专题05 二次根式（考题猜想，易错压轴必刷54题18种题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（苏科版）

专题05 二次根式（易错压轴必刷54题18种题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 二次根式的相关概念 · 题型二 求二次根式的值 · 题型三 求二次根式的参数 · 题型四 二次根式有意义的条件 · 题型五 利用二次根式的性质化简 · 题型六 二次根式的混合运算 · 题型七 最简二次根式 · 题型八 同类二次根式 · 题型九 分母有理化 · 题型十 已知字母的值化简求值 · 题型十一 已知条件式化简求值 · 题型十二 比较二次根式的大小 · 题型十三 二次根式的应用 · 题型十四 复合二次根式的化简压轴 · 题型十五 二次根式的混合运算压轴 · 题型十六 分母有理化压轴 · 题型十七 二次根式的应用压轴 · 题型十八 二次根式的新定义问题 题型一 二次根式的相关概念 1．下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列式子中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．在式子① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ 中，是二次根式的有 （填写序号）． 题型二 求二次根式的值 4．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B． C． D．2 5．当时，二次根式的值为 ． 6．当x分别取下列值时，求二次根式的值． (1)x＝0． (2)x＝2． (3)x＝﹣． 题型三 求二次根式的参数 7．已知是整数，则自然数m的最小值是（　　） A．2 B．3 C．8 D．11 8．已知为整数，则正整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．若，满足，则 ． 题型四 二次根式有意义的条件 10．要使代数式有意义，的取值应满足（　　） A． B． C． D． 11．若在实数范围内有意义，则的取值范围是 . 12．要使下列各式有意义，应是怎样的实数？ (1)； (2)； (3)； (4)． 题型五 利用二次根式的性质化简 13．已知，则化简的结果是（　　） A． B． C． D． 14．若，则 ． 15．化简： (1)； (2)． 题型六 二次根式的混合运算 16．计算 (1)； (2)． 17．计算：． 18．计算题： (1)； (2)． 题型七 最简二次根式 19．若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 20．若最简二次根式与最简二次根式相等，则 ． ． 21．若和都是最简二次根式，则 ， ． 题型八 同类二次根式 22．有下列二次根式：①、②、③、④，其中，与是同类二次根式的是（   ） A．①③ B．②③ C．①④ D．③④ 23．如果最简二次根式和是同类二次根式，那么这两个二次根式的和为 ． 24．化简下列各组二次根式，看看它们是不是同类二次根式： (1)与 (2)与 (3)与 题型九 分母有理化 25．阅读并回答问题． 化简：． 解：（方法一）通过分子，分母同乘分母的有理化因式，达到化去分母中的根号的目的，即． （方法二）先将分子变形，进而通过约分，化去分母中的根号，即．类似地，，或．者，．又如，，或者. 试用上述方法化简： (1)； (2)． 26．阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰到形如的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；．以上这种化简的步骤叫作分母有理化． 还可以用以下方法化简：． (1)化简：__________；__________； (2)请用不同的方法化简：； (3)化简：． 27．探究： 观察下列等式： ； ； ； …… 解答下列问题： (1)模仿：化简：__________，__________． (2)拓展：比较和的大小． (3)运用：计算 题型十 已知字母的值化简求值 28．如果，则的值是（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 29．若，则 ． 30．求值： (1)已知，求的值； (2)已知，求代数式的值． 题型十一 已知条件式化简求值 31．已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 32．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 33．已知，则代数式的值为 ． 题型十二 比较二次根式的大小 34．比较大小： ． 35．比较大小： ， ． 36．【认识概念】 一、两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 如：；，我们称的一个有理化因式为的一个有理化因式是． 二、如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 如：． 【理解应用】 （1）填空：的有理化因式是_____；将分母有理化得_____； （2）化简：； 【拓展应用】 （3）利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由； （4）已知有理数满足，求的值． 题型十三 二次根式的应用 37．已知矩形的长为，宽为，求矩形的周长和对角线的长． 38．如图，有一张边长为 的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，每个小正方形的边长为 ．求剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积． 39．有一块长方形木板，木工采用如图的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)求原长方形木板的面积； (2)如果木工想从剩余的木块中（阴影部分）截出长为，宽为的长方形木条，估计最多能裁出______块这样的木条？请你直接写出答案．（参考数据：） 题型十四 复合二次根式的化简压轴 40．【数学经验】 我们已经知道，，通过这种办法可以把原式的分母转化成不含根号的形式，类似的形如的代数式也可以借助平方差公式转化成分母不含根号的形式： 例如：． 【深入探索】如何化简？ 【数学建模】形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，这样，，那么便有：， 【问题解决】化简． 解：首先把化为，这里，．由于，． 即，． ． 利用上述解决问题的方法解答下列问题： (1)化简： ①； ②． (2)已知中，，，，求边的长为多少？（结果化成最简形式）． 41．阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简： 且，． (1)填上适当的数：｜__________｜__________； (2)当时，化简． 42．阅读下列材料回答问题： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，则，，那么便有．如，，，，． (1)填空：______，______； (2)化简： ①， ②； (3)计算：． 题型十五 二次根式的混合运算压轴 43．①我们在学习二次根式的时候发现：形如的式子可以进行分母有理化，过程如下．请利用以上阅读材料解决以下问题． (1)__________； (2)求的值． (3)比较________（用“”、“”或“”填空）． 44．计算： (1)； (2)． 45．先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：．请完成下列问题： (1)的有理化因式是_____；_____． (2)利用这一规律计算：的值． 题型十六 分母有理化压轴 46．比较与的大小可以采用下面的方法： ； ． 显然，所以． 仔细研读上面的解题方法，然后完成下列问题： (1)猜想：与的大小关系； (2)尝试计算：． 47．阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式运算时，我们有时会得到如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ；； ． 以上这种化简的过程叫分母有理化． 还可以用以下方法化简： ． (1)用不同的方法化简． (2)化简：． 48．阅读理解下列材料，并解决相应的问题． ［材料一］两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是 （写出一个即可），的有理化因式是 （写出一个即可）； ［材料二］如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）请利用分母有理化化简计算：． ［材料三］与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化．比如：． （3）试利用分子有理化比较和的大小．并说明理由． 题型十七 二次根式的应用压轴 49．如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接、．已知，，，设． (1)用含x的代数式表示的长． (2)点C在上什么位置时，的值最小？最小值是多少？ (3)根据（2）中的规律和结论，请通过构图求代数式的最小值． 50．阅读材料：用配方法求最值． 已知，为非负实数， ，当且仅当“”时，等号成立． 例：已知，求函数的最小值． 解：令，，则有， 得， 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上信息回答下列问题： (1)已知，则函数取到最小值，最小值为 ；已知，则的最小值是 ． (2)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (3)如图，四边形的对角线，交于点，，，求四边形的面积的最小值． 51．阅读材料: 若两个正数，，则有下面不等式，当时取等号，我们把叫作正数，的算术平均数，把叫作正数，的几何平均数，于是上述不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具．不等式可以变形为不等式，当且仅当时取到等号．(，均为正数) 例：已知x>0，求的最小值． 解：由得，当且仅当，即时，有最小值，最小值为．根据上面材料回答下列问题： (1)______；______；(用“”“”“”填空) (2)当，则的最小值为，此时_____； (3)当，则的最小值为______； (4)用篱笆围一个面积为的长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短篱笆是多少？ 题型十八 二次根式的新定义问题 52．在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下： 对于两个数a，b， 称为a，b这两个数的算术平均数， 称为a，b这两个数的几何平均数， 称为a，b这两个数的平方平均数． 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整： (1)若，，则 ， ， ； (2)小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N 没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题： 如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表 ．    ①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为，的图形； ②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是：__________（把M，N，P从小到大排列，并用“”或“”号连接）． 53．在数学中，我们经常遇到形如的二次根式，为了简化计算，可以通过“有理化”将其转化为更简单的形式．例如：，这种方法称为“分母有理化”．类似地，我们也可以对分子进行有理化． 问题： (1)将下列根式进行分母有理化，并化简： (2)定义一种新运算“”：当时，；当时， 已知：， ①求的值； ②若，求的值． 54．阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】 如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：， 当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】 已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】 如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】 根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________； (2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数的值有__________个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$专题05 二次根式（易错压轴必刷54题18种题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 二次根式的相关概念 · 题型二 求二次根式的值 · 题型三 求二次根式的参数 · 题型四 二次根式有意义的条件 · 题型五 利用二次根式的性质化简 · 题型六 二次根式的混合运算 · 题型七 最简二次根式 · 题型八 同类二次根式 · 题型九 分母有理化 · 题型十 已知字母的值化简求值 · 题型十一 已知条件式化简求值 · 题型十二 比较二次根式的大小 · 题型十三 二次根式的应用 · 题型十四 复合二次根式的化简压轴 · 题型十五 二次根式的混合运算压轴 · 题型十六 分母有理化压轴 · 题型十七 二次根式的应用压轴 · 题型十八 二次根式的新定义问题 题型一 二次根式的相关概念 1．下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的识别，形如的式子叫做二次根式，据此可得答案． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，不符合题意； B、是二次根式，符合题意； C、当时，不是二次根式，不符合题意； D、不是二次根式，不符合题意； 故选：B． 2．下列式子中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据二次根式的性质逐项分析即可． 【详解】解：A．无意义，不能化简，故不正确； B．无意义，不能化简，故不正确； C．，正确； D．，故不正确． 故选C． 3．在式子① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ 中，是二次根式的有 （填写序号）． 【答案】③④⑥ 【分析】本题考查了二次根式的识别，形如这样的式子称为二次根式，根据这个定义去判断即可． 【详解】解：，中被开方数是负数，不是二次根式，是立方根，也不是二次根式，其余均是二次根式； 故答案为：③④⑥． 题型二 求二次根式的值 4．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查二次根式，将已知数值代入原式并进行正确的运算是解题的关键．将代入二次根式中计算即可． 【详解】解：当时， 原式， 故选：C 5．当时，二次根式的值为 ． 【答案】1 【分析】直接将代入进行计算即可． 【详解】解：当时， ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了代数式的值，二次根式的计算，题目比较简单． 6．当x分别取下列值时，求二次根式的值． (1)x＝0． (2)x＝2． (3)x＝﹣． 【答案】(1)； (2)3； (3)2； 【分析】（1）把x的值代入，计算求值即可； （2）把x的值代入，计算求值即可； （3）把x的值代入，计算求值即可． 【详解】（1）解：把x＝0，代入二次根式得： ＝； （2）解：把x＝2，代入二次根式得： ＝＝＝3； （3）解：把x＝﹣，代入二次根式得： ＝＝2； 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质是解题关键． 题型三 求二次根式的参数 7．已知是整数，则自然数m的最小值是（　　） A．2 B．3 C．8 D．11 【答案】B 【分析】先根据二次根式求出m的取值范围，再根据是整数对m的值进行分析讨论． 【详解】解：由题意得：，解得， 又因为是整数， ∴是完全平方数， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，自然数m的值可以是3、8、11、12，所以m的最小值是3， 故答案选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的化简及自然数的定义，掌握二次根式的化简法则及自然数是指大于等于0的整数是解答本题的关键． 8．已知为整数，则正整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据开平方的运算即可求解． 【详解】解：∵为整数， ∴是某个数的平方， ∴当时，， ∴正整数的最小值为， 故选：． 【点睛】本题主要考查求一个数的算术平方根，掌握开平方运算的方法是解题的关键． 9．若，满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 故答案为：． 题型四 二次根式有意义的条件 10．要使代数式有意义，的取值应满足（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式有意义的条件，形如的式子叫作二次根式解答． 本题考查了二次根式有意义条件，正确理解是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，且， 解得，且， 故， 故选：D． 11．若在实数范围内有意义，则的取值范围是 . 【答案】且 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件列出关于一元一次不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：根据题意有：， 解得：且， 故答案为：且． 12．要使下列各式有意义，应是怎样的实数？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)任意实数 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式有意义的条件是解题关键． （1）根据二次根式中的被开方数是非负数，即可得出答案． （2）根据二次根式中的被开方数是非负数，即可得出答案． （3）根据二次根式中的被开方数是非负数，即可得出答案． （4）根据二次根式中的被开方数是非负数，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得：，解得：； （2）解：根据题意可得：，解得：； （3）解：根据题意可得：，解得：； （4）解：根据题意可得：，故应是任意实数． 题型五 利用二次根式的性质化简 13．已知，则化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质．根据二次根式的性质化简即可得． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 14．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值，掌握二次根式的性质即是解题的关键；根据二次根式的性质及绝对值的意义即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ； 故答案为：． 15．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简 （1）利用二次根式的性质化简即可． （2）利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型六 二次根式的混合运算 16．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算和二次根式的除法计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）直接根据二次根式的除法计算法则求解即可； （2）先利用完全平方公式和二次根式乘法计算法则去括号，然后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先计算二次根式乘除法和化简二次根式，再计算二次根式加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 18．计算题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算： （1）先化简二次根式，再进行加减运算即可； （2）先利用乘法分配律及平方差公式计算，再合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型七 最简二次根式 19．若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式是解题的关键． 由题意知，，则，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 解得，， 故选：B． 20．若最简二次根式与最简二次根式相等，则 ． ． 【答案】 3 5 【分析】本题考查最简二次根式的定义，同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 根据题意可知，同类二次根式的被开方数相同，根指数相同，可得答案． 【详解】解：最简二次根式与最简二次根式相等， ∴， 解得：，． 故答案为：3，5． 21．若和都是最简二次根式，则 ， ． 【答案】 1 2 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义解答即可. 【详解】根据题意得： 解得 故答案为：，． 题型八 同类二次根式 22．有下列二次根式：①、②、③、④，其中，与是同类二次根式的是（   ） A．①③ B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简、分母有理化、同类二次根式等知识．将题中四个数分别化成最简二次根式，再结合同类二次根式的定义解题即可． 【详解】解：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是①④ 故选：C． 23．如果最简二次根式和是同类二次根式，那么这两个二次根式的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式的知识，一元一次方程，注意掌握同类二次根式化为最简二次根式后被开方数相同且根指数均为2．根据同类二次根式的被开方数相同可得出关于的方程，解出的值，再求和即可． 【详解】解：∵最简二次根式和是同类二次根式， ∴， 解得：． 故这两个二次根式的和为， 故答案为：． 24．化简下列各组二次根式，看看它们是不是同类二次根式： (1)与 (2)与 (3)与 【答案】(1)是 (2)是 (3)不是 【分析】本题考查同类二次根式的识别，几个二次根式化简成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）每个二次根式化简成最简二次根式后，根据定义判断即可． （2）每个二次根式化简成最简二次根式后，根据定义判断即可． （3）每个二次根式化简成最简二次根式后，根据定义判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴与是同类二次根式； （2）解：∵， ∴与是同类二次根式； （3）解：∵， ∴与不是同类二次根式． 题型九 分母有理化 25．阅读并回答问题． 化简：． 解：（方法一）通过分子，分母同乘分母的有理化因式，达到化去分母中的根号的目的，即． （方法二）先将分子变形，进而通过约分，化去分母中的根号，即．类似地，，或．者，．又如，，或者. 试用上述方法化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干的方法一和方法二，进行分母有理化，即可作答． （2）模仿题干的方法一和方法二，进行分母有理化，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，方法一：； 方法二：； （2）解：依题意，方法一： ； 方法二：； 26．阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰到形如的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；．以上这种化简的步骤叫作分母有理化． 还可以用以下方法化简：． (1)化简：__________；__________； (2)请用不同的方法化简：； (3)化简：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，关键是熟练掌握分母有理化的方法． （1）第一个式子，分子、分母乘以即可化简；第二个式子，根号内分子、分母乘以，即可； （2）根据例题方法化简即可； （3）先根据例题方法求解即可，然后合并二次根式即可； 【详解】（1），， 故答案为：，； （2）解：方法一： ； 方法二： ； （3）解： ， ． 27．探究： 观察下列等式： ； ； ； …… 解答下列问题： (1)模仿：化简：__________，__________． (2)拓展：比较和的大小． (3)运用：计算 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（）仿照例题化简即可； （）先求出和的倒数，进而比较倒数即可判断求解； （）利用二次根式的化简方法对括号内的各项化简，进而利用平方差公式计算即可求解； 本题考查了二次根式的分母有理化，掌握二次根式运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：，； （2）解：， ， ， ， ； （3）解： ． 题型十 已知字母的值化简求值 28．如果，则的值是（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式和平方差公式，先求出的值，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：B． 29．若，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值．先分母有理化求出，再根据完全平方公式变形，得到，最后整体代入求出答案即可． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：10． 30．求值： (1)已知，求的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的运算、完全平方公式、平方差公式、代数式的求值等问题，利用公式进行变形简化计算是解题的关键． （1）先求出，，，再根据平方差公式进行变形简化计算，即可求解； （2）先利用完全平方公式进行变形简化计算，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：， 当时， 原式． 题型十一 已知条件式化简求值 31．已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式及二次根式的化简求值的知识．将二次三项式变形为的形式后，再整体代入已知条件即可得到答案． 【详解】解：，， ， 故选：B． 32．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方公式，二次根式的混合运算，根据完全平方公式变形，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故选：B． 33．已知，则代数式的值为 ． 【答案】11 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是运用代入法和合并同类项的方法进行计算． 将原式进行变形，再将代入式子中，进行计算，整理；再将代入式子中进行计算即可． 【详解】 ． 故答案为： 11． 题型十二 比较二次根式的大小 34．比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，先利用平方法比较与，然后再利用计算法比较与． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 35．比较大小： ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，根据即可得到答案；求出，，再由即可得到答案． 【详解】解：； ∵，，且， ∴， 故答案为：；． 36．【认识概念】 一、两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 如：；，我们称的一个有理化因式为的一个有理化因式是． 二、如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 如：． 【理解应用】 （1）填空：的有理化因式是_____；将分母有理化得_____； （2）化简：； 【拓展应用】 （3）利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由； （4）已知有理数满足，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4） 【分析】本题考查了互为有理化因式，分母有理化的概念，正确理解互为有理化因式，分母有理化是解题的关键． ［理解应用］（1）根据互为有理化因式定义，分母有理化定义解答即可； （2）先分母有理化，然后再把被开方数相同的二次根式合并解答即可． ［拓展应用］（3）可以把分子有理化，根据分子相等，再通过比较分母大小进行比较； （4）先把等式左边各项分母有理化，根据为有理数，再列方程求解即可． 【详解】解：（1）， 的有理化因式为， 故答案为：； ， 故答案为：． （2）原式 ， ， ； （3），理由如下： ， ； （4） ， ． 题型十三 二次根式的应用 37．已知矩形的长为，宽为，求矩形的周长和对角线的长． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的实际应用与勾股定理，解题关键是掌握二次根式的运算法则． 将长与宽的和乘以2即可求出周长，利用勾股定理即可求出对角线长． 【详解】解：矩形周长； 对角线长． 38．如图，有一张边长为 的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，每个小正方形的边长为 ．求剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式混合运算的应用，准确的计算是解题的关键．利用大正方形的面积减去四个小正方形的面积即可得出答案； 【详解】解：由题意，得 故剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积为 39．有一块长方形木板，木工采用如图的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)求原长方形木板的面积； (2)如果木工想从剩余的木块中（阴影部分）截出长为，宽为的长方形木条，估计最多能裁出______块这样的木条？请你直接写出答案．（参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的应用；熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案； （2）求出和的近似数，再根据题意解答． 【详解】（1）解： 两个正方形的面积分别为和， 这两个正方形的边长分别为和， 原矩形木板的面积为； （2）解：最多能裁出4块这样的木条．理由如下： ，， （块），（块）， （块）． 从剩余的木块（阴影部分）中截出长为，宽为的长方形木条，最多能裁出块这样的木条． 故答案为：． 题型十四 复合二次根式的化简压轴 40．【数学经验】 我们已经知道，，通过这种办法可以把原式的分母转化成不含根号的形式，类似的形如的代数式也可以借助平方差公式转化成分母不含根号的形式： 例如：． 【深入探索】如何化简？ 【数学建模】形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，这样，，那么便有：， 【问题解决】化简． 解：首先把化为，这里，．由于，． 即，． ． 利用上述解决问题的方法解答下列问题： (1)化简： ①； ②． (2)已知中，，，，求边的长为多少？（结果化成最简形式）． 【答案】(1)①  ② (2) 【分析】本题考查了符合二次根式的化简，勾股定理，掌握复合二次根式的化简方法是解答本题的关键． （1）①②根据复合二次根式的化简方法求解即可； （2）先由勾股定理求出，开方后利用复合二次根式的化简方法求解即可． 【详解】（1）解：①这里，，由于，， 即，   ． ②首先把化为， 这里，，由于，， 即，， ． （2）在中，由勾股定理得，， ， ，   ． 41．阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简： 且，． (1)填上适当的数：｜__________｜__________； (2)当时，化简． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． （1）将写成，将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． （2）将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：，，； （2）， ． 42．阅读下列材料回答问题： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，则，，那么便有．如，，，，． (1)填空：______，______； (2)化简： ①， ②； (3)计算：． 【答案】(1)； (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式： （1）先把变形为，进而得到，据此化简即可；同理可把变形为据此化简即可； （2）①根据进行化简即可；②根据进行化简即可； （3）先把原式变形为，进一步变形得到，据此化简即可． 【详解】（1）解： ； ； 故答案为：；； （2）解：① ； ② ； （3）解： ． 题型十五 二次根式的混合运算压轴 43．①我们在学习二次根式的时候发现：形如的式子可以进行分母有理化，过程如下．请利用以上阅读材料解决以下问题． (1)__________； (2)求的值． (3)比较________（用“”、“”或“”填空）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化． （1）根据平方差公式进行分母有理化可以解答本题； （2）先分母有理化，再合并同类二次根式即可； （3）根据分母有理化的方法计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ， ， ∴， ∴， 故答案为：． 44．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式性质， （1）先根据二次根式乘法及性质进行计算，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式乘法和除法进行计算，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 1； （2）原式 ． 45．先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：．请完成下列问题： (1)的有理化因式是_____；_____． (2)利用这一规律计算：的值． 【答案】(1)，． (2)2024 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、分母有理化、二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则等知识点．掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）根据有理化因式和平方差公式求解即可； （2）先分母有理化，再把括号内合并，然后利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴的有理化因式是； . 故答案为：，． （2）解： ． 题型十六 分母有理化压轴 46．比较与的大小可以采用下面的方法： ； ． 显然，所以． 仔细研读上面的解题方法，然后完成下列问题： (1)猜想：与的大小关系； (2)尝试计算：． 【答案】(1) (2)9 【分析】此题考查了分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同． （1）根据阅读材料中的方法将两式化简，即可做出比较； （2）原式变形后，计算即可得到结果． 【详解】（1）解：，． 显然， 所以． 所以 （2）解： 47．阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式运算时，我们有时会得到如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ；； ． 以上这种化简的过程叫分母有理化． 还可以用以下方法化简： ． (1)用不同的方法化简． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查阅读理解，涉及分母有理化等知识，读懂材料，理解材料中分母有理化方法是解决问题的关键． （1）根据阅读材料中的方法化简即可得到答案； （2）由材料中的方法先化简，再由二次根式加减运算求解即可得到答案． 【详解】（1）解：方法一： ； 方法二： ； （2）解： ． 48．阅读理解下列材料，并解决相应的问题． ［材料一］两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是 （写出一个即可），的有理化因式是 （写出一个即可）； ［材料二］如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）请利用分母有理化化简计算：． ［材料三］与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化．比如：． （3）试利用分子有理化比较和的大小．并说明理由． 【答案】（1）（答案不唯一），（答案不唯一）；（2）；（3） 【分析】本题考查分母有理化，估算无理数的大小及规律探索问题，熟练掌握分母有理化的步骤及方法是解题的关键． （1）根据有理化因式的定义即可求得答案； （2）根据分母有理化计算即可； （3）利用分母有理化得到，，然后比较大小即可． 【详解】解：（1）的有理化因式是（答案不唯一）， 的有理化因式是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一），（答案不唯一）； （2） ； （3）， ， ， ， ． 题型十七 二次根式的应用压轴 49．如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接、．已知，，，设． (1)用含x的代数式表示的长． (2)点C在上什么位置时，的值最小？最小值是多少？ (3)根据（2）中的规律和结论，请通过构图求代数式的最小值． 【答案】(1) (2)点A、C、E在一条直线上； (3)25 【分析】本题考查了勾股定理和最短路径问题，涉及到了二次根式等知识，解题关键是理解题意，会构造图形，利用了数形结合的思想方法． （1）利用勾股定理分别求出，，即可求解； （2）延长至F，使，连接，证明四边形是矩形，得到，求出，由两点之间线段最短，可知当点A、C、E在一条直线上时的值最小，即可求解； （3）利用前面两题的方法先构造出图形，再求解即可． 【详解】（1）解：已知，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴． （2）解：当点A、C、E在一条直线上时的值最小，最小值是； 理由如下：如图，延长至F，使，连接 由， 则，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由两点之间线段最短，可知当点A、C、E在一条直线上时的值最小，最小值是． （3）解： 如图，H为线段上一动点，分别过点P、Q作，连接、．已知，，，设． ∴，可知当点M、H、N在一条直线上时的值最小， 延长至G，使，连接， 同理可证四边形是矩形， ∴， ∴， 由两点之间线段最短，可知当点M、H、N在一条直线上时的值最小，最小值是25， ∴代数式的最小值是25． 50．阅读材料：用配方法求最值． 已知，为非负实数， ，当且仅当“”时，等号成立． 例：已知，求函数的最小值． 解：令，，则有， 得， 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上信息回答下列问题： (1)已知，则函数取到最小值，最小值为 ；已知，则的最小值是 ． (2)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (3)如图，四边形的对角线，交于点，，，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1)， (2)当时，函数取到最大值，最大值为 (3) 【分析】本题主要考查二次根式的计算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示得到，设，由此即可求解； （2）根据题意得到，则，此时有最大值，最大值为：，所以当时，函数取到最大值，由此即可求解； （3）设，则，结合题意得到，所以此时，，由此即可求解． 【详解】（1）解：函数， 令， ∴， ∴当且仅当，即时，取得最小值， 设， 当且仅当，即时，的最小值是4， 故答案为：，． （2）解：∵， 又∵， 当且仅当时，有最小值， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴此时有最大值，最大值为：； ∴当时，函数取到最大值，最大值为． （3）解：设，则， ∵， ∴， ∴； 当且仅当时，； 此时，， 故． 51．阅读材料: 若两个正数，，则有下面不等式，当时取等号，我们把叫作正数，的算术平均数，把叫作正数，的几何平均数，于是上述不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具．不等式可以变形为不等式，当且仅当时取到等号．(，均为正数) 例：已知x>0，求的最小值． 解：由得，当且仅当，即时，有最小值，最小值为．根据上面材料回答下列问题： (1)______；______；(用“”“”“”填空) (2)当，则的最小值为，此时_____； (3)当，则的最小值为______； (4)用篱笆围一个面积为的长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短篱笆是多少？ 【答案】(1)， (2)， (3) (4)这个长方形的长、宽为时：所用的篱笆最短，最短的篱笆是 【分析】本题考查了二次根式的性质，理解题意是解题的关键； （1）根据，当且仅当时取到等号．(，均为正数)即可求解． （2）根据例题的方法，，即可求解． （3）将看成整理，即，进而根据，代入即可求解； （4）设这个矩形的长为x米，根据宽=面积÷长，可得宽为米，则所用的篱笆长等于长加宽的和乘以2，根据阅读材料即可求解； 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵ ∴ 故答案为：，． （2）解：∵， ∴ ∴当，即时，有最小值，最小值为 故答案为：，． （3）解：∵ ∴ 设 ∴ 当时，即时，有最小值，最小值为 故答案为：． （4）设这个矩形的长为，所用的篱笆总长为， ∵围一个面积为的长方形花园， ∴宽为， ∴ ∵， ∴， 当且仅当时，即时有最小值，最小值为40． 时，=10， ∴当这个长方形的长、宽为时：所用的篱笆最短，最短的篱笆是． 题型十八 二次根式的新定义问题 52．在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下： 对于两个数a，b， 称为a，b这两个数的算术平均数， 称为a，b这两个数的几何平均数， 称为a，b这两个数的平方平均数． 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整： (1)若，，则 ， ， ； (2)小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N 没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题： 如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表 ．    ①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为，的图形； ②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是：__________（把M，N，P从小到大排列，并用“”或“”号连接）． 【答案】(1)，， (2)①画图见解析，② 【分析】本题考查了二次根式的应用、完全平方公式、正方形的性质等知识点，较难的是题（2）①，正确利用完全平方公式进行变形运算是解题关键． （1）将，分别代入求值即可得； （2）①分别求出，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得； ②根据（2）①中的所画的图形可得，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：当，时， ， ， ， 故答案为：，，； （2）解：①， 则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：   ， 则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：    ②由（2）①可知，，当且仅当，即时，等号成立， 都是正数， 都是正数， ， 53．在数学中，我们经常遇到形如的二次根式，为了简化计算，可以通过“有理化”将其转化为更简单的形式．例如：，这种方法称为“分母有理化”．类似地，我们也可以对分子进行有理化． 问题： (1)将下列根式进行分母有理化，并化简： (2)定义一种新运算“”：当时，；当时， 已知：， ①求的值； ②若，求的值． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】本题考查了新定义运算，分母有理化，平方差公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意给出的方法，将分母有理化即可； （2）①根据新定义运算求出，代入即可求解； ②设，根据平方差公式可求出的值，即得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：根据题意可得： ， ， ∴； ②设， ∵， ∴得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 54．阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】 如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：， 当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】 已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】 如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】 根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________； (2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数的值有__________个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ 【答案】(1)3，6 (2)真分式， (3)当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米 【分析】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． （1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可； （2）根据新定义判断分式是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数的值； （3）设这个矩形的长为米，则宽面积长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据：求解； 【详解】（1）解：令， 则有，得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6； 故答案为：3，6； （2）解：根据新定义分式是真分式，， ∵为整数，且为整数， 或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数的值有4个， 故答案为：真分式，； （3）解：设这个矩形的长为米，则宽为米，所用的篱笆总长为米， 根据题意得：， 由上述性质知：∵， ， 此时，， ， 答：当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米． $$