专题01 沪科版八年级下册期末复习选填压轴题（考题猜想，选填压轴必刷4大题型40题）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（沪科版）

专题01 沪科版八年级下册期末复习选填压轴题 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 目录 题型一 二次根式之选填题 1 题型二 一元二次方程之选填题 6 题型三 勾股定理之选填题 12 题型四 四边形之选填题 23 题型一 二次根式之选填题 1．（24-25八年级上·浙江台州·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广西贵港·期末）已知，化简的结果是（   ） A． B．1 C． D． 3．（23-24八年级下·全国·期末）将化简为，其中a、b为整数，求之值为何？（　　） A．5 B．3 C． D． 4．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从75 m高空抛物到落地所需时间为．从100 m高空抛物到落地所需时间为，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·广西来宾·期末）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为现在已知的三边长分别是，，，则三角形的面积是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·重庆·期末）若二次根式有意义，则的取值范围是 ． 7．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）已知，，在数轴上对应的点如图所示，则化简 ． 8．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）定义运算“*”的运算法则为：，其中a，b为非负实数，且，则 ． 9．（23-24八年级上·四川达州·期末）观察下列二次根式的化简： ， ， …， 则 ． 10．（23-24八年级下·云南昭通·期末）如果两个正数a、b，即，，我们把叫做正数a、b的算术平均数，把叫做正数a、b的几何平均数，于是可以得到结论：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即．该结论在数学中有广泛的应用，是解决最大值、最小值问题的有力工具．根据上述结论，若，则的最小值为 ． 题型二 一元二次方程之选填题 11．（24-25九年级上·广东揭阳·期末）若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 12．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）为落实五育并举，某学校为九年级6个班设立了一块劳动教育实践基地，旨在通过实践活动促进学生全面发展．如图，该基地是一块长，宽的矩形空地，为区分各班的区域，要修三条宽度相同的小路，且每条小路的两边都平行，各班基地的使用总面积为．若设小路的宽度为，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）对于两个不相等的实数，我们规定表示中较大的数，如，若已知，则的值为（    ） A．3或 B．或 C．或 D．3或 14．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）对于一元二次方程（），下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的是（   ） A．只有① B．只有①② C．只有②③ D．①②③ 15．（24-25九年级上·山东日照·期末）对于任意实数，规定，例如，，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 16．（24-25八年级下·重庆·期末）若已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 ． 17．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为 ． 18．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下、左、右页边距分别为、、、．若纸张大小为，考虑打印图片整体的匀称美，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的，则需设置页边距为 ． 19．（24-25九年级上·河南安阳·期末）如图，中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度运动，那么 秒后，线段将分成面积的两部分． 20．（24-25九年级上·福建泉州·期末）若定义：方程是方程的“倒方程”．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的一个解，则． ②一元二次方程与它的倒方程有公共解． ③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解． ④若，则与它的倒方程都有两个不相等的实数根．上述结论正确的有 ．（填序号即可） 题型三 勾股定理之选填题 21．（23-24八年级下·广东惠州·期末）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为（　　） A． B． C． D． 22．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，分别以直角三角形的三边为边、斜边和直径，向外作正方形、等腰直角三角形和半圆，则阴影部分的面积关系满足的图形有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 23．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）如图， 线段， 过点 作且，连结；过点作 且，连结； 过点作且，连结，依照此法继续作图，则（为大于的自然数）的长为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，已知：，点在射线上，，点在射线上，均为等边三角形，请观察它们的构成规律．用你发现的规律求出的长为（    ）    A． B． C． D． 25．（23-24八年级下·山东济南·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．例如：如图①，在四边形中，且，那么四边形就是邻等四边形． 问题解决：如图②，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形（点D在格点上），则所有符合条件的点D共有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 26．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，已知钓鱼杆的长为10米，露在水面上的鱼线长为6米，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长度为8米，则的长为 米． 27．（23-24八年级下·山东临沂·期末）我国古代数学中有这样一道数学题：如图，有一棵枯树直立在地上，树高12尺，粗3尺，有一根藤条从树根缠绕而上，缠绕3周到达树顶，则这根藤条的长度是 尺（注：枯树可以看成圆柱；树粗3尺，指的是底面圆周长为3尺） 28．（23-24八年级下·四川南充·期末）在数学实践与探究活动课上，李阳用两张正方形纸片和，通过切割分成五张小纸片1，2，3，4，5，再把它们拼接成一个大正方形（如图），若，，则纸片1的周长为 ． 29．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，A，两点分别在轴，轴上，点A的坐标为，点的坐标为，点为射线上一动点，点关于直线的对称点为点，当为直角三角形时，的长为 ． 30．（23-24八年级下·四川成都·期末）在中，，，，D为直线上的动点，过点B作射线于点E，若，则的长为 ． 题型四 四边形之选填题 31．（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图，F是平行四边形内一点，连接，过点F作，交于点E，在上取一点G，使得，连接，过点C作于点H，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 32．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）如图，在四边形中，、、、分别是、、、的中点，要使四边形是菱形，则四边形只需要满足的一个条件是（    ） A．对角线 B．四边形是菱形 C．对角线 D． 33．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，菱形的对角线交于点，．点是边上的动点，过点作，垂足为点，，垂足为点，连接，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 34．（23-24八年级下·河南安阳·期末）如图， 已知菱形的边长为8 ，P是对角线上的一动点，且， 则的最小值是（    ） A． B． C． D． 35．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图，矩形ABCD中，分别是边AD，BC的中点，于P，DP的延长线交AB于．下列结论：①；②；③．其中结论正确的有（      ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 36．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，点E、F分别是平行四边形边上一点，连接，连接交于点P，连接分别交于点G、H，设的面积为，的面积为，四边形的面积为，若，，，则阴影部分四边形的面积为（    ） A．17 B．19 C．18 D．25 37．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，正方形边长为1，，，则下列结论：①；②垂直平分；③的周长是2；④；⑤点A到的距离是．其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 38．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，以的各边为边分别作正方形，正方形与正方形，延长，分别交，于点，，连接，，，，在一条直线上，图中两块阴影部分的面积分别记为，，若：：，四边形的面积为，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 39．（23-24八年级下·浙江丽水·期末）如图，在菱形中，点P是对角线上一动点，于点E，于点F，记菱形高线的长为h，则下列结论：①当P为中点时，则；②；③；④若，连接，则有最小值为2；⑤若，连接，则的最大值为．其中错误的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 40．（23-24八年级下·山东日照·期末）如图，在边长为1的正方形中，的平分线交边于点，点在边上，，连接分别交和于点，，动点在上，于点，连接，有下列4个结论①；②；③；④的最小值是．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 41．（23-24八年级下·福建龙岩·期末）如图，在 中，尺规作图：（1）以点A为圆心，的长为半径画弧交 于点 ；（2）分别以点 为圆心，以大于 的一半长为半径画弧交于点 ，作射线 交 于点 ． 若，则 的长为 ． 42．（23-24八年级下·吉林·期中）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰，测得，直线交两对边于点E，F，则的长为 ． 43．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，点P为外一点，连接、，点、分别为、的中点，若，则的长为 ． 44．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）将矩形沿对角线对折，点落在点处，，与交于点，若， ， 则 ． 45．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，为平行四边形的对角线，，于点，于点，，相交于点，直线交线段的延长线于点，下列结论：①；②；③．④．其中正确的结论有 ．（填所有正确结论的序号） 46．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，矩形纸片中，，，点E、点F分别是边上的一个动点，将沿折叠，使顶点B落在点处，再将纸片沿折叠，使顶点C落在射线上的点处，下列结论：①﹔②若，则﹔③当点与重合时，；④连接，若是以为腰的等腰三角形，则或2，其中正确的结论有 ﹒（填序号） 47．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在四边形中，，为平行四边形对角线上一点，F为边上一点，且，连接，则的最小值为 ． 48．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，是边长为2的等边三角形，分别取边的中点，，，连接，得到四边形，它的周长记作；分别取的中点，，，连接，，得到四边形，它的周长记作；照此规律作下去，则等于 ．    49．（23-24九年级下·山东烟台·期末）如图，在矩形中，，，点是边上一点，将沿折叠，使点落在点处．连结，当为直角三角形时，线段的长是 ．    50．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）如图1，在四边形 中，依次取四边中点E，F， H， G， 连结，．P是线段上的一点，连结， 作 交于点 Q．分别沿，，，将四边形 剪裁成五块，再将它们拼成四边形 ． （1） ． （2）如图2， 连结， 交于点O， 若， 则四边形的周长最小值是 ． $$专题01 沪科版八年级下册期末复习选填压轴题 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 目录 题型一 二次根式之选填题 1 题型二 一元二次方程之选填题 6 题型三 勾股定理之选填题 12 题型四 四边形之选填题 23 题型一 二次根式之选填题 1．（24-25八年级上·浙江台州·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式的加减运算、分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的加法运算，分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键． 将化为，然后把，代入求值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式， 故选：． 2．（24-25八年级上·广西贵港·期末）已知，化简的结果是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了化简绝对值，二次根式的性质，因为，故，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：C 3．（23-24八年级下·全国·期末）将化简为，其中a、b为整数，求之值为何？（　　） A．5 B．3 C． D． 【答案】A 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查二次根式化简和分母有理化，先将进行分母有理化求出a、b，即可求解． 【详解】 ∴ ∴ 故选：A ． 4．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从75 m高空抛物到落地所需时间为．从100 m高空抛物到落地所需时间为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查二次根式应用，将和，代入关系式，求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴； 故选C． 5．（24-25八年级上·广西来宾·期末）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为现在已知的三边长分别是，，，则三角形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答． 根据题目中的面积公式可以求得的三边长分别是，，的面积，从而可以解答本题． 【详解】解：， 的三边长分别是，，的面积为：， 故选：B． 6．（23-24八年级上·重庆·期末）若二次根式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数、分式的分母不等于零，得出，，计算即可得出答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴，， 解得：， 故答案为：． 7．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）已知，，在数轴上对应的点如图所示，则化简 ． 【答案】0 【知识点】利用二次根式的性质化简、带有字母的绝对值化简问题、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】根据数轴判断出，，然后根据绝对值的性质和二次根式的性质化简即可．本题考查了实数与数轴，是基础题，观察图形判断出、的正负情况是解题的关键． 【详解】解：由图可知，，， ∴， ， ， ． 故答案为：0． 8．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）定义运算“*”的运算法则为：，其中a，b为非负实数，且，则 ． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、二次根式的混合运算 【分析】此题主要考查了新定义下的实数的运算，根据，求的算术平方根，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 9．（23-24八年级上·四川达州·期末）观察下列二次根式的化简： ， ， …， 则 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查的是规律探究，根据规律确定，然后计算求解即可． 【详解】解：由题意知， ； ∴， 故答案为：． 10．（23-24八年级下·云南昭通·期末）如果两个正数a、b，即，，我们把叫做正数a、b的算术平均数，把叫做正数a、b的几何平均数，于是可以得到结论：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即．该结论在数学中有广泛的应用，是解决最大值、最小值问题的有力工具．根据上述结论，若，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了新定义以及算术平均数与几何平均数之间的关系，根据“两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数”可得，由此可求最值． 【详解】解：，时，， ， ， ，， ， 的最小值为． 故答案为：． 题型二 一元二次方程之选填题 11．（24-25九年级上·广东揭阳·期末）若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查根的判别式，根据一元二次方程的二次项的系数不为0，结合方程没有实数根，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， ∴； 故选：C． 12．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）为落实五育并举，某学校为九年级6个班设立了一块劳动教育实践基地，旨在通过实践活动促进学生全面发展．如图，该基地是一块长，宽的矩形空地，为区分各班的区域，要修三条宽度相同的小路，且每条小路的两边都平行，各班基地的使用总面积为．若设小路的宽度为，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设小路宽为，根据“基地的使用总面积为”，即可得出关于的一元二次方程，即可得出结论． 【详解】解：设小路的宽度为， 由题意可得：， 故选：B． 13．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）对于两个不相等的实数，我们规定表示中较大的数，如，若已知，则的值为（    ） A．3或 B．或 C．或 D．3或 【答案】D 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解的定义，正确建立方程是解题关键．分两种情况：①当，即时，②当，即时，根据定义建立方程，解方程即可得． 【详解】解：①当，即时，则， 解得或（不符合题设，舍去）； ②当，即时，， 解得或（不符合题设，舍去）； 综上，的值为3或， 故选：D． 14．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）对于一元二次方程（），下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的是（   ） A．只有① B．只有①② C．只有②③ D．①②③ 【答案】B 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一元二次方程根的情况求参数、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．①根据，可用，表示，进而得出的正负，②利用根的判别式即可解决问题，③将代入讨论即可． 【详解】解：， ， ， ， ，故①正确． 方程有两个不相等的实根， ， 即． 又，且， ， 则方程有两个不相等的实根，故②正确． 是方程的一个根， ， 即， 或，故③错误． 综上分析可知：正确的只有①②． 故选：B． 15．（24-25九年级上·山东日照·期末）对于任意实数，规定，例如，，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】本题属于新定义题型，考查一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，先根据新定义得到，再把方程化为一般式，根据题意得到且，解不等式即可，根据题意得到关于的不等式是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， 整理得， 关于的方程有两个不相等的实数根， 且， 解得且． 故选：C． 16．（24-25八年级下·重庆·期末）若已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，由题意可得且，解不等式即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由题意得，且， 解得且， 故答案为：且． 17．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，首先利用根与系数的关系可以得到，，接着利用根与系数的关系得到关于的方程，解方程即可解决问题，能根据根与系数的关系得出关系式，是解此题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程的两个实数根为，， ，， ， 即：， 解得：． 故答案为：． 18．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下、左、右页边距分别为、、、．若纸张大小为，考虑打印图片整体的匀称美，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的，则需设置页边距为 ． 【答案】/ 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查列代数式，解一元二次方程．设，用含x的代数式分别表示出打印区域的长和宽，根据长方形的面积公式列关于x的方程并求解即可． 【详解】解：设， 根据题意，得， 经整理，得， 解得（大于18，舍去），， ∴， ∴需设置页边距为． 故答案为：． 19．（24-25九年级上·河南安阳·期末）如图，中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度运动，那么 秒后，线段将分成面积的两部分． 【答案】或 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系正确列方程是解题关键．设运动时间为，根据题意可得，，再根据三角形面积公式分两种情况求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒， 根据题意得：，， ，，， ，， ， 线段将分成面积的两部分， 或， 即或， 整理得：或（无实数解）， 解得：，， 即线段将分成面积的两部分，运动时间为或秒． 故答案为：或． 20．（24-25九年级上·福建泉州·期末）若定义：方程是方程的“倒方程”．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的一个解，则． ②一元二次方程与它的倒方程有公共解． ③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解． ④若，则与它的倒方程都有两个不相等的实数根．上述结论正确的有 ．（填序号即可） 【答案】②③④ 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及根的判别式．根据倒方程的定义和一元二次方程根的定义对①进行判断；一元二次方程与它的倒方程有公共解，可以判定②正确；利用倒方程的定义和根的判别式的意义对③④进行判断． 【详解】解：①的倒方程为， 把代入方程得， 解得，所以原说法错误； ②一元二次方程与它的倒方程有公共解，公共解是， 原说法正确； ③若一元二次方程无解，则其判别式小于0，而倒方程的判别式和原方程的判别式相同，则其值也小于0，故它的倒方程也无解，原说法正确，； ④当时，一元二次方程的根的判别式， 也为一元二次方程，此方程的根的判别式， 所以这两个方程都有两个不相等的实数根，所以④正确，符合题意； 故答案为：②③④． 题型三 勾股定理之选填题 21．（23-24八年级下·广东惠州·期末）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用七巧板拼图形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了七巧板拼图，勾股定理．先结合图得出长方形的长是正方形的对角线长为，长方形的宽是正方形对角线长的一半为，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解． 【详解】解：由图可知，长方形的长等于正方形的对角线长为，长方形的宽是正方形对角线长的一半为， 根据勾股定理可得：． 故选：B． 22．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，分别以直角三角形的三边为边、斜边和直径，向外作正方形、等腰直角三角形和半圆，则阴影部分的面积关系满足的图形有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键在于正确的表示各部分的面积．设两直角边分别为，，斜边为，用，，分别表示正方形、等腰直角三角形的面积，半圆，根据，求解，，之间的关系，进而可得结果． 【详解】解：设两直角边分别为，，斜边为， 则第一个图中，， ， ，故第一个图符合题意； 第二个图中，三个三角形是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质，斜边的高就是斜边的中线，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一关，则三个等腰直角三角形斜边的高等于斜边的一半， ∴， ， ， ， ，故第二个图符合题意； 第三个图中，，，， ， ，故第三个图符合题意； 这3个图形中面积关系满足的有3个， 故选：D． 23．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）如图， 线段， 过点 作且，连结；过点作 且，连结； 过点作且，连结，依照此法继续作图，则（为大于的自然数）的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理的应用，先根据勾股定理分别计算出、、的长，依此即可找出规律．利用勾股定理正确计算是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵且， ∴， ∵且， ∴， ∵且， ∴， …… ∴（为大于的自然数）． 故选：C． 24．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，已知：，点在射线上，，点在射线上，均为等边三角形，请观察它们的构成规律．用你发现的规律求出的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，根据已知得出，，，进而发现规律是解题关键．根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，…进而得到，，则，，再根据勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，      ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵，   ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，， …… 以此类推：， ∴， ∵是直角三角形，， ∴ 故选：B． 25．（23-24八年级下·山东济南·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．例如：如图①，在四边形中，且，那么四边形就是邻等四边形． 问题解决：如图②，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形（点D在格点上），则所有符合条件的点D共有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题属于四边形的综合题，考查了邻等四边形定义，勾股定理等知识，根据邻等四边形定义利用网格即可画图． 【详解】解：如下3个图，点即为所求；   ， 四边形为邻等四边形，   ， 四边形为邻等四边形，   ， 四边形为邻等四边形， 故选：B 26．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，已知钓鱼杆的长为10米，露在水面上的鱼线长为6米，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长度为8米，则的长为 米． 【答案】2 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．先根据勾股求出，再根据勾股定理求出，最后根据即可求解． 【详解】解：在中,,, , 在中,，, ， ， 故答案为：2. 27．（23-24八年级下·山东临沂·期末）我国古代数学中有这样一道数学题：如图，有一棵枯树直立在地上，树高12尺，粗3尺，有一根藤条从树根缠绕而上，缠绕3周到达树顶，则这根藤条的长度是 尺（注：枯树可以看成圆柱；树粗3尺，指的是底面圆周长为3尺） 【答案】15 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．根据勾股定理解答，即可求解． 【详解】解：如图， 在直角三角形中， ∵尺，尺， ∴尺， 即这根藤条的长度是15尺． 故答案为：15 28．（23-24八年级下·四川南充·期末）在数学实践与探究活动课上，李阳用两张正方形纸片和，通过切割分成五张小纸片1，2，3，4，5，再把它们拼接成一个大正方形（如图），若，，则纸片1的周长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理．熟练掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 证明，则，由勾股定理得，，根据纸片1的周长为，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴纸片1的周长为， 故答案为：． 29．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，A，两点分别在轴，轴上，点A的坐标为，点的坐标为，点为射线上一动点，点关于直线的对称点为点，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】3或6/6或3 【知识点】坐标与图形、用勾股定理解三角形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，勾股定理的应用，分三种情况：当时，当时，当时分别根据图形利用勾股定理求出即可． 【详解】解：设， 点关于直线的对称点为点， ， 当为直角三角形时，分三种情况： 当时，如图： 三点共线， ， 解得， ； 当时，如图： 为等腰直角三角形， ； 当时，则， 与相矛盾，故不存在． 故答案为：或． 30．（23-24八年级下·四川成都·期末）在中，，，，D为直线上的动点，过点B作射线于点E，若，则的长为 ． 【答案】或 【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，勾股定理，注意分类讨论，以免漏解． 先由勾股定理，求得，再分三种情况：①当点D在延长线上时，②当点D在线段上时，③当点D在延长线上时，分别求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， 分三种情况：①当点D在延长线上时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得 ， ∴， 在中，由勾股定理，得 ； ②当点D在线段上时，如图， ∵， ∴此情况不存在； ③当点D在延长线上时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得 ， ∴， 在中，由勾股定理，得 ； 综上， 的长为或． 故答案为：或． 题型四 四边形之选填题 31．（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图，F是平行四边形内一点，连接，过点F作，交于点E，在上取一点G，使得，连接，过点C作于点H，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、利用平行四边形的性质求解、两直线平行内错角相等、等边对等角 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰直角三角形，三角形外角的性质，关键是由平行线的性质推出． 延长交于，由等腰直角三角形的性质得到，由对顶角的性质待定，由平行四边形的性质推出，得到，由三角形外角的性质求出，即可求出． 【详解】解：延长交于，    ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 故选：D． 32．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）如图，在四边形中，、、、分别是、、、的中点，要使四边形是菱形，则四边形只需要满足的一个条件是（    ） A．对角线 B．四边形是菱形 C．对角线 D． 【答案】D 【知识点】与三角形中位线有关的证明、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了菱形的判定与性质．菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．利用三角形中位线定理可以证得四边形是平行四边形；然后由菱形的判定定理进行解答． 【详解】解：∵在四边形中，E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴，，， ∴； 同理，，， ∴四边形是平行四边形； A、若，得不到，则，不能证明四边形是菱形，故本选项错误； B、若四边形是菱形时，点四点共线；故本选项错误； C、若对角线时，得不到，则，不能证明四边形是菱形；故本选项错误； D、当时，则；所以平行四边形是菱形；故本选项正确； 故选：D． 33．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，菱形的对角线交于点，．点是边上的动点，过点作，垂足为点，，垂足为点，连接，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短，连接，由菱形的性质得出，，，由勾股定理得出，证明四边形为矩形，得出，即当最小时，的值最小，由垂线段最短可得，当时，此时的值最小，的值最小，再由等面积法计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为菱形，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴当最小时，的值最小， 由垂线段最短可得，当时，此时的值最小，的值最小， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 34．（23-24八年级下·河南安阳·期末）如图， 已知菱形的边长为8 ，P是对角线上的一动点，且， 则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长、化为最简二次根式、用勾股定理解三角形 【分析】作于E点，连接，根据垂线段最短，此时最短，即最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出的长，进而得出结论． 【详解】解：如图，作于E点，连接，    ∵菱形中，， ∴，为等边三角形，，互相平分， ∴，， ∴， ∴， 根据垂线段最短，此时最短，当A，P，E三点共线时，即最小， ∵菱形的边长为8，为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴最小值为， 故答案为：D． 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，掌握菱形的性质，垂线段最短是解题关键． 35．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图，矩形ABCD中，分别是边AD，BC的中点，于P，DP的延长线交AB于．下列结论：①；②；③．其中结论正确的有（      ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、全等三角形综合问题 【分析】连接，根据分别证明、，再利用勾股定理求出，逐个选项判断即可． 【详解】解：连接GF， ∵矩形， ∴，，，， ∵，是边的中点， ∴，故①正确； ∵分别是边，的中点， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵ ∴垂直平分 ∴ ∴（） ∴，即，故②正确； ∵，，， ∴（） ∴， 设，则，， 在中，， ∴解得，即，故③正确； 综上所述，正确的是①②③ 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上中线、勾股定理、全等三角形的性质与判定，涉及知识点比较多，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 36．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，点E、F分别是平行四边形边上一点，连接，连接交于点P，连接分别交于点G、H，设的面积为，的面积为，四边形的面积为，若，，，则阴影部分四边形的面积为（    ） A．17 B．19 C．18 D．25 【答案】D 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形性质．利用平行四边形的性质可得，进而求得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ∴， 设，，，则，，， ∴， ， 即阴影部分四边形的面积为25； 故选：D． 37．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，正方形边长为1，，，则下列结论：①；②垂直平分；③的周长是2；④；⑤点A到的距离是．其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、角平分线的性质定理、根据正方形的性质证明、全等三角形综合问题 【分析】先证明得到，可得，于是可对①进行判断；设、相交于点，如图，利用得到，则，接着判断垂直平分，平分，于是利用角平分线的性质定理得到，，则可对②③④进行判断；证明，可得，然后利用勾股定理求出长，则可对⑤进行判断． 【详解】解：∵是正方形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴，， 又∵, ∴，故①正确； ∵，， ∴， 又∵， ∴垂直平分，故②正确； 设与交于点， ∵，， ∴， 同理可得， ∴的周长是，故③正确； ∵，， ∴，故④错误； ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴点A到的距离是，故⑤正确； 综上所述，正确的为①②③⑤，共个， 故选C． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，解决本题的关键是证明垂直平分． 38．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，以的各边为边分别作正方形，正方形与正方形，延长，分别交，于点，，连接，，，，在一条直线上，图中两块阴影部分的面积分别记为，，若：：，四边形的面积为，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等三角形综合问题、根据矩形的性质与判定求线段长、利用平方根解方程、根据正方形的性质求线段长 【分析】先证明，，则，再证明四边形是正方形，四边形和四边形是面积相等的矩形，则，再证明，则，可推导出，则，再由，求得，则，再推导出，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形和四边形都是正方形， ，，， ， ， 四边形是正方形， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 设正方形和正方形的边长分别为、， ，， ， 四边形是正方形，四边形和四边形是面积相等的矩形， ， ，， ， ，， ， ， ， ，， ， 设，则， ， ， ， 故选：． 【点睛】此题重点考查正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、根据转化思想求图形的面积等知识与方法，证明并且求得是解题的关键． 39．（23-24八年级下·浙江丽水·期末）如图，在菱形中，点P是对角线上一动点，于点E，于点F，记菱形高线的长为h，则下列结论：①当P为中点时，则；②；③；④若，连接，则有最小值为2；⑤若，连接，则的最大值为．其中错误的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，连接，等积法判断①和②，四边形的内角和为360度，结合菱形的对角相等，判断③，连接，过点作，根据菱形的性质和成轴对称的特征求解，判断④，连接，过点作，利用含30度角的直角三角形的性质，结合配方法判断⑤即可． 【详解】解：菱形， ∴， 连接， 当P为中点时，则：， ∵于点E，于点F， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ，， ∴， ∴；故②正确； ∵于点E，于点F， ∴， ∴， ∵， ∴；故③正确； 连接，过点作，则垂直平分， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， ∵， ∴当点与点重合时，的值最小为的长， ∵，且， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴的最小值为，故④错误； 连接，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则：， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴的最大值为；故⑤错误； 故选B． 40．（23-24八年级下·山东日照·期末）如图，在边长为1的正方形中，的平分线交边于点，点在边上，，连接分别交和于点，，动点在上，于点，连接，有下列4个结论①；②；③；④的最小值是．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质求线段长、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】证明出，再根据全等三角形的性质及角的和差即可判断①；证明出和为等腰三角形即可判断②；如图：连接，先证明可得，再说明即可判断③；过点P作于点M，过点H作于点N．根据角平分线的性质定理和垂线段最短可判断出的最小值为的长．再证明为为等腰直角三角形且即可判断④． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即，故①正确； ∵的平分线交边于点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴，故②正确； 如图：连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴是直角三角形，即， ∴,故③错误； 如图，过点P作于点M，过点H作于点N． ∴的平分线交边于点， ∴， ∴， ∴的最小值为的长． ∵， ∴为等腰直角三角形． ∵， ∴， ∴的最小值是，故④正确， 故正确的有①②④共3个． 故选C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、角平分线的定义和性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质以及勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题关键． 41．（23-24八年级下·福建龙岩·期末）如图，在 中，尺规作图：（1）以点A为圆心，的长为半径画弧交 于点 ；（2）分别以点 为圆心，以大于 的一半长为半径画弧交于点 ，作射线 交 于点 ． 若，则 的长为 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质 【分析】设、的交点为O，由作图可知是的垂直平分线，进而可得，．再证，根据“等腰三角形三线合一”可得 ，进而可得． 本题主要考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一以及勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：如图，设、的交点为O． 由题意得是的垂直平分线， ，， 又， ， 又， ， ， ， ， ， 又， ， ． 故答案为：． 42．（23-24八年级下·吉林·期中）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰，测得，直线交两对边于点E，F，则的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查菱形的性质，利用菱形的性质结合勾股定理求出的长，等积法求出的长即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 43．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，点P为外一点，连接、，点、分别为、的中点，若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了中位线的性质，勾股定理；根据中位线的性质可得进而求得，在中，勾股定理，即可求解． 【详解】解：点、分别为、的中点， ， ， ， 在中，， 故答案为：． 44．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）将矩形沿对角线对折，点落在点处，，与交于点，若， ， 则 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握知识点的应用及正确地作出辅助线是解题的关键．连接，作于点，由折叠得，，，，因为于点，所以，可证明四边形是矩形, 则，，所以，则，所以，由且，，得关于的方程，即可求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，连接，作于点，则， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠得，，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， 故答案为：． 45．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，为平行四边形的对角线，，于点，于点，，相交于点，直线交线段的延长线于点，下列结论：①；②；③．④．其中正确的结论有 ．（填所有正确结论的序号） 【答案】②④/④② 【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明、等腰三角形的性质和判定 【分析】通过判断为等腰直角三角形，得到，根据等角的余角相等得到，再根据平行四边形的性质得到，则，于是可对②进行判断；根据“”可证明，得到，可对①进行判断；因为，，推出，可对③进行判断；依据勾股定理即可得到，可对④进行判断． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，故②正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ，故①错误； ∵，， ∵， ∴，故③错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确． ∴其中正确的结论有②④． 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质以及勾股定理，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键． 46．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，矩形纸片中，，，点E、点F分别是边上的一个动点，将沿折叠，使顶点B落在点处，再将纸片沿折叠，使顶点C落在射线上的点处，下列结论：①﹔②若，则﹔③当点与重合时，；④连接，若是以为腰的等腰三角形，则或2，其中正确的结论有 ﹒（填序号） 【答案】①②④ 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了折叠问题、矩形性质、等腰三角形性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． 由折叠得，得，即可判断①；证明得到，即可求出，即可②；当点与重合时，在中，利用勾股定理求出，即可判断③；若是以为腰的等腰三角形，分两种情况∶时和时，分别利用等腰三角形的性质和勾股定理求出，即可判定④． 【详解】解：由折叠得：， ∵， ∴，即，故①正确； ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴, ∴， 若， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，故②正确； 设，则， 如图：当点与重合时，， 在中，，即， ∴，故③错误； 如图：若是以为腰的等腰三角形，且时，如图：连接, ∵， ∴，即， ∵， ∴， 若是以为腰的等腰三角形，且时， 设，则， 在中，，即，解得：，即； 综上，或2故④正确； 故答案为∶①②④． 47．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在四边形中，，为平行四边形对角线上一点，F为边上一点，且，连接，则的最小值为 ． 【答案】7 【知识点】用勾股定理解三角形、利用二次根式的性质化简、根据矩形的性质与判定求线段长、含30度角的直角三角形 【分析】作，在上取，过点分别作于点，作于点，连接，先根据矩形的判定与性质可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得的最小值为的长，然后利用勾股定理和直角三角形的性质求出的长，最后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，作，在上取，过点分别作于点，作于点，连接， 则四边形是矩形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴的最小值为7， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，通过作辅助线，构造矩形和全等三角形是解题关键． 48．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，是边长为2的等边三角形，分别取边的中点，，，连接，得到四边形，它的周长记作；分别取的中点，，，连接，，得到四边形，它的周长记作；照此规律作下去，则等于 ．    【答案】/ 【知识点】图形类规律探索、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了三角形中位线定理、图形的变化规律，根据三角形中位线定理、线段中点的定义求出四边形的各边长，从而得出边长，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：∵点，，分别为边的中点， ∴、都是的中位线， ∴，，，， ∴四边形的周长：， 同理可得：四边形的周长， 四边形的周长， 四边形的周长， …， ∴， 故答案为：． 49．（23-24九年级下·山东烟台·期末）如图，在矩形中，，，点是边上一点，将沿折叠，使点落在点处．连结，当为直角三角形时，线段的长是 ．    【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长、矩形与折叠问题 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠问题、勾股定理、正方形的判定与性质，分两种情况：当为直角三角形，且时，当为直角三角形，且时，分别求解即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图，当为直角三角形，且时，    ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴， ∴、、在同一直线上， 由勾股定理可得：， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； 如图，当为直角三角形，且时，    ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 由折叠的性质可得：， ∴四边形是正方形， ∴； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 50．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）如图1，在四边形 中，依次取四边中点E，F， H， G， 连结，．P是线段上的一点，连结， 作 交于点 Q．分别沿，，，将四边形 剪裁成五块，再将它们拼成四边形 ． （1） ． （2）如图2， 连结， 交于点O， 若， 则四边形的周长最小值是 ． 【答案】 【知识点】全等三角形综合问题、与三角形中位线有关的求解问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据全等三角形的性质即可求解； （2）根据三角形中位线定理得出，即可得出最小时四边形的周长最小值，最小值是的值，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质求解即可； 【详解】解：（1）根据题意可得：， ∴， ∴， ∴； （2）∵是的中点， ∴， 作， ∴， ∴， ∴的最小值为， 根据（1）可得出， 故四边形的周长最小值； 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，垂线段最短等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． $$