20综合考点四 二次函数中的特殊三角形存在性问题-【智乐星中考·中考备战】2025年山东中考数学精练本（六三学制）

1 2 【一题多设问】 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2-x+2的图象与x轴交于A(-3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C. (1)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△BCQ为等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由; (1) (3) 题序 (2) (4) 3 (1)存在. 由题易知抛物线的对称轴为直线x=-1， 设点Q的坐标为(-1，m). ∵点B的坐标为(1，0)，点C的坐标为(0，2)， ∴CQ2=(-1-0)2+(m-2)2=m2-4m+5， BQ2=(-1-1)2+(m-0)2=m2+4， BC2=(0-1)2+(2-0)2=5. (1) (3) 题序 (2) (4) 4 如图，分三种情况考虑： ①当BQ=BC时，m2+4=5， 解得m1=-1，m2=1， ∴Q1(-1，-1)，Q2(-1，1); ②当CQ=BC时，m2-4m+5=5， 解得m3=0，m4=4， ∴Q3(-1，0)，Q4(-1，4). 当点Q的坐标为(-1，4)时，点Q，B，C在一条直线上，不符合题意，舍去Q4; (1) (3) 题序 (2) (4) 5 ③当QB=QC时，m2+4=m2-4m+5， 解得m5=，∴Q5(-1，). 综上所述，抛物线的对称轴上存在点Q，使得△BCQ为等腰三角形，点Q的坐标为(-1，-1)或(-1，1)或(-1，0)或(-1，). (1) (3) 题序 (2) (4) 6 (2)如图，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△ACQ为直角三角形;若存在，求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由; (1) (3) 题序 (2) (4) 7 (2)存在. 由题知抛物线的对称轴为直线x=-1. ∵A(-3，0)，C(0，2)， ∴AC2=(-3-0)2+(0-2)2=13. 设点Q的坐标为(-1，y)，则QA2=(-1+3)2+(y-0)2=4+y2， QC2=(-1-0)2+(y-2)2=y2-4y+5，分三种情况： ①若∠QAC=90°，则QA2+AC2=QC2， 则4+y2+13=y2-4y+5， 解得y=-3，∴点Q1的坐标为(-1，-3); (1) (3) 题序 (2) (4) 8 ②若∠QCA=90°，则QC2+AC2=QA2， 则y2-4y+5+13=4+y2，解得y=，∴点Q2的坐标为(-1，); ③若∠CQA=90°，则QC2+QA2=AC2， 则y2-4y+5+4+y2=13， 解得y1=+1，y2=1-， ∴点Q3的坐标为(-1，+1)，Q4(-1，1-). 综上所述，所求点Q的坐标为(-1，-3)或(-1，)或(-1，+1)或 (-1，1-). (1) (3) 题序 (2) (4) 9 (3)如图，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由; (1) (3) 题序 (2) (4) 10 (3)存在. 如图，以BC为边在两侧作正方形BCQ1Q2、正方形BCQ4Q3，则点Q1，Q2， Q3，Q4为符合题意要求的点. 过点Q1作Q1D⊥y轴于点D. ∵∠BCQ1=90°， ∴∠Q1CD+∠OCB=90°. 又∵在Rt△OBC中，∠OCB+∠CBO=90°， ∴∠Q1CD=∠CBO. 又∵Q1C=BC， ∠Q1DC=∠COB， ∴△Q1CD≌△CBO(AAS)， (1) (3) 题序 (2) (4) 11 ∴DQ1=OC=2，CD=OB=1，∴OD=OC+CD=3，∴Q1(2，3). 同理求得Q2(3，1)，Q3(-1，-1)，Q4(-2，1)， ∴存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形，点Q的坐标为(2，3)或(3，1)或(-1，-1)或(-2，1). (1) (3) 题序 (2) (4) 12 (4)如图，点Q是直线AC上方抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E. 是否存在点Q，使以点B，Q，E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由. (1) (3) 题序 (2) (4) 13 (4)存在. 设E(n，0)，则BE=1-n，QE=-n2-n+2. 假设以点B，Q，E为顶点的三角形与△AOC相似，则有两种情况： ①若△BEQ∽△AOC，则 =， 即=，化简得n2+n-2=0， 解得n1=-2，n2=1(与点B重合，舍去)， ∴n=-2，QE=2，∴Q(-2，2); (1) (3) 题序 (2) (4) 14 ②若△QEB∽△AOC，则 =， 即=，化简得4n2-n-3=0， 解得n1=-，n2=1(与点B重合，舍去)， ∴n=-，QE=，∴Q(-). 综上所述，存在点Q，使以点B，Q，E为顶点的三角形与△AOC相似，点Q的坐标为(-2，2)或(-). (1) (3) 题序 (2) (4) 15 $$