专题02 中心对称图形—平行四边形（考题猜想，易错压轴必刷90题30种题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（苏科版）

专题02 中心对称图形—平行四边形（易错压轴必刷90题30种题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 生活中的旋转现象 · 题型二 旋转的性质求解 · 题型三 旋转的坐标问题 · 题型四 中心对称与中心对称图形 · 题型五 中心对称中的坐标问题 · 题型六 平行四边形的判定 · 题型七 平行四边形的性质 · 题型八 平行四边形中的多结论问题 · 题型九 反证法 · 题型十 矩形的判定 · 题型十一 矩形的性质 · 题型十二 矩形与折叠问题 · 题型十三 菱形的判定 · 题型十四 菱形的性质 · 题型十五 菱形的面积计算 · 题型十六 正方形的判定 · 题型十七 正方形的性质 · 题型十八 正方形的折叠问题 · 题型十九 中点四边形 · 题型二十 三角形的中位线 · 题型二十一 图形的旋转压轴 · 题型二十二 中心对称压轴 · 题型二十三 平行四边形的压轴问题 · 题型二十四 矩形的压轴问题 · 题型二十五 菱形的压轴问题 · 题型二十六 正方形的压轴问题 · 题型二十七 平行四边形的存在性问题 · 题型二十八 平行四边形中的最值问题 · 题型二十九 平行四边形中的翻折问题 · 题型三十 三角形中位线压轴 题型一 生活中的旋转现象 1．电影《哪吒之魔童闹海》的热映，推动了我国国产动画电影发展，提升了中国文化影响力．对下列哪吒图片的变换顺序描述正确的是（   ） A．轴对称，平移，旋转 B．旋转，轴对称，平移 C．轴对称，旋转，平移 D．平移，旋转，轴对称 【答案】A 【分析】本题考查几何变换的类型，解题的关键是读懂图象信息． 根据平移变换，旋转变换，轴对称变换的定义判断即可． 【详解】解：哪吒图片的变换顺序是轴对称平移旋转． 故选：A． 2．下列运动属于数学上的旋转的有（    ）． A．钟表上的时针运动 B．城市环路公共汽车 C．地球绕太阳转动 D．将等腰三角形沿着底边上的高对折 【答案】A 【分析】根据旋转的定义，在平面内，把一个图形绕着某一个点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，进而分别判断得出答案． 【详解】解：A、钟表上的时针运动，属于旋转，故此选项符合题意； B、城市环路公共汽车，不属于旋转，故此选项不符合题意； C、地球绕太阳转动，不属于旋转，故此选项不符合题意； D、将等腰三角形沿着底边上的高对折，不属于旋转，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了生活中的旋转现象，正确把握定义是解题关键． 3．“玉兔”在月球表面行走的动力主要来自太阳光能，要使接收太阳光能最多，就要使光线垂直照射在太阳光板上．现在太阳光如图照射，那么太阳光板绕支点逆时针最小旋转（    ）可以使得接收光能最多． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直的定义和旋转方向，计算可得． 【详解】解：由题意可得： 若要太阳光板于太阳光垂直， 则需要绕点A逆时针旋转90°-（180°-134°）=44°， 故选：B． 【点睛】本题考查了实际生活中的垂直的定义，旋转的定义，解题的关键是理解旋转分为顺时针和逆时针． 题型二 旋转的性质求解 4．如图，为钝角三角形，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转性质，平行线的性质，三角形内角和定理．利用旋转变换的性质得到，，利用三角形内角和定理求得，据此求解即可． 【详解】解：由旋转变换的性质可知：，， ， ， ． 故选：B． 5．如图，在平面直角坐标系中，，，，均为格点，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到线段（与，与是对应点），则旋转中心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化旋转，解决本题的关键是根据旋转的性质找出旋转中心．根据旋转的性质可知对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心找出旋转中心，再利用数形结合写出旋转中心的坐标即可． 【详解】解：如下图所示， 连接，， 分别作，的垂直平分线， 两条垂直平分线交于点，点即为旋转中心， 由图可知点的坐标为， 故答案为：． 6．如图，四边形中，，，连接，将四边形绕着点逆时针旋转至四边形，使落在边上． (1)若，求的大小； (2)若，的周长为9，求的长． 【答案】(1)20度 (2)3 【分析】本题考查平行线的性质，图形旋转的性质，解题的关键是利用平行线的性质找到角之间的关系，以及根据旋转性质和已知条件计算线段长度． （1）先根据平行线的性质得出角的关系，再结合旋转性质求． （2）先根据已知条件求出长度，再利用旋转性质得到线段等量关系，最后根据三角形周长计算的长． 【详解】（1）解：， ， 将四边形绕着点逆时针旋转至四边形， ， ， ； （2）解：， ， 将四边形绕着点逆时针旋转至四边形， ， ， ，即， ． 题型三 旋转的坐标问题 7．如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到，此时点的坐标为； (2)画出将绕原点逆时针方向旋转后得到的，此时点的坐标为． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，图形平移、旋转的性质，掌握图形变换是解题的管家． （1）根据平移的性质作图，结合平面直角坐标系得到点的坐标； （2）根据旋转的性质作图，结合平面直角坐标系得到点的坐标． 【详解】（1）解：根据图形平移作图如下， ∴点， 故答案为：； （2）解：根据旋转的性质作图， ∴， 故答案为：． 8．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，，（按要求画出图形，并回答） (1)画出关于点成中心对称的，此时点坐标为______； (2)将以点为旋转中心逆时针旋转，画出旋转后对应的，此时点坐标为______． 【答案】(1)图见解析，； (2)图见解析，． 【分析】本题考查了作图旋转变换，解题的关键是根据旋转变换的定义作出变换后的对应点． （1）延长到点，使，延长到点，使，依次连接，则即为所求； （2）作出点，，以点为旋转中心逆时针旋转的对应点，，，依次连接、、，则即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 由图可知，点坐标为， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求； 由图可知，点的坐标为， 故答案为：． 9．已知，如图平面直角坐标系内，O为坐标原点，，，连接． (1)请画出将线段绕点O顺时针旋转得到的线段（点C与点A为对应点，点D与点B为对应点），并直接写出C、D两点的坐标； (2)请画出，使点E在x轴的正半轴上，且的面积为10，并直接写出点E的坐标． 【答案】(1)图见解析，， (2)，图见解析 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转变换，坐标与图形，得到点E的坐标是解答的关键． （1）根据旋转的性质得到A、B的对应点C、D，然后连接即可； （2）根据网格特点和坐标与图形性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求作： 由图知，，； （2）解：由图可知，，，与x轴交点坐标为， 设， ∴， 解得：， ∴点E坐标为， 连接，，则即为所求． 题型四 中心对称与中心对称图形 10．阅读理解，并解答问题： 观察发现： 如图1是一块正方形瓷砖，分析发现这块瓷砖上的图案是按图2所示的过程设计的，其中虚线所在的直线是正方形的对称轴． 问题解决： 用四块如图1所示的正方形瓷砖按下列要求拼成一个新的大正方形，并在图3、图4、图5中各画一种拼法． (1)图3中所画拼图拼成的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形． (2)图4中所画拼图拼成的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形； (3)图5中所画拼图拼成的图案是中心对称图形，但不是轴对称图形． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的设计，熟练掌握周对称图形和中心对称图形的定义，是解题的关键： （1）根据轴对称图形和中心对称图形的定义，设计图形即可； （2）根据轴对称图形的定义，设计图形即可； （3）根据中心对称图形的定义，设计图形即可． 【详解】（1）解：由题意，设计图形如下： （2）由题意，设计图形如下： （3）由题意，设计图形如下： 11．作图题： (1)在图1中画四边形关于点A对称的四边形； (2)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：如图2，在中． ①作的角平分线交于点D； ②作边上的垂直平分线l交于点G； 连结，若，，则_______． 【答案】(1)见详解； (2)①见详解；②作图见详解，115 【分析】本题考查了尺规作图，中心对称作图，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据中心对称的作图方法即可得四边形关于点A对称的四边形； （2）①根据角平分线的作法作图即可；②根据线段垂直平分线的作法作图即可；由三角形内角和定理得出，由角平分线的定义可得，，由线段垂直平分线的性质可得，从而得出，最后由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】（1）解∶延长至，使，同法可得点关于点的对称点，连接并延长，使，得点关于点的对称点，顺次连接，得四边形，如图所示： 四边形关于点A对称的四边形即为求作的； （2）解：①的角平分线如图所示， 即为求作的角平分线； ②的垂直平分线如图所示， 直线即为求作的； 解：∵在中，，， ， ∵平分， ， 垂直平分， ∴， ∴， ． 故答案为：115． 12．如图，在正方形网格中有，直线直线，垂足为． (1)请画出将先向右平移4个单位，再向下平移2个单位后的；在平移的过程中，线段扫过的面积为_____； (2)请画出以点为对称中心的对称图形； (3)与是否成中心对称？若是，画出它们的对称中心；若不是，说明理由． 【答案】(1)见解析，6 (2)见解析 (3)是，见解析 【分析】本题考查了平移作图，画中心对称图形，中心对称的性质，利用网格求面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据平移的规律找到点，再依次连接得，运用割补法进行列式计算得线段扫过的面积，即可作答． （2）先根据中心对称的性质找到点，再依次连接得，即可作答． （3）观察与，得出与是成中心对称，再连接，它们相交于一点，即为对称中心． 【详解】（1）解：如图，即为所求： 连接 ∴线段扫过的面积， 则 在平移的过程中，线段扫过的面积为， 故答案为：6； （2）解：如图，即为所求； （3）解：是，对称中心如图． 题型五 中心对称中的坐标问题 13．已知点与点关于原点对称，求点M、N两点的坐标． 【答案】点，点 【分析】根据关于原点对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，列式求解即可． 【详解】解：∵与点关于原点对称， ∴，  解得， ∴点，点． 【点睛】本题考查已知关于原点对称的两点，求参数．熟练掌握关于原点对称的点的特征，是解题的关键． 14．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向右平移6个单位长度得到，请画出； (2)画出关于点O的中心对称图形； (3)若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标：___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移、中心对称，根据题意正确作图是解题的关键． （1）根据平移方式，画出顶点的对应点分别为，再顺次连接即可得到； （2）根据中心对称方式，画出顶点的对应点分别为，再顺次连接即可得到； （3）结合图形得到的坐标，再根据旋转中心在旋转对应点连线的垂直平分线上即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：如图所示，即为所求： （3）解：由图可得，，，，，，， 的中点为，的中点为，的中点为， 点同时在、、的垂直平分线上， 又将绕某一点旋转可得到， 旋转中心的坐标为． 故答案为：． 15．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)将绕原点O旋转，画出旋转后的； (2)在（1）中，的顶点的坐标是______，的坐标是______； (3)在（1）中，若内部一点P的坐标为，则点P的对应点的坐标是_____． 【答案】(1)见解析 (2)， (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—中心对称，熟知绕原点旋转180度的得到的点与原来的点关于原点对称是解题的关键． （1）根据题意可得与关于原点对称，据此可得的坐标，描出并顺次连接即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）根据关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由（1）可得的顶点的坐标是，的坐标是， （3）解；∵将绕原点O旋转得到，且内部一点P的坐标为， ∴点P的对应点的坐标． 题型六 平行四边形的判定 16．如图，四边形是平行四边形，E为延长线上一点，，连接交于点F，连接、、． (1)若，求的度数； (2)已知，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和平行线的性质等知识点． （1）根据平行四边形的性质得出，，根据平行线的性质得出，求出，根据得出即可； （2）根据等腰三角形的性质得出，求出，根据全等三角形的性质得出，再根据平行四边形的判定得出结论即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 17．如图，在中，，，将绕点A按逆时针方向旋转90°得到． (1)线段的长是______，的度数是______°； (2)连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)2；135 (2)见解析 【分析】本题考查了旋转的性质和平行四边形的判定，掌握旋转前后的图形对应边相等，对应顶点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题关键． （1）利用旋转可以直接求出，再利用即可求解； （2）利用旋转得出，，即可求证． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， 由旋转可得，， ∴； 故答案分别为：2；135； （2）证明：由旋转可得，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 18．如图，四边形中，、，过点A作交的延长线于点E．求证： (1)； (2)四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，平行线的性质以及平行四边形的判定，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键． （1）直接用证明即可． （2）由（1）得，由全等三角形的性质得出，由平行线的性质得出，由平角的定义得出，由等角的补角相等得出，由等角对等边可得出，等量代换可得出，结合，即可证明四边形为平行四边形． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴； （2）由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 题型七 平行四边形的性质 19．如图，在四边形中，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理： （1）利用勾股定理求出，则，据此可证明四边形是平行四边形，则； （2）根据平行四边形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：， ， 在中，由勾股定理得 ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ； （2）解：四边形是平行四边形，且． ． 20．如图，在等腰中，，将绕点A逆时针旋转一定角度得到，点B，C的对应点分别是D，E．连结交于点，连结交于点． (1)当，时，的度数是___________． (2)当，时，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，，由等腰三角形的性质可得，再由，可得，然后由三角形外角的性质，即可求解； （2）由等腰三角形的性质可得，由平行线的性质可求，由等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质可求解． 【详解】（1）解：∵将绕点A逆时针旋转一定角度得到， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：， ∴， ∴， 故答案为： （2）解：由旋转可知， ∴， ∵， ∴， 即：， ∴， ∴， ∴在中：，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，，∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键． 21．已知：如图，在平行四边形中，分别是和的角平分线，交于点E，F连接． (1)求证：互相平分； (2)若，求四边形的周长和面积． 【答案】(1)见解析 (2)四边形的周长为12，四边形的面积为 【分析】（1）证明互相平分，只要证是平行四边形，利用两组对边分别平行来证明． （2）首先证明出是等边三角形，然后根据平行四边形的周长公式求解，过D点作于点G，根据勾股定理求出，然后利用平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形 ∴， ∵分别是和的角平分线 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴即 ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴互相平分； （2）∵， ∴是等边三角形 ∵， ∴， ∵， ∴ ∴四边形的周长； 过D点作于点G， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法． 题型八 平行四边形中的多结论问题 22．有下列说法：①平行四边形具有四边形的所有性质；②平行四边形是中心对称图形；③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形.其中正确说法的序号是（    ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质逐个判断即可得到答案． 【详解】解：平行四边形具有四边形的所有性质，故①正确， 平行四边形是中心对称图形，故②正确， 平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形，故③正确， 平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形，故④正确， 故选：D． 23．下列关于“平行四边形”的说法： ① 平行四边形的对角线互相垂直平分； ② 平行四边形既是轴对称图形，也是中心对称图形； ③ 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； ④ 一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形． 其中说法正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，涉及中心对称图形与轴对称图形的识别，解题的关键是掌握平行四边形的性质和判定定理． 【详解】解：① 平行四边形的对角线互相平分，原说法错误； ② 平行四边形是中心对称图形，原说法错误； ③ 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，说法正确； ④ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原说法错误； 正确说法只有1个， 故选A． 24．有下列说法： ①平行四边形具有四边形的所有性质； ②平行四边形是轴对称图形； ③平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形． 其中正确说法的序号是(   ) A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 平行四边形具有四边形的所有性质，故①正确， 平行四边形不是轴对称图形，故②错误， 平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形，故③正确， 平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形，故④正确， 故选：C． 题型九 反证法 25．用反证法证明“在中，若，则”时，应先假设（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反证法，根据反证法先假设结论的反面成立，进行判断即可． 【详解】解：由题意，应先假设； 故选D． 26．若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是直角或钝角”时，则首先应该提出假设是：这个四边形中 ． 【答案】所有的角都为锐角 【分析】本题考查的是反证法，反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】解：用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是直角或钝角”时，则首先应该提出假设是：这个四边形中所有的角都为锐角， 故答案为：所有的角都为锐角． 27．小明在解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤： （1）所以，这与三角形内角和定理相矛盾． （2）所以． （3）假设． （4）那么，由，得，即，即． 请你写出这四个步骤正确的顺序 ． 【答案】（3）（4）（1）（2） 【分析】本题考查的是反证法，解题的关键是掌握反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．根据反证法的一般步骤解答即可． 【详解】证明：假设， 那么，由，得，即， 所以，这与三角形内角和定理相矛盾， 所以， 所以这四个步骤正确的顺序是（3）（4）（1）（2）， 故答案为：（3）（4）（1）（2）． 题型十 矩形的判定 28．如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 【答案】(1)，，理由见解析 (2) 【分析】（）证明，得，，进而可得，即得到，即可求证； （）过点作于，交的延长线于，可得四边形是矩形，再证明，得，利用三角形面积得，即得，即可得四边形是正方形，即可求解； 本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：，，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：如图，过点作于，交的延长线于， ∵， 则， ∴四边形是矩形， ∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 由（）知， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． 29．如图，已知四边形是菱形，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，则四边形的面积为________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，则，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质得，，进而证明是等边三角形，得，则，再由勾股定理求出，则，然后由矩形的面积公式列式计算即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）∵四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ， 在 中，由勾股定理得： ， ， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴四边形的面积， 故答案为：． 30．如图，在平行四边形中，M、N分别为和的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，那么四边形是矩形吗？证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是矩形，证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质结合线段中点的定义证明即可； （2）连接，证明四边形是平行四边形，得到，由得到，根据矩形的判定即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵M，N分别为和的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）四边形是矩形， 证明：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵M，N分别为和的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形 题型十一 矩形的性质 31．如图，在中，，，垂足分别为G、H，E、F分别是、的中点，连接、、、． (1)求证：； (2)连接，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、矩形的性质与判定、勾股定理及全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质、矩形的性质与判定、勾股定理及全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，，，，，则有，然后可得四边形为矩形，则有，进而问题可求证； （2）连接、，由题意易得，，则有四边形为矩形，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，，． ∵、分别是、的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形． ∴， ∴； （2）解：如图，连接、， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形． 由（1）得四边形为矩形， ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得，， ∴矩形的面积． 32．如图，，为上一点．小明利用直尺和圆规完成了以下作图：连接，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接并延长交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，在上取一点，使，连接．若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)的度数为． 【分析】（1）由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，则可得，证明 可得结合平行四边形的判定可得结论． （2）由题意可得四边形为矩形，则进而可得则 则． 本题考查作图-基本作图、平行四边形的判定、矩形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定、矩形的判定与性质是解答本题的关键． 【详解】（1）证明：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴平行四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 33．如图1，在中，，．为的外角的平分线，，垂足为点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作一个菱形，使为菱形的一条对角线（保留作图痕迹，不要求写作法）． (2)如图2，点为线段上一动点，连接，交于点． ①在不添加其它线的前提下，请添加一个条件：______，使得四边形为矩形，并说明理由； ②当平分时，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①（答案不唯一），理由见解析；②或 【分析】（1）分别以点B，C为圆心，为半径画弧，两弧交于点P即为所求； （2）①添加的条件为，由三角形外角的性质和角平分线得到，推出，然后得到，最后结合即可证明出四边形为矩形； ②如图所示，过点A作交于点H，首先证明出四边形为矩形，求出，勾股定理求出，然后求出，勾股定理求出，然后分两种情况讨论：当点F在线段上时和当点F在线段上时，分别求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求； 由题意得， ∴四边形是菱形； （2）①添加的条件为 理由：∵为的外角的平分线， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵，即 ∴ 又∵ ∴四边形为矩形； ②如图所示，过点A作交于点H， 由①得 ∴四边形为矩形 ∴ ∵， ∴ ∴ 当平分时，即 由①得 ∴ ∴ ∴ ∴ ②如图所示，当点F在线段上时， ∴ ∴四边形的面积； 如图所示，当点F在线段上时， ∴ ∴四边形的面积； 综上所述，四边形的面积为或． 【点睛】此题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，等角对等边，三线合一等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 题型十二 矩形与折叠问题 34．如图，有一张矩形纸片，点E在上，点F在上，将这张纸片沿所在直线翻折，使得点C与点A重合，点D的对应点为点G，连接．若，，则的值为（    ） A．20 B．40 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，由矩形的性质可得，，，，由勾股定理可得，由折叠的性质可得，，再由勾股定理可得，证明，作交于，则四边形为矩形，由矩形的性质可得，，求出即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，，， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，作交于， ， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 35．如图，在矩形中，，，沿着过矩形顶点的一条直线将折叠，使点的对应点落在矩形的边上，则折痕的长为 ． 【答案】或． 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，正方形的判定与性质，折叠的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 分当沿直线折叠，点与点为对应点，当沿直线折叠，点与点为对应点两种情况求解即可． 【详解】解：如图，当沿直线折叠，点与点为对应点， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴； 如图，当沿直线折叠，点与点为对应点， ∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠性质可知，，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴，解得：，即， ∴； ∴折痕的长为或， 故答案为：或． 36．综合与实践：如图，矩形是一张纸，其中，小亮用该纸玩折纸游戏. 操作：将纸对折，使、重合，折痕为，展开后，连接； 操作：沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为，展开后，连接MN； (1)若，求的长； (2)求证：点为的中点. 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查矩形性质、折叠性质、勾股定理以及方程思想。解题关键在于利用折叠性质得到相等线段，通过勾股定理建立等式（方程），进而求解线段长度或证明线段间的关系． （1）要求的长．需先根据矩形和折叠性质求出相关线段长度，再利用勾股定理求出，最后根据来计算． （2）要证明点为中点，可设长度为，长度为，通过折叠性质和勾股定理建立关于和的方程，求解得出与的数量关系． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，且， ∴．， ∴操作，对折后，，． 在中，根据勾股定理． ∵操作，根据折叠性质， ∴． （2）解：设，则，设， ∴． ∴折叠性质知，． 根据勾股定理得， ∴． 在中，根据勾股定理，即． ∴． 解得． ∵， ∴， ∴点为的中点． 题型十三 菱形的判定 37．如图，在平行四边形中，E，F是对角线上的点，且，连接，． (1)求证； (2)连接，若，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）利用证明三角形全等； （2）根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ，又， ， ． 在和中， ． ． （2）四边形是菱形，理由如下． 连接，交于O， ．， ． 又， ． ． 四边形是平行四边形． 四边形是平行四边形，， 四边形是菱形． ． 四边形是菱形． 38．如图，四边形是正方形，对角线交于点O，点E、F是对角线上两点，且，连接、、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若正方形的面积为18，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查菱形的判定与性质、正方形的性质，熟练掌握菱形的判定是解答的关键． （1）先根据正方形的性质证明，，，可证明四边形是平行四边形，然后利用菱形的判定可得结论； （2）先根据正方形的性质求得，，进而，再根据菱形的面积等于对角线之积的一半求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形，又， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是正方形，面积为18， ∴，， ∵， ∴， ∴菱形的面积为． 39．如图，中，D是边上一点，E是的中点，过点C作的平行线交的延长线于F． (1)求证：， (2)连接、，若，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形 【分析】本题考查全等三角形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定，掌握知识点是解题的关键． （1）由E是的中点，，即可得出一组边相等，两组内错角相等，即可证明． （2）由，可得，继而可证四边形是平行四边形，再根据，则四边形是菱形． 【详解】（1）证明：∵E是的中点，， ∴，，， ∴． （2）四边形是菱形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 题型十四 菱形的性质 40．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点．如图点A、B、C、D均为格点．请用无刻度的直尺完成下列作图． (1)图中的中， ． (2)在图中找一格点E，使平分（保留作图痕迹）． 【答案】(1)5 (2)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图、勾股定理、角平分线的定义，熟练掌握勾股定理、角平分线的定义是解答本题的关键． （1）利用勾股定理计算即可． （2）以为边作菱形，即可得格点E． 【详解】（1）解：由勾股定理得，． 故答案为：5． （2）解：如图，以为边作菱形，， 则平分， 则点E即为所求． 41．已知：如图，在中，，点D是的中点，点E是的中点，过点C作交的延长线于点F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据点是的中点，可得，根据，可得，，进而利用可以证明，得出，再由，即可证明四边形是平行四边形； （2）结合（1）先证明四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，得平行四边形是菱形，由，可得是等边三角形，由，即可求的长． 【详解】（1）证明：点是的中点， ， ， ，， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：点是的中点， ， ， ，又， 四边形是平行四边形， ，点是的中点， ， 平行四边形是菱形， ∵， ， 是等边三角形， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，等边三角形的判定和性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 42．如图，在平行四边形中，作对角线的垂直平分线交于点E，交于点F，连接，． (1)判断四边形是哪种特殊的四边形，并说明理由； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见详解 (2)24 【分析】（1） 根据平行四边形的性质得，，再证明，则，得四边形是平行四边形，结合是的垂直平分线，即可作答． （2）根据勾股定理算出或，再结合菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可作答． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵，且四边形是菱形； ∴， 在中，, ∴， 解得或， 则对应的或， 则， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂直平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 题型十五 菱形的面积计算 43．如图，在中，D，E分别是，的中点，，延长到点F，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)菱形BCFE的面积为24 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，三角形中位线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上性质和定理； （1）根据三角形的中位线可得，，可证四边形是平行四边形，再由即可得证； （2）根据菱形的性质可得，， ，，再根据勾股定理求出，再根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明： ∵D、E分别是、的中点， ，， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； （2）解：连接，交于O， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 在中，， ， ， 菱形的面积为． 44．如图，在中，是边上的中线，是的中点，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质． （1）根据证，利用全等三角形的对应边相等得到．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得结论； （2）根据勾股定理求得，根据直角三角形斜边上中线性质得出，得出四边形是菱形，再利用菱形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 是边上的中线， ， ． ∵， 四边形是平行四边形； （2）解：连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，是边上的中线， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴四边形的面积． 45．如图，的对角线、相交于点O，，与交于点F． (1)在不添加新的点和线的前提下，增加一个条件：______，使得四边形是矩形，并说明理由； (2)若，求的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2)96 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定及性质，菱形的判定及性质． （1）由，可得四边形是平行四边形，只需添加条件使得即可得到矩形； （2）由（1）可得当时，四边形是矩形，得到，根据平行四边形的对角线互相平分并结合勾股定理求出，证明是菱形，根据菱形的性质即可求出面积． 【详解】（1）解：添加条件：，理由如下： ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴是矩形． （2）解：由（1）可得当时，四边形是矩形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴在中，， ∴在中，， ∵， ∴是菱形， ∴． 题型十六 正方形的判定 46．实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片沿过D的直线折叠，使点C落在上的点处，得到折痕，然后再把纸片展平；第二步：如图2，将图1的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好落在上的点处，得到折痕交于点M，再把纸片展平．问题解决： (1)如图1，求证：四边形是正方形． (2)如图2，若，求的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)6． 【分析】（1）先证明四边形是矩形，再根据，即可得出结论； （2）连接，，由矩形的性质得到，由折叠的性质，证明，得到，设，由勾股定理得，解得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在上的点处，得到折痕， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形； （2）解：如图，连接，， 由（1）知，， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠知，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理，得， 即， 解得：， 即， ∴的面积 =． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． 47．如图，在矩形中，，，菱形的三个顶点、、分别在矩形的边、、上，，连接． (1)若，求证：四边形为正方形； (2)若，求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)6 【分析】（1）证明，推出，可得结论； （2）过点P作，交的延长线于点G，连接．证明，推出，利用三角形面积公式进一步解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， ∵四边形为菱形， ∴． ∵， ∴在和中, , ∴， ∴． ∵, ∴, ∴, ∵四边形为菱形， ∴四边形为正方形； （2）解：如图，过点P作，交的延长线于点G，连接， ∴． ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ， ∴， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查正方形的判定与性质，三角形的面积，菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 48．如图，在正方形中，对角线，相交于点O，P是上的一个动点，连接，作，交的延长线于点E，以和为邻边作． (1)观察与猜想：是 （填“矩形”、“菱形”或“正方形”）； (2)请验证你的猜想． 【答案】(1)正方形 (2)见解析 【分析】（1）猜想是正方形； （2）过点P作于点K，于点H，先证明四边形是正方形，则，再根据可得出，由此判定，进而得，再根据四边形是平行四边形，且可判定平行四边形是矩形，然后根据即可判定矩形是正方形． 【详解】（1）解：观察与猜想：是正方形． 故答案为：正方形； （2）证明：过点P作于点K，于点H，如图所示： ∴， ∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴， ∴四边形是矩形， ∵平分，，， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，难点是正确地添加辅助线，构造正方形和全等三角形． 题型十七 正方形的性质 49．概念提出 若四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫做这个四边形的“巧分线”，这个四边形叫“巧妙四边形”，若一个四边形有两条巧分线，则称为“绝妙四边形”． (1)下列四边形一定是巧妙四边形的是　 　；（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． (2)初步应用 在绝妙四边形ABCD中，AC垂直平分BD，若∠BAD＝80°，求∠BCD的度数． (3)深入研究 在巧妙四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠A＝90°，AC是四边形ABCD的巧分线，请直接写出∠BCD的度数． 【答案】(1)③④ (2)80°或140° (3)45°或90°或135° 【分析】（1）由平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质可求解； （2）由线段垂直平分线的性质可得AB=AD，BC=CD，AC⊥BD，由等腰三角形的性质可得∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，即可求∠BCD的度数； （3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和“绝妙四边形的定义可求解． 【详解】（1）解：∵菱形的四条边相等， ∴连接对角线能得到两个等腰三角形， ∴菱形是巧妙四边形； 正方形是特殊的菱形，所以正方形也是巧妙四边形； 故答案是：③④； （2）解：∵AC垂直平分BD， ∴AB=AD，BC=CD，AC⊥BD， ∴∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA， ∵∠BAD=80°， ∴∠BAC=∠DAC=40， ∵AC=AD， ∴∠ACD=70°=∠BCA， ∴∠BCD=140°， 如图，∵四边形ABCD是绝妙四边形，    ∴AD=CD，AB=BC， ∵AC垂直平分BD， ∵AB=AD，BC=CD， ∴AB=AD=BC=CD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴∠BCD=∠BAD=80°， 综上所述，∠BCD=140°或80°； （3）解：∵AC是四边形ABCD的巧分线， ∴△ACD和△ABC是等腰三角形， ①当AC=BC时，如图，过C作CH⊥AB于H，过C作CG⊥AD，交AD的延长线于G，    ∵∠HAD=∠AHC=∠G=90°， ∴四边形AHCG是矩形， AH=CG=AB=CD， ∴∠CDG=30°， ∴∠ADC=150°， ∴∠DAC=∠DCA=15°， ∵∠DAB=90°， ∴∠CAB=∠B=75°，且∠ACB=30°， ∴∠BCD=30°+15°=45°； ②当AC=AB时，如图    ∵AC=AB=AD=CD， ∴△ACD是等边三角形， ∠CAD=∠ACD=60°， ∴∠BAD=90°， ∴∠BAC=30°， ∵•AB=AC， ∴∠ACB=75°， ∴∠BCD=75°+60°=135°； ③当AB=BC时，如图    ∵AB=AD=CD=BC， ∴四边形ABCD是菱形，且∠BAD=90°， ∴四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD=90°， 综上所述：∠BCD的度数是45°或135°或90°． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的性质，理解新定义并运用是本题的关键． 50．数学书第69页数学活动《折纸与证明》中提到：折纸，常常能够为证明一个命题提供思路和方法． 【初步体验】 操作①：取一张矩形纸，将边折叠到边上，折痕为，点的对应点为．（如图1所示） 操作②：将折叠到边上，折痕为，（如图2所示） （1）若与恰好重合，则 ； 【初步探究】 在操作①中，沿剪开，易得一张正方形纸，让我们继续折叠下去… 操作③：把正方形对折后再展开，折痕为； 操作④：点在边上，翻折，使得点落在折痕上的点处，连接，则是等边三角形；（如图3所示） （2）求证：是等边三角形； 【深入探究】 操作⑤：把正方形对折后再展开，折痕为； 操作⑥：将沿翻折到位置，延长交于点，则点是的三等分点．（如图4所示） （3）通过计算证明：点是的三等分点． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）勾股定理求得，根据折叠可得，即可求解； （2）根据折叠的性质可得，，即可得证； （3）连接，证明，得出，设正方形的边长为，，则，进而在中，勾股定理求得，即可得证． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形 ∴ ∵折叠， ∴， ∴四边形是正方形 ∴ ∴， ∵ ∴， （2）∵点在边上，翻折，使得点落在折痕上的点处， ∴， ∵把正方形对折后再展开，折痕为； ∴ ∴ ∴是等边三角形； （3）证明：设正方形的边长为， 根据折叠可得，， 则， 连接，如图所示， 在中， ∴， ∴ 设，则， 在中， ∴ 解得：， ∴，即点是的三等分点． 51．【问题探究】 如图，在中，点O是上的任意一点（不与点A、C重合），过点O平行于的直线l分别与，的外角的平分线交于点E、F，连接，． （1）求证：； （2）如图2，点O是的中点，判断与的数量关系，与的位置关系，并说明理由； 【问题拓展】 （3）在（2）的条件下，若，，，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析；（3）16 【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的性质可得，由等腰三角形的判定可得，同理可证，进而可证； （2）先证四边形是平行四边形，进而可证四边形是矩形，即可得到答案； （3）由勾股定理可得，再证四边形是正方形，根据勾股定理可得正方形边长，进而可求四边形周长； 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， 同理， ； （2）解：，， 理由：是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， 平分，平分， ， 四边形是矩形， ，； （3）解：，，， ， ，， ， 由（2）知四边形是矩形， 四边形是正方形， ， ， 四边形的周长； 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上性质． 题型十八 正方形的折叠问题 52．如图，已知正方形，边长为12．现将正方形沿折叠，使得点折到边上的点，且折痕，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用、全等三角形的性质和判定．过点N作，垂足为H，在中，由勾股定理可求得，轴对称的性质可知，再证明，故此可知，最后在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，过点N作，垂足为H， ∵正方形纸片的边长为， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵对称轴的性质可得知， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 设，由翻折的性质可知，则. 在中，由勾股定理得：， 即：， 解得：． ∴． 故选：D． 53．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上，将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】设，可得，在中，利用勾股定理可求出，根据翻折的性质得出，，，设，在中利用勾股定理可求出值，即可得答案． 【详解】解：如图，设与轴交于点，， ∵四边形是正方形，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∵将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为， ∴，，， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：， ∴点的坐标为． 故答案为： 【点睛】本题考查折叠性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、坐标与图形及勾股定理，利用勾股定理求出正方形的边长是解题关键． 54．如图，取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下： (1)【课本再现】 第一步：如图1，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：在上选一点P，沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接，根据以上操作，当点M在上时，___________； (2)【类比应用】 如图2，现将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接，当点M在上时，求的度数； (3)【拓展延伸】 在（2）的探究中，正方形纸片的边长为，改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接，并延长交于点Q，连接．当时，请求出的长． 【答案】(1)30 (2) (3)或 【分析】（）由折叠的性质得，，，，从而得到是等边三角形即可求解； （）同（1）可证，再利用折叠的性质和正方形的性质证明，推出，可得； （）分点Q在点F的下方、上方两种情况，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵对折矩形纸片，使与重合，折痕为， ∴垂直平分, ∴，， ∵沿折叠纸片，使点落在矩形内部的点处， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图， 同（1）可证， ∴， 在正方形中，，， 由折叠知，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ （3）解：当点Q在点F的下方时，如图， ∵正方形中，， ∴， ∴， 由（2）知， ∴， 设，由折叠知， ∴，， 在中，， ∴， 解得，即； 当点Q在点F的上方时，如图， 则， ∴， ∴， 设， 则，， 在中，， ∴， 解得，即； 综上可知，的长为或． 【点睛】本题考查正方形折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等，掌握折叠前后对应角相等、对应边相等，注意分情况讨论是解题的关键． 题型十九 中点四边形 55．顺次连结一个四边形各边的中点所得的四边形是矩形，那么这个四边形一定是（    ） A．矩形 B．菱形 C．对角线相等的四边形 D．对角线垂直的四边形 【答案】D 【分析】本题考查矩形的判定定理和三角形的中位线的定理，有一个角是直角的平行四边形是矩形，据此可知顺次连接对角线垂直的四边形的各边中点得到矩形． 【详解】解：如图，    根据题意得，是的中点， ∴， ∴， 同理：， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 所以顺次连接对角线垂直的四边形的各边中点是矩形． 故选：D． 56．如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，则下列命题中：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中是真命题的序号是 ． 【答案】④ 【分析】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识， 先证明一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线时，中点四边形是菱形，当对角线时，中点四边形是矩形，当对角线，且时，中点四边形是正方形，再逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵点 E、F、G、H分别是四边形边边、、、的中点， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ①当时，则， 则四边形为菱形，①说法错误； ②当时，则， 则四边形为矩形，②说法错误； ③四边形一定是平行四边形，与不一定互相平分，③说法错误； ④当四边形是正方形时，与互相垂直且相等，④说法正确； 故答案为：④． 57．如果四边形的四边中点依次是E、F、G、H，那么四边形是 形．如果，，那么四边形的周长等于 cm． 【答案】 平行四边形 56 【分析】此题主要考查了中点四边形．直接利用三角形中位线定理得出，，得到四边形是平行四边形；由三角形中位线定理得出，，即可得出答案． 【详解】解：连接，， ，，，分别是，，，边的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； ，，，分别是，，，边的中点， 同理，， ∴四边形的周长是：． 故答案为：平行四边形；56． 题型二十 三角形的中位线 58．如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离，可以在外选一点C，连接，，并分别找出它们的中点D，E，连接．现测得，，，则 m． 【答案】52 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定和性质定理，解题的关键是熟练掌握中位线的判定和性质． 利用三角形中位线的判定定理和性质定理得出，进而可求出结果． 【详解】解：∵和的中点分别是点D，E， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：52 59．如图，在矩形中，，，点M是平面内任意一点，连接，点N是的中点，连接，若，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】如图，延长到J，使得，连接，，证明，求出的最大值可得结论． 【详解】解：如图，延长到J，使得，连接，， ，， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， 的最大值为， 的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，三角形三边关系，三角形中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 60．综合与实践 问题呈现： 如图①，在四边形中，，， 求证：平分． 问题解决： 小明在解决问题时发现可以通过构造全等三角形来解决问题，而且他找到了两种“构造”方案： 方案一：如图②，过作于，于； 方案二：如图③，延长至，使． （1）请你选择其中一种“构造”方案，写出完整的证明过程． 思维发散： （2）如图④，在等边中，点是的中点，，与交于点，与交于点，请直接写出，和的数量关系． 【答案】（1）证明过详解 （2），理由见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，中位线的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，构造三角形全等是解题的关键． （1）方案一：先证明，得到，再证明，得到，即可求解； 方案二：证明，得到，则有，即可求解； （2）如图所示，取线段的中点，连接，可得，再证明，得到，即可求解． 【详解】解：（1）方案一：如图②，过作于，于， 证明：在四边形中，， ∴， ∵共线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分； 方案二：如图③，延长至，使， 证明：在四边形中，， ∴， ∵点三点共线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2），理由如下， ∵是等边三角形， ∴， ∵点是中点， ∴， 如图所示，取线段的中点，连接， ∴， ∴，， ∴，即是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型二十一 图形的旋转压轴 61．如图，已知，，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，作点关于直线的对称点，连接交直线于点． (1)若，则的度数为______； (2)猜想线段、、之间的数量关系，并证明； (3)若，当长为时，求的面积． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（）连接，设与直线的交点为，由等腰三角形的性质可得，即得，再根据轴对称的性质得，，即得，，，进而根据角的和差即可求解； （）证明，得，，进而得，即得为等腰直角三角形，得到，过点作于，可得，为等腰直角三角形，设，，则，，，据此即可求证； （）利用（）的结论解答即可求解． 【详解】（1）解：连接，设与直线的交点为， 由旋转得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点和点关于直线的对称， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，证明如下： 由旋转得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点和点关于直线的对称， ∴，， ∴，，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 过点作于，则，， ∴，为等腰直角三角形， 设，，则，，， ∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 由（）得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，完全平方公式的应用，正确作出辅助线是解题的关键． 62．在四边形中，，，，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题是四边形中线段最值问题，考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题．将线段绕点顺时针旋转得到，连接、，可得到等腰直角，通过判定，得出，因为，所以当、、三点共线时，取最大值，由，即可求出的最大值． 【详解】解：如图所示，将线段绕点顺时针旋转得到，连接、， 由旋转可得，，， ， ，即， ， ， ， ， ， ，， 当、、三点共线时，取最大值，最大值为， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：． 63．如图，已知是直角三角形，，现在将绕着点A逆时针旋转到，将绕着点A顺时针旋转到，连接，则点A到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转性质、点到直线的距离、全等三角形的判定和性质等知识点，正确寻找全等三角形解决问题是解题的关键． 如图，过点A作于点T，过点D作交的延长线于点H，过点C作于点J．利用全等三角形的性质求出，利用勾股定理求出，再利用面积法求解即可． 【详解】解：如图，过点A作于点T，过点D作交的延长线于点H，过点C作于点J． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转变换的性质可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 题型二十二 中心对称压轴 64．在平面直角坐标系中有三个点，点关于的对称点为关于对称点关于的对称点为，按此规律继续可以以为对称中心重复前面的操作，依次得到，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，再根据中点的坐标特点求出x、y的值，找出循环的规律即可得出点的坐标． 【详解】解：设， 点、、，点关于的对称点为， ，， 解得，， ． 同理可得，，，，，，，， 每个操作循环一次． ∵， 点的坐标与相同． 故选：B． 【点睛】本题考查的是点的坐标，根据题意找出规律是解答此题的关键． 65．如图，在平面直角坐标系中，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称，……．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是 ．    【答案】 【分析】根据中心对称的性质可得、、、、、的坐标，即可找出6个点一循环，从而求出的坐标． 【详解】解：的坐标分别为，，，点与点关于点A成中心对称， 的坐标为， 点与点关于点成中心对称， 的坐标为， 点与点关于点成中心对称， 的坐标为， 点与点关于点成中心对称， 的坐标为， 点与点关于点成中心对称， 的坐标为， 点与点关于点成中心对称， 的坐标为， 6个点一循环， ， 点的坐标是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了中心对称的性质与规律的综合，熟练掌握中心对称性质以及找出点的循环数是解题的关键． 66．一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称．    (1)如图1，和是外的两个等边三角形，用旋转的知识说明和成中心对称． (2)如图2，是一段不规则曲线，是以为圆心的圆的圆周，是圆内一定点．过求作直线，使得与，分别相交于点，，且． （要求：用直尺和圆规作图，保留作图的痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）分别证明点的对称点是点，点的对称点是点，点与点关于点成中心对称即可； （2）1．连接，并延长到点，使得；以点为圆心，的半径为半径作圆与相交于点；作直线交于点，则点、为所求作的点． 【详解】（1）解：令、相交于点，连接、，    ∵四边形是平行四边形， ∴，四边形是中心对称图形，对称中心是点，点的对称点是点，点的对称点是点，，， ∴， ∵和是外的两个等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点绕点旋转后与点重合，即点与点关于点成中心对称， ∴和成中心对称； （2）解∶如图，点、为所求的点，．    理由如下： 连接、，分别过点、作⟂⟂，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴    【点睛】本题主要考查了中心对称，全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 题型二十三 平行四边形的压轴问题 67．如图，在中，，，，，为斜边上两动点，且，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何最值问题，涉及直角三角形的性质、坐标系的应用，以及求最短路径，正确做出辅助线是解题的关键．建立如图所示的直角坐标系，找一点H，使得四边形是矩形，作点C关于的对称点D，连接，取的中点G，链接，，作于点I，求出点G的坐标，从而求出，证明，从而得到从而的解． 【详解】建立如图所示的直角坐标系，找一点H，使得四边形是矩形， 作点C关于的对称点D，连接，取的中点G，链接，，作于点I， ∵在中，，，， ∴， ∵点C关于的对称点D， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， 又∵的中点为点G，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴，即 ∴， ∴，当且仅当点C、F、G三点共线时取最小值， 故答案为：． 68．定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线，点，在直线上，点，在直上，若，则四边形是半对角四边形．． (1)如图2，点是平行四边形的边上一点，，，．若四边形为半对角四边形，求平行四边形的面积； (2)如图3，以平行四边形的顶点为坐标原点，边所在直线为轴，对角线所在直线为轴，建立平面直角坐标系．点是边上一点，满足．求证：四边形是半对角四边形； (3)在（2）的条件下，当，时，将四边形向左平移4个单位成为四边形后，为平面上一点，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，或，或 【分析】（1）根据半对角四边形的定义可得出，进而可得出，由等角对等边可得出，结合即可求出的长，过点作的垂线交于，利用勾股定理求出，从而求出平行四边形的面积； （2）由平行四边形的性质可得出，，进而可得出，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得出，再结合半对角四边形的定义即可证出四边形是半对角四边形； （3）点的坐标为，，点的坐标为，点的坐标为．当以点，，，为顶点的四边形为平行四边形时，画出图形，作出符合要求的的点、、，根据平行四边形的性质以及中点坐标公式即可求解． 【详解】（1）解：四边形为半对角四边形， ， ， ， ， 过点作的垂线交于，如图： ， ， ， ， 由勾股定理得：， ． （2）证明：四边形为平行四边形， ，， ， ， 又， 四边形是半对角四边形； （3）解： ，，四边形为平行四边形， ，， ，， 为的中点， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． 如图3，将四边形向左平移4个单位成为四边形后，点的坐标为，，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 轴，， 当为对角线时，构成平行四边形， 平行四边形的对角线互相平分， 的中点坐标为，， 的坐标为：，； 当为对角线时，构成平行四边形， ，且， 的坐标为：，； 当为对角线时，构成平行四边形， ，且， 的坐标为：，； 当为对角线时，构成平行四边形， ，且， 的坐标为：； 综上，点的坐标为，或，或． 【点睛】本题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、平行四边形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）利用半对角四边形的定义及矩形的性质，求出；（2）利用等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及平行四边形的性质，找出；（3）分点，落在反比例函数图象上和点，落在反比例函数图象上两种情况，求出的值． 69．【方法运用】如图①，平行四边形的对角线和相交于点O，过点O且与、分别相交于点E、F，，的周长为10，求的值． 【拓展提升】如图②，平行四边形的对角线和相交于点O，过点O且与、的延长线分别相交于点E、F，连结点、，若，的面积为1，则四边形的面积为____________． 【拓展应用】如图③，若四边形是平行四边形，过点O作直线分别交边、于，过点O作直线分别交边、于G、H，且，若，，，则的长度是多少？    【答案】【方法运用】；【拓展提升】12；【拓展应用】． 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出，，则有，证明即可； （）利用平行四边形的性质及，可得，，从而得出即可求解； （）过作，，利用等面积法即可； 此题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）【方法运用】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵的周长为10， ∴， ∴， ∴． （2）【拓展提升】解：∵，的面积为1， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴；， 同【方法运用】得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12； （3）【拓展应用】解：∵，， ∴， 又∵ ， ∴而， 过作，，    ∴， ∴， ∴， 由，， ∴， 故答案为：． 题型二十四 矩形的压轴问题 70．已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在线段上以每秒个单位长的速度由点向运动． 设动点的运动时间为秒． (1)当 时（直接写出的值），四边形是平行四边形； (2)在线段上是否存在一点，使得四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在线段上有一点且，求四边形的周长最小值． 【答案】(1)秒 (2)秒时，；秒时， (3) 【分析】（1）先求出，进而求出，再由运动知，进而由平行四边形的性质建立方程即可得出结论； （2）分两种情况讨论，利用菱形的性质和勾股定理即可得出结论； （3）先判断出四边形周长最小，得出最小，即可确定出点M的位置，再用勾股定理求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，，， ∴，，，， ∵点是的中点， ∴， ∵动点在线段上以每秒个单位长的速度由点向运动，点的运动时间为， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：秒； （2）解：①如图，当点在的右边时， ∵四边形为菱形， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图，当点在的左边时， ∵四边形为菱形， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，秒时，；秒时，； （3）如图，由（1）知：， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形的周长为： ∴最小时，四边形的周长最小， ∴作点关于的对称点，连接交于， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵， ∴的最小值为：， ∴四边形的周长最小值为． 【点睛】本题考查矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质，轴对称的性质，坐标与图形，勾股定理，两点之间线段最短等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 71．几何探究 【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点．在实验与探究中，小新发现无论正方形绕点怎样转动，之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明即可推导出来．请帮助小新完成下列问题： ①求证； ②连接，则之间的数量关系是____________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）①见解析；②；（2），理由见解析；（3）或． 【分析】（1）①利用正方形的性质，证明即可；②由全等三角形的性质得到，则，再利用勾股定理即可得到结论； （2）连接，延长，交于点，连接，证明，得到，，推出，得到，即可得出结论； （3）分点在线段上和在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解． 【详解】解：（1）①∵正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点， ∴， ∴， ∴； ②连接，    ∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴； （2），理由如下： 连接，    ∵矩形的中心O是矩形的一个顶点， ∴，，， 延长，交于点，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴是的中垂线， ∴， ∴， ∴； 解：（3）设， ①当点在线段上：    ∵，， ∴， ∴， 由（2）可知：， ∴， 解得：， ∴； ②当点在线段的延长线上时：如图，    此时， 过点作，延长交于点，连接， 同（2）法可证：， ∴， 又， ∴， 解得：解得：， ∴； 综上：线段的长度为或． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，中垂线的性质，勾股定理．解题的关键是熟练掌握相关性质，构造全等三角形． 72．折纸操作简单，但数学趣味丰富，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 操作1 如图1，将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕：再次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，点，的对应点分别为，展平纸片，连接，，． 问题1 求的度数． 问题2 判断线段与有怎样的位置关系？请证明你的结论． 操作2 如图2，N为矩形纸片的边上的一点，连接，在上取一点，折叠纸片，使，两点重合，展平纸片，得到折痕；沿着直线l折叠纸片，使得点B、P分别落在，上，对应点分别为，，展平纸片，连接，． 问题3 写出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】问题1：的度数为；问题2：，理由见解析；问题3：．理由见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质，矩形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握轴对称的性质． 问题1：问题2：可推出点是等边的中心，从而得出，进一步得出结论； 问题3：同理（2）可得，，从而，，，根据得出，进一步得出结论． 【详解】解：问题1：如图， 设，交于点， 由题意得：是的垂直平分线，是的垂直平分线，， ，， ，是等边三角形，且为中心， ， ， 四边形是矩形， ， ， ∴的度数为； 问题2：，理由如下， ∵是等边三角形，， ∴，即； 问题3：．理由如下， 如图， 同理（2）得：，， ，，， ∵， ， ， 设，， ∴，即， ∴． 题型二十五 菱形的压轴问题 73．【阅读理解】如图1，在矩形中，若，由勾股定理，得，同理，故． 【探究发现】如图2，四边形为平行四边形，若，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由． 【尝试应用】如图3，已知为的一条中线，，求的长． 【拓展提升】如图4，在矩形中，若，点P在边上，则的最小值为 ． 【答案】探究发现：依然成立，见解析；尝试应用：；拓展提升：200 【分析】此题考查了勾股定理、三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定和性质、矩形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和数形结合是解题的关键． 探究发现：作于点E，作交的延长线于点F，则，证明，，利用勾股定理进行计算即可得到答案； 尝试应用：延长到点C，使，证明四边形是平行四边形，由【探究发现】可知，，则，代入数据计算即可得到结果； 拓展提升：由四边形是矩形，，得到，，设，，由勾股定理得到，根据非负数的性质即可得到答案． 【详解】解：探究发现：结论依然成立，理由如下： 作于点E，作交的延长线于点F，则， ∵四边形为平行四边形，若， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 尝试应用：延长到点C，使， ∵为的一条中线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵． ∴由探究发现可知，， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； 拓展提升：∵四边形是矩形，， ∴，， 设，则， ∴ ， ∵， ∴当时，的最小值是． 74．如图，已知的顶点分别在直线：和上，是坐标原点，当对角线的长最小时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形，矩形的判定和性质，勾股定理，设直线与交于，与轴交于点，直线与交于点，与轴交于点，过点作于点，过点作轴于点，可证，得到，进而由四边形为矩形得，即得，得到，可知当最小时，即点在轴上，取得最小值，据此即可求解，利用平行四边形的性质，构造全等三角形，得出长度为定值是解题的关键． 【详解】解：设直线与交于，与轴交于点，直线与交于点，与轴交于点，过点作于点，过点作轴于点，如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵直线与直线均垂直于x轴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时，即点在轴上，取得最小值，最小值为， ∴此时点的坐标为， 故答案为：． 75．小星学习了正方形的相关知识后，对正方形进行了探究． 如图，为正方形的一条对角线，点E为上任意一点（点E不与点B，D重合），点G为中点，过点E作交边于点F，延长交于点H． (1)问题探究： 如图①，连接，则与的位置关系为______，与的数量关系为______； (2)问题解决： 如图②，连接，求证：； (3)拓展延伸： 如图③，连接并延长交于点M、连接，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）证明为等腰直角三角形，根据三线合一，即可得出结论； （2）证明，即可得出结论； （3）连接，证明，得到，证明垂直平分，得到，根据，等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵点G为中点， ∴，； 故答案为：，； （2）∵正方形，矩形， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3），理由如下： 连接， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵，由（2）知：， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，中垂线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 题型二十六 正方形的压轴问题 76．如图，在矩形中，，，的平分线交于点，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若．则线段的长为（    ）． A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形三边关系，勾股定理等知识．由题意知，，如图1，在上取点，使，连接，，则，由，，可得，，即、、三点共线，如图2，则四边形是矩形，则，由勾股定理得，计算求解即可，明确时，点的位置是解题的关键． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 的平分线交于点， ， 如图1，在上取点，使，连接，， ， ，， 与的距离为6， ， ， 如图2，则四边形是矩形， ，， ，，， 四边形为正方形， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， ， ，， 由勾股定理得， 故选：D． 77．如图，在正方形中，，对角线、交于点，点是的中点，点是上的动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，过作，交延长线于点，则，证明，则，，从而证明四边形是矩形，再证明，则，故有点在上运动，四边形是正方形，通过正方形的性质和勾股定理得出，作作的对称点，连接，又，所以当三点共线时，，然后由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，过作，交延长线于点，则， 由旋转性质可知：，， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在上运动，四边形是正方形， 在正方形中，， ∴， ∴由勾股定理得：， 作作的对称点，连接， ∴，， ∵， ∴当三点共线时，， 如图， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，矩形的判定与性质，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． 78．如图1，已知矩形纸片，，，将纸片进行如下操作：将纸片沿折痕进行折叠，使点A落在边上的点E处，点F在上（如图2），则 ；然后将绕点F旋转到，当过点C时旋转停止，则 ．    【答案】 3 【分析】连接，证四边形是正方形，得，进而得，，由勾股定理得，证明得，，从而垂直平分，，最后利用面积公式构造方程即可得解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上， ∴，， ∴四边形是矩形，, ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，， 如图所示，连接， ∴，    ∵将绕点旋转到， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：3，． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，矩形的性质，正方形的判定及性质，线段垂直平分线的判定以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定及性质，矩形的性质，正方形的判定及性质是解题的关键． 题型二十七 平行四边形的存在性问题 79．如图，平面直角坐标系中，，，，，直线过A点，且与y轴交于D点． (1)求点A、点B的坐标； (2)试说明：； (3)若点M是直线上的一个动点，在x轴上是否存在另一个点N，使以O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)存在，或或 【分析】（1）根据题意利用矩形性质及判定可得点坐标，令即可得到的值，即为点坐标； （2）根据直线解析式求出点坐标，得到的值，根据矩形对边相等，，然后证明，再利用全等性质即可得到结论； （3）根据平行四边形对边平行且相等可得，，令求出点坐标，从而得到长度，再分情况讨论求出点坐标． 【详解】（1）解：当时，，解得：， ∴点坐标为， ∵，，， ∴过点作于，则四边形是矩形， ∴，， ∴点的坐标为； （2）解：当时，， ∴点坐标为， ∴， 根据（1）中结论，四边形是矩形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：存在 ∵点在轴上，O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形， ∴轴且， 根据（1），点， ∴，解得：， ∴点， ∴， ①点在点的左边时，， ∴点的坐标为， ②点在点的右边时，， ∴点的坐标为， ③作关于的对称点，则也符合，点的坐标为， 综上所述：或或． 【点睛】本题考查坐标与图形，一次函数与坐标轴交点，矩形性质及判定，平行四边形性质，全等三角形判定及性质． 80．如图，直线分别与x轴，y轴交于A、B两点，与直线交于点． (1)点坐标为(________，________)． (2)在直线上有一点E，过点E作y轴的平行线交直线于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，以、、、为顶点四边形是平行四边形； (3)若点P为直线上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得、、、四个点能构成一个矩形．若存在，直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，点坐标为或 【分析】（1）先根据点求出直线的解析式，再求出时，的值，由此即可得； （2）先根据直线的解析式求出，再利用待定系数法求出直线的解析式，从而可得点的坐标，则可得的长，然后根据平行四边形的判定可得，据此建立方程，解方程即可得； （3）分两种情况：①以、、、四个点构成的是矩形，先利用三角形的面积公式和勾股定理可得的长，从而可得点的坐标，再根据矩形的对角线互相平分、点坐标的中点公式即可得；②以、、、四个点构成的是矩形，此时点与点重合，则，根据矩形的性质可得，，由此即可得． 【详解】（1）解：将点代入直线得：， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入一次函数得：，解得， ∴点坐标为； 故答案为：． （2）解：将代入直线得：，即， 将点代入直线得：，解得， ∴直线的解析式为， 由题意得：点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵， ∴要使以、、、为顶点四边形是平行四边形，则， ∴， 解得或， 所以当为或时，以、、、为顶点四边形是平行四边形． （3）解：由上已得：，， ∴， ∴， ∵点为直线上一点，且在中，， ∴分以下两种情况： ①如图，以、、、四个点构成的是矩形， 过点作轴于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点的坐标为， ∵矩形的对角线互相平分，， ∴，解得， ∴此时点的坐标为； ②如图，以、、、四个点构成的是矩形，此时点与点重合，则， ∴， ∴此时点的坐标为； 综上，存在一点，使得、、、四个点能构成一个矩形，此时点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、平行四边形的判定、矩形的性质、勾股定理、点坐标的中点公式等知识，熟练掌握一次函数的几何应用是解题关键． 81．在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，坐标为，点C在第一象限内，现将矩形绕点O逆时针旋转，得到矩形． (1)如图1，当时，连接，相交于点E，连接．若，求b与a之间的函数关系式； (2)已知．当点刚好落在边上，如图2，则______；此时，点M是x轴上任意一点，点N是平面内任意一点，是否存在以O，，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下继续旋转，如图3，连接，，所在直线相交于点F，点G为的中点，连接．求旋转过程中的最小值，以及点F对应的坐标． 【答案】(1)b与a之间的函数关系式为 (2)；N点的坐标为，，， (3)有最小值， 【分析】（1）如图1，连，利用旋转的性质和矩形的性质得到，再利用勾股定理即可得解； （2）利用非负数的性质可得，，当点刚好落在边上，由直角三角形的边角关系可得旋转角，分别以为边和对角线得菱形讨论即可得解； （3）如图所示，连，取的中点，连，设直线交轴于点，先证出，然后确定，再利用三角形的三边关系即可得到的最小值，进而即可得解． 【详解】（1）解：如图1，连， ∵将矩形绕点O逆时针旋转，得到矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，， ∴b与a之间的函数关系式为， （2）解：∵， ∴，， ∴，， ∵点刚好落在边上， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， 故答案为：； 如图2，存在，以O，，M，N为顶点的四边形是菱形的有四个，分别为菱形，菱形，菱形，菱形 ∵，，, ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴由菱形的对称性质知，和关于轴对称， ∴， ∴N点的坐标为，，，； （3）解：如图所示，连，取的中点，连，设直线交轴于点， ∵点G为的中点， ∴，， 由旋转知，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由三角形的三边关系知，， ∴三点共线时，有最小值， 如图所示， 此时， ∴F对应的纵坐标为，横坐标为， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，求函数关系式，矩形的性质，直角三角形的性质，菱形的性质，三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 题型二十八 平行四边形中的最值问题 82．如图，在矩形中，，点P，Q分别在上，，线段在上，且，连接，则的最小长度为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识；在边上取，连接，则得四边形是平行四边形，有，问题转化为求的最小长度，当点E在上时，取得最小值；由勾股定理即可求解．取，求的最小值转化为求的最小值是解题的关键． 【详解】解：如图，在边上取，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 即当取最小值时，取得最小值； 当点E在上时，取得最小值，最小值为线段的长； ∵，， ∴， 由勾股定理得， 即的最小长度为10； 故选：B． 83．在菱形中，，为中点，为对角线上一动点，连结和，则的值最小为 ． 【答案】 【分析】此题考查轴对称最短路线问题；菱形的性质，勾股定理，，熟知两点之间线段最短是解题的关键．根据轴对称的性质，作点和关于对称．则连接交于点，即为所求作的点．的最小值即为的长． 【详解】解：作点和关于对称．则连接交于点， 四边形是菱形，，为中点， 点是的中点， ， ． 故答案为：． 84．请你认真阅读思考下面的材料，完成相关问题． 【数学模型】 如图①，A，B是直线l同旁的两个定点，在直线l上确定一点P，使的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则点P即为所求．此时，的值最小，且 【模型应用】 (1)如图②，经测量得A，B两点到河边l的距离分别为米，米，且米．在l上确定一点P，则的最短路径长为______米； (2)如图③，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上一个动点，求的最小值； (3)如图④，在平面直角坐标系中，点，．请在x轴上确定一点P，使的值最小，并求出的最小值． 【答案】(1)1500 (2) (3)P点坐标为；的最小值为 【分析】本题考查了轴对称-最短问题，垂线段最短，等腰三角形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，要灵活运用对称性解决此类问题．找出P点位置是解题的关键． （1）作点A关于直线l的对称点，连接，过点作并交线于点M，根据对称的性质得出米，米，米，再由勾股定理求解即可； （2）连接，设与交于点P，根据正方形的性质及轴对称得出P在与的交点上时，最小，为的长度，利用勾股定理求解即可； （3）作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，P点即为所求，利用轴对称的性质得出，则，的值最小，然后确定一次函数解析式即可得出结果，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：作点A关于直线l的对称点，连接，过点作并交线于点M， ∴米， 在中，米，米， （米）， ∴“将军饮马”问题中的最短路径长为1500米， 故答案为：1500； （2）如图，连接， 设与交于点P， ∵四边形是正方形， ∴点B与D关于对称， ∴， ∴最小． 即P在与的交点上时，最小，为的长度． ∵直角中，， ∴． ∴的最小值为． （3）如图，作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，P点即为所求： 利用对称的性质得到，则，的值最小； A点关于x轴对称的点的坐标为， 设直线的解析式为， 把代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 当时，，解得， ∴P点坐标为； 的最小值为：． 题型二十九 平行四边形中的翻折问题 85．综合与实践 在矩形中，，，将沿翻折，使顶点落在点处． 【初步探究】 （1）如图①，若点在线段上，点恰好落在对角线上，则的长为________________； 【深入思考】 （2）若点在射线上，点在矩形外，且满足，在图②中用无刻度的直尺和圆规作出折痕（不写作法，保留痕迹），并求的长； 【拓展提升】 （3）若点在线段上，点是线段的三等分点，现将沿翻折，点对应点为点，且、、三点共线，求的长． 【答案】（1）；（2）作图见解析，；（3）或 【分析】（1）先根据勾股定理得：，再由折叠的性质得，再根据即可得出答案； （2）先作的垂直平分线，再以为圆心为半径画弧交的垂直平分线于点E，连接，易得，最后作的角平分线交射线于点Q即可；设的垂直平分线交于点F，交于点G，连接，易求，利用勾股定理求出，得到，证明，得到，设，则，由，建立方程求解即可； （3）延长到，连接，使得是正方形，延长交于点H，连接，求出，，证明，推出，得到三点共线，分和两种情况讨论，利用勾股定理建立方程，求出，再根据，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：在矩形中，，，， 由勾股定理得： ∵点E落在对角线上， 由折叠的性质得 ∴； （2）解：如图所示为所求， 设的垂直平分线交于点F，交于点G，连接， ∵垂直平分，， ∴，， ∵， ∴四边形都是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴，即， 解得：， ∴； （3）延长到，连接，使得是正方形，延长交于点H，连接，则，， 由折叠的性质得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， 如图，当时，则，， 设，则， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 当时，如图，则，， 设，则， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形中的折叠问题，线段垂直平分线的尺规作图，矩形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，正方形的性质，垂直平分线的性质，尺规作线段的垂直平分线，解题的关键是熟练掌握相关性质，作出图形，数形结合，并注意分类讨论． 86．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B的坐标分别为，，点D为对角线中点，点E在x轴上运动，连接，把沿翻折，点O的对应点为点F，连接． (1)当点F在第四象限时(如图1)，求证：． (2)当点F落在矩形的某条边上时，求的长． (3)是否存在点E，使得以D，E，F，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)6或7.5 (3)点或或或 【分析】（1）根据折叠的性质及等边对等角，得到，利用平行线的判定即可得证； （2）分情况讨论，当时，，此时点与点重合；当点与点重合时，利用勾股定理即可解答； （3）分情况讨论，当四边形为平行四边形时，，且；当四边形为平行四边形时，；当四边形为平行四边形时，，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）证明：由折叠可知，， 点为中点， ， ， ， ， ， ； （2）解：当时，，此时点与点重合， ， ，四边形是矩形， ， ； 如图①，当点与点重合时，，， 在中，， 即， 解得， ； 综上，的长为6或； （3）解：存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 如图②，当四边形为平行四边形时，，且， ，， ， 是的中点，， ， ， 或； 如图③，当四边形为平行四边形时，， ， ， ， 在中，， ； 如图④，当四边形为平行四边形时，， ， ，， 在中，， ． 综上，点坐标为点或或或． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，主要考查矩形的性质，平行四边形的性质，坐标与图形的性质，掌握矩形的性质，平行四边形的性质是解题的关键． 87．如图1，长方形中，，点E是射线上一个动点，连接，将沿直线翻折得到． (1)若，则的度数是_____________； (2)若， ①在图（2）中用无刻度的直尺和圆规作出点F（不写作法，保留痕迹）． ②求此时线段的长度． (3)设直线与线段交于点G，P、O分别是线段上的两个动点，当的面积为6时，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)①见解析；②或15 (3) 【分析】（1）根据矩形的性质得，由折叠可得，进而可以解决问题； （2）①作的垂直平分线，以点A为圆心，的长为半径作弧分别交的垂直平分线于点，即为所求； ②由①作图过程和翻折的性质，设，分为当F在下方时和当F在上方时，两种情况分别求解即可解决问题； （3）作于点，由，平分，得，所以，所以的最小值即为的最小值，当，，三点共线时，最小即为的值，此时与重合，与重合，与重合，进而可以解决问题． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， ， ， 由折叠可知：， 故答案为：； （2）解：①如图2，点即为所求； ②当F在下方时，如图， 由①作图可知：四边形是矩形， ，， ， ， ， 由折叠可知：， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， ， ， 线段的长度为； 当F在上方时，如图， 由①作图可知：四边形是矩形， ，， ， ， ， 由折叠可知：， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， ， ， 线段的长度为15； 综上所述，或15； （3）解：如图3，作于点， 的面积为6， ， ， ， 、分别是线段、上的两个动点， 时，最短， ，平分， ， ， 的最小值即为的最小值， 当，，三点共线时，最小即为的值， 此时与重合，与重合，与重合， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质、折叠的性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义和性质，垂线段最短、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质是解题的关键． 题型三十 三角形中位线压轴 88．如图1，已知正方形中，E为延长线上一点，且，M、N分别为、的中点，连接交于O，交于H点． (1)求证：； (2)求证：； (3)过A作于P点，连接，则的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用证明即可； （2）延长至F，且使，连接、，利用证明，得出，由为的中位线得，利用平行线的性质即可证明； （3）过点B作交于Q，利用证明，推出，，即可证明是等腰直角三角形，则． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：延长至F，且使，连接、，如图1所示： 则， ∵四边形是正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴N为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：过点B作交于Q，如图2所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， 由角的互余关系得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质、平行线的性质、三角中位线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，第3问有一定难度，正确作辅助线，证明是等腰直角三角形是解题的关键． 89．如图，在中，，，，点D是平面内到点A的距离等于4的任意一点，点M是的中点，则的取值范围是 ．    【答案】 【分析】本题考查三角形中位线定理，三角形三边关系，勾股定理，关键是由三角形三边关系定理得到． 取中点，连接，，由三角形中位线定理得到，由勾股定理求出，由直角三角形斜边中线的性质得到，然后由三角形三边关系定理得，解之即可． 【详解】解：如图，取中点，连接，，   是中点， 是的中位线， ， ，，， ， 是中点， ， ， ． 故答案为：． 90．【提出问题】 （1）如图，四边形中，对角线，交于点，点，，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，若，求四边形的周长． 【解决问题】 （2）如图，在等边与等边中，点在的延长线上，点在的同侧，连接，点，分别是，的中点，连接，若，，求的长． （3）如图，在等腰与等腰中，，，，，点在的上方，连接，，点，，分别是，，的中点，连接，则的面积为___________． 【答案】（）四边形的周长为；（）；（）． 【分析】（）根据中位线定理即可求解； （）连接，取中点，连接，过作，交延长线于点，由等边三角形的性质可得，，，再根据中位线定理可得，，，，然后求出，则，根据所对直角边是斜边的一半得到，最后由勾股定理即可求解； （）连接，与交于点，交于点，交于点，过作交延长线于点，由中位线定理可得，，，，则四边形是平行四边形，故有，再证明，得，，则有是等腰三角形，在根据三角形内角和定理，通过勾股定理得出，，然后过作于点，则，根据直角三角形的性质和面积公式即可求解． 【详解】解：（）∵点，，，，分别是边，，，的中点， ∴，， ∴四边形的周长为； （）如图，连接，取中点，连接，过作，交延长线于点， ∵，是等边三角形， ∴，，， ∵点，分别是，的中点， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴； （）如图，连接，与交于点，交于点，交于点，过作交延长线于点， ∵点，，分别是，，的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴，是等腰三角形， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 如图，过作于点，则， ∵， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，中位线定理，等腰三角形的判定与性质，所对直角边是斜边的一半，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． $$ 专题02 中心对称图形—平行四边形（易错压轴必刷90题30种题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 生活中的旋转现象 · 题型二 旋转的性质求解 · 题型三 旋转的坐标问题 · 题型四 中心对称与中心对称图形 · 题型五 中心对称中的坐标问题 · 题型六 平行四边形的判定 · 题型七 平行四边形的性质 · 题型八 平行四边形中的多结论问题 · 题型九 反证法 · 题型十 矩形的判定 · 题型十一 矩形的性质 · 题型十二 矩形与折叠问题 · 题型十三 菱形的判定 · 题型十四 菱形的性质 · 题型十五 菱形的面积计算 · 题型十六 正方形的判定 · 题型十七 正方形的性质 · 题型十八 正方形的折叠问题 · 题型十九 中点四边形 · 题型二十 三角形的中位线 · 题型二十一 图形的旋转压轴 · 题型二十二 中心对称压轴 · 题型二十三 平行四边形的压轴问题 · 题型二十四 矩形的压轴问题 · 题型二十五 菱形的压轴问题 · 题型二十六 正方形的压轴问题 · 题型二十七 平行四边形的存在性问题 · 题型二十八 平行四边形中的最值问题 · 题型二十九 平行四边形中的翻折问题 · 题型三十 三角形中位线压轴 题型一 生活中的旋转现象 1．电影《哪吒之魔童闹海》的热映，推动了我国国产动画电影发展，提升了中国文化影响力．对下列哪吒图片的变换顺序描述正确的是（   ） A．轴对称，平移，旋转 B．旋转，轴对称，平移 C．轴对称，旋转，平移 D．平移，旋转，轴对称 2．下列运动属于数学上的旋转的有（    ）． A．钟表上的时针运动 B．城市环路公共汽车 C．地球绕太阳转动 D．将等腰三角形沿着底边上的高对折 3．“玉兔”在月球表面行走的动力主要来自太阳光能，要使接收太阳光能最多，就要使光线垂直照射在太阳光板上．现在太阳光如图照射，那么太阳光板绕支点逆时针最小旋转（    ）可以使得接收光能最多． A． B． C． D． 题型二 旋转的性质求解 4．如图，为钝角三角形，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，，，，均为格点，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到线段（与，与是对应点），则旋转中心的坐标为 ． 6．如图，四边形中，，，连接，将四边形绕着点逆时针旋转至四边形，使落在边上． (1)若，求的大小； (2)若，的周长为9，求的长． 题型三 旋转的坐标问题 7．如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到，此时点的坐标为； (2)画出将绕原点逆时针方向旋转后得到的，此时点的坐标为． 8．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，，（按要求画出图形，并回答） (1)画出关于点成中心对称的，此时点坐标为______； (2)将以点为旋转中心逆时针旋转，画出旋转后对应的，此时点坐标为______． 9．已知，如图平面直角坐标系内，O为坐标原点，，，连接． (1)请画出将线段绕点O顺时针旋转得到的线段（点C与点A为对应点，点D与点B为对应点），并直接写出C、D两点的坐标； (2)请画出，使点E在x轴的正半轴上，且的面积为10，并直接写出点E的坐标． 题型四 中心对称与中心对称图形 10．阅读理解，并解答问题： 观察发现： 如图1是一块正方形瓷砖，分析发现这块瓷砖上的图案是按图2所示的过程设计的，其中虚线所在的直线是正方形的对称轴． 问题解决： 用四块如图1所示的正方形瓷砖按下列要求拼成一个新的大正方形，并在图3、图4、图5中各画一种拼法． (1)图3中所画拼图拼成的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形． (2)图4中所画拼图拼成的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形； (3)图5中所画拼图拼成的图案是中心对称图形，但不是轴对称图形． 11．作图题： (1)在图1中画四边形关于点A对称的四边形； (2)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：如图2，在中． ①作的角平分线交于点D； ②作边上的垂直平分线l交于点G； 连结，若，，则_______． 12．如图，在正方形网格中有，直线直线，垂足为． (1)请画出将先向右平移4个单位，再向下平移2个单位后的；在平移的过程中，线段扫过的面积为_____； (2)请画出以点为对称中心的对称图形； (3)与是否成中心对称？若是，画出它们的对称中心；若不是，说明理由． 题型五 中心对称中的坐标问题 13．已知点与点关于原点对称，求点M、N两点的坐标． 14．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向右平移6个单位长度得到，请画出； (2)画出关于点O的中心对称图形； (3)若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标：___________． 15．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)将绕原点O旋转，画出旋转后的； (2)在（1）中，的顶点的坐标是______，的坐标是______； (3)在（1）中，若内部一点P的坐标为，则点P的对应点的坐标是_____． 题型六 平行四边形的判定 16．如图，四边形是平行四边形，E为延长线上一点，，连接交于点F，连接、、． (1)若，求的度数； (2)已知，求证：四边形是平行四边形． 17．如图，在中，，，将绕点A按逆时针方向旋转90°得到． (1)线段的长是______，的度数是______°； (2)连接，求证：四边形是平行四边形． 18．如图，四边形中，、，过点A作交的延长线于点E．求证： (1)； (2)四边形为平行四边形． 题型七 平行四边形的性质 19．如图，在四边形中，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 20．如图，在等腰中，，将绕点A逆时针旋转一定角度得到，点B，C的对应点分别是D，E．连结交于点，连结交于点． (1)当，时，的度数是___________． (2)当，时，求的长． 21．已知：如图，在平行四边形中，分别是和的角平分线，交于点E，F连接． (1)求证：互相平分； (2)若，求四边形的周长和面积． 题型八 平行四边形中的多结论问题 22．有下列说法：①平行四边形具有四边形的所有性质；②平行四边形是中心对称图形；③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形.其中正确说法的序号是（    ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 23．下列关于“平行四边形”的说法： ① 平行四边形的对角线互相垂直平分； ② 平行四边形既是轴对称图形，也是中心对称图形； ③ 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； ④ 一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形． 其中说法正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．有下列说法： ①平行四边形具有四边形的所有性质； ②平行四边形是轴对称图形； ③平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形． 其中正确说法的序号是(   ) A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 题型九 反证法 25．用反证法证明“在中，若，则”时，应先假设（   ） A． B． C． D． 26．若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是直角或钝角”时，则首先应该提出假设是：这个四边形中 ． 27．小明在解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤： （1）所以，这与三角形内角和定理相矛盾． （2）所以． （3）假设． （4）那么，由，得，即，即． 请你写出这四个步骤正确的顺序 ． 题型十 矩形的判定 28．如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 29．如图，已知四边形是菱形，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，则四边形的面积为________． 30．如图，在平行四边形中，M、N分别为和的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，那么四边形是矩形吗？证明你的结论． 题型十一 矩形的性质 31．如图，在中，，，垂足分别为G、H，E、F分别是、的中点，连接、、、． (1)求证：； (2)连接，若，，求四边形的面积． 32．如图，，为上一点．小明利用直尺和圆规完成了以下作图：连接，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接并延长交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，在上取一点，使，连接．若，求的度数． 33．如图1，在中，，．为的外角的平分线，，垂足为点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作一个菱形，使为菱形的一条对角线（保留作图痕迹，不要求写作法）． (2)如图2，点为线段上一动点，连接，交于点． ①在不添加其它线的前提下，请添加一个条件：______，使得四边形为矩形，并说明理由； ②当平分时，求四边形的面积． 题型十二 矩形与折叠问题 34．如图，有一张矩形纸片，点E在上，点F在上，将这张纸片沿所在直线翻折，使得点C与点A重合，点D的对应点为点G，连接．若，，则的值为（    ） A．20 B．40 C． D． 35．如图，在矩形中，，，沿着过矩形顶点的一条直线将折叠，使点的对应点落在矩形的边上，则折痕的长为 ． 36．综合与实践：如图，矩形是一张纸，其中，小亮用该纸玩折纸游戏. 操作：将纸对折，使、重合，折痕为，展开后，连接； 操作：沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为，展开后，连接MN； (1)若，求的长； (2)求证：点为的中点. 题型十三 菱形的判定 37．如图，在平行四边形中，E，F是对角线上的点，且，连接，． (1)求证； (2)连接，若，判断四边形的形状，并说明理由． 38．如图，四边形是正方形，对角线交于点O，点E、F是对角线上两点，且，连接、、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若正方形的面积为18，，求菱形的面积． 39．如图，中，D是边上一点，E是的中点，过点C作的平行线交的延长线于F． (1)求证：， (2)连接、，若，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 题型十四 菱形的性质 40．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点．如图点A、B、C、D均为格点．请用无刻度的直尺完成下列作图． (1)图中的中， ． (2)在图中找一格点E，使平分（保留作图痕迹）． 41．已知：如图，在中，，点D是的中点，点E是的中点，过点C作交的延长线于点F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 42．如图，在平行四边形中，作对角线的垂直平分线交于点E，交于点F，连接，． (1)判断四边形是哪种特殊的四边形，并说明理由； (2)若，，求四边形的面积． 题型十五 菱形的面积计算 43．如图，在中，D，E分别是，的中点，，延长到点F，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 44．如图，在中，是边上的中线，是的中点，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积． 45．如图，的对角线、相交于点O，，与交于点F． (1)在不添加新的点和线的前提下，增加一个条件：______，使得四边形是矩形，并说明理由； (2)若，求的面积． 题型十六 正方形的判定 46．实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片沿过D的直线折叠，使点C落在上的点处，得到折痕，然后再把纸片展平；第二步：如图2，将图1的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好落在上的点处，得到折痕交于点M，再把纸片展平．问题解决： (1)如图1，求证：四边形是正方形． (2)如图2，若，求的面积． 47．如图，在矩形中，，，菱形的三个顶点、、分别在矩形的边、、上，，连接． (1)若，求证：四边形为正方形； (2)若，求的面积． 48．如图，在正方形中，对角线，相交于点O，P是上的一个动点，连接，作，交的延长线于点E，以和为邻边作． (1)观察与猜想：是 （填“矩形”、“菱形”或“正方形”）； (2)请验证你的猜想． 题型十七 正方形的性质 49．概念提出 若四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫做这个四边形的“巧分线”，这个四边形叫“巧妙四边形”，若一个四边形有两条巧分线，则称为“绝妙四边形”． (1)下列四边形一定是巧妙四边形的是　 　；（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． (2)初步应用 在绝妙四边形ABCD中，AC垂直平分BD，若∠BAD＝80°，求∠BCD的度数． (3)深入研究 在巧妙四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠A＝90°，AC是四边形ABCD的巧分线，请直接写出∠BCD的度数． 50．数学书第69页数学活动《折纸与证明》中提到：折纸，常常能够为证明一个命题提供思路和方法． 【初步体验】 操作①：取一张矩形纸，将边折叠到边上，折痕为，点的对应点为．（如图1所示） 操作②：将折叠到边上，折痕为，（如图2所示） （1）若与恰好重合，则 ； 【初步探究】 在操作①中，沿剪开，易得一张正方形纸，让我们继续折叠下去… 操作③：把正方形对折后再展开，折痕为； 操作④：点在边上，翻折，使得点落在折痕上的点处，连接，则是等边三角形；（如图3所示） （2）求证：是等边三角形； 【深入探究】 操作⑤：把正方形对折后再展开，折痕为； 操作⑥：将沿翻折到位置，延长交于点，则点是的三等分点．（如图4所示） （3）通过计算证明：点是的三等分点． 51．【问题探究】 如图，在中，点O是上的任意一点（不与点A、C重合），过点O平行于的直线l分别与，的外角的平分线交于点E、F，连接，． （1）求证：； （2）如图2，点O是的中点，判断与的数量关系，与的位置关系，并说明理由； 【问题拓展】 （3）在（2）的条件下，若，，，求四边形的周长． 题型十八 正方形的折叠问题 52．如图，已知正方形，边长为12．现将正方形沿折叠，使得点折到边上的点，且折痕，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D． 53．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上，将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则点的坐标为 ． 54．如图，取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下： (1)【课本再现】 第一步：如图1，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：在上选一点P，沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接，根据以上操作，当点M在上时，___________； (2)【类比应用】 如图2，现将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接，当点M在上时，求的度数； (3)【拓展延伸】 在（2）的探究中，正方形纸片的边长为，改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接，并延长交于点Q，连接．当时，请求出的长． 题型十九 中点四边形 55．顺次连结一个四边形各边的中点所得的四边形是矩形，那么这个四边形一定是（    ） A．矩形 B．菱形 C．对角线相等的四边形 D．对角线垂直的四边形 56．如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，则下列命题中：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中是真命题的序号是 ． 57．如果四边形的四边中点依次是E、F、G、H，那么四边形是 形．如果，，那么四边形的周长等于 cm． 题型二十 三角形的中位线 58．如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离，可以在外选一点C，连接，，并分别找出它们的中点D，E，连接．现测得，，，则 m． 59．如图，在矩形中，，，点M是平面内任意一点，连接，点N是的中点，连接，若，则的最大值为 ． 60．综合与实践 问题呈现： 如图①，在四边形中，，， 求证：平分． 问题解决： 小明在解决问题时发现可以通过构造全等三角形来解决问题，而且他找到了两种“构造”方案： 方案一：如图②，过作于，于； 方案二：如图③，延长至，使． （1）请你选择其中一种“构造”方案，写出完整的证明过程． 思维发散： （2）如图④，在等边中，点是的中点，，与交于点，与交于点，请直接写出，和的数量关系． 题型二十一 图形的旋转压轴 61．如图，已知，，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，作点关于直线的对称点，连接交直线于点． (1)若，则的度数为______； (2)猜想线段、、之间的数量关系，并证明； (3)若，当长为时，求的面积． 62．在四边形中，，，，，则的最大值为 ． 63．如图，已知是直角三角形，，现在将绕着点A逆时针旋转到，将绕着点A顺时针旋转到，连接，则点A到直线的距离为 ． 题型二十二 中心对称压轴 64．在平面直角坐标系中有三个点，点关于的对称点为关于对称点关于的对称点为，按此规律继续可以以为对称中心重复前面的操作，依次得到，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 65．如图，在平面直角坐标系中，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称，……．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是 ．    66．一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称．    (1)如图1，和是外的两个等边三角形，用旋转的知识说明和成中心对称． (2)如图2，是一段不规则曲线，是以为圆心的圆的圆周，是圆内一定点．过求作直线，使得与，分别相交于点，，且． （要求：用直尺和圆规作图，保留作图的痕迹，写出必要的文字说明） 题型二十三 平行四边形的压轴问题 67．如图，在中，，，，，为斜边上两动点，且，连接，，则的最小值为 ． 68．定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线，点，在直线上，点，在直上，若，则四边形是半对角四边形．． (1)如图2，点是平行四边形的边上一点，，，．若四边形为半对角四边形，求平行四边形的面积； (2)如图3，以平行四边形的顶点为坐标原点，边所在直线为轴，对角线所在直线为轴，建立平面直角坐标系．点是边上一点，满足．求证：四边形是半对角四边形； (3)在（2）的条件下，当，时，将四边形向左平移4个单位成为四边形后，为平面上一点，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 69．【方法运用】如图①，平行四边形的对角线和相交于点O，过点O且与、分别相交于点E、F，，的周长为10，求的值． 【拓展提升】如图②，平行四边形的对角线和相交于点O，过点O且与、的延长线分别相交于点E、F，连结点、，若，的面积为1，则四边形的面积为____________． 【拓展应用】如图③，若四边形是平行四边形，过点O作直线分别交边、于，过点O作直线分别交边、于G、H，且，若，，，则的长度是多少？    题型二十四 矩形的压轴问题 70．已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在线段上以每秒个单位长的速度由点向运动． 设动点的运动时间为秒． (1)当 时（直接写出的值），四边形是平行四边形； (2)在线段上是否存在一点，使得四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在线段上有一点且，求四边形的周长最小值． 71．几何探究 【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点．在实验与探究中，小新发现无论正方形绕点怎样转动，之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明即可推导出来．请帮助小新完成下列问题： ①求证； ②连接，则之间的数量关系是____________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度． 72．折纸操作简单，但数学趣味丰富，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 操作1 如图1，将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕：再次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，点，的对应点分别为，展平纸片，连接，，． 问题1 求的度数． 问题2 判断线段与有怎样的位置关系？请证明你的结论． 操作2 如图2，N为矩形纸片的边上的一点，连接，在上取一点，折叠纸片，使，两点重合，展平纸片，得到折痕；沿着直线l折叠纸片，使得点B、P分别落在，上，对应点分别为，，展平纸片，连接，． 问题3 写出与之间的数量关系，并说明理由． 题型二十五 菱形的压轴问题 73．【阅读理解】如图1，在矩形中，若，由勾股定理，得，同理，故． 【探究发现】如图2，四边形为平行四边形，若，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由． 【尝试应用】如图3，已知为的一条中线，，求的长． 【拓展提升】如图4，在矩形中，若，点P在边上，则的最小值为 ． 74．如图，已知的顶点分别在直线：和上，是坐标原点，当对角线的长最小时，点的坐标为 ． 75．小星学习了正方形的相关知识后，对正方形进行了探究． 如图，为正方形的一条对角线，点E为上任意一点（点E不与点B，D重合），点G为中点，过点E作交边于点F，延长交于点H． (1)问题探究： 如图①，连接，则与的位置关系为______，与的数量关系为______； (2)问题解决： 如图②，连接，求证：； (3)拓展延伸： 如图③，连接并延长交于点M、连接，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 题型二十六 正方形的压轴问题 76．如图，在矩形中，，，的平分线交于点，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若．则线段的长为（    ）． A．2 B． C．3 D． 77．如图，在正方形中，，对角线、交于点，点是的中点，点是上的动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则的最小值为 ． 78．如图1，已知矩形纸片，，，将纸片进行如下操作：将纸片沿折痕进行折叠，使点A落在边上的点E处，点F在上（如图2），则 ；然后将绕点F旋转到，当过点C时旋转停止，则 ．    题型二十七 平行四边形的存在性问题 79．如图，平面直角坐标系中，，，，，直线过A点，且与y轴交于D点． (1)求点A、点B的坐标； (2)试说明：； (3)若点M是直线上的一个动点，在x轴上是否存在另一个点N，使以O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 80．如图，直线分别与x轴，y轴交于A、B两点，与直线交于点． (1)点坐标为(________，________)． (2)在直线上有一点E，过点E作y轴的平行线交直线于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，以、、、为顶点四边形是平行四边形； (3)若点P为直线上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得、、、四个点能构成一个矩形．若存在，直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 81．在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，坐标为，点C在第一象限内，现将矩形绕点O逆时针旋转，得到矩形． (1)如图1，当时，连接，相交于点E，连接．若，求b与a之间的函数关系式； (2)已知．当点刚好落在边上，如图2，则______；此时，点M是x轴上任意一点，点N是平面内任意一点，是否存在以O，，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下继续旋转，如图3，连接，，所在直线相交于点F，点G为的中点，连接．求旋转过程中的最小值，以及点F对应的坐标． 题型二十八 平行四边形中的最值问题 82．如图，在矩形中，，点P，Q分别在上，，线段在上，且，连接，则的最小长度为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 83．在菱形中，，为中点，为对角线上一动点，连结和，则的值最小为 ． 84．请你认真阅读思考下面的材料，完成相关问题． 【数学模型】 如图①，A，B是直线l同旁的两个定点，在直线l上确定一点P，使的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则点P即为所求．此时，的值最小，且 【模型应用】 (1)如图②，经测量得A，B两点到河边l的距离分别为米，米，且米．在l上确定一点P，则的最短路径长为______米； (2)如图③，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上一个动点，求的最小值； (3)如图④，在平面直角坐标系中，点，．请在x轴上确定一点P，使的值最小，并求出的最小值． 题型二十九 平行四边形中的翻折问题 85．综合与实践 在矩形中，，，将沿翻折，使顶点落在点处． 【初步探究】 （1）如图①，若点在线段上，点恰好落在对角线上，则的长为________________； 【深入思考】 （2）若点在射线上，点在矩形外，且满足，在图②中用无刻度的直尺和圆规作出折痕（不写作法，保留痕迹），并求的长； 【拓展提升】 （3）若点在线段上，点是线段的三等分点，现将沿翻折，点对应点为点，且、、三点共线，求的长． 86．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B的坐标分别为，，点D为对角线中点，点E在x轴上运动，连接，把沿翻折，点O的对应点为点F，连接． (1)当点F在第四象限时(如图1)，求证：． (2)当点F落在矩形的某条边上时，求的长． (3)是否存在点E，使得以D，E，F，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 87．如图1，长方形中，，点E是射线上一个动点，连接，将沿直线翻折得到． (1)若，则的度数是_____________； (2)若， ①在图（2）中用无刻度的直尺和圆规作出点F（不写作法，保留痕迹）． ②求此时线段的长度． (3)设直线与线段交于点G，P、O分别是线段上的两个动点，当的面积为6时，请直接写出的最小值． 题型三十 三角形中位线压轴 88．如图1，已知正方形中，E为延长线上一点，且，M、N分别为、的中点，连接交于O，交于H点． (1)求证：； (2)求证：； (3)过A作于P点，连接，则的值． 89．如图，在中，，，，点D是平面内到点A的距离等于4的任意一点，点M是的中点，则的取值范围是 ．    90．【提出问题】 （1）如图，四边形中，对角线，交于点，点，，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，若，求四边形的周长． 【解决问题】 （2）如图，在等边与等边中，点在的延长线上，点在的同侧，连接，点，分别是，的中点，连接，若，，求的长． （3）如图，在等腰与等腰中，，，，，点在的上方，连接，，点，，分别是，，的中点，连接，则的面积为___________． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$