专题03 分式（考题猜想，易错压轴必刷75题25种题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（苏科版）

专题03 分式（易错压轴必刷75题25种题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 分式的相关概念 · 题型二 分式有无意义的条件 · 题型三 分式值为零的条件 · 题型四 分式的求值 · 题型五 根据分式值的情况求解 · 题型六 分式的基本性质 · 题型七 将分式的分子分母化简 · 题型八 约分与通分 · 题型九 最简分式与最简公分母 · 题型十 分式的加减 · 题型十一 分式加减的实际应用 · 题型十二 已知分式恒等式，确定分子或分母 · 题型十三 分式的乘除法 · 题型十四 分式四则混合运算 · 题型十五 分式化简求值 · 题型十六 分式方程的相关概念 · 题型十七 解分式方程 · 题型十八 根据分式方程解的情况求值 · 题型十九 分式的增根问题 · 题型二十 分式的无解问题 · 题型二十一 分式方程的应用 · 题型二十二 分式的求值压轴问题 · 题型二十三 分式的整数值问题 · 题型二十四 分式方程的含参问题 · 题型二十五 分式（方程）的新定义运算 题型一 分式的相关概念 1．下列各式：，，，中，分式共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．下列各式：，，，，，其中分式共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列各式：，，，， 其中是分式的有 个． 题型二 分式有无意义的条件 4．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 5．在函数中，自变量的取值范围是 ． 6．已知分式． (1)当时，求分式的值； (2)当为何值时，分式有意义？ (3)当为何值时，分式的值为0？ 题型三 分式值为零的条件 7．若分式的值为零，则的取值为（　　） A．3 B．2 C． D． 8．若分式的值为零，则的值是 ． 9．已知关于的分式，求下列问题： (1)当满足什么条件，分式无意义； (2)当满足什么条件，分式有意义； (3)当满足什么条件，分式的值等于0． 题型四 分式的求值 10．若，求分式的值． 11．请回答： （1）若 ，求 的值； （2）若 ，且 ，求 的值． 12．已知，k为正实数． （1）当时，求的值： （2）当时，求的值： 题型五 根据分式值的情况求解 13．（1）当取什么值时，分式有意义? （2）当取什么值时，分式的值为负? （3）当取什么值时，分式的值为负? （4）当取什么值时，分式的值为 14．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：当取何值时，分式的值为正？ 解：依题意，得0 则有(1)或(2) 解不等式组(1)得：；解不等式组(2)得：不等式组无解 ∴不等式的解集是： ∴当时，分式的值为正 问题：仿照以上方法解答问题：当x取何值时，分式的值为负？ 15．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如： 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分 母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如： 再如： 解决下列问题 (1)分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； (2)把假分式化为带分式的形式； (3)如果分式的值为整数，求整数x的值． 题型六 分式的基本性质 16．把分式的分子分母中的都扩大为原来的2倍，则分式的值（  ） A．不变 B．缩小为原来的2倍 C．扩大为原来的倍 D．扩大为原来的2倍 17．若分式的值为8，当，都扩大为原来2倍后，所得分式的值是 ． 18．把分式中的值都扩大倍，则的值 ． 题型七 将分式的分子分母化简 19．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母均按某一字母降幂排列，并使分子、分母的最高次项的系数都是正数． (1)； (2) (3)． 20．不改变分式的值，把下列各式的分式与分母中各项的系数都化为整数． ①；②；③；④． 21．不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项的系数化为整数． （1）；                                 （2）． 题型八 约分与通分 22．（1）约分： ①； ②． （2）通分：，． 23．（1）约分：； （2）通分：，． 24．通分： (1)，； (2)，； (3)，，． 题型九 最简分式与最简公分母 25．下列分式中，最简分式的个数是 个． 26．分式的最简公分母是 ． 27．已知分式，，其分母与的最简公分母是 ． 题型十 分式的加减 28．计算： (1)； (2)． 29．计算： (1)； (2)． 30．计算： (1)； (2)． 题型十一 分式加减的实际应用 31．为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树a棵．原计划每天种b棵树，由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种10棵，结果提前 天完成任务． 32．中国首例商用磁悬浮列车平均速度为，计划提速，已知从A地到地路程为，那么提速后从A地到地节约的时间为 ． 33．甲、乙二人从同一地点同时出发沿相同路线去往同一目的地，甲一半路程以速度a行驶，一半路程以速度b行驶；乙一半时间以速度a行驶，一半时间以速度b行驶，问谁先到达目的地？（）下列结论：①甲先到；②乙先到；③甲、乙同时到达；④无法判断．其中正确的结论是 ．（只需填入序号） 题型十二 已知分式恒等式，确定分子或分母 34．若，，为常数，则的值为 ． 35．已知，则 ． 36．已知，求的值. 题型十三 分式的乘除法 37．计算： (1) (2) 38．计算：． 39．化简： (1)． (2)． (3)． (4)． 题型十四 分式四则混合运算 40．计算：． 41．计算 ． 42．化简． 题型十五 分式化简求值 43．先化简，再求值：，其中从1，2，3中选一个恰当的数代入求值． 44．化简：，并从，1，2中任取一个数作为a的值，求代数式的值． 45．先化简，然后从中选择一个适当的整数作为x的值代入求值． 题型十六 分式方程的相关概念 46．给出下列关于x的方程：①，②，③，④．其中，分式方程有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 47．下列关于x的方程中（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中是分式方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 48．观察下列分式方程：①；②；③；…．根据他们所蕴含的规律，写出这一组分式方程中的第⑥个方程： ． 题型十七 解分式方程 49．解方程： (1)． (2)． 50．解方程． (1)； (2)． 51．解方程： (1)； (2) 题型十八 根据分式方程解的情况求值 52．已知关于的方程的解是正数，那么的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 53．已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为 （ ） A． B．且 C． D．且 54．已知关于x的方程的解是正数，求m的取值范围． 题型十九 分式的增根问题 55．若关于x的分式方程 有增根，则a的值为（     ） A．4 B． C．3 D． 56．已知关于x的方程有增根，则m的值为 ． 57．（1）若方程有增根，则增根是__________； （2）若方程有增根，求的值． 题型二十 分式的无解问题 58．已知关于x的分式方程． (1)当时，解分式方程； (2)若这个分式方程无解，求m的值． 59．已知关于的方程：． (1)若方程有增根，求的值； (2)若方程无解，求的值． 60．关于x的分式方程无解，求m的值． 题型二十一 分式方程的应用 61．某企业加工生产甲、乙两种文旅产品，单独加工生产甲种文旅产品960件与单独加工生产乙种文旅产品780件所用的时间相同．已知每天单独加工生产甲种文旅产品比每天单独加工生产乙种文旅产品多15件．求每天单独加工生产甲、乙两种文旅产品的数量． 62．2025年3月14日是第六个“国际数学日”，鹿鸣“博・约”数学兴趣小组在今年“国际数学日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵，且花450元购买的自动铅笔比花600元购买的钢笔多15支．求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少元? 63．某粮食生产基地积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机兵比1件乙种农机具多万元，用18万元购买甲种农机具的数量和用12万元购买乙种农机具的数量相同． (1)求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ (2)若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共30件，且购买的总费用不超过100万元，则甲种农机具最多能购买多少件？ 题型二十二 分式的求值压轴问题 64．已知都为正数，，，，，，，则 ． 65．已知，则的值为 ． 66．已知，则的值为 ． 题型二十三 分式的整数值问题 67．当正整数 时，分式的值也是正整数． 68．阅读下面材料： 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似地，假分式也可以化为“带分式”（即整式与真分式的和的形式）参考上面的方法解决下列问题： 将分式，化为带分式． 当x取什么整数值时，分式的值也为整数？ 69．阅读下列材料，解决问题： 在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者为了分子的次数告诉于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数的和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明． 材料1：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：9x+y 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母x+1，可设x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b 则x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b＝x2+ax+x+a+b＝x2+（a+1）x+a+b ∵对于任意x上述等式成立． ∴解得：． ∴x﹣2． 这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式． （1）将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为　 　． （2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x＝　 　； （3）已知一个六位整数能被33整除，求满足条件的x，y的值． 题型二十四 分式方程的含参问题 70．若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（    ） A．277 B．240 C．272 D．256 71．若关于x的不等式组有且只有3个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为 ． 72．若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有非正整数解，则符合条件的所有整数的和为（    ） A． B． C．1 D． 题型二十五 分式（方程）的新定义运算 73．定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值． 74．阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________； (2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有__________个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 75．新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不是，打“×”． ①（   ）；②（   ）； ③（   ）； ④（   ）； (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$专题03 分式（易错压轴必刷75题25种题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 分式的相关概念 · 题型二 分式有无意义的条件 · 题型三 分式值为零的条件 · 题型四 分式的求值 · 题型五 根据分式值的情况求解 · 题型六 分式的基本性质 · 题型七 将分式的分子分母化简 · 题型八 约分与通分 · 题型九 最简分式与最简公分母 · 题型十 分式的加减 · 题型十一 分式加减的实际应用 · 题型十二 已知分式恒等式，确定分子或分母 · 题型十三 分式的乘除法 · 题型十四 分式四则混合运算 · 题型十五 分式化简求值 · 题型十六 分式方程的相关概念 · 题型十七 解分式方程 · 题型十八 根据分式方程解的情况求值 · 题型十九 分式的增根问题 · 题型二十 分式的无解问题 · 题型二十一 分式方程的应用 · 题型二十二 分式的求值压轴问题 · 题型二十三 分式的整数值问题 · 题型二十四 分式方程的含参问题 · 题型二十五 分式（方程）的新定义运算 题型一 分式的相关概念 1．下列各式：，，，中，分式共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键； 根据分式的定义进行解答即可，即分母中含有字母的式子叫分式． 【详解】解：，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式． ，的分母中含有字母，因此是分式，共个． 故选：B 2．下列各式：，，，，，其中分式共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义；判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：属于分式的有，，一共2个， 故选：B． 3．下列各式：，，，， 其中是分式的有 个． 【答案】2 【分析】本题考查了分式的定义，一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．根据分式的定义判断即可． 【详解】解：分式有：，，共2个， 故答案为：2． 题型二 分式有无意义的条件 4．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，， 解得，． 故答案为：． 5．在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的范围，根据分母不等于0列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得． 故答案为：． 6．已知分式． (1)当时，求分式的值； (2)当为何值时，分式有意义？ (3)当为何值时，分式的值为0？ 【答案】(1) (2)且 (3) 【分析】本题考查的是分式的求值，分式有意义的条件，分式的值为0的条件，掌握分式的基础概念是解本题的关键； （1）直接把代入计算即可； （2）由分母不为0建立不等式求解即可； （3）由分子为0，分母不为0，再求解即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）∵有意义， ∴且， 解得：且； （3）∵的值为0， ∴， 解得：， ∵且， ∴且； ∴； 题型三 分式值为零的条件 7．若分式的值为零，则的取值为（　　） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】使分子等于0，分母不等于0，解方程求得．本题考查了分式的值为0 的条件，熟练掌握分子等于0，分母不等于0 ，是解决此类问题的关键． 【详解】∵分式的值为零， ∴ ， ∴， ∴． 故选B 8．若分式的值为零，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值是0的条件，根据且即可求解． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且． 解得：， 故答案为：． 9．已知关于的分式，求下列问题： (1)当满足什么条件，分式无意义； (2)当满足什么条件，分式有意义； (3)当满足什么条件，分式的值等于0． 【答案】(1)或 (2)且 (3) 【分析】（1）根据分母为零时，分式无意义解题即可； （2）根据分母不为零时，分式有意义解题即可； （3）根据分式值为0的条件：分子为0，而分母不等于0，解题即可． 【详解】（1）解：由题可得， 解得：或， ∴当或时，分式无意义； （2）解：由题可得， 解得：且， ∴当且时，分式有意义； （3）解：由题可得， 解得， ∴当时，分式的值等于0． 【点睛】本题考查分式有意义，无意义，值为0时的条件，掌握分式值为0时分子为零而分母不为零的条件是解题的关键． 题型四 分式的求值 10．若，求分式的值． 【答案】 【分析】将变形为，再将即可求得分式的值． 【详解】解： 将代入，原式 故：分式的值为． 【点睛】本题考查分式的求值，运用了整体代换思想解题．掌握分式的加减法是解题的关键． 11．请回答： （1）若 ，求 的值； （2）若 ，且 ，求 的值． 【答案】（1）；（2） ． 【分析】（1）由 ，得 ，代入代数式计算即可得到结论； （2）设 ，则 ，，，代入代数式计算即可得到结论． 【详解】解：（1） 由 ，得 ， ∴ ； （2）设 ，则 ，，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了分式的求值，熟练掌握求解的方法是解题的关键． 12．已知，k为正实数． （1）当时，求的值： （2）当时，求的值： 【答案】（1）5；（2） 【分析】（1）根据=代入可得结果； （2）先根据，计算=的值，再将平方后计算． 【详解】解：（1）当时，， ===5； （2）当时，， ==， =． 【点睛】本题考查了分式的值和完全平方公式的运用，将所求式子进行适当的变形是解题的关键． 题型五 根据分式值的情况求解 13．（1）当取什么值时，分式有意义? （2）当取什么值时，分式的值为负? （3）当取什么值时，分式的值为负? （4）当取什么值时，分式的值为 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）根据分式有意义的条件可得，即可求解． （2）根据分式的性质，可得，解不等式即可求解； （3）根据分式的性质，可得且，即可求解； （4）根据分式的值为0的条件以及分式有意义的条件即可求解． 【详解】解：（1）∵分式有意义 ∴， 解得：； （2）∵分式的值为负 ∴， ∴； （3）∵分式的值为负 ∴且，   ∴； （4）∵分式的值为， ∴且， 解得： 【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，分式有意义的条件，分式的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 14．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：当取何值时，分式的值为正？ 解：依题意，得0 则有(1)或(2) 解不等式组(1)得：；解不等式组(2)得：不等式组无解 ∴不等式的解集是： ∴当时，分式的值为正 问题：仿照以上方法解答问题：当x取何值时，分式的值为负？ 【答案】当时，分式的值为负 【分析】由题意分式的值为负，此时要分两种情况讨论，然后再根据求不等式的口诀，分别解出不等式组的解集． 【详解】解：依题意，得0， 则有(1)或(2) 解不等式组(1)得：无解； 解不等式组(2)得：， ∴不等式的解集是：， ∴当时，分式的值为负． 【点睛】本题主要考查分式的值为正的条件和解一元一次不等式组的知识点，根据题列出不等式组是解题的关键． 15．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如： 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分 母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如： 再如： 解决下列问题 (1)分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； (2)把假分式化为带分式的形式； (3)如果分式的值为整数，求整数x的值． 【答案】(1)真 (2) (3)，，，． 【分析】本题考查了分式和新定义，解题的关键是正确理解新定义和分式的运算． （1）根据题中阅读材料中的真假分式定义即可判断； （2）根据题中阅读材料中的方法把假分式化为带分式即可； （3）把假分式化为带分式，然后根据的值为整数即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，分式是真分式； 故答案为：真． （2）解：∵， 故答案为：． （3）解：， ∵的值为整数，的值也是整数， 故的值为：，，，， ∴的值为：，，，． 故答案为：，，，． 题型六 分式的基本性质 16．把分式的分子分母中的都扩大为原来的2倍，则分式的值（  ） A．不变 B．缩小为原来的2倍 C．扩大为原来的倍 D．扩大为原来的2倍 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质；把分式中的分别用代替，再利用分式的基本性质化简即可判断． 【详解】解：， 即分式的值扩大为原来的 2 倍； 故选：D． 17．若分式的值为8，当，都扩大为原来2倍后，所得分式的值是 ． 【答案】16 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．由题意得，将分式中，用，代替，利用分式的基本性质化简，再结合原分式的值即可得出答案． 【详解】解：将分式中，都扩大为原来2倍后，所得式子为： ， 若分式的值为8，则所得分式的值是． 故答案为：16． 18．把分式中的值都扩大倍，则的值 ． 【答案】扩大为原来的倍 【分析】本题考查了用分式的基本性质判断分式值的变化，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行计算化简即可． 【详解】解：把分式中的值都扩大倍， 可得：， ∵， ∴如果把分式中的值都扩大倍，那么的值扩大为原来的倍． 故答案为：扩大为原来的倍． 题型七 将分式的分子分母化简 19．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母均按某一字母降幂排列，并使分子、分母的最高次项的系数都是正数． (1)； (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用分式的基本性质解答，即可求解； （2）利用分式的基本性质解答，即可求解； （3）利用分式的基本性质解答，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 20．不改变分式的值，把下列各式的分式与分母中各项的系数都化为整数． ①；②；③；④． 【答案】①；②；③；④ 【分析】分式的基本性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变，根据分式的基本性质：①分式的分子分母都乘以 可得答案；②分式的分子分母都乘以可得答案；③分式的分子分母都乘以 可得答案；④分式的分子分母都乘以 可得答案； 【详解】解：①， ②， ③， ④ 【点睛】本题考查的是利用分式的基本性质把分子分母的各项系数化为整数，掌握变形的方法是解题的关键. 21．不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项的系数化为整数． （1）；                                 （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）把分子与分母同时乘以6即可得出结论； （2）把分子与分母同时乘以100即可得出结论 【详解】解：（1）；                                 （2） 【点睛】本题考查的是分式的基本性质，即分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的数（或整式），分式的值不变． 题型八 约分与通分 22．（1）约分： ①； ②． （2）通分：，． 【答案】（1）①②（2）， 【分析】本题主要考查了分式的约分，通分，正确找到分子和分母的公因式是解题的关键． （1）分子分母同时约去公因式即可得到①的答案；分子和分母分别利用完全平方公式和平方差公式分解因式，然后约分即可得到②的答案； （2）将两分式的分母中的系数取各系数的最小公倍数，相同因式的次数取最高次幂，即可作答． 【详解】解：（1）①， ②； （2）依题意，，． 23．（1）约分：； （2）通分：，． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查了分式的约分和通分，熟知约分和通分的计算法则是解题的关键． （1）分别把分子和分母分解因式，然后约去公因式即可得到答案； （2）先把两个分式的分母分解因式，再找到两个分式的公分母，再进行同分即可． 【详解】解（1） ； （2）∵，， ∴，． 24．通分： (1)，； (2)，； (3)，，． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【分析】本题考查了通分，找出最简公分母是解此题的关键． （1）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可； （2）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可； （3）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可． 【详解】（1）解：（1）最简公分母是， ， ； （2）解：最简公分母是， ， ； （3）解：最简公分母是， ， ， ． 题型九 最简分式与最简公分母 25．下列分式中，最简分式的个数是 个． 【答案】1 【分析】本题考查了最简分式的定义； 最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分，据此判断即可． 【详解】解：，，，，均不是最简分式； 是最简分式，最简分式的个数是1， 故答案为：1． 26．分式的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母．找到最简公分母的步骤是：数字因数的最小公倍数和各个字母的最高次幂的乘积，若分母为多项式的要先进行因式分解，据此即可解答． 【详解】解：分式的分母分别为，，则最简公分母为， 故答案为：． 27．已知分式，，其分母与的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的通分、分解因式，分式的能分就是把异分母分式化为同分母分式，通分的关键是找各分式的最简公分母，最简公分母就是取各分母系数的最小公倍数为最简公分母的系数，再取各分母中所有因式的最高次幂作为公分母的因式，从而可得答案． 【详解】解：， ， 最简公分母是． 故答案为： ． 题型十 分式的加减 28．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查了分式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据同分母分式加法法则求解即可； （2）先通分，然后根据同分母分式加法法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 29．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的减法计算，熟知分式的减法计算法则是解题的关键． （1）直接根据同分母分式减法计算法则求解即可； （2）先把两个分式通分，再把分子相加后约分化简即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 30．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式加减运算：同分母分式的加减法是分母不变，分式相加减；异分母分式的加减法运算通过通分转化为同分母的加减运算． （1）根据同分母相加减，分母不变，分子相加减，即可得出答案； （2）先把分式的分子与分母进行因式分解，再化成同分母分式，然后进行约分，即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2） ． 题型十一 分式加减的实际应用 31．为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树a棵．原计划每天种b棵树，由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种10棵，结果提前 天完成任务． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式减法的应用．根据题意列出代数式，再计算，即可． 【详解】解：根据题意得： ， 即结果提前天完成任务． 故答案为： 32．中国首例商用磁悬浮列车平均速度为，计划提速，已知从A地到地路程为，那么提速后从A地到地节约的时间为 ． 【答案】 【分析】直接根据题意表示出提速前和提速后所用时间，进而得出答案． 【详解】解∶由题意可得， 故答案为∶． 【点睛】此题主要考查了列代数式，分式的减法运算，正确表示出行驶时间是解题关键． 33．甲、乙二人从同一地点同时出发沿相同路线去往同一目的地，甲一半路程以速度a行驶，一半路程以速度b行驶；乙一半时间以速度a行驶，一半时间以速度b行驶，问谁先到达目的地？（）下列结论：①甲先到；②乙先到；③甲、乙同时到达；④无法判断．其中正确的结论是 ．（只需填入序号） 【答案】② 【分析】不妨设两地的路程为1，甲走完全程用的时间为m，乙走完全程用的时间为n，由路程＝速度×时间，得甲车到达指定地点的时间为，乙车到达指定地点的时间为；比较甲，乙的大小即可． 【详解】解：设总路程为1，甲走完全程用的时间为m，乙走完全程用的时间为n， 甲：， 乙：，整理得 ， 甲到达用的时间更多，所以乙先到． 故答案为：②． 【点睛】本题考查了分式加减运算的实际应用，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题是一道考查行程问题的应用题，解此类问题只要把握住路程＝速度×时间，即可找出等量关系，列出方程．要注意找出题中隐含的条件，如本题甲乙二人相同的行驶路程． 题型十二 已知分式恒等式，确定分子或分母 34．若，，为常数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，先通分，然后进行同分母分式加减运算．通过通分得到分子的对应项，从而求得A、B的值，代入即可求出的值． 【详解】 ， ∵， ∴， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：1． 35．已知，则 ． 【答案】7 【分析】根据题意可进行通分，即，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ①+②得：； 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查分式的加法，熟练掌握分式的加法运算是解题的关键． 36．已知，求的值. 【答案】 【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的减法法则计算，利用分式相等的条件求出A与B的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵ 左边=， 右边= 所以 解得：. 把，代入，． 【点睛】本题考查分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 题型十三 分式的乘除法 37．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式乘除混合运算法则进行计算即可； （2）根据分式除法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了分式乘除运算，解题的关键是熟练掌握分式乘除混合运算法则，准确计算． 38．计算：． 【答案】 【分析】根据分式的乘除混合运算法则求解即可． 【详解】 ． 【点睛】此题考查了分式的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的乘除混合运算法则． 39．化简： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先把分子因式分解，然后约分即可； （2）先把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，然后约分即可； （3）先乘方，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可； （4）先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 题型十四 分式四则混合运算 40．计算：． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，先将括号内分式通分，分子因式分解，变分式除法为乘法，最后约分化简即可． 【详解】解： ． 41．计算 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，先计算括号内分式的加法运算，再把除法化为乘法运算，再约分即可． 【详解】解： ． 42．化简． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算．原式被除数括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果即可． 【详解】解： ． 题型十五 分式化简求值 43．先化简，再求值：，其中从1，2，3中选一个恰当的数代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解： ， ∵ ∴当时，原式 44．化简：，并从，1，2中任取一个数作为a的值，求代数式的值． 【答案】，3 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则计算得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式， ， 由题意得，，， 则，， ， 当时，原式． 45．先化简，然后从中选择一个适当的整数作为x的值代入求值． 【答案】 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号内，再运算除法，然后化简得，由分母不为0得当时，则，即可作答． 【详解】解： ， ∵， ∵， ∴当时，则． 题型十六 分式方程的相关概念 46．给出下列关于x的方程：①，②，③，④．其中，分式方程有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的概念，根据分式方程概念对上述方程进行判断，即可解题． 【详解】解：①，③，④是整式方程；②的分母中含有未知数x，是关于x的分式方程． 故分式方程有1个， 故选：A． 47．下列关于x的方程中（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中是分式方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键； 根据分式方程的定义逐个分析判断即可． 【详解】分母中含有未知数，故是分式方程； 分母中不含有未知数，故不是分式方程； 关于x的方程分母b是常数，分母中不含有未知数，故不是分式方程； 关于x的方程分母a是常数，分母中不含有未知数，不是分式方程； 分母中是常数，不含有未知数，故不是分式方程； 综上所述：是分式方程的有1个； 故选：A． 48．观察下列分式方程：①；②；③；…．根据他们所蕴含的规律，写出这一组分式方程中的第⑥个方程： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程，代数式规律的探索；探索出方程的规律是解题的关键；分式方程的规律是：方程左边是分式与1的和，其中分式的分母为未知数x，分子为从1开始的相邻两个自然数的积，方程右边是从3开始的奇数；根据此规律即可写出第⑥个方程． 【详解】解：根据规律知，第⑥个方程为：， 即， 故答案为：． 题型十七 解分式方程 49．解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】本题考查了分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思路是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要验根． （1）将方程化为整式方程，进行求解，最后检验是否为增根即可； （2）将方程化为整式方程，进行求解，最后检验是否为增根即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 整理得：， 解得： 当时，， 故是方程的解； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 整理得：， 解得： 当时，， 故是方程的增根；原方程无解． 50．解方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式方程的计算，熟知运算法则是解题的关键． （1）先去分母，再计算一元一次方程即可； （2）先去分母，再计算一元一次方程即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同乘，得， 解得：， 检验：时，， ∴是该分式方程的解； （2）解： 方程两边同乘，得 解得：， 检验：时，， ∴是该分式方程的解． 51．解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2)方程无解 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解答本题的关键． （1）去分母化为整式方程并解整式方程，经检验即可得到答案； （2）去分母化为整式方程并解整式方程，经检验即可得到答案． 【详解】（1）解：， 去分母得到，， 解得：， 经检验，是分式方程的解； （2）解：， 去分母得到，， 解得：， 当时，， ∴是增根，分式方程无解． 题型十八 根据分式方程解的情况求值 52．已知关于的方程的解是正数，那么的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】先求解分式方程，根据“方程无增根”和“解是正数”即可求出的取值范围． 【详解】解：去分母： 解得： ∵ ∴ ∵方程的解是正数 ∴ ∴ 综上：且 故选：A 【点睛】本题考查根据分式方程的解求解参数．正确解出分式方程是求解此题的前提． 53．已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为 （ ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为正数确定出的范围即可． 【详解】解：∵， 在方程两边同乘以，得：， 解得：， ∵该分式方程有解， ∴， ∴， ∵该分式方程的解是正数， ∴， ∴， ∴的取值范围为且． 故选：D． 【点睛】本题考查分式方程的解，解题的关键是熟练运用分式方程的解法． 54．已知关于x的方程的解是正数，求m的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程与解不等式的综合运用．了解方程有正数解必须具备两个条件：①有解，最简公分母不等于0；②有正数解，是解题的关键． 原式去分母得，然后按照方程有正数解的条件求m的取值范围即可． 【详解】解：去分母，得，解得：． 原式的解为正数，得且， 且． 题型十九 分式的增根问题 55．若关于x的分式方程 有增根，则a的值为（     ） A．4 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查分式方程增根的定义，解决本题的关键是要熟练掌握分式方程的解法和增根的定义．分式方程的增根是使得最简公分母为0的未知数的取值，根据分式方程的增根定义即可求解． 【详解】解： 方程两边同乘得：， ∵方程有增根， ∴满足 解得： 故选：D． 56．已知关于x的方程有增根，则m的值为 ． 【答案】 【分析】 本题主要考查了分式方程的增根，熟练掌握化分式方程为整式方程并能正确确定增根是解决此题的关键．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出的值，代入整式方程计算即可求出的值． 【详解】解：去分母得：， ∵分式方程有增根， ∴， 解得， 把代入整式方程得． 故答案为：． 57．（1）若方程有增根，则增根是__________； （2）若方程有增根，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了分式方程有增根的情况； （1）根据分式方程有增根，即分母为0进行求解即可； （2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根确定出的值即可． 【详解】解：（1）∵分式方程有增根， ∴， ∴， 故答案为：； （2） 去分母得：， 移项得：， 解得： ∵分式方程有增根， ∴，即， ∴， 解得． 题型二十 分式的无解问题 58．已知关于x的分式方程． (1)当时，解分式方程； (2)若这个分式方程无解，求m的值． 【答案】(1) (2)1或 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法． 对于（1），代入数值求出解即可； 对于（2），先去分母，再根据分式方程无解时x的值代入计算即可． 【详解】（1）解：把代入分式方程，得 ， 去分母，得， 解得， 检验：当时，， ∴分式方程的解为； （2）解：去分母，得． 整理，得． 当，即时，方程无解，则原分式方程无解； 当时，由分式方程无解，得到，即， 把代入整式方程，得， 解得． 综上所述，m的值为1或． 59．已知关于的方程：． (1)若方程有增根，求的值； (2)若方程无解，求的值． 【答案】(1)的值为6或12． (2)的值为9、6或12 【详解】解：方程两边同时乘，得到，整理得． （1）由原分式方程有增根，得最简公分母，解得增根为或，当时，；当时，． 答：的值为6或12． （2）分两种情况： 去分母整理得到的整式方程无解，从而分式方程无解．即当时，该整式方程无解，此时． 整式方程有解，但它是分式方程的增根，从而分式方程无解．当时，这时分式方程有增根，由（1）得或． 综上所述，的值为9、6或12． 答：的值为9、6或12． 【易错点分析】易出现把分式方程无解等同于有增根的情况．分式方程无解包含两种情况：去分母整理得到的整式方程无解；分式方程有增根． 60．关于x的分式方程无解，求m的值． 【答案】或3 【分析】方程两边同时乘以，消去分母得出，然后分两种情况进行讨论，求出m的值即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘以，得，， 整理得：， ①当，即， 原方程无解； ②，解得， ∵方程增根为， ∴， 解得， 综上分析可知，或3． 【点睛】本题主要考查了分式方程的无解问题，解题的关键是理解题意，注意分类讨论． 题型二十一 分式方程的应用 61．某企业加工生产甲、乙两种文旅产品，单独加工生产甲种文旅产品960件与单独加工生产乙种文旅产品780件所用的时间相同．已知每天单独加工生产甲种文旅产品比每天单独加工生产乙种文旅产品多15件．求每天单独加工生产甲、乙两种文旅产品的数量． 【答案】每天单独加工生产甲文旅产品80件，乙文旅产品65件 【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．设每天单独加工生产甲文旅产品的数量为x件，则每天单独加工生产乙文旅产品的数量为件，根据“单独加工生产甲种文旅产品960件与单独加工生产乙种文旅产品780件所用的时间相同”列方程求解即可． 【详解】解：设每天单独加工生产甲文旅产品x件，则每天单独加工生产乙文旅产品件， 根据题意，得，解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：每天单独加工生产甲文旅产品80件，乙文旅产品65件． 62．2025年3月14日是第六个“国际数学日”，鹿鸣“博・约”数学兴趣小组在今年“国际数学日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵，且花450元购买的自动铅笔比花600元购买的钢笔多15支．求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少元? 【答案】钢笔的单价为8元，自动铅笔的单价为5元 【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，正确列出分式方程是解答的关键．设自动铅笔的单价为x元，则钢笔的单价为元，根据“花450元购买的自动铅笔比花600元购买的钢笔多15支”列方程求解即可． 【详解】解：设自动铅笔的单价为x元，则钢笔的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合实际， ∴（元）， 答：钢笔的单价为8元，自动铅笔的单价为5元． 63．某粮食生产基地积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机兵比1件乙种农机具多万元，用18万元购买甲种农机具的数量和用12万元购买乙种农机具的数量相同． (1)求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ (2)若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共30件，且购买的总费用不超过100万元，则甲种农机具最多能购买多少件？ 【答案】(1)，3 (2)6 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）假设出未知数，根据农机具数量关系列出方程求解即可，注意最后要进行检验； （2）假设出未知数，找出不等关系，列出一元一次不等式，确定取值即可． 【详解】（1）解：设购买1件乙种农机具需要万元，则购买1件甲种农机具需要万元，根据题意得， 解方程得， 经检验，是分式方程的解，并符合题意， ∴ 所以，购买1件甲种农机具需要万元，购买1件乙种农机具需要3万元； （2）解：设购买甲种农机具购买件，则乙种农机具为件，根据题意得， 解不等式得，， ∵取正整数， ∴ 所以，甲种农机具最多能购买6件． 题型二十二 分式的求值压轴问题 64．已知都为正数，，，，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，分式求值，代数式求值．运用整体的思想是解题的关键． 将每个等式的左右两边相乘得，，解得，由，解得，同理可得，，，，，，然后代入求解即可． 【详解】解：将每个等式的左右两边相乘得，，即， ∵都为正数， ∴， ∵，解得， 同理可得，，，，，， ∴， 故答案为：． 65．已知，则的值为 ． 【答案】13 【分析】根据已知条件易得，，，从而可得，然后利用完全平方公式可得，最后将所求的式子进行变形计算，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查了分式的求值，熟练掌握完全平方公式，利用整体思想进行求值是解题的关键． 66．已知，则的值为 ． 【答案】5 【分析】将方程同除以，得到，进而求出，将进行化简，利用整体思想代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴ ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查分式求值，完全平方公式．熟练掌握完全平方公式，以及利用整体思想，进行求值，是解题的关键． 题型二十三 分式的整数值问题 67．当正整数 时，分式的值也是正整数． 【答案】2或8 【分析】本题考查了分式的值，因式分解，将分式变形为，其值为正整数，由此求得或2或8，再代入验证即可求解． 【详解】解： ， ∵分式的值是正整数， ∴或， 解得：或2或或8， ∵为正整数， ∴或2或8， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上，当或8时，分式的值也是正整数． 故答案为：2或8． 68．阅读下面材料： 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似地，假分式也可以化为“带分式”（即整式与真分式的和的形式）参考上面的方法解决下列问题： 将分式，化为带分式． 当x取什么整数值时，分式的值也为整数？ 【答案】（1），；（2），3，，时，分式的值也为整数． 【分析】（1）两式根据材料中的方法变形即可得到结果； （2）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数的值． 【详解】解：（1）， ； （2）， 当，即； 当，即； 当，即； 当，即， 综上，，3，，时，分式的值也为整数． 【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 69．阅读下列材料，解决问题： 在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者为了分子的次数告诉于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数的和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明． 材料1：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：9x+y 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母x+1，可设x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b 则x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b＝x2+ax+x+a+b＝x2+（a+1）x+a+b ∵对于任意x上述等式成立． ∴解得：． ∴x﹣2． 这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式． （1）将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为　 　． （2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x＝　 　； （3）已知一个六位整数能被33整除，求满足条件的x，y的值． 【答案】（1）x+7；（2）2或4或﹣10或16；（3），x＝2、y＝9；x＝6、y＝2； x＝9、y＝5． 【分析】（1）将分子x2＋6x－3化为(x－1)(x＋7) ＋4，依据题意可解答； （2）将分子2x2＋5x－20化为（2x＋11）＋13，根据题意可解答； （3）由题意得出：＝即可知10x＋y＋4为33的倍数，据此可解答． 【详解】解：（1） ＝ ＝ ＝ ＝ 答案为：； （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ∵分式的值为整数， ∴是整数， ∴x－3＝±1或x－3＝±13， 解得：x＝2或4或﹣10或16， 故答案为：2或4或﹣10或16； （3） ＝ ＝ ＝ ∵整数能被33整除， ∴为整数，即10x＋y＋4＝33k，（k为整数）, 当k＝1时，x＝2、y＝9符合题意； 当k＝2时，x＝6、y＝2符合题意； 当k＝3时，x＝9、y＝5符合题意． 【点睛】本题考查分离整数法解决分式的整数值问题，熟练掌握分式的化简求值的方法是解题的关键． 题型二十四 分式方程的含参问题 70．若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（    ） A．277 B．240 C．272 D．256 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程的解的含义，正确的计算与检验是解本题的关键．把代入方程，再解方程可得，且，；，再分类讨论即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 两边都乘以，得 ， 解得，且，；， ∴且， 解得：，， ∵正整数使关于的分式方程的解为整数， ∴， ∴或15或39或65或195， 即或5或29或55或185， 其中不符合题意， ∴， 故选C． 71．若关于x的不等式组有且只有3个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查解不等式组，解分式方程，根据解的情况确定参数． 先解不等式组，结合不等式组有且只有3个奇数解得到不等式组的解为，奇数解为，从而确定a的取值范围．解分式方程，结合该分式方程的解为整数，得到a是偶数．另分式方程有解得到．综上可得a应满足的条件，从而求出整数a的值，从而解答即可． 【详解】由不等式得， ∵不等式组有且只有3个奇数解， ∴不等式组的解为，奇数解为， ∴ ∴． 解分式方程得， ∵该分式方程的解为整数， ∴是2的倍数，即a是偶数． 又当时，，即， ∴， 综上所述， a应满足且a是偶数且， ∴整数，它们的和为． 故答案为： 72．若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有非正整数解，则符合条件的所有整数的和为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】先计算不等式的解集，再解分式方程，联合确定a的值，最后求和． 【详解】因为中第一个不等式的解集为，第二个不等式的解集为，且不等式组的解集为， 所以， 解得； 因为， 解得， 因为关于的分式方程有非正整数解，且方程有增根， 所以且， 解得且， 所以且， 因为非正整数解， 所以a的值为， 所以， 故选A． 【点睛】本题考查了不等式组的解集，分式方程的特殊解，增根，熟练掌握解不等式组，解分式方程是解题的关键． 题型二十五 分式（方程）的新定义运算 73．定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值． 【答案】(1)是 (2)①；②A的值为1或3或4 (3) 【分析】（1）根据“友好分式”的定义进行判断即可； （2）①根据分式是分式A的“友好分式”，得出，利用分式混合运算法则求出A即可； ②根据整除的定义进行求解即可； （3）设关于的分式的“友好分式”为M，求出，根据关于的分式是关于的分式的“友好分式”，得出，求出，代入，求出分式的最小值即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴分式是分式的“友好分式”； 故答案为：不是． （2）解：①∵分式是分式A的“友好分式”， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ． ②∵， ∵整数x使得分式A的值是正整数， ∴，，2， 当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知：A的值为1或3或4． （3）解：设M是关于的分式的“友好分式”，则： ， ∴ ， ∵关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”， ∴， 整理得：， 解得：， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴ 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，新定义运算，解方程组，代数式求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 74．阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________； (2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有__________个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)3，6 (2)真分式，，4 (3)当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米 (4)当时，分式取到最大值，最大值为 【分析】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． （1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可； （2）根据新定义判断分式是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值； （3）设这个矩形的长为x米，则宽=面积÷长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据： 求解； （4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案；． 【详解】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6； 故答案为：3，6； （2）解：根据新定义分式是真分式， ， x为整数，且为整数， 或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； （3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴， 此时， ， ∴， 答：当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米； （4）解： ， ， ， 当且当时，即时，式子有最小值为4， 当时，分式取到最大值，最大值为． 75．新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不是，打“×”． ①（   ）；②（   ）； ③（   ）； ④（   ）； (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①；②；③；④ (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义分别判断即可； （2）根据“关联数对”定义计算即可； （3）根据“关联数对”定义，结合方程的解为整数，计算即可． 【详解】（1）解：当，时，分式方程为，， ∵， ∴①不是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 解得：， ， ②不是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 解得， ， ③是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 此方程无解， ④是关于的分式方程的“关联数对”； 故答案为：①；②；③；④． （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ， 解得：， ， 解得； （3）解：数对，且，是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ， 解得， ∵可化为， ∴， 解得：， 方程有整数解， 整数，即， 又，， ． $$