）解 2．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2)1 【知识点】二次根式的混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先利用二次根式的性质进行化简，再计算二次根式的除法，最后计算加法即可得解； （2）先利用完全平方公式进行计算，再利用平方差公式进行计算即可得解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 3．（24-25八年级上·上海·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化、二次根式的乘除混合运算 【分析】（1）关键二次根式加减乘除的混合运算计算即可； （2）根据二次根式混合运算，分母有理化计算即可． 本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）） ． 4．（23-24八年级下·河南三门峡·期末）下面是小美同学进行二次根式运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务． ………第一步 ………第二步 ………第三步 任务： (1)原式中的二次根式、、、、中，是最简二次根式的是______； (2)第______步开始出错，错误的原因是______； (3)第一步中，去括号的依据是______； (4)请写出正确的计算过程． 【答案】(1)、 (2)一，去括号时，括号前是负号，没有改变括号内符号； (3)乘法分配律 (4)见解析 【知识点】二次根式的混合运算、去括号、最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式的定义、去括号法则，二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据最简二次根式的定义逐一判断即可； （2）根据去括号法则分析即可； （3）根据去括号的依据解答即可； （4）先计算二次根式乘法、去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 、是最简二次根式， 故答案为：、 （2）解：第一步开始出错，错误的原因是：去括号时，括号前是负号，没有改变括号内符号； 故答案为：一，去括号时，括号前是负号，没有改变括号内符号； （3）解：第一步中，去括号的依据是乘法分配律， 故答案为：乘法分配律； （4）解： ． 5．（23-24八年级下·山东威海·期末）定义：若两个二次根式，满足，且为有理数，则称与是关于的共轭二次根式． (1)与是关于______的共轭二次根式； (2)若与是关于2的共轭二次根式，则______； (3)若与是关于12的共轭二次根式，求的值． 【答案】(1)1； (2)； (3)． 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算 【分析】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会利用二次根式的性质进行计算． （1）根据共轭二次根式的定义，即可得解； （2）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可； （3）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可； 【详解】（1）解：， ∴ 与是关于1的共轭二次根式， 故答案为：1； （2）解：∵与是关于2的共轭二次根式， ∴ ∴， 故答案为：； （3）解：∵与是关于12的共轭二次根式， ∴ ∴， ∴． 6．（23-24八年级下·山东泰安·期末）； ； ； (1)写出_________； (2)猜想：_________； (3)由以上规律，计算的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】利用二次根式的性质化简、数字类规律探索 【分析】（）观察已知等式找到规律，即可求解； （）根据规律直接得出结果即可； （）利用（）中结论及有理数的混合运算进行计算即可； 本题考查了二次根式及数字规律，根据题意找出相应规律是解题的关键． 【详解】（1）∵； ； ； ； ； （2）； ； ； ； ； （3）由（）可得， ． 7．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）阅读下面的材料，解答后面给出的问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如若它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如：与，与． (1)请你写出两个二次根式，使它们互为有理化因式：______．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子，分母乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，； (2)仿照上面给出的方法化简下列各式： ①； ②． 【答案】(1)和（答案不唯一） (2)①；② 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、二次根式的乘法、分母有理化 【分析】本题主要考查了二次根式分母有理化的知识，完全平方公式，平方差公式，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法． （1）根据有理化因式的概念求解即可； （2）①分子，分母乘以求解即可； ②根据分母有理化求解即可． 【详解】（1）根据题意得， ∵ ∴和互为有理化因式； 故答案为：和（答案不唯一）； （2）① ； ② ． 8．（23-24八年级下·广东广州·期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如 的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简， ，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： (1)化简： ______；______； (2)矩形的面积为 ，一边长为 ，求这个矩形的周长； (3)当时，化简：． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】异分母分式加减法、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算， 按照二次根式的混合运算法则求解即可 （1）根据分母有理化的步骤进行计算即可． （2）首先求出矩形的另外一边长，再按矩形的周长公式计算即可． （3）把各分母先有理化再进行加减运算． 【详解】（1）解：， （2）矩形的另外一边长为： ∴矩形的周长为：． （3）当时 9．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）将边长分别为，，，，的正方形的面积记为，，, (1)计算：，， ； (2)把边长为的正方形的面积记作，其中是整数，从（）中计算结果，你能猜出等于多少吗？你的猜想是否正确，请说明理由． (3)若将边长变为，， ，时，的值是多少？ 【答案】(1)，，； (2)，理由见解析； (3)． 【知识点】运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算 【分析】（）根据正方形的面积公式列式计算即可求解； （）根据正方形的面积公式列出算式，利用完全平方公式化简即可求证； （）根据正方形的面积公式列出算式，利用完全平方公式化简即可求解； 本题考查了二次根式的混合运算，掌握完全平方公式的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：； ； ； （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ； （3）解：由题意得， ， ， ， ． 10．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）阅读材料： 像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，与、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)计算： ； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）原式的分子和分母都乘以解答即可； （2）先将每一项分母有理化，再计算加减即可． 【详解】（1）解：； （2）解：原式 ． 题型二 一元二次方程解答题常考题 11．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【知识点】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】此题考查了解一元二次方程——配方法，以及因式分解法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． （1）利用配方法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解． 【详解】（1）解：， 配方得，即， 开方得， 所以，； （2）解：， 因式分解得， ∴或， 所以，． 12．（24-25九年级上·河南漯河·期末）解方程． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． （1）移项，运用提公式分解因式法解一元二次方程，即可求解； （2）移项，运用配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：移项，得， 整理，得． 因式分解，得． 由此可得或． 解得，． （2）移项，得． 配方，得， ∴． 由此可得． 解得，． 13．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）小明同学在解一元二次方程时， 他是这样做的∶ 解方程∶ (1)小明的解法从第 步开始出现错误； (2)请用适当方法给出正确的解答． 【答案】(1)4 (2) 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据0乘以任何数都等于0，还有1乘以除0以外的任何数都等于任何数的情况，故小明的解法从第4步开始出现错误， （2）用直接开平方法解方程即可． 【详解】（1）解：小明的解法从第4步开始出现错误， ∵0乘以任何数都等于0，还有1乘以除0以外的任何数都等于任何数， ∴还有的情况． 故答案为：4． （2） 14．（24-25九年级上·河南郑州·期末）已知关于的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若方程的一个根是，求方程的另一个根． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了解一元二次方程和一元二次方程根的判别式，解答的关键是熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． （1）求出一元二次方程根的判别式，根据偶次方的非负性证明； （2）将已知的方程的根代入方程，求出m的值，然后再解方程求另一个根． 【详解】（1）证明：∵，所以该方程是一元二次方程． 又 ， ∵， ∴该方程总有两个实数根． （2）解：∵方程的一个根是， ∴， 解得：， 方程即为， 解得：， 方程的另一个根是． 15．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）为了迎接2025年元旦佳节，某商场准备开展儿童玩具嘉年华降价促销活动．某种儿童玩具，平均每天可销售10件，每件盈利20元．根据调查统计，在每件降价不超过10元的情况下，若每件每降价1元，则每天可多售5件．通过销售此种儿童玩具，若商场每天要盈利425元，每件玩具应降价多少元？ 【答案】商场每天要盈利425元，每件玩具应降价3元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系正确列式求解是关键． 设每件玩具应降价元．依题意，得，解一元二次方程即可． 【详解】解：设每件玩具应降价元．依题意，得， 化简，得， 解得（舍去）， 答：商场每天要盈利425元，每件玩具应降价3元． 16．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）某社区为了解决停车难的问题，计划将一块矩形空地改建成一个小型停车场，其中阴影部分为停车位区域，其余部分均为宽度是x米的道路，如图所示，已知米，米，且停车区域(即阴影部分)的面积为880米，求道路的宽度x(米)． 【答案】6米 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 根据阴影部分的面积相等列出方程，求出解即可． 【详解】解：宽度是x米的道路，根据题意，得 ， 解得（舍去）． 所以道路的宽度是6米． 17．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)当m为何值时，方程有两个实数根； (2)若、是方程的两根，且，求m的值． 【答案】(1)时方程有两个实数根 (2) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系． （1）根据根的判别式大于等于0列式求解即可； （2）由根与系数的关系得，，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， ∴时方程有两个实数根； （2）解：∵、是方程的两根， ∴，． ∵，    ∴， ∴，， ∵， ∴． 18．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有一个根为0，求实数的值； (2)当时，等腰的底边长和腰长分别是一元二次方程的两个根．请用配方法解此方程，并求出的周长． 【答案】(1)或 (2)13或11，详见解析 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、解一元二次方程——配方法、等腰三角形的定义、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查了方程的解，解一元二次方程，等腰三角形的定义以及三角形三边关系等知识点， （1）将代入原方程可得出关于a的一元二次方程，解方程求出a的值； （2）先求解方程的解，再结合（1）以及等腰三角形的定义和三角形的三边关系，即可找出三角形的腰长，再根据三角形的周长公式即可得出结论，将方程的解代入原方程求出a值是解题的关键． 【详解】（1）∵方程有一个根为0， ∴把代入方程得， ∴或； （2）当时，方程为， 整理得， 配方得， 直接开平方得或， 解得， 当的底为3时，则该三角形的三边长为3，5，5，其周长为13， 当的底为5时，则该三角形的三边长为5，3，3，其周长为11， 综上所述，的周长为13或11． 19．（24-25九年级上·四川成都·期末）推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，据统计某电商平台月份的水果销售量是，月份的水果销售量是． (1)若该平台月份到月份销售的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某店铺的水果进价为元，若售价为元，每天能销售，售价每降价元，每天可多售出．水果的售价为多少元时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)售价为元时，每天可获得最大利润为元 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程和二次函数表达式是解题的关键． （1）设月平均增长率是，利用月份的水果销售量月份的水果销售量月平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设售价降低元，利润为，则水果的销售利润为元，每天的销售量为件，列出函数关系式解答即可． 【详解】（1）解：设月平均增长率是， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去），， 故该平台月份到月份销售的月平均增长率是． （2）解：设售价降低元，利润为， 则水果的销售利润为元，每天的销售量为件， ∴， ∵， ∴降价元，即售价为元时，每天可获得最大利润为元． 20．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，小明打算用总长度为的栅栏围成两个大小相同的矩形花园，花园的一面靠墙，墙长，设的长为． (1)的长为多少米？（用含的代数式表示） (2)若矩形花园的面积为，求的长． (3)矩形花园的面积是否有可能达到？若可能，求出的值；若不可能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)不可能，理由见解析． 【知识点】列代数式、根据判别式判断一元二次方程根的情况、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式以及根的判别式.解题的关键在于根据题意列一元二次方程并正确求解． （1）由题意，知，把的长为，代入即可； （2）由题意知，，即，求出的取值范围，列出方程求解即可； （3）矩形花园的面积是不可能达到；列出方程，整理后，该方程没有实数根，故不能． 【详解】（1）解：由题意，知， 长为， 的长为； （2）解：由题意知，，即， 解得， 又，即， ， 由题意，知，即， 整理，得， 解得（不合题意，舍去），， 的长为； （3）解：不可能， 理由：由题意，得， 整理，得， ， 该方程没有实数根， 矩形花园的面积不可能达到． 题型三 勾股定理解答题常考题 21．（23-24八年级下·云南昭通·期末）为了提高同学们的数学核心素养，2024年春季学期昭通市某学校组织了一次研学活动，要求同学们合作搭建帐篷．如图是他们搭建帐篷的支架示意图．在中，两根支架从帐篷顶点A支撑在水平的支架上，一根支架于点B，另一根支架的端点C在线段上，且．经测量，，求的长． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了勾股定理的应用，设，则，，根据勾股定理得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，则，， ， ， 在中，， ，解得． ∴的长为． 22．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，在中，，，，．    求： (1)的周长； (2)判断是否是直角三角形？为什么？ 【答案】(1)42 (2)不是，理由见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，灵活运用勾股定理成为解答本题的关键． （1）运用勾股定理求得、的长，然后根据三角形周长的定义解答即可； （2）运用勾股定理逆定理判定即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ 同理： ∴的周长为； （2）∵ ， ， ∴ ∴不是直角三角形． 23．（23-24八年级上·广东湛江·期末）已知a、b、c满足． (1)求a、b、c的值； (2)判断以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)能，直角三角形， 【知识点】绝对值非负性、乘方运算的符号规律、利用算术平方根的非负性解题、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，非负数的性质，求三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）由二次根式、绝对值和平方的非负数的性质可求出a，b，c的值； （2）根据三角形三条边的关系可判断能否构成三角形，根据勾股定理逆定理可判断三角形的形状，根据三角形的面积公式可求出三角形的面积． 【详解】（1）∵a、b、c满足 ∴，，． 解得：，，； （2）∵，，， ∵， ∴ ， ∴以a、b、c为边能构成三角形， ∵，， ∵ ∴此三角形是直角三角形， ∴三角形的面积为． 24．（23-24八年级上·河南周口·期末）为推进乡村振兴，某地大力修建崭新的公路．如图，现从地分别向三地修了三条笔直的公路 和，地、地、地在同一笔直公路上，公路 和公路互相垂直，又从地修了一条笔直的公路与公路在处连接，且公路和公路互相垂直，已知 千米，千米，千米． (1)求公路 的长度； (2)若修公路 每千米的费用是万元，请求出修建公路的费用． 【答案】(1)千米，千米； (2)修建公路的费用为万元． 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、用勾股定理解三角形 【分析】（）利用勾股定理即可求解； （）利用三角形的等面积方法即可求解； 本题考查了勾股定理，三角形的面积，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴由勾股定理得：（千米）， ∴（千米）， 在中，由勾股定理得：（千米）； （2）解：∵， ∴， ∴（千米）， ∴修建公路的费用为（万元）， 答：修建公路的费用为万元． 25．（23-24七年级上·山东淄博·期末）（1）如图，点，求线段的长度和中点C的坐标； （2）若M是x轴上一动点，求的最小值； （3）已知的顶点坐标分别为，你能判定的形状吗？请说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）直角三角形，理由见解析 【知识点】已知两点坐标求两点距离、判断三边能否构成直角三角形、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查两点间的距离公式：若平面内两点，则；两点所连线段的中点坐标公式：以任意两点为端点的线段中点坐标为；以及将军饮马问题． （1）直接利用两点间的距离公式和两点所连线段的中点坐标公式计算； （2）根据将军饮马问题的解决方法即可； （3）先根据两点间的距离公式计算出AB、AC、BC，然后根据勾股定理的逆定理进行判断． 【详解】解：， 中点C的坐标为：即； 解：设， ， 作点关于轴对称点， ， 连接，则， ； 解：，，， ∴，， ∴， ∴为直角三角形． 26．（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）在一条东西走向的河流一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)求的度数； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1) (2)8.45千米 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）利用勾股定理的逆定理推导为直角三角形，即可获得答案； （2）设，则，在中，利用勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，可知千米，千米，千米， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，； （2）由（1）可知，，即， 设，则， 在中，可有， 即，解得， ∴千米， 即原来的路线的长为8.45千米． 27．（23-24八年级下·吉林·期末）在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图①，小明据此画出该岛的一个数学模型（如图②的四边形），是四边形岛屿上的一条小溪流，其中，千米，千米，千米． (1)求小溪流的长； (2)求四边形的面积（结果保留根号）． 【答案】(1)千米 (2)平方千米 【知识点】二次根式的乘法、用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查的是勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，二次根式的乘法运算，割补法求解图形面积，熟记勾股定理与勾股定理的逆定理是解本题的关键． （1）根据勾股定理已知直角边求斜边即可； （2）将四边形分成两个三角形，求证为直角，四边形面积为两个直角三角形面积之和即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，千米， ∴（千米）； （2）解：∵（千米），千米，千米． ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，则， ∴（平方千米）． 28．（23-24八年级上·四川成都·期末）已知：如图所示，的周长是，，．在边上取一点，使，过作，的平分线交于． (1)是直角三角形吗？请证明你的结论； (2)求的面积． 【答案】(1)是，证明见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理与勾股定理逆定理是解此题的关键． （1）先求出的长，再由勾股定理逆定理判断即可得出答案； （2）作于，连接，由三角形面积公式求出，再由勾股定理求出的长，最后根据计算即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴直角三角形； （2）解：作于，连接， ∴ ∴ ∴ 在中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∵平分 ， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴． 29．（23-24八年级下·广东肇庆·期末）【再读教材】我们八年级下册数学课本第页介绍了“海伦秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】已知，在中，，，． (1)请你用“海伦秦九韶公式”求的面积； (2)除了利用“海伦秦九韶公式”求的面积外，你有其它解法吗？请写出你的解法． 【答案】(1) (2)有，见解析 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了代数式求值，勾股定理逆定理，准确计算是解题关键． （1）直接用海伦—秦九韶公式计算面积即可； （2）计算得到，即为直角三角形，直接两直角边的积除以求面积． 【详解】（1）解：，，， ， ， 即的面积为； （2），，， ，，， ， ， ． 30．（23-24八年级上·广东湛江·期末）若一个三角形存在两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形，现在，我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．例如：图1，在△ABC中，，则为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，是边上的高 (1)等腰直角三角形 勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）； (2)如图2，已知为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且，是边上的高．试探究线段与的数量关系，并给予证明； (3)如图3，等腰△ABC为勾股高三角形，其中，为边上的高，过点D作交于点E．求的值．    【答案】(1)是 (2)，理由见解析 (3) 【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题是三角形综合体，考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股高三角形的定义以及平行线的性质等知识．本题综合性强，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据勾股高三角形的定义即可判断； （2）由勾股高三角形的定义可得，则有，再由勾股定理得，即可推出； （3）过点作于点，证明，得，再由平行线的性质得到，，然后证明，得，进而由等腰三角形的性质得，，即可解决问题． 【详解】（1）解： 是等腰直角三角形，， ， 是边上的高， 等腰直角三角形是勾股高三角形． 故答案为是． （2），理由如下： 是勾股高三角形，为勾股顶点且，是边上的高， ， ， ， ， ． （3）如图，过点作于点， 是勾股高三角形，，是边上的高， ，， 由（2）可知，， ， ， 在与中， ， ． ， ，， ， ， ， ， ， ， ，，设， ， ， ．    题型四 平行四边形解答题常考题 31．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，、为 的对角线 上的两点，请你添加一个条件，使得 ． (1)你添加的条件是________； (2)根据你添加的条件和题目的已知条件，求证：． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由题意添加条件即可； （2）由平行四边形的性质得，则，再证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：添加条件：， 故答案为：（答案不唯一）； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 32．（23-24八年级下·甘肃陇南·期末）如图，在平行四边形中，点E、F分别是边的中点． (1)求证：； (2)若，求平行四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)14 【知识点】利用平行四边形的性质求解、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法． （1）根据平行四边形的对边平行得出，又，利用有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形证得四边形为平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等证得结论； （2）根据平行四边形的性质和平行四边形的周长公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，即， 又点，分别是边，的中点， ，， ， 四边形为平行四边形， ； （2）解：四边形是平行四边形， ，， 点，分别是边，的中点， ， 平行四边形的周长． 33．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平行四边形中，点E为上一点，连接并延长交的延长线于点F，，连接． (1)求证：平分； (2)若点E为中点，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)15 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质求解 【分析】此题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质等知识． （1）由四边形是平行四边形得到，则，由得到，则，即可得证； （2）由平行四边形的性质和证得和是等边三角形，则，利用平行四边形的周长公式即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的周长． 34．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，E，F是对角线AC上的两点，连接，，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理，平行四边形的判定及性质等． （1）由平行四边形的性质得，，由得，由全等三角形的性质得，即可得证； （2）由勾股定理得，由全等三角形的性质得 ，由线段的和差得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴四边形是平行四边形． （2）解：， ， ， ， ， 由（1）知， ， ． 35．（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在平行四边形中，过点A作于点E，且． (1)求的度数； (2)若，求和之间的距离． 【答案】(1) (2)6 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，三角形内角和定理： （1）由平行四边形对边平行得到，再由三角形内角和定理得到，据此推出，解之即可； （2）由（1）可得到，据此求出的长，进而求出平行四边形的面积，再根据等面积法求出答案即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 设和之间的距离为h， ∴， ∴， ∴和之间的距离为6． 36．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在中，点分别是的中点，延长至点，使得，连接．   (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】（）由三角形中位线的性质可得，，由得，进而得到，即可求证； （）由，可得，，进而由勾股定理逆定理可得为直角三角形，，再根据直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半可得，最后根据平行四边形的性质即可求解； 本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的逆定理，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵点分别是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴为直角三角形，， ∵点是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 37．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，，平分，延长交于点．    (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）由角平分线定义得，则，再由直角三角形的性质得，然后由平行线的性质即可得出结论； （2）证，即可得出结论． 【详解】（1）解：平分，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ∴， ； （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ． 38．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，E为射线上一点，直线与直线交于点G，于H，的延长线与直线交于点F． (1)当E在线段上时， ①若，，求的面积； ②求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)①；②见解析 (2)2或 【知识点】全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质证明 【分析】（1）①过点G作，垂足为P，证明是等腰直角三角形，求出，再根据含30度角的直角三角形的特征，求出，利用勾股定理求出，进而得到，利用勾股定理即可求出，即可得到的面积；②如图，延长交的延长线于，连接，利用全等三角形的性质证明即可； （2）根据题意可求，当点E在线段上时，根据，，，，可得，进而得到，即，同理（1）②可证，，进而得到，推出是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一，得到，即可求出；当点E在射线上时，同理证明是等腰三角形，即可解答． 【详解】（1）①解：过点G作，垂足为P， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积为：； ②如图1中，延长交的延长线于，连接， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：当点E在线段上时， ，，， ， ，， ， ，即， 同理（1）②得，，， ， 是等腰三角形， ， ； 当点E在射线上时， 同理得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ； 综上，长为2或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，直角三角形的特征，等腰三角形的判定与性质，正确的添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 39．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）在四边形中，对角线交于点O． (1)如图1，若，求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）的条件下，将对角线绕点O顺时针旋转一个角度，分别交于点（如图2），求证：四边形是平行四边形； (3)如图3，若，求的最小值． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)的最小值是13 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】（1）利用内错角相等证得，即可根据一组对边平行且相等得到结论； （2）证明，推出，由此证得结论； （3）过点D作，连接得到四边形是平行四边形，由此得到，利用勾股定理求出，即可得到． 【详解】（1）证明∶， ． 又， 四边形是平行四边形． （2）证明：由（1）可得四边形是平行四边形， ， ． 又， ， 四边形是平行四边形． （3）解∶如图，过点D作，连接 四边形是平行四边形， ． 又， ， ， ． ， 的最小值是13． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各定理并应用解决问题是解题的关键． 40．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期末）【问题初探】 （1）如图1，在中，，且，点是的中点，点为对角线上的点，且，连接线段．若，求的长． 【类比拓展】 （2）如图2，中，平分，于，．求证：； 【学以致用】 （3）如图3，在，，点在上，，、分别是、的中点，连结并延长，与的延长线交于点，连结，若，，，求的长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】（1）连接，交于点，易得，勾股定理求出的长，即可； （2）延长交的延长线于点，先证明，得到，取的中点，连接，利用中位线定理，得到，且，证明，得到，即可得出结论； （3）连接，取中点，连接，，利用中位线定理，得到是等边三角形，是等边三角形，设，进而利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出的值，进一步求解即可． 【详解】解：（1）连接，交于点，如图， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ，，， ， ； （2）证明：如图，延长交的延长线于点， 平分，， ，， 又， ， ， 取的中点，连接，则有，且， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）如图，连接，取中点，连接，， 、分别为和中点， 和分别为和的中位线， 且且， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， 设，则，在中，由勾股定理得，， 解得， 即， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形的中位线定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，解题的关键是构造中位线． 题型五 矩形解答题常考题 41．（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）如图，在中，点E在边上，点F在边上，，连接． (1)求证： (2)若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是矩形 【分析】本题主要考查了平行四边形和矩形．熟练掌握平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，是解决问题的关键． （1）根据平行四边形性质得到，结合，推出，即得； （2）根据平行四边形性质得到，结合，得到，推出四边形是平行四边形，根据，即得是矩形． 【详解】（1）∵中，， 且， ∴， ∴； （2）∵中，， 且， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴是矩形． 42．（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图，在中，O是的中点，连接，的延长线相交于点E，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是矩形 【分析】（1）利用平行四边形的性质证明，得到．又根据，即可证明； （2）利用平行四边形的性质结合，证明，得到，进而推出．再根据四边形为平行四边形，即可证明． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵O是的中点， ∴． 在和中， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形． 43．（23-24九年级下·吉林长春·期末）如图，在等边中，点D是的中点，点F是的中点，以为边作等边，连接点A、E． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，则线段______； 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、证明四边形是矩形 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，再求出，然后利用边角边证明，根据全等三角形对应边相等可得，再求出四边形是平行四边形，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可； （2）根据等边三角形的性质得到，得到，求得，得到，求得，根据等边三角形的性质得到结论． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵在等边中，点D是的中点，点F是的中点， ∴ ∵是等边三角形 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形为矩形； （2）∵，是等边三角形 ∴ ∵点D是的中点， ∴ ∴ ∵点F是的中点， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵是等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴是等边三角形 ∴ 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键． 44．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平行四边形中，，经过中点O，分别交于点M，N，连接，且． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、证明四边形是矩形 【分析】（1）由平行四边形的性质推出，得到，判定四边形是平行四边形，再根据，即可证明四边形为矩形； （2）利用直角三角形的性质结合勾股定理求得、和的长，再利用矩形的性质求得，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ∴， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，，， ∴，， 在中，，， ∴， 由（1）知四边形是矩形， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理．证明四边形是矩形是解题的关键． 45．（23-24八年级下·河南信阳·期末）如图，的对角线 相交于点O，点E是的中点，于点 G，于点 F，连接． (1)求证∶四边形 是矩形； (2)若 ，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明、与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（1）先得出，又，则四边形为平行四边形，再由，即可得出结论； （2）由矩形的性质和三角形中位线定理得，，则，再由勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】（1）证明∶四边形是平行四边形， 是对角线的中点， 是的中点， ， ， ， 四边形是平行四边形． ， ， 四边形是矩形； （2）解∶四边形是平行四边形， ， 是的中点， ， 由（1）知，四边形是矩形， ， 在中， ， 四边形是矩形， ， 是的中点，O 是的中点， ， ， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 46．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在四边形中，，，，平分∠BAC交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，则的长为______． 【答案】(1)见解析 (2)2 【知识点】含30度角的直角三角形、三线合一、用勾股定理解三角形、证明四边形是矩形 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键. （1）由等腰三角形的性质得进而证明，再证明四边形是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）先根据矩形的性质得到，再由含 角的直角三角形的性质得，进而由勾股定理得，解出长， 即可解决问题. 【详解】（1）证明： ∵， 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：如图， ∵平行四边形是矩形； ∴， 又∵， ∴， 在中，，即， 解得：或（舍去）， ∴． 47．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在中，于点，延长至点，使，连接与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)2.4 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是矩形 【分析】本题考查矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，关键是由平行四边形的性质推出，由勾股定理的逆定理判定是直角三角形， （1）由平行四边形的性质推出，，得到，判定四边形是平行四边形，而，即可证明四边形是矩形． （2）由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，由三角形面积公式得到，即可求出． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． （2）解：由（1）知：四边形是矩形， ， ，， ， 是直角三角形， 的面积， ， ． 48．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，于点D，．点E，F分别是，的中点，连接，，，． (1)求证四边形为矩形． (2)若，则平行四边形的周长为____________． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明、证明四边形是矩形 【分析】（1）根据平行四边形的性质结合已知条件可证明四边形是平行四边形，然后利用含30度角的直角三角形的性质证明，即可证得结论； （2）先利用直角三角形的性质求出，然后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E，点F分别是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∵在中，，， ∴, ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵E是中点，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定、勾股定理、直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质是解题的关键． 49．（23-24八年级下·甘肃平凉·期末）如图，在三角形中，点O是边上一动点，过点O作直线，设交的平分线于点E，交的平分线于点F． (1)求证：； (2)当点O运动到何处时，四边形会变成矩形？并证明你的结论： (3)在（2）的条件下，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)当点O运动到的中点时，四边形会变成矩形，证明见解析 (3) 【知识点】角平分线的有关计算、根据等角对等边证明边相等、等边三角形的判定和性质、证明四边形是矩形 【分析】（1）由是的平分线，是的平分线，可得，，由，可得，，则，，进而可证； （2）由点O运动到的中点，可得，证明，则，同理，则，证明四边形是平行四边形，由（1）可知，，可证四边形是矩形； （3）证明是等边三角形，则，，由勾股定理得，，根据四边形的面积为，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：当点O运动到的中点时，四边形会变成矩形，证明如下； ∵点O运动到的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴四边形是平行四边形， 由（1）可知，， ∴四边形是矩形； （3）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题考查了角平分线，平行线的性质，等角对等边，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握角平分线，平行线的性质，等角对等边，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 50．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图1，在矩形中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点在第一象限，，． (1)直接写出点的坐标： ； (2)如图2，点在边上，连接，将沿折叠，点恰好与线段上的点重合，求线段的长度； (3)如图3，是直线上一点且在下方，交线段于点．若在第一象限，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)线段的长度为3 (3)点的坐标为 【知识点】坐标与图形、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由矩形的性质即可得出答案； （2）由勾股定理得出，由折叠的性质得出，从而得出，再由勾股定理计算即可得出答案； （3）设点，过点作，交y轴于点，交于点，证明，得出，求出，从而得出，求出的值即可得解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵将沿折叠，点恰好与线段上的点重合， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴线段的长度为3； （3）解：设点， 如图，过点作，交y轴于点，交于点， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 题型六 菱形解答题常考题 51．（23-24九年级上·北京丰台·期末）如图，在中，，是中点，连接分别过点，点作，，交点为． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】证明四边形是平行四边形、斜边的中线等于斜边的一半、证明四边形是菱形 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得，即可得出结论； （2）过点作于点，解直角三角形求出 结果即可； 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明四边形为菱形是解题的关键． 【详解】（1）解：证明：，， 四边形是平行四边形， 在中，，是中点， ， 四边形是菱形； （2）过点作于点，则，如图： ， ， ， 在中，， 根据勾股定理可得，， 在中，，，，， ， 是的中点， ， ． 52．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交 于点，连接和． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求菱形的边长． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、证明四边形是菱形 【分析】本题考查菱形的判定，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质． （1）先由是的垂直平分线得，再证明得，得出其是平行四边形，最后结合即可； （2）设，则，在中用勾股定理得，解出即可． 【详解】（1）证明：是的垂直平分线 四边形是矩形 在和中 四边形是平行四边形 四边形是菱形； （2）设 是的垂直平分线 在中，由勾股定理得 解得． 即菱形的边长为． 53．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点 O，过点 A 作，过 点 D 作，两线相交于点 E． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，交于点 F．若于点 E，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明、利用菱形的性质求线段长、证明四边形是菱形 【分析】本题考查菱形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理并灵活运用． （1）先证明四边形是平行四边形，再由矩形的性质得出，即可得出四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得到，再结合矩形的性质得到，最后利用勾股定理求解，即可得到的长． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形，对角线与相交于点 O， ， 四边形是菱形； （2）解：，四边形是菱形， ， 四边形是矩形， ， 于点 E， ． 54．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，在中，，D，E分别是，的中点，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点M，连接，若，，求，的长． 【答案】(1)详见解析 (2)， 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的证明、证明四边形是菱形 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再由三角形中位线的性质得出，即可得出四边形是菱形； （2）由菱形的性质得出，，由勾股定理可求出答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵D，E分别是，的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 是的中位线， ∴，， 在中，， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 55．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，点是菱形对角线上任意一点，连接，，．点是延长线上一点，连接，交于点，且． (1)求的度数； (2)若，请直接写出，，的数量关系，不需要证明． 【答案】(1) (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，证明得出，再由等边对等角得出，由平行线的性质结合三角形内角和定理得出，即可得出答案； （2）在上截取，连接，证明，得出，，再证明为等边三角形，得出，即可得解． 【详解】（1）解：如图，连接， ， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：， 如图，在上截取，连接， ， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴、为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ． 56．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图，已知点分别是的边上的中点，且， (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半、证明四边形是菱形、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据菱形的判定方法即可求解； （2）如图所示，连接交于点，在中，根据勾股定理可得，根据点是中点可得是的中位线，可算出，再根据菱形的面积的计算公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 在中， ，点是边的中点 ∴， 同理， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：如图所示，连接交于点， 在中， ，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴ ∴菱形的面积为． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，菱形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的判定和性质等知识的综合，掌握平行四边形的性质，菱形的判定和性质是解题的关键． 57．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）在中，，是的中点，过点作，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、斜边的中线等于斜边的一半、证明四边形是菱形 【分析】此题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，勾股定理，直角三角形斜边中线性质，熟练掌握各定理是解题的关键： （1）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行证明； （2）过E作交的延长线于F，根据菱形的性质及，得到是等边三角形，求得，利用勾股定理在中， 求出，在中，求出． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴四边形是平行四边形， ∵在中，，是的中点， ∴， ∴四边形是菱形； （2）过E作交的延长线于F， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴． 58．（23-24八年级下·浙江金华·期末）如下图，在菱形中，点P是边上的点，连结交对角线于点E，连结． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、利用菱形的性质证明 【分析】（1）由证得，即可得出结论； （2）①由（1）得，则，由，得，由三角形外角的性质即可得方程，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：由（1）得：， ， ， ， ， ， ， ， ， . 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，有一定难度． 59．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，矩形中，对角线，交于点，以，为邻边作平行四边形，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求矩形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)矩形的面积是 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、利用矩形的性质证明、证明四边形是菱形 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明即可； （2）由于，且，因此，又因，因此，易得为等边三角形，此时求得的长，即可求得矩形的面积． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， 四边形是平行四边形， ，，， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是平行四边形， ，， 又， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 为等边三角形， ， 在中，根据勾股定理得： ， ， 所以，矩形的面积是． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，用勾股定理解直角三角形等知识点，熟练掌握各种图形的性质是解题的关键． 60．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，四边形中，，，并且平分，，．点是上的动点，点在射线上． (1)如图1，求证：四边形为菱形； (2)如图2，连接，若，求的度数； (3)如图3，若，连接，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、全等三角形综合问题 【分析】（1）根据，，可得四边形为平行四边形，根据角平分线的性质可得，结合平行四边形的性质可得，由此即可求证； （2）连接，根据四边形为菱形，可得，，根据，，， 可得，根据平行四边形的性质可得； （3）过点作，且取，连接，，，可得则，，根据四边形为菱形，，可得是等腰直角三角形，则，根据三角形三边关系得，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵平分，即， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形； （2）解：连接， ∵四边形为菱形， ∴，是公共边， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵四边形是菱形，，是对角线， ∴，则， 如图所示，过点作，且取，连接，，， 在，中， ， ∴， ∴， ∵四边形为菱形，则，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由得， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形三边关系的运用，掌握菱形的判定和性质，合理构造辅助线是解题的关键． 题型七 正方形解答题常考题 61．（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，E 是正方形的边延长线上的点，且． (1)求、的度数； (2)若 求的面积． 【答案】(1)， (2) 【知识点】等边对等角、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求角度、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．熟练掌握正方形的性质是解题的关键． （1）根据正方形的对角线平分一组对角求出，再根据邻补角的定义列式计算即可求出，根据等边对等角的性质可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行计算即可求出； （2）根据勾股定理列式求出的长，即的长，然后利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解． 【详解】（1）解： 是正方形的对角线， ， ， ， ， ， ； （2）解， 根据勾股定理得，， ， 故的面积． 62．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点于点与交于点O．    (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用矩形的性质证明、证明四边形是正方形 【分析】此题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，理解正方形的判定与性质，矩形的性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据矩形性质及得，则四边形为矩形，再根据是的平分线得，则为等腰直角三角形，即，由此即可得出结论； （2）根据四边形为正方形，得，证明和全等得，由此可得的长． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ， ， ， 四边形为矩形， 是的平分线， ， 为等腰直角三角形， ， 矩形为正方形； （2）解：四边形为正方形，， ， ， ， 在和中， ， ， ． 63．（23-24八年级下·河南商丘·期末）如图，在矩形中，点E，F分别在边上，且，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)8 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、证明四边形是正方形 【分析】（1）如图，连接，可求，则，证明，则，，可得，进而可证四边形是正方形； （2）由题意知，，由勾股定理得，，由（1）可知，四边形是正方形，进而可得四边形的面积． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （2）解：由题意知，， 由勾股定理得，， 由（1）可知，四边形是正方形， ∴四边形的面积为8． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 64．（23-24八年级下·福建厦门·期末）已知，正方形的边长为6，菱形的三个顶点E，G，H分别在正方形边，，上，． (1)如图1，当，且点F在边上时，求证： ①； ②菱形是正方形； (2)如图2，当点F在正方形的外部时，连接．探究：点F到直线的距离是否发生变化？并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)点到直线的距离不发生变化，理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL）、利用菱形的性质证明、根据正方形的性质与判定证明 【分析】（1）①由于四边形为正方形，四边形为菱形，那么，，而，利用证明≌； ②由全等三角形的性质得出，等量代换可得，即可证四边形为正方形； （2）过点作，根据平行公理可得，根据平行线的性质可以得到，，再根据菱形的邻角互补以及平角等于可以求出，然后证明与全等，即可得到是定值． 【详解】（1）证明：①∵四边形是正方形， ， ，， ， 四边形是菱形， ， ； ≌， ， ， ， ， 菱形为正方形； （2）解：点到直线的距离不发生变化． 理由：作交的延长线于，如图，过点作， 在正方形中，， ∴， ，， 四边形是菱形， ∴，， 即， 又， ， 在与中， ， ≌， ， 即，是定值不变． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质和判定，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线、灵活运用相关的性质定理和判定定理是解题的关键． 65．（23-24八年级下·吉林·期末）【感知】如图①，四边形均为正方形，由，可知：． 【拓展】如图②，四边形均为菱形，且．求证：． 【应用】如图③，四边形均为菱形，点E在边上，点G在延长线上．若，，的面积是12，则菱形的面积为______． 【答案】感知：；拓展：见解析；应用： 【知识点】全等三角形综合问题、利用菱形的性质证明、根据正方形的性质证明 【分析】此题考查了菱形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 感知：由四边形均为正方形得到则即可证明，得到答案； 拓展：由菱形的性质得到．由得到．则．即可证明，得到结论； 应用：证明，则．过点E作于点H，，则，得到，由得到 ,则，即可得到答案． 【详解】感知：证明：∵四边形均为正方形， ∴ ∴ ∴ ∴． 故答案为： 拓展：∵均为菱形， ∴． ∵， ∴． ∴， 即． 在和中， ∴， ∴． 应用：∵均为菱形， ∴． ∵， ∴． ∴， 即． 在和中， ∴， ∴． ∵四边形为菱形， ∴， 过点E作于点H， ∵， ∴， ∵， ∴ , ∴ ∴. 66．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”． (1)下列选项中一定是“等补四边形”的是______． A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 (2)如图1，在边长为4的正方形中，为边上一动点（不与重合），交于点，过作交于点． ①试判断四边形是否为“等补四边形”，并说明理由； ②如图2，连接，求的周长； ③若四边形是“等补四边形”，求的长． 【答案】(1)D (2)①四边形是等补四边形，见解析；②；③或者 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】（1）在平行四边形、矩形、正方形、菱形中，只有正方形的邻边相等且对角互补，符合等补四边形的定义，即可得到问题的答案； （2）①先证A、B、H、F四点共圆，利用圆周角定理可得，进而求出，利用等角对等边得出，最后利用“等补四边形”的定义即可证明； ②将绕A点逆时针旋转得到，证明，再证，得出，即可求出的周长； ③根据，四边形是“等补四边形”可得四边形有一组邻边相等，然后分、、、四种情况讨论即可． 【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、正方形、菱形中，只有正方形的邻边相等且对角互补， ∴正方形是等补四边形， 故选：D． （2）解：①四边形是“等补四边形”，理由如下： ∵为正方形的对角线， ∴， 又，， ∴A、B、H、F四点共圆， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是“等补四边形”． ②将绕A点逆时针旋转得到， ∴，， ∴E、D、L三点共线， 由①得， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴的周长； ③∵，四边形是“等补四边形”， ∴还需要一组邻边相等，分以下四种情况讨论： 情况1：， 连接， 由题意知∶，， 又， ∴， ∴， 则为正三角形， ∴， ∴， ∴，； 情况2：，则， ∴， 同情况1，； 情况3：，由②得的周长． 设，则，有， ∴， 即； 情况4：， 连接， 则， 则HF垂直平分AE， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴，这不可能，故这种情况不存在． 综上：或者． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识，目前题意，理解新定义，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 67．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图1，在正方形中，边长为5，点M，N是边，上两点，且，连接，，与相交于点O． (1)探究线段与的关系，并说明理由； (2)如图2，若点E，F分别是与的中点，求线段的长； (3)如图3，延长至P，连接，若，请直接写出线段的长． 【答案】(1)，且，理由见解析 (2) (3) 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】根据正方形的性质可证明，有，，结合直角的定义即可找到线段和的关系； 连接并延长交于G，连接，利用正方形的性质证明，有，，结合三角形的中位线定理得，由线段和差关系和勾股定理即可求得，即有； 过点B作于点H，利用勾股定理求得，结合三角形面积求得，再次利用勾股定理求得，根据等腰直角三角形求得，由线段和差关系即可求得． 【详解】（1）解：，且， 理由：四边形是正方形， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 线段和的关系为：，且； （2）解：连接并延长交于G，连接，如图， 四边形是正方形， ，，， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， 正方形的边长为5，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ； （3）解：过点B作于点H，如图， ， ， ， ， ∵， ， ， ． 【点睛】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的性质，以及勾股定理，解题的关键是做辅助线并利用线段中点找到对应的边之间的关系． 68．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图①，在正方形中，P是对角线上的一点，点E在的延长线上，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)把正方形改为菱形，其它条件不变（如图②），若，则________度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)60 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求角度、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查的是正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正方形和菱形的性质是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到，，证明； （2）根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，证明，得到答案； （3）根据菱形的性质、仿照（2）的证明方法解答即可． 【详解】（1）证明：在正方形中，，， 在和中， ， ； （2）证明：由（1）知，， ， ， ， ， 设与相交于点O， ， ， ； （3）解：在菱形中，，， 又， ， 则是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 设与相交于点O， ， ， ， ， ， 故答案为：60 69．（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）综合与实践 如图1，在正方形中，点，分别是边，上的点，且． (1)求证：． (2)如图2，在图1的基础上，过点作的垂线，与正方形的外角的平分线交于点，连接．求证：四边形是平行四边形． (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若四边形的面积是25，，请直接写出的长度． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、根据正方形的性质证明 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，推得，根据垂直的性质可得，推得，根据全等三角形的判定和性质即可证明； （2）在上截取，连接，根据题意推得，根据等边对等角可得，推得，根据垂直的性质可得，，推得，根据全等三角形的判定和性质可得，结合（1）中结论推得，根据垂直的性质可得，推得，根据平行线的判定可得，根据平行四边形的判定即可证明； （3）根据全等三角形的性质可得，根据平行四边形的性质可得，求得，，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）证明：在上截取，连接，如图： 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∵平分 ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 又由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （3）解：∵， ∴， ∵四边形的面积是25，故， ∴， ∵， ∴， 在中， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，垂直的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，平行线的判定，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键 70．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在正方形中，点为边上的点，，且交正方形外角的平分线于点． 【问题初探】 （1）如图若点为的中点，求证：； 小明的思路是：取的中点，利用角边角证明，从而可证，请你帮助小明写出完整的证明过程； 【类比分析】 （2）如图若点在线段上滑动（不与点，重合），是否总成立？请给出证明； 【拓展延伸】 （3）在图的边上是否存在一点M，使得四边形是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 【答案】（）证明见解析；（）总成立，证明见解析；（）存在，理由见解析． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证明四边形是平行四边形、根据正方形的性质证明 【分析】（）由四边形是正方形，得，，由点是的中点，点是边的中点，则，再证明即可求解； （）在上截取，连接，证明是等腰直角三角形，同上理证明即可； （）过作交于点，则有，连接，证明，然后根据平行四边形的判定方法即可求证； 本题考查了正方形的性质，三角形全等判定与性质，平行四边形的判定，掌握正方形的性质，三角形全等判定方法与性质，平行四边形的判定方法，利用辅助线画出准确图形是解题的关键． 【详解】证明：（）∵四边形是正方形， ∴，， ∵点是的中点，点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， （）若点在线段上滑动时，总成立，理由： 如图，在上截取，连接， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵平分正方形的外角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （）如图，过作交于点，则有，连接， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． 题型八 数据的初步分析解答题常考题 71．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）为深入学习贯彻习近平法治思想，推动青少年宪法学习宣传教育走深走实，某校开展了宪法知识在线学习、知识竞赛与演讲比赛三项活动，下表是参加冠亚军决赛的甲、乙两名选手的各项测试成绩（单位：分）．若将在线学习、知识竞赛与演讲比赛的成绩依次按的比例计算最终成绩，谁将获得冠军？ 选手/项目 在线学习 知识竞赛 演讲比赛 甲 84 96 90 乙 89 99 85 【答案】甲将获得冠军 【知识点】求加权平均数、运用加权平均数做决策 【分析】本题主要考查了加权平均数的实际应用，用对应活动的得分乘以其比重求出每个活动的得分，再相加求出两人的总分，比较即可得到结论. 【详解】解：甲的最终成绩为分， 乙的最终成绩为分， ∵， ∴甲将获得冠军。 72．（23-24八年级下·广西河池·期末）为响应国家推行“低碳生活，绿色出行”的号召．一年来，巴马在争创全国文明卫生县城活动中，加强环境卫生整治，取缔三轮车载客，规范车辆乱停乱放现象，提升县容县貌，倡导共享电车出行．为了解某小区使用共享电车次数的情况，某公司研究小组随机采访了该小区10名居民，得到这10名居民一周内使用共享电车的次数统计如下： 使用次数 0 5 10 16 20 人数 1 1 3 4 1 (1)这10位居民一周内使用共享电车次数的中位数是 次，众数是 次； (2)若小明同学把数据“20”看成了“30”，那么中位数、方差和平均数中不受影响的是 ；（填“平均数”、“中位数”或“方差”） (3)该小区有2500名居民，试估计该小区居民一周内使用共享电车的总次数． 【答案】(1)13，16 (2)中位数 (3)估计该小区居民一周内使用共享电车的总次数为29750次． 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求中位数、求众数 【分析】本题考查的是平均数、众数、中位数的求法和性质，方差的性质，样本估计总体，牢记各个数的定义是关键． （1）根据众数、中位数分别求解可得； （2）由中位数不受极端值影响可得答案； （3）先求出平均数，用总人数乘以样本中居民的平均使用次数即可得． 【详解】（1）解：这10位居民一周内使用共享单车次数的中位数是（次）， 众数为16次， 故答案为：13，16； （2）解：把数据“20”看成了“30”， 那么中位数，方差和平均数中不受影响的是中位数和众数， 故答案为：中位数； （3）解：∵样本的平均数为：， ∴估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数为次． 73．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）某校举行了主题校会，引领广大学生积极学习“禁毒和反欺凌”相关知识，严格做好自我管理，筑牢青春防线．为了进一步增强同学们的认知，强化教育效果，学校利用班会课对全校学生进行了“禁毒和反欺凌”相关知识测试，并且在八年级随机抽取了40名学生的成绩进行抽样调查，并把抽样调查的结果绘制成了统计图： 请根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)抽取的这40名学生成绩的中位数是_________分，众数为_________分； (2)求抽取的这40名学生成绩的平均数； (3)根据样本调查结果，学校准备为成绩为90分及90分以上的学生颁奖，八年级有学生1000人，试估计学校需要为八年级准备多少份奖品？ 【答案】(1)85；85； (2)83分； (3)估计学校需要为八年级准备300份奖品． 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求一组数据的平均数、求中位数、求众数 【分析】本题考查了中位数、众数以及平均数，用样本估计总体，理解题意，熟练掌握基础知识点是解题关键． （1）根据总位数和众数的定义求解即可； （2）根据平均数公式求解即可； （3）用八年级的学生人数乘以样本中成绩为90分及90分以上的学生占比求解即可． 【详解】（1）解：40名学生成绩的中位数为第20和21名学生成绩的平均数， 由条形统计图可知，95分和90分的学生人数为人， 95分、90分和85分的学生人数为， 则这40名学生成绩的中位数是85分； 由条形统计图可知，85分有15名学生，人数最多， 则众数为85分， 故答案为：85；85； （2）解：分， 答：抽取的这40名学生成绩的平均数为83分； （3）解：份， 答：估计学校需要为八年级准备300份奖品． 74．（24-25八年级上·广东河源·期末）某校对八年级学生10月份“读书量”进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，绘制了如下两幅不完整的统计图． (1)请补全两幅统计图； (2)求本次所抽取的学生10月份“读书量”的平均数； (3)已知该校八年级有500名学生，请你估计该校八年级学生中，10月份“读书量”为5本的学生有多少？ 【答案】(1)见解析； (2)本次所抽取的学生10月份“读书量”的平均数为本； (3)该校八年级500名学生中，10月份“读书量”为5本的学生大约有75人． 【知识点】用样本的某种“率”估计总体相应的“率”、频数分布直方图、求加权平均数 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，加权平均数以及样本估计总体，掌握条形统计图、扇形统计图中的数量关系以及加权平均数的计算方法是正确解答的关键． （1）从两个统计图可知，样本中读书量是1本的学生有4人，占被调查人数的，由频率=频数总数即可求出样本容量，进而求出样本中读书量为3本的学生人数，补全条形统计图，求出样本中读书量为5本的学生占调查人数的百分比即可补全扇形统计图； （2）根据加权平均数的计算方法进行计算即可； （3）样本估计总体，用样本中读书量为5本的学生所占的百分比估计总体中读书量为5本的学生所占的百分比，再根据频率=频数总数进行计算即可． 【详解】（1）解：人，样本中读书量为3本的学生人数为人， 样本中读书量为5本的学生人数占被调查人数的百分比为， 补全的条形统计图、扇形统计图如图所示： （2）解：本， 答：本次所抽取的学生10月份“读书量”的平均数为本； （3）解人， 答：该校八年级500名学生中，10月份“读书量”为5本的学生大约有75人． 75．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）某校八（1）班和（2）班进行了一次数学测试，各班前5名学生的成绩（满分：100分）如下： 八（1）班：92，86，85，85，77； 八（2）班：92，89，85，85，79． 两班前5名学生成绩的有关统计数据如表： 平均分 中位数 众数 方差 八（1）班 85 b 85 八（2）班 a 85 c 19.2 请解决下面问题： (1)_______，_______，______． (2)求该校八（1）班前5名学生成绩的方差． (3)两个班中，哪个班前5名学生的整体成绩更好？为什么？ 【答案】(1)86，85，85 (2)八（1）班的方差为22.8； (3)八（2）班前5名的整体成绩较好．见解析 【知识点】求一组数据的平均数、求中位数、求众数、求方差 【分析】本题考查了求平均数、中位数、众数、方差，熟练掌握平均数、中位数、众数、方差的求法及意义是解此题的关键． （1）根据平均数、中位数、众数的定义进行计算即可； （2）根据方差公式进行计算即可； （3）根据平均数和方差的意义求解即可． 【详解】（1）解：八（2）班成绩重新排列为：79，85，85，89，92， ∴， 85出现次数最多， ∴， 八（1）班成绩重新排列为：77，85，85，86，92， ， 故答案为：86，85，85； （2）解：由题意得： 八（1）班的方差为：， 八（1）班的方差为22.8； （3）解：八（2）班的方差为：， 八（1）班的平均数小于八（2）班的平均数，且八（2）班的方差小于八（1）班的方差， 八（2）班前5名的整体成绩较好． 76．（24-25八年级下·全国·期末）教育部印发的《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》优化了课程设置，将劳动课程从综合实践活动课程中独立出来．某校为了解本校学生一周的课外劳动情况，随机抽取部分学生，调查了他们一周的课外劳动时间，将数据进行整理并制成如图所示的统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题． (1)本次调查数据的中位数是________，众数是________． (2)该校本次调查的学生一周的平均课外劳动时间是多少？ (3)若该校共有2000名学生，请估计该校学生一周的课外劳动时间不少于的人数． 【答案】(1)3；3 (2) (3)1400人 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求加权平均数、求中位数、求众数 【分析】本题考查求中位数，众数，平均数，利用样本估计总体： （1）根据中位数和众数的计算方法，进行求解即可； （2）利用加权平均数的计算公式进行计算即可； （3）利用样本估计总体的思想，进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：调查总人数为：（人）； 第20个和第21个数据均为3，故中位数为3； 3出现的次数最多，故众数为3； 故答案为：3，3； （2）； 答：该校本次调查的学生一周的平均课外劳动时间是； （3）（人）； 答：估计该校学生一周的课外劳动时间不少于的人数为人． 77．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）射击训练班中的甲乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为（单位：环）： 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 教练根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表： 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 a 8 c 乙 8 9 b 根据以上信息，请解答下面的问题： (1)______，______，______； (2)教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ (3)选手乙再射击第6次，由于发挥失常，命中的成绩仅是5环，则选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会______．（填“变大”、“变小”或“不变”）． 【答案】(1)8，9，； (2)见解析； (3)变大． 【知识点】求中位数、求众数、根据方差判断稳定性、运用方差做决策 【分析】本题主要考查了求方差，中位数，平均数，众数，方差与稳定性之间的关系，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据众数的定义确定a的值，根据方差公式计算甲的方差得到c的值，然后根据中位数的定义确定b的值； （2）利用方差的意义得甲的成绩比较稳定，从而决定选择甲参加射击比赛； （3）第6次为5环，与平均数相差比较大，数据的波动性变大，所以方差变大． 【详解】（1）解：甲选手的成绩中8环出现了3次，出现次数最多， 甲选手的成绩众数为8，即， ， 即； 把乙选手的成绩按由小到大排列为5，7，9，9，10， 乙选手的成绩的中位数为9； 故答案为：8，9，； （2）解：教练的理由为：甲乙的平均数相同，甲的方差小于乙的方差，所以成绩比较稳定，所以教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛； （3）第6次为5环，与平均数相差比较大， 选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会变大． 故答案为：变大． 78．（24-25八年级上·广东深圳·期末）2024年，我国成功发射火星探测器，开始了对火星的探测任务，这是中国在航天领域取得的重大突破．为弘扬航天科学精神，普及航天科学知识，某中学在全校七、八年级共800名学生中开展“航天科普知识竞赛”，并从七、八年级学生中各抽取20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）．相关数据统计、整理如下： 八年级抽取的学生的竞赛成绩（单位：分）： 4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10． 七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数/分 a 7.4 中位数/分 b 8 众数/分 7 c 根据以上信息，解答下列问题； (1) ， ， ； (2)请计算八年级抽取的20名学生竞赛成绩的合格率； (3)估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数． 【答案】(1)7.4，7.5，8 (2) (3)200人 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求中位数、求众数 【分析】本题考查中位数、众数、平均数的意义和样本估计总体，解题的关键是掌握众数、中位数、平均数的定义． （1）分别由平均数公式、中位数和众数的定义求解即可； （2）八年级抽取的20名学生中6分及以上的人数除以20即可； （3）利用样本估计总体思想求解可得． 【详解】（1）解：由图表可得：， ， ； 故答案为：7.4，7.5，8； （2）解：八年级抽取的20名学生竞赛成绩的合格率为； （3）解：（人）， 答：估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数为200人． 79．（24-25九年级下·重庆大足·期末）大足石刻国际旅游文化节期间，为了宣传世界文化遗产，讲好石刻故事，让精美的石刻会说话．某校举办了大足石刻故事讲解大赛，赛后某学习小组从八年级和九年级参与了比赛的学生中各随机抽取了10名同学的成绩进行了收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息： A组：；B组：；C组：；D组：；单位：分． 九年级10名同学成绩是：80，82，88，90，92，92，95，95，95，99． 八年级10名同学中成绩在A组中的数据为：84；在C组中的数据为：90，92，93，93． 根据以上信息，解答下列问题： 八、九年级所抽学生大赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 90.8 93 九年级 90.8 92 八年级所抽学生大赛成绩扇形统计图 (1)上述图表中________，________，_______． (2)根据以上数据分析，你认为我校八、九年级中哪个年级学生的讲解大赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校八、九年级各有50名同学参加了此次讲解大赛，估计该校八、九年级参加此次讲解大赛成绩在D组（）的学生总人数约是多少？ 【答案】(1)91；95； (2)九年级，见解析 (3)30人 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、由扇形统计图推断结论、运用中位数做决策、求众数 【分析】此题考查了扇形统计图和统计表，样本估计总体、中位数、众数、平均数等统计量的定义和意义等知识． （1）求出八年级各组的人数和占比，根据中位数、众数的定义即可得到答案； （2）根据中位数和众数进行分析即可； （3）各年级人数乘以对应的占比再求和即可得到答案． 【详解】（1）解：八年级名学生， ∴A组的人数为1人，占比为：， C组的人数为4人，占比为：， D组的人数占比为：，人数为（人）， B组的人数占比为：，即，人数为（人）， 八年级成绩的中位数在第5，6为同学的成绩的平均数， 即为C组中90，92的平均数，即， 九年级10名同学成绩出现次数最多的是95， ∴， 故答案为：91；95；． （2）解：九年级学生的讲解大赛成绩较好，理由：在平均数相同的情况下，九年级学生的讲解大赛成绩的中位数和众数都高于八年级的中位数和众数； （3）解：（人）； 答：估计我校八、九年级参加此次讲解大赛成绩在组的学生人数是人． 80．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）综合与实践 【项目背景】 苹果是我省某地区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄苹果园．在苹果收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块苹果园的优质苹果情况进行调查统计，为苹果园的发展规划提供一些参考． 【数据收集与整理】 从两块苹果园采摘的苹果中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个苹果的直径，作为样本数据．苹果直径用x（单位：cm）表示． 将所收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E x 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下： 任务1 求图1中a的值． 【数据分析与运用】 任务2 乙园样本中A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数． 任务3 下列结论一定正确的是 （填正确结论的序号）． ①两园样本数据的众数均在C组； ②两园样本数据的中位数均在C组； 任务4 结合市场情况，将C，D两组的苹果认定为一级，B组的苹果认定为二级，其它组的苹果认定为三级，其中一级苹果的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的苹果品质更优，并从一个角度说明一条理由即可． 【答案】任务1:40；任务2：6；任务3：②；任务4：乙园的苹果品质更优，理由见详解 【知识点】频数分布直方图、求一组数据的平均数、求中位数、求众数 【分析】本题考查频数（率）分布直方图、用样本估计总体、频数（率）分布表、加权平均数、中位数、众数，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型． 任务1用200分别减去其它各组的频数可得a的值； 任务2根据加权平均数公式计算即可； 任务3分别根据中位数、众数的定义解答即可； 任务4根据统计图数据判断即可． 【详解】解：任务1：由题意得，； 任务2：， ∴乙园样本数据的平均数为6； 任务3：由统计图可知，甲园的众数在B组，乙园的众数在C组，故①结论错误； 两园样本数据的中位数均在C组，故②正确； 故答案为：②； 任务4：乙园的苹果品质更优， 理由：由样本数据频数分布直方图可得，乙园一级苹果所占比例大于甲园， ∴可以认为乙园的苹果品质更优． $$专题02 沪科版八年级下册期末复习解答常考题 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 目录 题型一 二次根式解答题常考题 1 题型二 一元二次方程解答题常考题 11 题型三 勾股定理解答题常考题 19 题型四 平行四边形解答题常考题 31 题型五 矩形解答题常考题 47 题型六 菱形解答题常考题 63 题型七 正方形解答题常考题 78 题型八 数据的初步分析解答题常考题 100 题型一 二次根式解答题常考题 1．（24-25八年级下·全国·期末）计算： (1)； (2)． 2．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）计算： (1)； (2)． 3．（24-25八年级上·上海·期末）计算： (1)； (2)． 4．（23-24八年级下·河南三门峡·期末）下面是小美同学进行二次根式运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务． ………第一步 ………第二步 ………第三步 任务： (1)原式中的二次根式、、、、中，是最简二次根式的是______； (2)第______步开始出错，错误的原因是______； (3)第一步中，去括号的依据是______； (4)请写出正确的计算过程． 5．（23-24八年级下·山东威海·期末）定义：若两个二次根式，满足，且为有理数，则称与是关于的共轭二次根式． (1)与是关于______的共轭二次根式； (2)若与是关于2的共轭二次根式，则______； (3)若与是关于12的共轭二次根式，求的值． 6．（23-24八年级下·山东泰安·期末）； ； ； (1)写出_________； (2)猜想：_________； (3)由以上规律，计算的值． 7．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）阅读下面的材料，解答后面给出的问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如若它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如：与，与． (1)请你写出两个二次根式，使它们互为有理化因式：______．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子，分母乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，； (2)仿照上面给出的方法化简下列各式： ①； ②． 8．（23-24八年级下·广东广州·期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如 的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简， ，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： (1)化简： ______；______； (2)矩形的面积为 ，一边长为 ，求这个矩形的周长； (3)当时，化简：． 9．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）将边长分别为，，，，的正方形的面积记为，，, (1)计算：，， ； (2)把边长为的正方形的面积记作，其中是整数，从（）中计算结果，你能猜出等于多少吗？你的猜想是否正确，请说明理由． (3)若将边长变为，， ，时，的值是多少？ 10．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）阅读材料： 像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，与、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)计算： ； (2)计算：． 题型二 一元二次方程解答题常考题 11．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）解方程： (1)； (2)． 12．（24-25九年级上·河南漯河·期末）解方程． (1)； (2)． 13．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）小明同学在解一元二次方程时， 他是这样做的∶ 解方程∶ (1)小明的解法从第 步开始出现错误； (2)请用适当方法给出正确的解答． 14．（24-25九年级上·河南郑州·期末）已知关于的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若方程的一个根是，求方程的另一个根． 15．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）为了迎接2025年元旦佳节，某商场准备开展儿童玩具嘉年华降价促销活动．某种儿童玩具，平均每天可销售10件，每件盈利20元．根据调查统计，在每件降价不超过10元的情况下，若每件每降价1元，则每天可多售5件．通过销售此种儿童玩具，若商场每天要盈利425元，每件玩具应降价多少元？ 16．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）某社区为了解决停车难的问题，计划将一块矩形空地改建成一个小型停车场，其中阴影部分为停车位区域，其余部分均为宽度是x米的道路，如图所示，已知米，米，且停车区域(即阴影部分)的面积为880米，求道路的宽度x(米)． 17．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)当m为何值时，方程有两个实数根； (2)若、是方程的两根，且，求m的值． 18．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有一个根为0，求实数的值； (2)当时，等腰的底边长和腰长分别是一元二次方程的两个根．请用配方法解此方程，并求出的周长． 19．（24-25九年级上·四川成都·期末）推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，据统计某电商平台月份的水果销售量是，月份的水果销售量是． (1)若该平台月份到月份销售的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某店铺的水果进价为元，若售价为元，每天能销售，售价每降价元，每天可多售出．水果的售价为多少元时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少？ 20．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，小明打算用总长度为的栅栏围成两个大小相同的矩形花园，花园的一面靠墙，墙长，设的长为． (1)的长为多少米？（用含的代数式表示） (2)若矩形花园的面积为，求的长． (3)矩形花园的面积是否有可能达到？若可能，求出的值；若不可能，请说明理由． 题型三 勾股定理解答题常考题 21．（23-24八年级下·云南昭通·期末）为了提高同学们的数学核心素养，2024年春季学期昭通市某学校组织了一次研学活动，要求同学们合作搭建帐篷．如图是他们搭建帐篷的支架示意图．在中，两根支架从帐篷顶点A支撑在水平的支架上，一根支架于点B，另一根支架的端点C在线段上，且．经测量，，求的长． 22．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，在中，，，，．    求： (1)的周长； (2)判断是否是直角三角形？为什么？ 23．（23-24八年级上·广东湛江·期末）已知a、b、c满足． (1)求a、b、c的值； (2)判断以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由． 24．（23-24八年级上·河南周口·期末）为推进乡村振兴，某地大力修建崭新的公路．如图，现从地分别向三地修了三条笔直的公路 和，地、地、地在同一笔直公路上，公路 和公路互相垂直，又从地修了一条笔直的公路与公路在处连接，且公路和公路互相垂直，已知 千米，千米，千米． (1)求公路 的长度； (2)若修公路 每千米的费用是万元，请求出修建公路的费用． 25．（23-24七年级上·山东淄博·期末）（1）如图，点，求线段的长度和中点C的坐标； （2）若M是x轴上一动点，求的最小值； （3）已知的顶点坐标分别为，你能判定的形状吗？请说明理由． 26．（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）在一条东西走向的河流一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)求的度数； (2)求原来的路线的长． 27．（23-24八年级下·吉林·期末）在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图①，小明据此画出该岛的一个数学模型（如图②的四边形），是四边形岛屿上的一条小溪流，其中，千米，千米，千米． (1)求小溪流的长； (2)求四边形的面积（结果保留根号）． 28．（23-24八年级上·四川成都·期末）已知：如图所示，的周长是，，．在边上取一点，使，过作，的平分线交于． (1)是直角三角形吗？请证明你的结论； (2)求的面积． 29．（23-24八年级下·广东肇庆·期末）【再读教材】我们八年级下册数学课本第页介绍了“海伦秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】已知，在中，，，． (1)请你用“海伦秦九韶公式”求的面积； (2)除了利用“海伦秦九韶公式”求的面积外，你有其它解法吗？请写出你的解法． 30．（23-24八年级上·广东湛江·期末）若一个三角形存在两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形，现在，我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．例如：图1，在△ABC中，，则为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，是边上的高 (1)等腰直角三角形 勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）； (2)如图2，已知为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且，是边上的高．试探究线段与的数量关系，并给予证明； (3)如图3，等腰△ABC为勾股高三角形，其中，为边上的高，过点D作交于点E．求的值．    题型四 平行四边形解答题常考题 31．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，、为 的对角线 上的两点，请你添加一个条件，使得 ． (1)你添加的条件是________； (2)根据你添加的条件和题目的已知条件，求证：． 32．（23-24八年级下·甘肃陇南·期末）如图，在平行四边形中，点E、F分别是边的中点． (1)求证：； (2)若，求平行四边形的周长． 33．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平行四边形中，点E为上一点，连接并延长交的延长线于点F，，连接． (1)求证：平分； (2)若点E为中点，，，求的周长． 34．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，E，F是对角线AC上的两点，连接，，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，，求的长． 35．（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在平行四边形中，过点A作于点E，且． (1)求的度数； (2)若，求和之间的距离． 36．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在中，点分别是的中点，延长至点，使得，连接．   (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长 37．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，，平分，延长交于点．    (1)若，求的度数； (2)求证：． 38．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，E为射线上一点，直线与直线交于点G，于H，的延长线与直线交于点F． (1)当E在线段上时， ①若，，求的面积； ②求证：； (2)若，，求的长． 39．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）在四边形中，对角线交于点O． (1)如图1，若，求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）的条件下，将对角线绕点O顺时针旋转一个角度，分别交于点（如图2），求证：四边形是平行四边形； (3)如图3，若，求的最小值． 40．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期末）【问题初探】 （1）如图1，在中，，且，点是的中点，点为对角线上的点，且，连接线段．若，求的长． 【类比拓展】 （2）如图2，中，平分，于，．求证：； 【学以致用】 （3）如图3，在，，点在上，，、分别是、的中点，连结并延长，与的延长线交于点，连结，若，，，求的长． 题型五 矩形解答题常考题 41．（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）如图，在中，点E在边上，点F在边上，，连接． (1)求证： (2)若，求证：四边形是矩形． 42．（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图，在中，O是的中点，连接，的延长线相交于点E，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求证：四边形是矩形． 43．（23-24九年级下·吉林长春·期末）如图，在等边中，点D是的中点，点F是的中点，以为边作等边，连接点A、E． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，则线段______； 44．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平行四边形中，，经过中点O，分别交于点M，N，连接，且． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求的长． 45．（23-24八年级下·河南信阳·期末）如图，的对角线 相交于点O，点E是的中点，于点 G，于点 F，连接． (1)求证∶四边形 是矩形； (2)若 ，求的长． 46．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在四边形中，，，，平分∠BAC交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，则的长为______． 47．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在中，于点，延长至点，使，连接与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的长． 48．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，于点D，．点E，F分别是，的中点，连接，，，． (1)求证四边形为矩形． (2)若，则平行四边形的周长为____________． 49．（23-24八年级下·甘肃平凉·期末）如图，在三角形中，点O是边上一动点，过点O作直线，设交的平分线于点E，交的平分线于点F． (1)求证：； (2)当点O运动到何处时，四边形会变成矩形？并证明你的结论： (3)在（2）的条件下，若，，求四边形的面积． 50．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图1，在矩形中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点在第一象限，，． (1)直接写出点的坐标： ； (2)如图2，点在边上，连接，将沿折叠，点恰好与线段上的点重合，求线段的长度； (3)如图3，是直线上一点且在下方，交线段于点．若在第一象限，且，求点的坐标． 题型六 菱形解答题常考题 51．（23-24九年级上·北京丰台·期末）如图，在中，，是中点，连接分别过点，点作，，交点为． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 52．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交 于点，连接和． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求菱形的边长． 53．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点 O，过点 A 作，过 点 D 作，两线相交于点 E． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，交于点 F．若于点 E，，求的长． 54．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，在中，，D，E分别是，的中点，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点M，连接，若，，求，的长． 55．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，点是菱形对角线上任意一点，连接，，．点是延长线上一点，连接，交于点，且． (1)求的度数； (2)若，请直接写出，，的数量关系，不需要证明． 56．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图，已知点分别是的边上的中点，且， (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 57．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）在中，，是的中点，过点作，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求的长． 58．（23-24八年级下·浙江金华·期末）如下图，在菱形中，点P是边上的点，连结交对角线于点E，连结． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 59．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，矩形中，对角线，交于点，以，为邻边作平行四边形，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求矩形的面积． 60．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，四边形中，，，并且平分，，．点是上的动点，点在射线上． (1)如图1，求证：四边形为菱形； (2)如图2，连接，若，求的度数； (3)如图3，若，连接，求的最小值． 题型七 正方形解答题常考题 61．（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，E 是正方形的边延长线上的点，且． (1)求、的度数； (2)若 求的面积． 62．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点于点与交于点O．    (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 63．（23-24八年级下·河南商丘·期末）如图，在矩形中，点E，F分别在边上，且，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求四边形的面积． 64．（23-24八年级下·福建厦门·期末）已知，正方形的边长为6，菱形的三个顶点E，G，H分别在正方形边，，上，． (1)如图1，当，且点F在边上时，求证： ①； ②菱形是正方形； (2)如图2，当点F在正方形的外部时，连接．探究：点F到直线的距离是否发生变化？并说明理由． 65．（23-24八年级下·吉林·期末）【感知】如图①，四边形均为正方形，由，可知：． 【拓展】如图②，四边形均为菱形，且．求证：． 【应用】如图③，四边形均为菱形，点E在边上，点G在延长线上．若，，的面积是12，则菱形的面积为______． 66．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”． (1)下列选项中一定是“等补四边形”的是______． A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 (2)如图1，在边长为4的正方形中，为边上一动点（不与重合），交于点，过作交于点． ①试判断四边形是否为“等补四边形”，并说明理由； ②如图2，连接，求的周长； ③若四边形是“等补四边形”，求的长． 67．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图1，在正方形中，边长为5，点M，N是边，上两点，且，连接，，与相交于点O． (1)探究线段与的关系，并说明理由； (2)如图2，若点E，F分别是与的中点，求线段的长； (3)如图3，延长至P，连接，若，请直接写出线段的长． 68．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图①，在正方形中，P是对角线上的一点，点E在的延长线上，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)把正方形改为菱形，其它条件不变（如图②），若，则________度． 69．（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）综合与实践 如图1，在正方形中，点，分别是边，上的点，且． (1)求证：． (2)如图2，在图1的基础上，过点作的垂线，与正方形的外角的平分线交于点，连接．求证：四边形是平行四边形． (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若四边形的面积是25，，请直接写出的长度． 70．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在正方形中，点为边上的点，，且交正方形外角的平分线于点． 【问题初探】 （1）如图若点为的中点，求证：； 小明的思路是：取的中点，利用角边角证明，从而可证，请你帮助小明写出完整的证明过程； 【类比分析】 （2）如图若点在线段上滑动（不与点，重合），是否总成立？请给出证明； 【拓展延伸】 （3）在图的边上是否存在一点M，使得四边形是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 题型八 数据的初步分析解答题常考题 71．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）为深入学习贯彻习近平法治思想，推动青少年宪法学习宣传教育走深走实，某校开展了宪法知识在线学习、知识竞赛与演讲比赛三项活动，下表是参加冠亚军决赛的甲、乙两名选手的各项测试成绩（单位：分）．若将在线学习、知识竞赛与演讲比赛的成绩依次按的比例计算最终成绩，谁将获得冠军？ 选手/项目 在线学习 知识竞赛 演讲比赛 甲 84 96 90 乙 89 99 85 72．（23-24八年级下·广西河池·期末）为响应国家推行“低碳生活，绿色出行”的号召．一年来，巴马在争创全国文明卫生县城活动中，加强环境卫生整治，取缔三轮车载客，规范车辆乱停乱放现象，提升县容县貌，倡导共享电车出行．为了解某小区使用共享电车次数的情况，某公司研究小组随机采访了该小区10名居民，得到这10名居民一周内使用共享电车的次数统计如下： 使用次数 0 5 10 16 20 人数 1 1 3 4 1 (1)这10位居民一周内使用共享电车次数的中位数是 次，众数是 次； (2)若小明同学把数据“20”看成了“30”，那么中位数、方差和平均数中不受影响的是 ；（填“平均数”、“中位数”或“方差”） (3)该小区有2500名居民，试估计该小区居民一周内使用共享电车的总次数． 73．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）某校举行了主题校会，引领广大学生积极学习“禁毒和反欺凌”相关知识，严格做好自我管理，筑牢青春防线．为了进一步增强同学们的认知，强化教育效果，学校利用班会课对全校学生进行了“禁毒和反欺凌”相关知识测试，并且在八年级随机抽取了40名学生的成绩进行抽样调查，并把抽样调查的结果绘制成了统计图： 请根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)抽取的这40名学生成绩的中位数是_________分，众数为_________分； (2)求抽取的这40名学生成绩的平均数； (3)根据样本调查结果，学校准备为成绩为90分及90分以上的学生颁奖，八年级有学生1000人，试估计学校需要为八年级准备多少份奖品？ 74．（24-25八年级上·广东河源·期末）某校对八年级学生10月份“读书量”进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，绘制了如下两幅不完整的统计图． (1)请补全两幅统计图； (2)求本次所抽取的学生10月份“读书量”的平均数； (3)已知该校八年级有500名学生，请你估计该校八年级学生中，10月份“读书量”为5本的学生有多少？ 75．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）某校八（1）班和（2）班进行了一次数学测试，各班前5名学生的成绩（满分：100分）如下： 八（1）班：92，86，85，85，77； 八（2）班：92，89，85，85，79． 两班前5名学生成绩的有关统计数据如表： 平均分 中位数 众数 方差 八（1）班 85 b 85 八（2）班 a 85 c 19.2 请解决下面问题： (1)_______，_______，______． (2)求该校八（1）班前5名学生成绩的方差． (3)两个班中，哪个班前5名学生的整体成绩更好？为什么？ 76．（24-25八年级下·全国·期末）教育部印发的《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》优化了课程设置，将劳动课程从综合实践活动课程中独立出来．某校为了解本校学生一周的课外劳动情况，随机抽取部分学生，调查了他们一周的课外劳动时间，将数据进行整理并制成如图所示的统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题． (1)本次调查数据的中位数是________，众数是________． (2)该校本次调查的学生一周的平均课外劳动时间是多少？ (3)若该校共有2000名学生，请估计该校学生一周的课外劳动时间不少于的人数． 77．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）射击训练班中的甲乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为（单位：环）： 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 教练根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表： 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 a 8 c 乙 8 9 b 根据以上信息，请解答下面的问题： (1)______，______，______； (2)教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ (3)选手乙再射击第6次，由于发挥失常，命中的成绩仅是5环，则选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会______．（填“变大”、“变小”或“不变”）． 78．（24-25八年级上·广东深圳·期末）2024年，我国成功发射火星探测器，开始了对火星的探测任务，这是中国在航天领域取得的重大突破．为弘扬航天科学精神，普及航天科学知识，某中学在全校七、八年级共800名学生中开展“航天科普知识竞赛”，并从七、八年级学生中各抽取20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）．相关数据统计、整理如下： 八年级抽取的学生的竞赛成绩（单位：分）： 4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10． 七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数/分 a 7.4 中位数/分 b 8 众数/分 7 c 根据以上信息，解答下列问题； (1) ， ， ； (2)请计算八年级抽取的20名学生竞赛成绩的合格率； (3)估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数． 79．（24-25九年级下·重庆大足·期末）大足石刻国际旅游文化节期间，为了宣传世界文化遗产，讲好石刻故事，让精美的石刻会说话．某校举办了大足石刻故事讲解大赛，赛后某学习小组从八年级和九年级参与了比赛的学生中各随机抽取了10名同学的成绩进行了收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息： A组：；B组：；C组：；D组：；单位：分． 九年级10名同学成绩是：80，82，88，90，92，92，95，95，95，99． 八年级10名同学中成绩在A组中的数据为：84；在C组中的数据为：90，92，93，93． 根据以上信息，解答下列问题： 八、九年级所抽学生大赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 90.8 93 九年级 90.8 92 八年级所抽学生大赛成绩扇形统计图 (1)上述图表中________，________，_______． (2)根据以上数据分析，你认为我校八、九年级中哪个年级学生的讲解大赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校八、九年级各有50名同学参加了此次讲解大赛，估计该校八、九年级参加此次讲解大赛成绩在D组（）的学生总人数约是多少？ 80．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）综合与实践 【项目背景】 苹果是我省某地区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄苹果园．在苹果收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块苹果园的优质苹果情况进行调查统计，为苹果园的发展规划提供一些参考． 【数据收集与整理】 从两块苹果园采摘的苹果中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个苹果的直径，作为样本数据．苹果直径用x（单位：cm）表示． 将所收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E x 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下： 任务1 求图1中a的值． 【数据分析与运用】 任务2 乙园样本中A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数． 任务3 下列结论一定正确的是 （填正确结论的序号）． ①两园样本数据的众数均在C组； ②两园样本数据的中位数均在C组； 任务4 结合市场情况，将C，D两组的苹果认定为一级，B组的苹果认定为二级，其它组的苹果认定为三级，其中一级苹果的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的苹果品质更优，并从一个角度说明一条理由即可． $$